Funciones vectoriales de varias variables

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(1)

´Indice

´Indice I

1. Funciones vectoriales de varias variables 2

1.1. Funciones vectoriales de varias variables . . . 2

1.2. Limites de una funci´on vectorial de varias variables . . . 4

1.3. Continuidad de una funci´on vectorial de varias variables . . . 5

1.4. Derivadas parciales de una funci´on vectorial de varias variables . . . . 6

1.4.1. Matriz Jacobiana . . . 6

1.5. Funci´on diferenciable . . . 6

1.6. Divergencia de una funci´on vectorial . . . 7

1.7. El rotacional de un campo vectorial . . . 8

1.8. Ejercicios Propuestos . . . 9

2. Integral de Linea 12 2.1. La Integral de Linea con respecto de la longitud de arco . . . 13

2.2. Aplicaciones de la Integral de Linea a la mec´anica . . . 13

2.3. Integral de Linea y Trabajo . . . 15

2.3.1. Independencia de la trayectoria . . . 17

2.4. Campos Conservativos y Funciones Potenciales . . . 19

2.5. Teorema de Green . . . 26

2.6. La divergencia y flujo de un campo vectorial . . . 32

2.7. Ejercicios Propuestos . . . 34

3. Integrales de Superficie 38 3.1. Superficies . . . 38

(2)

´INDICE 1

3.1.1. Expresiones de una Superficie . . . 38

3.1.2. Superficie param´etrica . . . 39

3.2. ´Area de la superficie param´etrica . . . 40

3.3. Ejercicios Propuestos . . . 44

3.4. Integrales de Superficie . . . 46

3.5. Segundo tipo de Integral de Superficie . . . 49

3.6. El Flujo de un Campo Vectorial . . . 51

3.7. El Teorema de la Divergencia . . . 55

3.7.1. Ley de Gauss . . . 57

3.7.2. Ley de Coulomb . . . 58

3.7.3. Teorema de Stokes . . . 59

3.8. Ejercicios Propuestos . . . 65

Referenciales 67

(3)

Cap´ıtulo 1

Funciones vectoriales de varias

variables

En esta parte estudiaremos las funciones vectoriales de varias variables, como una generalizaci´on de los resultados obtenidos en los cap´ıtulos anteriores. Desarrollare-mos temas de c´alculo en campos vectoriales importante en la ciencia e ingenieria. Las pruebas de los resultados que se presenta se pueden encontrar en [2], [6] y [8].

Los graficos que se presentan fueron elaborados utilizando el software Derive 6.1 y winplot.

1.1.

Funciones vectoriales de varias variables

Definici´on 1.1.1. Sea F : D⊂ Rn Rm una funci´on definida sobre un conjunto

D Rn. Se dice que F es una funci´on vectorial de varias variables. Si F hace

corresponder a un vector X = (x1, x2, ..., xn) D un ´unico vector Y Rm tal que

Y =F(X) = (F1(X), F2(X), ..., Fm(X)).

A las funciones Fi :D⊂Rn→R se les llama funciones coordenadas.

Si n =m, la funci´on F se llama CAMPO VECTORIAL (en Rn).

(4)

1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLES 3

Figura 1.1: Estos vectores representan campos de velocidades de la distribuci´on del viento

superficial-Regi´on Per´u

NOTA 1.1.1. La idea de visualizar el campo vectorial F es colocar un vector

F(X)Rn de manera que su punto inicial sea X D.

Ejemplo 1.1.1. Un campo vectorial en R2 est´a definido por

F(x, y) = (−y, x)

Describa F trazando alguno de los vectores F(x, y).

Figura 1.2:

Soluci´on

(x, y) F(x,y) (1,0) (0,1)

(0,1) (-1,0)

(-1,0) (0,-1)

(0,-1) (1,0)

(5)

1.2. LIMITES DE UNA FUNCI ´ON VECTORIAL DE VARIAS VARIABLES 4

(x, y, z) F(x,y,z) (1,0,0) (-1,0,0)

(1,1,1) (-1,-1,-1)

(-1,-1,-1) (1,1,1)

Figura 1.3:

1.2.

Limites de una funci´

on vectorial de varias variables

Definici´on 1.2.1. Sea F una funci´on definida en un conjunto D Rn a valores

en Rm y sea A Rn un punto de acumulaci´on de D. Diremos que el limite de F

cuando X tiende a A es L = (l1, l2, ...lm)Rm (denotado por l´ımX→AF(X) = L )

si para cada ² > 0 es posible hallar un δ > 0 tal que kf(X)−Ak < ² siempre que

X ∈D y 0<kX−Ak< δ. Simb´olicamente:

l´ım

X→Af(X) =L⇔ ∀² >0∃δ >0/ X ∈D 0<kX−Ak< δ ⇒ kF(X)−Lk< ²

Teorema 1.2.1. Sea F : D Rn Rm donde F = (F

1, F2, ...Fm).Si A Rn un

punto de acumulaci´on deDyL= (l1, l2, ...lm)Rm diremos que l´ımX→AF(X) =L

si y solo si

l´ım

X→AF1(X) = l1 , Xl´ım→AF2(X) =l2 , . . . , Xl´ım→AFm(X) =lm

Ejemplo 1.2.1. Calcule l´ım

(x,y)(1,2)(x

2+y2,2x+y,2y)

Soluci´on l´ım

(x,y)(1,2)(x

2+y2,2x+y,2y) = ( l´ım (x,y)(1,2)x

2+y2, l´ım

(x,y)(1,2)2x+y,(x,yl´ım)(1,2)2y)

= (5,4,4)

NOTA 1.2.1.

(6)

1.3. CONTINUIDAD DE UNA FUNCI ´ON VECTORIAL DE VARIAS VARIABLES 5

1.3.

Continuidad de una funci´

on vectorial de varias

vari-ables

Definici´on 1.3.1. Sea F :D⊂Rn Rm una funci´on vectorial de varias variables

definida en un conjuntoD.

1. F es continua en un punto A∈D si y solo si

∀² >0∃δ >0/ X ∈D ∧ kX−Ak< δ ⇒ kF(X)−Lk< ²

2. F es continua en un punto A∈D que es punto de acumulaci´on de D si y solo si l´ımX→AF(X) = F(A)

Teorema 1.3.1. La funci´on F :D Rn Rm es continua en A D si y solo si

cada una de sus funciones componentes es continua en A.

