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geometria plana Teoría

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Academic year: 2020

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(1)

UNIDAD Nº 5: GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

1.

VECTORES. DEFINICIÓN Y OPERACIONES

Definición: Un vector fijo

AB

es un segmento orientado que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B.

Módulo: es la distancia entre A y B (longitud del segmento AB).

AB

Dirección: Es la dirección de la recta que pasa por A y B. (dos vectores tienen la misma dirección si se encuentran en rectas paralelas).

Sentido: cada dirección tiene dos sentidos, uno de A a B y otro de B a A.

Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Los vectores se representan por letras

u

r

,

v

r

,

w

r

,....

, o bien mediante uno de sus representantes, designando el origen y su extremo con una flecha encima

AB

.

Producto de un vector por un número:

El producto de un número k por un vector

v

r

es otro vector

k

v

r

que tiene: Módulo:

k

v

r

=

k

·

v

r

. Dirección: la misma de

v

r

.

Sentido: el mismo de

v

r

si k>0, o el opuesto de

v

r

si k<0.

Suma de vectores:

Para sumar dos vectores

u

r

+

v

r

se coloca el vector

u

r

y a continuación el vector

v

r

, de manera que el extremo de

u

r

coincida con el origen de

v

r

. La suma

u

r

+

v

r

tendrá el origen de

u

r

y el extremo de

v

r

.

(La resta

u

r

v

r

es la suma de

u

r

con el opuesto de

v

r

(

v

r

)

u

r

v

r

=

u

r

+

(

v

r

)

Combinación lineal de dos vectores:

a

·

u

r

+

b

·

v

r

(Es sumar los vectores

a

u

r

y

b

v

r

2.

COORDENADAS DE UN VECTOR Y OPERACIONES

Base: Es un conjunto de dos vectores

β

=

{

x

r

,

y

r

}

que son linealmente independiente y son un sistema de generadores. (es decir, cualquier vector del plano se puede obtener como una única combinación lineal de los vectores

x

r

e

y

r

)

Vectores linealmente independientes: En el plano se reduce a que no tienen la misma dirección. Ningún vector es combinación lineal de los otros.

Vectores linealmente dependientes:. Algún vector es combinación lineal de los otros.

Sistema de generadores: Un conjunto de vectores es un sistema de generadores sis cualquier vector se puede poner como combinación lineal de estos vectores.

Si

β

=

{

x

r

,

y

r

}

es una base cualquier vector

v

r

se expresa de una única manera como

v

r

=

a

·

x

r

+

b

·

y

r

. Se dice que las coordenadas son

v

v

(

a

,

b

)

OPERACIONES CON VECTORES:

Producto de un vector por un número:

λ

·

u

r

=

λ

·

(

a

,

b

) (

=

λ

a

,

λ

b

)

Suma de vectores:

u

r

+

v

r

=

(

u

1

,

u

2

) (

+

v

1

,

v

2

) (

=

u

1

+

v

1

,

u

2

+

v

2

)

Ejemplo: Vamos a expresar el vector

w

r

(

2

,

3

)

como combinación lineal de

u

r

(

1

,

0

)

y

v

r

(

1

,

1

)

( )

( )

( ) ( ) (

)

=

=

=

+

=

+

=

+

=

+

=

1

3

3

2

,

3

,

2

1

,

1

0

,

1

3

,

2

·

·

a

b

b

b

a

b

b

a

b

a

v

b

u

a

w

r

r

v

w

r

=

u

r

+

3

v

r

3.

PRODUCTO ESCALAR Y PROPIEDADES

Se llama producto escalar de dos vectores

u

r

y

v

v

a:

=

u

v

u

v

v

u

r

·

r

r

·

r

·cos

r

,

r

, donde

u

r

es el módulo del vector u.

