Control óptimo de problemas elípticos lineal cuadráticos

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Facultad de Ciencias

Trabajo Fin de Grado

Grado en Matemáticas

Control óptimo

de problemas elípticos

lineal

-

cuadrático

s

Autor: Ignacio Miguel Cantero

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Control ´

optimo de problemas

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(5)

´

_{Indice general}

Introducci´on 1

1. Nociones previas 3

1.1. Espacios Normados, operadores y espacio dual . . . 3

1.2. Espacios de Sobolev . . . 9

1.3. Convergencia d´ebil . . . 15

2. Control ´optimo de ecuaciones en derivadas parciales el´ıpticas 19 2.1. Soluciones d´ebiles de ecuaciones el´ıpticas . . . 19

2.2. Existencia de controles ´optimos . . . 30

2.2.1. Control distribuido . . . 30

2.2.2. Condiciones de frontera de tipo Robin . . . 35

3. Condiciones de primer orden. 37 3.1. Diferenciabilidad en espacios de Banach . . . 37

3.2. Operador adjunto . . . 42

3.3. Optimizaci´on cuadr´atica en espacios de Hilbert . . . 45

3.4. Fuente de calor estacionaria ´optima . . . 47

3.4.1. Estado adjunto y principio del m´aximo . . . 49

3.4.2. Condiciones puntuales de optimalidad . . . 50

3.4.3. Formulaci´on de Karush-Kuhn-Tucker . . . 55

3.4.4. El gradiente del funcional coste reducido . . . 58

3.5. Condiciones de frontera Robin . . . 59

3.5.1. Variante del funcional coste . . . 62

Bibliograf´ıa 65

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Introducci´

on

El objetivo de este Trabajo Fin de Grado es la introducción y análisis del control óptimo de problemas el´ıpticos lineal-cuadráticos, donde nos centrare-mos en el caso de controles distribuidos. En particular, identificarecentrare-mos dichos problemas con la búsqueda de fuentes de calor estacionarias óptimas.

En el primer cap´ıtulo, recordamos alguno de los conceptos esenciales para abordar el tratamiento de los controles. La mayor´ıa de los resultados se han visto en asignaturas de cuarto curso del grado en Matem´aticas. En particular, se enmarcan en asignaturas como An´alisis Funcional, y Ecuaciones en Derivadas Parciales.

En el segundo cap´ıtulo, se abordará la existencia de soluciones débiles de problemas de valores frontera el´ıpticos, tanto con condiciones frontera Dirichlet homogéneas, como con condiciones frontera de tipo Robin. Para ello será necesario realizar la formulación variacional del problema, a fin de poder aplicar el teorema de Lax-Milgram. Posteriormente, nos centramos en la existencia de controles óptimos, donde introduciremos el operador control-estado. Este hecho, nos permitirá tratar cómodamente el problema de minimización del funcional reducido.

Por último, en el tercer cap´ıtulo, comenzamos introduciendo los conceptos de diferenciabilidad en espacios de Banach, mostrando las similitudes con el caso de funciones reales de varias variables. A continuación, introducimos el concepto de operador adjunto, lo que nos servirá para derivar las condiciones necesarias de primer orden. Concluimos, analizando las condiciones necesarias de primer orden sobre los problemas que vimos en el cap´ıtulo anterior. Será necesario, introducir el estado adjunto asociado al control, lo que permitirá llevar nuestro problema de control a la solución de un sistema optimal. Incluiremos el planteamiento de dicho sistema optimal como un Sistema de Karush-Kuhn-Tucker.

Como aplicaciones se han seguido los art´ıculos [But], [Luo], [Mau], y [Olg].

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Cap´ıtulo 1

Nociones previas

La pretensión del cap´ıtulo es el de resumir algunos de los conceptos básicos junto con los resultados más relevantes acerca de espacios normados, aplicaciones entre espacios normados, espacio dual, espacios de Sobolev, y convergencia débil.

Debido a que el contenido de este cap´ıtulo se ha desarrollado en asignaturas de cuarto del grado, especialmente en Análisis Funcional y en Ecuaciones en Derivadas Parciales, no se incluirá la demostración de la mayor´ıa de resultados.

Las referencias para este cap´ıtulo son [Cas], [Gal], [Sal], [Tr¨o] y [Ver].

1.1. Espacios Normados, operadores y espacio

dual

En este trabajo nos centraremos en el caso real. Las definiciones se escribirán refiriéndonos al cuerpo de los números reales_R cuando haya ambigüedad.

Definici´on 1.1.1. SeaXun espacio vectorial sobre el cuerpo_R. Una aplicaci´on de X en _R,que denotaremos por k k, es una norma sobre X si se verifican las cuatro propiedades siguientes:

1) kxk ≥0 para cadax∈X.

2) kxk= 0 si,y solo si, x= 0.

3) kλxk=|λ|kxk para cada x∈X y cada λ ∈_R.

4) kx+yk ≤ kxk+kyk para cada x, y ∈X.

Un espacio normado (real) es un par (X,k k) donde X es un espacio vectorial sobre _R y k k es una norma sobre X.

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Observación 1.1.2. Por definición, el espacio vectorialX junto a la norma asociada forman un espacio normado. Si consideramos el mismo espacio vectorial y cambiamos la norma asociada obtendremos un espacio normado distinto. Sin embargo, en la mayor´ıa de situaciones la norma que consideramos está clara y por tanto la omitimos diciendo que X es un espacio normado.

Ejemplo 1.1.3. El espacio _Rn _{es un espacio normado si consideramos por}

ejemplo la norma eucl´ıdea. El espacio de las funciones reales f : [a, b] → _R

continuas, que denotamos por C[a, b], es un espacio normado, con la norma del m´aximo,kfkC[a,b]=m´ax

t∈[a,b]|f(t)|.

A continuación presentaremos la definición de sucesión de Cauchy, lo que nos permitirá hablar de espacios de Banach.

Definici´on 1.1.4. Sea (X,k k) un espacio normado, y sea{xn}

∞

n=1 ⊂X una

sucesión cualquiera de X. Diremos que la sucesión es convergente si existe algúnx∈X tal que l´ımn→∞kxn−xk= 0. Llamamos l´ımite de la sucesión a

x.

Definici´on 1.1.5. Sea (X,k k) un espacio normado, y sea{xn}

∞

n=1 ⊂X una

sucesi´on cualquiera de X. Diremos que la sucesi´on es de Cauchy si para todo

>0 existe alg´un n0 =n0() ∈ N tal que kxn−xmk ≤ para cualesquiera

n, m > n0().

Es bien conocido el resultado siguiente: Toda sucesión convergente en un espacio normado, es una sucesión de Cauchy. El rec´ıproco en general es falso. El hecho de que el rec´ıproco sea en general falso motiva el concepto de espacio de Banach que presentamos en la siguiente definición:

Definici´on 1.1.6. Decimos que un espacio normado (X,k k) es completo si toda sucesi´on de Cauchy enX es convergente, esto es, tiene l´ımite enX. Un espacio normado que es completo, se denomina espacio de Banach.

Ejemplo 1.1.7. El espacio C[a, b] dotado de la norma del m´aximo k · kC[a,b]

es un espacio de Banach.

A continuaci´on introduciremos una clase de espacios que juega un papel fundamental en este trabajo, los espacios Lp_.

En lo que sigue, E denotar´a un subconjunto de_Rn,E ⊂_Rn_{, no vac´ıo, acotado}

y medible Lebesgue, con medida N-dimensional de Lebesgue |E| 6= 0.

Definici´on 1.1.8. Denotamos por Lp₍_E_{), para 1}_≤_{p <}_∞_{, el espacio lineal}

de todas las (clases de equivalencia de) funciones medibles Lebesgue, f, que cumplen que

Z

E

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1.1. ESPACIOS NORMADOS, OPERADORES Y ESPACIO DUAL 5

En este contexto se identificar´an funciones que difieran en conjuntos de medida cero. Dotando a este espacio de la norma

kfkLp₍_E₎ := Z

E

|f(x)|pdx

1/p

,

tenemos que Lp₍_E_{), con 1}_≤_{p <} _∞_{, es un espacio de Banach.}

Definición 1.1.9. Una función f real medible en X está esencialmente acotada en X si existe un número realα ≥0 tal que

|{x∈X :|f(x)|> α}|= 0.

En estas condiciones se dice que la constante α es una cota esencial de f.

Definición 1.1.10. Denotamos por ess sup el supremo esencial de una función, es decir, la menor de las cotas esenciales de dicha función.

Ejemplo 1.1.11. Si tomamos la funci´onf : [0,1]−→_R, que toma el valor 0 en (0,1], y vale 1 parax= 0. Tenemos que sup_x_∈_[0_,_1]|f(x)|= 1, sin embargo,

esssup_x_∈_[0_,_1]|f(x)|= 0, puesto que la funci´on es igual a cero c.s.

Definici´on 1.1.12. Denotamos por L∞(E) al espacio de Banach formado por todas las (clases de equivalencia de) funciones medibles Lebesgue y acotadas esencialmente, f, dotado de la norma

kfkL∞₍_E₎ =esssup x∈E

|f(x)|:= ´ınf

|F|=0( sup_x∈E\F

|f(x)|).

Se introduce a continuaci´on el concepto de producto interno.

