WALIAS, PERAL Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

114 

Texto completo

(1)

Universidad Aut´

onoma de Madrid

Departamento de Matem´

aticas

Gu´ıa para el Curso

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Segundo Curso de Matem´aticas

Profesores:

Ireneo Peral Alonso & Magdalena Walias Cuadrado

(2)
(3)

Contents

Notaciones 5

Introducci´on 7

1 Sucesiones y series de funciones. 9

1.1 Convergencia puntual de sucesiones y series de funciones.

Ejemplos. . . 9

1.2 Convergencia uniforme. . . 13

1.2.1 Convergencia uniforme y continuidad. . . 17

1.2.2 Convergencia uniforme e integraci´on. . . 19

1.2.3 Convergencia uniforme y derivaci´on. . . 21

1.3 Series de potencias. . . 22

1.3.1 Aplicaci´on: convergencia de la serie de Taylor de al-gunas funciones elementales. . . 28

1.4 Sumaci´on por partes: Criterio de sumaci´on de Abel. . . 33

1.5 El espacio de las funciones continuas. . . 34

1.5.1 El espacio de las funciones continuas como espacio m´etrico. . . 35

1.5.2 El teorema de la aplicaci´on contractiva. . . 38

1.5.3 Teorema de Ascoli-Arzel´a. . . 42

1.6 Ejercicios . . . 48

2 Introducci´on a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 53 2.1 Concepto y origen de las EDOs. Isoclinas. Modelos. . . 53

2.2 M´etodos elementales de integraci´on. . . 53

2.3 Soluciones en forma de serie de potencias. . . 53

(4)

3 Teor´ıa de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones

diferenciales ordinarias. 63

3.1 Introducci´on. . . 63

3.2 El m´etodo de Picard de aproximaciones sucesivas. . . 64

3.2.1 Motivaci´on . . . 64

3.2.2 Condiciones globales . . . 67

3.2.3 Sistemas lineales . . . 69

3.2.4 Condiciones locales. . . 72

3.3 Lema de Gronwall. . . 76

3.4 El m´etodo de las poligonales de Euler. Teorema de Cauchy . 78 3.5 Dependencia continua y diferenciabilidad respecto de los datos iniciales. . . 84

3.6 Prolongabilidad de las soluciones. . . 91

3.7 Ejercicios . . . 98

4 Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden. Ecuaciones de orden superior. 109 4.1 Sistemas de ecuaciones lineales: Teor´ıa general de existencia y estructura. . . 109

4.2 Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Exponencial de una matriz. . . 109

4.3 Met´odo de Lagrange. . . 109

4.4 Ecuaciones de orden superior. . . 109

4.5 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes. . . 109

4.6 M´etodo de los coeficientes indeterminados. . . 109

4.7 Ejercicios . . . 109

5 Sistemas aut´onomos en el plano 111 5.1 Estudio de los sistemas aut´onomos no lineales. . . 111

5.2 Trayectorias. Plano de fases. . . 111

5.3 Linealizaci´on. . . 111

5.4 Concepto de estabilidad de un punto critico. Resultados de Poincar´e. . . 111

5.5 Teorema de Poincar´e–Bendixon. . . 111

5.6 M´etodo directo de Liapounov: Estabilidad, estabilidad asint´otica, inestabilidad. . . 111

5.7 Ejercicios . . . 111

(5)

NOTACIONES

Notaciones generales

S´ımbolo Significado

IRN Espacio eucl´ıdeo de dimensi´onN

x= (x1, x2, ..., xN) Elemento de IRN

r=|x|= (x21+x22+...+x2N)1/2 M´odulo de x dk)u

dxk

1

Derivada de orden k= 1,2...

∇u=

∂u ∂x1

, ∂u ∂x2

, ..., ∂u ∂xN

Gradiente de u

Espacios de funciones

S´ımbolo Significado

C(Ω) Funciones continuas en Ω

C0(Ω) Funciones continuas en Ω con soporte compacto

Ck(Ω) Funciones de clase ken Ω

C0k(Ω) Funciones deCk(Ω) con soporte compacto

C∞(Ω) Funciones indefinidamente diferenciables en Ω

C∞

(6)
(7)

Introducci´

on

El objetivo del curso es conseguir que el alumno sea capaz de analizar prob-lemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias elementales y de aplicar dicho an´alisis al estudio de modelos de la F´ısica, la Biolog´ıa, las ciencias Sociales y la Tecnolog´ıa. Los conocimientos que han de adquirirse en esta asignatura son fundamentales para asignaturas posteriores de la Licenciatura, tales como la Geometr´ıa Diferencial, las Ecuaciones en Derivadas Parciales, etc. Estas notas son una gu´ıa para seguir el curso. En algunos temas son sim-plemente una indicaci´on de cap´ıtulos precisos de los textos recomendados y una lista seleccionada de ejercicios. En otros temas, conceptualmente m´as dif´ıciles, son notas elaboradas expresamente para gu´ıa de este curso con el objeto de servir de primera lectura sistem´atica, que el estudiante puede y debe completar en la bibliograf´ıa seleccionada.

Para precisar m´as:

Cap´ıtulo Referencias

1 [1], [2], [3] y [12] 2 [4], [5], [6], [10] y [14] 3 [1], [7], [8], [9], [11] y [14] 4 [4],[7], [8], [9], [11]y [14] 5 [4], [9], [10],[13] y [14].

(8)

Fechas de ex´amenes.

Convocatoria Fecha

Febrero Septiembre

(9)

Sucesiones y series de

funciones.

1.1

Convergencia puntual de sucesiones y series

de funciones. Ejemplos.

DadoE IRN consideramos

F(E) ={f :E −→IR|f es una aplicaci´on}.

Definici´on 1.1.1 Una sucesi´on de funciones es una aplicaci´on,

φ : IN −→ F(E) k−→φ(k) :=fk.

Como es habitual identificaremos la sucesi´on por su imagen y escribiremos

{fk}k∈IN. Esta identificaci´on no produce ning´un error por ser siempre el

dominio de una sucesi´onIN.

Definici´on 1.1.2 i) Diremos que la sucesi´on{fk}k∈IN converge en x∈E

si la sucesi´on de n´umeros reales {fk(x)}k∈IN converge, es decir, si

existel= lim

k→∞fk(x).

ii) Si {fk}k∈IN converge en cada punto de E, definimos

f : E−→IR

x−→f(x) = lim

k→∞fk(x),

que por la unicidad del l´ımite es una aplicaci´on. A f la llamamos

funci´on l´ımite puntual de{fk}k∈IN.

(10)

Recordando la definici´on de l´ımite de sucesiones de n´umeros reales tenemos el significado de la igualdad

f(x) = lim

k→∞fk(x), ∀x∈E :

Fijado x E y cualquiera que sea ε > 0, existe n0 = n0(x, ε) tal que si k > n0, entonces

|fk(x)−f(x)|< ε.

Observamos que, en general, n0 = n0(x, ε), es decir, n0 depende de cada punto. Esta dependencia hace que laconvergencia puntualno sea adecuada en aquellos casos en que el c´alculo obliga a intercambiar l´ımites. Veremos esta dificultad en ejemplos.

Pero antes introducimos el concepto de convergencia puntual de series.

Definici´on 1.1.3 Sea la sucesi´on de funciones{fk}k∈IN. Definimos la sucesi´on

de sumas parciales asociada por,

Sn(x) = n

X

k=1

fk(x), n∈IN .

Si la sucesi´on {Sn}k∈IN es puntualmente convergente decimos que la serie

asociada a la sucesi´on{fk}k∈IN es puntualmente convergente y escribiremos

∞ X

k=1

fk(x) = lim

n→∞Sn(x).

Ejemplo 1.1.4 La convergencia puntual no preserva la continuidad.

Sea la sucesi´on

fk:IR−→IR, definida porfk(x) =

1

1 +kx2, k∈IN .

Cada fk, k∈ IN, es una funci´on continua como cociente de funciones

con-tinuas cuyo denominador no se anula. Estudiamos su l´ımite puntual. 1. Six= 0 tenemos quefk(0) = 1 para todok∈IN. Por tanto,

lim

k→∞fk(0) = 1. 2. Si fijamos x0 IR\ {0}, tenemos que

lim

k→∞fk(x0) = limk→∞ 1 1 +kx2

(11)

De esta manera resulta que lafunci´on l´ımite puntualde la sucesi´on es, f(x) =

1, six= 0, 0, six6= 0, que es discontinua en x= 0.

Ejemplo 1.1.5 La convergencia puntual no preserva la integra-bilidad Riemann.

Consideramos la sucesi´on

fk: [0,1]−→IR, definida por fk(x) = lim

n→∞(cos(k!πx)) 2n, k

∈IN . De esta forma se tiene que

fk(x) =

1, sik!xIN , 0, sik!x /IN .

La funci´on fk vale 1 si x = kp! con p ∈ IN, es decir, vale uno en solo una

cantidad finita de puntos del intervalo [0,1], y por consiguiente, es integrable Riemann, siendo

Z 1

0

fk(x)dx= 0, ∀k∈IN .

Evaluamos ahora el l´ımite puntual de la sucesi´on{fk}k∈IN. Observemos que:

• SixIRQ,I fk(x) = 0 para todo k∈IN.

• SixQ,I x= pq, fracci´on irreducible. Pero entonces sikq,fk(pq) = 1.

