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Media aritmética : dificultades en alumnos del grado décimo

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MEDIA ARITMÉTICA: DIFICULTADES EN ALUMNOS DEL GRADO DÉCIMO

INGRID NATHALY CÁRDENAS GONZÁLEZ LEIDY DIANA SEGOVIA SERNA

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN MAESTRÍA EN EDUCACIÓN

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MEDIA ARITMÉTICA: DIFICULTADES EN ALUMNOS DEL GRADO DÉCIMO

INGRID NATHALY CÁRDENAS GONZÁLEZ LEIDY DIANA SEGOVIA SERNA

Trabajo de grado presentado como requisito para obtener el título de Magister en Educación

Director

SANTIAGO GONZÁLEZ OROZCO Doctor en Educación Matemática

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN MAESTRÍA EN EDUCACIÓN

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ADVERTENCIA

La Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad del Tolima, el director, codirector y el jurado calificador, no son responsables de los conceptos, ni de las ideas expuestas por los autores del presente trabajo.

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DEDICATORIA

A mi madre Mariela y a mi hijo David Esteban

A quienes amo con toda mi alma, ellos son la motivación constante que me impulsa a ser una persona de bien y alcanzar grandes éxitos en mi carrera.

A Dios Por darme la salud, por su amor y su bondad y por permitirme alcanzar un logro más.

A mi esposo y mi familia Por la paciencia, la comprensión, el apoyo incondicional y la fuerza que me dan cada día para

Ingrid Nathaly Cárdenas González

A mi hija Evelin Sánchez Segovia que es la luz de mi vida y la fuente de inspiración en todos mis proyectos.

A mi madre Martha Alicia Serna, quien con su apoyo y su dedicación permitió que lograra obtener un peldaño más en mi vida profesional.

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AGRADECIMIENTOS

A nuestro director de Trabajo de grado, Dr. SANTIAGO GONZÁLEZ OROZOCO

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GLOSARIO

ANÁLISIS: distinción y separación de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos.

ATRIBUTO: cada una de las cualidades o propiedades de un ser.

AXIOMA: cada uno de los principios fundamentales e indemostrables sobre los que se construye una teoría.

CATEGORIA: uno de los diferentes elementos de clasificación que suelen emplearse en las ciencias.

CONCEPTO: idea que concibe o forma el entendimiento.

CONTEXTO: entorno físico o de situación, ya sea político, histórico, cultural o de cualquier otra índole, en el cual se considera un hecho.

CONTRADICCIÓN: afirmación y negación que se oponen una a otra y recíprocamente se destruyen.

CURRICULAR: perteneciente o relativo al currículo o a un currículo.

DEFINICIÓN: proposición que expone con claridad y exactitud los caracteres genéricos y diferenciales de algo material o inmaterial.

DESTREZA: habilidad, arte, primor o propiedad con que se hace algo.

DIFICULTAD: inconveniente, oposición o contrariedad que impide conseguir, ejecutar o entender bien algo y pronto.

ENUNCIADO: secuencia finita de palabras delimitada por pausas muy marcadas, que puede estar constituida por una o varias oraciones.

ERROR: concepto equivocado o juicio falso. Acción desacertada o equivocada.

ESTRATEGIA: en un proceso regulable, conjunto de las reglas que aseguran una decisión óptima en cada momento.

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IGUALDAD: equivalencia de dos cantidades o expresiones.

INCOGNITA: cantidad desconocida que es preciso determinar en una ecuación o en un problema para resolverlos.

IRRELEVANTE: que carece de relevancia o importancia.

MEDIA ARITMETICA: cociente de dividir la suma de varias cantidades por el número de ellas.

NATURALEZA: esencia y propiedad característica de cada ser. Virtud, calidad o propiedad de las cosas.

PROCEDIMIENTO: método de ejecutar algunas cosas.

RAZONAMIENTO: serie de conceptos encaminados a demostrar algo o a persuadir o mover a oyentes o lectores.

RELEVANTE: sobresaliente, destacado.

REPRESENTACIÓN: figura con que se expresa la relación entre diversas magnitudes.

RESOLUCIÓN: acción y efecto de resolver o resolverse.

SITUACIÓN: conjunto de factores o circunstancias que afectan a alguien o algo en un determinado momento.

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RESUMEN

En este Trabajo se estudian las dificultades que presentan alumnos del Grado décimo, de la institución educativa Celmira Huertas de Ibagué, en la comprensión de las propiedades conceptuales de la media aritmética, observando e identificando las confusiones que se generan al resolver problemas o al analizar resultados que requieran la comprensión de los aspectos estadísticos, abstractos y ser representante de los datos de la media aritmética.

El objetivo de este trabajo fue contribuir a la comprensión de las dificultades de estudiantes de Grado décimo en relación a las propiedades conceptuales de la media aritmética, identificando dificultades en el razonamiento que se presentan en alumnos de la Institución Educativa Celmira Huertas de Ibagué, sobre la media aritmética y conociendo las estrategias que más utilizan cuando resuelven problemas relacionados con los aspectos estadístico y abstracto.

La información se obtuvo mediante la aplicación de cuestionarios y la realización de entrevistas.

Las categorías que se utilizaron para el análisis de la información se determinaron después de un análisis preliminar de las respuestas de los alumnos de tal manera que ellas permitieran tener en cuenta la naturaleza y el contexto de los enunciados de los 6 problemas propuestos y las respuestas de los alumnos, haciendo énfasis en la solución, en los errores y en el razonamiento que cada uno hacía en cada ejercicio.

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ABSTRACT

In this work we study the difficulties presented by tenth grade students of the educational institution Celmira Huertas Ibagué conceptual understanding of the properties of the arithmetic mean, observing and identifying the confusions that are generated to solve problems or to analyze results requiring an understanding of the statistical, abstract and be representative of the data from the arithmetic mean. The goal of this work was to contribute to the understanding of the difficulties of tenth grade students in relation to the conceptual properties of the arithmetic mean, identifying the difficulties in the reasoning shown by students of School of Ibague Celmira Huertas on arithmetic’s and the knowledge of the strategies use when solving problems related to statistical and abstract aspects.

The information was obtained through the use of questionnaires and interviews. The categories that were used for data analysis were determined after a preliminary analysis of the responses of the students so that they would allow to take into account the nature and context of the sentences of the 6 problems posted and the responses of students with emphasis on the solution, errors and the reasoning everyone demonstrated while solving each exercise.

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CONTENIDO

Pág.

1. ANTECEDENTES DEL PROBLEMA 16

1.1 INVESTIGACIONES SOBRE LA COMPRENSIÓN DE

PROPIEDADES 16

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 20

2.1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA 20

2.1.1 Razones que sustentan el problema 20

2.1.2 El problema 21

3. OBJETIVOS 22

3.1 OBJETIVO GENERAL 22

3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS 22

4. JUSTIFICACIÓN 23

5. MARCO TEÓRICO 25

5.1 FORMACIÓN DE CONCEPTOS EN LA ENSEÑANZA DE LA

MATEMÁTICA 25

5.2 CONOCIMIENTO FORMAL. 25

5.3 CONOCIMIENTO CURRICULAR 25

5.4 CONOCIMIENTO PERSONAL 26

5.5 RESUMEN 26

5.6 COMPONENTES DE UN CONCEPTO 26

5.7 VINNER: CONCEPTO E IMAGEN DEL CONCEPTO. 27

5.8 ARTIGUE: CONCEPTO Y CONCEPCIÓN 28

5.9 LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA REALISTA (EMR) 30

5.10 LINEAMIENTOS CURRICULARES Y FORMACIÓN DE

CONCEPTOS. 33

5.11 EL CONCEPTO DE LA MEDIA ARITMÉTICA 37

5.11.1 Conocimiento Formal 37

5.11.2 Unos problemas y propiedades de la Media aritmética 39

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Pág.

