ASPECTOS MACROMECÁNICOS DE LA ROTURA

ASPECTOS MACROMECÁNICOS DE LA ROTURA

Carlos Navarro

Material dúctil

Material dúctil

σ

σ

x z

σ_A

σ_e

σ_B σ

A

B

εe B εP

B ε_A

ε

Punto A: Comportamiento elástico

Punto B: Comportamiento plástico

Criterio de Plastificación

e

A

<

σ

σ

e

B

>

σ

σ

Concepto de criterio de fallo para

materiales isótropos

Concepto de criterio de fallo para

materiales isótropos

0

e

=

σ

−

σ

a) Considerando un ensayo de tracción

x z

y

σ_A σ_B σ

A

B

ε_B ε_A

ε

Punto A: Material intacto

Punto B: Rotura

Criterio de rotura

0

R

=

σ

−

σ

σ

Concepto de criterio de fallo para

materiales isótropos

Concepto de criterio de fallo para

materiales isótropos

En un estado de tracción

σ

Material frágil

P

σ_z

σ_x

τ_xy

σ_y τ_xz

τ_yx τ_yz τ_zy

τ_zx

f

(

[ ]

T

;

σ

plastificación

)

=

0

Criterio de Plastificación

Para materiales isótropos

no existen direcciones

privilegiadas:

(

_{x y z xy yz xz plastificación}

)

=

0

f

σ

,

σ

,

σ

,

τ

,

τ

,

τ

,

σ

x

y

z

y

Concepto de criterio de fallo para

materiales isótropos

Concepto de criterio de fallo para

materiales isótropos

Concepto de Energía de distorsión :

Energía consumida para obtener un cambio de forma del punto

elástico sin que éste cambie ni de dimensiones y ni de volumen.

d

T

V

U

=

U

−

U

Energía de distorsión

_{Energía Total}

_{Energía necesaria para}

producir un cambio de

volumen

La plastificación se produce si U

_d

(Energía de distorsión) alcanza el

mismo valor de U

_d

cuando se produce la plastificación en un ensayo

de tracción

1-

Calculemos el cambio de volumen de un punto elástico sometido a las

tensiones principales

σ

₁

,

σ

₂

,

σ

₃

.

Como quiera que:

1

2

3

(

1 2

1 2

3

)( )

V

E

v

σ σ σ

+

+

−

∆ =

llegamos a que:

(

)(

)(

)

[

]

3 2 1 3 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 1 3 2 1

1

1

1

1

1

1

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

+

+

≈

≈

−

+

+

+

+

+

+

+

=

=

−

+

+

+

=

∆

V

(

)

E

E

3 2 1 1

σ

σ

ν

σ

ε

=

−

+

(

)

E

E

3 1 2 2

σ

σ

ν

σ

ε

=

−

+

(

)

E

E

2 1 3 3

σ

σ

ν

σ

ε

=

−

+

Criterios de rotura en materiales anisótropos

1

2

Calculemos la tensión hidrostática que produciría la misma variación

de volumen (

∆

V):

2

2

-

-Calculemos U

_T

para

el punto elástico :

3-

_U

T

para un resorte :

(

ν

)

σ

1

2

3

3

=

−

=

∆

_v

_hidrostáti

_ca

E

e

V

3

3 2

1

σ

σ

σ

σ

_{hidrostáti ca}

=

+

+

[

1 1 2 2 3 3

]

2

1

_σ

_ε

₊

_σ

_ε

₊

_σ

_ε

=

T

U

(

)

2

2

1

2

1

2

1

x

k

x

x

k

x

F

Utilizando las ecuaciones 1, 2 y 3

(

2 2 2

)

(

)

1 2 3

1

1

2

2

T

U

E

σ σ σ

v

=

+

+

−

4-(

)

(

2 2 2

)

V _{1 2 3} 1 2 1 3 2 3

1

1

2

2

2

2

6

U

E

v

σ σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

=

−

+

+

+

+

+

Despejemos U

_d

5-(

) (

2

) (

2

)

2

1 2 2 3 3 1

d T V

1

3

2

A

U

U

U

E

v

⎡

σ σ

−

+

σ σ

−

+

σ σ

−

⎤

+

=

−

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44

42 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44

3

Calculemos U

_V

(

ν

)