Por tanto el l´ımite puntual es precisamente lafunci´on de Dirichlet, es decir, f(x) =

1, sixQ,I 0, sixIR\Q.I

Como f es discontinua en todo punto, f no es integrable Riemann. Este ejemplo demuestra que la convergencia puntual no preserva la integrabilidad Riemann.

Ejemplo 1.1.6 Convergencia puntual y derivaci´on.

Consideremos {fk}k∈IN,fk(x) =

senkx

k ,k∈IN. Es obvio que∀x∈IR, f(x) := lim

(12)

Por tanto,f0(x)0. Sin embargo,

fk0(x) =√kcoskx y as´ı, por ejemplo enx= 0,f0(0)6= lim

k→∞fk0(0) =∞.

Concluimos que, a´un cuando la funci´on l´ımite puntual sea derivable, las derivadas de una sucesi´on que converge puntualmente, en general, no converge a la derivada del l´ımite.

Ejemplo 1.1.7 El l´ımite de las integrales de una sucesi´on pun-tualmente convergente, en general, no es la integral del l´ımite.

Consideramos la sucesi´on de funciones

fk: [0,1]−→IR, fk(x) =k2x(1−x2)k, k∈IN .

Comofk(0) =fk(1) = 0 para todok∈IN, basta estudiar el l´ımite puntual

cuando 0< x0<1. Ahora

fk(x0) =k2x0(1−x20)k→0 k→ ∞ pues poniendo (1x2

0)≡ 1

1 +p <1,k 2x

0(1−x20)k ≡k2x0( 1 1 +p)

k. Entonces

basta observar que si k >6,

(1 +p)k k! (k3)!3!p

3k3p3 1 233!, y entonces

k2x0( 1 1 +p)

k

≤c(p)1 k →0. Es decir,

f(x) := lim

k→∞fk(x) = 0 y Z 1

0

f(x)dx= 0. Por otra parte,

Z 1

0

fk(x)dx≡

k2 2

Z 1

0

(1t)kdt k 2

(13)

Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto que la convergencia puntual no es suficiente para hacer c´alculo. Esta es la principal motivaci´on para el estudio que se acomete en la secci´on siguiente.

Es obvio que, por definici´on, el l´ımite puntual satisface todos los resul-tados algebra´ıcos que son v´alidos para el l´ımite de sucesiones de n´umeros reales. Es decir, si{fk}k∈IN y{gk}k∈IN tienen l´ımite puntualf yg

respecti-vamente, entonces, A) lim

→∞(αfk+βgk)(x) =αf(x) +βg(x) B) lim

→∞(fkgk)(x) =f(x)g(x) C) Si adem´as g(x)6= 0,lim

→∞( fk

gk

)(x) = f(x) g(x).

1.2

Convergencia uniforme.

Para remediar la manifiesta insuficiencia para el c´alculo de la convergen-cia puntual, introducimos el concepto m´as restrictivo de Convergencia uniforme.

Definici´on 1.2.1 Decimos que una sucesi´on de funciones {fk}k∈IN

con-verge uniformemente sobre el conjunto E IRN a la funci´on f si ε > 0,

∃k0∈IN tal que si k≥k0

|fk(x)−f(x)| ≤ε, ∀x∈E

Es claro que si {fk}k∈IN converge uniformemente en E, tambi´en

con-verge puntualmente en todos los puntos de E.

¿C´ual es la diferencia fundamental entre los dos conceptos de conver-gencia introducidos? Si se lee atentamente la definici´on (1.2.1), vemos que el ´ındicek0 se postula v´alido para todos los puntos de E, de aqu´ı el nombre de uniforme para este tipo de convergencia. En general en las sucesiones que solo convergen puntualmente k0, por el contrario, tambi´en depende del punto x.

(14)

Ejemplo 1.2.2 Seafk(x) =

senkx

k ,k∈IN. Observamos que

|fk(x)| ≤

1

k, ∀x∈IR. Dadoε >0 si tomamosk0>

1

ε y sik≥k0, entonces,

|fk(x)| ≤ε,∀x∈IR,

es decir, {fk}k∈IN converge uniformementea f ≡0 en IR.

Si trazamos sendas rectas paralelas al eje OX de ordenada ±ε, las gr´aficas de las funciones, (x, fk(x)) est´an contenidas entre las dos rectas

tomandokk0.

Ejemplo 1.2.3 Sea la sucesi´on de funciones

fk(x) =

  

0 si 1x2−k

2k+1x si 0x2−(k+1) 2k+1(2−kx) si 2−(k+1) x2−k

, kIN .

Es claro que para todo x[0,1] fijo, fk(x)→ 0,k→ ∞, pues tomandok0 tal quex >2−k0, para cadak > k

0,fk(x) = 0.

Sin embargo la sucesi´on no converge uniformemente en [0,1]. De con-verger uniformemente habr´ıa de hacerlo a su l´ımite puntual, f = 0. Pero si tomamosε= 1

2 y para cadak∈IN tomamosxk= 2

−(k+1), se obtiene que

|fk(xk)|= 1>

1 2,

es decir, la sucesi´on no converge uniformemente a f = 0.

Vemos que la idea gr´afica del ejemplo anterior es muy buena: aqu´ı no hay converegencia uniforme porque para al menos una altura±1

2,todas las gr´aficas se salen de la banda

B ={(x, y)|0x1,1 2 < y <

1 2} en al menosun punto.

(15)

Teorema 1.2.4 ( Criterio de Cauchy). La sucesi´on de funciones{fk}k∈IN ⊂

F(E) converge uniformemente en E si y solo si se verifica la siguiente condici´on,

(CC)

∀ε >0, k0 ∈IN tal que si k, l≥k0, entonces

|fk(x)−fl(x)| ≤ε, para todo x∈E

Demostraci´on. Que la condici´on (CC) es necesaria es evidente. En efecto si {fk}k∈IN converge uniformemente a f, dado ε > 0 existe k0 tal que si

n > k0, entonces

|fn(x)−f(x)| ≤

ε

2, para todo x∈E. Entonces tomando k, l > k0 y por la propiedad triangular,

|fk(x)−fl(x)| ≤ |fk(x)−f(x)|+|f(x)−fl(x)|< ε.

Probamos que la condici´on (CC) es suficiente.

Si se verifica (CC), en particular, fijado x E, la sucesi´on num´erica

{fk(x)}k∈IN es una sucesi´on de Cauchy en IR, por tanto, existe

f(x) = lim

k→∞fk(x).

En otras palabras, el argumento anterior demuestra que la condici´on (CC) implica convergencia puntual. Hemos de probar que la convergencia es uni-forme en E.

Por hip´otesis, ε >0,k0 IN, tal que si k, lk0, entonces

|fk(x)−fl(x)| ≤ε, para todo x∈E,

tomando l´ımites en la desigualdad anterior, lim

l→∞|fk(x)−fl(x)|=|fk(x)−f(x)| ≤εpara todo x∈E. Esto concluye la demostraci´on.

A la condici´on (CC) se le llama condici´on uniforme de Cauchy en E. El Teorema (1.2.4) se puede reformular diciendo que:La condici´on necesaria y suficiente para que una sucesi´on de funciones converja uniformemente en

E es que sea uniformemente de Cauchy en E.

(16)

Teorema 1.2.5 ( Criterio de Cauchy). Sea la sucesi´on de funciones{fk}k∈IN ⊂

F(E). La serie f(x) = P∞k=1fk(x) converge uniformemente en E si y solo

si se verifica la siguiente condici´on,

(CCS)   

∀ε >0, k0IN tal que si k, lk0, entonces

|iP=k

i=l

fi(x)| ≤ε, para todox∈E

Los dos siguientes resultados son muy convenientes para las aplica-ciones, los reconoceremos como Criterios de Weierstrass.

Teorema 1.2.6 Sea la sucesi´on de funciones {fk}k∈IN ⊂ F(E) y

supong-amos que converge puntualmente a f. Sea

Mk= sup x∈E|

fk(x)−f(x)|, k∈IN .

Entonces son equivalentes:

1) fk→f, k→ ∞ uniformemente en E

2) Mk →0, k→ ∞.

Demostraci´on. 2) = 1) es obvio. Demostramos que 1) = 2). En la definici´on de convergencia uniforme tomamos ε = 2−n para n IN.

Entonces existe un n0 tal que si k > n0, |fk(x)−f(x)| ≤ 2−n para todo

x E; podemos reformular la anterior desigualdad tomando supremo en xE. Resulta,

Mk= sup x∈E|

fk(x)−f(x)| ≤2−n,∀k > n0

Teorema 1.2.7 (Criterio de Weierstrass).

Sea {fk}k∈IN ⊂ F(E), sucesi´on de funciones. Si

1) |fk(x)| ≤Mk, ∀x∈E,

2) P∞

k=1

Mk <∞,

entonces, P∞

k=1

(17)

Demostraci´on. Como ∞ P

k=1

Mk < ∞, la sucesi´on de sumas parciales es

una sucesi´on de Cauchy en IR. Por tanto, ε > 0, k0 tal que si j, l > k0,

kP=l k=j

Mk< ε y entonces tenemos que

|

k=l

X

k=j

fk(x)| ≤ k=l

X

k=j

|fk(x)| ≤ k=l

X

k=j

Mk< ε, ∀x∈E,

es decir, la sucesi´on de sumas parciales{Pn

k=1

fk(x)}k∈IN satisface la condici´on

(CCS) y por el criterio de Cauchy, Teorema (1.2.5), concluimos.