5.12 CONOCIMIENTO CURRICULAR 45

5.12.1 Definición curricular 45

5.12.2 Unos problemas de la Media Aritmética 45

5.12.3. Atributos relevantes e irrelevantes 46

5.13 CONOCIMIENTO PERSONAL 47

5.13.1 Estudios sobre dificultades de los alumnos 47

5.13.2 Dificultades con la media aritmética 50

6. MARCO METODOLÓGICO 60

6.1 TIPO DE INVESTIGACIÓN 60

6.2 CONDICIONES DE APLICACIÓN DE LOS INSTRUMENTOS 60 6.2.1 Institución educativa donde se llevó a cabo el estudio 60 6.2.2 Área de Matemáticas de la institución Educativa 61

6.2.3 Curso en donde se obtuvo la información 61

6.3 INSTRUMENTOS 61

6.4 CATEGORÍAS DE ANÁLISIS 62

6.4.1 Enunciado del problema 62

6.4.2 Respuestas de los alumnos 63

6.5 PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE CADA PREGUNTA DEL

CUESTIONARIO 64

6.5.1 Situación 1 65

6.5.2 Situación 2 67

6.5.3 Situación 3 68

6.5.4 Situación 4 69

6.5.5 Situación 5 70

6.5.6 Situación 6 71

6.6 ENTREVISTA 75

6.7 ANÁLISIS DE RESULTADOS 75

7. CONCLUSIONES 101

8. PROYECCIONES Y RECOMENDACIONES 105

REFERENCIAS 106

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LISTA DE FIGURAS

Pág. Figura 1. Tipos de conocimientos asociados a un concepto matemático 26

Figura 2. Clases de definiciones de un concepto. 28

Figura 3. Componentes de un concepto según Artigue (1990) 30

Figura 4. Ideas relacionadas con el principio de actividad 32

Figura 5. Niveles de comprensión de un concepto según la EMR

(Educación Matemática Realista) 33

Figura 6. Atributos relevantes de la Media aritmética. 44

Figura 7. Atributos relevantes e irrelevantes de la definición curricular de

Media aritmética. 47

Figura 8. Distintas maneras de presentar en cada curso propiedades de

la Media aritmética. 50

Figura 9. Datos e incógnitas de un ejemplo de Media aritmética. 51

Figura 10. Representación de datos e incógnitas de un problema

relacionado con Media aritmética. 57

Figura 11a. Categorías de análisis utilizadas para los enunciados de las

situaciones 63

Figura 11b. Categorías de análisis utilizadas para las respuestas de los

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LISTA DE TABLAS

Pág.

Tabla 1. Componentes de un concepto 29

Tabla 2. Forma de relacionar los procesos del MEN (1998; 18-19) 37

Tabla 3. Propiedades del concepto de Media aritmética según los

aspectos Estadístico, Abstracto y Ser representante de los datos. 42

Tabla 4. Propiedades del concepto de Media aritmética. 56

Tabla 5. Naturaleza y contexto de cada situación. 73

Tabla 6. Datos e incógnita de cada situación. 73

Tabla 7. Resumen del análisis de la información del alumno 13. 74

Tabla 8. Resumen del análisis de la información del alumno 21. 79

Tabla 9. Resumen del análisis de la información del alumno 9. 86

Tabla 10. Resumen del análisis de la información del alumno 5. 90

Tabla 11. Resumen del análisis de la información del alumno 4. 94

Tabla 12. Resumen del análisis de la información del alumno 4. 99

Tabla 13. Resultados obtenidos en la situación 1 101

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LISTA DE ANEXOS

Pág.

Anexo A. Cuestionario aplicado a los estudiantes del Grado décimo de la

Institución Educativa Técnica Celmira Huertas 113

Anexo B. Transcripción de entrevistas en audio y video realizadas a los 5

estudiantes seleccionados para el desarrollo de este Trabajo. 115

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1. ANTECEDENTES DEL PROBLEMA

Existen investigaciones sobre dificultades que presentan estudiantes de primaria, secundaria y universidad con respecto a la Media y a las Medidas de tendencia central; numerosos autores han descrito considerables errores que presentan los estudiantes en cuanto al concepto o al cálculo de la media aritmética. A continuación, se presentan algunas de las investigaciones de interés para nuestro Trabajo, cercanas a la población estudiantil del Grado décimo.

En una investigación realizada por Cai, (1995) en alumnos de 12 y 13 años, se encontró que estos eran capaces de aplicar adecuadamente el algoritmo para calcular la media. Sin embargo sólo algunos alumnos eran capaces de encontrar un valor desconocido en un conjunto pequeño de datos e incluso encontrando el valor desconocido, fueron pocos los que lo hicieron a partir de un uso comprensivo del algoritmo.

Gattuso y Mary, (1996) citados por Batanero, (2001) analizando las respuestas de estudiantes de secundaria y universitarios, con o sin explicación previa sobre la media, observaron que las estrategias utilizadas por los de mayor edad eran más algebraicas y además obtenían mejores resultados cuando calculaban medias de conjuntos de datos agrupados, mientras que los más jóvenes preferían usar el conjunto de datos sin agrupar, aunque mostraron un nivel de éxito superior en los problemas de cálculo "inversos", es decir, aquéllos en los que se conoce la media y se deben averiguar algunos de los datos iníciales.

En un estudio sobre los aspectos interpretativos de la media aritmética realizado por Batanero, Godino y Navas, (1997), se analizaron las respuestas de los profesores de primaria en formación de la Universidad de Granada, encontrándose las dificultades en la interpretación y cálculo de la media en el caso en que aparecían valores atípicos y ceros. En este estudio se evidencia los errores conceptuales y la dificultad de aplicación práctica del conocimiento sobre promedios.

1.1 INVESTIGACIONES SOBRE LA COMPRENSIÓN DE PROPIEDADES

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de las frecuencias. De igual manera Li y Shen, (1992) sostienen que cuando los datos se agrupan en intervalos, los estudiantes se limitan a calcular la media de todas las marcas de clase sin tener en cuenta que cada uno de los grupos debería ponderarse de modo distinto.

Pollasek y cols, (1981) exponen errores computacionales de estudiantes universitarios al emplear el algoritmo en el cálculo de la media ponderada y de la media a partir de una tabla de frecuencias y observan que no aprecian la variabilidad aleatoria de la muestra y la población, esperando que la media aritmética sea la misma. Indican además que los aprendices confunden un conjunto de números con la operación de media aritmética, con un grupo algebraico, como los reales que bajo las operaciones de adición y multiplicación cumplen propiedades tales como clausuratividad, asociatividad, elemento neutro y elemento inverso.

De la misma forma Mevarech, (1983) en una investigación con 103 estudiantes de primer curso de universidad, obtiene resultados que sustentan lo expuesto por Pollasek y cols. (1981); en este estudio los alumnos nuevamente creen que un conjunto de números, junto con la operación media aritmética constituye un grupo algebraico, asumiendo que cumplen las propiedades antes mencionadas.

