Cap´ıtulo 1 FUNDAMENTOS DE CATEGORIAS

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FUNDAMENTOS DE CATEGORIAS

En lo que sigue damos los conceptos b´asicos de categor´ıas y fun-tores los cuales nos permitir´an una comunicaci´on m´as f´acil en los cap´ıtulos posteriores. No hacemos en realidad una teor´ıa al respecto sino ´unicamente aclaramos alguna terminolog´ıa.

Grafos

Un grafo est´a formado por dos tipos de entidades: los llamados Ob-jetos que son simplemente los elementos de una clase y para cada parx,y de objetos, un conjunto denotado Hom(x, y), llamado de los morfismosdexeny. Siα∈Hom(x, y) se escribe, equivalentemente, α :x → y o bien x →α y. Si α ∈ Hom(x, z) entonces x es llamado el dominiode α, y (por dualidad) z es llamado elcodominio deα.

Un grafo es pues una representaci´on muy esquem´atica de cosas y cone-xiones entre ellos. Cuando los objetos son s´olo unos pocos, lo mismo las fechas, entonces no se usan nombres para indicarlos sino puntos y flechas. As´ı por ejemplo • •, es un grafo que llamaremos Par. Si el primer punto lo denotamos x y el segundo z tenemos que Obj P ar (los objetos de Par) = {x, y}, Hom(a, b) = φ, ∀a, b ∈ {x, y}. Otros ejemplos de grafos simples son:

(a) • → • ← •(Par meta) (b)

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(c)

Un ejemplo m´as ´util de grafo es el grafo Gr de los grupos. Aqu´ı ObjGr es la clase de los grupos y siA y B son grupos, Hom(A, B) = {f :A→B |f es un homomorfismo}. Cuando quiera que aparezca la terminaci´onmorfismoen matem´aticas normalmente se ha completa-do un grafo. Tal es el caso de Ab el grafo de los grupos abelianos y de Ann el grafo de los anillos, con sus respectivos homomorfismos de grupos y de anillos.

Categor´ıas

Las categor´ıas son a los grafos lo que los grupos son a los conjuntos. As´ı como los grupos son conjuntos con cierta estructura las categor´ıas son grafos con estructura.

1.1 Definici´on:

SeaA un grafo. Se dice queAtiene una estructura decategor´ıa (o que es una categor´ıa) si:

i Para cada tripla x, y, z de objetos de A existe una funci´on Hom(x, y)×Hom(y, z) → Hom(x, z) denotada (α, β) → β◦α y llamada lacomposici´onen A, la cual es una operaci´on (par-cialmente definida por supuesto) asociativa. Tambi´en β◦α se denota porβα.

ii Para cada objeto x existe α ∈ Hom(x, x) tal que para cada β componible a derecha conα,β◦α=βy para cadaγ componible a izquierda conα,α◦γ =γ.

Los grafos marcados arriba con (a), (b), (c) no tienen una estructura de categor´ıa, evidente al menos. En cambio los conjuntos, los grupos, los grupos abelianos y los anillos tienen estructura de categor´ıa tomando como composici´on la de funciones.

1.2 Nota:

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la condici´on (asignada a α) entonces α = αα1 = α1. As´ı pues hay

un s´olo morfismo que la cumple y se denotar´a 1x (para cada x) y se

llamar´a la identidad de x.

Normalmente usaremos min´usculas para objetos de grafos y may´usculas imprenta para objetos de categor´ıas. Las categor´ıas las denotaremos con may´usculas cursivas.

Categor´ıa Opuesta y Dualidad

Dada una categor´ıa podemos suponer que todo lo que ella tiene de matem´atica permanece invariante sin importar el cristal con que se mire. Sin embargo otra cosa puede suceder con lo que se ve usando el cristal en cuesti´on. Un caso muy ´util ocurre cuando lo que se ve corresponde intuitivamente al efecto de una lente que invierte la visi´on es decir presenta las cosas al rev´es.

SeaA un grafo. Para cada morfismo α : x → y creamos un s´ımbolo αop : y → x. Tenemos entonces un grafo, denotado Aop (llamado el opuesto de A) con ObjAop = ObjA y si x,y ∈ ObjAop entonces HomAop(y, x) ={αop|α :x→y}.

1.3 Definici´on:

Para un grafoA,Aop se llama elgrafo opuestode A2

1.4 Proposici´on:

Si un grafoAes una categor´ıa entonces tambi´en es categor´ıaAop

tomandoαopβop= (βα)op 2 1.5 Definici´on:

Sea P una proposici´on (afirmaci´on) relativa a una categor´ıa A. Se llama afirmaci´on dual deP a P referida aAop2

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(en categor´ıas) dual de dominio. Se tiene pues que el codominio de α es el dominio deαop:B →A o seaB.

