Integrales impropias de primera especie: poseen un intervalo de integración infinito o no acotado

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Resumen pep 2:

Integrales impropias: Georg Riemann impone una condición de que el intervalo de integración sea finito en la integración de una función del tipo [a, b] y el teorema fundamental del cálculo exige que la función sea continua en este intervalo. La integral impropia transgrede uno o ambos de estos postulados representando de esa forma un área finita en un intervalo infinito, este hecho tiene múltiples aplicaciones en diversas ramas de las matemáticas como lo son las ecuaciones diferenciales o la estadística por nombrar algunos se tienen las siguientes integrales impropias como ejemplo:

𝑓(𝑥) = +∞𝑓(𝑥)𝑒−2𝜋𝜖𝑥𝑑𝑥

−∞

Transformada de Fourier

𝐹 𝑠 = 𝑒0∞ −𝑠𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡 Transformada de Laplace

Existen dos principales tipos de integrales impropias:

Integrales impropias de primera especie: poseen un intervalo de integración infinito o no acotado a) f(x) continua en el intervalo [a, ∞) entonces:

b) f(X) continua en el intervalo (-∞ , b] entonces:

c) f(x) continua en (-∞, ∞) entonces se puede postular lo siguiente si (A) es una constante real cualquiera:

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim

𝑁→−∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝐴

𝑁

+ lim

𝑁→∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑁

𝐴 ∞

−∞

Integrales impropias de segunda especie: son aquellas que tienen una discontinuidad en un extremo del intervalo de integración o dentro del intervalo del tipo infinito.

a) Si f(x) es continua en (a, b] y discontinua en (a) entonces:

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= lim

𝑁→𝑎+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑁

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim

𝑁→∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑁

𝑎 ∞

𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim

𝑁→−∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏

𝑁 𝑏

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b) Si f(x) es continua en [a, b) y discontinua en (b) entonces:

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= lim

𝑁→𝑏− 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑁

𝑎

c) Si f(x) es discontinua en un numero (K) perteneciente al intervalo de integración [a,b] entonces:

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= lim

𝑁→𝐾− 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑁

𝑎

+ lim

𝑁→𝑘+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑁

 Si al calcular una de estas integrales con limites da como resultado un limite finito entonces la integral es convergente, en caso contrario diverge.

Criterios de convergencia para integrales impropias:

Comparación directa: sean f(x) y g(x) funciones continuas en [a, b] con 0 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 ∀ 𝑥 ≥ 𝑎 entonces se tiene lo siguiente:

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 ↔ 𝑔(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 ↔ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

Criterio de comparación al limite: si las funciones son f(x) y g(x) son positivas y continuas en un intervalo del tipo [a, ∞) y si se cumple:

lim

𝑋→∞

𝐹(𝑋)

𝐺(𝑋)= 𝐿 0 < 𝐿 < ∞ → 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑎

𝑦 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑎

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Integrales del tipo “p”: sirve para estudiar la convergencia de funciones integrando de la forma f(x) = 1/x^p este criterio es muy útil complementándolo con la comparación de funciones semejantes de este tipo mayores o menores en el dominio en estudio, básicamente se tienen dos casos principales

𝐴) 𝑑𝑥 𝑥𝑝 ∞

𝑎

= 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑝 > 1𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑝 ≤ 1

𝐵) 𝑠𝑖 𝑘 ∈ 𝑅 𝑑𝑥 (𝐾 − 𝑥)𝑝 𝑏

𝑎

𝑜 𝑑𝑥 (𝑥 − 𝑘)𝑝 𝑏

𝑎

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑝 < 1 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑝 ≥ 1

Series:

Limite de una sucesión: una sucesión 𝑎𝑛 tiende a un limite 𝐿 𝑠𝑠𝑖 ∀ 𝜀 > 0 ∃ 𝑁 > 0 tal que si (n) es un numero

entero y además (n) cumple 𝑛 > 𝑁 → 𝑎𝑛− 𝐿 < 𝜀 esto se puede denotar de la siguiente manera:

lim

𝑛 →∞𝑎𝑛 = 𝐿

Sucesiones crecientes: 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1 nota: una sucesión es monótona si cumple una de estas condiciones

Sucesiones decrecientes: 𝑎𝑛+1< 𝑎𝑛

Suma de una serie infinita:

Una serie infinita 𝑎𝑛 define una suma de 3términos llamemos 𝑆𝑁 lo cual denotamos matemáticamente como:

Si la serie 𝑎𝑛 es convergente entonces debe cumplir: Lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 0

Una de los primeras sumatorias de series infinitas que usted debe haber estudiado en cálculo 1 (el verdadero) y por supuesto sabe deducir es la serie geométrica la cual tenia la particularidad de que cada termino se obtiene del anterior multiplicándolo por la razón común (r)

𝑎𝑟𝑛 −1

𝑛 =1 = 𝑎

1−𝑟 alternativamente 𝑎𝑟 𝑛 ∞

𝑛=0 = 𝑎

1−𝑟 convergen ssi (∀ 𝑟 < 1)

𝒔𝒏= 𝒂𝒏 ∞

𝒏=𝟎

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Criterios de convergencia para series:

1) Series (p):

2) Criterio para series alternantes o criterio de Leibniz (para series de la forma ∞ (−1)𝑛+1𝑎𝑛

𝑛=1 ; ∞𝑛 =1(−1)𝑛𝑎𝑛)

a) 𝑎𝑛 > 0 si cumple las tres condiciones entonces la serie converge

b) 𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛

c) lim𝑛 →∞𝑎𝑛 = 0

3) Criterio de la razón: sea ∞𝑛 =1𝑎𝑛 una serie infinita de términos para la cual 𝑎𝑛 ≠ 0 entonces:

a) lim𝑛 →∞ 𝑎𝑛 +1

𝑎𝑛 = 𝐿 < 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑒𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

b) lim𝑛 →∞ 𝑎𝑛 +1

𝑎𝑛 = 𝐿 > 1 𝑜 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 lim𝑛→∞

𝑎𝑛 +1

𝑎𝑛 = ∞ 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

c) lim𝑛 →∞ 𝑎𝑛 +1

𝑎𝑛 = 1 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟 𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

Nota: este criterio es muy útil para encontrar el intervalo de convergencia de series del tipo potencias

4) Criterio de la raíz: sea ∞𝑛 =1𝑎𝑛 una serie infinita de términos para la cual 𝑎𝑛 ≠ 0 entonces

a) lim𝑛 →∞𝑛 𝑎𝑛 = 𝐿 < 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑒𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

b) lim𝑛 →∞𝑛 𝑎𝑛 = 𝐿 > 1 𝑜 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 lim𝑛→∞ 𝑛 𝑎𝑛 = ∞ la serie es divergente

c) lim𝑛 →∞𝑛 𝑎𝑛 = 1 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟 𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

Nota: al igual que el criterio de la razón este es muy utilizado para encontrar el intervalo de convergencia de series de potencias.

5) Criterio de la integral: consiste en crear una función auxiliar f(x) continua y decreciente asimilándola a la sucesión 𝑎𝑛 entonces

𝑓 𝑛 = 𝑓 1 + 𝑓 2 + … … … . . 𝑓 𝑛 + ⋯ . .

𝑛=1

a) 𝐸𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑠𝑖 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙 (𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒)1

b) 𝐸𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑠𝑖 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ∞1∞ (𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒) 1

𝑛𝑝 ∞

𝑛 =1

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6) Criterio de comparación: sean las series 𝑎𝑛 ; 𝑏𝑛 ; 𝑐𝑛 series de términos no negativos, si para un entero N se cumple

 𝑎𝑛 < 𝑏𝑛 < 𝑐𝑛 ∀ 𝑛 > 𝑁

a) Si 𝑐𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 → 𝑏𝑛 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 b) Si 𝑎𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 → 𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

Nota: para este criterio es muy útil mayorar y obtener obviamente la convergencia

7) Criterio de comparación al limite: suponiendo 𝑎𝑛 ; 𝑏𝑛 series positivas para todo termino o desde un 𝑛 ≥ 𝑁 con N entero entonces:

a) lim𝑛 →∞ 𝑎𝑛

𝑏𝑛= 𝑘 ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑛 𝑦 𝑏𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑜 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛

b) lim𝑛 →∞ 𝑎𝑛

𝑏𝑛= 0 ; 𝑠𝑖 𝑏𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑛 también converge

c) lim𝑛 →∞ 𝑎𝑛

𝑏𝑛= ∞ ; 𝑏𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛

Series de potencias: son series de términos variables que nos ayudan a representar funciones de diversas maneras como polinomios haciendo de esta manera un análisis mas simple que nos ayuda a tener una aproximación muy cercana a la función original un ejemplo muy importante en matemáticas es la serie de Taylor la cual tiene múltiples aplicaciones en diversas ramas de la ciencia.