Strauss y Bichler, (1988) realizaron una investigación en alumnos de 8 a 12 años, distinguiendo las siguientes propiedades.

a) La media es un valor comprendido entre los extremos de la distribución.

b) La suma de las desviaciones de los datos respecto de la media es cero, lo que hace que sea un estimador insesgado.

c) El valor medio está influenciado por los valores de cada uno de los datos. Por ello, la media no tiene elemento neutro.

d) La media no tiene por qué ser igual a uno de los valores de los datos. e) El valor obtenido de la media puede ser una fracción.

f) Hay que tener en cuenta los valores nulos en el cálculo de la media.

g) La media es un "representante" de los datos a partir de los que ha sido calculada.

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la edad, y diferencias de dificultad en la comprensión de las propiedades, siendo más fáciles las a), c) y d) que las b) f) y g). Aunque una proporción importante de niños parecieron usar espontáneamente estas propiedades, algunos niños no tenían en cuenta el cero para calcular la media, o bien suponían que la media podría estar fuera del rango de variación de la variable, o que debería coincidir con uno de los valores de los datos.

Roth y Zawojewski, (1991) citados por Batanero, (2001), realizaron una investigación sobre el efecto de la edad en la comprensión de las siete propiedades identificadas por Strauss y Bichler, (1988). El trabajo se centró sólo en cuatro de estas siete propiedades (las identificadas como a, b, f y g), ya que la mayoría de los alumnos a partir de los 12 años habían superado las restantes. Como resultado de esta investigación se abrieron nuevas líneas de trabajo, entre ellas: analizar el tipo de explicaciones escritas dadas por los alumnos como respuesta a los ítems presentados y realizar una clasificación de las mismas, lo que podría aportar información adicional a la clasificación de Strauss y Bichler, (1988).

En el estudio realizado por León y Zawojeski, (1991) se analiza la comprensión de las propiedades conceptuales de la media en niños entre 8 y 14 años, encontrando que los estudiantes de primaria presentan mejor comprensión de las propiedades de la media aritmética en esta edad, no obstante algunas propiedades tales como, la suma de desviaciones respecto a la media es cero, la media es un valor representativo de los valores promediados y tener en cuenta los valores nulos en el cálculo de la media, no resultan evidentes en estudiantes de 14 años.

En aplicaciones prácticas de la media, es importante reconocerle el papel de representante de un conjunto de datos, según Mokros y Russell, (1995), los niños no podrán comprender las ideas de resumen de los datos o representante de los datos hasta que no conciban el conjunto de datos como un todo, y no como un agregado de valores. De acuerdo a este estudio se identificaron y analizaron cinco construcciones básicas sobre representatividad en los alumnos: La media como moda, la media como algoritmo, la media como algo razonable, la media como punto medio y la media como punto matemático de equilibrio.

En Campbell, (1974), se expresa que los estudiantes siempre tienden a situar la media en el punto medio del conjunto de valores, propiedad que solo se cumple en distribuciones simétricas. Sin embargo, en las distribuciones asimétricas la moda o la mediana se convierten en el valor más representativo del conjunto de datos puesto que la media se traslada hacia uno de los extremos.

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valores de tendencia central, arrojan información acerca de las dificultades que tienen los estudiantes en usar la media como representante de un conjunto de datos. Los autores clasifican en cuatro categorías los significados incorrectos atribuidos por los estudiantes a la palabra media: valor más frecuente, valor razonable, punto medio y algoritmo. En estos se observa la confusión con los conceptos y propiedades de las otras medidas de tendencia central mediana y moda y la definición limitada a la aplicación de una formula.

En el estudio de Goodchild, (1988), se identifican tres clases de significado para la media: un número representativo, una medida de ubicación y un valor esperado, los resultados de esta investigación exponen los problemas que estudiantes entre 13 y 14 años de edad tienen para interpretar la media como un valor representante de un conjunto de datos y como medida de posición central.

Continuando con la línea de las dificultades de estudiantes al definir media aritmética, Watson y Moritz, (2000) analizan el significado intuitivo dado por los niños al término "promedio"; los resultados indican que para muchos, el promedio es simplemente un valor en el centro de la distribución, algunas de las definiciones obtenidas fueron: "Significa igual", "que es normal", "no eres realmente bueno, pero tampoco malo"

En estudiantes universitarios Eisenbach, (1994) observó confusión terminológica entre las palabras "media", "mediana" y "moda" al plantearles la frase: "¿Qué quiere decir que el salario medio de un empleado es 3.600 dólares?" obteniendo respuestas como "que la mayoría de los empleados gana alrededor de 3.600 dólares", o que "es el salario central; los otros trabajadores ganan más o menos de 3600 dólares", se muestra que los conceptos y propiedades de las medidas de tendencia central continúan siendo confusas aún en estudiantes de un curso introductorio de Estadística.

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2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En este Trabajo se estudian las dificultades que presentan alumnos del Grado décimo en la comprensión de las propiedades conceptuales de la media aritmética. Se ha escogido este Grado de escolaridad porque en él, los estudiantes cuentan con conocimientos, habilidades y experiencias sobre el concepto de media aritmética, incluyendo el desarrollo de ejercicios. Interesa observar los diversos tipos de dificultades que presentan los estudiantes en la comprensión de los aspectos estadísticos, abstractos y ser representante de los datos de la media aritmética.

2.1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

La media aritmética por sencilla que parezca es un conocimiento que debe adquirir el estudiante desde el primer año de secundaria. Para esto, existen intuiciones y experiencias previas que dan idea sobre el concepto de “promedio”, lo que en algunos casos, lleva a pensar que es suficiente aprender una fórmula o usar un algoritmo.

Las medidas de tendencia central, media, mediana y moda son mal interpretadas por los estudiantes, aunque se cuente con algún curso de Estadística. En la mayoría de los casos, el desconocimiento y la falta de comprensión de las propiedades relacionadas con los conceptos, genera confusión al resolver problemas o al analizar resultados que involucren medidas de tendencia central. En particular, la media aritmética cuenta con propiedades que son desconocidas u olvidadas al momento de analizar situaciones que la involucran.

2.1.1 Razones que sustentan el problema. Existen varias razones por las que se amerita llevar a cabo esta investigación, las cuales se resumen a continuación:

 La creencia de que el valor de la media se sujeta sólo al uso de un algoritmo, Cai, (1995), sin importar su significado y las propiedades que éste posee; muchos alumnos aplican adecuadamente la fórmula pero pocos son capaces de determinar un valor desconocido en un conjunto pequeño de datos para obtener un valor medio dado.

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 Las falencias de los estudiantes universitarios al pensar que la media tiene la propiedad asociativa y al hallar la media de un conjunto grande de números, dividir en partes hallando primero la media de cada parte y luego promediando el resultado obtenido, Mevarech, (1983).

 Situar la media en el punto medio del conjunto de valores, propiedad que solo se cumple en distribuciones simétricas Campbell, (1974).

La introducción de los contenidos de media aritmética en el programa curricular, muestra la importancia de abordar el tema de manera clara, teniendo en cuenta las propiedades conceptuales que posee y las dificultades que los estudiantes presentan, las cuales conllevan a cometer errores al solucionar problemas o interpretar resultados.

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3. OBJETIVOS

3.1 OBJETIVO GENERAL

Contribuir a la comprensión de las dificultades de estudiantes de Grado décimo en relación a las propiedades conceptuales de la media aritmética.