Veamos un ejemplo de afirmaci´on dual referida a un morfismoα:A→ B. Para cada par de morfismos β, γ :B →C en A si los compuestos A →α B →β C y A →α B →γ C coinciden, entonces β = γ. Si α tiene esta propiedad se dice unepimorfismo. Su dual ser´ıa la misma afirmaci´on para αop en Aop. Como α : A B, αop : B A. As´ı

ser´ıa para cada par de morfismos γop, δop :A → C si los compuestos Bα→opAγ

op

→ C yAδ→op C coinciden entonces γop=δop. Esto equivale a decir que para cada par de morfismos γ, δ:C →A si los compuestos C →γ A →α B y C →δ A→α B coinciden, entonces γ =δ. Esta ´ultima manera, sin el uso de explicito de “op”, es la usada normalmente como “afirmaci´on dual” en categor´ıas. El concepto dual expresado as´ı se llamar´a entonces co-epimorfismo, pero esto se usa poco. El nombre usual esmonomorfismo.

Funtores

El concepto de funtor es, como su nombre lo indica, una extensi´on del concepto de funci´on. M´as exactamente el concepto de funci´on entre grafos y como caso particular entre categor´ıas. En este ´ultimo caso existe sin embargo estructura y se pide que la funci´on preserve esa estructura, es decir haga de “homomorfismo” entre las estructuras del dominio y del codominio. Para resaltar la parte con estructura deno-tamosM orAa la clase de todos los morfismos de un grafo. Es sobre esta parte en donde la funci´on actua como homomorfismo en el caso categ´orico.

1.6 Definici´on: SeanA yB grafos.

i Un funtor (covariante) F de A en B (denotado F :A → B) es una funci´on

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tal queF (ObjA) ⊆ ObjB , F (M orA) ⊆ M orB y si α : a→b ∈M orA, entoncesDomF(α) = F(Domα) yCodF(α) = F(Codα).

ii SiAyBson categor´ıas, entonces un funtor (covariante) F deA en B es un funtor F :A → B entre grafos tal que si α y β son morfismos componibles enAentoncesF(α◦β) =F(α)◦F(β) y para cada objetoA de A,F(1A) = 1F(A).

iii Un funtorF :A → B se dice un funtor contravariantesi, para α : A → B, F(α) : F(B) → F(A); F(α◦β) = F(β)◦F(α) y F(1A) = 1F(A) 2

En el caso de homomorfismos hay una serie de aspectos algebraicos que ellos preservan. Por ejemplo los morfismos de grupos preservan el m´odulo, el inverso, subgrupos etc. Note que parte de este aspecto est´a cubierto ya por un funtor entre categor´ıas. De hecho, sabemos, hasta ahora, que un funtor covariante preserva dominios, codominios, composici´on e identidades.

Secciones, Retracciones, Isomorfismos

1.7 Definici´on:

Seaf :A→B un morfismo en una categor´ıaA. Se dice quef es una retracci´on si existe un morfismog :B → A tal que f◦g = 1B

El dual de retracci´on essecci´on. Una secci´on retracci´on se llama un isomorfismo. Adem´as se dice que A es isomorfo a B y se denota A'B si un isomorfismo f :A→B existe2

1.8 Nota:

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h:B →A tal que hf = 1A, entonces def g= 1B se recibeh(f g) =h,

pero h(f g) = (hf)g= 1Ag=g. As´ı queh=g.

Se tiene entonces que hay un s´olo morfismogque acompa˜na a un iso-morfismof. Es decir que si tambi´en g0 :B →Aes tal que f◦g0 = 1B

yg0◦f = 1Aentoncesg0=g. Se denota a g=f−1.

La propiedades que rigen estos morfismos son

1.9 Proposici´on:

En cualquier categor´ıa se cumple que:

i Sif es una secci´on, entonces es un monomorfismo (dualmente si f es una retracci´on, entonces es un epimorfismo)

ii Si f es un isomorfismo de Atambi´en lo esf−1.

iii 1Aes un isomorfismo de A para cada objeto A deA.

iv Si f yg son isomorfimos componibles deAentoncesf◦g es un isomorfismo.

v La relaci´on ' es una relaci´on de equivalencia entre los objetos deA 2

Note que isomorfismo es un concepto “auto dual”, es decir que el dual de isomorfismo es isomorfismo. Esto es claro porque el dual de retracci´on - secci´on es secci´on - retracci´on que es isomorfismo.

Otro aspecto importante que preserva un funtor tiene que ver con isomorf´ıa:

1.10 Proposici´on:

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Transformaciones Naturales

Puesto que no se han impuesto restricciones sobre qu´e puede constituir-se en objetos de una categor´ıa, entonces los funtores mismos pueden serlo. Describimos a continuaci´on los morfismos m´as comunes entre funtores.

1.11 Definici´on:

i SeanA yB categor´ıas yF,G:A → B funtores. Una transfor-maci´on naturalλ:F →G es una familia

A:F(A)→G(A)|A∈ObjA} ⊆M orB

tal que, sif :A→B es un morfismo deA, entonces el siguiente diagrama conmuta.