Ejemplo 1.3.1. Pruebe que la funci´on

F(X, Y) =

  

³

senx−seny x−y ,e

xe−y

x+y

´

, (x, y)6= (0,0) (1,1), (x, y) = (0,0)

es continua en A= (0,0) Soluci´on

l´ım

(x,y)(0,0)

µ

senx−seny x−y ,

exe−y

x+y

=

µ

l´ım

(x,y)(0,0)

senx−seny

x−y ,(x,yl´ım)(0,0)

exe−y

x+y

Calculamos:

l´ım

(x,y)(0,0)

senx−seny

x−y =(x,yl´ım)(0,0)

2

x−ysen( x−y

2 )cos( x+y

2 ) = 1 y

l´ım

(x,y)(0,0)

exe−y

x+y =(x,yl´ım)(0,0)e

−y ex+y 1

x+y = 1 Reemplazando estos ´ultimos resultados en (1) se tiene:

l´ım

(x,y)(0,0)F(x, y) = (1,1) =F(0,0)

(7)

1.4. DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCI ´ON VECTORIAL DE VARIAS VARIABLES6

1.4.

Derivadas parciales de una funci´

on vectorial de varias

variables

Definici´on 1.4.1. Sea F :D⊂Rn Rm una funci´on vectorial de varias variables

definida en un conjunto abierto D por:

F(x1, x2, ..., xn) = (F1(x1, x2, ..., xn), F2(x1, x2, ..., xn), ..., Fm(x1, x2, ..., xn))

para todo X = (x1, x2, ..., xn) D. La derivavda parcial de F con respecto a xi se

define por:

∂ F ∂ xi

(X) = l´ım

h→0

F(x1, x2, ..., xi+h, ...xn)−F(x1, x2, ..., xn)

h , ∀i= 1,2,3, ..., n

siempre que este limite exista.

1.4.1. Matriz Jacobiana

Definici´on 1.4.2. Sea F :D⊂Rn Rm una funci´on vectorial de varias variables

definida en un conjunto abierto D y A ∈D. Se llama matriz Jacobiana de F en

A, denotado por JF(A) a la matriz m×n:

JF(A) =

    

∂ F1 ∂ x1

∂ F1 ∂ x2 . . .

∂ F1 ∂ xn

... ... . . . ...

∂ Fm

∂ x1 ∂ Fm

∂ x2 . . . ∂ Fm

∂ xn

    

Si m=n a la determinante de esta matriz se le llama Jacobiano de F.

1.5.

Funci´

on diferenciable

Definici´on 1.5.1. Sea F :D⊂Rn Rm una funci´on vectorial de varias variables

definida en un conjunto abierto D y A∈ D.Se dice que F es diferenciable en A si existeJF(A)y adem´as de esto, para todo vectorV = (α1, α2, ...αn)tal queV+A∈D

se cumple que

l´ım

V→−→0

(f(A+V))1(f(A))1(JF(A))m×n(V)1

||V || =

0

(8)

1.6. DIVERGENCIA DE UNA FUNCI ´ON VECTORIAL 7

NOTA 1.5.1. Una funci´on F : D Rn Rm definida en un conjunto abierto

D, es diferenciable en A ∈D si y solo si lo son cada una de sus funciones compo-nentes F1, F2, ..Fm. Se puede entonces estudiar la diferenciabilidad de F en A bien

directamente o bien a trav´es de sus componentes.

Teorema 1.5.1. Sea F : D Rn Rm una funci´on vectorial de varias variables

definida en un conjunto abierto D y continua en A ∈D. Si la matriz Jacobiana de

F es continua en A entonces F es diferenciable en A.

Ejemplo 1.5.1. Sea F(x, y, z) = (xyz, z ex y2

). ¿Es F diferenciable en cualquier punto (x, y, z)R3.

Soluci´on

JF(x, y, z) =

yz xz xy

2y2exy2

2xyzexy2

exy2

 

Esta matriz es continua en todo R3 (pues sus entradas son funciones continuas en

R3) entonces por el teorema anterior F es diferenciable en (x, y, z).

1.6.

Divergencia de una funci´

on vectorial

Supongamos que tenemos la funci´on con valores vectoriales

F(x, y, z) = P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))

con funciones componentes diferenciables P, Q y R. Entonces la divergencia de F denotado pordiv F es la funci´on escalar definida como sigue:

div F =∇. F = ( ∂ x,

∂ y,

∂ z).(P, Q, R) = ∂ P

∂ x + ∂ Q

∂ y + ∂ R

∂ z

NOTA 1.6.1.

El operador se llamaoperador nabla.

Ejemplo 1.6.1. Si el campo vectorial F est´a dado por:

F(x, y, z) = (x ey, z seny , x y Lnz)

(9)

1.7. EL ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL 8

Soluci´on div F =

∂ x(x e

y) +

∂ y(z seny) +

∂ z(x y Lnz) = e

y+z cosy+ x y

z

div F(3,0,2) = 1 + 2cos(0) + 0 = 3

Teorema 1.6.1. Si F y G son dos funciones vectoriales entonces se cumplen:

∇.(a F +b G) = a∇. F +b∇. G

∇.(f F) = f∇. F +∇f . F

donde f es una funci´on escalar , a y b son constantes.

Definici´on 1.6.1. Una funci´on escalar φ se dice arm´onica si es continua, tiene segundas derivadas continuas y satisfacen la ecuaci´on de Laplace

2φ

∂ x2 +

2φ

∂ y2 +

2φ

∂ z2 =

2φ = 0

1.7.

El rotacional de un campo vectorial

El rotacional del campo vectorialF(x, y, z) =P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k denotado porrot F se difine como:

rot F =∇ ×F =

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

i j k

∂ x ∂ y∂ ∂ z∂

P Q R

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

=

µ

∂R ∂ y

∂Q ∂ z ,

∂P ∂ z

∂R ∂ x,

∂Q ∂ x

∂P ∂ y

Observaci´on 1.7.1.

∇ ×F no necesariamente es perpendicular a F.

Propiedades

Sean F y Gdos funciones vectoriales y φ una funci´on escalar, entonces: 1. ∇ ×(F +G) =∇ ×F +∇ ×G

2. ∇ ×(∇φ) = 0 siempre que φ sea de clase C2 enR3.

3. ∇.(∇ ×F) = 0 siempre que F sea de clase C2 enR3.

(10)

1.8. EJERCICIOS PROPUESTOS 9

5. ∇ ×(∇ ×F) = (∇. F)− ∇2F

NOTA 1.7.1.

Un campo vectorial de divergencia nula se dice Solenoidal Sirot F = 0,el campo F de denominairrotacional.

