Bloque 3 Análisis de circuitos alimentados en corriente alterna

Texto completo

(1)

Bloque 3

Análisis de circuitos

alimentados en corriente

alterna

Teoría de Circuitos

(2)
(3)

Corriente alterna

   

+ + =

2 )

(t U0sen

ω

t

ϕ

π

u

o bien

   

  − =

2 cos α π

α

sen

Corriente alterna

(

ω

+

ϕ

)

=U t

t

u( ) 0 cos

u

ωt

−ϕ Corriente continua

0

)

(t U

u =

u

(4)

Características de una onda

sinusoidal

y

ωt

−ϕ

Ym

T

) cos(

)

(t = Y ⋅ ωt

y m

• Ym=Valor máximo= valor de pico=valor de cresta • y(t)= Valor instantáneo

•T=Periodo= tiempo que se tarda en completar un ciclo completo [s]

(5)

Características de una onda

sinusoidal

y

ωt

−ϕ

Ym

T

) cos(

)

(t = Y ⋅ ωt

y m

• ω= Pulsación; ωT= 2π => ω= 2πf [rad s-1]

• ϕ=Ángulo de fase [rad]

(6)

Desfase relativo

) cos(

)

(t Um t u

u = ω +ϕ

) cos(

)

(t Im t i

i =

ω

+

ϕ

u(t)

i(t)

30º-45º

70º

I

U

ϕ

ϕ

ϕ

=

Desfase entre u e i

• ϕ<0 u en retraso resp a i • ϕ>0 u en adelanto resp i • ϕ=0 “en fase”

(7)

Valor medio y valor eficaz

• Valor medio

0 ) cos( 1 ) ( 1 0 0 = + =

=

Y t dt

T t d t y T Y T m T

medio

ω

ϕ

) cos(

)

(t = Y ⋅ ωt

y m 2 ) ( 1 max 0 2 Y dt t y T Y T = =

• Valor eficaz

(8)

Significado físico de valor eficaz

t I

t

i( ) = m ⋅cosω • Resistencia R atravesada por una corriente

t d t Ri W T AC =

0

2

) (

• Energía disipada en T:

• ¿Cuánto vale la corriente continua que debe circular por R para disipar en un tiempo T la misma energía?

T RI t d RI W T DC 2 0 2 =

=

Igualando WAC con WDC t d t Ri T RI T

= 0 2 2 ) ( eficaz T I t d t Ri T

I =

=

0

2

(9)

Resumen de notación

) cos(

2 )

cos( )

(t = Y ⋅ ωt +ϕ = Y ⋅ ωt

y m

• Valor instantáneo: y • Valor eficaz: Y

(10)

Repaso números complejos

! onencial j polar binómica e z z bj a z exp θ

θ

= ∠ = + = " # $ " # $ 1 − =

j j 2 = −1 |z|

θ

Im

Re a

b

Fórmula de Euler:

θ

θ

θ

jsen e±j = cos +

θ

θ

θ sen z j z e z bj a

(11)

Análisis de circuitos con

excitación alterna

+ u(t) uL uc

i Conocemos u(t) y queremos calcular i(t)

τ τ

= t

t

c i d

C u 0 ) ( 1 dt t di L

uL = ( )

R L

C u u

u t

u( ) = + +

uR u Ri

R = Ri dt t di L d i C t u t t + +

= 1

( ) ( )

) (

0

τ τ

Para obtener el valor de i(t) se debe resolver la ecuación diferencial:

dt t di R dt t i d L i C dt t

du( ) 1 2 ( ) ( )

+ +

= i(t)=ih+ip

(12)

Analogía senoides fasores

En corriente alterna las tensiones y corrientes serán funciones sinusoidales del tipo:

(

)

( ) 2 cos

y t = Y ω ϕt +

amplitud desfase respecto al origen

ϕ

Ym y

ωt

f

π

ω = 2 fuente de alimentaciónviene impuesta por la

(13)

Representación fasorial

) cos(

2 )

