CURSO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

CURSO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Oscar Cardona Villegas

Héctor Escobar Cadavid

UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA

ESCUELA DE INGENIERÍAS

MÓDULO 2 VECTORES

En la matemática moderna se ha llegado al concepto de vector por una generalización del concepto geométrico o físico del mismo en el espacio ordinario de tres dimensiones. En geometría analítica, que es una amalgama del álgebra y la geometría, los vectores se emplean tanto en sentido geométrico como en sentido algebraico, por lo tanto, se abordará el estudio de los vectores bajo ambas perspectivas.

2.1 DEFINICIÓN DE VECTOR

Los vectores tuvieron su origen en la física. Se usaron por primera vez en mecánica para representar una fuerza concentrada. Se sabe que hay dos tipos básicos de cantidades que se consideran en la física: las que quedan completamente determinadas por una magnitud y se denominan escalares. Toda cantidad escalar se representa con un número real que indica su magnitud según una escala o unidad de medida elegida previamente. Son ejemplos de cantidades escalares: tiempo, distancia, masa, densidad, temperatura, trabajo, carga eléctrica, área, volumen y población. Como los escalares son números reales, se usa el álgebra de reales para operarlos. En este libro los escalares se van a representar con letras minúsculas.

denominan vectores. Son cantidades vectoriales, la posición relativa entre dos puntos, fuerza, velocidad, aceleración y momento entre otras.

Los vectores forman un conjunto con el cual se puede constrir un álgebra. El álgebra de los reales no sirve para hacer operaciones con vectores.

2.1.1 Definición geométrica

Se llama vector

AB

al segmento de recta dirigido u orientado cuyo punto inicial u origen es

A

y cuyo punto final o extremo es

B

.

La longitud del segmento

AB

, definida una unidad de medida, es la magnitud o módulo del vector y se representa

AB

. La inclinación del vector

AB

es la de la recta

AB

(Toda recta determina una inclinación y todas las rectas y segmentos paralelos a ella tienen la misma inclinación), y el sentido, dada una inclinación, es en el que se hace el recorrido de

A

hacia

B

. Inclinación y sentido constituyen la dirección del vector la cual se representa

dirAB

. En este orden de ideas, todo vector

AB

está asociado con el movimiento de una partícula en línea recta desde el punto

A

hasta el punto

B

. El vector

AB

se representa con una flecha que indica la magnitud y la dirección.

A

B

Figura 2.1. Definición geométrica de vector

a. Las letras de su punto inicial y final, en ese orden, con una flecha encima o sin ella:

AB

o

AB

b. Con una letra mayúscula o minúscula con una flecha encima:

A

a

,

i

,

v

Nota: En este texto, sin embargo y por conveniencia, se van a representar los vectores con negrilla.

Dados dos vectores

AB

y

CD

, si ocurre que al hacer coincidir su punto inicial

A

con el punto inicial

C

, también coinciden sus puntos finales

B

y

D

, se dice que

AB

es igual a

CD

, lo cual se escribe

AB CD

=

. Esto implica que

AB

y

CD

tienen la misma magnitud y la misma dirección. Todos los vectores iguales a

AB

forman una clase* _{de vectores que se denomina vector libre. Es decir todos los}

segmentos de recta dirigidos con igual módulo y dirección representan al mismo “ente” geométrico denominado vector libre, o simplemente vector. Entonces, un vector (libre) no tiene puntos inicial y final definidos sino que puede trasladarse paralelamente a si mismo sin que cambien sus características.

Definición 2.1

Un vector, geométricamente, es un segmento de recta dirigido caracterizado por una magnitud y una dirección.

Definición 2.2

a. Al vector cuyo módulo es cero se le llama vector nulo, se representa por

0

y se acepta que no tiene dirección.

b. Se denomina vector unitario a un vector cuyo módulo sea la unidad.

c. Un vector que tenga la misma inclinación y el mismo módulo que

AB

, pero sentido opuesto, se llama vector inverso el cual es único, y se escribe

BAo

AB

−

. Además, se cumple que

− −

(

AB

)

=

AB

.

d. Un vector con la misma inclinación y sentido contrario que

AB

(y cualquier

magnitud) se llama vector opuesto.

2.1.2 Definición algebraica

La definición algebraica de un vector se establece al referirlo a un espacio euclidiano n-dimensional. Es posible asociar a cada punto

P

de

E

n un vector cuyo punto inicial sea el origen de

E

n y cuyo punto final sea el punto

P

. A este vector

OP

que también se representa

R

, se le denomina vector de posición o

vector radar de P. De este modo a cada punto

P

de

E

n le corresponde un único vector

R

y cada vector

R

está asociado con un único punto de

E

n. Esta biyección permite representar al vector de posición correspondiente al punto

P

de coordenadas

( , ,..., )

x x

_{1 2}

x

_n con la misma n-ada pero escrita

x x

₁

, ,...,

₂

x

_n solo para evitar confusiones.

Definición 2.3

Algebraicamente un vector es una n-ada ordenada de números reales

1

, ,...

2 n

x x

x

en

E

n. Los

x

_i

i

=

1,2,...,

n

se llaman componentes del vector.

Un vector

x x

₁

, ,...

₂

x

_n es libre, es decir que no es necesariamente un vector de posición sino que puede tener su punto inicial en cualquier punto de

E

n, pero si se toma como vector de posición (vectores de la misma clase) su punto final tiene coordenadas

( , ,..., )

x x

_{1 2}

x

_n .

En la siguiente figura se ilustran los casos en

E

2 y

E

3.

