M ´
AXIMOS Y M´
INIMOS
En esta parte se dar´a una muestra (de ninguna manera exhaustiva) de aplicaciones del c´alculo de varias variables. Algunas de ellas son conocidas del c´alculo de una variable excepto que la nueva situaci´on es m´as compleja (pero no necesariamente m´as d´ıficil). Iniciemos con m´aximos y m´ınimos.
M´aximos y M´ınimos
Como en el c´alculo de una variable existe una relaci´on entre m´aximos y m´ınimos locales y los puntos cr´ıticos, cuando la funci´on es derivable. Iniciemos con los nombres correspondientes.
6.1 Definici´on:
Seaf :A →R, conA una regi´on de Rn. Sea P ∈ A. Entonces:
i Sif es derivable enA y∇f(P) = 0 decimos queP es unpunto cr´ıtico de f.
ii Si existe σ > 0 tal que ∀x ∈ B(P, σ), f(x) ≤ f(P) entonces decimos que f tiene un m´aximo local en P, o que f(P) es un m´aximo local.
iii Si (−f) tiene un m´aximo local en P, decimos que f tiene un m´ınimo local en P. 2
6.2 Proposici´on:
Sif :R→Res derivable y tiene un extremo local enP ∈R entonces
P es un punto cr´ıtico def.
Demostraci´on: Sig:| a, b | →R cong(x0) =P es una curva en R entoncesf◦g tiene un extremo local en x0. Escojamos la curva g en la regi´on R de modo queg0(x0) = 0. Por tanto
0 =Dt(f ◦g)(x0) =<∇f(g(x0)), g0(x0)>
Como recordamosiP(t) = (P1, ..., Pi−1, Pi+z, Pi+1, ..., Pn) es una curva
de las requeridas ei0p(x0) =ei. As´ı 0 = ∂x∂fi(P). 2
Naturalmente que el teorema dice s´olamente entre cuales valores bus-car m´aximos y m´ınimos locales. Descarta aquellos puntos que no son cr´ıticos, pero para decidir cuales de los puntos cr´ıticos son m´aximos o m´ınimos locales se requiere m´as informaci´on.
6.3 Ejemplo:
Sif(x, y) =x2+y2 entonces el ´unico punto cr´ıtico est´a en (0,0). Pero graficando z = f(x, y) se ver´ıa que este punto cr´ıtico (´unico) es un m´ınimo local.
plano tangente aS en (0) es el planoz= 0 y el ´unico punto de corte de los dos es 0. As´ı que en 0 hay un m´aximo o m´ınimo local (mejor dicho, en este caso, global). Puesto quef(2,3) es 13, en 0 hay m´ınimo.
Una funci´on puede tener extremos en un punto en todas las direcciones, pero en una direcci´on ser m´aximo y en otra ser m´ınimo, e incluso en otra, tener un simple punto de inflexi´on. Ese es el caso del punto de silla donde a lo largo de la silla de montar es un m´ınimo y a lo ancho un m´aximo.
Ahora bien, consideremos en el puntoP ∈ Ala l´ınea en la direcci´onU
un m´aximo absoluto en P. En efecto si Q es otro punto de A este determina la direcci´on deP−Qy sobre esa direcci´onf(P) es m´aximo por hip´otesis y ser´a mayor o igual que f(Q) puesto que Q tambi´en est´a enP +t||P−1Q||(P−Q).
Por ejemplo para f(x, y) = x2 +xy, ∇f = 0 ↔ x = 0 ∧y = 0. El ´unico punto cr´ıtico es (0,0). Sea U = (a, b), con a2 +b2 = 1.
hU(t) =f((0,0)+t(a, b)) =t
2(a2+ab). h0
U(t) = 2(a
2+ab)tyh0
U(0) = 0
como estaba previsto. Ahora
h00U(0) = 2(a2+ab) (∗)
cuyo signo depende de ay b. Tomemos a= 0.9 y b=−√0.19, (a, b) es una direcci´on (verif´ıquelo). h00
U(0) > 0. Para U = (
√
0.19,−0.9),
h00(0)U <0. Por lo tanto en 0 hay un punto de silla.