Definici´on 1.1.13. Sea H un espacio vectorial real. Un producto interno sobreHes una aplicaci´on deH×Hen_R, que denotamos por (·,·) :H×H −→

R, y que cumple para todosx, y, z ∈H y λ∈R las siguientes propiedades:

1) (x, x)≥0, y (x, x) = 0 si, y solo si,x= 0 .

2) (x, y) = (y, x) .

3) (x+y, z) = (x, z) + (y, z) .

4) (λx, y) =λ(x, y) .

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Observaci´on 1.1.14. De nuevo,hablaremos deHcomo espacio con producto interno, en vez de H,(·,·), si es claro que producto interno estamos conside-rando sobreH.

Ejemplo 1.1.15. L2[a, b] con respecto al producto escalar

(u, v) :=

Z b

a

u(t)v(t)dt,

es un espacio con producto interno, y la norma k · kL2 se define a partir del

producto interno.

Todo espacio con producto interno H,(·,·)

es un espacio normado con respecto a la norma

kuk:=p(u, u).

Proposici´on 1.1.16 (Desigualdad de Cauchy-Schwartz). Sea H un espacio con producto interno. Si u, v ∈H entonces|(u, v)| ≤ kukkvk.

Proposici´on 1.1.17(Desigualdad de Bessel).SeaHun espacio con producto interno, yA un subconjunto ortonormal deH. Entonces para todo x∈H, y

u1, u2, . . . , un ∈A se tiene que n

X

k=1

|(x, uk)|2 ≤ kxk2.

Definici´on 1.1.18. Decimos que un espacio con producto interno H,(·,·) es un espacio de Hilbert, si es completo con respecto a la norma asociada a (·,·).

Ejemplo 1.1.19. El espacio (L2_[_{a, b}_]_,_{k · k}

L2) es un espacio de Hilbert con

respecto al producto escalar est´andar.

A continuaci´on trataremos las aplicaciones entre espacios normados, comenzando con las definiciones elementales. En lo que sigue, asumiremos que (X,k · kX) e (Y,k · kY) son espacios normados sobre R.

Definici´on 1.1.20. Diremos que una aplicaci´onφ :X−→Y es lineal, o que es un operador lineal, si φ(λx+µy) =λφ(x) +µφ(y) para todo x, y ∈X, y para todoλ, µ∈_R.

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1.1. ESPACIOS NORMADOS, OPERADORES Y ESPACIO DUAL 7

Definici´on 1.1.21. Diremos que una aplicaci´onφ:X −→Y es continua en

X, si para cualquier sucesi´on {xn}∞n=1 ⊂ X, tal que l´ımn→∞kxn−xkX = 0,

se tiene que l´ımn→∞kφ(xn)−φ(x)kY = 0.

Definici´on 1.1.22. Un operador lineal φ:X −→Y se dice que es acotado, si existe una constanteK >0, donde laK depende del operadorφ, de modo que

kφ(x)kY ≤KkxkX para todox∈X.

Teorema 1.1.23. En las condiciones anteriores, si φ : X −→ Y es un operador lineal. Son equivalentes:

1) φ es continua en X.

2) φ es continua en 0∈X.

3) Existe unK >0 tal que kφ(x)kY ≤K para cada x∈X conkxkX ≤1.

4) φ transforma conjuntos acotados en conjuntos acotados.

5) φes acotada, es decir, existe unK >0 tal quekφ(x)kY ≤KkxkX para

cada x∈X.

6) φ es uniformemente continua en X.

Definici´on 1.1.24. Denotamos porL(X, Y) el espacio de todos los operadores lineales deX enY con las operaciones usuales. Si ocurre queY =X, entonces escribiremos L(X) :=L(X, X).

Definici´on 1.1.25. Si φ : X −→ Y es una aplicaci´on lineal y continua, llamamos norma del operador φ, al valor

kφkL(X,Y):= m´ın{K >0 :kφ(x)kY ≤KkxkX}.

Definici´on 1.1.26. Si dotamos al espacio L(X, Y) de la norma k · kL(X,Y),

este adquiere estructura de espacio normado.

Proposici´on 1.1.27. Dado un operador φ : X −→Y lineal y continuo. Se verifica

kφk= sup

x6=0

kφ(x)k

kxk = supkxk=1

kφ(x)k.

Proposici´on 1.1.28. Si Y es completo, entonces L(X, Y) es de Banach. El rec´ıproco es cierto siempre que X sea un espacio no trivial, esto es, si

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A continuaci´on introducimos el concepto de espacio dual, que resultar´a de vital importancia a lo largo del trabajo.

Observaci´on 1.1.29. Dado un espacio normado X, siF ∈ L(X,_R),

representaremos frecuentemente la acci´on de F sobre un elemento x por

< F, x >:=F(x), para cadax∈X.

Definici´on 1.1.30. Llamamos espacio dual deX, y lo denotamos porX∗, al espacio de todos los funcionales lineales y continuos en (X,k · kX). Es decir,

X∗ :=L(X,_R). Con la norma:

kFkX∗ := sup

kxkX=1

|< F, x >|.

Observaci´on 1.1.31. Como_Res un espacio completo, entonces en virtud de la proposici´on previa, tenemos que el espacio dual X∗ siempre es un espacio de Banach.

Buscamos la representación de los funcionales lineales y continuos, con vistas a caracterizar el espacio X∗. En espacios de Hilbert, se dispone del teorema de representación de Riesz, que enunciaremos a continuación.

Teorema 1.1.32 (Teorema de representaci´on de Riesz). Sea H un espacio de Hilbert yF un funcional lineal sobreH. Si F es continuo enH, entonces existe un ´unico y∈H con kykH =kFkH∗, tal que

< F, x >= (y, x)H para todox∈H.

Observaci´on 1.1.33. En virtud del resultado anterior podemos identificar

H∗ con H, escribiendo simplementeH =H∗.

Ejemplo 1.1.34. Consideremos en L2₍_E_{) el funcional lineal dado por} _<

Tg, f >:=

R

Ef(x)g(x)dx, dondeg ∈L

2₍_E_{) est´}_{a fijo. Entonces, dicho funcional}

es continuo, y de hecho, se tiene quekTk=kgk.

A continuaci´on, trataremos la reflexividad de espacios de Banach.

Definici´on 1.1.35. Llamamos espacio bidual de X, al espacioX∗∗, esto es,

X∗∗:= (X∗)∗.

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1.2. ESPACIOS DE SOBOLEV 9

Observaci´on 1.1.37. En el caso de espacios reflexivos, tomando el espacio bidual, volvemos al espacio original. En particular, los espacios de Hilbert son siempre reflexivos.

Los espacios Lp₍_E_{) que introdujimos anteriormente son espacios reflexivos}

para 1< p <∞. De hecho, siqdenota el exponente conjugado dep, es decir,

1

p +

1

q = 1, entonces podemos identificar el espacio dual de L

p₍_E_{), esto es,}

Lp₍_E₎∗ _con_Lq₍_E_{). En cambio, los espacios}_L1₍_E_{) y}_L∞₍_E_{) no son reflexivos.}

De hecho, mientras que L1(E)∗ se puede identificar con L∞(E), el espacio dual deL∞(E) no se puede identificar con L1₍_E_).

Concluiremos la secci´on introduciendo el concepto de separabilidad.

Definici´on 1.1.38. Un espacio de Banach X es separable, si existe un subconjunto D⊂X numerable y denso en X.

Ejemplo 1.1.39. Los espacios Lp(E) son separables para 1≤p < ∞.

1.2. Espacios de Sobolev

En esta sección, introducimos la noción de derivada débil que resulta indispensable para llegar a los espacios de Sobolev, que serán nuestro marco principal de trabajo.

En lo que sigue, Ω denotar´a un subconjunto de _Rn, Ω ⊂ _Rn_{, que es}

un dominio, esto es, un conjunto abierto y conexo, cuya frontera se denota generalmente por Γ. Adem´as, tomaremos g : Ω −→ _R una funci´on definida en Ω, y escribiremos la adherencia del conjuntoE como E.

Definici´on 1.2.1.

1) Seak ∈_N. Denotamos porCk_{(Ω) el espacio lineal de todas las funciones}

reales en Ω que, junto con sus derivadas parciales hasta orden k, son continuas en Ω. Llamamos funci´on de clasek, a una de tales funciones.

2) Dado una funci´on g continua, el conjunto sop g = {x∈Ω :g(x)6= 0}

se llama soporte de g. Es el menor cerrado fuera del cu´al la funci´on g

es id´enticamente nula.

3) Denotamos por Ck

0(Ω), para k ∈ N∪ {0,∞}, el conjunto de funciones

de clasek, es decir, de funcioneskveces diferenciables con continuidad, con soporte compacto en Ω.

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funciones test se anulan en la frontera Γ. Adem´as son funciones diferenciables de cualquier orden. Estas dos propiedades ser´an de utilidad para definir los espacios de Sobolev.

Definici´on 1.2.3. Diremos que α es un multi-´ındice, si es un vector α := (α1, α2, . . . , αn) cuyas componentes son enteros no negativos. El n´umero

|α|:=α1+α2+· · ·+αn se llama longitud del multi-´ındice.

Para nosotros las componentes αi del multi-´ındice, indicar´an el n´umero

de veces que derivamos la funci´on f respecto de la variable xi.

Observaci´on 1.2.4. El uso de los multi-´ındices, permite utilizar la siguiente notaci´on

Dαf = ∂

|α|_f

∂xα1

1 ∂x

α2

2 . . . ∂xαnn

para cada f ∈C|α|.