En los apartados siguientes de esta secci´on comprobaremos como habiendo convergencia uniforme no se encuentran los problemas hallados con la con-vergencia puntual.

1.2.1 Convergencia uniforme y continuidad.

Probaremos como la convergencia uniforme preserva la continuidad.

Teorema 1.2.8 Sea{fk}k∈IN sucesi´on de funciones continuas en un punto

x0 ∈E y que converge uniformemente enE a f. Entoncesf es continua en x0.

Demostraci´on. Sea ε > 0. Fijo h IRN tal que x0 +h ∈ E podemos escribir,

|f(x0+h)−f(x0)| ≤ |f(x0+h)−fk(x0+h)|+|fk(x0+h)−fk(x0)|+|fk(x0)−f(x0)|. Por la convergencia uniforme, podemos encontrark0 tal que sik > k0,

|f(x0+h)fk(x0+h)| ≤

ε

3 y|fk(x0)−f(x0)| ≤ ε 3,∀h.

Fijado k > k0 la continuidad de fk en x0 permite obtener δ >0 tal que si

|h|< δ yx0+h∈E,

|fk(x0+h)−fk(x0)| ≤

ε 3.

Entonces si tomamosk yh en las condiciones anteriores concluimos que

(18)

que prueba la continuidad def en x0.

El Teorema (1.2.8) nos da un criterio deno convergencia uniforme:

Criterio negativo de convergencia uniforme.

Si una sucesi´on de funciones continuas en un punto x0 tiene como

l´ımite puntual una funci´on discontinua en x0, entonces el l´ımite no es

uni-forme.

A´un cuando una sucesi´on de funciones continuas tenga l´ımite puntual continuo, no podemos afirmar que la convergencia sea uniforme. Sin embargo se tiene el siguiente resultado de Dini con hip´otesis adicionales.

Teorema 1.2.9 (Dini). Sea EIRN compacto y sea

fk:E −→IR, k∈IN

una sucesi´on de funciones continuas verificando:

1. {fk}k∈IN es una sucesi´on decreciente, es decir, fk(x)≤fk−1(x) ,∀k∈ IN, xE,

2. lim

k→∞fk(x) =f(x) y f es continua enE.

Entonces {fk}k∈IN converge uniformemente af enE.

Demostraci´on. Definimos gk(x) = fk(x)−f(x), k ∈ IN. Por hip´otesis

tenemos que: i) gk es uniformemente continua en E; ii) gk(x) ≥ 0; iii)

lim

k→∞gk(x) = 0 y iv) gk(x)≥gk+1(x). El resultado queda reducido a probar que {gk}k∈IN converge uniformemente a cero. Como consecuencia de iii),

dado ε >0 y fijado xE, existek(x, ε) tal que, gk(x,ε)(x)< ε

2.

Por la continuidad de gk(x,ε), existe δk(x,ε) > 0 tal que si |xt| < δk(x,ε) entonces

gk(x,ε)(t)< ε y por iv), 0gk(t)≤gk(x,ε)(t)< ε, ∀k≥k(x, ε). Tomando el recubrimiento del compacto E por las bolas Bδk(x,ε)(x)

x∈E

construidas anteriormente, podemos extraer un subrecubrimiento finito,

(19)

es decir,

r

[

i=1

{Bδk(xi,ε)(xi)⊃E.

Tomando k0 = max{k(x1, ε), k(x2, ε), ..., k(xr, ε)} tenemos que si k ≥ k0, 0 gk(t) ≤ ε para todo t ∈ E. Por tanto la sucesi´on {gk}k∈IN converge

uniformemente a cero.

Es claro que cambiando el no crecimiento de la sucesi´on por la condici´on de ser no decreciente, se obtiene el mismo resultado.

1.2.2 Convergencia uniforme e integraci´on.

Por simplicidad de exposici´on nos restringimos al caso de funciones de una variable real definidas en un intervaloI = [a, b].

Sea

h: [a, b]−→IR,

una funci´on acotada, es decir, tal que para alguna constanteA,|h(x)| ≤A para todo x [a, b]. Sea P = {a = x0 < x1 < ... < xm−1 < xm =

b}, una partici´on del intervalo [a, b]. Recordamos que las sumas superior e inferior de Riemann para la funci´onh asociadas a la partici´onP, se definen respectivamente por

U(h,P) =Pmj=1Mj|xj−xj−1|, dondeMj = sup t∈[xj−1,xj]

f(t) y L(h,P) =Pmj=1mj|xj −xj−1|, donde mj = inf

t∈[xj−1,xj]

f(t).

Recordamos tambi´en que la funci´on acotada h es integrable Riemann en [a, b]si y solo si

∀ε >0 existe una partici´on P de [a, b] tal que U(h,P)L(h,P)ε. (1.1) (En la referencia [3] puden encontrarse detalles sobre la Integral de Rie-mann).

Teorema 1.2.10 Sea fk : [a, b] −→ IR sucesi´on de funciones integrables

Riemann. Supongamos que {fk}k∈IN converge uniformemente a f en [a, b],

entonces:

(20)

b) Rabf(x)dx= lim

k→∞ Rb

afk(x)dx

Demostraci´on. a) Para demostrar quefes integrable Riemann, hemos de establecer la condici´on de integrabilidad (1.1). Dadoε >0, sea 3η = ε

(ba). Como la sucesi´on converge uniformemente existe k0∈IN tal que sik≥k0

fk(x)−η≤f(x)≤fk(x) +η, ∀x∈[a, b]. (1.2)

Fijado k > k0, como fk es integrable, existe una partici´on de [a, b], P =

{a=x0 < x1 < ... < xm−1 < xm =b}, de forma que

U(fk,P)−L(fk,P)≤

ε 3; y como por (1.2) se tiene que

U(f,P)U(fk,P) +

ε

3, L(f,P)≥L(fk,P)− ε 3, concluimos que

U(f,P)L(f,P)U(fk,P) +

ε 3

−L(fk,P)−

ε 3

≤ε, es decir hemos establecido la condici´on de integrabilidad.

b) Sea ε > 0 y sea k0 tal que si k > k0 |fk(x)−f(x)| ≤

ε

(ba) para todo x[a, b].

Entonces

|

Z b a

(fk(x)−f(x))dx| ≤

Z b a |

fk(x)−f(x)|dx≤ε

Corolario 1.2.11 Sea{fk}k∈IN sucesi´on de funciones integrables Riemann.

Entonces si

f(x) = ∞ X

k=1 fk(x)

converge uniformemente, f es integrable Riemann y

Z b a

f(x)dx= ∞ X

k=1 Z b

a

(21)

Ejemplo 1.2.12 Se trata de calcular Z 2π

0

f(x)dxsiendof(x) = ∞ X

k=1 1 k2cos(k

6x).

Por el criterio de Weierstrass la serie converge uniformemente. Por tanto aplicando el corolario anterior:

Z 2π

0

f(x)dx= ∞ X

k=1 1 k2

Z 2π

0

cos(k6x)dx= 0

pues

Z 2π

0

cos(k6x)dx= 1 k6sen (k

6x)|

0 = 0.

1.2.3 Convergencia uniforme y derivaci´on.

El resultado principal es el siguiente teorema.

Teorema 1.2.13 Sea fk : [a, b]−→ IR sucesi´on de funciones derivables en

[a, b], fk0 continua. Sumongamos que:

a) Existe x0∈[a, b] tal que lim

k→∞fk(x0) =l.

b) {fk0}k∈IN converge uniformemente en [a, b] a una funci´ong(x).

Entonces {fk}k∈IN converge uniformemente a una funci´on f ∈ C1([a, b]) y

adem´as

f0(x) = lim

k→∞f 0

k(x) =g(x)

Demostraci´on. Por elTeorema Fundamental del C´alculo, fk(x) =fk(x0) +

Z x x0

fk0(s)ds.

En virtud del Teorema (1.2.10), al t´ermino de la derecha converge a l+

Z x x0

(22)

Definiendo

f(x) =l+ Z x

x0

g(s)ds

se tiene que

|f(x)fk(x)| ≤ |l−fk(x0)|+Rab|g(s)−fk0(s)|ds≤

≤ |lfk(x0)|+ sups∈[a,b]|g(s)−fk0(s)||b−a| →0, k→ ∞

por la hip´otesis b). Adem´as por ser g continua, f0(x) = g(x) y por tanto, f0(x) = lim

k→∞f 0

k(x) por lo quef ∈ C1([a, b])

Corolario 1.2.14 Sea {fk}k∈IN ⊂ C1([a, b]) sucesi´on de funciones tal que:

i) P∞k=1fk(x0) = l < ∞; ii) P∞k=1fk0(x) = g(x) uniformemente en [a, b].

Entonces:

1. Existe f tal quef(x) = ∞ P

k=1

fk(x) uniformemente en [a, b].

2. f ∈ C1([a, b]) y f0(x) = ∞ P

k=1

fk0(x) =g(x).

1.3

Series de potencias.

Sea una sucesi´on num´erica {ak}k∈IN ⊂ C. Decimos que la seriaI P∞k=1ak

converge absolutamente, si

Sm= m

X

k=1

|ak| →S <∞, m→ ∞.