(B×C) = (A . C)B−(A . B)C

Ejemplo 1.7.1. Sea el campo vectorial F = ra~r, donde ~r = (x, y, z) y

r = ||~r|| 6= 0. Encuentre el valor de la constante a, para que F sea un campo solenoidal.

soluci´on

Sabemos que un campo vectorial F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) es solenoidal si su divergencia es nula, es decir,

∇.F(x, y, z) = ∂P ∂x +

∂Q ∂y +

∂R ∂z = 0

Dado queF(x, y, z) = (

P

(x2+y2 +z2)a2 x,(x2+y2Q+z2)a2 y,(x2+y2R+z2)a2 z),

derivan-do se tiene:

∂P ∂x = (x

2+y2 +z2)a21[(a+ 1)x2+y2+z2]

∂Q ∂y = (x

2+y2+z2)a

21[x2+ (a+ 1)y2+z2]

∂R ∂z = (x

2+y2+z2)a

21[x2+y2+ (a+ 1)z2]

Sumando estos resultados se obtiene: ∂P

∂x + ∂Q

∂y + ∂R

∂z = (x

2+y2+z2)a21(a+ 3) [x2+y2+z2]

Por lo tanto, el campo vectorialF es solenoidal si a=3.

1.8.

Ejercicios Propuestos

1. Trace el campo vectorial F dibujando un diagrama:

(11)

1.8. EJERCICIOS PROPUESTOS 10

2. Encuentre el campo vectorial gradiente def: a)f(x, y) =Ln(x+ 2y) b). f(x, y, z) = xcos(y/z)

3. a) Trace el campo vectorial F(x, y) = i+xj y luego trace algunas lineas de flujo.¿Qu´e forma parecen tener estas lineas de flujo?

b) Si las ecuaciones param´etricas de las lineas de flujo son x=x(t),y =y(t), ¿cuales ecuaciones diferenciales satisfacen estas funciones? Deduzca que dy/dx=x.

c) Halle la ecuaci´on de la trayectoria seguida por una part´ıcula, que parte del origen de coordenadas y se mueve en el campo de velocidades dada por F. 4. Razonar la certeza o falsedad de las afirmaciones siguientes:

a) No existe l´ım

(x,y)(0,0)

µ

x2+y3

x2+y2, x

2, sen(y2)

b) Si f(x, y) = (x2+y, xy2) entonces el jacobiano de f en el punto (1,0)

es -1.

c) La funci´onF(x, y) = (p|x y|, xcosy) no es diferenciable en el origen.

d) Sea f : R2 R2 con f(0,0) = (1,1) y g : R2 R con g(x, y) = x2+y.

Seah =g◦f. Si la matriz jacobiana de la funci´onf en (0,0) es

  1 1

2 3

 

entonces ∂h

∂x(0,0) = 4 y ∂h∂y(0,0) = 5.

e) Seanf y g funciones deR2 R2 conf(1,1) = (2,2). La matriz jacobiana

de la funci´onf en el punto (1,1) es

  0 1

1 3

y la matriz jacobiana de la

funci´on g en el punto (2,2) es

  1 1

1 2

. Entonces la matriz jacobiana de

la funci´on compuesta g◦f en el punto (1,1) es

  1 2

4 7

 .

5. Se considera el campo vectorialF = (x2yz, xy2z, xyz2). Calcule su divergencia

y su rotacional.

(12)

1.8. EJERCICIOS PROPUESTOS 11

7. Seaaun vector constanteRel vector posici´on. Se considera el vectorv =a×R. Demuestre que div v= 0

8. Sea f un campo escalar yF un campo vectorial. Pruebe que rot(f F) =∇f×

F +f rotF.

(13)

Cap´ıtulo 2

Integral de Linea

Para definir la integral de linea, comencemos imaginando un alambre delgado con la forma de una curva suave C con extremos A y B. Supongamos que el alam-bre tiene una densidad variable dada en el punto (x, y, z) por la funci´on contin-ua conocida f(x, y, z) en unidades tales como gramos por cent´ımetro (lineal)[12].

Figura 2.1:

Sea α(t) = (x(t), y(t), z(t) ) , t [a, b] una parametrizaci´on suave de la curvaC, dondet=a corresponde al punto inicialAde la curva yt=b corresponde al punto finalB.

Para aproximar la masa total m del alambre curvo, comenzamos con una partici´on

a = t0 < t1 < t2 < ... < tn = b de [a, b] en

n subintervalos, todos con la misma longitud ∆t = (b −a)/n esta subdivisi´on de puntos de [a, b] produce, por medio de nuestra parametrizaci´on, una divisi´on f´ısica del alambre en cortos segmentos curvos. Sea Pi el punto (x(ti), y(ti), z(ti)) para

i= 0,1,2, ...n. Entonces los puntos P0, P1, ..Pn son los puntos de subdivisi´on de C

Sabemos que la longitud de arco ∆Si del segmento de C dePi−1 aPi es

∆Si =

Z ti

ti−1

p

(x0(t))2+ (y0(t))2+ (z0(t))2dt =p(x0(t

i))2+ (y0(t∗i))2+ (z0(t∗i))2∆t

para alg´unt∗

i [ti−1, ti]. Este ´ultimo resultado es consecuencia del teorema del valor

medio para integrales.

Como la masa es el producto de la densidad por la longitud entonces tenemos

(14)

2.1. LA INTEGRAL DE LINEA CON RESPECTO DE LA LONGITUD DE ARCO 13

una estimaci´on de la masa totalm del alambre: m

n

X

i=1

f(x(ti), y(ti), z(ti))∆Si.

El limite de esta suma cuando ∆t0 debe ser la masa realm. Esto motiva nuestra definici´on de la integral de linea de la funci´on f a lo largo de la curva C que se

denota por Z

C

f(x, y, z)dS

2.1.

La Integral de Linea con respecto de la longitud de arco

Definici´on 2.1.1. Sea f :D R3 R una funci´on continua en cada punto de la

curva param´etrica suave C de A a B. Entonces la integral de linea de f a lo largo de C de A a B con respecto de la longitud de arco se define como:

Z

C

f(x, y, z)dS=

Z b

a

f(α(t))kα0(t)kdt

donde α(t) = (x(t), y(t), z(t)), t∈[a, b]

y dS =kα0(t)kdt =p(x0(t))2+ (y0(t))2+ (z0(t))2dt

2.2.

Aplicaciones de la Integral de Linea a la mec´

anica

Masa de una curva Si δ = δ(x, y, z) es la densidad lineal en el punto variable (x, y, z) de la curva C entonces la masa M de la curva es igual a:

M =

Z

C

δ(x, y, z)dS

Centro de gravedad de una curva (X, Y , Z) X = 1

M

Z

C

xδ(x, y, z)dS , Y = 1 M

Z

C

yδ(x, y, z)dS , Z = 1 M

Z

C

zδ(x, y, z)dS

Momento est´atico y momento de inercia ML=

Z

C

d(x, y, z)δ(x, y, z)dS , IL=

Z

C

d2(x, y, z)δ(x, y, z)dS

donde d(x, y, z): distancia de un punto de la curva C a la recta L Momentos est´aticos respecto a los planos coordenados son:

MX Y =

Z

C

zδ(x, y, z)dS , MX Z =

Z

C

yδ(x, y, z)dS , MY Z =

Z

C

(15)

2.2. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LINEA A LA MEC ´ANICA 14

Momentos de inercia respecto a los ejes coordenados X,Y,Z son: IX =

Z

C

(y2+z2)δ(x, y, z)dS , I

Y =

Z

C

(x2 +z2)δ(x, y, z)dS

IZ =

Z

C

(x2+y2)δ(x, y, z)dS

Ejemplo 2.2.1. Calcule la integral de linea RCxydS donde C es el cuarto de cir-cunferencia en el primer cuadrante de radio uno.