3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

 Identificar dificultades en el razonamiento que presentan alumnos del Grado décimo de la Institución Educativa Celmira Huertas de Ibagué, sobre la media aritmética, entendida como situada entre los valores extremos, y sabiendo que cuando se calcula, el cero debe tenerse en cuenta.

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4. JUSTIFICACIÓN

La enseñanza de la Estadística ha cobrado gran desarrollo en los últimos años, debido a su importancia ampliamente reconocida en la formación general de las personas. Actualmente, la Estadística se ha incorporado de manera generalizada al currículo de matemáticas desde la educación básica hasta las diferentes especialidades universitarias.

Tal como lo señala Batanero, et al. (1994) Algunos países han dedicado grandes esfuerzos en diseñar currículos y materiales específicos, como los elaborados en Inglaterra para el Schools Council Project on Statistical Education por Holmes y Cols. (1980), el Quantitative Literacy Project en Estados Unidos (Landewehr y Watkins, 1986; Landewehr y cols., 1987; Gnanadesikan y cols., 1987) y Azar y Probabilidad en España (Godino y cols., 1987). El interés creciente hacia la enseñanza de la Estadística se manifiesta, asimismo, por la existencia de revistas especificas (Teaching Statistics; Induzioni; Stochastik in der Schule); por las conferencias internacionales sobre la Enseñanza de la Estadística (ICOTS I en 1982 en Sheffield ; ICOTS II en 1986 en Victoria e ICOTS III en 1990 en Otago); por la serie de Mesas redondas promovidas por el I.S.I. y por la formación en 1992 de una asociación internacional IASE (International Association for Statistical Education).

En Colombia, a partir de la expedición de la Ley 115 de 1994, las Instituciones educativas y docentes cuentan con Lineamientos curriculares para cada área, éstos sirven de punto de partida y referencia para la elaboración de planes de área, proporcionando orientaciones y recomendaciones para cada planeación curricular. De esta forma, una tendencia actual en los currículos de matemáticas es la de favorecer el desarrollo del pensamiento aleatorio. La Teoría de la probabilidad y su aplicación a los fenómenos aleatorios, han construido un andamiaje matemático que logra dominar y manejar acertadamente la incertidumbre.

La introducción de la Estadística y la Probabilidad en el currículo de matemáticas, crea la necesidad de un mayor uso del pensamiento inductivo al permitir, sobre un conjunto de datos, proponer diferentes inferencias, las cuales a su vez van a tener diferentes posibilidades de ser ciertas.

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También se ha hecho evidente el interés por la investigación y el desarrollo curricular en el campo específico de la Estadística por los educadores matemáticos y los propios estadísticos, que se preocupan por la formación de profesionales en este campo y por los usuarios de ella. Hoy en día, muchos profesores se encuentran interesados en incrementar su conocimiento, no sólo sobre la materia, sino también sobre los aspectos didácticos del tema, y en este proceso se ha evidenciado que las dificultades que los alumnos encuentran en el aprendizaje de la Estadística son poco conocidas por los profesores. Este motivo, ha generado que la comunidad académica de los investigadores se preocupe porque las personas tengan una mejor formación en Estadística, de tal forma que se les permita interpretar y sistematizar de una manera adecuada la gran cantidad de información que proviene tanto de la vida cotidiana como del campo profesional y la vida académica.

En este orden de ideas, las medidas de posición central, en general, son muy utilizadas en Estadística, tanto por su propiedad de convertirse en representantes del conjunto de datos, como también por ser la referencia para el estudio de otros temas. En este sentido, el concepto de media es básico para trabajar temas de inferencia estadística, que tiene un gran interés cuando las distribuciones de partida no se ajustan a la distribución normal, cuando analizamos datos cualitativos u ordinales o cuando nos encontramos con muestras pequeñas. Así mismo, es muy utilizada en el análisis exploratorio de datos. Por otro lado, la comprensión de las ideas de promedio forma parte de la cultura estadística básica. Los promedios constituyen un contenido común en los currículos de enseñanza de diferentes países en los niveles previos a la universidad, y diferentes estudios internacionales han señalado grandes dificultades de comprensión en el alumnado de los diferentes niveles educativos. El estudio del conocimiento exacto de las dificultades del alumnado sobre un determinado tema en el proceso de enseñanza y aprendizaje, ayuda a los profesores a determinar métodos y técnicas coherentes para impartir estos contenidos, facilitando de esta forma el desarrollo de los conocimientos por parte del alumnado.

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5. MARCO TEÓRICO

5.1 FORMACIÓN DE CONCEPTOS EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA González, (2011).

 Introducción. Diremos que, a un concepto matemático, por ejemplo, Triángulo, Área, Media aritmética, Función, Límite, Ecuación diferencial, Infinito,…, hay asociados al menos tres tipos de conocimientos.

5.2 CONOCIMIENTO FORMAL.

Es el conocimiento que durante la historia de la matemática, han producido los matemáticos sobre el concepto.

Parte de este conocimiento se encuentra registrado en:

a. Los libros de matemáticas. (de Matemáticas para matemáticos)

b. Las revistas de matemáticas de los Departamentos de Matemáticas de las Facultades de Ciencias de las universidades y de las Asociaciones de matemáticos.

c. En los Trabajos de Grado de los estudiantes de Matemáticas de pregrado y postgrado según Brousseau, (2002)

5.3 CONOCIMIENTO CURRICULAR

Es el conocimiento de un concepto matemático, transformado para ser enseñado. Parte de este conocimiento de encuentra en:

a. Los libros de texto para la enseñanza de la matemática.

b. Documentos de los Ministerios de Educación sobre Lineamientos curriculares para la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática.

c. Las revistas de Educación Matemática, Didáctica de la Matemática o Matemática educativa de las Licenciaturas en Matemáticas de las Facultades de Educación de las universidades y de las Asociaciones de profesores de Matemáticas.

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(sf.), Calvo, (2001), Freudenthal, (1994 a), Sotos, (2004), Godino y Batanero, (1994), D’Amore, (2001).

5.7 VINNER: CONCEPTO E IMAGEN DEL CONCEPTO.

a. Siguiendo a Jaime (1995), para Tall y Vinner, (1981), hay que distinguir entre el concepto como conocimiento de los matemáticos y el concepto como conocimiento de quien lo aprende; este último lo denominan “imagen del concepto”.

En la Matemática, las definiciones, que son definiciones formales, son uno de los componentes de un concepto, y de ellas hacen parte atributos y relaciones entre atributos; atributos, que en estas definiciones formales sólo son “relevantes” o “esenciales”. Estos atributos también son conceptos primitivos, que a su vez, tienen una definición. Cuando son conceptos primitivos, sus atributos no se introducen mediante definiciones sino por medio de axiomas (en los cuales, otra vez, se pueden encontrar conceptos).

En la “imagen del concepto”, cuando existen definiciones, que son definiciones personales, además de atributos relevantes, ellas pueden contener atributos “irrelevantes” o “no esenciales”.

Una de las actividades escolares en las que un profesor puede reconocer la presencia o ausencia de atributos relevantes, irrelevantes, sus relaciones y parte de los conocimientos que constituyen la “imagen del concepto” de los alumnos, es cuando ellos realizan, identifican o utilizan ejemplos, no ejemplos y clasificaciones. En los ejemplos de un concepto deben estar todos los atributos relevantes, por ser éstos casos particulares de un concepto (y éste no se refiere a un caso específico sino a lo que es común a todos los ejemplos de un concepto), en ellos se introducirán, atributos irrelevantes que sirven para distinguir un caso de otro y a partir de estos atributos irrelevantes se pueden proponer clasificaciones. En los no-ejemplos, no se cumple o se niega alguno de los atributos relevantes de la definición de un concepto.