F(A) lA G(A)

G( f )

G(B)

lB F(B)

F( f )

es decirG(f)◦λA=λB◦F(f)

ii Si en una transformaci´on natural cada λA es un monomorfismo

(respectivamente epimorfismo, isomorfismo) entonces λ se dice monomorfismo (respectivamente epimorfismo, isomorfismo) na-tural2

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L´ımites en Categor´ıas

Un diagrama en una categor´ıa es una familia de sus flechas o morfis-mos. El concepto de Familia supone selecci´on y entonces funci´on. Pero aqu´ı la selecci´on es de flechas, que presupone selecci´on de objetos para dominio y codominio. Tenemos entonces que el concepto de diagrama en categorias presupone la existencia del concepto de funtor y nosotros lo tomamos as´ı:

1.12 Definici´on:

i Sea A una categor´ıa. A los funtores G→ A en donde G es un grafo se les llamadiagramas en A(con grafo G)

ii Si V es un objeto de A denotamos por la misma letra (V) el funtor constante G → A de valores constantes V, 1V. Sea

F : G→ Aun diagrama enA. A las transformaciones naturales λ:V →F se les llamaconos de v´ertice V y base F 2

A B d

a

D C

g b

V

lA

l C l D lB

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(GrafoG)

y son claros, en el gr´afico del cono, los valores asignados por F a cada punto y cada flecha del grafo G. Igual cosa deb´ıa ocurrir con el dia-gramaV en Acon grafoG. Pero por ser constante se representa sim-plemente porV, el cual aparece como v´ertice. A partir deV (v´ertice) se ve la transformaci´on λ. La parte de transformaci´on significa que los tri´angulos formados con v´ertice V y base en el diagrama, conmu-tan. As´ı por ejemplo, β◦λB =λD. Pero realmente esto representa a

β◦λB= 1V ◦λD de la definici´on de transformaci´on natural.

Los gr´aficos ayudan. As´ı un cono de v´ertice V sobre dos objetos A y B de A es un gr´afico del tipo

o lo que es lo mismo el grafo usado es Par.

1.13 Definici´on:

Sea F : G → A un diagrama en A. Sea L un objeto de A. Decimos queL es l´ımite (a izquierda)de F si existe un cono λ de v´ertice L tal que para cualquier otro cono β : M → F (de v´ertice M) de A existe un ´unico morfismo H : M → L tal que el siguiente diagrama de transformaciones

L M

F H

b l

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En cuanto al n´umero de l´ımites como en el caso de filtros en el espacio Haussdorff, son ´unicos:

1.14 Proposici´on:

SiL1 y L2 son l´ımites de F, entoncesL1 'L2.

Demostraci´on:

Seanλi :Li→F las correspondientes transformaciones naturales. Por

ser L1 l´ımite existe H1 :L2 → L1 tal que λ1◦H1 =λ2 (H1 ´unica) y

por serL2 l´ımite, entonces existeH2 :L1 →L2 tal que λ2◦H2=λ1.

Adem´as por ser Li l´ımite, 1Li es el ´unico que cumple λi◦1Li = λi. Pero tambi´en lo cumplen H1 ◦H2 y H2 ◦H1. Luego H1◦H2 = 1Li, H2◦H1 = 1L2 yH1 es un isomorfismo con inversoH2 2

La unicidad (salvo isomorfismo) permite el uso de notaci´on m´as corrien-te. Al l´ımite deF, cuando existe, (y esL) lo denotamos limF(=L). Otras notaciones y nombres paraLson:

L= lim

→ F (Les el l´ımite a izquierda de F) Les el l´ımite proyectivo deF

Les el l´ımite inverso deF.

Por supuesto l´ımites enAopson los col´ımites enA. Se usa las

nota-ciones y terminolog´ıa siguientes: colimF =L, lim

← F =L Les el col´ımite deF :G→ A Les el l´ımite a derechade F Les el l´ımite inductivode F Les el l´ımite directo de F.

1.15 Nota:

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Puesto que los funtores son funciones entonces existe de manera na-tural el concepto de composici´on entre ellos: la composici´on de las funciones que los definen. De nuevo si F : A → B y G : B → C son funtores covariantes se denotaG◦F =GF :A → C su compuesto, el cual obviamente es un funtor covariante. Si uno deG´oF es covariante y el otro contravariante entonces G◦F es contravariante. Si los dos son contravariantesG◦F es covariante.

Naturalmente un funtor puede ser un isomorfismo entre categor´ıas. Por consistencia con lo precedente,F :A → B es unisomorfismo de grafos(respectivamente de categor´ıas) si existe un funtor B→ AG tal queF◦G= 1B yG◦F = 1A.

La funci´on 1Aes claramente un funtor de grafos (respectivamente

cate-gor´ıas). Se sigue entonces de manera natural el concepto de categor´ıas isomorfas y de funtor inverso de un isomorfismo. Pero hay un tipo de relaci´on entre categor´ıas que suele ser muy ´util: funtores adjun-tos. Para estudiarlos notemos algunos punadjun-tos. Primero algo sobre notaci´on. Para denotar una funci´on junto con la im´agen escribimos usualmentef :A →B, x7→ F(x). Para funtores seguimos usando la misma notaci´on pero como debemos dar im´agenes de objetos y mor-fismos usamos la notaci´on F :A → B,A7→F(A),α7→F(α) y queda sobreentendido queAes un objeto deAyαun morfismo, en ese orden. Recordemos que los conjuntos, junto con las funciones y la composici´on de funciones, forman una categor´ıa que denotaremosCON J.