Soluci´on

Sea C:x= cost , y =sent , t [0, π/2]

luego dS =p(−sent)2+ (cost)2dt =dt. Entonces

Z

C

xydS =

Z π/2

0

cost sent dt= 1 2sen

2t |π/2

0 =

1 2

Ejemplo 2.2.2. Halle la masa total de un alambre cuya forma es la de la curva

y = |x| con 1 x 1. Si la densidad de cada punto P de ´el es igual al valor absoluto del producto de las coordenadas del punto.

Soluci´on

Sabemos que M = RCδ(x, y, z)dS. Entonces calculemos M = RC|x y|dS , pero comoy =|x|, M =RCx2dS.

Figura 2.2:

C1 :y=−x⇒α1(t) = (t,−t) 1≤t <0

C2 :y =x⇒α2(t) = (t, t) 0≤t <1

M =

Z

C1

x2dS+

Z

C2

x2dS

=

Z 0

1

t2kα

10(t)kdt+

Z 1

0

t2kα

20(t)kdt

=

Z 0

1

t22dt+

Z 1

0

t22dt

= 2

(16)

2.3. INTEGRAL DE LINEA Y TRABAJO 15

2.3.

Integral de Linea y Trabajo

Ahora aproximemos el trabajo W realizado por el campo de fuerza F al mover una part´ıcula a lo largo de la curvaC de A a B, para lo cual subdividamosC.

Figura 2.3:

Se tiene queF mueve la part´ıcula desde Pi−1

hasta Pi dos puntos de divisi´on consecutivos

de C. El trabajo 4Wi realizado es

aproximada-mente el producto de la distancia 4Si de Pi−1

y Pi (medida a lo largo de C) y la componente

tangencialF.T de la fuerza F en el punto t´ıpico (x(t

i), y(t∗i), z(t∗i)) entre Pi−1 y Pi. As´ı

4Wi ≈F(x(t∗i), y(t∗i), z(t∗i)).T(t∗i)4Si

de modo que el trabajo total W est´a dado aproximadamente por:

W

n

X

i=1

F(x(ti), y(ti), z(ti)).T(ti)4Si

Esto sugiere que definamos el trabajo W como:

W =

Z

C

F.T dS

Por lo tanto el trabajo es la integral con respecto de la componente tangencial de la fuerza.

Si la curva C est´a parametrizada por α(t) con t∈[a, b] entonces:

W =

Z

C

F.T dS =

Z b

a

F(α(t)). α 0(t)

kα0(t)k

0(t)kdt=

Z b

a

F(α(t)).α0(t)dt

W =

Z b

a

F(α(t)).α0(t)dt

SiendoW el trabajo realizado por el campo de fuerzasF sobre una part´ıcula que se mueve a lo largo de una trayectoria α(t) con t∈[a, b].

Teorema 2.3.1. Supongamos que el campo de vectores F = (P, Q, R) tiene fun-ciones componentes continuas y que T es el vector tangente unitario a la curva suave C. Entonces Z

C

F.T dS =

Z

C

(17)

2.3. INTEGRAL DE LINEA Y TRABAJO 16

Observaciones

1. Si la curva C estuviera parametrizada por trayectorias diferentes que originan la misma orientaci´on de C entonces el resultado de la integral de linea sobre esas trayectorias es la misma es decir, por ejemplo:

Z

C

F(α).dα =

Z

C

F(β).dβ

Si las trayectorias α(t) yβ(t) originan orientaciones opuestas de C entonces

Z

C−1

F(α).dα =

Z

C

F(β).dβ

C−1 denota la curva C con su orientaci´on invertida.

2. CuandoC es una curva cerrada, a la integral de linea del campo vectorial F a lo largo de C se le denota por I

C

F.T dS

3. De acuerdo con la segunda ley de Newton[13], se sabe que si el cuerpo tiene masa m, entonces la fuerza que act´ua sobre ´el es igual a la rapidez de cambio del momento p=mv es decir,

F = dp d t =m

dv

dt =m α 00(t)

Sustituyendo este resulta en la integral anterior, y observando que d

dt0(t). α0(t)) =

2α00(t). α0(t), inferimos que el trabajo W est´a dado por: W =

Z

C

F.T dS =

Z

C

m α00(t). T dS

=

Z b

a

m α00(t). α0(t)dt=

Z b a d dt( m 2 α

0(t). α0(t))

= Z b a d dt( m 2

0(t)k2) =

Z b a d dt( m 2 v 2(t)) = m 2 v

2(t)|b a =

m 2[v

2(b)v2(a) ]

= K(B)−K(A)

Por tanto el trabajo realizado es igual al incremento o ganacia de la energ´ıa cin´etica del cuerpo de la part´ıcula.

(18)

2.3. INTEGRAL DE LINEA Y TRABAJO 17

Ejemplo 2.3.1. Calcule el trabajo que realiza el campo de fuerzas F(x, y, z) = (x−y+ 2z, x+y−3z2,2xz 4y2) al mover una part´ıcula alrededor de la curva

cerrada x2

4 +y2 = 1, z = 2 en sentido antihorario.

Soluci´on

Figura 2.4:

La curva C : x2

4 +y2 = 1 se puede

parametrizar por: x = 2cost

y = sent 0≤t≤2π z = 2

LuegoC : α(t) = (2cost, sent,2) t [0,2π] y α0(t) = (2sent, cost,0).

Finalmente W =

Z

C

F.T dS =

Z 2π

0

F(α(t)).α0(t)dt =

Z 2π

0

(3sent cost8sent+2cos(2t))dt = 0 Ejemplo 2.3.2.Calcule el trabajo que realiza el campo de fuerzasF(x, y) = (x2+yy2,x2+xy2)

al mover una part´ıcula alrededor de la curva cerrada C :x2+y2 = 1 en sentido

an-tihorario.