El valor|α|representa el orden total de derivaci´on. Adoptamos por convenio queD(0)_f _:=_f_.

Definici´on 1.2.5. Sea Ω ⊂ _Rn _{acotado. Denotamos por} _Ck_{(Ω), para} _k _∈

N, al espacio de todos los elementos de Ck(Ω) que junto con sus derivadas

parciales hasta el orden k, se extienden de forma continua hasta Ω. En el caso k = 0, escribiremos simplementeC(Ω) en vez de C0_(Ω).

Observaci´on 1.2.6. El espacioCk_{(Ω) es de Banach con respecto a la siguiente}

norma:

kfk_Ck_(Ω) = X

|α|≤k

kDα_f_k C(Ω)=

X

|α|≤k

m´ax

x∈Ω

|Dα_f₍_x₎_|.

A continuación daremos la definición de dominio regular [Trö, pag 26], puesto que la teor´ıa de ecuaciones en derivadas parciales necesita que los dominios Ω tengan una frontera suficientemente “suave”.

Definici´on 1.2.7. Sea Ω⊂_Rn_{, con}_n _≥_{2, un dominio acotado con frontera}

Γ. Diremos que Ω, o Γ son de clase Ck,1_{, con} _k _∈

N, si existen un n´umero

finito de sistemas de coordenadasS1, . . . , Sm, funcionesh1, . . . , hm, y n´umeros

a >0 yb >0 que cumplen las siguientes propiedades:

1) Las funciones hi, para 1≤i≤m, son k veces diferenciables en el cubo

cerrado de dimensi´onn−1

¯

Qn−1 ={y = (y1, y2, . . . , yn−1) : |yi| ≤a, i= 1, . . . , n−1}

y las derivadas parciales de ordenk de cada hi son funciones Lipschitz

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2) Para cualquier P ∈Γ existe alg´uni∈ {1, . . . , m}, tal que en el sistema de coordenadasSi, existe un y∈Qn−1 cumpliendo que P = (y, hi(y)).

3) En el sistema local de coordenadas Si tenemos que

(y, yn)∈Ω ⇐⇒ y ∈Q¯n−1, hi(y)< yn < hi(y) +b;

(y, yn)∈/ Ω ⇐⇒ y∈Q¯n−1, hi(y)−b < yn < hi(y).

Mantendremos a lo largo del trabajo la notaci´on Γ =∂Ω = F r(Ω).

Observación 1.2.8. El significado geométrico de la condición 3) es que el dominio se apoya localmente a un lado de la frontera.

Definici´on 1.2.9. Los dominios, y fronteras de dominios, de clase C0,1_,

se llaman dominios Lipschitz (o dominios regulares), y fronteras Lipschitz, respectivamente.

El paso previo para llegar a los espacios de Sobolev, es el concepto de derivada d´ebil, o derivada en el sentido de las distribuciones.

Definici´on 1.2.10. Denotamos porL1

loc(Ω) el conjunto de todas las funciones

medibles, que son localmente integrables en Ω, esto es, que son integrables en el sentido de Lebesgue en cada compacto contenido en Ω.

Definici´on 1.2.11. Seaf ∈L1

loc(Ω) yαun multi-´ındice dado. Si una funci´on

w∈L1_loc(Ω) cumple que

Z

Ω

f(x)Dαv(x)dx= (−1)|α|

Z

Ω

w(x)v(x)dx ∀v ∈C₀∞(Ω),

donde

Dαf = ∂

|α|_f

∂xα1

1 ∂x

α2

2 . . . ∂xαnn

.

Entonces decimos que w es la derivada d´ebil de f (asociado a α).

En otras palabras, wes la derivada débil def si cumple la fórmula de la integración por partes de la misma manera que lo har´ıa la derivada (fuerte)

Dα_f_{, si} _f _{perteneciera a} _Ck_{( ¯}_{Ω). Debido a esto y al hecho de que f tenga una}

´

unica derivada d´ebil, justifica que denotemos la derivada d´ebil de la misma forma que la fuerte, esto es, w=Dα_f_.

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Definici´on 1.2.12. Sea 1 ≤ p < ∞ y k ∈ _N. Denotamos por Wk,p_{(Ω) el}

espacio lineal de todas las funciones f ∈ Lp_{(Ω) que tienen derivada d´}_ebil

Dαf en Lp(Ω) para todo multi-´ındice α de longitud |α| ≤ k, dotado con la norma

kfk_Wk,p_(Ω) =

X

|α|≤k

Z

Ω

|Dα_f₍_x₎_|p_dx

1/p

.

An´alogamente, para p=∞, Wk,∞_{(Ω) est´}_{a bien definido, dot´}_{andolo adem´}_as

de la norma

kfkWk,∞_(Ω)= m´ax

|α|≤kkD α_fk

L∞_(Ω).

Los espaciosWk,p_{(Ω) son espacios de Banach. Nos referimos a ellos como}

espacios de Sobolev. Para el caso particular en el que p= 2, escribiremos

Hk(Ω) :=Wk,2(Ω).

Trabajaremos a menudo con H1_{(Ω), esto es,}

H1(Ω) ={f ∈L2(Ω) : ∂f

∂xi

∈L2(Ω), i= 1, . . . , n},

y la norma viene dada por

kfkH1_(Ω) =

Z

Ω

(f2+|∇f|2₎_dx

1/2

,

donde

|∇f|2 _{= (}∂f

∂x1

)2+· · ·+ ( ∂f

∂xn

)2,

es decir, es la norma eucl´ıdea al cuadrado del vector ∇f. Con el producto escalar

(f, g)H1_(Ω) =

Z

Ω

f g dx +

Z

Ω

∇fT · ∇g dx,

donde

∇fT · ∇g =X ∂f

∂xi

∂g ∂xi

,

H1(Ω) es un espacio de Hilbert.

Observaci´on 1.2.13. Los problemas dentro de este espacio surgen cuando uno quiere asignar cierto valor a un punto de la frontera. Por ejemplo, podr´ıamos plantearnos que significa que una funci´on f ∈ Wk,p(Ω) se anule en Γ = ∂Ω. Recordemos que Γ es un subconjunto de _Rn_{, que tiene medida}

cero, y por tanto no est´a bien definido el valor de f ∈Lp_{(Ω) en Γ. De hecho,}

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Los siguientes resultados van encaminados a dar un sentido al hecho de “anularse en la frontera del dominio”.

Definici´on 1.2.14. La adherencia de C₀∞(Ω) en Wk,p(Ω), se denota por

W₀k,p(Ω). Y siguiendo una notaci´on similar a la introducida previamente para el caso p= 2, denotamos por Hk

0(Ω) :=W

k,2 0 (Ω).

Observaci´on 1.2.15. Si dotamos aW₀k,p(Ω) de la normak·kWk,p_(Ω), obtenemos

un espacio normado, y como es un subespacio cerrado deWk,p_{(Ω), entonces es}

tambi´en un espacio de Banach. En particular,H1

0(Ω) es un espacio completo,

dot´andolo de la norma k · kH1_(Ω).

Los elementos de W₀k,p(Ω) pueden interpretarse como funciones cuyas derivadas hasta ordenk−1 se anulan en la frontera. Esto es consecuencia del teorema de la traza que veremos a continuaci´on que nos dice en que sentido las funciones deWk,p_{(Ω) tienen valores en la frontera.}

Teorema 1.2.16(Teorema de la traza). Sea Ω⊂_Rn_{, un dominio Lipschitz, y}

sea 1≤p≤ ∞. Existe una aplicaci´on lineal y continuaτ :W1,p_(Ω)_−→_Lp_(Γ)

tal que para todaf ∈W1,p_(Ω)_∩_C_{( ¯}_{Ω), se tiene que (}_{τ f}₎₍_x_{) =}_f₍_x_{) para todo}

x∈Γ.

Observaci´on 1.2.17. En el caso particular en el que p = 2, se sigue que

τ :H1_(Ω) _−→_L2_{(Γ). Para funciones continuas, tenemos que}_{τ f} _{coincide con}

la restricci´onf|Γ de f a Γ.

Una definici´on concisa de L2_{(Γ) puede encontrarse en [Sal, pag 411-412].}

Definici´on 1.2.18. El elementoτ f se llama la traza def a Γ, y la aplicaci´on

τ se llama operador traza.

La siguiente f´ormula de integraci´on por partes para funciones de H1_(Ω)

es consecuencia del teorema de traza con p= 2.

Corolario 1.2.19. Sea Ω⊂_Rn_{, un dominio Lipschitz. Y sean} _u_∈_H1_{(Ω) y}

v∈(H1_(Ω))n_{. Entonces}

Z

Ω

∇u·vdx=−

Z

Ω

u∇ ·vdx+

Z

Γ

(τ u)(τv)·nedσ,

donde ne es el vector normal exterior unitario a Γ, y τv= (τ v1, . . . , τ vn)T.

Observaci´on 1.2.20. En lo que sigue, por simplificar, usaremos la notaci´on

f|Γ, en vez de τ f. En esta l´ınea, f|Γ0 define la restricci´on de τ f a Γ0, con

(20)

El operador traza τ : H1_(Ω) _−→ _L2_{(Γ) no es sobreyectivo. De hecho la}

imagen de τ est´a estrictamente contenido en L2_{(Γ), dicho de otra manera,}

hay funciones en L2(Γ) que no son “trazas” de funciones deH1(Ω). Se tiene la siguiente definici´on.