Funtores Hom

Supongamos que A es una categor´ıa y A es un objeto de A. En-tonces se tiene una funci´on Hom(A,−) : A → CON J dada as´ı B 7→ Hom(A, B), y para α : B → C, Hom(A, α) es la funci´on Hom(A, B)→Hom(A, C),β 7→α◦β.

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1.16 Proposici´on:

i Hom(A,−) es un funtor 2

ii Hom(−, A) es un funtor contravariante. 2

Existe tambi´en una combinaci´on de los dos. Pero antes requerimos el concepto de producto de categorias: Si A y B son categor´ıas su producto cartesiano A × B tiene como objetos ObjA ×ObjB y un morfismo (A1, B1) → (A2, B2) es una pareja de morfismos (α, β) con

α : A1 → A2 y β : B1 → B2. La composici´on de morfismos se hace

coordenada a coordenada: (α, β)(γ, δ) = (α◦γ, β◦δ).

1.17 Proposici´on:

SiAyB son categor´ıas, tambi´en lo esA × B 2 1.18 Nota:

La notaci´on F(X) en cambio de F, para un funtor, es a veces ´

util como simplificaci´on y clarificaci´on de la variable. As´ıHom(A, X) es una buena notaci´on para el funtor de 1.16 i yHom(X, A) para el de 1.16 ii. As´ı mismo si F :B → A es un funtor (o funtor contravarian-te) entonces la notaci´on funcional de la composici´onHom(F(X), A) y Hom(A, F(X)), es m´as usada que Hom(−, A)◦F y Hom(A,−)◦F respectivamente.

Finalmente como combinaci´onHom(A, X) yHom(X, A) tenemos una funci´on Hom : Aop× A → CON J, (A, B) 7→ Hom(A, B), (f, g) 7→

Hom(f, g) en donde para (f, g) : (A, B) → (A1, B1), Hom(f, g) es la

funci´onHom(f, g) :Hom(A, B)→Hom(A1, B1), con α7→gαf.

1.19 Proposici´on:

Hom, acabado de definir, es un funtor covariante. 2

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Funtores Adjuntos

Consideremos ahora dos funtoresR :A → B yS :B → A. Tenemos dos composiciones: Hom(R(X), Y) y Hom(X, S(Y)) es decir

Hom(R(X), Y) :Aop× B Rop×1B

−→ Bop× B Hom−→ CON J

Hom(X, S(Y)) :Aop× B 1Aop×S

−→ Aop× AHom−→ CON J

Aqu´ı puede apreciarse la facilidad de manejo que producir´a la notaci´on Hom(R(X), Y) yHom(X, S(Y)) frente a las composiciones que repre-senta.

1.20 Definici´on:

SeaR:A → B yS :B → Ados funtores. Decimos que la pareja (R, S) esadjunta, o es unaadjunci´on, si existe una transformaci´on natural.

λX,Y :Hom(R(X), Y)→Hom(X, S(Y))

tal que para cada (X, Y), λ(X,Y) es un uno a uno y sobre (es decir

λ(X,Y) es un isomorfismo natural)2

Usaremos la notaci´on siguiente λ(X,Y)(α) = α∗ y λ−(X,Y1 )(β) = β∗. Adem´as note que siα= 1R(X):R(X)→R(X) entonces α∗ = 1∗R(X) :

X → SR(X). Similarmente si β = 1S(Y) : S(Y) → S(Y), entonces

β∗ = (1S(Y))∗ : RS(Y) → Y. Escribimos ΦX :X → SR(X) para la

primera y ΨY :RS(Y) → Y para la segunda. Se tienen entonces las

igualdadesα∗ =S(α)◦ΦX,β∗ = ΨY ◦R(β).

1.21 Proposici´on:

Con la notaci´on de 1.20 se tiene:

i ΦX,X ∈ObjA, determina una transformaci´on natural

Φ : 1A→SR

ii ΨY,Y ∈ObjB determina una transformaci´on natural

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1.22 Definici´on:

Con la notaci´on precedente

i Las transformaciones Φ, Ψ son llamadas lastransformaciones de adjunci´ondel par (R, S).

ii Las funciones α 7→ α∗,β 7→ β∗ son llamadas las funciones de adjunci´on del par (R, S) 2

Las transformaciones de adjunci´on determinan, ellas mismas, las ad-junciones y son las que se usan en la pr´actica con tal prop´osito. For-malicemos este punto.

1.23 Proposici´on:

Para funtoresR:A → ByS:B → Alas siguientes afirmaciones son equivalentes.

i (R, S) es un par adjunto.

ii Existen transformaciones naturales Φ : 1A →SRy Ψ :RS→1B tales que si paraα:R(A)→ B se tomaα∗ =S(α)◦ΦA y para

β :A → S(B) se toma β∗ = ΨB◦R(β)) entonces (α∗)∗ = α y (β∗)∗=β 2

As´ı pues un procedimiento corriente para dar una adjunci´on es usar la parte ii de 1.23. A lo largo del curso se estudiar´an con detalle adjuncio-nes de inter´es en ´algebra, raz´on por la cual no nos proponemos hacer aqu´ı ejemplos. Sin embargo, damos otra presentaci´on de adjunci´on que es conocida como problema de soluci´on universal.