Popiedades:

(2)

v

u

r

y

v

son perpendiculares

u

r

v

v

u

r

v

v

=

0

Propiedad conmutativa:

u

r

v

v

=

v

r

u

r

Asociativa:

λ

(

u

r

v

r

) ( )

=

λ

u

r

v

r

=

u

r

( )

λ

v

r

Distributiva:

u

v

(

v

v

+

w

r

)

=

u

r

v

r

+

u

r

w

r

u

r

=

u

r

u

r

(ya que el ángulo que forman es 0)

Para poder calcular cualquier producto escalar de dos vectores es necesario saber el módulo de

los vectores de la base y el ángulo que forman:

{

x

r

,

y

r

}

=

β

,

u

r

=

a

x

r

+

b

r

y

;

v

r

=

a

x

r

+

b

y

r

(

a

x

b

y

) (

a

x

b

y

)

a

a

x

x

a

b

x

y

b

a

y

x

b

b

y

y

v

u

r

r

=

r

+

r

r

+

r

=

r

r

+

r

r

+

r

r

+

r

r

Ejemplo: Sea

β

=

{

x

r

,

y

r

}

una base con

x

r

=

2

,

y

r

=

4

y

,

=

60

º

y

x

r

r

. Sea

u

r

=

2

x

r

+

r

y

(2,1);

v

r

=

3

x

r

2

y

r

(3,-2) Calcular:

a)

u

r

v

v

u

r

v

r

=

(

2

x

r

+

y

r

) (

3

x

r

2

y

r

)

=

6

x

r

x

r

4

x

r

y

r

+

3

r

y

x

r

2

y

r

y

r

=

6

·

4

4

2

·

16

=

12

4

2

=

=

x

x

x

r

r

r

;

r

y

y

r

=

y

r

2

=

16

,

x

r

y

r

=

x

r

y

r

cos

60

º

=

2

·

4

·

1

/

2

=

4

b)

u

r

=

u

r

·

u

r

=

(

2

x

r

+

y

r

) (

2

r

x

+

y

r

)

=

4

r

x

x

r

+

2

x

r

y

r

+

2

r

y

x

r

+

r

y

y

r

=

4

·

4

+

4

·

4

+

16

=

16

+

16

+

16

=

48

(

3

2

) (

3

2

)

9

6

6

4

9

·

4

12

·

4

4

·

16

32

48

64

52

·

=

=

+

=

+

=

+

=

=

v

v

x

y

x

y

x

x

x

y

y

x

y

y

v

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

c)

v

u

r

,

r

0

´

24

52

·

48

12

·

·

,

cos

=

=

=

v

u

v

u

v

u

r

r

r

r

r

r

,

=

104

º

v

u

r

r

d) Un vector paralelo a

u

r

: Es cualquier vector

λ

·

u

r

, por ejemplo si λ=3

w

r

=

3

u

r

=

3

(

2

x

r

+

r

y

)

=

6

x

r

+

3

r

y

e) Un vector unitario a

v

r

: Es un vector paralelo a

v

r

con módulo 1 será

x

y

v

v

r

r

r

r

52

2

52

3

=

f) Un vector perpendicular a

v

r

w

r

=

x

r

+

a

r

y

es

v

r

sii

w

r

·

v

r

=

0

0

·

v

=

w

r

r

(

x

r

+

a

r

y

)

·(

3

x

r

2

r

y

)

=

3

x

r

x

r

2

r

x

y

r

+

3

a

y

r

x

r

2

a

r

y

r

y

=

0

3

·

4

2

·

4

+

3

a

·

4

2

a

·

16

=

0

5

1

20

4

4

20

0

32

12

8

12

=

=

=

=

+

a

a

a

a

a

w

r

x

r

y

r

5

1

+

=

BASE ORTONORMAL:

β

=

{

x

r

,

y

r

}

es una base ortonormal si

x

r

=

1

,

y

r

=

1

y

x

r

y

r

=

º

90

,

y

x

r

r

Las operaciones en una base ortonormal son más sencillas:

PRODUCTO ESCALAR:

u

r

=

a

x

r

+

b

y

r

;(a,b)

v

r

=

a

x

r

+

b

r

y

(a´,b´)

(

a

x

b

y

) (

a

x

b

y

)

a

a

x

x

a

b

x

y

b

a

y

x

b

b

y

y

a

a

b

b

v

u

r

r

=

r

+

r

r

+

r

=

r

r

+

r

r

+

r

r

+

r

r

=

+

MÓDULO:

u

r

=

u

r

·

u

r

=

a

2

+

b

2

COSENO DEL ÄNGULO:

2 2 2

2

·

·

·

,

cos

b

a

b

a

b

b

a

a

v

u

v

u

v

u

+

+

+

=

=

r

r

r

r

r

r

VECTOR UNITARIO:





+

+

=

2 2 2

2

,

b

a

b

b

a

a

u

u

r

r

VECTOR ORTOGONAL: Un vector ortogonal a

u

r

=

(

a

,

b

)

es

w

r

=

(

b

,

a

)

Ejemplo: Sea

β

=

{

x

r

,

y

r

}

una base ortonormal Sea

u

r

=

2

x

r

3

y

r

(2,-3);

v

r

=

x

r

+

4

y

r

(1,4) Calcular:

a)

u

r

v

v

u

r

v

r

=

(

2

,

3

) ( )

1

,

4

=

2

·

1

+

( )

3

·

4

=

2

12

=

10

4

2

=

=

x

x

(3)

b)

2

2

( )

3

2

4

9

13

=

+

=

+

=

u

r

v

r

=

1

2

+

4

2

=

1

+

16

=

17

c)

v

u

r

,

r

0

´

6726

17

·

13

10

·

·

,

cos

=

=

=

v

u

v

u

v

u

r

r

r

r

r

r

,

=

132

º

v

u

r

r

d) Un vector paralelo a

u

r

: Es cualquier vector

λ

·

u

r

, por ejemplo

2

u

r

=

(

4

,

6

)

ó

3

u

r

=

(

6

,

9

)

e) Un vector unitario a

v

r

: Es un vector paralelo a

v

r

con módulo 1 será

=

17

4

,

17

1

v

v

r

r

f) Un vector perpendicular a

v

r

w

r

=

(

4

,

1

)

Ejemplo: Sea

u

r

=

2

,

v

v

=

4

y

,

=

60

º

v

u

r

r

Calcular

u

r

+

v

r

(

+

)(

·

+

)

=

+

2

+

=

4

+

2

·

5

+

25

=

39

=

+

v

u

v

u

v

u

u

u

v

v

v

u

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

25

2

=

=

v

v

v

r

r

r

;

u

r

u

r

=

u

r

2

=

4

,

u

r

·

v

r

=

u

r

v

r

cos

60

º

=

2

·

5

·

1

/

2

=

5

DESIGUALDAD DE SCHWARTZ:

u

r

+

v

r

u

r

+

v

r

(En el ejemplo

39

2

+

5

)

4.

SISTEMA DE REFERENCIA EN EL PLANO

Un sistema de referencia en el plano

=

{

O

,

x

r

,

y

r

}

está formado por un punto O (llamado Origen), y

por una base de vectores del plano

B

=

{

x

r

,

y

r

}

(a partir de ahora consideraremos que es una base ortonormal).