Y

X R=<x,y,z> Z

R P(x,y,z) Y

X P(x,y)

R

R=<x,y>

Figura 2.2. Definición algebraica de vector

En

E

n, el vector nulo es

0

=

0,0,...,0

y el vector inverso de

A

=

x x

₁

, ,...,

₂

x

_n es

− = − −

A

x

₁

,

x

₂

,...,

−

x

_n

Una vez establecida la intima relación entre los vectores y el conjunto de las n-adas de números reales en un espacio euclidiano (isomorfismo entre vectores y

n

) resulta sencillo poder determinar la magnitud y la dirección de un vector si se conocen las componentes de la n-ada que lo representa.

Sea

V

=

x x

₁

, ,...,

₂

x

_n un vector de

E

n. Para determinar su magnitud y dirección, se toma Vcomo un vector de posición. De este modo:

b. La dirección de

V

se da en términos de los cosenos de los ángulos que la recta que contiene al vector de posición forma con cada uno de los semiejes positivos coordenados. Estos cosenos se llaman cosenos directores de

V

.

Definición 2.4

Dado un vector

V

=

x x

₁

, ,...,

₂

x

_n de

E

n, entonces:

a. El módulo de

V

es 2

1 n

i i

V

x

=

=



b. La dirección de V está dada por

cos( )

_i

x

i

V



=

,



_i



 

0, ,



i

=

1,2,..,

n

Actividad en clase: Ilustrar los casos de

E

2 y

E

3 y casos particulares.

2.2 ALGEBRA VECTORIAL

Sea

V

* el conjunto de los vectores. Es posible dotar a

V

*de algunas leyes de composición para construir un álgebra de vectores. Estas operaciones se definen tanto en el sentido geométrico de los vectores como en el sentido algebraico, sin embargo, las demostraciones de las propiedades se hacen algebraicamente.

2.2.1 Igualdad

a. La igualdad geométrica de vectores ya fue definida: dos vectores

A

y

B

son iguales,

A B

=

, si y sólo si tienen la misma magnitud y la misma dirección, es decir

b. En forma algebraica, los vectores

A

=

a a

₁

, ,...,

₂

a

_n y

B

=

b b

₁

, ,...,

₂

b

_n de

n

E

son iguales si y sólo si

a

_i

=

b

_i para

i

=

1,2,..., .

n

La igualdad de vectores es una relación de equivalencia lo que significa que cumple ser reflexiva, simétrica y transitiva. Para

A B C

, y

vectores,

a. Reflexiva:

A A

=

b. Simétrica: Si

A B

=

entonces

B A

=

c. Transitiva: Si

A B

=

y

B C

=

entonces

A C

=

2.2.2 Adición

a. Método geométrico: Dados

A

,

B V



*. Sea

P P

_{0 1} el segmento orientado que representa al vector

A

, el vector

B

se puede representar por medio de un segmento orientado que tenga su origen en

P

₁ y su extremo en

P

₂. Se define el vector suma

A B

+

como el representado por el segmento orientado

P P

_{0 2}. Esta se conoce como la regla del polígono para sumar vectores. (fig. 2.3)

P1 P2

P0

A

A+B B

Figura 2.3. Adición de vectores

Existe un método análogo, llamado regla del paralelogramo, el cual usted debe describir.

b. Método algebraico: Dados los vectores de

E

n,

A

=

a a

₁

, ,...,

₂

a

_n y

=

₁

, ,...,

_{2 n}

B

b b

b

, el vector

A B

+

está dado por:

+ =

₁

+

₁

,

₂

+

₂

,...,

_n

+

_n

Teorema 2.1



_V

*

_,

₊



es un grupo abeliano. Este enunciado es equivalente a decir que la adición de vectores es una OBI* _{y que cumple las siguientes propiedades :}

Para todo

A

,

B

,

C V



*:

a. Conmutativa:

A B B A

+ = +

.

b. Asociativa:

A B C

+

(

+

) (

=

A B C A B C

+

)

+ = + +

.

c. Neutro:

A

+ = + =

0 0

A A

, siendo

0

el vector nulo.

d. Inverso:

A

+ −

(

A

) 0

=

de donde

−

A

es el inverso de

A

.

Demostración de la propiedad b. para vectores en

E

3 Sean

A

=

a a a

₁

, ,

_{2 3}

,

B

=

b b b

₁

, ,

_{2 3}

,

C

=

c c c

₁

, ,

_{2 3}

Entonces

(

A B

+

)

+ =

C



_

a a a

₁

, ,

_{2 3}

+

b b b

₁

, ,

_{2 3}

_



+

c c c

₁

, ,

_{2 3}

+

+ =

₁

+

_{1 2}

+

_{2 3}

+

₃

+

_{1 2 3}

(

A B C

)

a

b a

,

b a

,

b

c c c

, ,

por suma de vectores

+

+ =

₁

+ +

_{1 1 2}

+ +

_{2 2 3}

+ +

_{3 3}

(

A B C

)

a

b c a

,

b

c a

,

b

c

por suma de vectores

+

+ =

₁

+

₁

+

_{1 2}

+

₂

+

_{2 3}

+

₃

+

₃

(

A B C

)

a

(

b c a

),

(

b

c a

),

(

b

c

)

por propiedad asociativa en la suma de reales

+

+ =

_{1 2 3}

+



_

₁

+

_{1 2}

+

_{2 3}

+

₃



_

(

A B

)

C

a a a

, ,

b

c b

,

c b

,

c

(

A B C A B C

+

)

+ = +

(

+

)

Teorema 2.2

La desigualdad triangular:

Para todo

A

,

B V



*,

A B

+



A

+

B

Actividad en clase: Demostrar el teorema 2.2.