Otro criterio para decidir si un punto cr´ıtico es un extremo y de qu´e tipo, es usar formas cuadr´aticas. Recuerde que una funci´onf :A→R se dice positivamente definida si f(a) > 0, ∀a ∈ A. f es nega-tivamente definida si f(a) < 0, ∀a ∈ A. Si, f toma tanto valores positivos como negativos,f se dice sin signo.
Seaf :A →R, con A una regi´on de Rn, una funci´on declase C2 y
P ∈ A. Se define F C(f, P) :A − {0} →R(la forma cuadr´atica de
f en P) a la funci´on X 7→
n
X
i=1
n
X
j=1
Dijf(P)xixj.
En general suponga quef :A →R. Sea P un punto cualquiera deA, yU una direcci´on cualquiera,U = (u1, u2,· · ·, un). Sea LP,U la l´ınea que pasa porP en la direcci´on deU. Expl´ıcitamenteLP,U(t) =P+tU
cont∈R. Para que LP,U est´e enA, tomamos un dominio (−εp, εp).
Para que enP haya un m´aximo relativo se requiere que
Dt(f(LP,U(t)))t=0 = 0 y que Dt2(f(LP,U(t)))t=0 < 0, para todo U. Para un m´ınimo la desigualdad debe ser Dt2(f(LP,U(t)))t=0 > 0. Si la primera y la segunda desigualdades se dan, las dos, una para unas direcciones U y la otra para direcciones, digamos V, entonces en P
hay un punto de silla.
R,H0(t) =∇f(LP,U(t))L0P,U(t).
Esta expresi´on es la que debe ser 0 para todo U en t= 0 (es decir en el punto P). As´ı que H0(0) = ∇f(P)×U. En particular para U =
e1,· · ·, en, es decir ∂x1∂f (P),· · ·,∂x∂fn(P) = 0 y por tanto ∇f(P) = 0. Tambien es cierto que si ∇f(P) = 0 entonces H0(0) = 0. Por tanto una condici´on necesaria y suficiente para que enP haya un m´aximo o m´ınimo relativo (local) es que∇f(P) = 0.
Ahora,H0(t) =
n
X
i=1
µi∂f
∂xi(LP,U(t))
Por tanto H00(t) =
n X i=1 µi ∂f
∂xi(LP,U(t))
0
.
Ahorah∂x∂f
i(LP,U(t))
i0
=∇∂x∂f
i(LP,U(t)).L
0
P,U(t).
As´ı que [∂x∂f
i(LP,U(t))]
0 |
t=0= ∇∂x∂fi(P).U =
n X j=1 µj ∂ ∂xj ∂f ∂xi(P)
= n X j=1 µj∂
2f(P)
∂xj∂xi
=
n
X
j=1
µjfxixj(P).
Por tanto H00(0) =
n X i=1 µi n X j=1
µjfxixj(P) =
n X i=1 n X j=1
µiµjfxixj(P).
No demostraremos el siguiente criterio.
6.4 Proposici´on:
Suponga que f : A → R es diferenciable, que para cada i, ∂x∂f
i es
diferenciable y que∇f(P) = 0. Sea
Dis(f, P)U = n X i=1 n X j=1
µiµjfxixj(P).
Entonces:
i Si DisU(f, P) > 0 para toda direcci´on U, entonces f tiene un
m´ınimo enP.
ii Si DisU(f, P) < 0 para toda direcci´on U, entonces f tiene un
iii Si existe U tal queDisU(f, P)>0 y existe W tal que
DisU(f, P)<0, entonces enP hay un punto de silla. 2
Note que
n
X
i=1
n
X
j=1
µiµjfxixj(P) es una forma cuadr´atica en Ui, i =
1· · ·n. Esta forma tiene una representaci´on matricial con matriz
A= [fxixj(P)]
i= 1,· · ·, n j= 1,· · ·, n
en cuantoAsea sim´etrica. En tal casofxixj(P) =fxjxi(P)∀i,∀j. Esto
se tiene sif esdos veces diferenciableenP, es decir sif tiene segundas derivadas parciales continuas en una bola alrededor deP. En tal caso decimos quef es localmenteC2 enP.