A cualquier punto P le hacemos corresponder el vector de posición

OP

→ , y a

este las coordenadas respecto de la Base

B

=

{

x

r

,

y

r

}

y b x a

OP

= ·r+ ·r

P

(

a,b

)

A. Vector que une dos puntos

AB

Si miramos el dibujo observamos que:

OA

+

AB

=

OB

, (despejamos

AB

)

OA

OB

AB

=

Si

A

=(

a

1

,a

2

) y

B=

(

b

1

,b

2

)

AB

=

(

b1−a1,b2 −a2

)

Ejemplo:

A=(2,3) , B=(1,4)

=

(

1−2,4−3

)

=(−1,1)

AB

=

(

2−1,3−4

)

=(1,−1)

BA

B. Condición para que tres puntos estén alineados:

Tres puntos A, B y C está aliados si los vectores que forman entre ellos tienen la misma dirección, es decir son paralelos, por lo que sus coordenadas son proporcionales:

Si

A

=(

a

1

,a

2

),

B=

(

b

1

,b

2

)

y

C=

(

c

1

,c

2

)

AB

=

(

b

1

a

1

,

b

2

a

2

)

;

BC =

(

c1−b1,c2 −b2

)

2 2

2 2 1 1

1 1

b

c

a

b

b

c

a

b

=

Ejemplo: A=(2,-1) , B=(6,1) y C=(8,2)

AB

→ =

(

4,2

)

=

( )

2,1

BC

4/2=2/1 Están alineados

C. Punto medio: M es el punto medio de segmento AB, por lo tanto el

AB

=

2

AM

Si

A

=(

a

1

,a

2

) y

B=

(

b

1

,b

2

), M=

(

x,y

)

(

b1 −a1,b2 −a2

)

=2

(

xa1,ya2

)

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2

2 2 2

2 2 2

2 2

1 1 1

1 1 1

1 1

b a y a

a b y a

b a

y

b a x a

a b x a

b a x

+ =

→ +

− = →

− = −

+ = → +

− = →

(4)

5.

ECUACIONES DE UNA RECTA

Una recta viene determinada por un punto P(a,b) y un vector director

(

v

1

,

v

2

)

v

r

=

.

Un punto genérico X de la recta se define como:

OX

=

OP

+

λ

v

r

ECUACIÓN VECTORIAL:

OX

=

OP

+

λ

v

r

(

x

,

y

) (

=

a

,

b

)

+

λ

(

v

1

,

v

2

)

Tomando cada coordenada obtenemos la Ecuación Paramétrica ECUACIÓN PARAMÉTRICA:

+

=

+

=

2 1

v

b

y

v

a

x

λ

λ

Si despejamos λ de los dos e igualamos :

1

v

a

x

=

λ

;

2

v

b

y

=

λ

ECUACIÓN CONTINUA

2

1

v

b

y

v

a

x

=

Si pasamos todo a un lado del igual:

v

2

(

x

a

)

=

v

1

(

y

b

)

v

2

x

v

1

y

+

v

1

b

v

2

a

=

0

Si renombramos

v

2

=

A

;

v

1

=

B

;

v

1

b

v

2

a

=

C

ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA

Ax

+

By

+

C

=

0

El vector

n

r

=

(

A

,

B

)

se llama vector normal y es perpendicular al vector director

v

r

=

(

v

1

,

v

2

)

Si despejamos la y

B

C

x

B

A

y

=

y renombrando

1 2

v

v

B

A

m

=

=

y

A

C

n

=

ECUACIÓN EXPLÍCITA

y

=

mx

+

n

m= pendiente y n= ordenada en el origen

De la ecuación continua si despejamos y-b

(

x

a

)

v

v

b

y

=

1

2 de donde

1 2

v

v

B

A

m

=

=

ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE

y

b

=

m

(

x

a

)

Ejemplo: Calcular la ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(2,-1) y tiene vector director vr=

( )

3,5

Ec. Vectorial

(

x

,

y

) (

=

2

,

1

)

+

λ

( )

3

,

5

, Ec. Paramétrica:

+

=

+

=

λ

λ

5

1

3

2

y

x

Ec. Continua

5

1

3

2

+

=

y

x

Ec. General

5

x

10

=

3

y

+

3

5

x

3

y

13

=

0

; Ec. Explícita

5

x

13

=

3

y

3 13 3 5

= x

y

Ec. Punto pendiente:

(

2

)

3 5

1= −

+ x

y

ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

La ecuación de la recta que pasa por dos puntos

A

(

a

1

,

a

2

)

y

B

(

b

1

,b

2

)

es la recta que pasa por el punto A y tiene vector director el vector

AB

=

(

b

1

a

1

,

b

2

a

2

)

.