Problemas de Soluci´on Universal

Consideremos un funtorS :B → A. S determina unproblemapara cadaA∈ObjA. Veamos como.

1.24 Definici´on:

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la siguiente pregunta: Existe un objetoX de By un morfismoλ:A→ S(X) en A tales que si B es un objeto de B y f : A → S(B) es un morfismo de A entonces existe un ´unico morfismo H :X → B de B tal queS(H)◦λ=f? 2

Intuitivamente se busca que A, si no es im´agen de un ´unico objeto, est´e relacionado con un ´unico objeto. Para ello se forma la clase de los morfismos (relaciones) A → S(B) donde B recorre ObjA. Se le ordena tomando (para α :A→ S(B), β :A →S(T))α > β si existe una flechaB →H T tal queS(H)◦α=β.

A S ( B )

S ( H )

S ( T )

b a

El problema consiste en decidir si la clase en consideraci´on es no vac´ıa y tiene el elemento m´aximo. Desgraciadamente>no es antisim´etrica y por tanto no existe unicidad para m´aximos. As´ı que el problema se plantea de tal manera que se garantice unicidad del m´aximo, salvo isomorfismo en caso de existir.

El problema a derecha planteado porS es entonces: para qu´e objetos A de Ael problema a derecha tiene soluci´on? El problema a derecha planteado por S es de soluci´on universal (por supuesto) si para todo A el problema sobre A tiene soluci´on. Ahora notemos el teorema de unicidad.

1.25 Proposici´on: SiA→α1 S(X1) yA

α2

→S(X2) son soluciones al problema a derecha

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A S ( X )1

S ( H )

S ( X )2

a2 a1

Demostraci´on:

Puesto que α1 es soluci´on entonces para α2 existe H1 : X1 → X2

un morfismo ´unico tal que S(H1)α1 = α2. Pero puesto que α2 es

soluci´on entonces para α1 existe un ´unico morfismo H2 : X2 → X1,

tal que S(H2)α2 = α1. Pero α1 y α2 la identidad 1X1 : X1 → X1 es el ´unico tal que S(1X1)α1 = α1 y para α2 1X2 : X2 → X2 es el ´unico morfismo tal que S(1X2)α2 = α2. Pero α1 = S(H2)α2 = S(H2)S(H1)α1 =S(H2H1)α1. LuegoH2H1 = 1X1. As´ı mismo α2 = S(H1)α1 = S(H1)S(H2)α2 = S(H1H2)α2. Luego H1H2 = 1X2. As´ı queH1 yH2 son isomorfismos inversos el uno del otro2

La proposici´on 1.25 es una proposici´on de rutina en problemas de soluci´on universal y por eso la hemos separamos. Sin embargo, es parte de un teorema mucho m´as fuerte que es el que nos interesa: su relaci´on con adjunci´on. Para iniciar nos interesa un resultado general que muestra maneras importantes de determinar objetos isomorfos en una categor´ıa.

1.26 Proposici´on:

Sean A, B objetos de una categor´ıa C. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i A=∼ B

ii Existe un isomorfismo natural Hom(A, X)→Hom(B, X)

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Demostraci´on:

Hacemos ii→i las dem´as partes quedan como ejercicio. Puesto queλX

es un isomorfismo natural, entonces siα :X → Y es un morfismo en C, entonces se tiene un cuadrado conmutativo

Hom ( A , X ) Hom ( B , X )

Hom ( B , Y )

lx

Hom ( A ,a)

Hom ( A , Y )

l y

Hom ( B ,a)

As´ı pues, siβ:A→X entonces

Hom(B, α)(λX(β)) =λY(Hom(A, α)(β))

Ahora bien comoHom(A, α)(β) =αβyHom(B, α)(ρ) =αρ, entonces la igualdad quedaαλX(β) =λY(αβ).

Ahora bien λA : Hom(A, A) → Hom(B, A) y λA(1A) : B → A.

Veamos queλA(1A) es un isomorfismo. En efectoλB:Hom(A, B)→

Hom(B, B) y por tanto λ−B1 :A→B.

Tomemos X = B, Y = A y α = λA(1A) es el diagrama arriba y

tomando β = λ−B1(1B) : A → B se tiene λA(1A) ◦λB(λ−B1(1B)) =

λA(λA(1A)◦λ−B1(1B)). Es decir que

λA(1A) =λA(λA(1A)◦λ−B1(1B))

y comoλes un isomorfismo natural, entoncesλA(1A)◦λ−B1(1B) = 1A.

Ahora bien puesto queλ es un isomorfismo natural, tambi´en es λ−1.

Aplicando el procedimiento a

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Se tiene queλ−B1(1B) y (λA−1)−1(1A) cumplen

λ−B1(1B)◦(λ−A1)−1(1A) = 1B ↔λ−B1(1B)◦λA(1A) = 1B 2

1.27 Proposici´on:

Sea R, R1 : A → B y S, S1 : B → A funtores y suponga que

(R, S) y (R1, S1) son pares adjuntos. Entonces R ∼= R1 si y solo si

S∼=S1.