Definici´on 1.2.21. Sea Ω⊂_Rn_{, un dominio Lipschitz acotado. Denotamos}

por H1/2_{(Γ), al espacio definido como} _H1/2_{(Γ) =} _{u

|Γ : u ∈ H1(Ω)},

dot´andolo de la norma

kgk_H1/2_(Γ)= ´ınf

kukH1_(Ω) : u∈H1(Ω), u|_Γ =g .

Como el operador traza es continuo,y por tanto, acotado, existe una constantecτ =cτ(Ω, p) tal que

kf|ΓkLp_(Γ)≤c_Γkfk_W1,p_(Ω) para todof ∈W1,p(Ω).

Adem´as para dominios Lipschitz Ω se tiene que

H₀1(Ω) ={f ∈H1(Ω) : f|Γ= 0}.

Por otra parte, sig ∈L2_{(Γ) se tiene que}

kgkL2_(Γ) ≤c_Γkuk_H1 ∀u :u|_Γ =g.

Por lo que,

kgkL2_(Γ)≤c_Γ m´ın

u|Γ=g

kukH1 =c_Γkgk_H1/2_(Γ).

Proposici´on 1.2.22 (Desigualdad de Poincar´e). Sea Ω ⊂ _Rn_{, un dominio}

acotado. Existe una constante positiva CP que solo depende del dominio Ω

y den, de modo que

kfkL2_(Ω)≤C_Pk∇fk_L2_(Ω) =C_Pkfk_H1

0(Ω) para cada f ∈H

1 0(Ω).

Por ´ultimo, tengamos en cuenta que podemos definir una norma enH1 0(Ω)

como sigue

kfk2

H1 0(Ω) :=

Z

Ω

|∇f|2_dx.

Observaci´on 1.2.23. En virtud de la desigualdad de Poincar´e,k · k_H1 0(Ω) es

una norma sobreH1

(21)

1.3. CONVERGENCIA D ´EBIL 15

1.3. Convergencia d´

ebil

Los contenidos que desarrollaremos a continuación son fundamentales para probar la existencia de controles óptimos. Supondremos en esta sección que los espacios que aparecen son espacios de Banach, aunque alguno de los resultados que se enuncian no necesitan que el espacio sea completo.

La convergencia d´ebil se caracteriza por la convergencia a trav´es de los funcionales lineales y continuos asociados al espacio de partida, en concreto

Definición 1.3.1. Sea X un espacio de Banach real. Decimos que una sucesión{xn}∞n=1 de elementos de X, converge débilmente a unx∈X, si

l´ım

n→∞ < f, xn>=< f, x > para todo f ∈X ∗

.

Denotaremos la convergencia d´ebil mediante*, esto es, escribiremosxn* x

cuandon → ∞. El l´ımite queda unicamente determinado, y se llama el l´ımite d´ebil de la sucesi´on{xn}∞n=1.

Observaci´on 1.3.2. En efecto, si xn * x, entonces xes ´unico. Si ocurriera

que xn * x, y xn * y, entonces f(xn) → f(x) y f(xn) → f(y) para todo

f ∈ X∗. Por tanto, f(x) = f(y), luego f(x−y) = 0. Como lo anterior es cierto para todo f ∈X∗ entoncesx=y.

Si no fuera as´ı, esto es, si x 6= y, entonces existir´ıa un funcional g ∈ X∗ tal que kgk = 1, y g(x−y) = kx−yk. Como f(x−y) = 0 para todo f ∈ X∗, deber´ıa ocurrir que g(x−y) = kx−yk = 0, y por tanto x = y, lo que es absurdo.

Teorema 1.3.3 (Banach-Steinhaus). SeanX eY dos espacios de Banach, y sea (Ti)i∈I una familia (no necesariamente numerable), de operadores lineales

y continuos de X en Y. Supongamos que

sup

i∈I

kTixk<∞ ∀x∈X.

Entonces,

sup

i∈I

kTikL(X,Y)<∞.

En otras palabras, existe una constante c, tal que

kTixk< ckxk ∀x∈X, ∀i∈I.

Observación 1.3.4. Deducimos del teorema de Banach-Steinhaus, que la sucesión de números reales {kxnk}∞n=1 es acotada, para cualquier sucesión

(22)

Proposici´on 1.3.5. Si una sucesi´on {xn}∞n=1 de elementos de X converge

fuertemente (es decir, converge con respecto de la norma de X), hacia un elementox∈X. Entonces converge d´ebilmente hacia el mismo x.

Utilizando el teorema de representaci´on de Riesz, tenemos que

Proposici´on 1.3.6. Sea H espacio de Hilbert, y {un}∞n=1 una sucesi´on de

elementos deH. Entonces{un}∞n=1 converge d´ebilmente au∈H si, y solo si,

l´ım

n→∞(v, un)→(v, u) para todo v ∈H

Adem´as, si un * u y vn → v (convergencia fuerte), entonces (vn, un) →

(v, u) cuando n→ ∞.

Ejemplo 1.3.7. Veamos que de hecho la convergencia d´ebil no implica convergencia fuerte. SeaHun espacio de Hilbert, y consideremos una sucesi´on ortonormal {un}∞n=1 de elementos de H. Tomemos v ∈ H. En virtud de la

desigualdad de Bessel (1.1.17), deducimos queP∞

n=1|(un, v)|2 ≤ kvk2, luego

la serie de la izquierda converge, y por tanto el termino general (un, v)→ 0

cuando n → ∞. Es decir, un * 0. Sin embargo, como kun −umk2 = 2 si

n6=m la sucesi´on{un}∞n=1 no converge fuertemente.

Definición 1.3.8. Sean X e Y espacios de Banach reales. Decimos que una aplicación T : X −→ Y es débilmente secuencialmente continua, si para cualquier sucesión {xn}∞n=1 de elementos de X, verificando que xn * x,

se tiene que la sucesi´on formada por sus im´agenes, {T(xn)}∞n=1, converge

d´ebilmente en Y hacia T(x).

Proposici´on 1.3.9. Todo operador lineal y continuo entre dos espacios de Banach,T :X −→Y es d´ebilmente secuencialmente continuo.

Definici´on 1.3.10. SeaXun espacio de Banach real, y seaM un subconjunto de X.

1) Diremos que M es débilmente secuencialmente cerrado, si el l´ımite de toda sucesión débilmente convergente {xn}∞n=1 de elementos de M,

pertenece a M.

2) Diremos queMes débilmente secuencialmente relativamente compacto, si toda sucesión {xn}∞n=1 de elementos de M, admite una subsucesión

d´ebilmente convergente.

3) Por último, diremos que M es débilmente secuencialmente compacto si es débilmente secuencialmente relativamente compacto, y débilmente secuencialmente cerrado, es decir,si se cumple que toda sucesión{xn}∞n=1

(23)

1.3. CONVERGENCIA D ´EBIL 17

El siguiente teorema pone de manifiesto la importancia de los conceptos vistos hasta ahora, caracterizando ciertos conjuntos en t´erminos de sucesiones d´ebilmente convergentes.

Teorema 1.3.11. Todo subconjunto acotado M de un espacio de Banach reflexivo es débilmente secuencialmente relativamente compacto, esto es, toda sucesión {xn}∞n=1 de elementos de M, admite una subsucesión débilmente

convergente.

A continuaci´on daremos la definici´on de conjunto convexo.

Definici´on 1.3.12. Sea X un espacio de Banach real. Decimos que un subconjuntoC deX es convexo, si para cualquier par de elementosx, y ∈C, y para todo λ ∈[0,1], se cumple que la combinaci´on convexa λx+ (1−λ)y

est´a en C.

Definici´on 1.3.13. Decimos que un funcional F : C −→ _R es convexo, si para cualquier par de elementosx, y ∈C, y para todo λ∈[0,1], se tiene que

F(λx+ (1−λ)y)≤λF(x) + (1−λ)F(y).

Adem´as, decimos que un funcional F : C −→ _R es estrictamente convexo, si la desigualdad anterior se cumple estrictamente, siempre que x 6= y, y

λ∈(0,1).

Teorema 1.3.14. Todo subconjunto cerrado y convexo de un espacio de Banach es d´ebilmente secuencialmente cerrado.

Adem´as, si el espacio es reflexivo, y el conjunto es acotado, entonces es d´ebilmente secuencialmente compacto.

Teorema 1.3.15. Todo funcional continuo y convexo f : X −→ _R, en un espacio de Banach X es d´ebilmente semicontinua inferiormente, esto es, para cualquier sucesi´on{xn}∞n=1 de elementos deX, tal que xn* x cuando

n→ ∞, se tiene que

l´ım inf

(24)

(25)

Cap´ıtulo 2

Control ´

optimo de ecuaciones

en derivadas parciales el´ıpticas

En este cap´ıtulo expondremos en primer lugar los resultados que permiten obtener las soluciones d´ebiles asociadas a problemas el´ıpticos con condiciones frontera de tipo Dirichlet y Robin. Para tal fin, ser´a necesario probar el teorema de Lax-Milgram, fundamental para concluir la existencia y unicidad de soluciones a los problemas anteriormente citados.

A continuación daremos los resultados más relevantes acerca de la existen-cia de controles óptimos asociados a problemas de control distribuido lineales cuadráticos el´ıpticos.

Las referencias básicas utilizadas serán los libros [Bre], [Cas], [Sal], [Sch] y [Trö].