(t = Y

ω

t +

ϕ

y

Vamos a demostrar que existe una correspondencia entre una función sinusoidal y(t) y un número complejo Y que se defina como:

ϕ

∠ =Y

(14)

Representación fasorial

Definimos un número complejo Y que gira en el plano complejo a velocidad w y vamos analizando cuanto vale su parte real en los

distintos instantes de tiempo y(t)

Ym

0 π/2 π 3π/2 ωt

ω

Re(Y)=Y t=0

ωt=π/2 Re(Y)=0

ωt=π Re(Y)=-Y

ωt=3π/2 Re(Y)=0 Im

Re

t Y

t

(15)

Analogía entre senoides y

fasores giratorios

• Existe una correspondencia entre una función sinusoidal y un vector complejo.

• Una función sinusoidal es la proyección de un vector giratorio sobre los ejes de un sistema coordenado (eje real y eje

(16)

Definición de fasor

• Se denomina fasor a la cantidad compleja jϕ Ye

=

Y

• En corriente alterna representaremos las funciones sinusoidales u(t), i(t) mediante fasores equivalentes

Im

Y

ϕ

ωt

   

 =

2

m Y Y

ϕ

Y

=

Y

(17)

Relación entre senoides y

fasores

(

ω +ϕ

)

= Y t

t

y( ) 2 cos

ϕ

ϕ

j

Ye Y =

=

Y multiplicando por ejωt

(

)

(

)

(

t jsen t

)

Y Ye

e

Yejϕ jωt = j(ϕ+ωt) = cos ϕ +ω + ϕ +ω

relación de Euler

( )

e jωt = 2Y cos

(

ϕ +ωt

)

Re Y

2

Una función sinusoidal queda unívocamente representada por su fasor

(18)

Suma de sinusoides mediante

sus fasores correspondientes

(

1

)

2

(

2

)

1 2

1(t) + y (t) = 2Y cos ωt +ϕ + 2Y cos ωt

y 2 2

ϕ

Y = 2 Y 1 1

ϕ

Y = 1 Y Fasores correspondientes

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

cos( )

Re Re Re Re ϕ ω ω ω ω ω ω + = + = = + = + t Y e e e e e t j t j t j t j t j 2 Y Y 2 Y Y 2 Y 2 Y 2 2 1 2 1 2 1 2 1 Y Y + =

(19)

Diagrama fasorial

Diagrama en el que se representan los fasores correspondientes de las tensiones y corrientes de un circuito en el plano complejo

(20)

3.2. Respuesta de los

elementos pasivos a una

excitación de tipo sinusoidal.

(21)

Relación entre senoides y

fasores

(

ω +ϕ

)

= Y t

t

y( ) 2 cos

ϕ

ϕ

j

Ye Y =

=

Y multiplicando por ejωt

(

)

(

)

(

t jsen t

)

Y Ye

e

Yejϕ jωt = j(ϕ+ωt) = cos ϕ +ω + ϕ +ω

relación de Euler

( )

e jωt = 2Y cos

(

ϕ +ωt

)

Re Y

2

Una función sinusoidal queda unívocamente representada por su fasor

(22)

Resumen elementos pasivos

• Resistencia

) ( )

(t Gu t

i =

) ( )

(t Ri t

u = • Bobina dt t di L t

u( ) = ( ) u t dt

L t i i t t

+ = 0 ) ( 1 ) ( 0 • Condensador dt t du C t

i( ) = ( )

(23)

Respuesta de los elementos

pasivos

• Vamos a analizar la respuesta de los tres elementos pasivos (resistencia, inductancia y capacidad) a una excitación sinusoidal en el domino del tiempo y en el dominio de la frecuencia.

• Imaginemos que conocemos la corriente que circula por cada uno de ellos que es de la forma

(

t i

)

I t

i( ) = 2 cos ω +ϕ

• Y queremos calcular la tensión entre sus terminales, que será del tipo

(

t u

)

U t

(24)

Respuesta de los elementos

pasivos

• A partir de las relaciones entre u(t) e i(t) en cada uno de los elementos pasivos determinaremos su

respuesta.