Demostraci´on:

Veamos que si R ∼=R1, entonces S ∼=S1. La otra implicaci´on queda

como ejercicio. Si λA : R(A) → R1(A) es un isomorfismo natural

entonces por 1.26, tambi´en lo es

Hom(λA, X) :Hom(R(A), X)→Hom(R1(A), X)

Se tiene pues una composici´on de isomorfismos naturales

Hom(A, S(X))→Hom(R(A), X)→Hom(R1(A), X)→Hom(A, S1(X))

donde el primero y el ´ultimo est´an determinados por las adjunciones (R, S) y (R1, S1). Puesto que Hom(A, S(X)) ∼= Hom(A, S1(X))

en-tonces por 1.26,S(X)∼=S1(X).

1.28 Corolario:

Si Si : B → A i = 1,2 son adjuntos a derecha de R :A → B,

entoncesS1 ∼= S2. Igualmente, si R1, R2 son adjuntos a izquierda de

S:B → A, entoncesR1 ∼=R2 2

Concretemos ahora la relaci´on entre problemas de soluci´on universal y adjuntos. Primero veamos que soluci´on universal, para un funtor, implica existencia de otro. Mas adelante veremos que en efecto es su adjunto.

1.29 Proposici´on:

Suponga que el problema planteado porS :B → Atiene soluci´on universal. Entonces S determina un funtor R :A → B y una trans-formaci´on natural ϕA : A → SR(A), conde A recorre los objetos de

(19)

Demostraci´on:

SeaA∈ A. Puesto que el problema deS tiene soluci´on universal existe X en B y un morfismo i:A → S(X) que es soluci´on al problema de S sobre A. Todos los X soluci´on para A son isomofos seg´un hemos visto. Sea R(A) un elemento de la clase de equivalencia que ahora mantenemos fijo paraA. R(A) ser´a por supuesto la imagen de A por el funtor que deseamos definir. Ahora bien sif :A→Bes un morfismo deAentonces supuesto queY es soluci´on paraB y quej:B→S(Y) entonces existe el morfismoA →f B →j S(Y) y para el X soluci´on de Aexiste un ´unico H:X →Y tal que el diagrama conmuta

A S ( X )

S ( H )

S ( Y ) B

i

f

j

En particular paraX=R(A) y Y =R(B) el ´unicoH en el diagrama dado lo denotamos R(f). R(f ) es pues el ´unico morfismo, R(f) : R(A)→R(B) tal que el siguiente diagrama conmuta

A S ( R ( A ) )

S ( R ( f ) )

S ( R ( B ) )

jB B

f

(20)

en donde ϕA y ϕB se usan como notaci´on en cambio de i y de j

para mostrar su dependencia del dominio de los mismos. El diagrama muestra queϕes una transformaci´on natural en cuanto se demuestre queRen efecto es un funtor. Pero para la composici´onA1

f

→A2 g

→A3

el diagrama que sigue conmuta:

A1 S ( R ( A ) )

g

S ( R (g ),R ( f )) f

A2

A3 S ( R ( B ) ) j A

1

j A

2

ComoR(g◦f) es el ´unico que lo deja conmutativo (por definici´on de la imagen porR de un morfismo) el diagrama

A1 S ( R ( A ) )1

g

S (R ( gof )) f

A2

A3 S ( R ( A ) )3

(21)

entoncesR(g◦f) =R(g)◦R(f).

De igual manera 1R(A)deja conmutativo el diagrama que sigue adem´as deR(1A) y por tanto los dos deben coincidir

A S ( R (A ) )

S ( 1R(A))

S ( R (A ) )

j A A

1A

jA

As´ı puesR(1A) = 1R(A).

R es pues un funtor y ϕA∈A es una transformaci´on natural ϕ: 1A → SR 2

Ahora demostraremos que el par (R, S) es un par adjunto.

1.30 Proposici´on: Con la notaci´on de 1.26, S de soluci´on universal, existe una tranformaci´on natural Ψ :RS→1B.

Demostraci´on:

Sea ΨB : RS(B) → B el ´unico morfismo RS(B) → B que deja

con-mutativo el diagrama

S ( B ) S ( RS( B ) )

S ( B) 1S(B)

j S(B)

(22)

el cual existe por la condici´on de soluci´on universal. Para mostrar la naturalidad requerimos alguna preparaci´on. Para iniciar note que paraB =R(A) se tiene un diagrama conmutativo

SR ( A ) SRSR( A )

SR ( A) S ( 1R(A)) =1SR(A)

j SR(A)

( A ) S (YR(A))

Por naturalidad deϕ se tiene

A S ( R ( A ) )

S ( 1R(A))

S ( R ( A ) )

jA A

1A

jA

( B )

y adem´as

A SR ( A )

SR (jA)

SRSR ( A )

j SR(A)

SR (A )

jA

j A

( C )

(23)

A SR (A )

S (YR(A))

SRSR ( A ) j SR(A)

A

1A

j A

SR ( A ) j A

y reemplazandoC se obtiene

A SR ( A )

SRSR ( A )

SR (A )

jA A

1A

jA

SR (j A)

S (YR(A))

o lo que es lo mismo

A

S R ( A )

S (YR(A)oj A)

S R ( A )

jA

A

1A

j A

(24)

R (A ) RSR ( A )

R ( A)

1R(A)

R(j A)

YR(A) ( D )

Veamos ahora que Ψ es natural.