2.1. Soluciones d´

ebiles de ecuaciones el´ıpticas

Daremos una breve introducción a la solución débil de algunas ecuaciones el´ıpticas, sobre las que más tarde desarrollaremos los problemas de control ´

optimo. A lo largo de esta secci´on tomaremos Ω ⊂_Rn_{, con}_n _≥_{2, un dominio}

Lipschitz acotado con frontera Γ.

Tratemos primero con la ecuaci´on de Poisson, para ello nos centramos en el problema de valores frontera con condiciones Dirichlet homog´eneas

−∆y = f en Ω,

y = 0 en Γ, (2.1)

donde f ∈L2(Ω) es un dato del problema.

La ecuación de Poisson −∆y = f no tiene en general una solución clásica,

(26)

esto es, una soluci´on que cumpla que y ∈C2_(Ω)_∩_C_{( ¯}_{Ω) cualquiera que sea}

f. En su lugar, buscaremos una soluci´on d´ebil en el espacioH1

0(Ω), es decir

una soluci´on de la ecuaci´on variacional asociada a (2.1).

Supondremos por el momento que f es suficientemente suave y que y ∈ C2(Ω)∩C( ¯Ω) es una solución clásica de (2.1). Buscamos la expresión variacio-nal de (2.1). Para ello, multiplicando la ecuación de Poisson por una función test v ∈C₀∞(Ω), e integrando sobre Ω, obtenemos que

−

Z

Ω

v∆ydx=

Z

Ω

f v dx.

Integrando por partes en el lado izquierdo de la igualdad, llegamos a que

−

Z

Ω

v∆ydx =−

Z

Γ

v ∂neyds + Z

Ω

∇y· ∇vdx=

Z

Ω

f v dx.

Donde se ha utilizado la notaci´on∂ney, para la derivada normal dey, es decir,

la derivada direccional de y en el sentido de la normal exterior unitaria, ne,

a Γ. Es decir, ∂ney =∇y·ne.

Como v es una funci´on test, y se anula en Γ, tenemos que

Z

Ω

∇y· ∇vdx =

Z

Ω

f v dx.

Observación 2.1.1. Notemos que esta ecuación se cumple para todo v ∈ C₀∞(Ω). Además, por un lado, recordemos que C₀∞(Ω) es denso en H1

0(Ω),

y por otro lado que para y fijo, toda la ecuación depende continuamente de v ∈ H₀1(Ω), con lo que concluimos que la ecuación es válida para todo

v ∈H1

0(Ω). Rec´ıprocamente, se cumple que siy∈H01(Ω), es suficientemente

regular y cumple la ecuaci´on anterior para cada v ∈ C₀∞(Ω). Entonces, y

es de hecho una solución fuerte de la ecuación de Poisson −∆y = f con condiciones de frontera Dirichlet homogéneas.

Este comentario, justifica la definici´on siguiente.

Definición 2.1.2. Decimos quey∈H₀1(Ω) es una solución débil del problema (2.1), si esta cumple la ecuación variacional asociada al problema

Z

Ω

∇y· ∇vdx=

Z

Ω

f v dx ∀v ∈H₀1(Ω). (2.2)

(27)

2.1. SOLUCIONES D ´EBILES DE ECUACIONES EL´IPTICAS 21

Comenzamos escribiendo (2.2) en forma abstracta como sigue. Definamos la forma bilineal a:H1

0(Ω)×H01(Ω)−→R,

a(y, v) :=

Z

Ω

∇y· ∇v dx. (2.3)

Y definamos el funcional lineal y continuo F :H1

0(Ω) −→R, como

< F, v >:= (f, v)L2_(Ω).

Denotemos porH−1(Ω) el espacio dual deH₀1(Ω). Entonces, (2.2) se reescribe como

a(y, v) =< F, v > para todov ∈H₀1(Ω), (2.4) donde F es un funcional lineal y continuo de H1

0(Ω), esto es, F ∈H

−1_(Ω).

Definici´on 2.1.3. Sea H un espacio de Hilbert. Dada una forma bilineal real, esto es, una aplicaci´on a : H ×H −→ _R, decimos que es coerciva, si existe una constante α >0 tal que

a(v, v)≥αkvk2_H para todo v ∈H.

Y, decimos que la forma bilineal es continua, si existe una constante β > 0 tal que

|a(u, v)| ≤βkukHkvkH para todou, v ∈H.

A continuación, enunciaremos y demostraremos el teorema de Lax-Milgram, que es de vital importancia para la teor´ıa de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones el´ıpticas lineales. Se utiliza para probar la existencia y unicidad de soluciones débiles del problema (2.1), as´ı como de otros problemas el´ıpticos que trataremos más tarde.

Utilizaremos el teorema del punto fijo de Banach que enunciaremos y demostra-remos a continuaci´on.

Teorema 2.1.4 (Teorema del punto fijo de Banach). Sea X un espacio m´etrico, no vac´ıo, y completo, y seaS :X−→Xuna aplicaci´on estrictamente contractiva, es decir, tal que

d(S(v1), S(v2))≤k d(v1, v2) para todo v1, v2 ∈X, con k <1.

(28)

Demostraci´on. Comencemos probando la unicidad, razonando por reducci´on al absurdo. Supongamos pues, que existen u, v ∈ X, tales que u = S(u), y v = S(v). Entonces, d(u, v) = d(S(u), S(v)) ≤ K d(u, v), y por tanto (1−K)d(u, v) ≤ 0. Como K < 1, deducimos que d(u, v) = 0, por lo que

u=v.

Probemos a continuaci´on la existencia. Seax0 ∈Xarbitrario, y consideremos

la sucesi´on {xn}∞n=0 de elementos deX definida como

x1 =S(x0), x2 =S(x1),· · · , xn =S(xn−1),· · ·

Veamos que dicha sucesi´on es de Cauchy, para ello tengamos presente las siguientes desigualdades:

d(x2, x1)≤K d(x1, x0),

d(x3, x2)≤K d(x2, x1)≤K2d(x1, x0),

· · ·

d(xn+1, xn)≤Knd(x1, x0).

Por tanto, en virtud de la desigualdad triangular, tenemos que

d(xn+p, xn)≤d(xn+p, xn+p−1) +d(xn+p−1, xn+p−2) +· · ·+d(xn+1, xn)

≤Kn+p−1d(x1, x0) +Kn+p−2d(x1, x0) +· · ·+Knd(x1, x0)

≤d(x1, x0)

∞

X

q=n

Kq

= K

n

1−K d(x1, x0).

Deducimos que d(xn+p, xn) → 0 cuando n → ∞ para todo p, por lo que la

sucesi´on{xn}∞n=0 es de Cauchy, y como X es completo, la sucesi´on converge

hacia un elementou∈X. Tenemos por un lado que,xn →ucuandon → ∞,

y por otro lado, se deduce de la continuidad de S que S(xn) → S(u), por

tanto como xn+1 =S(xn), es u=S(u), es decir, ues un punto fijo de S.

Teorema 2.1.5 (Teorema de Lax-Milgram). Sea H un espacio Hilbert real, y sea a : H ×H −→ _R una forma bilineal, continua y coerciva. Entonces, para cualquierF ∈H∗, existe un ´unico elementoy∈H tal que

a(y, v) =< F, v > ∀v ∈H.

Adem´as, existe una constante ca >0, que no depende de F, tal que

(29)

Finalmente, siaes sim´etrica, entoncesy∈H se caracteriza por la propiedad siguiente

1

2a(y, y)−< F, y >= m´ınv∈H{

1

2a(v, v)−< F, v >}.

Demostraci´on. Dado F funcional lineal y continuo en H, por el teorema de representaci´on de Riesz, existe f ∈H, de modo que

< F, v >= (f, v)H para todov ∈H y kfkH =kFkH∗.

Por un lado, fijado y ∈ H, la aplicaci´on que act´ua como sigue v 7→ a(y, v), define un funcional lineal y continuo en H.

Por otro lado, utilizando de nuevo el teorema de representaci´on de Riesz, existe un ´unico elemento enH, ya quea(y,·) es un funcional lineal y continuo, que denotamos por Ay, de modo que

a(y, v) = (Ay, v) para todo v ∈H.

Consideremos el operador linealA:H −→H, definido pory7→A(y) := Ay. Entonces, para todo y∈H, utilizando la continuidad de a, se tiene que

kAyk= sup

v6=0

_|

(Ay, v)| kvk

= sup

v6=0

_|a

(y, v)| kvk

≤sup

v6=0

_βkykkvk

kvk

=βkyk.

Utilizando ahora la coercividad de a, se tiene que

(Ay, y) =a(y, y)≥αkyk2 _∀y_∈_H.

Nuestro primer objetivo es encontrar y∈H de modo quea(y, v) =

< F, v >, equivalentemente, debemos buscar y∈H cumpliendo que

(Ay, v) = (f, v) ∀v ∈H,

es decir, tal que

(f−Ay, v) = 0 ∀v ∈H. (2.5)

Seap > 0 una constante que determinaremos posteriormente, penalizando la ecuaci´on anterior, estudiaremos equivalentemente el problema

p(f −Ay) +y−y, v= 0 ∀v ∈H.