• Buscamos encontrar los valores de U y ϕu en función de I, ϕi y los valores de los parámetros R, L y C.

• Los fasores corriente y corriente son:

(

)

( )

j t

i e

t I

t

i( ) = 2 cos ω +ϕ = 2 Re I ω

(

)

(

j t

)

u e

t U

t

u( ) = 2 cos ω +ϕ = 2 Re U ω

u

U

ϕ

=

U

i I∠ϕ

=

(25)

Resistencia

(

)

( )

(

)

Re Uej tω = RRe Iej tω = Re R eI j tω

Re

R

Ri u =

(

)

( ) 2 Re j t

u t = Ue ω

( )

( ) 2 Re j t

i t = Ie ω

RI U =

i u ϕ

ϕ =

I

U = R => U ϕu = RI ϕi En una resistencia la

tensión y la intensidad están en fase

u(t) i(t)

I

ϕui

U

Im

Re

u, i

(26)

Bobina

dt

di

L

u

=

(

)

( ) 2 Re j t

u t = Ue ω

( )

( ) 2 Re j t

i t = Ie ω

( )

(

)

2 Re j t Re 2 j t Re 2 j t

di d d

e e e

dt dt dt

ω  ω  ω ω

= = =

 

I I Ij

I no depende del tiempo

(

j t

)

(

j t

)

(

j t

)

e L

e L

e ω Ijω ω Ijω ω

U Re Re

Re = =

Re

L

dt di L

u = =>

I

U = jωL U∠ϕujLI∠ϕiLIej90e jϕiLI∠ϕi +90º

(27)

Bobina

LI U

) (ϕui

En una bobina la tensión está adelantada 90º respecto a la corriente

º 90

+ ∠

=

u LI i

U ϕ ω ϕ

º 90

+ = i

u ϕ

ϕ

i(t) u(t)

I

ϕi

U Im

Re

ϕu

u, i

(28)

Condensador

dt du C i =

(

j t

)

e t

u( ) = 2 ReU ω

( )

j t e t

i( ) = 2 Re I ω U no depende del tiempo

(

j t

)

j t

(

j t

)

e e dt d e dt d dt

du ω ω ω ω

Uj U

U 2 Re 2 Re

Re

2  =

     = =

( )

j t

(

j t

)

Ce e ω Ujω ω

I Re

Re =

dt du C

i = =>

Re ∈ C C ω Uj I = => I U C j ω −

= ∠ = − ∠ = 1 − 90 = 1 ∠ −90º

i j j i u I C e Ie C I C j

U i ϕ

(29)

Condensador

I L U

ω 1

=

º 90

− = i

u ϕ

ϕ º 90 1

− ∠

=

u I i C

U ϕ

ω

ϕ tensión está En un condensador la retrasada 90º respecto a la corriente

) (ϕui

I

ϕi

U

ϕu= ϕi -90º

Im

i(t) u(t)

u, i

ωt

(30)

Bobinas acopladas

dt t di L dt t di M t u dt t di M dt t di L t u ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 12 2 2 12 1 1 1 + = + =

Procediendo de modo análogo a los casos anteriores se llega a las siguientes relaciones fasoriales:

(31)

Impedancia compleja

• Las relaciones fasoriales U=f(I) en los elementos pasivos son:

El fasor tensión puede

expresarse como el producto de una cantidad compleja por el fasor corriente

I

U = R

Resistencia

I U = jωL

Bobina

I U

C j

ω

− =

Condensador

Impedancia: Cociente entre el fasor tensión y el fasor corriente

Z U

I +

-Se verifica la “Ley de Ohm en notación fasorial”

Z es un número complejo, pero no un fasor, ya que no se

corresponde con ninguna función sinusoidal en el dominio

del tiempo

ZI

(32)

Impedancia

R

R =

Z

Resistencia

L j

L =

ω

Z

Bobina

C j

C

ω

− =

Z

Condensador

Z, R y X se expresan en [Ω]

jX R +

=

Z Re

( )