La existencia de inversos permite definir la diferencia de vectores: para todo

A

,

*

B V



:

A B A

− = + −

(

B

)

Es decir, la diferencia entre

A

y

B

es la suma de

A

y el inverso de

B

.

a. En forma geométrica si

P P

_{0 1} es el segmento dirigido que representa a

A

y

0 2

P P

el segmento que representa a

B

, entonces el segmento dirigido

P P

_{2 1} representa a

A B

−

.

P1

P2

P0

A _A-B

B

Figura 2.4. Diferencia de vectores

b. En forma algebraica, si

A

=

a a

₁

, ,...,

₂

a

_n y

B

=

b b

₁

, ,...,

₂

b

_n entonces

− =

₁

−

₁

,

₂

−

₂

,...,

_n

−

_n

Teorema 2.3

A partir de las propiedades de grupo abeliano de



V

*

,

+



se obtienen las siguientes propiedades de la diferencia.

Para todo

A

,

B V



*

se cumplen:

a.

− +

(

A B

)

= − −

A B

b. si

A B

=

entonces

− = −

A

B

c.

0

− = −

A

A

d.

A

− =

0

A

La adición de vectores permite obtener las componentes de un vector en

E

n del cual se conocen las coordenadas de su punto inicial y de su punto final. Si V es un vector cuyo punto inicial es

P

₁

=

( , ,..., )

x x

_{1 2}

x

_n y cuyo punto final es

=

2

( , ,..., )

1 2 n

P

y y

y

entonces los vectores de posición de

P

₁ y

P

₂ son,

respectivamente,

OP

₁

=

x x

₁

, ,...,

₂

x

_n y

OP

₂

=

y y

₁

, ,...,

₂

y

_n Por adición de vectores,

OP PP OP

₁

+

_{1 2}

=

₂ de donde se obtiene que

PP OP OP

_{1 2}

=

₂

−

₁ es decir,

PP

_{1 2}

=

y

₁

−

x y

₁

,

₂

−

x

₂

,...,

y

_n

−

x

_n

Ilustración:

Si

P

₁

=

(3,4, 2,5)

−

y

P

₂

=

(1, 7,4,8)

−

, son dos puntos de

E

4, el vector

PP

_{1 2} es,

=

−

= − −

1 2 2 1

2, 11,6,3

2.2.3 Producto de un vector por un escalar

Se define una operación binaria externa en vectores por medio de así: Para todo

a



y todo

A V



*el producto de

a

y

A

es el vector

aA

.

a. En sentido geométrico

aA

tiene las siguientes características,

•

aA

=

a A

, donde

a

representa al valor absoluto de

a

.

•

aA

tiene la misma inclinación que

A

y su sentido concordante o discordante con

A

según

a

sea positivo o negativo.

En la fig. 2.5 se ilustran los vectores

A

,

3

A

y

−

2

A

.

A

3A

-2A

Figura 2.5. Producto de un vector por un real

Teorema 2.4

Para todos

A

,

B V



*

y todos

a

,

b



, se cumplen:

a.

(

a b A aA bA

+

)

=

+

b.

a A B

(

+

)

=

aA aB

+

c.

( )

ab A a bA

=

( )

d.

1

A A

=

y

−

1

A

= −

A

e.

0

A

=

0

y

a

0 0

=

Con estas propiedades {V*,+,

aA

} es un espacio lineal real.

Actividad para el estudiante: Probar estas propiedades e ilustrarlas gráficamente.

Al vector

aA

se le llama múltiplo escalar de

A

, de donde resulta obvio que dos vectores son paralelos si y sólo si uno es múltiplo escalar del otro.

Con esta idea en la mente, el vector

A

A

es paralelo a

A

por medio del escalar

1

A

si

A



0

. Este vector se representa por

U

A y se denomina vector unitario en

la dirección de

A

.

Actividad en clase: Probar que el vector

U

_A

A

A

2.2.4 Ejercicios

Ejercicios básicos.

1. Dados los vectores de

E

3,

U

=

6, 2,5

−

,

V

=

3,0,5

y

W

=

2,4, 9

−

, halle

a.

U V

+

b.

U

+

V

c.

U V

−

+

W

d.

−

3

U

+

3

U

e.

3

U

−

5

V

+

4

W

f.

W

W

g.

W

W

h.

2

U W

V

2. Halle escalares

a

y

b

tales que

a.

a

,3

=

2,

a b

+

b.

4,

b

=

a

2,3

c.

a a b

,

+ = −

b

2,6

d.

a b

−

,2,

−₄5

=

3,

a b ab

+

,

3. Si el punto inicial del vector

X

= −

2,4, 1

−

es

P

(2, 1,4)

−

, halle su punto final. Si el punto final del vector

Y

=

2,0,7

es

Q

(2,0, 7)

−

, halle su punto inicial.

tiempo. Halle el desplazamiento de la partícula en el intervalo de tiempo

 

1,7

. 5. Demuestre que la suma de los cuadrados de los cosenos directores de un vector en

E

nes igual a la unidad.

6. Halle los cosenos directores de los vectores

a.

A

= −

1,1,1

b.

B

=

7, 3, 5

− −

c.

C

=

1,2,9, 3,5

−

7. Para qué valores de

t

en reales los vectores

A

= −

t t t

, ,

−

1

y

B

=

t

,10 ,6

+

t

de

E

3 tienen un ángulo



entre ellos.

8. Dados los puntos

A

=

(3, 1,6)

−

y

B

=

(5,4,2)

de

E

3, halle las coordenadas de un punto C tal que

AC

sea el doble

AB

y

B

esté entre

A

y C.

9. Determine un vector de

E

3 cuya magnitud sea igual a la de

A

=

7, 5,12

−

y cuya dirección sea la de

B

= −

6,9, 10

−

.