Soluci´on

La curva C :x2+y2 = 1 se puede parametrizar por:

x = cost

y = sent 0≤t 2π

LuegoC : α(t) = (cost, sent) t∈[0,2π] y α0(t) = (sent, cost). Finalmente

W =

Z

C

F.T dS =

Z 2π

0

F(α(t)).α0(t)dt =

Z 2π

0

dt= 2π

2.3.1. Independencia de la trayectoria

Sea F = (P, Q, R) un campo vectorial con funciones componentes continuas. La integral de linea de ecuaci´on

Z

C

F.T dS =

Z

C

(19)

2.3. INTEGRAL DE LINEA Y TRABAJO 18

es independiente de la trayectoria en la regi´on D si, dados dos puntos A y B de D, la integral tiene el mismo valor a lo largo de cualquier curva suave por partes o trayectoria enD de A enB. En este caso podemos escribir

Z

C

F.T dS =

Z B

A

F.T dS

debido a que el valor de la integral s´olo depende de los puntos A y B y no de la elecci´on particular de la trayectoriaC que los une.

Teorema 2.3.2 (Independencia de la trayectoria). La integral de lineaRCF.T dS

es independiente de la trayectoria en la regi´on D si y solo si F = ∇f para alguna funci´on f definida en D.

Prueba

) Supongamos que F = ∇f y que C es una trayectoria de A a B en D parametrizada porα(t) = (x(t), y(t), z(t)) en t∈[a, b]. Entonces

Z

C

F.T dS =

Z b

a

∇f(α(t)).α0(t)dt

=

Z b

a

(∂f ∂x,

∂f ∂y,

∂f

∂z).(dx(t), dy(t), dz(t)) =

Z b

a

(∂f

∂x dx(t) + ∂f

∂y dy(t) + ∂f

∂z dz(t))

=

Z b

a

df(x(t), y(t), z(t))

= f(x(b), y(b), z(b))−f(x(a), y(a), z(a)) = f(B)−f(A)

) Queda como ejercicio y puede encontrarlo en Cap. 16 pag. 917 de [2] Ejemplo 2.3.3. Sea el campo vectorial

F(x, y) =

µ

x x2+y2,

y x2+y2

(x, y)∈D={(x, y)R2 / x >0, y >0}

1. ¿La integral de linea RCF.T dS es independiente de la trayectoria C en D?

2. Si el item 1) es verdadero, eval´ue R(3(5,,4)12) x

x2+y2 dx+ x2+yy2 dy

(20)

2.4. CAMPOS CONSERVATIVOS Y FUNCIONES POTENCIALES 19

1. La integral de linea RCF.T dS es independiente de la trayectoria C en D, pues se cumple F(x, y) = ∇f(x, y) , (x, y) D donde f(x, y) = 1

2Ln(x2 +

y2), (x, y)D

2. Como la integral de linea RCF.T dS es independiente de la trayectoriaC enD,

Z (5,12)

(3,4)

F.T dS =f(5,12)−f(3,4) = 1

2(Ln(169)−Ln(25)) =Ln(13/5)

2.4.

Campos Conservativos y Funciones Potenciales

Definici´on 2.4.1. El campo vectorial F definido en una regi´on D es conservativo si existe una funci´on escalar f definida en D tal que

F =∇f

en cada punto deD. En este caso,f es una funci´on potencial para el campo vectorial

F.

Nota

La Energ´ıa potencial p de una part´ıcula en el punto (x, y, z) en un campo vectorial conservativoF se define comop(x, y, z) =−f(x, y, z), dondef es la funci´on potencial deF. El trabajo realizado por F a lo largo de una curva suaveC desdeA hastaB esta dado por:

W =

Z B

A

F . T dS =f(x, y, z)|B

A =−p(x, y, z)|BA =p(A)−p(B)

Combinando esta ecuaci´on con la obtenida para la energ´ıa cin´etica K = mv2

2 ,

con-cluimos que

K(A) +p(A) =K(B) +p(B)

lo que expresa que la suma de energ´ıa potencial y cin´etica permanece con-stante de punto a punto. Este principio se conoce como el principio de con-servaci´on de la energ´ıa1

Definici´on 2.4.2 (Conjuntos simplemente conexo en R2). Un conjunto D

R2 es simplemente conexo, si para toda curva simple cerrada contenida en D la

regi´on encerrado por dicha curva tambien est´a contenido en D [7].

1En 1840, el f´ısico ingles, Michael Faraday escribi´o:”En ninguna parte hay una creaci´on o producci´on pura de energ´ıa

(21)

2.4. CAMPOS CONSERVATIVOS Y FUNCIONES POTENCIALES 20

Intuitivamente, un conjunto D⊂R2 es simplemente conexo si no tiene agujeros.

Figura 2.5: Regi´on simplemente conexo

Figura 2.6: Regiones no simplemente conex-os

De forma similar,un conjunto D⊂R3 es simplemente conexo[7], siDfuese

de un material el´astico podr´ıa deformarse continuamente, ”sin cortes ni pegamen-tos”, a una esfera.

Figura 2.7: El toro circular no es simplemente conexo

Teorema 2.4.1 (Campo conservativo y funci´on potencial en R2). Sea D un

dominio simplemente conexo enR2. Sean las funcionesP(x, y)yQ(x, y)continuas y

que tienen derivadas parciales de primer orden continuas en D. Entonces, el campo vectorial F = (P, Q) es conservativo en D si y solo si

∂P ∂y =

∂Q

∂x en cada punto de D (α) (Para la prueba ver Cap.10 pag. 415 de [2])

Teorema 2.4.2 (Campo conservativo y funci´on potencial en R3). Sea D

un dominio simplemente conexo en R3. Sean las funciones P(x, y, z) , Q(x, y, z) y

R(x, y, z) continuas y que tienen derivadas parciales de primer orden continuas en

D. Entonces, el campo vectorial F = (P, Q, R) es conservativo en D si y solo si

∇ ×F = (0,0,0), esto es,

∂P ∂y =

∂Q ∂x ,

∂P ∂z =

∂R ∂x ,

∂Q ∂z =

∂R

(22)

2.4. CAMPOS CONSERVATIVOS Y FUNCIONES POTENCIALES 21

(Para la prueba ver Cap.10 pag. 415 de [2])

Ejemplo 2.4.1. Determine una funci´on potencial para el campo vectorial

F(x, y) = (6xy−y3,4y+ 3x23xy2)

Soluci´on

Notemos que el D=Dom(F) = R2.

Se tiene que P(x, y) = 6xy−y3 y Q(x, y) = 4y+ 3x23xy2. Luego

∂P

∂y = 6x3y

2 = ∂Q

∂x (x, y)∈D

De este ´ultimo resultado y dado que D es un conjunto simplemente conexo, por el teorema 2.4.1 concluimos queF es conservativo, entonces F =∇f. Ahora hallemos la funci´on potencial f.