Z = R

( )

Z = X

Im

componente resistiva: “Resistencia”

componente reactiva : “Reactancia”

0 > = L XL ω

0 1

< −

=

C XC

(33)

Triángulo de impedancias

jX Im

Z

θ Z = R + jX

Re R

R X arctg

=

θ

2 2

X R +

=

Z

θ

cos

Z

(34)

Impedancia y admitancia

jX R +

=

Z

jB G +

= =

Z 1

Y Re

( )

Y = G

( )

Y = B

Im

“Conductancia” Admitancia

“Susceptancia”

Y , G y B se expresan en [S]

G

R =

Y

Resistencia

L j

L =− ω

Y

Bobina

C j

C = ω

Y

(35)

Lemas de Kirchhoff en forma

fasorial

• Primer Lema de Kirchhoff: La suma algebraica de los fasores corriente en un nudo es igual a cero

I = 0

• Segundo Lema de Kirchhoff: En un lazo o malla, la suma de las elevaciones de tensión de los

generadores, expresadas en forma fasorial, es igual a la suma de las caídas de tensión en las impedancias complejas

(36)

Asociación de impedancias en

serie y en paralelo

• En régimen sinusoidal permanente es posible agrupar elementos pasivos de distinta naturaleza (resistencias y/o inductancias y/o capacidades) una vez que cada uno de ellos ha sido caracterizado por su impedancia correspondiente.

• Las reglas para determinar las impedancias

equivalentes de combinaciones de elementos pasivos, son idénticas a las estudiadas para los elementos

(37)

Asociación de impedancias en

serie

• Se dice que dos o más impedancias están en serie si por ellas circula la misma intensidad

I

Zeq U I

Z1 Z2 ZN

. . . .

U2 UN

U1

U

eq n

2 1

n 2

1 n

2

1 U ... U IZ IZ ... IZ I(Z Z ... Z ) IZ

U

U = + + + = + + + = + + + =

n 2

1

eq Z Z ... Z

(38)

Divisor de tensión

• La tensión que cae en cada resistencia es una porción de la tensión total

I

Z1 Z2 ZN

. . . .

U2 UN

U1

U

U Z Z Z

... Z

Z

U Z

I Z U

eq k

N 2

1 k k

(39)

Asociación de impedancias en

paralelo

• Se dice que dos o más elementos están en paralelo si están sometidos a la misma tensión

+

|

U Zeq

I

Z1 Z2 . . . ZN U

I1 I

2 IN I

U Z 1 U Z 1 Z 1 Z 1 I ... I I I eq n 2 1 N 2

1 

      =       + ⋅⋅ ⋅⋅ + + = + + + = n 2 1 eq Z 1 .. Z 1 Z 1 Z

1 = + +

N 2

1

eq Y Y ... Y

Y = + + +

U Y I = eq

(40)

Divisor de corriente

Z1 Z2 . . . ZN U

I1 I2 IN

I +

-I Y Y I

Z 1 Z

1

I

eq k

eq k

k = =

1

UY I1 =

I Y .... Y

Y

Y I

n 2

1

1

1 = + + +

n 2

1 Y .... Y

Y

I U

+ +

(41)

Asociación de elementos

pasivos

• Asociación en serie

. . . .I

+

-I

Zeq

Z1 Z2 ZN

-+

U U

N

eq Z Z Z

Z = 1 + 2 +...+

• Asociación en paralelo

Z1 Z2 . . . ZN U

I1 I2 IN

I +

-Zeq

+

|

I

n

Z Z

Z Zeq

1 .. 1

1 1

2 1

+ +

= U

N

eq Y Y Y

(42)

Equivalentes Y-

y

-Y

Z1Y Z2Y Z 3Y 3 1 2

Z3∆

Z1∆ Z 2∆ 3 1 2 Y Y Y Y Y Y Y Z 1 1 3 3 2 2 1 1 Z Z Z Z Z Z

Z + +

= ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ + + = 3 2 1 3 1 2 Z Z Z Z Z Y Z ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ + + = 3 2 1 3 2 1 Z Z Z Z Z Y Z Y Y Y Y Y Y Y Z 2 1 3 3 2 2 1 2 Z Z Z Z Z Z

Z + +

= ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ + + = 3 2 1 2 1 3 Z Z Z Z Z Y Z Y Y Y Y Y Y Y Z 3 1 3 3 2 2 1 3 Z Z Z Z Z Z

Z + +

=

(43)

Diagramas fasoriales

• El diagrama fasorial de un circuito es la representación de sus fasores tensión y corriente en el plano complejo.