10. Usando vectores verifique que los puntos de

E

2

(4, 2)

−

,

(10,8)

,

( 6,5)

−

y

(0,15)

son los vértices de un paralelogramo.

11. Un vector de

E

3 tiene magnitud

2

y dirección de modo que su ángulo con el eje

x

es



3

y con el eje

y

es



4

, halle las componentes del vector.

12. Demuestre que si

A

₁

=

x y

₁

,

₁ y

A

₂

=

x y

₂

,

₂ son vectores de

E

2, entonces

1

A

es paralelo a

A

₂ si y solo si

x y

_{1 2}

−

x y

_{2 1}

=

0

.

Ejercicios avanzados

1. Sean

A

,

B

y C puntos colineales. Si

C

divide al segmento

AB

en una razón

a

b

, es decir

=

AC

a

CB

b

, demuestre que

bOA aOB

OC

a b

+

=

+

siendo

O

un punto

exterior a la recta.

2. Halle para qué valores reales de

t

y

u

, los puntos

P

₁

(2,3)

,

P

₂

(1 ,1

+

t

+

u

)

y

3

(2 ,2 )

P t u

son colineales.

3. Usando vectores demuestre que el baricentro de un triángulo divide cada mediana en la relación

2:1

.

4. Si

A

=

(2,5)

,

B

= −

( 1,3)

y

C

=

(7,4)

son tres vértices de un paralelogramo de

2

E

, usando vectores halle las coordenadas del cuarto vértice (dos respuestas)

5. Pruebe que si

a b c

, ,



no son todos nulos, los vectores

A

=

a b c

, ,

y

=

, ,

B

ka kb kc

tienen la misma dirección si

k



0

y dirección contraria si

k



0

(

k



).

6. Halle un vector de

E

4 que tenga su punto inicial en el punto medio del segmento entre los puntos

(2,5,0, 4)

−

y

( 6,7, 2,2)

−

−

y su punto final en el punto final del vector de posición

1,2, 3,8

−

.

2.3 CONCEPTOS DEL ÁLGEBRA LINEAL.

2.3.1 Dependencia lineal

Definición 2.5

Dado un conjunto de vectores

A A

₁

, ,...,

₂

A

_r de V* y un conjunto de números reales



_i

i

=

1,...,

r

se llama vector combinación lineal (C.L) de los

A

_i

1,...,

i

=

r

a cualquier vector obtenido como

1 r

i i i

A



=



para cualquier conjunto de

valores de los



_i.

De otro modo, un vector combinación lineal es la suma de múltiplos escalares de los

A

_i,

i

=

1,...,

r

. Los



_ise llaman componentes escalares de la combinación lineal y los

A

_i componentes vectoriales.

Ilustración:

Dados los vectores

A

=

1,2,3

,

B

=

4, 3, 1

− −

,

C

= − −

5, 3,5

y

D

= −

2,1,6

.

a. Una combinación lineal de

A B C

, ,

y

D

es

−

3,4, 22

−

=

2

A

−

3

B C

+ −

6

D

b. El vector

D

se puede escribir como combinación lineal de

A B

,

y C como

141

16

67

129

129

129

D

=

A

−

B

+

C

El vector nulo puede expresarse como C.L. de cualquier conjunto de vectores. Lo más simple es que

0 0

=

A

₁

+

0

A

₂

+

...0

A

_r , la cual se denomina C.L. trivial.

Definición 2.6

Dado un conjunto de vectores

S

*

=



A A

₁

, ,...,

₂

A

_r



de

V

* ; si ocurre que la

combinación lineal

1

0

r i i i

A



=

=



se da únicamente en el caso trivial, es decir,

cuando todos los



_i

=

0

entonces se dice que los

A

_i son linealmente independientes (L.I) o que

S

*es libre o que los vectores son libres. Pero si ocurre que la C.L. se presenta para el caso no trivial (o sea sin que todos los



_i tengan que ser

0

) entonces los

A

_i son linealmente dependientes (L.D) o el conjunto

*

S

es ligado o los vectores son ligados entre si.

Ilustración: Se puede verificar que los vectores de

E

3

A

=

1,3, 2

−

,

B

=

3,1,1

y

C

=

5, 1,4

−

son L.D ya que existen escalares

a b

,

y

c

diferentes de cero tales que

aA bB cC

+

+

=

0

.

Una de las infinitas posibilidades es que

a

= −

2,

b

=

4

y

c

= −

2

. Efectivamente

2

A

4

B

2

C

0

−

+

−

=

.

El lector deberá encontrar otra solución.

Notas:

a. Hay que tener muy en cuenta que un conjunto de vectores es L.I si y sólo si la

única CL que produce el vector nulo es la trivial.

b. Un conjunto de vectores debe o bien ser L.I o bien L.D pues estos son eventos mutuamente excluyentes.

c. Si

S

*

=

 

A

y

A



0

, entonces

S

*es libre.

Actividad en clase: Justificar las proposiciones c. y d.

Teorema 2.5

a. Dos vectores son paralelos si y sólo si son L.D.

b. Dos vectores son no paralelos si y sólo si son L.I.

c. Tres vectores son coplanares si y sólo si son L.D. d. Tres vectores son no coplanares si y sólo si son L.I.

Actividad en clase: Demostrar algunos de estos enunciados

Teorema 2.6

a. Un conjunto

S

*de vectores es L.D si y sólo si al menos un vector de

*

S

puede expresarse como CL del resto de vectores de

S

*.

b. Un conjunto

S

*

=



A A

₁

, ,...,

₂

A

_m



de vectores de

E

nes L.D si

m n



, esto equivale a decir que si

S

*es libre entonces

S

*tienen a lo sumo

n

vectores.