Con ello se tiene que
(u1,· · ·, un)[fxixj(P)]
i= 1,· · ·, n j= 1,· · ·, n
ui
.. .
un
=
n
X
i=1
n
X
j=1
µ1µjfxixj(P)
y se puede usar la teor´ıa de formas cuadr´aticas: Se llama k - ´esimo menor principal´o k- ´esimodiscriminante de la matriz sim´etrica A a
Dk(A) =det
a11 · · · a1k a21 · · · a2k
..
. ... ...
ak1 · · · akk
.
Para k= 1,2,· · ·, n. Entonces
6.5 Proposici´on:
1. UTAues positivamente definida ↔Dk(A)>0∀k = 1,· · ·, n.
2. UTAu es negativamente definida ↔ (−1)kD
k(A) > 0 ∀k =
La matriz [fxixj(P)]
i= 1,· · ·, n j = 1,· · ·, n
se llama lamatriz Hessianadef
enP denotada Hf(P). 2
Usando este resultado, esencialmente, se tiene que
6.6 Proposici´on:
Para cadaf :A →R,P ∈ A,Auna regi´on y f localmente C2 en P y
P un punto estacionario def(∇f(P)) = 0.
Entonces
i Si (−1)kD
k(Hf(P))>0 ∀k=1,2,···,n entoncesf tiene un m´aximo
local enP.
ii Si Dk(Hf(P))> 0 ∀k=1,2,···,n entonces f tiene un m´ınimo local
enP.
iii SiDn(Hf(P))6= 0 y no sucede i y no sucede ii, entoncesf tiene
un punto de silla enP.
En los dem´as casos no se concluye nada
6.7 Ejemplo:
Para xyzw+x+y+z+w = f(x, y, z, w), ∇f(x, y, z, w) = (yzw+ 1, xzw+ 1, xyw+ 1, xyz+ 1) y por tanto∇f(X) = 0↔x=y=w=
z = −1. Por tanto en (−1,−1,−1,−1) hay un cambio por: punto crtico.
Ahora, δfδx =yzw+ 1→ δ δx
δf δx = 0;
δ δy
δf
δx =zw; δ δz
δf
δx =yw; δ δw
δf δx =yz. δf
δy =xzw+ 1↔ δ δx
δf δy =zw;
δ δy
δf δy = 0;
δ δz
δf
δy =xw; δ δw
δf δy =xz. δf
δz =xyw+ 1↔ δ δx
δf
δz =yw; δ δy
δf
δz =xw; δ δz
δf δz = 0;
δ δw
δf δz =xy. δf
δw =xyz+ 1↔ δ δx
δf δw =yz;
δ δy
δf δw =xz;
δ δz
δf δw =xy;
δ δw
δf δw = 0.
∇δfδx ∇δfδy ∇δfδz ∇δwδf
=
0 zw yw yz
zw 0 xw xz
yw xw 0 xy
yz xz xy 0
J(f(−1,−1,−1,−1)) =
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
.
En este caso
D1 =|0|, D2= 0 1 1 0
D3 =
0 1 1 1 0 1 1 1 0
D4 =
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 .
Es claro conD1 ´unicamente que en (−1,−1,−1,−1) no hay m´aximo relativo, no hay m´ınimo y no hay punto de silla.
Note para el caso de una funci´on f(x, y)
H(f) = ∂ ∂x ∂f ∂x ∂ ∂y ∂f ∂x ∂ ∂x ∂f ∂y ∂ ∂y ∂f ∂y =
∂2f ∂x2
∂2f ∂yx ∂2f ∂xy
∂2f ∂y2
,D1=|∂
2f
∂x2|,D2 =Det(H(f)).
Traduciendo las Condiciones
i Si −∂∂x2f2(P) > 0 y detHf(P) > 0 entonces f tiene un m´aximo
local enP.
ii Si ∂∂x2f2 >0 ydetHf(P)>0 entoncesf tiene un m´ınimo local en P.
Para funcionesf(x, y, z) las condiciones son:
H(f) =
fxx fyx fzx fxy fyy fzy fxz fyz fzz
Entonces si∇f(P) = 0 y
1. fxx(P)<0,
fxx(P) fyx(P) fxy(P) fyy(P)
>0 yDetH(f)(P)<0 entonces
f tiene un m´aximo local enP.
2. fxx(P)>0
fxx(P) fyx(P)
fxy(P) fyy(P)
>0 yDetH(f)(P)>0 entonces
f tiene un m´ınimo local enP.