•En ocasiones los diagramas fasoriales ayudan en el análisis de los circuitos

(44)

Diagrama fasorial circuito RLC

serie

U UR UL UC + + + + - -I R

jωL

-1/jωC

En un circuito serie tomamos I como origen de fases

º 0 ∠ = I I º 0 º

0 = ∠ ∠

=

= R

R RI RI U

U

UL

UC UR I

UL UC

UR I

U ϕ º 90 ∠ = =

= ZL j L LI

L I ω I ω

U • UL>UC => ϕ>0 circuito inductivo

• UL<UC => ϕ<0 circuito capacitivo

º 90 1 = − = = I C C j ZC

C I ω I ω

(45)

Diagrama fasorial circuito RX

paralelo

En un circuito serie tomamos U como origen de fases U =U0º

Bobina Condensador

U +

-R jX

IR IX

I

IC

IR U

(46)
(47)

Análisis de circuitos

alimentados en C.A.

• Se sustituye el circuito en el dominio del tiempo por un circuito en el dominio de la frecuencia

– Los elementos pasivos se sustituyen por sus impedancias complejas correspondientes

– Las corriente y tensiones en el dominio del tiempo se sustituyen por sus fasores correspondientes

(48)

Lemas de Kirchhoff en forma

fasorial

• Primer Lema de Kirchhoff: La suma algebraica de los fasores corriente en un nudo es igual a cero

I = 0

• Segundo Lema de Kirchhoff: En un lazo o malla, la suma de las elevaciones de tensión de los

generadores, expresadas en forma fasorial, es igual a la suma de las caídas de tensión en las impedancias complejas

(49)

Métodos de resolución de

circuitos

• Todos los métodos estudiados para la resolución de circuitos alimentados en corriente continua, son

directamente aplicables a circuitos alimentados en alterna, trabajando en el dominio de la frecuencia.

– Método de las corrientes de malla – Método de las tensiones de nudo

– Principio de superposición: Especialmente útil cuando en un circuito existen fuentes de distinta frecuencia que actúan simultáneamente

(50)

Diagramas fasoriales

• En muchas ocasiones la representación de las

tensiones y corrientes de un circuito en diagramas fasoriales es de gran

ayuda a la hora de resolver circuios

(51)
(52)

Potencia en un circuito de C.A.

Circuito eléctrico i(t)

t U

t

u( ) = 2 ⋅ ⋅cos

ω

u(t)

) cos(

2 )

(t = ⋅ I

ω

t

ϕ

i

Tomaremos la tensión como origen de fases

(53)

Potencia instantánea

(

)

= =

= u t i t UI

ω

t

ω

t

ϕ

t

p( ) ( ) ( ) 2 cos cos

( ) ( )

( α β α β )

β

α = cos + +cos −

2 1 cos

cos

(

)

(

ω

ϕ

+

ϕ

)

=

ϕ

+

(

ω

ϕ

)

= UI cos 2 t cos UI cos UI cos 2 t

2 1 2

término

(54)

Potencia instantánea

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

t

V,A,W

p(t) u(t) i(t) P

(55)

Potencia instantánea

Signo de la potencia

i>0 y u>0 => p>0 i>0 y u<0 => p<0

i<0 y u<0 => p>0 i>0 y u<0 => p<0

¿Cómo puede ocurrir que una carga a veces absorba y otras ceda potencia?