Para revisar lo concerniente a sucesiones y series de n´umeros puede consul-tarse la referencia [12]. Recordamos los criterios de convergencia cl´asicos:

Criterio de la raiz. Seal= lim sup→∞|ak|1/k.

1. Sil <1 P∞k=1ak converge absolutamente.

2. Sil >1 P∞k=1ak diverge. (S=∞)

(23)

Dada la sucesi´on{ak}k∈IN, se tienen las siguientes desigualdades:

lim inf

k→∞

|ak+1|

|ak| ≤

lim inf

k→∞ |ak| 1/k

≤lim sup

k→∞ |

ak|1/k ≤lim sup k→∞

|ak+1|

|ak|

.

Como consecuencia de lo anterior se tiene el ´util criterio del cociente.

Criterio del cociente.Seanl= lim infk→∞ | ak+1|

|ak|

yL= lim supk→∞ |ak+1|

|ak|

. 1. SiL <1 P∞k=1ak converge absolutamente.

2. Sil >1 P∞k=1ak diverge. (S=∞)

3. Sil1L no se puede concluir.

A continuaci´on introducimos las series de potencias, que generalizan a los polinomios.

Definici´on 1.3.1 Llamamos serie de potencias centrada en x0 con

coefi-cientes {ck}∞k=0⊂CI a,

∞ X

k=0

ck(x−x0)k.

Dados x, x0 ∈CI consideramos la serie n´umerica ∞ P

k=0

zk, donde zk = ck(x−

x0)k. Aplicando el criterio de la raiz obtenemos que si l= lim sup→∞|zk|1/k

entonces

1. Si l < 1, P∞k=1zk converge absolutamente. Es decir, cualquiera que

seaxCI verificando que

|xx0|lim sup →∞ |ck|

1/k<1

la serie converge absolutamente.

2. Sil >1,P∞k=1zk diverge. Es decir, si x es tal que

|xx0|lim sup →∞ |ck|

1/k>1

(24)

3. Six es tal que|xx0|lim sup→∞|ck|1/k= 1 no se puede concluir.

Las observaciones anteriores motivan la definici´on siguiente.

Definici´on 1.3.2 Dada la serie de potencias P∞

k=0

ck(x−x0)k, decimos que R es su radio de convergencia si R = 1

λ siendo λ = lim sup→∞|ck|

1/k. En

los casos queλ= definimosR = 0 y si λ= 0, definimosR=.

De esta forma si 0< R <y si|xx0|< Rla serie converge absolutamente mientras que si |xx0|> R la serie diverge.

SiR= 0 la serie solo converge en x0 y siR=∞ converge en cualquier punto.

Ejemplo 1.3.3 Supondremosx0 = 0 por brevedad de escritura. 1. Sea P∞

k=0

kkxk, su radio de convergencia esR= 0.

2. Sea ∞ P

k=0

xk, su radio de convergencia esR = 1.

3. Sea P∞

n=0 xn

n! su radio de convergencia es R=∞ 4. Sea P∞

n=1 xn

np, su radio de convergencia es R = 1, cualquiera que sea

p >0.

Enunciamos y demostramos a continuaci´on el resultado fundamental.

Teorema 1.3.4 Dada la serie

∞ P

k=0

ck(x−x0)k, supongamos que converge si

|xx0|< R y definamos

f(x) = ∞ X

k=0

ck(x−x0)k, si|x−x0|< R. (1.3)

Sea 0< r < R. Entonces:

(25)

ii) f ∈ C∞ y se verifica

dnf

dxn(x) =

∞ X

k=n

k(k1)...(kn)ck(x−x0)k−n

Demostraci´on. i) Como |xx0| ≤r < R, tenemos que|ck(x−x0)k|=

|ck||x−x0|k≤ckrk y como, por hip´otesis, r < R,

∞ X

k=0

|ck|rk<∞.

El criterio de Weierstrass, Teorema (1.2.7), nos permite concluir.

ii) Comenzamos probando el resultado para la primera derivada. Con-sideremos la serie de potencias

g(x) = ∞ X

k=1

kck(x−x0)k−1, entonces como,

lim sup

k→∞

(k|ck|)1/k = lim sup k→∞ |

ck|1/k,

el radio de convergencia de la serie definiendoges el mismo que el de la serie definiendof. Por tanto, por el primer apartado, la serie derivada t´ermino a t´ermino converge uniformemente en|xx0| ≤r. Aplicando el Corolario del Teorema (1.2.13), concluimos que f ∈ C1 y que f0(x) = g(x) si |xx0|< R. El resultado general se obtiene por recurrencia, observando que la idea fundamental es que el radio de convergencia de la serie y de la serie derivada t´ermino a t´ermino son iguales.

Nota 1.3.5 1. Dada la serief(x) = P∞

k=0

ck(x−x0)k,convergente en|x− x0|< R, se tiene que de acuerdo con el teorema anterior

f(n)(x0) =n!cn, ∀n∈IN .

Podemos reescribir la serie como

f(x) = ∞ X

k=0 f(k)(x

0)

k! (x−x0)

k.

(26)

2. Tras el comentario anterior, podr´ıa pensarse que dada una funci´on in-definidamente diferenciable, es decir, h ∈ C∞, ser´ıa expresable como una serie de potencias convergente cuyos coeficientes fuesen h

(k)(x0) k! .

Tal pensamiento es absolutamente err´oneo como pone de

mani-fiesto la siguiente funci´on:

h(x) = (

e−x12, six >0

0, six0.

Se tiene que h(k)(0) = 0 cualquiera que sea k 0. Por tanto la serie correspondiente es la serie identicamente nula, mientras queh(x)>0

six >0.

(27)

Lema 1.3.6 Sea {ai,j : i, j = 0,1,2...,} ⊂ IR una sucesi´on doble.

Supong-amos que

∞ X

j=0

|ai,j|=bi y que

∞ X

i=1

bi <∞.

Entonces ∞ X i=0 ∞ X j=0 ai,j =

∞ X j=0 ∞ X i=0 ai,j

Tenemos el siguiente resultado de convergencia de la serie de Taylor.

Teorema 1.3.7 Sea f(x) = P∞

k=0

ckxk convergente uniformemente en

com-pactos de|x|< R. Entonces para todo atal que |a|< R se verifica que

f(x) = ∞ X

k=0

f(k)(a)

k! (x−a)

k, si|xa|< R− |a|

siendo la convergencia uniforme en compactos contenidos en|xa|< R−|a|. Demostraci´on. Dada la expresi´on inicial def,|a|< R, y|xa|< R−|a|, podemos escribir

f(x) = ∞ X

k=0

ck(x−a+a)k=

∞ X k=0 ck k X j=0 k j

(xa)jak−j.

Suponiendo por un momento que estamos en las hip´otesis del Lema (1.3.6), obtendr´ıamos que f(x) = ∞ X j=0   ∞ X

k=j

ck

k j

ak−j 

(xa)j := ∞ X

j=0

dj(x−a)j.

Probamos que estamos en las hip´otesis del Lema (1.3.6) para justificar el c´alculo anterior. Si|xa|< ρ < R− |a|se tiene que|xa|+|a|< ρ+|a|; entonces, observando que

bk= k X j=0 k j

(28)

tenemos que ∞

X

k=0

|ck|| k X j=0 k j

(xa)jak−j| ≤ ∞ X

k=0

|ck|(ρ+|a|)k <∞, puesρ+|a|< R.

Obs´ervese que a la par que hemos comprobado la licitud de la permutaci´on del orden de sumaci´on, hemos comprobado que la convergencia de la serie

∞ P

j=0

dj(x−a)j es uniforme sobre compactos de |x−a|< R− |a|. El mismo

tipo de argumentaci´on que en la demostraci´on del Teorema (1.3.4) prueba que

dj =

f(j)(a) j!

El resultado que enunciamos a continuaci´on sin demostraci´on es debido a Abel y da informaci´on de lo que pasa en el extremo del intervalo de conver-gencia.

Teorema 1.3.8 Sea {ak}∞k=0 ⊂IR. Supongamos que ∞ P

k=0

ak =A. Entonces

∞ P

k=0

akxk converge uniformemente sobre compactos de |x|<1 y adem´as

lim

x→1−

∞ X

k=0

akxk =A

La demostraci´on de este resultado puede verse en la referencia [3]. Las condi-ciones del Teorema est´annormalizadasa x0= 0 yR= 1.

1.3.1 Aplicaci´on: convergencia de la serie de Taylor de algu-nas funciones elementales.

Dada una funci´on f ∈ C∞(IR), el teorema de valor medio permite escribir el desarrollo de Taylor de ordenn como

f(x) =

n

X

k=0

f(k)(0) k! x

k+R n(x),

dondeRn(x) =o(xn) parax→0.

(29)

• Forma de Lagrange.Para alg´un θ(0,1) Rn(x) =

xn+1 (n+ 1)!f

(n+1)(θx)

• Forma de Cauchy.Para alg´unt(0, x) Rn(x) =

x(xt)n n! f

(n+1)(t)

• Forma integral.

Rn(x) =

Z x

0

f(n+1)(t)(x−t)

n

n! dt. Los detalles pueden verse en la referencia [2].