σ

1

2

2

3

2

−

=

ca hidrostáti

Igualando las expresiones A y B

(

) (

2

) (

2

)

2

1 2 2 3 3 1

2

2

y

S

=

σ σ

−

+

σ σ

−

+

σ σ

−

(

) (

2

) (

2

)

2 12

1 2 2 3 3 1

2

2

y

S

=

⎡

_⎣

σ σ

−

+

σ σ

−

+

σ σ

−

⎤

_⎦

6-

7-Calculemos U

_d

cuando se produce la plastificación en un

ensayo de tracción:

2

d y

1

3

B

U

S

E

v

+

=

1 44 2 4 43

2

3

1

y

E

U

_d

=

+

ν

σ

σ

_y

=

límite

elástico

del

material

2

y

σ

Llamando:

(

) (

2

) (

2

)

2 12

1 2 2 3 3 1

2

2

e

σ

₌

⎡

σ σ

₋

₊

σ σ

₋

₊

σ σ

₋

⎤

⎣

⎦

La plastificación se produce cuando

σ

_e

≥

S

_y

Tensión equivalente de Von Mises.

8-

P

σ_z

σ_x

τ_xy

σ_y τ_xz

τ_yx τ_yz τ_zy

τ_zx

f

(

[ ]

T

;

σ

′

s

plastificación

)

=

0

Criterio de Plastificación

Para materiales isótropos

no existen direcciones

privilegiadas:

(

_{x y z xy yz xz}

′

s

_{plastificación}

)

=

0

f

σ

,

σ

,

σ

,

τ

,

τ

,

τ

,

σ

x

y

z

y

Concepto de criterio de fallo para

materiales anisótropos

Concepto de criterio de fallo para

materiales anisótropos

CRITERIO DE HILL (1948)

(Materiales metálicos anisótropos)

(

_y

−

_z

)

2

+

G

(

_z

−

_x

)

2

+

H

(

_x

−

_y

)

2

+

2

L

_yz2

+

2

M

_zx2

+

2

N

_xy2

=

1

F

σ

σ

σ

σ

σ

σ

τ

τ

τ

Si X, Y y Z son las tensiones de plastificación según las direcciones principales:

2 2

2

2 2

2

2 2

2

1

1

1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

Z

Y

X

H

Y

Z

X

G

X

Z

Y

F

−

+

=

−

+

=

−

+

=

Si R, S y T son las tensiones de plastificación por cizalladura:

2 2

2

1

2

1

2

1

2

T

N

S

M

R

Concepto de criterio de rotura para

materiales anisótropos

Concepto de criterio de rotura para

materiales anisótropos

y

2

3

1

[ ]

(

T

;

Resistenci

as

mecánicas

)

0

f

=

Criterio de Rotura

El criterio de rotura debe

expresarse en ejes de

ortotropia

E

₁

, E

₂

, E

₃

G

₁₂

, G

₁₃

, G

₂₃

ν

₁₂

,

ν

₁₃

,

ν

₂₃

Propiedades elásticas

X

_t

, Y

_t

, Z

_t

X

_c

, Y

_c

, Z

_c

S

₁₂

, S

₁₃

, S

₂₃

Propiedades resistentes

y

2

3

1

Características distintivas de los

materiales compuestos

Propiedades Mecánicas de

los Materiales Compuestos

ε

ε

ε

ε

ε

S

G

S

Y

E

Y

Y

E

Y

X

E

X

X

E

X

12

c

2

c

t

2

t

c

1

c

t

1

t

=

=

=

=

=

PRINCIPALES MECANISMOS DE FALLO DE LOS LAMINADOS

REALIZADOS CON MATERIALES COMPUESTOS

Deslaminación:

Los materiales compuestos fabricados a base de diferentes

láminas apiladas tienden a deslaminarse. La rigidez a flexión de un panel con

deslaminaciones se reduce significantemente, aún cuando visualmente estas

deslaminaciones no se detecten.

Fallo de las fibras a compresión:

Este modo de fallo se ve muy afectado por

el comportamiento a cortante de la matriz y por las imperfecciones del proceso

de fabricación del material (desalineamiento de fibras y existencia de huecos).