Las bobinas y los condensadores almacenan energía (p>0) y luego la devuelven a la fuente (p<0)

2 2

2 1 2

1

Cu Li

(56)

Potencia media

[

]

ϕ

ϕ

ω

ϕ

cos

)

2

cos(

cos

1

)

(

1

0 0

=

=

+

=

=

I

U

dt

t

I

U

I

U

T

dt

t

p

T

P

T T

La potencia instantánea se puede expresar como la suma de una potencia media y una potencia fluctuante

) 2

cos( )

(57)

Potencia instantánea

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

t

V,A,W

p(t) P p(2wt)

Potencia media

+ + + +

+

- - - -

-Potencia fluctuante

(58)

Potencia activa y reactiva

= −

⋅ ⋅ +

= cos(2 )

)

(t P U I

ω

t

ϕ

p

(α −β) (= cosα cosβ + senαsenβ)

cos

t sen

sen I

U t

I U

P + ⋅ ⋅cos

ϕ

⋅cos2

ω

+ ⋅ ⋅

ϕ

⋅ 2

ω

=

ϕ

cos

⋅ ⋅ =U I P

ϕ

sen I

U

Q = ⋅ ⋅

Definición:

Potencia media = potencia activa Potencia reactiva

) 2 ( ))

2 cos( 1

( )

(t P t Qsen t

(59)

Potencia instantánea

) 2 ( ))

2 cos( 1

( )

(t P t Qsen t

p = +

ω

+

ω

• La potencia instantánea absorbida o generada por un circuito consta de dos términos

– Término constante: P = POTENCIA ACTIVA, igual al valor medio de la potencia instantánea

– Término oscilante de pulsación 2ω, que a su vez se descompone en dos sumandos

• Amplitud P y pulsación 2ω

• Amplitud Q, pulsación 2ω, retrasado 90º

• Amplitud de a potencia fluctuante: “Potencia aparente”

t P cos 2ω

t Qsen

(60)

Resumen

[W]

ϕ

cos

⋅ ⋅ =U I P

• Potencia activa

[VAr] • Potencia reactiva Q =UIsen

ϕ

[VA]

• Potencia aparente 2 2

Q P

I U

S = ⋅ = +

ϕ

cos .

. = =

S P p

f

ϕ= argumento impedancia compleja

–Cargas inductivas ϕ>0 –Cargas capacitivas ϕ<0

• Factor de potencia

1 . .

(61)

Potencia en una resistencia

R

R =

Z

t U

t

u( ) = 2 cosω

º 0

=

ϕ

RI U =

I

U = R

t I

t

i( ) = 2 cosω

2

cos UI RI

UI

PR =

ϕ

= =

Una resistencia únicamente consume

potencia activa

0

= =UIsen

ϕ

QR

R R UI P

(62)

Potencia en una resistencia

Potencia instantánea

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

t

V,A,W

p(t) u(t) i(t) P

) 2 cos 1

( )

(t P t

p R = R +

ω

(63)

Potencia en una bobina

I

U = j

ω

L

L j

L =

ω

Z º 90 − ∠ = = L U L

j

ω

ω

U I

=> I retrasada 90º respecto a U

º 90 =

ϕ

I L

U =

ω

(

90º

)

cos

2 )

(t = I t

i ω

t U

t

u( ) = 2 cosω

0

cos =

=UI

ϕ

PL

Una bobina consume

potencia reactiva

0

2 2 = > =

=

=UIsen UI L I X I

QR

ϕ

ω

L

L L UI Q

(64)

Potencia en una bobina

Potencia instantánea

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

t V,A,W

p(t) u(t) i(t) P

) 2 (

)

(t Q sen t

p L = L

ω

•La potencia reactiva va oscilando entre la fuente y la bobina

(65)

Potencia en un condensador

C j C

ω

1 = Z I U L j

ω

1 = t U t

u( ) = 2 cosω

(

90º

)

cos

2 )