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(29)

29

En las concepciones de los sujetos se distinguirán diversos componentes, y, en particular:

 La clase de las situaciones-problema que le dan sentido al concepto para el alumno,

 El conjunto de los significantes que es capaz de asociarle, en particular las imágenes mentales, las expresiones simbólicas,

 Los instrumentos, teoremas, algoritmos de los que dispone para manipular el concepto”.

Para este Trabajo, estos componentes se resumirán en la siguiente tabla:

Tabla 1. Componentes de un concepto

Concepto (Conocimiento

matemático. Conocimiento formal) Concepción (Conocimiento de quien aprende. Conocimiento personal)

Definiciones Definiciones personales (que no

siempre existen)

Problemas Problemas personales

Representaciones Representaciones personales

Teoremas Teoremas personales

Procedimientos Procedimientos personales

Fuente: Las autoras

(30)

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(31)

31

Utrecht (Holanda), dirigido por Hans Freudenthal, (1905-1990); hoy en día este Instituto de llama Instituto Freudenthal.

En la actualidad, y como resultado del esfuerzo de los alumnos, colegas e interesados en las propuestas del profesor Freudenthal, parte de las respuestas a las preguntas básicas se han organizado en seis principios: de actividad, de realidad, de niveles, de reinvención guiada, de interacción y de interconexión. Por el momento sólo nos detendremos en los principios de actividad, de realidad y de niveles.

I. Principio de actividad: En este principio, la EMR aborda preguntas de la Filosofía de la Matemática como:

 ¿Qué es la Matemática?

 ¿Quiénes la hacen?

 ¿Cómo se hace?

 ¿Cómo se desarrolla?

 ¿Para qué sirve?

Para la EMR, la Matemática la hacen, la han hecho y la harán seres humanos; ni preexiste ni es independiente de los seres humanos; tampoco para su invención

se requieren seres humanos súper-especiales ni de ayuda de ninguna divinidad. Ernest, (2004) y Cañón, (2004, 1993).

Esta actividad humana que es la Matemática, se hace pensando en proporcionar “un orden” a los fenómenos naturales, sociales y a las teorías de las distintas áreas del conocimiento, incluyendo a la Matemática; esta actividad de “ordenar” los mundos en los que vivimos los seres humanos, la EMR la llama “Matematizar el mundo”.

Según el Ministerio de Educación Nacional, (1998) la matemátización está estrechamente ligada con el planteamiento y resolución de problemas y en éstos se privilegian dos procesos del pensamiento matemático: “generalizar y formalizar” (p. 77). A su vez, la formalización exige el concurso de otros procesos como “modelizar, esquematizar (Hoffer, 1990. p. 16-17) y definir. (Ministerio de Educación Nacional, 1998. p. 77).

(32)

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)XHQWH/DVDXWRUDV

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(33)

E(Q OD (05 ORV VHLV SULQFLSLRV HQ SDUWLFXODU HO GH ORV QLYHOHV VH DSOLFDQ D FXDOTXLHU FRQFHSWR PDWHPiWLFR DVt HQ OXJDU GH GHFLU TXH SDUD OD (05 KD\ FXDWURPDQHUDVGHFRPSUHQGHUXQFRQFHSWRJHRPpWULFRDKRUDVHSXHGHGHFLU TXH SDUD OD (05 KD\ FXDWUR PDQHUDV GLVWLQWDV GH FRPSUHQGHU XQ FRQFHSWR PDWHPiWLFRFXDOTXLHUDXQDSRUFDGDQLYHOGHFRPSUHQVLyQ

9ROYLHQGRDWRPDUORVFRPSRQHQWHV GHXQD³FRQFHSFLyQ´SURSXHVWRVSRU $UWLJXH WDPELpQSRGHPRVKDEODUGHSRUHMHPSORGHILQLFLyQVLWXDFLRQDOGHILQLFLyQ UHIHUHQFLDO GHILQLFLyQ JHQHUDO \ GHILQLFLyQ IRUPDO \ ORV PLVPRV QLYHOHV GH FRPSUHQVLyQ SDUD ORV SUREOHPDV ODV UHSUHVHQWDFLRQHV OD WHRUtD \ ORV SURFHGLPLHQWRV

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)XHQWH/DVDXWRUDV

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(34)

34

siguientes cinco “procesos generales” a tener en cuenta en la enseñanza y el aprendizaje de todas las áreas de Matemáticas; la resolución y el planteo de problemas, el razonamiento, la comunicación, la modelación y la elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos. (Ministerio de Educación Nacional de Colombia, 1998. p. 18 -19)

De estos procesos se precisan características como las siguientes:

a. La resolución y el planteo de problemas: “Las investigaciones que han reconocido la resolución de problemas como una actividad muy importante para aprender matemáticas, proponen considerar en el currículo escolar de matemáticas aspectos como los siguientes:

 Formulación de problemas a partir de soluciones dentro y fuera de las matemáticas.

 Desarrollo y aplicación de diversas estrategias para resolver problemas.

 Verificación e interpretación de resultados a la luz del problema original.

 Generalización de soluciones y estrategias para nuevas situaciones problemas (NCTM, 1989; 71)” (Ministerio de Educación Nacional de Colombia, 1998. p. 52).

b. El razonamiento: “Razonar en Matemáticas tiene que ver con:

 Dar cuenta del cómo y del porqué de los procesos que se siguen para llegar a conclusiones.

 Justificar las estrategias y los procedimientos puestos en acción en el tratamiento de problemas.

 Formular hipótesis, hacer conjeturas y predicciones, encontrar contra ejemplos, usar hechos conocidos, propiedades y relaciones para explicar otros hechos.

 Utilizar argumentos propios para exponer ideas, comprendiendo que las Matemáticas más que una memorización de reglas y algoritmos, son lógicas y potencian la capacidad de pensar.” (Ministerio de Educación Nacional, 1998. p. 54).

(35)

35

vínculos entre sus nociones informales e intuitivas y el lenguaje abstracto y simbólico de las matemáticas; cumplen también una función clave como ayuda para que los alumnos tracen importantes conexiones entre las representaciones físicas, pictóricas, graficas, simbólicas, verbales y mentales de las ideas Matemáticas. Cuando los niños ven que una representación, como puede serlo una ecuación, es capaz de describir muchas situaciones distintas, empiezan a comprender la potencia de las matemáticas; cuando se dan cuenta de que hay formas de representar un problema que son más útiles que otras, empiezan a comprender la flexibilidad y la utilidad de las Matemáticas”. (NCTM, 1989; 25 ) ”. (Ministerio de Educación Nacional, 1998; 73).

d. La modelación: “Estos mismos autores proponen que “para transferir la situación problemática real a un problema planteado matemáticamente, pueden ayudar algunas actividades como las siguientes

 Identificar las matemáticas especificas en un contexto general;

 Esquematizar;

 Formular y visualizar un problema de diferentes formas;

 Descubrir relaciones;

 Descubrir regularidades;

 Reconocer aspectos isomorfos en diferentes problemas;

 Transferir un problema de la vida real a un problema matemático;

 Transferir un problema del mundo real a un modelo matemático conocido. Una vez que el problema ha sido transferido a un problema más o menos matemático, éste puede ser atacado y tratado con herramientas matemáticas, para lo cual se pueden realizar actividades como las siguientes:

 Representar una relación en formula;

 Probar o demostrar regularidades;

 Refinar y ajustar modelos;

(36)

36

 Combinar e integrar modelos;

 Formular un concepto matemático nuevo;

 Generalizar.