Fallo de la matriz a tracción:

La superficie de fractura que resulta de este tipo

de fallo es ortogonal a la dirección de carga, y dicha superficie puede ser

fácilmente observada.

Criterios de rotura desacoplada

Tensión máxima

Máxima deformación

Criterios de rotura con interacción

Tsai Hill

Hoftmann

Tsai Wu

Criterios de rotura fibra-matriz

Hann, Erikson & Tsai

Hashin

Clasificación de los criterios de fallo

Clasificación de los criterios de fallo

τ₁₂ τ₁₂

1

ε

1

σ

t

X

_ε

c

X

t

X

1

σ

1

σ

1

σ

1

σ

Carga uniaxial

(dirección de las fibras)

Criterio de Tensión Máxima

Criterio de Tensión Máxima

c

ε

Carga uniaxial

(dirección ortogonal a las fibras)

Criterio de Tensión Máxima

Criterio de Tensión Máxima

2

ε

2

σ

2

σ

2

σ

2

σ

2

σ

t

Y

c

Y

Y

ε

_t

c

ε

12

γ

12

τ

ε

S

12

τ

Carga cortante

Criterio de Tensión Máxima

Criterio de Tensión Máxima

Criterio de Tensión Máxima

Criterio de Tensión Máxima

S

Y

Y

-X

X

-12

t

2

c

t

1

c

<

τ

<

σ

<

θ

⋅

θ

<

σ

θ

⋅

θ

⋅

σ

−

=

τ

θ

<

σ

θ

⋅

σ

=

σ

θ

<

σ

θ

⋅

σ

=

σ

cos

sen

S

cos

sen

sen

Y

sen

cos

X

cos

12

2

t

2

2

2

t

2

1

Criterio de Tensión Máxima

Criterio de Tensión Máxima

t

X

<

σ

Aplicación a estados de carga no aplicados en ejes de ortotropía

No existe ninguna interacción entre las diferentes tensiones

2

σ

1

σ

ENVOLVENTE DE ROTURA

Criterio de Tensión Máxima

Criterio de Tensión Máxima

t

Y

c

Y

t

X

c

ε

ε ε

ε ε

γ

ε

ε

S

Y

Y

-X

X

-12

2 1

t c

t c

<

<

<

<

<

Criterio de Máxima Deformación

(

)

(

)

(

)

(

)

(

θ

⋅

θ

)

⋅

σ

−

=

τ

=

γ

σ

⋅

θ

ν

−

θ

=

σ

⋅

ν

−

σ

=

ε

σ

⋅

θ

ν

−

θ

=

σ

⋅

ν

−

σ

=

ε

θ

⋅

θ

⋅

σ

−

=

τ

θ

⋅

σ

=

σ

θ

⋅

σ

=

σ

cos

sen

G

1

G

cos

sen

E

1

E

1

sen

cos

E

1

E

1

cos

sen

sen

cos

12

12

12

12

2

21

2

2

1

21

2

2

2

2

12

2

1

2

12

1

1

1

12

2

2

2

1

0

E

E

12 1 21 2 1 1

=

γ

σ

⋅

ν

−

=

ε

σ

=

ε

Criterio de Máxima Deformación

Criterio de Máxima Deformación

2

c

c

1

c

c

12

2

t

t

1

t

t

E

Y

Y

E

X

X

G

S

S

E

Y

Y

E

X

X

=

=

=

=

=

ε

ε

ε

ε

ε

Criterio de Máxima Deformación

Criterio de Máxima Deformación

Aplicación a estados de carga no aplicados en ejes de ortotropía

2

σ

1

σ

21

1

ν

=

pendiente

12

ν

=

pendiente

t

X

t

Y

c

Y

c

X

Criterio de Máxima Deformación

Criterio de Máxima Deformación

ENVOLVENTE DE ROTURA

En el primer cuadrante, el criterio de

tensión máxima es más conservador que

el de deformación máxima

σ

₁

σ

₂

Deformación máxima

1

N

2

M

2

L

2

F

2

G

2

H

2

)

G

F

(

)

H

F

(

)