(t = I t

i ω

º 90

1 = ∠

= U C

C j

ω

ω

U I => I C U

ω

1

=

ϕ

= −90º

I adelantada 90º respecto a U

0

cos =

=UI

ϕ

PC

0

1 2 2

< − = − = =

= I X I

C UI

UIsen

QC C

ω

ϕ

C C UI Q

S = =

Un condensador cede

(66)

Potencia en un condensador

Potencia instantánea

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

t V,A,W

p(t) u(t) i(t) P

) 2 (

)

(t Q sen t

p C = C

ω

•La potencia reactiva va oscilando entre la fuente y el condensador

(67)

Conclusión P y Q

• P representa el consumo de energía en las

resistencias (P es el valor medio de la potencia disipada)

• Q representa un intercambio de energía entre las bobinas y condensadores y la fuente (Q es la

amplitud de la energía intercambiada)

– QC<0=> un condensador cede potencia reactiva

(68)

Potencia reactiva

Potencia instantánea

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

t

V,A,W

p(t) u(t) i(t) P

Potencia instantánea

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

t

V,A,W

p(t) u(t) i(t) P

BOBINA Q>0

(69)

Potencia compleja

carga

i(t)

u(t)

+ u(t) = 2⋅U ⋅cosωt U =U∠0º

ϕ

− ∠ = I

I

) cos(

2 )

(t = ⋅ I ⋅ ωt −ϕ i

Se define potencia compleja

ϕ

ϕ

=

=

=

UI

*

U

0

º

I

UI

S

jQ

P

jUIsen

UI

+

=

+

=

cos

ϕ

ϕ

(70)

Triángulo de potencias

Q Im

S

ϕ

P Re

0º<ϕ<90º

Q>0 carga inductiva (P>0 carga)

Q S

-ϕ Im

P

Re

(71)

Teorema de Boucherot

• Principio de conservación de la potencia compleja

I2 I

(

)

* 1 2

2 *

1 *

2 1

* U I I UI UI S S

UI

S = = + = + = +

+

Z1 Z2

I1

U La potencia compleja suministrada por las fuente/s

es igual a la suma de las potencias complejas absorbidas por las cargas

=

k k

G P

P

=

k k

G Q

Q

2 2

G G

G P Q

(72)

Importancia del factor de

potencia

) 2 ( ))

2 cos( 1

( )

(t P t Qsen t

p = +

ω

+

ω

• P= potencia media consumida (consumo de potencia en R)

• Q=Amplitud de la fluctuación de energía entre la fuente y la carga (carga y descarga de las bobinas y condensadores)

• Q no requiere aportación de energía por parte de la fuente (P neta es 0), pero hace circular corriente por las líneas

• La circulación de corriente produce pérdidas de potencia activa

• Es necesario limitar el consumo de reactiva

(73)

Inconvenientes de cos

ϕ

pobre

1. Aumenta la corriente consumida

2. Aumentan las pérdidas en las líneas

3. Disminuye el rendimiento

4. Aumenta la caída de tensión en las líneas

(74)

Compensación del factor de

potencia

• Es conveniente trabajar con factores de potencia próximos a la unidad

• Pero las cargas pueden necesitar para su

funcionamiento potencia reactiva (generalmente son de tipo inductivo= alimentación de motores)

(75)

Compensación de reactiva

carga

u(t) +

P cosϕ ind

Q S

ϕ

P

Se puede colocar una batería de condensadores de capacidad C en paralelo con la carga que genere parte de la Q consumida

carga

u(t) +

P cosϕ

PE cosϕ’E

S

ϕ S’

ϕ’

Q

Q’ P

(76)

Compensación de reactiva

Potencia reactiva cedida por el condensador

Q S ϕ P Q’ S’ ϕ’ 2 CU UI UIsen

QC =

ϕ

C = − = −

ω

1 − = C senϕ ' ' Ptg

ϕ

Ptg

ϕ

Q

Q − = −

2

' Q CU

Q

Q − = ∆ =

ω

Capacidad de la batería de

condensadores para compensar ∆Q

2 ) ' ( U tg tg P C

ω

ϕ

ϕ

− = ) ' (

2

ϕ

ϕ

Figure

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