Seaf :B →B0 un morfismo de B. Veamos que el diagrama conmuta.

RS ( B ) B

f

B'

YB' RS ( B' )

YB

RS ( f )

Una propiedad general de pares adjuntos es la unicidad del adjunto mas precisamente.

1.31 Proposici´on:

Sean R, R1 : A → B, S, S1 : B → A. Si (R,S) y (R1, S1) son

pares adjuntos entoncesR∼=R1↔S ∼=S1 2

Se tiene entonces finalmente una relaci´on m´as entre adjuntos y l´ımites.

1.32 Proposici´on:

(25)

2. Si paraF :G→B, limF =B entonces limSF =S(B)

Lo expresado de manera calculistaR(colimF) =colimRf yS(limF) = limSF 2

Sumas y Productos

SiXes un conjunto entonces el grafo de X, gr(X) tiene como objetos los elementos deXy six, y∈X, entoncesHom(x, y) =φ. Cl´aramente un funtorgr(X)→A, en dondeAes un grafo cualquiera, es simplemente una funci´onf :X→ObjAes decir lo que se conoce como una familia de objetos deA, con la notaci´on corriente de familia. Note adem´as que si f :X → Y es una funci´on de conjuntos entoncesgr(f) : gr(X) → gr(Y), x → f(x) es un funtor. Ahora bien las imagenes de X y f respectivamente caen en los grafos. Con el objeto de completar la inclusi´on de los conjuntos en los grafos debemos tener una estructura en estos ´ultimos. Iniciemos con ella, a modo de ejemplo. Para iniciar note que si A y B son grafos entonces el cardinal de la clase de los funtoresF :A → Bes mayor que el cardinal deB. Por tanto siBes una clase propia, no un conjunto, entonces los funtores deA → B forman una clase propia. Pero si los objetos de A y B forman conjuntos, tambi´en los funtores entre ellos forman conjuntos. Para categorizar grafos tomamos grafos peque˜nos.

Grafos Peque˜nos

Un grafoG se dice grafo peque˜no si los objetos de G forman un con-junto.

1.33 Proposici´on:

(26)

A la categor´ıa de 1.31 se le denotar´aGrf. Para darle m´as fuerza a la inclusi´on de los conjuntos en los grafos agregamos una definici´on que corresponde a esa idea.

1.34 Definici´on:

Sea F : A → B un funtor. Para X, Y ∈ ObjA sea FXY, la

funci´onHom(X, Y)→Hom(F(X), F(Y)),α→F(α).

i Diremos queF esfiel si∀X, Y,FXY es inyectiva.

ii Diremos queF espleno si∀X, Y,FXY es sobreyectiva.

iii Diremos que F es una inmersi´on si F es plenamente fiel (pleno y fiel) yF|ObjA es inyectiva 2

Cuando F es plenamente fiel, entonces Imf (la im´agen F) es una categor´ıa si A lo es y si es una inmersi´on entonces A ∼= ImF y se acostumbra a identificarlas por medio deA=F(A) yα=F(α). Esto es lo que sucede en el caso de los conjuntos y los grafos:

1.35 Proposici´on:

La funci´on CON J → Grf, X → Grf(x), α → Grf(α) es una inmersi´on. 2

Mantenemos entonces la palabra familia para diagramas cuyos domi-nios son conjuntos. Los l´ımites sobre ellos son muy usados y les damos nombre especiales:

1.36 Definici´on: Tomamos

i Al l´ımite de una familia {Ai}i∈I de objetos de una categor´ıa se

le llama el producto de la familia y se le denotaY

i∈I

Ai

ii Al col´ımite se le llama la suma de la familia y se le denotaX

i∈I

(27)

La caracterizaci´on est´a dada as´ı:

1.37 Proposici´on:

Para una familia{Ai}i∈I y un objetoP de una categor´ıa A, las

siguientes afirmaciones son equivalentes: i P 'Y

i∈I

Ai

ii Para cada i ∈ I, existe un morfismo πi :P → Ai y si Q es un

objeto de A para el cual existe, para cada i ∈ I, un morfismo fi : Q→ A, entonces existe un ´unico morfismo H :Q → P tal

que para cadai∈I,πi◦f =fi 2

Una afirmaci´on dual caracteriza a P

Ai y el lector debe proveerla.

Normalmente los morfismosπi :

Y

i∈I

Ai→Aj se llaman las proyecciones

del producto y sus duales P

j :Aj

X

i∈I

Aj se llaman las inclusiones de

(28)

PROBLEMAS

1. Muestre que los objetos y homomorfismos corrientes en cada caso constituyen categor´ıas (agregamos nombres con los cuales ser´an usados en el texto).

CON J de los conjuntos (y funciones)

SGR de los semigrupos (operaciones asociativas, modulativas) y homomorfismos (que preservan el m´odulo)

GR de los grupos

AB de los grupos abelianos AN de los anillos

DOM de los dominios

DIP de los dominios de ideales principales

2. Los funtores que olvidan estructura se llaman funtores de olvido.

i Muestre que existen funtores de olvido: a. SGR→CON J.

b. GR→SGR. c. GR→CON J. d. AB→GR.

e. AB→SGR. f. AN →AB. g. AN →CON J. h. Cat→Grf.