3. SidetH(f)(P)6= 0 y no sucede 1 y no sucede 2,f tiene un punto de silla enP.
6.8 Proposici´on:
Seaf :A →Rde claseC2yP ∈ A, un punto cr´ıtico def. SiF C(f, P) es positivamente definida en P hay un m´ınimo local, si F C(f, P) es negativamente definida hay un m´aximo local y siF C(P) no tiene signo, entonces no hay m´aximo ni m´ınimo local enP. 2
En el ejemplo de arriba (f(x, y) =x2+xy) sabemos que hay un punto cr´ıtico en 0. Se tiene que
F C(f,0)(a, b) = D11f(0)a2+ [D12f(0) +D21f(0)]ab+D22f(0)b2 = 2(a2+ab)
que coincide con la expresi´on (∗) de arriba para el primer procedi-miento, la cual debe determinarse si es mayor que cero ´o menor que cero para todo (a, b). Sabemos que F C(f,0)(0.9,−√0.19) > 0 y
F C(f,0)(√0.19,0.9) < 0. Luego F C(f,0) no tiene signo y no hay ni m´aximo ni m´ınimo local en 0.
ser hallables con las t´ecnicas del c´alculo diferencial. Ese es el caso de la funci´on de la figura.
Sin embargo una informaci´on ´util es si esos extremos existen. La res-puesta es: depende del dominio (si la funci´on es continua). Para iniciar notemos un hecho interesante con respecto a regiones donde traba-jamos: la conexidad por arcos se transmite por continuidad. (Ver problema 7). Pero el s´olo hecho de ser funci´on ya produce un tipo de correspondencia de sucesiones entre las de la imagen y las del do-minio (ver problema 8). En cuanto a los conjuntos la propiedad cru-cial de una regi´on cerrada y acotada es la siguiente: Si x1, x2, ... es una sucesi´on de puntos distintos en A entonces {xn}n∈N tiene una
subsucesi´on {x0n}n∈N que converge en A. Es decir que existe, para la
subsucesi´on, a∈Atal que lim
n→∞x 0
n=a.
6.9 Proposici´on:
Si f : A → R es una funci´on continua con A una regi´on acotada entoncesf tiene m´aximo y m´ınimo (absolutos).
Demostraci´on: Puesto queA es arco-conexa, entonces f(A) es arco conexo y como f(A) ⊆ R es arco-conexo, debe ser un intervalo. No puede ser infinito porque si| q,∞) ⊆ f(A) entonces bn = q+n
per-tenece a | q,∞ | y todos los bn son distintos y existen distintos an
en A tales que f(an) = bn. Pero {a0n}n∈N converge en A entonces f(a0n) converge. As´ı queq+nser´ıa una subsucesi´on convergente. Por supuesto eso no es cierto. As´ı que (a, b) ⊆ f(A) ⊆ | a, b | que es lo mismo que decir quef(A) es un intervalo finito.
distintos entonces {an}n∈N converge en A, digamos limn→∞an = c ∈ A
y f(c) = flim
n→∞an
= lim
n→∞f(an) = limn→∞a+
b−a
n+ 1 = a. Luego
a=f(c)∈ f(A). De la misma manera se tiene f(b) ∈f(A) (usando
b−b−a
n+1) as´ı puesf(A) =| a, b |y el m´ınimo def(A) esay el m´aximo esb. 2
En el caso de una regi´on cerrada y acotada se buscan puntos cr´ıticos en el interior. Entre ellos, si existen, los puntos extremos del inte-rior. Luego se investiga la frontera y se buscan los extremos en ella. Por comparaci´on entre los dos conjuntos de datos se determinan los extremos globales.
6.10 Ejemplo:
Hallar los extremos def(x, y) =xyen el cuadrado con v´ertices (±1,±1).