La generalización se puede ver como el nivel más alto de la modelización.”” (Treffers y Goffree, en de Lange, 1987; 43) (Ministerio de Educación Nacional, 1998. p. 77).

e. La elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos: “” Aunque es importante que los alumnos sepan cómo llevar a cabo un procedimiento matemático de forma fiable y eficaz, el procedimiento procesual implica mucho más que la simple puesta en práctica. Los alumnos deben saber cuándo aplicarlos, por qué funcionan y cómo verificar que las respuestas que ofrecen son correctas; también deben entender los conceptos sobre los que se apoya un proceso y la lógica que lo sustenta. El conocimiento procesual implica así mismo la capacidad de diferenciar los procedimientos que funcionan de los que no funcionan, y la capacidad de modificarlos o de crear otros nuevos. Es necesario animar a los estudiantes a que reconozcan la naturaleza y el papel que juegan los procedimientos dentro de las matemáticas; es decir, deben reconocer que los procedimientos son creados o generados como herramientas que satisfagan unas necesidades concretas de forma eficaz, y por consiguiente se pueden ampliar o modificar para que se adecuen a situaciones nuevas””. (Tercer Estudio Internacional de Matemáticas y Ciencias, 1994-1995; 235) (Ministerio de Educación Nacional, 1998. p. 83)

A continuación se sugiere una manera de relacionar los procesos del MEN (1998; 18-19) y los componentes de una concepción de Artigue, (1990).

a. Los procesos de plantear y resolver problemas, de modelar y de elaborar, comparar y ejercitar procedimientos (Ministerio de Educación Nacional, 1998. p. 52, 77, 83), se relacionan con los problemas y procedimientos personales de Artigue, (1990).

b. El proceso de razonar (Ministerio de Educación Nacional, 1998. p. 54), se relaciona con las definiciones personales (cuando existen) y la teoría personal de Artigue, (1990).

(37)

37

La siguiente tabla resume las anteriores relaciones:

Tabla 2. Forma de relacionar los procesos del MEN (1998; 18-19) Autor

Procesos MEN (1998) Artigue (1990) (Concepciones de un concepto) Plantear y resolver problemas

Modelar

Elaborar, comparar y ejercitar procedimientos

Problemas y procedimientos personales

Razonar Definiciones personales

Teoría personal

Comunicar Representaciones personales

Fuente: Las autoras

5.11 EL CONCEPTO DE LA MEDIA ARITMÉTICA González, (2011a).

Se tomará una definición formal y una curricular del concepto de Media aritmética para ilustrar parte de los cambios en los atributos de la definición de este concepto, cuando se transforma de concepto formal a concepto escolar (de conocimiento matemático para los matemáticos a conocimiento matemático para ser enseñado a estudiantes de educación media).

5.11.1 Conocimiento Formal

 Definición formal

a. Una primera definición. En Apóstol, (1988; 57) se define la Media aritmética de la siguiente manera:

“Desigualdades que relacionan distintos tipos de promedios

Sean x1, x2…, xn n números reales positivos. Si Ʀ es un entero no nulo, la media de potencias Ʀ - ésimas Mp se define como sigue:

p p n p

1

1

n x ... x

Mp 

  

  

El número M1 se denomina media aritmética, M2 media cuadrática, y M-1, media

(38)

38 b. Definición que amplía el dominio de x1, x2… xn

En Apóstol (1988; 145), se vuelve a definir la media aritmética, como:

“En el trabajo científico es necesario con frecuencia realizar varias mediciones con condiciones semejantes y calcular luego el promedio o media con la idea de resumir los datos. Existen muchos tipos útiles de promedios, el más corriente es la media aritmética, si a1, a2… an, son números reales su media aritmética está

definida por la igualdad (2.17)

n

R R a a

1 n 1

Nótese que en esta definición, se ha aumentado el grado de generalización con respecto a M1, se pasó de x1, x2… xn como reales positivos a a1, a2… an como

números reales.

c. Extensión de la Media aritmética al Cálculo y aumento de la generalización. En Apóstol (1988; 145) no sólo se avanza en generalidad sino también en la aplicación de este concepto al ámbito del Cálculo, utilizando una entre muchas maneras de asignarle valores a x1, x2… xn, definiendo el siguiente promedio

aritmético:

“Si los números aƦ son los valores de una función f en n puntos distintos, por

ejemplo aƦ = f (xƦ), el número

Es la medida aritmética de los valores f (x1)… f (xn)…”

d. También, en Apóstol (1988; 145) se aumenta la generalidad de la media aritmética (ahora pueden tenerse infinitos valores xi), para establecer una

relación entre los Cálculos diferencial e integral univariados y proponer una interpretación gráfica de la siguiente definición:

“Podemos extender este concepto al cálculo de un valor medio no sólo para un número finito de valores de f(x) sino para todos los valores de f (x) al recorrer x un intervalo. La definición que sigue nos sirve para ello.

Definición del valor medio de una función en un intervalo: Sí f es integrable en un intervalo [a, b], definidos A (f), valor medio de f en [a, b], mediante la fórmula

) ( 1

1

n

(39)

39 (2.18) A(f) =

b

a f x dx

a

b ( )

1

Cuando f es no negativa, esta fórmula tiene una interpretación geométrica sencilla. Puesta en la forma (b-a)A(f) =

b

a f(x)dx, establece que el rectángulo de altura A (f) y base [a, b] tiene la misma área que el conjunto de ordenadas de f sobre [a, b].

Podemos ahora demostrar que la fórmula (2,18) es en realidad una extensión del concepto de media aritmética…”

e. Extensión de la Media aritmética a la Probabilidad y aumento de la generalización:

En Walpole (1998;85) no solo se avanza en generalidad sino también en la aplicación de este concepto al ámbito de la Probabilidad y sugiere que se puede obtener al multiplicar cada uno de los valores x1, x2…, xn de la variable aleatoria X o su correspondiente probabilidad f(x1), f(x2), …, f(xn), y sumar los productos. Esto para el caso de variables aleatorias discretas, en el caso de variables aleatorias continuas, la definición de valor esperado es esencialmente la misma pero con integrales que reemplazan las sumatorias.

“Definición del valor esperado: Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x). La media o valor esperado de X es:

si x es discreta si x es continua”

5.11.2 Unos problemas y propiedades de la Media aritmética

a. Unos problemas formales. De Apóstol (1988; 183) se transcribirán tres problemas, que servirán no sólo de ilustración de un tipo de problemas propios del conocimiento formal, sino también como recursos, distintos a los teoremas, para introducir propiedades o resultados teóricos de un concepto matemático, y al hacer un esbozo de demostración de un caso particular de uno de ellos, también se ilustrarán procedimientos utilizados, en este caso, en la solución de un problema que presenta una propiedad de la media.

(40)

40

“Valores medios. Sea f continua y estrictamente monótona en el eje real positivo y sea g la inversa de f. Si a1< a2<… an son n números reales positivos dados, se

llama valor medio (o promedio) con respecto a f al número M definido como sigue

Mf= g 

    

n i i a f n 1 ) ( 1

En particular, cuando f(x)= xƦ para Ʀ≠o, M

f se llama media de potencias R-ésimas.