Aqu´ıCaty Grf est´an formados por (objetos) categor´ıas y grafos respectivamente, cuyos objetos mismos forman con-juntos y como morfismos los funtores correspondientes. ii Con este resultado puede simplificar considerablemente el

(29)

iii Para los funtores de i construya adjuntos a izquierda. Note que hay dos tipos de situaciones: por ejemplo en el paso GR→AB se tiene ya un grupo y debe arreglarlo para que sea el resultado conmutativo. En estos casos use cocientes. Otros casos por ejemplo CON J → SGR el proceso es de construcci´on. Los dos casos de construcci´on b´asicos son: para un conjuntoX,

∞ [

n=0

Xnque estructura tiene?) con

ope-raci´on yuxtaposici´on y {

n

X

i=1

nixi | n ∈ N, ni ∈ Z, xi ∈ X}

con operaci´on suma de coeficientes de t´erminos semejantes (que estructura tiene?).

iv Los adjuntos a izquierda, de funtoresA →CON J, se deno-minan funtores libres. Construya y d´e expl´ıcitamente todos los funtores libres que se deriven de las partes i e ii.

3. Muestre que siA1, A2, ..., An son grupos abelianos entonces

A1×A2×...×An con la suma coordenada a coordenada es la

suma y el producto en la categor´ıa de los grupos abelianos.

4. El l´ımite de un diagrama A →σ B ←β C en una categor´ıa (si existe) se llama el producto fibrado de σ y β. El col´ımite de A←γ B →δ C se llama la suma amalgamada deγ yδ.

i D´e el grafo que caracteriza a A →α B ←β C lo mismo que paraA←γ B→δ C.

ii A→α B ←β Cse llama un par meta. Describa la categor´ıa de los pares meta deA como una categor´ıa de funtores. Qu´e es entonces un morfismo de pares meta?

(30)

iv Calcule expl´ıcitamente productos fibrados y sumas amalga-madas enCON J yAB.

v En un cuadro conmutativo, como en la figura, hay un par fuente y un par meta

A B

D C

El cuadrado se dice cartesiano si el par fuente es el pro-ducto fibrado del par meta. Caracterice enAlos cuadrados cartesianos y los cuadrados cocartesianos.

5. Suponga que A es un objeto deA tal que para cada X, X×A existe (Aqu´ı×denota el producto categ´orico entre dos objetos). Muestre que X → X×A se completa en un funtor A → A. Muestre que realmente la familia{πX :X×A→X|X ∈ObjA} es una transformaci´on natural. Use suma en cambio de producto par dar otro ejemplo de funtor y transformaci´on natural. 6. Muestre que en una categor´ıa siA×B existe, entonces tambi´en

existeB×A y queA×B 'B×A.

7. En una categor´ıaA,M orAtiene estructura de categor´ıa tomando como morfismosf →g las parejas (α, β) de morfismos

α:Domf →Domg, β:Codf →Codg tales que βf =gα. Veri-fique queM orAes en efecto una categor´ıa y muestre que si f, g son morfismos deAyDomf×DomgyCodf×Codg existen en A, entoncesf ×g existe enM orA. Con este teorema cu´al otro qued´o demostrado?.

8. Suponga que en una categor´ıa A el funtor A×X tiene adjun-to a derecha. Usualmente se denota XA. Explique por qu´e A×X

i∈I

Bi'

X

i∈I

(A×Bi) y (

Y

i∈I

Bi)A'

Y

i∈i

(31)

9. Muestre que CON J es un ejemplo de una categor´ıa en donde los productos existen y para cadaA, el funtor X×A tiene ad-junto. Cu´ales son las leyes conjuntistas que se derivan de este resultado?. Para la adjunci´on (X×A, XA) d´e las funciones y las transformaciones de adjunci´on.

10. A los funtores del problema 2 catal´oguelos en fieles, plenos, ple-namente fieles o inmersiones.

11. Las categor´ıas φ y∗

i Muestre que φ es en efecto una categor´ıa. Adem´as si ∗ es un s´ımbolo cualquiera por el problema 1 hay una categor´ıa asociada al conjunto{∗}la cual denotamos por∗. Describa la categor´ıa∗.

ii Muestre que para categor´ıas A, hay uno y un s´olo funtor φ→ Ay uno y un s´olo funtor A → ∗.

iii Existen transformaciones naturales φ → φ? Explique la pregunta y la respuesta.

iv Muestre que un funtorF :A → B es constante, si y s´olo si se factoriza

E

‡

F

J

(Realmente ´esta es la definici´on m´as formal del funtor cons-tante)

v Existen funtores constantesφ→ A? Cuantos? Con base en su respuesta decida: Es cierto que dos funciones constantes de valoresa ybson iguales si y s´olo si a=b? (Note que la pregunta apunta a casos especiales).

(32)

12. Calcule el l´ımite y el col´ımite de A0

α1 →A1

α2

→A2→. . .→An−1 αn →An

en una categor´ıa cualquiera. Caracterice el l´ımite (llamado se-cuencial) de

A0 α1 →A1

α2 →A2

α3 →A3. . .

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