H

G

(

2

12

2

13

2

23

3

2

3

1

2

1

2

3

2

2

2

1

=

τ

⋅

⋅

+

τ

⋅

⋅

+

τ

⋅

⋅

+

+

σ

⋅

σ

⋅

⋅

−

σ

⋅

σ

⋅

⋅

−

σ

⋅

σ

⋅

⋅

−

σ

⋅

+

+

σ

⋅

+

+

σ

⋅

+

Criterio de Tsai-Hill

Criterio de Tsai-Hill

(

) (

) (

)

[

2

]

3 1 2 3 2 2 2 1

2

1

_σ

_σ

_σ

_σ

_σ

_σ

σ

_e

=

⋅

−

+

−

+

−

Criterio de plastificación de Von Mises (

≈

1900)

Materiales isótropos

Criterio de plastificación de Hill (1948)

Materiales anisótropos

Criterio de rotura de Azzi y Tsai (1965)

X 1= σ 1 ) H G

( + σ₁2 =

2 X 1 ) H G ( + = Y 2 = σ 1 ) H F

( + σ2₂ =

2 Y 1 ) H F ( + =

Z

3

=

σ

1 ) G F

( + σ2₃ =

2 Z 1 ) G F ( + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2

X

1

Z

1

Y

1

F

2

Y

1

Z

1

X

1

G

2

Z

1

Y

1

X

1

H

2

−

+

=

−

+

=

−

+

=

S

12

=

τ

1 N

2⋅ ⋅τ₁₂2 =

2

S

1

N

2

=

2

yz

S

1

L

2

=

2

xz

S

1

M

2

=

Criterio de Tsai-Hill

1

S

1

S

1

S

1

X

1

Z

1

Y

1

Y

1

Z

1

X

1

Z

1

Y

1

X

1

Z

1

Y

1

X

1

2 12 2 2 13 2 xz 2 23 2 yz 3 2 2 2 2 3 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2

=

τ

+

τ

+

τ

+

σ

σ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

₋

−

−

σ

σ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

₋

−

σ

σ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

₋

−

σ

+

σ

+

σ

1

S

Y

X

X

2

2

12

2

2

2

2

2

1

2

2

1

₋

σ

⋅

σ

₊

σ

₊

τ

₌

σ

Criterio de Tsai-Hill

Criterio de Tsai-Hill

0

Y

Y

0

Y

Y

0

X

X

0

X

X

1

S

Y

X

X

2

c

2

t

1

c

1

t

2

2

12

2

2

2

2

2

1

2

2

1

<

=

>

=

<

=

>

=

≤

+

+

−

σ

σ

σ

σ

τ

σ

σ

σ

σ

Criterio de Tsai-Hill

θ

⋅

θ

⋅

σ

−

=

τ

θ

⋅

σ

=

σ

θ

⋅

σ

=

σ

sen

cos

sen

cos

12

2

2

2

1

2

2

4

2

2

2

2

2

4

₁

Y

sen

sen

cos

X

1

S

1

X

cos

σ

=

θ

+

θ

⋅

θ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

+

θ

Aplicación a estados de carga no aplicados en ejes de ortotropía

Criterio de Tsai-Hill

Criterio de Tsai-Hill

t

X

2

σ

1

σ

Máxima Tensión

Máxima Deformación

Hill

La misma resistencia

tanto a tracción como a

compresión

COMPARACIÓN ENTRE

ENVOLVENTES DE ROTURA

t

X

t

Y

c

Y

c

Criterio de Tsai-Wu

Criterio de Tsai-Wu

1

=

σ

σ

+

σ

_i

_ij

_i

_j

i

F

F

1

F

2

F

F

F

F

F

F

2

1

12

2

12

66

2

2

22

2

1

11

12

6

2

2

1

1

=

σ

⋅

σ

⋅

⋅

+

τ

⋅

+

σ

⋅

+

+

σ

⋅

+

τ

⋅

+

σ

⋅

+

σ

⋅

siendo Fi y Fij dos tensores de orden 2 y 4 respectivamente.