(30)

para unp adecuadamente elegido. Tenemos que para cadax, z ∈H, se tiene que

kS(x)−S(z)k2 ₌_kp₍_f ₋_Ax_{) +}_x₋_p₍_f₋_Az₎₋_zk2

=k(x−z)−p(Ax−Az)k2

= ((x−z)−p(Ax−Az),(x−z)−p(Ax−Az)) =kx−zk2₊_p2_kA₍_x₋_z₎_k2₋₂_p₍_A₍_x₋_z₎_{, x}₋_z₎

≤ kx−zk2₊_p2_β2_kx₋_zk2₋₂_pαkx₋_zk2

=kx−zk2₍₁₋₂_pα₊_p2_β2₎

Es decir, si se toma p > 0, tal que K2 _{= 1} ₋₂_pα₊ _p2_β2 _< _{1, es decir,}

0< p < 2α/β2_{, se tiene que} _kS₍_x₎₋_S₍_z₎_{k ≤} _Kkx₋_zk_{, con}_{K <} _{1, y por}

tanto el operador S es contractivo, lo que, en virtud del teorema del punto fijo de Banach, garantiza que existe y∈H tal quey =S(y), y adem´as dicho

y es ´unico.

A continuaci´on, de la coercividad, y la continuidad de la forma bilineal

a(u, v), se deduce que

αkuk2 _≤_a₍_{u, u}_{) = (}_{Au, u}₎_≤_βkAukkuk,

de donde

kuk ≤ β

αkAuk ∀u∈H.

En particular, escogiendo y soluci´on del problema Ay=f, tenemos que

kyk ≤ β

αkAyk=

β

αkfk= β

αkFkH∗,

que es la desigualdad que busc´abamos.

Por ´ultimo, supongamos quea es sim´etrica, queremos probar que

1

2a(y, y)−< F, y >= m´ınv∈H{

1

2a(v, v)−< F, v >}.

Seaysoluci´on (que existe y es ´unica) dea(y, v) =< F, v > para todo v ∈H.

Probaremos equivalentemente que

1

2a(y, y)−< F, y > ≤ 1

(31)

Sea v ∈H cualquiera

1

2a(v, v)−< F, v > = 1

2a(v−y+y, v−y+y)−< F, v−y+y >

= 1

2a(v−y, v−y) + 1

2a(y, y) +a(y, v−y)

−< F, v−y >−< F, y >

= 1

2a(v−y, v−y) + 1

2a(y, y)−< F, y >

≥ 1

2a(y, y)−< F, y >,

donde se ha utilizado quea(y, v−y) =< F, v−y >.

Observación 2.1.6. El teorema de Lax-Milgram admite una formulación más general, conocido como teorema de Stampacchia, en el que se sustituye

H por un subconjunto convexo, cerrado y no vac´ıo K ⊂H. Entonces, para cualquier F ∈H∗, existe un ´unico elementoy∈K, tal que

a(y, v−y)≥< F, v−y > ∀v ∈K.

Para poder aplicar el teorema de Lax-Milgram al caso de condiciones frontera Dirichlet homog´eneas, y|Γ = 0, resulta necesario la desigualdad de

Poincar´e que enunciamos en el cap´ıtulo previo.

Teorema 2.1.7. Si Ω es un dominio Lipschitz acotado, entonces para toda funci´on f ∈ L2_{(Ω), el problema (2.1) tiene una ´}_{unica soluci´}_{on d´}_ebil _y _∈

H1

0(Ω). Adem´as, existe una constante c >0 que no depende de f, tal que

kykH1_(Ω) ≤ckfk_L2_(Ω). (2.6)

Demostraci´on. Aplicaremos el teorema de Lax-Milgram tomandoH =H1 0(Ω).

Para ello, tenemos que verificar que la forma bilineal dada por (2.3) es continua y coerciva. ConsideramosH1

0(Ω) con la norma deH1. Comprobemos

primero la continuidad de la forma bilineal a, para ello, en virtud de la desigualdad de Cauchy-Schwartz (1.1.16), tenemos que

Z Ω

∇y· ∇v dx

≤ Z Ω

|∇y|2_dx

1/2 Z

Ω

|∇v|2_dx

1/2

≤

Z

Ω

(|y|2+|∇y|2)dx

1/2 Z

Ω

(|v|2+|∇v|2)dx

1/2

(32)

Por otro lado, verifiquemos la coercividad de a, para la que haremos uso de la desiguadad de Poincar´e (1.2.22), esto es,

a(y, y) =

Z

Ω

|∇y|2_dx₌ 1

2

Z

Ω

|∇y|2_dx₊1

2

Z

Ω

|∇y|2_dx

≥ 1

2

Z

Ω

|∇y|2_dx₊ 1

2Cp

Z

Ω

|y|2_dx

≥ 1

2m´ın{1, C

−1

p } kyk2H1_(Ω).

Resta ver la continuidad del funcionalF, que de nuevo es consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwartz (1.1.16). De hecho, se tiene que

|F(v)|=|(f, v)L2_(Ω)| ≤ kfk_L2_(Ω)kvk_L2_(Ω) ≤ kfk_L2_(Ω)kvk_H1_(Ω).

Por tanto, kFkH−1_(Ω) ≤ kfk_L2_(Ω).

En virtud del teorema de Lax-Milgram, existe un ´unico y∈ H1

0(Ω) soluci´on

del problema (2.1). Adem´as, dicho teorema nos dice que

kyk_H1_(Ω) ≤ckFk_H−1 ≤ckfk_L2_(Ω),

lo que prueba (2.6).

Observación 2.1.8. El teorema anterior sigue siendo cierto, tomando F ∈ H−1, que no esté generado por unf ∈L2(Ω). En dicha situación, el problema (2.1) tiene una única solución débily∈H₀1(Ω). Además, existe una constante

c >0 que no depende de F, tal que

kykH1_(Ω) ≤ckFk_H−1.

A continuaci´on hablaremos de problemas que tienen condiciones frontera de tipo Robin, es decir, problemas con la siguiente estructura

−∆y+c0y = f en Ω,

∂ney+αy = g en Γ.

(2.7)

Aqu´ı,vienen dadas con el problema las funciones f ∈ L2_(Ω), _g _∈ _L2_(Γ),

as´ı como, los coeficientes c0 ∈ L∞(Ω), y α ∈ L∞(Γ), que adem´as son no

negativas. Es decir, c0(x)≥0 c.s y α(x)≥0 c.s .

De nuevo,∂ne denota la derivada normal exterior, es decir, la derivada

direccio-nal, en la direcci´on del vector normal unitario exterior ne a Γ.

(33)

v ∈C1_{( ¯}_{Ω). Con las mismas hip´}_{otesis que en el problema anterior, e integrando}

por partes, se debe cumplir que

−

Z

Γ

v ∂ney ds + Z

Ω

∇y· ∇v dx +

Z

Ω

c0y v dx=

Z

Ω

f v dx.

Sustituyendo las condiciones frontera ∂ney =g −αy en la primera integral,

se tiene, para todo v ∈C1_{( ¯}_{Ω), que}

Z

Ω

∇y· ∇v dx +

Z

Ω

c0y v dx +

Z

Γ

α v y ds=

Z

Ω

f v dx +

Z

Γ

g v ds. (2.8)

Suponiendo por un lado que Ω es un dominio Lipschitz, y por tanto C1_{( ¯}_Ω)

es un subconjunto denso en H1_{(Ω), se tiene la siguiente definici´}_on.

Definici´on 2.1.9. Una funci´ony∈H1_{(Ω) de dice que es una soluci´}_{on d´}_ebil

del problema de valores en la frontera (2.7), si satisface la ecuaci´on variacional (2.8) para todov ∈H1(Ω).

Buscamos aplicar el teorema de Lax-Milgram, para ello tomaremos como espacio de HilbertH :=H1(Ω), y definimos la forma bilinealay el funcional

F, respectivamente como

F(v) :=

Z

Ω

f v dx +

Z

Γ

g v ds, (2.9)

a(y, v) :=

Z

Ω

∇y· ∇v dx +

Z

Ω

c0y v dx +

Z

Γ

α v y ds.

De nuevo, la formulaci´on variacional dada en (2.8), esta escrita en la forma

a(y, v) =F(v) para todo v ∈H1(Ω)

Por último, con vistas a garantizar la coercividad de la forma bilineal aserá necesaria una generalización de la desigualdad de Poincaré. La prueba puede encontrarse en [Cas, pag 215-217].

Lema 2.1.10. Sea Ω ⊂_Rn _{un dominio Lipschitz acotado, y sea Γ}

1 ⊂ Γ un

conjunto medible tal que |Γ1|>0. Entonces existe una constante c(Γ1)>0,

que solo depende de Γ1, tal que

kyk2

H1_(Ω) ≤c(Γ1)

Z

Ω

|∇y|2_dx ₊

Z

Γ1

y ds

2

∀y∈H1(Ω). (2.10)

(34)

Para subconjuntos de Ω tenemos una desigualdad an´aloga.

Lema 2.1.12. Sea Ω ⊂ _Rn _{un dominio Lipschitz acotado, y sea} _E _⊂ _{Ω un}

conjunto medible tal que |E| >0. Entonces existe una constante c(E) > 0, que solo depende de E, tal que

kyk2

H1_(Ω) ≤c(E)

Z

Ω

|∇y|2_dx ₊

Z

E

y dx

2

∀y∈H1(Ω). (2.11)

Veamos bajo que condiciones tenemos garantizado la existencia de solucio-nes d´ebiles.

Teorema 2.1.13. Sea Ω⊂_Rn _{un dominio Lipschitz, y supongamos que, las}

funciones no negativas en casi todo puntoc0 ∈L∞(Ω), yα∈L∞(Γ) verifican

que

Z

Ω

(c0(x))2dx+

Z

Γ

(α(x))2ds(x)>0.