Dado que F =∇f (P, Q) =

³

∂f ∂x,

∂f ∂y

´

, luego

∂f

∂x = 6xy−y3 (1)

∂f

∂y = 4y+ 3x23xy2 (2)

Luego integrando la ecuaci´on (1) se tiene

Z

df =

Z

(6xy−y3)dx f(x, y) = 3x2yy3x+h(y) (3)

Derivemos (3) con respecto ay se tiene: ∂f

∂y = 3x

23y2x+dh

dy De ´esta ´ultima ecuaci´on, y de (2) se tiene:

4y+3x23xy2 = 3x23y2x+dh

dy dh

dy = 4y h=

Z

4y dy h(y) = 2y2+c

Haciendoc= 0 en el ´ultimo resultado y luego reemplazando en (α) se obtiene una funci´on potencial f(x, y) = 3x2yy3x+ 2y2

Observaci´on 2.4.1. .

1. Se dice que P dx+Q dy y P dx+Q dy+R dz son diferenciales exactas, si cumplen (α) y(β) respectivamente.

2. Si α (o β) se cumple, pero que D no es un dominio simplemente conexo en

R2 (D no es un dominio simplemente conexo en R3) entonces una funci´on

(23)

2.4. CAMPOS CONSERVATIVOS Y FUNCIONES POTENCIALES 22

3. Notemos que la hip´otesis que D sea un dominio simplemente conexo en R2 y

enR3 en los teoremas 2.4.1 y 2.4.2 respectivamente, no se puede suprimir; esto

se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.4.2. Consideremos el conjunto abiertoU =R2−{(0,0)}y el campo

vectorial definido en U por

F(x, y) = ( −y x2 +y2,

x x2+y2)

Se tiene que P(x, y) = x2+yy2 y Q(x, y) = x2+xy2. Luego

∂P ∂y =

x2y2

(x2+y2)2 =

∂Q

∂x (x, y)∈U

En un entorno de cada punto (xo, yo) U con yo 6= 0, hallemos la funci´on f

tal que F =∇f.

∂f ∂x =

−y

x2+y2 (1)

∂f ∂y =

x

x2+y2 (2)

Luego integrando la ecuaci´on (1) se tiene

Z

df =

Z

−y

x2+y2 dx f(x, y) = −arctan(

x

y)+h(y) (3)

Derivemos (3) con respecto a y se tiene:

∂f ∂y =

x x2+y2 +

dh dy

De ´esta ´ultima ecuaci´on, y de (2) se tiene:

x x2+y2 =

x x2+y2 +

dh dy

dh

dy = 0 h(y) = c

Haciendo c= 0 en el ´ultimo resultado y luego reemplazando en (α) se obtiene la funci´on

f(x, y) =−arctan(x

y) (x, y)∈U

Por ejemplo en el semiplano P ={(x, y) R2 : y > 0}, f es un potencial de

(24)

2.4. CAMPOS CONSERVATIVOS Y FUNCIONES POTENCIALES 23

no es conservativo pues la integral de linea de F a lo largo del camino cerrado

C : α(t) = (cost, sent) , t [0,2π] es igual ay no cero como cuando se hubiera usado f.

4. Un hecho sobre el que llamamos la atenci´on es que la propiedad del campo F

de ser conservativo, es una propiedad global: se pide que haya una funci´on

f definida donde tambien est´a definido F y que en todo U se tenga que F es el campo gradiente de f.Por otra parte, la propiedad establecida en los teoremas 2.4.1 y 2.4.2 que est´a expresada en t´erminos de las derivadas parciales de las funciones coordenadas de F, es una propiedad local: Tales derivadas parciales establecen un comportamiento determinado del campo F en los alrededores del punto en que ocurre la igualdad de las derivadas parciales[11].

5. Podemos concluir entonces que la funci´on potencial f que se obtiene gracias al cumplimiento de α en los teoremas 2.4.1 y 2.4.2, se puede usar para hallar la integral de linea RCF.T dS solo si U es un dominio simplemente conexo.

NOTA 2.4.1. .

1. Una forma simple de determinar una funci´on potencial para el campo vectorial

F(x, y) siendo F conservativo es considerar como trayectoria C que una los puntos (x1, y1) y (x2, y2), la trayectoria que consta de dos segmentos que unen

los puntos (x1, y1), (x, y1) y (x, y). De acuerdo con esto, la funci´on potencial

ser´ıa:

f(x, y) =

Z x

x1

P(u, y1)du+

Z y

y1

Q(x, v)dv

donde recordemos que x1 y y1 son constantes que al final ser´an absorbidas en

una sola costantes C.

En forma similar para de determinar una funci´on potencial para el campo vec-torialF(x, y, z)siendoF conservativo es considerar como trayectoriaC que una los puntos (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2) la trayectoria que consta de tres segmentos

que unen los puntos (x1, y1, z1), (x, y1, z1), (x, y, z1) y (x, y, z). De acuerdo con

esto, la funci´on potencial ser´ıa:

f(x, y, z) =

Z x

x1

P(u, y1, z1)du+

Z y

y1

Q(x, v, z1)dv+

Z z

z1

(25)

2.4. CAMPOS CONSERVATIVOS Y FUNCIONES POTENCIALES 24

donde recordemos que x1, y1 y z1 son constantes que al final ser´an absorbidas

en una sola costantes C.

2. Usando este ´ultimo m´etodo para hallar la funcion potencial y el presentado en el ´ultimo ejemplo, se pueden obtener dos funciones potenciales para un mismo campo conservativo las cuales difieren en una constante.

Ejemplo 2.4.3. Determine una funci´on potencial para el campo vectorial

F(x, y, z) = ( y x2+y2,−

x x2+y2,3z

2)

Soluci´on

Notemos que el D=Dom(F) = R3− {(0,0, z)/ z R}.

Se tiene que P(x, y, z) = x2+yy2 , Q(x, y, z) =−x2+xy2 y R(x, y, z) = 3z2.

Luego

∂P ∂y =

x2y2

(x2+y2)2 =

∂Q

∂x (x, y, z)∈D ∂P

∂z = 0 = ∂R

∂x (x, y, z)∈D ∂R

∂y = 0 = ∂Q

∂z (x, y, z)∈D

Ahora hallemos la funci´on potencialf considerando la nota anterior:

f(x, y, z) =

Z x

x1

y1

u2+y2 1

du−

Z y

y1

x

x2+v2dv+

Z z

z1

3w2dw

= arctan(u y1

)|xx1 −arctan(v x)|

y y1 +w

3|z z1

= arctan(x y1

)−arctan(x1 y1

)−arctan(y

x) +arctan( y1

x) +z

3z3 1

= −arctan(y x) +z

3+arctan(x

y1

) +arctan(y1

x)−arctan( x1

y1

)−z3 1

= −arctan(y x) +z

3+π

2 −arctan( x1

y1

)−z13 = −arctan(y

x) +z

3+C , (x, y, z)D

Ejemplo 2.4.4. Sea F(x, y, z) = (x2+yy2,−x2+xy2,3z2) y la curva C parametrizada

por α(t) = (t, t3 +t21, t+ 3).Calcule el trabajo necesario para llevar una masa

unidad a lo largo de C desde el punto P1 = (1,1,2) hasta el punto P2 = (1,1,4).