Una funci´on f ∈ C∞(IR) admite siempre una serie de Taylor formal, ∞

P

k=0

f(k)(0) k! x

k pero dicha seriesolo representa a la funci´on si existe

un intervalo fijo Iρ = (−ρ, ρ), ρ > 0, en el cual los restos Rn(x) → 0

uniformemente en Iρ cuandon→ ∞. La funci´on

h(x) = (

e−x12, six >0

0, six0,

es un ejemplo de funci´on C∞ que no se puede representar por la serie de Taylor en un entorno de x = 0. El misterio es que si queremos estimar en menos que ε >0 el resto Rn(x), debemos achicar el intervalo. Al final nos

quedamos sin intervalo y as´ı nos quedamos sin serie.

Nos centramos en estudiar el desarrollo de Taylor de algunas funciones elementales.

(I) f(x) = lg(1 +x). Usando un argumento de recurrecia la serie de Taylor formalmente resulta ser,

∞ X

k=0

f(k)(0) k! x

k

∞ X

k=1

(1)(k−1)x

k

k .

Dado que la serie formal tiene radio de convergenciaR= 1 y se tiene por el teorema del valor medio que

lg(1 +x) =

n

X

k=1

(1)(k−1)x

k

(30)

es natural intentar demostrar que Rn(x) → 0 uniformemente en cualquier

intervalo [r, r], con r < 1. Una forma sencilla de obtener el resto Rn es

calcular el correspondiente resto para 1

(1 +x) e integrarlo. As´ı resulta

|Rn(x)|=|(−1)n

Z x

0 tn 1 +tdt| ≤

      

xn+1

(n+ 1), si 0≤x <1

|x|n+1

(1 +x)(n+ 1), si −1< x≤0. Por tanto, fijoρ(0,1) tenemos que

|Rn(x)| ≤

ρn+1

(1ρ)(n+ 1),∀x∈Iρ= [−ρ, ρ]

por tanto, los restos convergen uniformemente a cero enIρy as´ı concluimos

que

lg(1 +x) = ∞ X

k=1

(1)kx

k

k , si|x|<1.

(II) f(x) =ex. En este caso, formalmente por el momento, se tiene,

∞ X

k=0

f(k)(0) k! x k ∞ X k=0 xk k!.

Por el teorema del valor medio,

ex =

n

X

k=1

(1)kx

k

k! +Rn(x), donde el resto en su forma de lagrange es

Rn(x) =

xn+1 (n+ 1)!e

θx,0< θ <1

y la serie tiene radio de convergencia R =. Para probar que la suma de la serie en cadaxIR es precisamente ex, demostraremos que

lim

(31)

Fijadoa >0 elegimosn0 ∈IN de forma quen0≥2a. Sean|x|< ayn≥n0, entonces |x|

n <

|a| n0 ≤

1

2. Por tanto, si n≥n0, y|x|< a,

|Rn(x)|=|

xn+1 (n+ 1)!e

θx

|= |x|

n0

(n0)!

|x| (n0+ 1)

|x| (n0+ 2)

... |x| (n+ 1)e

θ|x|

≤ (2a)

n0

n0! 1 2ne

a

→0, si n→ ∞. Concluimos que

ex = ∞ X

n=0 xk

k!, y la convergencia es uniforme sobre cada intervalo (−a, a).

(III) f1(x) = cosx, f2(x) = senx, f3(x) = sinhx y f4(x) = coshx tienen serie de Taylor con radio de convergenciaR = y se obtienen a partir del caso anterior de forma sencilla.

(IV) Funci´on binomial,fα(x) = (1 +x)α. Rec´uerdese que siα=n∈IN, la

f´ormula del binomio de Newton da que,

(1 +x)n=

n X k=0 n k

xk, donde

n k

= n(n−1)...(n−k+ 1)

k! .

Es decir, se trata de un polinomio, que no es otra cosa que una serie de potencias con solo un n´umero finito de coeficientes no nulos. Tratamos de extender la f´ormula anterior al caso en queαIRno es un entero positivo. Six≤ −1,fα puede no estar definida o dejar de ser regular. Nos limitamos

entonces a estudiar la funci´on cuando x > 1. Anticipamos que vamos a tener una f´ormula formalmente como la de Newton pero con un n´umero de coeficientes no nulos infinito.

Por recurrencia calculamos que

fα(k)(0) =α(α1)....(αk+ 1), kIN . (1.4) Cuando α =n IN, caso de un polinomio, todas las derivadas de ´ordenes mayores que nson nulas. En caso contrario obtenemos la sucesi´on (1.4).

De esta forma obtenemos una serie formal ∞

X

k=0

f(k)(0) k! x k ≡ ∞ X k=0

α(α1)....(αk+ 1)

(32)

donde, por analog´ıa al caso entero, escribimos,

α k

= α(α−1)....(α−k+ 1)

k! .

Por el criterio del cociente comprobamos que el radio de convergencia de la serie es R= 1. De otra parte usando el teorema del valor medio se obtiene:

(1 +x)α=

n X k=0 α k

xk+Rn(x),

y

Rn(x) =

α n+ 1

xn+1(1 +θx)α−(n+1) enforma de Lagrange,

Rn(x) =

α n

xn+1(1θ)n(αn)(1 +θx)α−(n+1) en forma de Cauchy. Seaβ = Ent(α) + 1.

Si 1> a > x >0 el resto en forma de Lagrange, se estima por

|Rn(x)| ≤an+1

β(β+ 1)...(β+n)

(n+ 1)! (1 +a)

β =

(1 +a)β (β1)!

(n+β)! (n+ 1)!a

n+1 (1 +a)β

1)!(n+β)

βan+10, cuando n→ ∞.

Si 0> x >autilizamos la forma del resto de Cauchy y obtenemos,

|Rn(x)| ≤an+1(

1 1a)

nβ(β+ 1)...(β+n)

(n+ 1)! (1 +a)

β =

(1 +a)β (β1)!

(n+β)! (n+ 1)!

1 1a

n

an+1 (1 +a)β

1)!(n+β)

βan+10, cuandon→ ∞,

ya que, como 0< a <1, 1− 1a <1. Como conclusi´on, si 0< a <1,

sup |x|<a|

(1 +x)α

n X k=0 α k

xk| ≤ (1 +a)

β

1)!(n+β)

(33)

1.4

Sumaci´

on por partes: Criterio de sumaci´

on de

Abel.

Los resultados que se exponen a continuaci´on son ´utiles en muchas situa-ciones.

Lema 1.4.1 Sean las sucesiones {ak}k∈IN y {bk}k∈IN. Seasn= n

P

k=1

ak.

En-tonces,

n

X

k=1

akbk=snbn+1−

n

X

k=1

sk(bk+1−bk) =snb1+

n

X

k=1

(sn−sk)(bk+1−bk)

Demostraci´on. Comenzamos probando la primera identidad,

n

X

k=1

akbk=snbn+1−

n

X

k=1

sk(bk+1−bk).

Teniendo en cuenta que ak=sk−sk−1 y poniendos0= 0, resulta,

n

X

k=1

akbk= n

X

k=1

(sk−sk−1)bk= n

X

k=1 skbk−

n

X

k=1

sk−1bk, (1.5)

pero Pnk=1sk−1bk =Pnk=1skbk+1−snbn+1, entonces sustituyendo en (1.5),

obtenemos

n

X

k=1

akbk= n

X

k=1 skbk−

n

X

k=1

skbk+1+snbn+1=snbn+1−

n

X

k=1

sk(bk+1−bk).

Para probar la segunda igualdad usamos que bn+1 =

n

P

k=1

(bk+1−bk) +b1 y sustituimos en el segundo miembro de la primera igualdad, entonces,

n

X

k=1

akbk= n

X

k=1

(sn−sk)(bk+1−bk) +snb1

Teorema 1.4.2 Sea {gk}k∈IN sucesi´on decreciente de funciones, gk(x) ≥

gk+1(x), ∀x ∈ E, tal que, sup

x∈E|

gk(x)| ≤ M. Si

∞ P

k=0

fk converge

uniforme-mente enE entonces

∞ X

k=0

(34)

Demostraci´on. Llamamos, sn(x) =

n

X

k=1

fk(x) y rn(x) = n

X

k=1

fk(x)gk(x).

Entonces usando el Lema (1.4.1) conn > m, resulta, rn(x)−rm(x) = (sn(x)−sm(x))gm+1(x)+

n

X

k=m+1

(sn(x)−sk(x))(gk+1(x)−gk(x)).

Teniendo en cuenta que, por hip´otesis,gk(x)−gk+1(x) =|gk(x)−gk+1(x)|, entonces

|rn(x)−rm(x)| ≤ |sn(x)−sm(x)|M+ n

X

k=m+1

|sn(x)−sk(x)|(gk(x)−gk+1(x)).

Por hip´otesis, dado ε >0 existe k0 tal que sin, m≥k0, sup

x∈E|

sn(x)−sm(x)| ≤

ε 3M, Entonces,

|rn(x)−rm(x)| ≤ ε

3+ ε 3M

n

X

k=m+1

((gk(x)−gk+1(x)) = ε 3+

ε

3M(gm+1(x)−gn+1(x))≤ε,∀x∈E Es decir, rn, sucesi´on de sumas parciales, es uniformemente de Cauchy en

E, lo que permite concluir.

1.5

El espacio de las funciones continuas.