Demostración del teorema 2.6 a.

Como este teorema es un bicondicional, demostremos uno de los condicionales: Si el conjunto

S

*

=



A A

₁

, ,...,

₂

A

_n



es un conjunto de vectores L.D, al menos un vector es C.L. del resto.

Por la definición de vectores L.D:

1 1

A

2

A

2

...

n

A

n

0



+



+ +



=

con al menos un



_i



0

Sin perder generalidad hagamos



₁



0

, entonces por operaciones con vectores:

2 3

1 2 3

1 1 1

...

n

n

A



A



A



A







Sustituyendo los





+

−

1

1

i _por



_,

₌

_2,3,...,

j

j

n

nos queda:

1 2 2 3 3

...

n n

A

= −



A

−



A

− −



A

, lo cual nos dice que un

A

_i de

S

*se puede

expresar como C.L de los restantes vectores.

2.3.2. Ejemplos

Si {

A B C

, ,

} es un conjunto de vectores L.I, pruébese que {

A B A C B C

+

,

+

,

+

} también es L.I.

Solución:

Acudiendo a la definición de vectores L.I, se debe cumplir que:

1

(

A B

)

2

(

A C

)

3

(

B C

) 0



+

+



+

+



+

=

solo si

 

₁

,

₂y



₃son cero.

Por las propiedades de espacio vectorial de

V

*

1

A

1

B

2

A

2

C

3

B

3

C

0



+



+



+



+



+



=

También,

(

 

₁

+

₂

)

A

+

(

 

₁

+

₃

)

B

+

(

 

₂

+

₃

)

C

=

0

y como

A B

,

y Cson L.I, entonces

 

₁

+

₂

=

0

 

₁

+

₃

=

0

 

₂

+

₃

=

0

Solución:

Dos vectores L.D son paralelos, entonces se debe cumplir que

=

+

−

,

,

a b

k a b a b

porque dos vectores son paralelos si uno es múltiplo escalar del otro.

De ahí que

a k a b

=

(

+

)

y

b k a b

=

(

−

)

.

De la primera ecuación

k

a

a b

=

+

a

 −

b

, reemplazando en la segunda

(

)

a

b

a b

a b

=

−

+

;

2 2

₂

₀

a

− −

b

ab

=



a b

=

(1



2)

que es la condición pedida.

2.3.3 Base de un En

Definición 2.7

Se llama base de

E

n a un conjunto

B

* no vacío que cumple que:

a.

B

* tiene exactamente

n

vectores

b. Los vectores de

B

* son L.I.

De este modo cualquier vector de

E

n es una CL de los elementos de

B

*. En álgebra lineal esto se expresa diciendo que

B

* es un generador de

E

n o que

*

B

genera a

E

n.

Teorema 2.7

Definición 2.8

Se llama la base canónica de

E

n al conjunto

B

*

=



U U

₁

, ,...,

₂

U

_n



donde

=

=

=

1

1,0,...,0 ,

2

0,1,...,0 ,...,

n

0,0,...,1

U

U

U

La base canónica es la base más simple y más usada de un

E

n.

En el caso particular de

E

2, la base canónica es

 

i j

,

con

i

=

1,0

y

j

=

0,1

.

Como vectores de posición

i

y

j

van asociados a los ejes coordenados

x

y

y

(figura 2.6). Cualquier vector

x y

,

de

E

2 se puede escribir como CL de

i

y

j

:

=

+

V xi y j

X

Y P(x,y)

i

yj j

xi V

V=<x,y>=xi+yj

Figura 2.6. Base canónica en E2

Los vectores

xi

y

y j

se llaman componentes ortogonales de

V

.

En

E

3, la base canónica es

 

i j k

, ,

siendo

i

=

1,0,0

,

j

=

0,1,0

y

=

0,0,1

k

, los cuales van asociados a los ejes

x y

,

y

z

cuando se toman como

vectores de posición. Todo vector

x y z

, ,

de

E

3 es una CL de

i j

,

y

k

:

=

+

+

z

zk

xi

xi+yj Y

X

i j

k V

yj

V=<x,y,z>=xi + yj + zk

Figura 2.7. Base canónica en E3

, ,

xi y j zk

son las componentes ortogonales de

V

.

2.3.4. Ejemplos

1. Pruebe que

B

*

=



1,3 , 2, 1

−



es una base de

E

2. Solución:

i) Basta probar que los vectores son L.I, es decir que



₁

1,3

+



₂

2, 1

− =

0,0

tiene como única solución que

 

₁

=

₂

=

0

. Esto resulta evidente a simple vista pues los vectores no son paralelos ya que no son múltiplos escalares.

ii) Podemos verificar que

B

* genera a

E

2 lo que equivale a que



₁

1,3

+



₂

2, 1

− =

x y

,

tiene solución para cualquier

x y

,

.