Los ejercicios que siguen se refieren a las propiedades de los valores medios. 1. Demostrar que f(Mf) =

n i i a f n 1 ) (

1 .Dicho de otro modo, el valor de f en el promedio Mf es la media aritmética de los valores f(a1),…, f(an)

2. Demostrar que a1< Mf<an. De otro modo, el promedio de a1,…, an está

comprendido entre el mayor y el menor de los ai.

3. Si h(x)= af(x) + b, donde a≠o, demostrar que MƦ =Mf. Esto prueba que funciones

distintas pueden conducir al mismo promedio. Interpretar geométricamente este teorema comparando las gráficas de R y f”

b. Una propiedad de M1

Cuando en el problema 7, se toma la función idéntica, f(x)=x, o Ʀ =1, entonces g(x) = f(x) y Mf queda como:

Mf= g

n a a n a a g a n g a f n n n n i i n i i                         

  ... ... 1 ) (

1 1 1

1 1

Así se trata de probar que M1, el promedio de a1,…,an está comprendido entre el

mínimo y el máximo de los ai.

Por hipótesis, a1< …<… an, ai Є IR+. En este caso, a1 es el mínimo y anel máximo

de A=

a1,...,a n

. Por definición de mínimo de un conjunto, se cumplirá que:

a1< ai, ai € A, i1 (1)

Y por definición de máximo, se cumplirá que:

(41)

41

Por (1) tenemos que: a1 a1, (3)

Y por (2), que a1< an, (4)

Las desigualdades (3) y (4) se pueden escribir como:

a1 a1<an (5)

Sumando a2 a cada miembro de (5) y aplicando el Teorema I.18 (Apóstol, 1988;

25) (Anexo C), se tiene:

a1 + a2  a1+ a2 < an + a2 (6)

Como a1 es el mínimo y an el máximo de A, (6) se puede escribir como:

a1 + a1 < a1+ a2  a1 + a2 < an +a2 < an +an, es decir,

2 a1 < a1 + a2 < 2 an (7)

Sumando a3 en cada miembro de (7) y, aplicando como en (6), que a1 y an son

respectivamente el mínimo y el máximo de A y el Teorema I.18, se cumple que: 3 a1 < a1 + a2 + a3 < 3 an (8)

Sumando a4 en cada miembro de (8) y aplicando los mismos resultados que a (7),

y continuando hasta an, se obtiene:

n a1 < a1 + a2 + …+ an < n an (9)

Dividiendo por n todos los miembros de (9) y aplicando el Teorema I.19 (Anexo A), se tiene que:

n n a n

a a

a  1... 

1 , es decir,

a1 < M1 < an Q.E.D. (10)

c. Otras propiedades de la Media Aritmética

I. Como

n x x

M 1... n

1 , entonces nM1 = x1 +…+xn, es decir, M1 + M1 +… + M1 = x1 +…+ xn

n- veces

(42)

42

Si B = x1 +…+ xn, entonces, de todas las maneras como se puede expresar a B

como suma de n sumandos, además de x1 +…+ xn, la Media aritmética permite

expresar a B como la suma de n sumandos todos iguales: B= M1 + M1 +… + M1

n veces Por ejemplo, si para x1, x2, x3 es M1 = 3, entonces

3 .

3 x1  x2 x3 , luego 3.3 = x

1+ x2+ x3, es decir, 3 + 3 + 3 = x1+ x2+ x3

Esta última igualdad se puede transformar en una solución particular de un problema, por ahora en (enteros no negativos), de una sola ecuación y tres variables, del siguiente modo: Proponer tres números enteros no negativos cuya suma sea 9.

En una tabla de soluciones, como la siguiente, apenas una de ellas sería x1= x2= x3

= 3

Tabla 3. Posibles soluciones para un ejemplo de Media aritmética x1 x2 x3 x1 + x2 +x3

3 3 2 1

1 x x x

M   

0 0 9 9 3

0 9 0 9 3

9 0 0 9 3

1 . . . . . . 2 . . . . . . 3 . . . . . .

3 3 3 9 3

(43)

43

II. Sabiendo que M1 + M1 +… + M1 = x1 + x2 +… + xn, entonces

n veces

M1 + M1 +… + M1 –(x1 + x2 +… + xn) = 0

o

x1 + x2 +… + xn – (M1 + M1 +… + M1) = 0,

es decir,

(M1 - x1) + (M1 – x2) + … + (M1 – xn) = 0

O

(x1 - M1) + (x2 - M1) + … + (xn – M1) = 0 (11)

El resultado en (11) lo presenta Willoughby (1969; 87) de la siguiente manera: “Demostrar que la suma de las desviaciones con respecto a la Media es siempre igual a cero”

Este resultado también se escribe como:

   n i i M x 1 1 0 ) (

III. En la Media aritmética el cero no es “neutro”. Convengamos que xi puede ser

un real no negativo.

Es cierto que xi + 0 = xi, pero si en

n x x

M 1... n

1 cambiamos, por ejemplo x1 = x1 + 0, entonces ya no se tiene a M1 sino a otro valor porque en x1 + 0 + x2 +

…+ xn ya no se tienen n valores sino (n+1), así, en general,

1 ... 0

'

... 1 2

1 1 1          n x x x M n x x

M n n

5.11.3 Atributos Relevantes. Los atributos relevantes de la Media aritmética, se determinarán a partir de M1 como caso particular de Mp.

n x x

M 1... n 1

a. Siendo xi Є IR+, entonces un atributo es el concepto de número real positivo.

(44)

0HGLD $ULWPpWLFD 1~PHURV UHDOHV ,JXDOGDG 'LYLVLyQ 1~PHURV HQWHURV SRVLWLYRV URV YRV 'LYLGHQG 'LYLVRU 6XPDGH FDQWLGDGHV SRVLWLYDV (OFRHILFLHQWHGH &XHQWDORV VXPDQGRVHQHO GLYLGHQGR Q¼

&RPR VH DFDED GH KDFHU FXDQGR VH GHPXHVWUHQ WHRUHPDV R VH SODQWHHQ R UHVXHOYDQ SUREOHPDV UHODFLRQDGRV FRQ 0 VH SXHGHQ XWLOL]DU ORV D[LRPDV

WHRUHPDV \ GHILQLFLRQHV GH ,5 FRPR XQ FXHUSR RUGHQDGR HQ SDUWLFXODU ORV UHVXOWDGRVTXHFXPSODQORVQ~PHURVUHDOHVSRVLWLYRV$QH[R&

E 0 HV XQD LJXDOGDG HQWUH Q~PHURV UHDOHV SRVLWLYRV (VWDQGR HQ HO

FRQRFLPLHQWR IRUPDO OD LJXDOGDG VHUi XQD UHODFLyQ GH HTXLYDOHQFLD HV GHFLU HOOD FXPSOH FRQ ODV SURSLHGDGHV GH UHIOH[LYLGDG VLPHWUtD \ WUDQVLWLYLGDG (VWDQGR HQ ,5VHFXPSOLUi

5HIOH[LYLGDG[ [

6LPHWUtD6L[ \HQWRQFHV\ [

7UDQVLWLYLGDG6L[ \\ ]HQWRQFHV[ ]

F 0HV HO UHVXOWDGR GH XQD GLYLVLyQ HQWUH FDQWLGDGHV SRVLWLYDV HQ OD TXH HO

(45)

45

5.12 CONOCIMIENTO CURRICULAR

5.12.1 Definición curricular. En el texto Matemática-mente 10 (2008; 132) que fue el libro guía que se tuvo en cuenta en grado décimo para la presentación de la media aritmética, se propone la siguiente definición de Media Aritmética:

“La media de un conjunto de datos es la suma de todos ellos dividida entre la cantidad de datos. Se usa una barra para notar la media, por ejemplo, la media de los datos:

x1, x2, x3, …, xn es:

Si los datos están consignados en una tabla de frecuencias, Dato x1 x2 x3 … xn

Frecuencia f1 f2 f3 … fn

En este libro no se presentan más definiciones que generalicen o extiendan la definición inicial.