Soluci´on: Para puntos cr´ıticos tenemos: ∂f∂x =y y ∂f∂y =x. Entonces el ´unico punto cr´ıtico es (0,0) yf(0,0) = 0. Ahora en la frontera parte bajaX(t) = (t,−1) con−1≤t≤1. As´ı quef(X(t)) =f(t,−1) =−t. Cuyo m´aximo est´a ent=−1 y m´ınimo ent= 1. Para la parte superior derecha e izquierda, sucede lo mismo. As´ı que el m´aximo y el m´ınimo est´an entre
f(0,0) = 0 f(−1,1) =−1 f(−1,−1) = 1
f(1,1) = 1 f(1,−1) =−1
Multiplicadores de Lagrange
Se da ahora un procedimiento para encontrar m´aximos y m´ınimos de una funci´on cuyo dominio es una hipersuperficie. El m´etodo es conocido como elm´etodo de los multiplicadores de Lagrange.
Consideremos una hipersuperficie g(X) = 0. Sea A una regi´on en Rn que contiene a la hipersuperficie (de la misma direcci´on) y sea
f:A→Rderivable. Se desea encontrar los puntos de la hipersuperficie en los cualesf tiene extremos. O como se conocen los extremos de
f sujeto a g(X) = 0 ´o sobre g.
Puesto que g es una hipersuperficie ∇g(P)6= 0, ∀P ∈Dom g. Tene-mos el siguiente resultado:
6.11 Proposici´on:
Seag(X) =cuna hipersuperficie, digamosS, de claseC1(conX∈Rn)
contenida en una regi´on A de Rn y f : A → R una funci´on de clase
C1. Si un elementoP de la superficie es un punto extremo def sobre
S (o de f|S), entonces existe λ∈R, tal que
∇f(P) =λ∇g(P)
Demostraci´on: Sea τ una curva que pasa por P en la superficie, digamos τ : (a, b) → S (en donde S denota a la hipersuperficie) y
τ(x0) = P. Entonces en x0 hay un extremo de la funci´on (a, b)
τ
−→
S −→f R. Entonces Dt(f ◦τ)(x0) es 0 (cero) y esto es equivalente a < ∇f(P), τ0(x0) >= 0. Por tanto ∇f(P) es normal al plano tan-gente a la superficie en P. Pero sabemos que ∇g(P) es normal a la superficie, as´ı que{∇f(P),∇g(P)}es linealmente dependiente y como ∇g(P)6= 0, entonces existeλ∈Rtal que∇f(P) =λ∇g(P). 2
P hay un extremo de f|, entonces existe una funci´on del tipo f +λg
conλ∈Rque tiene un punto cr´ıtico en P.
El teorema en general es como sigue:
6.12 Proposici´on:
Sean A una regi´on de Rn, f : A −→ R de clase C1, g1, g2,· · ·, gm : A −→ R, con m < n de clase C1, S = {X ∈ Rn|g
i(X) = 0, i =
1,2,· · ·, m} y finalmente Det(Digj)
i= 1,· · ·, m j= 1,· · ·, m
6= 0 en todas A.
Si f|S tiene un extremo en A ∈ S entonces existe λ ∈ Rm tal que f+< λ, g >tiene un punto estacionario enA. 2
Aqu´ıg= (g1,· · ·, gm),λ= (λ1, λ2,· · ·, λm) y por tantof+< λ, g >=
f+
m
X
j=1
λigi =L llamado el Lagrangiano del problema.
6.13 Ejemplo:
Encontrar (si existe) el m´aximo de la funci´onf(x, y, z) =xyz sujeta a las restriccionesx≥0; y≥0;z≥0; xy+xz+yz = 2.
Soluci´on: En principio el problema se reduce a m´aximizar f en la frontera x = 0, y = 0, z = 0 y xy+xz+yz = 2 y despues x > 0,
y > 0 y z > 0 con xy+xz+yz = 2. En la primera parte se tienen 4 restriciones para una funci´on de 3 variables lo cual no encaja en el metodo de los multiplicadores Lagrange. Pero el valor de f en x = 0 ´
oy= 0 ´o z= 0 es 0. Esto permite trabajar en el primer octante. Sea pues
A={(x, y, z)|x >0, y >0,z >0} y
f :A →R(x, y, z)7→xyz. De manera que aqu´ıg(x, y, z) =xy+xz+
yz−2.