Efectivamente:



₁

+

2



₂

=

x

3

 

₁

−

₂

=

y

de donde ₁

2

7

x

y



=

+

y ₂

3

7

x y

2. Pruebe que

B

*

=



3,0,5 , 1,4,2 , 7, 3,4

−

−



es una base de

E

3. Solución:

i) Para probar que

B

*es libre, se plante la CL igual al vector nulo:



₁

3,0,5

+



₂

−

1,4,2

+



₃

7, 3,4

−

=

0,0,0

de aquí se obtiene:

3

 

₁

−

₂

+

7



₃

=

0

4



₂

−

3



₃

=

0

5



₁

+

2



₂

+

4



₃

=

0

al resolver este sistema para

 

₁

,

₂y



₃ se encuentra que que

 

₁

=

₂

=



₃

=

0

es la única solución lo que significa que los vectores son L.I.

ii) Podemos verificar qque

B

*genera a

E

3 ale establecer la CL para cualquier vector

x y z

, ,

de

E

3

=

+ −

+

−

, ,

3,0,5

1,4,2

7, 3,4

x y z

a

b

c

lo que equivale a:

x

=

3

a b

− +

7

c

y

=

4

b

−

3

c

z

=

5

a

+

2

b

+

4

c

la solución de este sistema para

a b

,

y

c

arroja que

22

18

25

59

x

y

z

a

=

−

−

+

15

23

9

59

x

y

z

b

=

+

−

20

11

12

59

x

y

z

Es decir que

a b

,

y

c

existen para cualquier valor de

x y

,

y

z

, por lo tanto se puede encontrar la CL de

B

*para cualquier vector de

E

3. Por ejemplo, para

1,1,1

a

=

−₅₉15

,

b

=

29₅₉

,

c

=

19₅₉

En efecto:

1,1,1

=

−₅₉15



3,0,5

 +  −

29₅₉

1,4,2

 +  −

19₅₉

7, 3,4



3. Dado el conjunto de vectores de

E

2

B

*

= − −



1, 1 , 2,2 , 1,1

−



a) Verifique si

V

*es una base de

E

2.

b) Exprese el vector

−

1,1

como una combinación lineal de

B

*de modo que la suma de los soportes escalares de la combinación lineal sea 1.

Solución:

a)

B

*no puede ser una base de

E

2 ya que contradice la definición 2.7 que dice que una base de

E

n tiene

n

vectores.

b) Aunque

B

*no sea base es posible expresar el vector

−

1,1

como C.L. de

B

*. Con la condición dada.

−

1,1

= − − + −

a

1, 1

b

2,2

+

c

1,1

Con

a b c

+ + =

1

De esto se obtiene el sistema

− −

a

2

b c

+ = −

1

(1)

− +

a

2

b c

+ =

1

(2)

a b c

+ + =

1

(3)

Definición 2.9

Dada una base de

E

n,

B

*

=



B B

₁

, ,...,

₂

B

_n



:

a) Si ocurre que los elementos de

B

*son ortogonales entre si, entonces se dice que

B

*es una base ortogonal.

b) Si los elementos de

B

*son vectores unitarios, es decir

B

_i

=

1

para

1,2,3,...,

i

=

n

, entonces se dice que la base está normalizada.

c)

B

*es una base ortonormal si cumple las dos condiciones anteriores.

La base canónica definida antes es el ejemplo más claro de una base ortonormal.

2.3.5 Ejercicios

1. Sean los vectores de posición de los puntos

P P

₁

,

₂ y

P

₃ en

E

2,

OP

₁

= +

2

i

3

j

,

=

+

2

4

OP

i y j

y

OP

₃

=

5

i

. Halle analíticamente el valor de

y

de modo que

1

,

2

P P

y

P

₃ sean colineales.

2. En cada caso verifique si el conjunto de vectores dados es L.I. o L.D.

a.

A

*

=



1,3 , 2,8



b.

B

*

= −



6,4,2 , 5, 3,16

−



c.

C

*

= −



3,7,12 , 6,1, 5 , 3,1,0

−



d.

D

*

=



1,3, 1 , 6, 2,5 , 5, 5,6

−

−

−



e.

E

*

=



1,2,3,4 , 0,1,3,7 , 2,0, 1,10

−



3. En cada caso verifique si el conjunto dado es una base de

E

n:

b.

B

*

=



1,2,3 , 3,2,1 , 2,3,1



en

E

3

c.

B

*

=



1,1,2 , 2,2,3 , 3,3,3



en

E

3

d.

B

*

=



5,3,1 , 1,0, 1 , 7,3, 4

−

−

−



en

E

3

4. Si



A B

,



es una base de

E

2, muestre que



A B kA

,

+



también es una base de

E

2 para cualquier escalar

k

.

5. Dados los vectores de

E

3

A

=

1,1,4

,

B

=

1, 1,0

−

y

C

=

0,2, 2

−

, demuestre que son L.I. y expresar el vector

D

=

3,5,2

como su combinación lineal.

6. Dados los vectores de

E

3:

A

=

1,2,3

,

B

=

4, 3, 1

− −

,

C

= − −

5, 3,5

,

= −

2,1,6

D

Halle:

a.

D

como combinación lineal de

A B

,

y C.

b.

A

como combinación lineal de

3 y 2

B

D

.

c.

C

como combinación lineal de

A B D A

+

,

−

y

A D

+

.

d. Escalares

a

y

b

tales que

a A B

(

+

)

+

b C D

(

+

) 0

=

7. Pruebe que si

A

,

B

,

C V



* son L.I., entonces

a. Los vectores

A

+

2

B C A

+

,

+

3

B

−

2

C

y

A B

+ +

4

C

son L.D.

b. Los vectores

A B A C

+

,

−

y

B C

+

son L.I.

8. . Sean

A

=

1,1,1 ,

B

=

0,1,1

y

C

=

1,1,0

vectores de

E

3

a. Muestre que

A B

,

y C son L.I.

b. Halle un vector

D

tal que

A B

,

y

D

sean L.D.

10. Pruebe que el vector nulo no puede ser parte de una base de

E

n.

11. Pruebe que si

m

+

1

vectores de

E

n son L.I, entonces

m

vectores de estos también son L.I y que si

m

vectores son L.D entonces

m

+

1

también son L.D.