Entonces, para cada par f ∈ L2_{(Ω), y} _g _∈ _L2_{(Γ), el problema de valores}

frontera (2.7) tiene una única solución débil y∈H1(Ω). Además, existe una constantec > 0, que no depende ni de f, ni de g, de modo que

kyk_H1_(Ω) ≤c(kfk_L2_(Ω)+kgk_L2_(Γ)). (2.12)

Demostraci´on. Aplicaremos el teorema de Lax-Milgram tomandoH =H1_(Ω).

Para ello, tenemos que verificar que la forma bilineal dada por (2.9) es continua y coerciva. Sea c > 0 una constante gen´erica que solo depende de los datos del problema. Veamos primero que la forma bilineal a es continua, para ello tengamos presente las siguientes acotaciones

Z Ω

c0y v dx

≤ kc0kL∞_(Ω)kyk_L2_(Ω)kvk_L2_(Ω)

≤ kc0kL∞_(Ω)kyk_H1_(Ω)kvk_H1_(Ω),

y utilizando el teorema de la traza (1.2.16),

Z Γ

α y v ds

≤ kαkL∞_(Γ)kyk_L2_(Γ)kvk_L2_(Γ)

≤ kαkL∞_(Γ)ckyk_H1_(Ω)kvk_H1_(Ω).

Deducimos pues, que la forma bilineal es continua, ya que

|a(y, v)|=

Z Ω

∇y· ∇v dx+

Z

Ω

c0y v dx +

Z

Γ

α y v ds

(35)

A continuaci´on, probaremos la coercividad de la forma bilineala. Por hip´otesis, tenemos que c0 6= 0 enL∞(Ω), o queα6= 0 en L∞(Γ).

Si c0 6= 0, entonces existe un conjunto medible E ⊂ Ω con |E| > 0, y un

ε > 0, tal que c0(x) ≥ ε para todo x ∈ E. As´ı que, teniendo en cuenta la

desigualdad R_Ey dx2 ≤ |E| R

Ey

2_dx_{, deducimos que}

a(y, y) =

Z

Ω

|∇y|2 ₊ _c 0|y|2

dx +

Z

Γ

α|y|2_ds

≥

Z

Ω

|∇y|2dx+ε

Z

E

|y|2dx

≥m´ın{1, ε}

Z

Ω

|∇y|2_dx₊

Z

E

|y|2_dx

≥ m´ın{1, ε}

c(E) m´ax{1,|E|}kyk

2

H1_(Ω),

donde se ha utilizado la desigualdad (2.11).

Si α 6= 0, entonces existe un conjunto medible Γ1 ⊂ Γ con |Γ1| > 0, y un

ε > 0, tal que α(x) ≥ ε para todo x ∈ Γ1. Teniendo presente ahora la

desigualdad R_Γ

1y dx

2

≤ |Γ1|

R

Γ1y

2_dx_{, deducimos que}

a(y, y) =

Z

Ω

|∇y|2 ₊ _c 0|y|2

dx +

Z

Γ

α|y|2_ds

≥

Z

Ω

|∇y|2_dx₊_ε

Z

Γ1

|y|2_dx

≥m´ın{1, ε}

Z

Ω

|∇y|2_dx₊

Z

Γ1

|y|2_dx

≥ m´ın{1, ε} c(Γ1) m´ax{1,|Γ1|}

kyk2_H1_(Ω),

donde se ha utilizado la desigualdad (2.10).

Resta ver la continuidad del funcionalF, definido en (2.9), que es consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwartz (1.1.16) y del teorema de traza (1.2.16). De hecho, se tiene que

|F(v)| ≤

Z

Ω

|f v|dx +

Z

Γ

|g v|ds

≤ kfk_L2_(Ω)kvk_L2_(Ω) + kgk_L2_(Γ)kvk_L2_(Γ)

≤ kfkL2_(Ω)kvk_H1_(Ω) + ckgk_L2_(Γ)kvk_H1_(Ω)

(36)

Por tanto, kFk₍_H1_(Ω))∗ ≤c¯(kfk_L2_(Ω) + kgk_L2_(Γ)).

En virtud del teorema de Lax-Milgram, existe un ´unico y∈ H1_{(Ω) soluci´}_on

del problema (2.7). Adem´as, dicho teorema nos dice que

kyk_H1_(Ω) ≤c(kfk_L2_(Ω) + kgk_L2_(Γ)),

lo que prueba (2.12).

2.2. Existencia de controles ´

optimos

A lo largo de esta secci´on, Ω⊂_Rn_denotar´_{a un dominio acotado Lipschitz}

con frontera Γ. Adem´as, tendremos en cuenta las siguientes hip´otesis.

Hip´otesis 2.2.1. En lo que sigue, supondremos que λ ≥ 0, yΩ ∈ L2(Ω),

β ∈L∞(Ω), yα∈L∞(Γ) conα(x)≥0 para casi todox∈Γ, y supondremos tambi´en queua, ub ∈L2(Ω) cumplen queua(x)≤ub(x) para casi todox∈Ω.

En este contexto, yΩ representa la funci´on objetivo que queremos

aproxi-mar,αy βson funciones coeficientes, las funcionesua,ub definen el conjunto

de controles admisibles que actúan sobre Ω, y u denotará la función de control.

2.2.1. Control distribuido

Como primer objeto de estudio, analizaremos el problema con condiciones frontera Dirichlet homog´eneas. M´as concretamente planteamos el problema

m´ınJ(y, u) := 1

2ky−yΩk

2

L2_(Ω)+

λ

2kuk

2

L2_(Ω), (2.13)

sujeto a las restricciones

−∆y = βu en Ω,

y = 0 en Γ. (2.14)

y

ua(x)≤u(x)≤ub(x) para casi todox∈Ω. (2.15)

(37)

2.2. EXISTENCIA DE CONTROLES ´OPTIMOS 31

del espacio de Hilbert L2_{(Ω). En esta situaci´}_{on, definamos el conjunto de}

controles admisibles como

Uad ={u∈L2(Ω) : ua(x)≤u(x)≤ub(x) para casi todo x∈Ω}.

El conjunto Uad, es un subconjunto no vac´ıo, cerrado, y convexo deL2(Ω).

Sabemos, en virtud del teorema (2.1.7), que para cada u∈Uad ⊂L2(Ω),

existe una única solución débil,y∈H1

0(Ω) del problema (2.14), dicha soluci´on

se llamaestado asociado a u. El espacio de estados se denotar´a por

Y :=H₀1(Ω).

Adem´as, para recalcar la dependencia de y con u, escribiremos y = y(u), teniendo en cuenta que el contexto en el que se encuentre, nos servir´a para evitar confusiones con respecto al valor y(x) de y cuandox∈Ω.

La siguiente definición deja claro a que nos referimos cuando hablamos de un control óptimo, que de ahora en adelante se denotará por ¯u.

Definici´on 2.2.2. Decimos que un control ¯u ∈ Uad es ´optimo, con estado

´

optimo asociado ¯y=y(¯u), si

J(¯y,u¯)≤J(y(u), u) para todo u∈Uad.

Como tenemos interés en dar respuesta a la existencia de controles óptimos, nos va a interesar reescribir nuestro problema de control óptimo en términos del control u.

Definición 2.2.3. Llamamos aplicación control-estado, a la aplicación

G:L2_(Ω)_−→ _H1

0(Ω), que transformau ∈L2(Ω) en y(u) ∈H01(Ω), soluci´on

de (2.14).

Observaci´on 2.2.4. La aplicaci´on G es un operador lineal, y en virtud de la cota (2.6), tomando f = βu, deducimos que de hecho el operador G es continuo.

Denotaremos por EY el operador de inclusi´on de H1(Ω) −→ L2(Ω).

El operador EY es lineal y continuo. Con un ligero abuso de notaci´on,

utilizaremos tambi´en EY para denotar la inclusi´on continua de H01(Ω) −→

L2_(Ω).

Definici´on 2.2.5. S :L2_(Ω) _−→_L2_{(Ω) denotar´}_{a el operador}

(38)

Con esta notación,el problema de control (2.13)−(2.15), se reduce al siguiente problema de optimización cuadrática sobre el espacio de Hilbert

L2(Ω):

m´ın

u∈Uad

f(u) := 1

2kSu−yΩk

2

L2_(Ω)+

λ

2kuk

2

L2_(Ω). (2.16) Definici´on 2.2.6. El funcional f definido en (2.16), se llama funcional reducido.

Lema 2.2.7. Sean U un subconjunto convexo no vac´ıo de un espacio de HilbertH, e Y,k · kY

un espacio de Hilbert real. ConsideremosS :U −→Y

un operador lineal,yd∈Y, y λ≥0. Entonces, el funcional reducido

f(u) := 1

2kSu−ydk

2

Y +

λ

2kuk

2

U

es convexo. Adem´as,f es estrictamente convexa, si λ >0, o S es inyectiva.

Demostraci´on. Seanu, v ∈U, y seaα∈[0,1]. Veamos quef(αu+(1−α)v)≤ αf(u) + (1−α)f(v), equivalentemente, veamos que

f(αu+ (1−α)v)−αf(u)−(1−α)f(v)≤0.