(

x

,

y

)

=

A

+

λ

AB

HAZ DE RECTAS

Haz de rectas paralelas: Son todas las rectas que tienen la misma dirección

Ax

+

By

+

"

C

"

=

0

con C variando.

Ejemplo: El haz de rectas paralelas a la dirección del vector

v

r

=

( )

3

,

5

es:

5

x

3

y

+

C

=

0

(el vector normal

n

r

=

(

5

,

3

)

es perpendicular al director)

La recta que pasa por el punto P(2,-1) la obtenemos sustituyendo el punto en la ecuación para hallar

C”.

5

·

2

3

·

( )

1

+

C

=

0

10

+

3

+

C

=

0

C

=

13

Recta es

5

x

3

y

13

=

0

(5)

SIGNIFICADO DE LA PENDIENTE:

La pendiente de una recta es el incremento de la ordenada (y) cuando la abscisa

(x) aumenta una unidad. También la pendiente es la tangente trigonométrica del

ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje de las x (es decir la

tangente del ángulo que forma el vector director con el vector

x

r

de la base).

m

v

v

tag

=

=

1 2

α

6.

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS

Dos rectas en el plano pueden ser:

SECANTES: Si se cortan en un solo punto.

PARALELAS: Si no tienen ningún punto en común. COINCIDENTES: Si tienen todos sus puntos comunes.

A. RECTAS EN FORMA GENERAL

Tendremoααs que discutir el sistema de ecuaciones formado por las dos rectas

=

+

+

=

+

+

0

0

C

y

B

x

A

s

C

By

Ax

r

1 solución: SECANTES

(SCD) COINCIDENTES (SCI) infinitas soluciones: Sin solución: PARALELAS (SI)

General B B A A ′ ≠ ′ C C B B A A ′ = ′ = ′ C C B B A A ′ ≠ ′ = ′ B. RECTAS EN FORMA PARAMËTRICA O VECTORIAL

Tenemos que ver la relación entre los vectores directores y el vector que une los puntos (uno de cada recta)

+

=

+

=

2 2 1 1

v

p

y

v

p

x

r

λ

λ

+

=

+

=

2 2 1 1

w

q

y

w

q

x

s

λ

λ

v

=

(

v

1

,

v

2

)

r

;

w

r

=

(

w

1

,

w

2

)

PQ

=

(

q

1

p

1

,

q

2

p

2

)

1 solución: SECANTES (SCD)

Vectores de distinta dirección

infinitas soluciones: COINCIDENTES (SCI) Los tres

vectores con la misma dirección

Sin solución: PARALELAS (SI) Los vectores directores con la misma dirección y el vector une los

puntos distinta Paramétricas 2 1 2 1 w w v v ≠ 2 2 1 1 2 1 2 1 p q p q w w v v − − = = 2 2 1 1 2 1 2 1 p q p q w w v v − − ≠ =

C. RECTAS EN FORMA EXPLÍCITA

Aquí nos basta con ver si tiene o no la misma pendiente.

+

=

+

=

n

x

m

y

s

n

mx

y

r

1 solución: SECANTES

(SCD) COINCIDENTES (SCI) infinitas soluciones: Sin solución: PARALELAS (SI)

Explícita mmm=m′ y n=nm=m′ y nn

7.

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Sabiendo los vectores directores o normales

El ángulo que forman dos rectas es el menor de los ángulos que definen.

(

r

^

s

)

se toma el más pequeño estará entre 0º y 90º, además será el ángulo

formado por los vectores directores de las rectas

(

r

^

s

) (

=

u

r

^

v

v

)

v

u

v

u

s

r

r

r

r

r

=

)

^

cos(

Se toma valor absoluto para que el ángulo esté entre 0º y 90º.