12. Sean

A

=

1, 1,2 ,

−

B

=

3,1, 4

−

y

C

=

2, 3, 1

− −

. ¿Será posible expresar a

A

como C.L de

B

y C?

13. ¿Para qué valores de





, los vectores

A

=

1, , 1 ,



−

B

=

2 ,5,3



y



=

4 ,1,0

C

son L.I.?, ¿y L.D?

13. Halle el valor de

t

para que en cada caso el conjunto de vectores sea L.D: a)



2, 7 , , 3

−

t

−



b)



2,1,0 , 3, 5,2 , 1,4,

−

t



2.4 OTRAS OPERACIONES CON VECTORES

2.4.1 Ángulo entre dos vectores

Para determinar el ángulo entre dos vectores de

E

n no paralelos y diferentes del vector nulo, se hacen coincidir sus puntos iniciales. El ángulo es entonces el de menor medida que forman las rectas que contienen a los dos vectores.

Teorema 2.8

cos( )

1

n i i i

x y

A B



₌



=

Actividad en clase: Probar el teorema anterior en

E

2.

Ilustración: El ángulo entre los vectores de

E

3

A

=

7,3,5

y

B

= −

2,4,1

es



₌

−



− +

+











1

14 12 5

cos

83 21



=

−



_



_

=





1

3

cos

85.9

1743

2.4.2 Producto interior de vectores

A continuación se va a definir una operación binaria entre vectores que da como resultado un escalar. Esta operación se conoce como producto interior o producto punto euclidiano o bien producto escalar.

Definición 2.10

Sean dos vectores de

E

n,

A

=

x x

₁

, ,...,

₂

x

_n y

B

=

y y

₁

, ,...,

₂

y

_n . El producto interior de

A

y

B

es el número real simbolizado

A B

•

y definido como:

_{1 1 2 2}

1

...

n

i i n n

i

A B

x y

x y

x y

x y

=

• =



=

+

+ +

Si

A

=

0

ó

B

=

0

,

A B

• =

0

La expresión anterior se conoce como la forma geométrica del producto interior y establece que este producto es invariante respecto al sistema de referencia ya que el resultado es el mismo aunque se cambie el sistema de referencia o, inclusive, aunque no haya ninguno, es decir, el producto interior se puede obtener para todo par de vectores

A

,

B

de

V

*

Teorema 2.9

El producto interior cumple las siguientes propiedades para todo

A

,

B

y

C V



* y todo escalar

r s

,

:

a. Simetría:

A B B A

• = •

b. Bilinealidad: esta propiedad incluye dos partes, i)

A B C

•

(

+

)

= • + •

A B A C

(

A B C A C B C

+

)

• = • + •

ii)

r A B

(

•

)

=

rA B A rB

• = •

c. Positividad definida:

A A

• 

0

y

A A

• =

0

sólo si

A

=

0

d.

A

• =

0 0

e.

( ) ( )

rA

•

sB

=

rs A B

(

•

)

Actividad en clase: Demostrar algunas de estas propiedades.

Teoremas 2.10

A partir de la definición y las propiedades del producto interior se puede concluir que:

b. Si

A



0

y

B



0

entonces

A B

• =

0

si y sólo si

A

y

B

son perpendiculares.

c.

A B

• 

A B

. Esto se conoce como la desigualdad de Cauchy-Schwarz. d. Si

V

=

x x

₁

, ,...,

₂

x

_n es un vector de

E

n

−

 

0

y



U U

₁

, ,...,

₂

U

_n



es la base

canónica de

E

n entonces los cosenos directores de

V

están dados como

cos( )

i

i

V U

V



=

•

Actividad en clase: Demostrar este teorema.

El significado físico más simple del producto interior se relaciona con el trabajo mecánico realizado por una fuerza

F

que desplaza un objeto en línea recta un



r

. El trabajo de esta fuerza es

T F

= • 

r

Nota: Con la definición de producto punto una base

B

*

=



B B

₁

, ,...,

₂

B

_n



de

E

nes ortonormal si se cumple:

0

1

i j

B B

•

_{= }





i j

i j



=

Ejemplos

1. Usando el producto interior pruebe que si

a



y

A V



*entonces

aA

=

a A

Solución:

=

a A A a A

• =

.

2. Demuestre la desigualdad triangular: para todo

A

,

B V



*

A B

+



A

+

B

Solución:

Del teorema 2.10 a),

A B

+

2

=

(

A B

+

) (

•

A B

+

)

por propiedad de bilinealidad,

= • + • + • + •

A A A B B A B B

Por propiedad de la simetría,

= • +

A A

2(

A B

•

)

+ •

B B

y de nuevo el teorema 2.10 a),

=

A

2

+

2(

A B

•

)

+

B

2 por la desigualdad de Cauchy-Schwarz

(

)

+

2

=

2

+

•

+

2



2

+

+

2

2

2

A B

A

A B

B

A

A B

B

Es decir,

A B

+

2



(

A

+

B

)

2 como

A B

+

y

A

+

B

son números positivos,

A B

+



A

+

B

.

3. Dados

A

,

B

y

C V



*

−

 

0

de modo que

A B

⊥

y

A C

⊥

, demuestre que

A

es perpendicular a



B

+



C

para todo



y





.

Solución:

Puesto que

A B

⊥

y

A C

⊥

se cumple que

0

A B

• =

y

A C

• =

0

Ahora, si el producto interior entre

A

y



B

+



C

es cero, estos vectores son perpendiculares, por tanto

(

)

(

)

(

)

(

) 0

A

•



B

+



C

=

independiente de que valores tomen



y



y la proposición queda demostrada.