Soluci´on

(26)

2.4. CAMPOS CONSERVATIVOS Y FUNCIONES POTENCIALES 25

Notemos del ejemplo anterior que F es conservativo en D = Dom(F) = R3

{(0,0, z)/ z R} (localmente) y que el trabajo es independiente de la trayectoria enD.

Recordemos que cuando se habla de que la integral de linea es independiente de la trayectoria, se supone que es independiente de todas las trayectorias no solo de algunas trayectorias en particular. En este ejemplo la integral de linea es indepen-diente de la trayectoria s´olo para trayectorias que no pasan por el eje Z pero que unanP1 y P2, pues si consider´aramos como trayectoria la curva que una los puntos

P1 y P2 de manera que pase por el punto (0,0, z) (donde z R), en dicho punto F

no est´a definido. Por lo tanto, para hallar el trabajo del campo de vectores F, no podemos usar la funci´on potencial encontrada en el ejemplo anterior (dado que D no es simplemente conexo).

Considerando la curvaC parametrizada porα(t) = (t, t3+t21, t+ 3), el c´alculo

del trabajo se hace muy complicado hallarlo. En este caso, aprovechando que el trabajo es independiente de la trayectoria enD=Dom(F) =R3−{(0,0, z)/ z R}

(F es localmente conservativo), consideremos como la curva γ que une los puntos P1 y P2, la uni´on de las curvas γ1 : f(t) = (

2cost,√2sent,2), ∀t [3π

4 4] y

γ2 :g(u) = (1,1, u), ∀u∈[2,4] (estas facilitan el c´alculo del trabajo y note que no

pasan por el ejeZ). Entonces:

Z

C

P dx+Qdy+Rdz = Z

γ

P dx+Qdy+Rdz

= Z

γ1

P dx+Qdy+Rdz

+ Z

γ2

P dx+Qdy+Rdz

= Z π

4

3π

4

−dt+ Z 4

2

3u2du

= −π+ 56 Figura 2.8:

Ejemplo 2.4.5. Calcule

I

C

(27)

2.5. TEOREMA DE GREEN 26

Soluci´on

Notemos que el D=Dom(F) = R3.

Se tiene que P(x, y, z) = y+z , Q(x, y, z) = x+z y R(x, y, z) = x+y. Luego

∂P

∂y = 1 = ∂Q

∂x (x, y, z)∈D ∂P

∂z = 1 = ∂R

∂x (x, y, z)∈D ∂R

∂y = 1 = ∂Q

∂z (x, y, z)∈D

De este ´ultimo resultado concluimos que F es conservativo, entonces la integral

H

CF.T dS es independiente de la trayectoria. Dado que C es una curva cerrada

en-tonces I

C

(y+z)dx+ (x+z)dy+ (x+y)dz = 0.

NOTA 2.4.2. La ´ultima conclusi´on se debe a que como el campo vectorial F es conservativo entonces podemos hallar su funci´on potencial:

f(x, y, z) =

Z x

x1

P(u, y1, z1)du+

Z y

y1

Q(x, v, z1)dv+

Z z

z1

R(x, y, w)dw

=

Z x

x1

(y1+z1)du+

Z y

y1

(x+z1)dv+

Z z

z1

(x+y)dw = xy+xz+yz−y1x1−z1x1−z1y1

= xy+xz+yz+C

luego como C es cerrado, tiene el mismo punto inicial y final (A=B),

I

C

(y+z)dx+ (x+z)dy+ (x+y)dz =f(A)−f(A) = 0.

2.5.

Teorema de Green

George Green (julio de 1793, 31 de mayo de 1841) fue un matem´atico brit´anico cuyo trabajo influenci´o notablemente el desarrollo de importantes conceptos en f´ısica [11].

El teorema de Green relaciona una integral de linea alrededor de una curva plana cerradaC con una integral doble ordinaria sobre la regi´on plana R acotada por C

(28)

2.5. TEOREMA DE GREEN 27

Figura 2.9:

Definici´on 2.5.1. Una curva tiene orientaci´on positiva respecto a la regi´onR cuan-do el senticuan-do de la curva es tal que la regi´onRest´a a su izquierda [ver figura 5.10]. Es decir, el vector que se obtiene del vector tangente unitarioT mediante una rotaci´on de 90o en sentido contrario al de las manecillas del reloj apunta hacia dentro de la

regi´on R.

Figura 2.10:

Teorema 2.5.1 (GREEN). Sea D un dominio simplemente conexo de R2. Sean

P(x, y) y Q(x, y) dos funciones continuas y que tienen derivadas parciales de primer orden continuas en D. Sea C una curva simple cerrada suave por partes y positivamente orientada respecto a la regi´on que lo encierra R, estando C y R

contenidos en D. Entonces se verifica

I

C

P dx+Q dy=

Z Z

R

µ

∂Q ∂x

∂P ∂y

dxdy

(Para la prueba ver Cap. 11 pag. 465 de [2])

Figura 2.11:

NOTA 2.5.1. Podemos devidirR en dos regionesR1

yR2 y tambien podemos subdividir la frontera de C de

(29)

2.5. TEOREMA DE GREEN 28

para la frontera de R2, obtenemos

I

C1∪D1

P dx+Qdy =

Z Z R1 (∂Q ∂x ∂P ∂y)dxdy I

C2∪D2

P dx+Qdy =

Z Z R2 (∂Q ∂x ∂P ∂y)dxdy Z D2

P dx+Qdy =

Z

D1

P dx+Qdy

Ejemplo 2.5.1. Calcule la integral de linea HC3xydx+ 2x2dydonde C es la frontera

de la regi´on R que est´a acotada por la recta y=x y la par´abola y=x2 2x

Soluci´on

Figura 2.12:

Se tiene que P(x, y) = 3xy y Q(x, y) = 2x2.

Luego ∂P

∂y = 3x y ∂Q

∂x = 4x ∂Q

∂x ∂P

∂y =x Aplicando el teorema de Green se tiene:

I

C

3xydx+ 2x2dy =

Z 3

0

Z x

x22x

xdy dx=

Z 3

0

(3x2x3)dx

= 27 4

Corolario 2.5.1. El ´area A de la regi´on R acotada por una curva simple suave por partes C est´a dada por:

A= 1 2

I

C

−y dx+x dy=

I

C

y dx=

I

C x dy

Ejemplo 2.5.2. Halle el ´area de la elipse x2 a2 + y

2 b2 = 1

Soluci´on

Parametrizando la elipse se tiene: x = a cost

y = b sent 0≤t≤2π Luego:

dx=−a sent dt y dy =b cost dt Por el corolario anterior, el ´area de la elipse es:

A= 1 2

I

C

−y dx+x dy= 1 2

Z 2π

0

(30)

2.5. TEOREMA DE GREEN 29

Observaci´on 2.5.1. Si dividimos una regi´on R en otras m´as simples, podemos extender el Teorema de Green a regiones con fronteras que consten de dos o m´as curvas simples cerradas.