En esta secci´on A IRN designar´a un abierto deIRN que, eventualmente, puede ser todo el espacio, o bien un intervalo compacto deIRN, es decir,A= [a1, b1]×[a2, b2]×...×[aN, bN]. Para distinguir este ´ultimo caso escribiremos

K en vez deA. Denotaremos

Cb(A) ={f :A−→IR |f continua y acotada}

y si AK, intervalo compacto,

(35)

caso en que la acotaci´on se obtiene directamente de la continuidad de f y la compacidad de K por el Teorema de Heine-Borel.

TantoCb(A) comoC(K) son espacios vectoriales cuya dimensi´on no es

finita (basta observar que las funciones eiPNj=1kjxj dondek

j ∈ IN son

fun-ciones continuas y acotadas). Como es sabido, en un espacio de dimensi´on no finita, la representabilidad de cada vector en t´erminos de una combi-naci´on lineal finita de elementos de una base algebraica, es insuficiente para cualquier aplicaci´on. Esta es la raz´on, que en este caso, hace a´un mas per-entorio el uso de m´etricas que permitan aproximar por sucesiones.

1.5.1 El espacio de las funciones continuas como espacio m´etrico.

El primer paso a dar es dotar a los espacios de funciones continuas de una

norma, respecto a la cual la convergencia obtenida es precisamente la con-vergencia uniforme estudiada en las secciones previas.

Definici´on 1.5.1 Dada f ∈ Cb(A) le asociamos el n´umero real

||f||∞= sup

x∈A|

f(x)|,

al c´ual llamamos norma del supremo de f.

En el caso particular de serAK compacto, se tiene en realidad

||f||∞= max

x∈K|f(x)|.

El resultado siguiente justifica el nombre de norma dado a la aplicaci´on

|| ||∞:Cb(A)−→IR,

al establecer que satisface las mismas propiedades que la norma de un vector en, por ejemplo, IRN.

Proposici´on 1.5.2 La aplicaci´on || ||∞ estructura a Cb(A) como espacio

normado, es decir, se verifican,

i) ||f||∞= 0 ⇔ f = 0.

ii) ||αf||∞=|α| ||f||∞ para cualquier α∈IR y cualquier f ∈ Cb(A).

(36)

Demostraci´on. Es un ejercicio inmediato que se deja al alumno.

Como en todo espacio normado, asociada a la norma se tiene la distancia

entre dos vectores, en este caso, la distancia entre dos funciones, que se define por

d(f, g) =||f g||∞, f, g∈ Cb(A).

Tambi´en es inmediato comprobar que

d:Cb(A)× Cb(A)−→IR,

verifica los axiomas de distancia, es decir, i) d(f, g)0,f, g∈ Cb(A).

ii) d(f, g) = 0 f =g.

iii) d(f, g) =d(g, f),f, g∈ Cb(A).

iv) (Propiedad triangular)d(f, g)d(f, h) +d(h, g),f, g, h∈ Cb(A).

Si transcribimos el concepto general de convergencia respecto a una distan-cia, obtenemos que en este caso coincide con el de convergencia uniforme.

Proposici´on 1.5.3 Sea {fk}k∈IN ⊂ Cb(A) una sucesi´on de funciones.

En-tonces son equivalentes:

1. fk→f, k→ ∞, uniformemente en A.

2. ||fk−f||∞→0,k→ ∞.

Demostraci´on. 1. ⇔ ∀ε > 0, k0 tal que si k > k0, entonces |fk(x)−

f(x)|< ε, x A ⇔ ∀ε >0, k0 tal que si k > k0, entonces sup

x∈A|

fk(x)−

f(x)|< ε ⇔ ∀ε >0, k0 tal que si k > k0, entonces ||fk(x)−f(x)||∞ < ε

⇔ 2.

Evidentemente por igual argumentaci´on que en la proposici´on anterior, una sucesi´on es de Cauchy enCb(A) respecto a|| ||∞si y solo si es uniformemente de Cauchy enA.

Recu´erdese que un espacio m´etrico se dice que escompletosi se verifica que cualquier sucesi´on de Cauchy, es convergente.

(37)

Banach en homenaje a Stefan Banach, matem´atico polaco de principios del Siglo XX, quien se ocup´o de elaborar, entre otras cosas, una teor´ıa abstracta para espacios normados completos. Esta teor´ıa es una parte del An´alisis Funcional. Podemos formular el resultado siguiente.

Proposici´on 1.5.4 El espacio normadoX:= (Cb(A),|| ||∞), es un espacio

de Banach.

Demostraci´on. Hemos de probar que toda sucesi´on de Cauchy en X converge a un elemento deX.

Si{fk}k∈IN ⊂ Cb(A) es una sucesion de Cauchy, quiere decir que∀ε >0,

∃k0 tal que si n, m > k0, entonces ||fn(x)−fm(x)||∞ < ε. Entonces se verifica que es uniformemente de Cauchy que como sabemos significa que se verifica la condicion (CC) del Teorema (1.2.4), por tanto, existe una funci´on f : A −→ IR tal que fk → f, k → ∞, uniformemente en A. El Teorema

(1.2.8) implica quef ∈ Cb(A). Es decir,X es un espacio completo.

Definici´on 1.5.5 Dado un espacio vectorial X y dos normas definidas en

X,|| ||i, || ||ii. Se dice que dichas normas son equivalentes siy solo si existen

α, β >0 tales que

α||x||ii≤ ||x||i ≤β||x||ii, para todo x∈X

QueCb(A) sea de dimensi´on no finita tiene consecuencias importantes.

Una de ellas es queno todas las normas son equivalentes. De hecho, un Teorema de Riesz, caracteriza los espacios normados de dimensi´on finita por el hecho de que todas las normas sean equivalentes. En los ejercicios damos un ejemplo de norma equivalente a la del supremo y que utilizaremos en lo que sigue. A continuaci´on damos un ejemplo, importante, de normano equivalente a la del supremo en C(K) (A=K, compacto). Por sencillez de escritura consideraremos en particularK = [0,1]IR. Definimos

|| ||1 : C([0,1]) −→ [0,∞) f −→ ||f||1 =

R1

0 |f(t)|dt.

Es un ejercicio comprobar que|| ||1 verifica los axiomas de norma. Compro-bamos que esta norma no es equivalente a la norma || ||∞. Para comprobar esta ´ultima afirmaci´on consid´erese la sucesi´on de funciones,

fk(x) =

(38)

Se tiene obviamente que ||fk||∞= 1, mientras que

||fk||1 = Z 1

0 |

fk(t)|dt=

1 2k.

As´ı se ve que no existe una constanteβ >0 valida para todas las funciones continuasy tal que

||f||∞≤β||f||1.

Adem´as{fk}k∈IN es una sucesi´on de Cauchy respecto || ||1 pues si, por ejemplo, m > n,

Z 1

0 |

fn(x)−fm(x)|dx≤ |1

n− 1

m| →0, n, m→ ∞, pero tiene como l´ımite la funci´on discontinua

f(x) =

0, six[0,1) 1, six= 1.

Resulta que C([0,1]) no es completo respecto a la norma || ||1. Este hecho constituye otra motivaci´on para construir la integral de Lebesgue.

1.5.2 El teorema de la aplicaci´on contractiva.

El teorema central de este apartado es unteorema de punto fijo. Decimosuno

porque hay muchos teoremas de punto fijodistintos y adaptados a estudiar problemas diversos. Aqu´ı expondremos uno de los resultados m´as simples y m´as cl´asicos pues tiene su origen en algunas ideas de Newton y en resultados de Cauchy y Picard. En la forma abstracta que estudiaremos es debido a Banach. La ventaja de tener un marco abstracto es que tenemos una aplicabilidad del resultado mucho mayor.

Consideraremos (X, d) un espacio m´etrico completo, por ejemplo,IRN con las m´etricas usuales, yC(K) con la m´etrica inducida por la norma|| ||∞ est´an en tal situaci´on. La existencia de soluci´on de muchos problemas puede reducirse a una situaci´on t´ıpica como la siguiente:

Dada una aplicaci´on

f :X −→X encontrar x0 X tal quef(x0) =x0.

A un tal punto x0, si existe, se le llama punto fijo o punto invariante para

(39)

Vamos a demostrar que si f verifica una condici´on m´etrica entonces podemos garantizar la existencia de un punto cr´ıtico. Tal condici´on es recogida en la siguiente definici´on.

Definici´on 1.5.6 Sean (X, d) un espacio m´etrico y f :X−→ X una apli-caci´on. Decimos quef es contractiva si existe α(0,1) tal que

d(f(x), f(y))α d(x, y), x, yX.

Nota 1.5.7 La contractividad de una aplicaci´ondepende de la m´etrica, es decir, dada una aplicaci´on puede ser contractiva respecto a una m´etrica y no serlo respecto a una m´etrica equivalente.

Teorema 1.5.8 (Teorema de Banach). Sea (X, d)un espacio m´etrico com-pleto y sea

f :X −→X

una aplicaci´on contractiva. Entonces existe un ´unicox∞∈Xtal quef(x∞) = x∞.

Demostraci´on.