5.12.2 Unos problemas de la Media Aritmética. Del texto guía Matemática-mente 10 (2008; 133) se presentan problemas como los siguientes:

I. “Los 30 estudiantes de un curso anotaron el número de horas que ven televisión durante los domingos. Use la tabla de frecuencia para calcular el promedio de horas que ve televisión este grupo de estudiantes.

xi 0 1 2 3 4 5

fi = frecuencia (número de estudiantes) 8 5 7 6 3 1

II. “La cantidad de goles anotados por un delantero en el campeonato local es 1, 3, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 2, en 10 partidos.

Encuentre la media de goles por partido.”

(46)

46

IV. “Halla la media para el siguiente conjunto de datos.

El número de cachorros de león nacidos en cautiverio en varios zoológicos durante el último año:

5, 7, 6, 3, 8, 6, 4, 5, 6, 4.”

Los problemas I y II corresponden al aspecto “abstracto” de la media y el III y IV al aspecto “ser representante de los datos; en el texto no se encuentran problemas relacionados con el aspecto “estadístico”. (En la sección 4.3. Conocimiento Personal, se presentan los significados de estos tres aspectos de la Media aritmética).

En el texto no se presentan propiedades de la media aritmética, ni por definiciones, ejemplos o problemas.

5.12.3. Atributos relevantes e irrelevantes. En la definición curricular de Media, se determinan los siguientes atributos relevantes para :

a. Significado del signo igual: La igualdad en la fórmula, como ya se ha dicho, corresponde a una relación de equivalencia cumpliendo con las propiedades de reflexividad, simetría y transitividad.

b. Naturaleza del dividendo y del divisor: La división que hace parte de la fórmula corresponde a la suma de los datos, divididos entre una cantidad positiva, que es la cantidad de datos.

c. Números enteros positivos. Este conjunto manifiesta su presencia en el denominador de la fórmula.

En la definición curricular de Media, se determinan los siguientes atributos irrelevantes para :

a. El dominio de las cantidades que se suman en el denominador es irrelevante para este libro porque x1, x2, x3, …, xn es un conjunto de datos de los cuales,

explícitamente, no se sabe si son números enteros o si son números reales (Si son enteros obedecen a unos axiomas distintos a los que deben cumplir si ellos fueran números reales).

(47)

(QHOVLJXLHQWH)LJXUDVHHQFXHQWUDQORVDWULEXWRVUHOHYDQWHVHLUUHOHYDQWHVTXHVH DFDEDQGHSUHVHQWDU

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(48)

48

“Para Bachelard en Física y para Brousseau, (1976) en Matemáticas un obstáculo, es un conocimiento que es válido en un determinado contexto, que como tal puede durar mucho tiempo mientras no aparezca un conflicto; éste llega cuando aparece una situación que parece semejante a aquellas en las que funcionaba el concepto, pero que aplicándolo a ellas conduce al error. El conocimiento se revela insuficiente frente a la nueva situación y para resolverla es preciso reestructurar el conocimiento anterior: “se conoce contra un conocimiento anterior, destruyendo conocimientos mal hechos o hechos de otra forma, incompletos o mal adquiridos””. “Error, se utiliza aquí en el sentido de concepto equivocado, de juicio falso, contrario a la verdad. Los errores pueden producirse por la ignorancia, por dudas, o simplemente por casualidad.

Las dificultades, obstáculos y conflictos, pueden también producir errores. Pero no deben tratarse todos de la misma forma sin buscar las causas de donde proceden. No es los mismo un error producido por distracción o inadvertencia que un error producido por un obstáculo bien caracterizado…”

En cuanto a las dificultades, Socas, (1997, 126) propone la siguiente clasificación: “Aceptando que la naturaleza de las dificultades del aprendizaje de las matemáticas es de diversa índole y que se conectan y se refuerzan en redes complejas, estas pueden ser agrupadas en cinco grandes categorías: las dos primeras asociadas a la propia disciplina (objetos matemáticos y procesos de pensamiento), la tercera ligada a los procesos de enseñanza de las matemáticas, la cuarta en conexión con los procesos cognitivos de los alumnos, y una quinta, relacionada con la falta de un actitud racional hacia las matemáticas.

De manera más explícita estas dificultades se pueden organizar, en líneas generales en los siguientes tópicos:

1. Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos de las matemáticas. 2. Dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático.

3. Dificultades asociadas a los procesos de enseñanza desarrollados para el aprendizaje de las matemáticas.

4. Dificultades asociadas a los procesos de desarrollo cognitivo de los alumnos. 5. Dificultades asociadas a actitudes afectivas y emocionales hacia las

matemáticas…”

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49

“Este autor Brousseau, (1983), considera que los obstáculos que se presentan en el sistema didáctico pueden ser:

De origen ontogénico o psicogénico, debidos a las características del desarrollo del niño.

De origen didáctico, resultado de una opción o de un proyecto del sistema educativo, esto es, de las elecciones didácticas que se hacen para establecer la situación de enseñanza.

De origen epistemológico, intrínsecamente relacionado con el propio concepto. Se les puede encontrar en la historia de los mismos conceptos. Esto no quiere decir que se deban reproducir en el medio escolar las condiciones históricas donde se les ha vencido…”

Dentro de los estudios sobre los errores, que hacen parte de sus antecedentes, Rico, (1995; 77), señala:

“Se considera que Weiner, (1922) es el fundador de la investigación didáctica orientada al estudio de los errores; trató de establecer patrones de errores que explicasen las equivocaciones individuales en todas las materias y para todos los grupos de edades escolares. Dentro del concepto general de “incorrecto”, estableció la distinción entre equivocado, falsificación y error; también agrupó los errores en cinco categorías: errores mixtos y errores debidos a situaciones emocionales…”

Y como parte de las conclusiones de los estudios sobre los errores, Rico, (1995; 82-83), precisa:

“Al comenzar una observación cuidadosa al trabajo de los alumnos, los profesores se encuentran con una serie de sorpresas que, de nuevo, Brousseau, Davis y Werner, (1986) describen del siguiente modo:

1. Se hace evidente rápidamente que los errores de los alumnos, son con frecuencia, el resultado del procedimiento sistemático que tiene alguna imperfección; pero el procedimiento imperfecto lo utiliza el alumno de modo consistente y con confianza. En estos casos, los errores muestran un patrón consistente.

2. Los alumnos tienen con frecuencia grandes concepciones inadecuadas (“misconceptions”) acerca de aspectos fundamentales de las matemáticas. 3. Cuando es posible observar a los alumnos y también intercambiar información

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Tabla 2. Forma de relacionar los procesos del MEN (1998; 18-19)
Tabla 3. Posibles soluciones para un ejemplo de Media aritmética
Tabla  4.  Propiedades  del  concepto  de  Media  aritmética  según  los  aspectos
Tabla 5. Propiedades del concepto de Media aritmética. (Strauss,  Bichler, 1989 &amp;
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