Ahora, el Lagrangiano es:
L=f+λg por tanto L(x, y, z) =f(x, y, z) +λg(x, y, z) y∇L(x, y, z) =∇(xyz+λ(xy+xz+yz−z))
∇L(x, y, z) = 0 si
2. xz+λ(x+z) = 0
3. xy+λ(x+y) = 0
4. xy+xz+yz = 2
Note queλno puede ser 0. Multiplicando porx la primera ecuaci´on y reemplazando en la segunda se obtiene (puesto queλ6= 0)z(y−x) = 0. De la misma manera entre la primera y tercera ecuaci´on obtenemos
Y(x−z) = 0 As´ı pues tenemos tres ecuaciones ahora
yz +λ(y+z) = 0
y2 +2λy= 0
y2+ 2yz = 2 ((x, y, z)∈S)
Como paray = 0 ya sabemos quef(X) = 0 en lasegunda ecuaci´on
y+ 2λ= 0 y por tanto recibimos
y−z = 0
y2+ 2yz = 2
As´ı pues 3y2= 2→y = q
2
3. As´ı (x, y, z) = q
2
3(1,1,1) yf(x, y, z) = (
q 2 3)3= (
2 3)
3 2
Comparando con el valor 0 def sobre el resto de la superficie se tiene que f tiene m´aximo en (23)12(1,1,1) y que el m´aximo es (2
3)
3
2. En la
PROBLEMAS
1 En cada caso
a Calcule el dominio def.
b Calcule los extremos de f en su dominio. Te´oricamente debe decidir el tipo de extremo. No por inspecci´on.
c En la regi´on dada, determine te´oricamente si hay extremos (bosqueje la regi´on).
d De existir, d´e los puntos extremos de la funci´on en la regi´on dada.
i f(x, y, z) =xy+xz+yz en la regi´on x2+y2+z2 ≤1.
ii f(x, y) =xy−(1−x2−y2)12 en x2+y2 ≤1
iii f(x, y) = (x2+y2)e−(x2+y2) en el plano.
iv f(x, y) =−x2ex4+y10 = en la franja−1≤y≤1
v f(x, y) = |xx2|++y|y2| en R2− {0}
vi f(x, y, z) =−x2ey4+zen la franja de R3,−1≤x+y≤1.
2 En cada caso d´e el extremo pedido de la funci´on f con las res-tricciones dadas
i f(X) = (X−A)2+ (X−B)2+ (X−C)2, (X2=< X, X >) (con A = (1,1 −1), B = (2,1,3), C = (2,0,1)); valor: m´ınimo; restricciones: ninguna.
ii f(x, y) = cos2x+cos2y; valores m´aximos y m´ınimos; res-triccionesx−y= π4, 0≤x≤π
iii f(x, y, z) = (x+y+z)2; valores m´aximos y m´ınimos; res-triccionesx2+ 2y2+ 3z2 = 1
iv Para a2 +b2+c2 6= 0. f(x, y, z) =x2+y2 +z2; valores: m´aximos y m´ınimos; restriccionesax+by+cz=d.
4 Entre los tri´angulos de per´ımetro 2u (u =unidad de longitud) hallar el de mayor ´area.
5 Representar un n´umero positivo dadoacomo producto de cuatro n´umeros positivos cuya suma sea m´ınima.
6 Dar el plano que pasa por (a, b, c) tal que el vol´umen del tetraedro formado con los planos coordenados sea m´ınimo.
7 Muestre que si f :A→Rn es una funci´on continua y A⊆Aes
arco-conexo, entoncesf(A) es arco-conexo.
8 Si f : A → B es una funci´on y b1, b2, b3, ... es una sucesi´on en
f(A) de puntos distintos entonces existe una sucesi´on a1, a2, . . . de elementos deA, de puntos distintos, tal que∀n,f(an) =bn.
9 Determinar el cilindro de m´axima superficie que puede inscribirse en una esfera dada.
10 Dos puntosAyB estan situados en dos medios ´opticos diferentes separadas por una l´ınea recta.
El principio de Fermatafirma que el rayo luminoso se propaga deAa B de modo que el tiempo de recorrido sea m´ınimo. Si en el lado deA la velocidad de propagaci´on es v1 y en el segundo esv2, deduzca la ley de la refracci´on del rayo de luz (ver gr´afico) (Respuesta: senα/senβ = v1v2)
11 Sea f : A → R una funci´on diferenciable con A una regi´on convexa. Sea P ∈ A. Para una direcci´on U sea hU(t) =f(P+