A) Existencia.Comof es contractiva, existe 0< α <1 tal qued(f(x), f(y)) αd(x, y). Fijamosx0 ∈X y definimos xk =f(xk−1), k= 1,2.... Probamos que {xk}k∈IN es una sucesi´on de Cauchy en (X, d). En primer lugar, y por

un argumento de recurrecia, se obtiene que,

d(xk+1, xk) =d(f(xk), f(xk−1))≤αd(xk, xk−1) =

αd(f(xk−1), f(xk−2))≤α2d(xk−1, xk−2)≤...≤αkd(x1, x0). Simplemente por la propiedad triangular de la distancia y el resultado an-terior tenemos que

d(xp+k+1, xp)≤d(xp+k+1, xp+k) +d(xp+k, xp+k−1) +...+d(xp+1, xp)≤

(αp+k+αp+k−1+...+αp)d(x1, x0)≤ αp

(1α)d(x1, x0)→0, p→ ∞, es decir, {xk}k∈IN es de Cauchy. Como (X, d) es completo existe x∞ =

lim

k→∞xk. La contractividad implica de forma trivial la continuidad def, Por tanto,

f(x∞) =f( lim

(40)

b) Unicidad.Supongamos que hubiese dos puntos fijos x e y. Entonces, d(x, y) =d(f(x), f(y))αd(x, y),

que como 0< α <1 es una contradicci´on si d(x, y)6= 0.

Aplicaciones. El Teorema anterior tiene muchas aplicaciones. Nosotros daremos aqu´ı (en estas notas) solo dos, pero, por ejemplo, la demostraci´on de los teoremas de la funcion impl´ıcita y de la funci´on inversa, se reducen a un uso conveniente del teorema de la aplicaci´on contractiva.

M´etodo de Newton de aproximaci´on de soluciones de ecuaciones.

El m´etodo es debido en sus ideas a Isaac Newton (1642-1727). Se trata de dar un m´etodo para aproximar soluciones de ecuaciones no necesariamente polin´omicas.

Problema: Sea f una funci´on con derivada continua definida en IR. Se trata de como aproximar los pIR tales quef(p) = 0.

El problema de existencia de un cero se resuelve con lo aprendido en el C´alculo. En efecto:

Paso 1.La funci´onf es en particular continua por tanto si podemos hallar

a1 y b1 tales que, por ejemplo, f(a1) < 0 < f(b1) el teorema de valores intermedios nos da al menos un cero intermedio.

A veces no hay ceros reales, por ejemplo x2+ 1 = 0 no los tiene. En este caso habremos terminado si probamos que la funci´on tiene signo constante. Para poder seguir supongamos que tuvimos ´exito en el paso 1. Se trata ahora de aislar un solo cero en un intervalo, achicando, si es preciso, el de existencia dado por el paso 1.

Paso 2. Sif0 cambia de signo en[a1, b1]se busca [a2, b2]⊂[a1, b1]tal que el

signo def0 sea constante y que en los extremos f contin´ue teniendo distinto

signo.

Que elpaso 2sea f´acil ´o no, depende de la funci´on, pero una vez obtenido, en el intervalo [a2, b2] solo hay un cero. (Justif´ıquese).

Ahora ya podemos plantearnos la estrategia para poder aproximar la soluci´on en el intervalo [a2, b2].

Idea heur´ıstica.Supongamos quepes la soluci´on, entonces por el Teorema del Valor Medio se tendr´a f(x)f(p)f(x) =f0(τ)(xp), τ (p, x) de donde se tendr´ıa p = x f(x)

(41)

M´etodo iterativo de Newton.Consideremos el intervaloI = [a2, b2] que

hemos seleccionado. Sea x0∈I. Por recurrencia definimos

xk+1 =xk−

f(xk)

f0(x

k)

k= 0,1,2,3, ... (1.6)

Con esta modificaci´on sobre la f´ormula heur´ıstica, queda claro el significado geom´etrico de lo que hacemos:

1) Dadoxkcalculamos la tangente a la gr´afica de f en el punto(xk, f(xk),

es decir,

y=f(xk) +f0(xk)(x−xk).

2) xk+1es el punto de corte de la tangente con y = 0

3) Se repite el proceso en xk+1

Si pudiesemos demostrar que{xk}tiene l´ımitep, considerando (1.6)se

tendr´ıa, por la continuidad de f y f0,

p=p f(p) f0(p)

es decir,f(p) = 0

Un ejemplo de como trabaja el m´etodo: Calculando la raiz de 2.

La raiz positiva de 2 es el cero positivo def(x) =x22. Tomemosa 2 = 1y b2 = 3. Es muy f´acil ver que este intervalo es bueno.

En este caso la iteraci´on resulta

xk+1=

xk+x2k

2

Convergencia de la iteraci´on. Vamos a estudiar una modificaci´on del m´etodo de Newton que es m´as sencilla de aplicar, est´a basada en las sigu-ientes consideraciones. Para fijar las ideas podemos suponer, sin p´erdida de generalidad,

1. f(a2)<0< f(b2) 2. f0(x)>0 six[a

2, b2]

(42)

Entonces vamos a demostrar la convergencia de la siguiente modifi-caci´on de las iteraciones bajo las hip´otesis1 y2’.

Consideremos la funci´on

F(x) =x f(x) k1+k2

.

Si demostramos que para alg´un x, F(x) = x, concluiremos tambi´en que f(x) = 0. Por las hip´otesis sobre f,1 y2’, para x[a2, b2],

0<1 k2

k1+k2 < F

0(x) = 1 f0(x)

k1+k2 <1− k1 k1+k2. Entonces F verifica:

1. a2F(a2) =a2 f(a2) k1+k2

< x f(x) k1+k2

< b2 f(b2) k1+k2

=F(b2)b2, ya que, f(a2)<0,F0(x)>0 y f(b2)>0 respectivamente.

2. F0(x)<1 k1 k1+k2

=α <1 luego parax1, x2∈[a2, b2] arbitrarios,

|F(x1)F(x2)| ≤α|x1x2| Por tanto,

F : [a2, b2]−→[a2, b2],

yF es una aplicaci´on contractiva de [a2, b2] en si mismo. As´ı, existe un ´unico punto fijo x0 ∈ [a2, b2], es decir, tal que F(x0) = x0 que, como vimos, es equivalente a f(x0) = 0.

1.5.3 Teorema de Ascoli-Arzel´a.

Es frecuente en muchos problemas poder conseguir una acotaci´on, lo que solemos llamar una estimaci´ona priori. En esta situaci´on, se trata de pasar al l´ımite. A nivel elemental, es decir, en el marco de los espacios IRN, se tiene que dada una sucesi´on{xk}k∈IN tal que|xk| ≤M, entonces existe una

subsucesi´on{xkj}j∈IN que converge. Este es el resultado que se conoce como

Teorema de Bolzano-Weierstrass.

(43)

Ejemplo 1.5.9 Se considera la sucesi´on de funciones continuas enIR,

fk(x) =

  

0, six < k

xk, si kx < k+ 1 1, sik+ 1x

, kIN .

As´ı||fk||∞ = 1 y es f´acil ver que ninguna subsucesi´on converge uniforme-mente.

La idea es que es una ´unica funci´on que se traslada por los enteros positivos.Se escapa por infinito.

Puede pensarse tras este ejemplo que el problema est´a en la no acotaci´on del dominio de definici´on. El pr´oximo ejemplo pone de manifiesto que tal falta de acotaci´on no es la ´unica obstrucci´on.

Ejemplo 1.5.10 Si se considerafk(x) =xk parax∈[0,1],k∈IN, no hay

convergencia uniforme, pues el l´ımite puntual es discontinuo.

Observamos que es este caso, siendo cada funci´on continua, dado 1 > ε >0 y fijadokIN para que|fk(1)−fk(1−δ)|< ε, ha de ser 1−(1−δ)k< ε

o bienδ <1(1ε)1/k. Esto quiere decir que el el m´odulo de continuidad

no es uniforme en k.

En resumen, un teorema de la misma naturaleza que el Teorema de Bolzano-Weiertrass para las funciones continuas definidas sobre un intervalo compacto K, requiere hip´otesis adicionales.

La respuesta a esta cuesti´on se recoge en el Teorema de Ascoli-Arzel´a que pasamos a estudiar.

Para motivar las condiciones en las que se formula el Lema de Ascoli-Arzel´a estudiamos el siguiente resultado.

Proposici´on 1.5.11 Sea {fk}k∈IN ⊂ C(K) sucesi´on de funciones tales que

fk→f enC(K), es decir, uniformemente. Entontes se verifica,

(EQ)

∀ε >0,δ(ε)>0 tal que para todo par x, yK verificando |xy|< δ,

se tiene |fk(x)−fk(y)|< ε, ∀k∈IN .

Demostraci´on. Argumentamos por contradicci´on. Supongamos que ex-iste ε0 > 0 tal que, en particular, para δn = 1n, existen puntos xn, yn ∈ K

(44)

Como {fk(n)} ⊂ {fk}k∈IN, tambi´en converge uniformemente a f. Por el

Teorema de Bolzano-Weierstrass, dado que K es compacto y que |xn −

yn|< 1n , tomando subsucesiones ( que volvemos a indexar porn), podemos

suponer que

xn→z eyn→z.

Entonces

ε0<|fk(n)(xn)−fk(n)(yn)| ≤ |fk(n)(xn)−f(xn)|+|f(xn)−f(yn)|+|f(yn)−fk(n)(yn)|

que es una contradicci´on con la hip´otesis de convergencia uniforme (el primer y tercer sumando han de tender a cero paran→ ∞) y el hecho de que, por tanto,f es continua y as´ı el segundo sumando tiende a cero cuandon→ ∞.

Resumiendo: hemos probado que la condici´on (EQ) es necesaria para la

convergencia uniforme. La condici´on (EQ) merece por tanto un nombre

propio.