Por un lado, tenemos que

f(αu+ (1−α)v) = 1 2

α2(S(u), S(u)) + 2α(1−α)(S(u), S(v))−2α(S(u), yd)

−2(1−α)(S(v), yd) + (1−α)2(S(v), S(v)) + (yd, yd)

+λ 2

α2(u, u) + 2α(1−α)(u, v) + (1−α)2(v, v)

.

Por otro lado, tenemos que

−αf(u)−(1−α)f(v) = 1 2

−α(S(u), S(u)) + 2α(S(u), yd)−α(yd, yd)

−(1−α)(S(v), S(v)) + 2(1−α)(S(v), yd)

−(1−α)(yd, yd)

+ λ 2

−α(u, u)−(1−α)(v, v)

(39)

Sumando ambas expresiones y simplificando los t´erminos iguales llegamos a

f(αu+ (1−α)v)−αf(u)−(1−α)f(v) =

− 1

2α(1−α)kS(u)−S(v)k

2

− λ

2α(1−α)ku−vk

2 _≤

0.

Adem´as, si α∈(0,1) y u=6 v (por tanto,ku−vk 6= 0), la expresi´on anterior es estrictamente negativa siempre que λ > 0, con lo que el funcional f ser´ıa estrictamente convexo.

Si suponemos que λ = 0, y tomamos α ∈ (0,1) y u 6= v entonces de la expresi´on anterior deducimos que

f(αu+ (1−α)v)−αf(u)−(1−α)f(v) = −1

2α(1−α)kS(u)−S(v)k

2_,

que ser´a estrictamente negativa, siempre que kS(u)−S(v)k 6= 0, es decir,

S(u)6=S(v), condici´on que tenemos siempre que S sea inyectiva. Por tanto, cuandoλ= 0 y S es inyectiva, tambi´en ocurre que el funcionalf es estricta-mente convexo.

A continuaci´on probaremos un resultado de existencia para el problema (2.16).

Teorema 2.2.8. Sean U,k · kU

, y H,k · kH

espacios de Hilbert reales. Tomemos un subconjunto Uad ⊂ U, no vac´ıo, cerrado, acotado y convexo.

Fijemos yd ∈ H, y λ ≥ 0. Adem´as, sea S : U −→ H un operador lineal y

continuo. Entonces, el problema cuadr´atico de optimizaci´on

m´ın

u∈Uad

f(u) := 1

2kSu−ydk

2

H +

λ

2kuk

2

U. (2.17)

admite una solución óptima ¯u. Siλ >0, oS es inyectiva, entonces la solución es única.

Demostraci´on. Notemos en primer lugar que el funcional f es positivo, es decir, f(u)≥0 para todo u∈Uad. Por tanto, existe el ´ınfimo

j := ´ınf

u∈Uad

f(u).

Consideremos una sucesi´on {un}∞n=1 de elementos de Uad, tal que kf(un)−

(40)

el conjunto Uad es d´ebilmente secuencialmente compacto. Por tanto, existe

una subsucesi´on {unk}

∞

k=1 que converge d´ebilmente a ¯u∈Uad, esto es,

unk *u¯ cuandok → ∞.

Como S es continuo, f tambi´en lo es. Adem´as, por el lema previo, sabemos que f es convexa. Por tanto, en virtud del teorema (1.3.15), deducimos que

f es d´ebilmente semicontinua inferiormente. Por tanto,

j = l´ım inf

k→∞ f(unk)≥f(¯u).

Como ¯u ∈ Uad, f(¯u) = j, y ¯u es un control ´optimo. La unicidad se deduce

del hecho de que f es estrictamente convexa si λ > 0, o si λ = 0 y S es inyectiva.

Como consecuencia del teorema que acabamos de probar, deducimos la existencia y unicidad del problema de control el´ıptico (2.13)−(2.15).

Teorema 2.2.9. Supongamos que se cumplen las condiciones de (2.2.1). Entonces el problema (2.13)−(2.15) admite un control ´optimo ¯u. Si adem´as,

λ > 0, o β 6= 0 en casi todo punto de Ω, entonces el control ´optimo es de hecho ´unico.

Demostraci´on. Apliquemos el teorema previo, tomando U = H = L2_(Ω),

yd = yΩ, y S = EYG. Notemos que el conjunto Uad = {u ∈ L2(Ω) :

ua(x)≤u(x)≤ub(x) para casi todo x∈Ω}, es acotado, cerrado, y convexo.

Entonces, por el teorema anterior deducimos que el correspondiente problema (2.17) admite al menos una soluci´on ¯u.

Si suponemos que λ > 0, el control óptimo será único. Por otra parte, si

β 6= 0 en casi todo punto de Ω, S es inyectiva, hecho que se deduce de la unicidad de soluciones del problema el´ıptico, y por tanto el control óptimo también será único.

Observación 2.2.10. En la prueba del teorema (2.2.8), hemos obtenido el control óptimo ¯u como el l´ımite de una sucesión débilmente convergente

{unk}

∞

k=1. Como el operador control-estado,G:L2(Ω)−→H01(Ω) es lineal y

continuo, entonces es d´ebilmente secuencialmente continuo. Esto implica que la sucesi´on de estados {ynk}

∞

k=1 converge d´ebilmente en H01(Ω) a ¯y=Gu¯.

A continuaci´on trataremos una situaci´on particular, en la que eliminamos una o varias de las restricciones deUad, esto es, pongamos que ua=−∞y/o

(41)

anteriro no puede utilizarse.

Sin embargo, probaremos que tambi´en es posible garantizar la existencia y unicidad del control ´optimo, en el caso en el que λ > 0 y S : U −→ H sea lineal y continuo.

Teorema 2.2.11. Supongamos que Uad es no vac´ıo, cerrado y convexo. Si

λ >0, el problema (2.17) admite una única solución óptima.

Demostración. Por hipótesis, comoUades no vac´ıo, existiráu0 ∈Uad.

Observe-mos que si tomaObserve-mos u∈U, de modo que kuk2

U >2λ

−1_f₍_u

0), entonces

f(u) := 1

2kSu−ydk

2

H +

λ

2kuk

2

U ≥

λ

2kuk

2

U > f(u0).

As´ı que podemos restringir la b´usqueda del ´optimo al conjunto Uad ∩ {u ∈

U : kuk2

U ≤ 2λ

−1_f₍_u

0)}, que es cerrado, convexo y acotado. Para concluir,

basta razonar como en el teorema (2.2.8).

Como consecuencia inmediata obtenemos un teorema an´alogo a (2.2.9).

Teorema 2.2.12. Supongamos que se cumplen las condiciones de (2.2.1). Adem´as, supongamos que ua = −∞ y/o ub = +∞. Entonces, si λ > 0, el

problema (2.13)−(2.15) admite un control ´optimo ¯u, que de hecho es ´unico.

2.2.2. Condiciones de frontera de tipo Robin

A continuación trataremos una variante del problema anterior, concreta-mente, buscamos una fuente de calor óptima con condiciones frontera de tipo Robin, en vez de ser homogéneas de tipo Dirichlet, como en la situación previa. En este caso la ecuación de estado viene dada por

∂ney = α(ya−y) en Γ,

(2.18)

donde, se supone que la temperatura externa ya es una funci´on de L2(Γ), y

α∈L∞(Γ), conR_Γ(α(x))2ds >0.

Podemos tratar este problema de forma similar a como lo hicimos con el de condiciones frontera Dirichlet homog´eneas. Sin embargo, por un lado, ahora nuestro espacio de estados ser´aY :=H1_{(Ω). Por otro lado, podemos asegurar}

en virtud del teorema (2.1.13), que para cada par de funciones u∈L2_{(Ω), e}

ya∈L2(Γ), existe una única solución débil y∈ H1(Ω) asociada al problema

(42)

Por el principio de superposici´on, podemos descomponer y como sigue

y=y(u) +y0,

donde y(u) ∈ H1(Ω) es la solución al problema de valores en la frontera asociado a la ecuación de Poisson, con condiciones frontera homogéneas, es decir, el problema asociado al par (u, ya= 0) ,

∂ney+αy = 0 en Γ.

Mientras quey0 ∈H1(Ω) es la soluci´on al problema de valores en la frontera

asociado a la ecuaci´on de Laplace, con condiciones frontera no homog´eneas, es decir, asociado al par (u= 0, ya) ,

−∆y = 0 en Ω,

∂ney = α(ya−y) en Γ.

El operador control-estadoG:L2_(Ω) _−→_H1_{(Ω) que act´}_{ua como}_u _7→_y₍_u_),

es lineal y continuo en virtud de la desigualdad dada en (2.12), tomando

f = βu, yg = ya = 0. De nuevo, interpretaremos G como un operador con

rango enL2_{(Ω). Para ello, tomamos}_S _:_L2_(Ω)_−→_L2_{(Ω), esto es,}_S ₌_E

YG,

y escribimos

y=Su+y0.

SiyΩ es la temperatura objetivo deseada, el problema toma pues, la forma

m´ın

u∈Uad

f(u) := 1

2kSu−(yΩ−y0)k

2

L2_(Ω)+

λ

2kuk

2

L2_(Ω).

En virtud de los teoremas (2.2.8) y (2.2.11), observamos que los resultados de existencia obtenidos en los teoremas (2.2.9) y (2.2.12), respectivamente, siguen siendo ciertos bajo las hipótesis anteriores. En particular, la unicidad del control óptimo está garantizado siempre que λ >0.

Si λ = 0, tendremos asegurada la existencia, siempre que el conjunto de funciones admisibles Uad sea acotado; y en este caso tendremos unicidad si