2.4.3 Vector proyección

Un significado del producto interno lo da la proyección de un vector sobre otro. Definición 2.11

Sean

A B V

,



*

−

 

0

dos vectores no paralelos y



el ángulo entre ellos. Si

A

y

B

tienen el mismo punto inicial, se llama vector proyección de

A

sobre

B

, escrito

P

_{A B}, al vector cuyo punto inicial es el punto inicial común y cuyo punto final es el pie del segmento perpendicular trazado desde el punto terminal de

A

a la recta que contiene a

B

.

Según sea el ángulo entre

A

y

B

se pueden presentar 3 situaciones que se ilustran en seguida:

 A B  A A

B PA/B B

PA/B / 0 2 cos      = A B

P A /

2 0 A B P   = = / 2 cos       = − A B P A

Figura 2.8. Proyección de un vector en otro

Teorema 2.11

2

(

)

A B

A B

P

B

B

•

=

Demostración:

T

N

D

M

Figura 2.9. Teorema 2.12

Sean

MN B

=

MT A

=

MD P

=

_{A B} es la proyección ortogonal de

A

sobre

B

DT C

=

P

_{A B}

=



B

con



 −

 

0

(1) por ser

P

_{A B} y

B

paralelos Como

B

y C son ortogonales,

B C

• =

0

(2)

A MD TD

=

+

=



B C

+

(3) por suma de vectores

C A

= −



B

(4)

B A

•

(

−



B

) 0

=

(5) Al reemplazar (4) en (2)

B A

• −



(

B B

•

) 0

=

(6) Por bilinealidad

A B

₂

B



=

•

(8)

P

_{A B}

A B

₂

B

B



_



= 

_



_





(9) al reemplazar (8) en (1)

Al número real dado por

A

cos( )



se le denomina proyección escalar de

A

sobre

B

. De este modo se puede decir que

A B

•

es el producto entre la proyección escalar de

A

sobre

B

y el módulo de

B

o entre la proyección escalar de

B

sobre

A

y el módulo de

A

.

Ejemplo

Dados

A

=

1,2,3

y

B

=

4,5,6

vectores de

E

3, exprese el vector

A B

+

como CL de

P

_{A B} y

P

_{B A} .

Solución:

Del teorema 2.11,

P

_{A B}

(

A B

₂

)

B

B

•

=

y

P

_{B A}

(

A B

₂

)

A

A

•

=

la combinación lineal queda:

A B rP

+ =

_{1 A B}

+

r P

_{2 B A} con

r

₁ y

r

₂



r

₁

(

A B

₂

)

B r

₂

(

A B

₂

)

A

B

A



_•





_•



=

_

_

_

_

+

_

_

_

_









Para que esta ecuación sea cierta,

(

A B

)

₁

con lo que,

=

=

•

2

1

77

32

B

r

A B

Y

=

=

•

2

2

14

32

A

r

A B

y así:

77

14

32

A B

32

B A

A B

+ =

P

+

P

2.4.4 Producto vectorial

El producto vectorial, también llamado producto exterior o producto cruz, tiene importantes aplicaciones en la mecánica en tres dimensiones. Esta operación es específica para vectores en tres dimensiones y no se generaliza en forma natural para dimensiones mayores.

Definición 2.12

Sean

A

=

x y z

₁

, ,

_{1 1} y

B

=

x y z

₂

, ,

_{2 2} vectores de

E

3 ; el producto vectorial de

A

y

B

es una operación binaria interna que se representa

A B



y se define como:

A B

 =

y z

_{1 2}

−

y z x z

_{2 1}

,

_{2 1}

−

x z x y

_{1 2}

,

_{1 2}

−

x y

_{2 1}

Nota:

 =

_{1 1 1}

=

1 1

−

1 1

+

1 1

2 2 2 2 2 2

2 2 2

i

j

k

y

z

x

z

x

y

A B

x

y

z

i

j

k

y

z

x

z

x

y

x

y

z

=

(

y z

_{1 2}

−

y z i

_{2 1}

)

+

(

x z

_{2 1}

−

x z j

_{1 2}

)

+

(

x y

_{1 2}

−

x y k

_{2 1}

)

Teorema 2.12

El producto vectorial cumple las siguientes propiedades: Para todo

A B

,

y

C E



3 y todo número real

a b

,

,

a. Anticonmutativa:

A B

 = − 

(

B A

)

b. Antiasociativa:

A B C



(



) (



A B C



)



c. Distributiva respecto a la suma:

A B C



(

+

)

=  + 

A B A C

y

(

A B C A C B C

+

)

 =  + 

d.

a A B

(



) ( )

=

aA B A aB

 = 

( )

e.

aA bB ab A B



=

(



)

f.

A A

 =

0

g.

A

 =  =

0 0

A

0

Actividad para el estudiante: demostrar estas propiedades

Se puede establecer que la forma geométrica del producto vectorial de dos vectores

A

y

B

de

E

3 tiene las siguientes características:

b. El vector

A B



es perpendicular a

A

y a

B

y por ende al plano que determinan.

c. El sentido de

A B



, de los dos posibles, lo da la regla de la mano derecha.

AxB

B

A

Figura 2.10. Producto exterior de vectores

Además, con base en el producto vectorial es posible probar las proposiciones que se presentan en el siguiente teorema.

Teoremas 2.13

Si

A B E

,



3

−

 

0

, entonces

a.

A B



da el área del paralelogramo que

A

y

B

determinan. b.

A

y

B

son paralelos si y sólo si

A B

 =

0

c.

A B



2

=

A B

2 2

−

(

A B

•

)

2 que se conoce como la identidad de

Lagrange.

Actividad en clase: probar las partes a y b de este teorema. La parte c se prueba en seguida.

Ejemplos