Si en vez de tener los vectores directores tenemos los vectores normales, el ángulo se calcula de la misma forma con los vectores normales. Ya que si los vectores directores forman un ángulo los normales formarán el mismo, ya que están girados 90º.

2 1 2 1

)

^

cos(

n

n

n

n

s

r

r

r

r

r

(6)

Sabiendo las pendientes

β

γ

β

α

γ

β

α

+

=

+

=

(

)

s r

s r

m

m

m

m

tg

tg

tg

tg

tg

tg

+

=

+

=

=

1

1

γ

β

β

γ

β

γ

α

Tomamos valor absoluto para que el ángulo esté entre 0º y 90º.

tg

γ

=

m

r y

tg

β

=

m

s

8.

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

r y s son paralelas (r//s) si:

Vectores directores tienen misma dirección

v

r

r

//

v

r

s

Vectores normales tienen misma dirección

n

r

r

//

n

r

s

Tienen la misma pendiente mr=ms

El ángulo que forman es de

(

r

^

s

)

=0º

r y s son perpendiculares (r

s) si:

Vectores directores son perpendiculares

v

r

r

v

r

s

Vectores normales son perpendiculares

n

r

r

n

r

s

El producto del as pendientes mr·ms=-1





=

r s

m

m

1

El ángulo que forman es de

(

r

^

s

)

=90º Nota: Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es 0.

9.

DISTANCIAS

A. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos

P

(

x

1

,

y

1

)

Q

(

x

2

,

y

2

)

es el módulo del vector que une los dos puntos

PQ

.

(

)

(

)

2

1 2 2 1 2

)

,

(

P

Q

PQ

x

x

y

y

dist

=

=

+

B. DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA

La distancia del punto

P

(

x

0

,

y

0

)

a la recta

r

Ax

+

By

+

C

=

0

es:

(

)

2 2

0 0

,

B

A

C

By

Ax

r

P

dist

+

+

+

=

C. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS (La menor) Primero estudiamos la posición relativa de las dos rectas:

Si r y s se cortan d(r,s)=0

Si r y s son coincidentes d(r,s)=0

Si r y s son paralelas Cogemos un punto de una recta, y calculamos la distancia de este punto

a la otra recta

P

r

d(r,s)=d(P,s)

10.

SIMETRIAS

A. SIMETRÍA DE UN PUNTO RESPECTO A OTRO. P´(x,y) es el punto simétrico de P(x1,y1) respecto del punto

A(a,b). Entonces A es el punto medio entre P y P´.

2

1

x

x

a

=

+

2

1

y

y

b

=

+

Ejemplo: Calcular el punto simétrico de P(2,4) respecto al punto A(-2,6).

P´(x,y)

4

2

6

2

2

2

=

+

=

+

=

x

x

x

;

12

4

8

2

4

6

=

+

y

=

+

y

y

=

P´(-6,8)

B. SIMETRÍA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA RECTA Pasos para calcular P´, simétrico de P respecto la recta :

1er Paso: Hallar la recta s, perpendicular a r que pasa por P. 2º Paso: Hallar el punto de intersección de r y s.

(7)

11.

PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

Mediana: Recta que une un vértice y el punto media del lado opuesto.

Baricentro: Punto de intersección de las medianas.

Altura: Recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto.

Ortocentro: Punto de intersección de las alturas.

Mediatriz: Recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio

Circuncentro: Punto de intersección de las mediatrices.

Bisectriz: Recta que divide a cada ángulo en dos iguales.

Incentro: Punto de intersección de las bisectrices.

ÁREA DEL TRIÁNGULO:

2

·h

b

A

=

b

=

AB

,

h

=

d

(

C

,

r

AB

)

(

)

2

,

r

AB

C

d

AB

A

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