Para el caso de una lámina ortótropa trabajando en tensión

plana:

X

1=

σ

1

F

F

₁

σ

₁

+

₁₁

σ

₁

2

=

1

X

F

X

F

₁

+

₁₁

2

=

'

X

1

=

−

σ

1

F

F

₁

σ

₁

+

₁₁

σ

₁

2

=

1

'

X

F

'

X

F

₁

+

₁₁

2

=

−

c

t

11

c

t

1

X

X

1

F

X

1

X

1

F

−

=

+

=

c

t

22

c

t

2

Y

Y

1

F

Y

1

Y

1

F

−

=

+

=

Análogamente:

Criterio de Tsai-Wu

Criterio de Tsai-Wu

S

12

=

τ

1

F

F

₆

τ

₁₂

+

₆₆

τ

₁₂2

=

1

F

F

₆

τ

₁₂

+

₆₆

τ

₁₂2

=

−

0

F

₆

=

2 66

¿ y F

₁₂

?

a) Mediante un ensayo biaxial

R 2 2 R 1 1

σ

=

σ

σ

=

σ

1

F

2

F

F

F

F

₁

σ

₁

+

₂

σ

₂

+

₁₁

σ

₁

2

+

₂₂

σ

₂

2

+

₁₂

σ

₁

σ

₂

=

1

)

F

2

F

F

(

)

F

F

(

₁

+

₂

σ

+

₁₁

+

₂₂

+

₁₂

σ

2

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

σ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

σ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

+

−

σ

=

2

c

t

c

t

t

t

c

t

2

12

Y

Y

1

X

X

1

Y

1

Y

1

X

1

X

1

1

2

1

F

(

_t

_c

_t

_c

_rotura

_biaxial

)

12

f

X

X

Y

Y

F

=

σ

¡ No es una propiedad de la lámina!

Criterio de Tsai-Wu

b) Por equivalencia con el criterio de Von Mises

Aplicando el criterio de Tsai-Wu como criterio de plastificación de un material

metálico isótropo en ejes principales:

e

c

t

e

c

t

Y

Y

X

X

σ

=

=

σ

=

=

1

F

2

1

F

F

1

F

2

F

F

F

F

2

1

12

2

e

2

2

e

1

2

e

22

11

2

1

12

2

2

22

2

1

11

2

2

1

1

=

σ

σ

+

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

σ

σ

+

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

σ

σ

σ

=

=

=

σ

σ

+

σ

+

σ

+

σ

+

σ

Criterio de Tsai-Wu

Por otro lado aplicando el criterio de Von Mises:

1

2

e

2

1

2

e

2

2

e

1

₌

σ

σ

σ

−

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

σ

σ

+

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

σ

σ

2

e

12

1

F

2

σ

−

=

⋅

Generalizando a un material anisótropo:

22

11

12

F

F

F

2

⋅

=

−

⋅

22

11

*

12

12

F

F

F

F

=

⋅

⋅

−

0

.

5

<

F

₁₂

*

<

0

Criterio de Tsai-Wu

Criterio de Hahn, Erikson y Tsai

1

F

F

F

F

F

1

F

F

F

2

2

2

23

55

2

13

44

2

12

66

2

2

22

1

1

2

12

66

2

1

11

=

σ

⋅

+

τ

⋅

+

τ

⋅

+

σ

⋅

+

σ

⋅

=

σ

⋅

+

τ

⋅

+

σ

⋅

Criterio de Hashin

1

)

F

(

)

F

(

₁₁

⋅

σ

₁2

+

₁

⋅

σ

₁

=

1

F

F

F

F

F

₂₂

⋅

σ

₂2

+

₆₆

⋅

τ

₁₂2

+

₄₄

⋅

τ

₁₃2

+

₅₅

⋅

τ

2₂₃

+

₂

⋅

σ

₂

=

Rotura de las fibras

Otros criterios

Otros criterios

Rotura de la matriz

Rotura de las fibras

1

X

0

1

S

X

0

c

1

1

2

12

2

t

1

1

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

<

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

>

σ

σ

σ

σ

σ

Criterio de Hashin (1973 y 1980)

Criterio de Hashin (1973 y 1980)

1

S

Y

1

S

2

Y

S

2

0

1

S

Y

0

2

12

c

2

2

c

2

2

2

2

12

2

t

2

2

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

<

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

>

τ

σ

σ

σ

τ

σ

σ