Z Z

R (∂Q

∂x ∂P

∂y)dxdy =

Z Z

R1

(∂Q

∂x ∂P

∂y)dxdy

+ Z Z R2 (∂Q ∂x ∂P

∂y)dxdy

= I

C1

P dx+Qdy+ I

C2

P dx+Qdy

= I

C=∂R

P dx+Qdy Figura 2.13:

Ejemplo 2.5.3. Suponga que C es una curva cerrada simple suave que encierra al origen (0,0). Muestre que:

I

C

−y

x2+y2dx+

x

x2+y2 dy= 2π

Pero que esta integral es cero si C no encierra al origen.

Soluci´on

Figura 2.14:

Se tiene que P(x, y) = −y

x2+y2 y Q(x, y) = x2+xy2.

Luego ∂P ∂y = ∂Q ∂x ∂Q ∂x ∂P

∂y = 0 cuandox e y no son cero.

Si la regi´on R acotada por C no contiene al

origen entoncesP y Qy sus derivadas son continuas en R, por tanto el Teorema de Green implica que la integral dada es cero.

Si C encierra al origen, entonces encerramos al origen en un peque˜no c´ırculo Ca

de radioatan peque˜no queCa se encuentre totalmente dentro deC. Parametricemos

este c´ırculo por:

x = a cost

y = a sent 0≤t≤2π

Entonces el Teorema de Green, aplicado a la regi´on R entreC y Case tiene

I

C

−y

x2+y2 dx+

x

x2 +y2 dy+

I

Ca

−y

x2+y2dx+

x

x2+y2 dy=

Z Z

R

(31)

2.5. TEOREMA DE GREEN 30

Luego

I

C

−y

x2+y2 dx+

x

x2+y2 dy =

I

Ca

−y

x2+y2 dx+

x x2+y2 dy

=

I

C−a1

−y

x2+y2 dx+

x x2+y2 dy

=

Z 2π

0

a2sen2t+a2cos2t

a2 dt

= 2π.

NOTA 2.5.2.

Notese queCatiene orientaci´on positiva (en este caso el sentido de las manecillas

del reloj) yC−1

a es la curva inversa de Ca.

Teorema 2.5.2.SeaW =P dx+Q dyuna diferencial exacta en un conjunto abierto

U R2, es decir, ∂P ∂y =

∂Q

∂x , (x, y)∈U. Se cumple las siguientes propiedades:

(1). Si U es simplemente conexo, RCW = 0 (por el teorema de Green)

Figura 2.15:

(2). SiU es doblemente conexo,C1 yC2 homot´opicos (es decir, se puede llegar de

C2 aC1 mediante un transformaci´on) y tienen el mismo sentido, entonces se cumple:

Figura 2.16:

Z

C1

W =

Z

C2

W

En efecto, dado que

R

∂UW =

R

C1W +

R

C21W

0 = RC1W RC2W

se concluye que Z

C1

W =

Z

C2

W

(3). Si U es triplemente conexo, se cumple

Z

C3

W =

Z

C1

W +

Z

C2

(32)

2.5. TEOREMA DE GREEN 31

Figura 2.17:

En efecto, dado que

R

∂UW =

R

C3W +

R

C11W +

R

C21W

0 = RC

3W

R

C1W

R

C2W

se concluye que:

R

C3W =

R

C1W +

R

C2W

Ejemplo 2.5.4. Se considera la regio´n D del plano, dado por D=D1∪D2, donde

D1 = {(x, y)R2 : (x1)2+y2 4 , (x+ 1)2+y2 4}

D2 = {(x, y)R2 : (x1)2+y2 4 , (x+ 1)2+y2 4}

Calcule el trabajo del campoF(x, y) = (3yx2, x3+x+sen(y))a lo largo de la frontera

de D.

Soluci´on Se tiene que

Figura 2.18:

P(x, y) = 3y x2 y Q(x, y) =x3+x+sen(y).

Luego ∂P

∂y = 3x

2 y ∂Q

∂x = 3x

2+1 ∂Q

∂x− ∂P

∂y = 1 Por otro lado, aplicando el Teorema de Green, se tiene:

Z

∂D

P dx+Qdy =

Z

C1∪C41

P dx+Qdy+

Z

C2∪C31

P dx+Qdy

= Z Z D1 (∂Q ∂x ∂P

∂y)dx dy+

Z Z

D2

(∂Q ∂x

∂P

∂y)dx dy = 2 Z Z D1 (∂Q ∂x ∂P

∂y)dx dy por ser sim´etricos D1 y D2 = 2

Z Z

D1

dx dy

= 2( ´Area de la circunferencia C14

Z Z

B

(33)

2.6. LA DIVERGENCIA Y FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL 32

Figura 2.19:

Calculemos ahora el ´area de la regi´on B

A(B) =

Z Z

B

dx dy

=

Z 1

0

Z 4(x+1)2

0

dy dx

=

Z 1

0

p

4(x+ 1)2dx

=

Z 1

0

p

22(x+ 1)2 d(x+ 1)

= 1

2[(x+ 1)

p

4(x+ 1)2+ 4arcsen(x+ 1

2 )|

1 0

= 1 2(

4π 3

3) Finalmente

Z

∂D

P dx+Qdy = 2 ( ´Area de la circunferencia C14

Z Z

B

dx dy )

= 2 ( 4π2 ( 4π 3

3) ) = 8π

3 + 4

3

2.6.

La divergencia y flujo de un campo vectorial

Sea el flujo constante de una capa delgada de fluido en el plano (como por ejemplo, una capa de agua derramada en el piso), seaV(x, y) su campo vectorial de velocidad yρ(x, y) la densidad del fluido en el punto (x, y). El t´ermino flujo constante significa queV yρdepende solamente dexeyy no del tiempot. Queremos calcular la rapidez con que el fluido fluye fuera de la regi´onRacotada por una curva simple cerrada C. Busquemos la rapidez neta del flujo (la salida menos la afluencia).

Sea ∆Si el segmento corto de la curva C y (x∗i.y∗i) un punto extremo ∆Si.

En-tonces el ´area de la porci´on del fluido que fluye fuera de R a trav´es de ∆Si por

unidad de tiempo es aproximadamente el ´area del paralelogramo. ´Esta ´area es:

Figura 2.20:

Area(paralelogramo) = base×altura

= ∆Si CompniVi

Figure

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