Definici´on 1.5.12 Dada una sucesi´on de funciones{fk}k∈IN ⊂ C(K)

deci-mos que esequicontinuasi se verifica(EQ), es decir, siε >0,δ(ε)>0

tal que six, yKverifican|xy|< δ, entonces|fk(x)−fk(y)|< ε,∀k∈IN.

Nota 1.5.13 Hemos visto que laequicontinuidades una condici´on nece-saria para la convergencia uniforme. Obs´ervese que el hecho que δ no de-penda del punto una vez fijada la funci´on fk, es consecuencia del Teorema

de Heine-Borel: toda funci´on continua en un compactoK, es uniformemente continua. Lo nuevo que introduce el concepto de equicontinuidad es la inde-pendencia de δ respecto del ´ındice kIN. Se tiene tambi´en que si {fk}k∈IN

es uniformemente de Cauchy, existe M < tal que ||fk||∞≤M. Es decir,

las sucesiones de Cauchy en el espacio m´etrico C(K) son acotadas. Este hecho es general en cualquier espacio m´etrico.

El Teorema de Ascoli-Arzel´a, que pasamos a enunciar, establece que la equicontinuidad junto con la acotaci´on en norma es suficiente para obtener la compacidad por sucesiones en el espacio de funciones continuas en un compacto.

Teorema 1.5.14 (Ascoli-Arzel´a).

Sea {fk}k∈IN ⊂ C(K) sucesi´on infinita de funciones tal que:

(45)

2. Existe M < tal que||fk||∞≤M, ∀k∈IN. (Acotaci´on uniforme).

Entonces existe una subsucesi´on {fn(k)}k∈IN ⊂ {fk}k∈IN que converge

uni-formemente.

Demostraci´on. Nos basamos en tres principios b´asicos que escribimos en forma de lemas.

Lema 1.5.15 (Separabilidad). Dado el intervalo K IRN, existe D K, denso y numerable.

Demostraci´on. Tomemos D =KTQIN, que por ser subconjunto de un conjunto numerable, es numerable. Adem´as, dado x K y ε > 0, existe qQIN tal que|xq|< ε, ya queQIN =IRN.

Lema 1.5.16 (Principio diagonal de Cantor). Sea {fk}k∈IN una sucesi´on

uniformemente acotada definida en K y D K un conjunto numerable.

Entonces existe una subsucesi´on convergente en D.

Demostraci´on. EscribimosDcomo una sucesi´on, es decir,D={q1, q2, q3, ...} 1. Tomamosq1D; por hip´otesis{fk(q1)}k∈IN es un conjunto de n´umeros

reales acotado. Aplicando el Teorema de Bolzano-Weirstrass se tiene que existe una subsucesi´on

{fk,1(q1)}k∈IN ⊂ {fk(q1)}k∈IN tal quefk,1(q1)→f(q1).

2. Tomando{fk,1(q2)}k∈IN procedemos como antes y obtenemos una

sub-sucesi´on

{fk,2(q2)}k∈IN ⊂ {fk,1(q2)}k∈IN ⊂ {fk(q2)}k∈IN tal quefk,2(q2)→f(q2). Pero por ser una subsucesi´on de{fk,1}k∈IN se tiene tambi´en quefk,2(q1)→ f(q1)

3. Por recurrencia obtenemos una subsucesi´on

{fk,j}k∈IN ⊂ {fk,j−1}k∈IN ⊂...{fk,2}k∈IN ⊂ {fk,1}k∈IN ⊂ {fk}k∈IN

(46)

Construimos la subsucesi´on diagonal {fk,k}k∈IN que es una subsucesi´on de

todas las anteriores pues fk,k ∈ {fk,j} si k ≥ j. Entonces fijo qj ∈ D

{fk,k(qj)}k∈IN converge a f(qj) por ser subsucesi´on de{fk,j(qj)}k∈IN.

Lema 1.5.17 (Principio de Propagaci´on). Sea {fk}k∈IN sucesi´on

equicon-tinua de funciones definidas en K tal que converge sobre un subconjunto denso DK. Entonces {fk}k∈IN converge puntualmente en K.

Demostraci´on. Sea x0 ∈ K. Por la hip´otesis de equicontinuidad dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si |xy| < δ, |fk(x)−fk(y)| < ε3 para todo

kIN. Fijado tal δ >0, por la densidad deD en K, existeq0 ∈Dtal que

|x0−q0|< δ. Como por hip´otesis la sucesi´on converge en q0, existek0 ∈IN tal que si k, j > k0, entonces, |fk(q0)−fj(q0)| < ε3. Entonces, dado ε > 0 tomandoj, k > k0 tenemos

|fk(x0)−fj(x0)| ≤ |fk(x0)−fk(q0)|+|fk(q0)−fj(q0)|+|fj(q0)−fj(x0)| ≤ε, Es decir, {fk(x0)}k∈IN es de Cauchy enIR y por consiguiente, convergente.

Fin de la demostraci´on del Teorema. Elegimos D K denso y nu-merable usando el Lema (1.5.15); por el Lema (1.5.16) y teniendo en cuenta la acotaci´on uniforme, obtenemos una subsucesi´on, que volvemos a indexar igual,{fk}k∈IN, que converge enD. Utilizando la equicontinuidad y el Lema

(1.5.17) se concluye que tal subsucesi´on converge puntualmente en K. Para terminar hemos de probar que la subsucesi´on obtenida, converge uniformemente o, lo que es equivalente, que es uniformemente de Cauchy. De nuevo la hip´otesis de equicontinuidad junto a la compacidad de K son fundamentales. Tomamosε >0, por la equicontinuidad, existeδ >0 tal que six, yK verifican |xy|< δ entonces |fk(x)−fk(y)|< 3ε.

CubrimosK por bolas centradas en los puntos deK y radioδ, es decir, K [

x∈K

B(x, δ),

por compacidad sabemos que bastan una familia finita de tales bolas para continuar cubriendoK, es decir, existen

{B(x1, δ), B(x2, δ), ..., B(xr, δ)} tales queK ⊂ r

[

j=1

(47)

Como la subsucesi´on converge puntualmente en cada xj, j = 1,2, ..., r,

ex-iste un correspondiente kj(xj) tal que si n, m > kj(xj), entonces |fn(xj)−

fm(xj)| ≤ ε3.

Tomamosk0= max{k1(x1), k2(x2), ..., kr(xr)}. Como para todox∈K,

xB(xj, δ) para alg´un ´ındice j∈ {1,2, ..., r}, entonces si k, j > k0,

|fk(x)−fj(x)| ≤ |fk(x)−fk(xj)|+|fk(xj)−fj(xj)|+|fj(xj)−fj(x)| ≤ε,

(48)

1.6

Ejercicios

1 Para cada una de las sucesiones{fn}n∈IN siguientes, determinar el l´ımite

puntual (si existe) sobre el intervalo indicado y decir si converge uniforme-mente:

i) fn(x) =x1/n sobre [0,1]

ii)fn(x) =

0, xn

(xn) xn sobre [a, b] yIR. iii) fn(x) =

ex

xn sobre (1,∞)

iv)fn(x) =e−nx 2

sobre [1,1] v) fn(x) =

e−x2

n sobreIR

2 Averiguar si son uniformemente convergentes las sucesiones dadas sobre los intervalos indicados:

a)fn(x) =xn en i) 0≤x≤1/2 y en ii) 0≤x≤1

b) fn(x) =xn−xn+1 en 0≤x≤1

c)fn(x) =xn−x2n en 0≤x≤1

d) fn(x) =

1

x+n en 0< x <∞ e)fn(x) =

nx

1 +n+x en 0≤x≤1 f) fn(x) =

xn

1 +xn en i) 0 ≤ x ≤ 1−ε, ii) 1−ε ≤ x ≤ 1 +ε y en iii)

1 +εx <. g)fn(x) =

2nx

1 +x2n2 en i) 0≤x≤1 y en ii) 1< x <∞. h) fn(x) =n

r x+ 1

n −

x !

en 0< x <

i) fn(x) = sen (

x

(49)

3 Sea la sucesi´on {fn}n∈IN definida for fn(x) = x+

1

n y sea f(x) = x. Probar que fn → f uniformemente en IR pero que es falso que fn2 → f2

uniformemente en IR.

4 Sea la sucesi´on fn(x) =

x

1 +nx2, n∈IN. Demu´estrese que converge a cierta funci´on f uniformemente en IR. Demu´estrese que puntualmente limn→∞fn0(x) =f0(x) si x6= 0, pero que es falso si x= 0.

5 Seanfn: [a, b]−→[0,∞),fn≥fn+1. Demu´estrese que la serie ∞

X

n=1

(1)nfn(x) converge uniformemente⇐⇒fn→0 uniformemente.

6 Se consideran las seriesf(x) =P∞n=1fn(x),x∈IR, donde

a)fn(x) =xn

b) fn(x) =

1 1xn

c)fn(x) =

xn

1xn

d) fn(x) =

(1)n

n+x e)fn(x) = nx

(1 +n2x2)

(n+ 1)x 1 + (n+ 1)2x2

f)fn(x) =

(1)n(x2+n) n2 .

En cada caso encu´entrese el conjunto maximal de los x[0,) en los que la serie:

1. Converge.

2. Converge absolutamente.

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Descargar ahora (114 pages)