𝑠𝑝 𝑥 = 𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛 ∞

𝑛=0

𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑥 − 𝑎

Teorema: sea ∞𝑛 =0𝑐𝑛𝑥𝑛 una serie de potencias, entonces solo se cumple una de las siguientes proposiciones

a) La serie converge solo cuando x = 0

b) La serie es absolutamente convergente para todos los valores de x

c) Existe un numero 𝑅 > 0 tal que la serie es absolutamente convergente para todos los valores de x que cumplen la condición 𝑥 < 𝑅 y es divergente para todos los valores 𝑥 > 𝑅

Procedimiento para encontrar el intervalo de convergencia de una serie de potencias:

1) Aplique el criterio de la razón o el criterio de la raíz según mejor sea la conveniencia a la hora de operar (𝑎𝑛) y elimine la mayor cantidad de términos posibles reduciendo y aplicando propiedades de potencias.

2) Aplique el limite a la sucesión correspondiente y condiciónelo a la convergencia de uno de los criterios analizados ( 𝐿 < 1 ).

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4) Aplique la propiedad del valor absoluto – 𝑟 < 𝑥 < 𝑟 este será su intervalo de convergencia provisorio. 5) Para obtener el intervalo de convergencia real debe evaluar los valores extremos del intervalo y aplicar

cualquiera de los criterios antes mencionados en la sucesión en estudio ese finalmente será su intervalo de convergencia.

Diferenciación de series de potencias: sea ∞𝑛 =0𝑐𝑛𝑥𝑛 una serie de potencias cuyo radio de convergencia es

𝑅 > 0 si se define la siguiente función :

𝑓 x = ∞n=0cnxn

Entonces su derivada existe para cada x perteneciente al intervalo (-R, R) y su formula recurrente viene dada por:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑛𝑐𝑛𝑥

𝑛 −1 ∞

𝑛 =1

Integración de series de potencias: ∞𝑛=0𝑐𝑛𝑥𝑛 una serie de potencias cuyo radio de convergencia es 𝑅 > 0 si se

define la siguiente función

𝑓 x = ∞n=0cnxn

Entonces f(x) es integrable en cada subintervalo cerrado (-R, R) y la integral de f(x) se evalua integrando termino a termino la serie de potencias dada, es decir si x pertenece a (-R,R) entonces:

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 0𝑥 = ∞𝑛 =0𝑛+1𝑐𝑛 𝑥𝑛 +1 Además el radio de convergencia es el mismo de la serie original

Serie de Taylor: es una serie que infinitamente diferenciable o diferenciable en todo orden que nos permite simplificar el análisis de funciones complejas escribiéndolas o aproximándolas a polinomios de orden (n) según se requiera o convenga en el análisis que se quiere, esto nos permite integrar, diferenciar aproximar funciones que a simple modo no pueden ser trabajadas con métodos comunes aprendidos con anterioridad.

Definición: sea f(x) una función tal que f(x) y todas sus derivadas existen en algún intervalo del tipo (a-r,a+r) entonces esta función tiene su representación por su serie de Taylor la cual esta dada por:

𝑠𝑡𝑓 𝑥 = 𝑓𝑛(𝑎)(𝑥−𝑎)𝑛 𝑛! ∞

𝑛 =0 para toda x tal que 𝑥 − 𝑎 < 𝑅

Esto se cumple si el siguiente limite o limite del residuo es nulo (es un error asociado a la aproximación) lim

𝑛 →∞𝑅𝑛(𝑥) = lim𝑛→∞

𝑓𝑛+1(𝑧 𝑛)

(𝑛 + 1)! (𝑥 − 𝑎)

𝑛+1

Donde 𝑧𝑛 esta entre (x) y (a) respectivamente

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Un polinomio de Taylor : es análogo al desarrollo de Taylor y si es de grado n se representa de la siguiente manera

𝑃𝑇𝑛 𝑋 = 𝑓 𝑎 + 𝑓, 𝑎 𝑥 − 𝑎 +

𝑓,, 𝑎 𝑥−𝑎 2

2! + ⋯ … … … . . + 𝑓

𝑛 𝑎 𝑥−𝑎 𝑛 𝑛!

𝑃𝑇 𝑋 = 𝑃𝑇𝑁 𝑋 + 𝑅𝑁(𝑋)

Solo de deben obtener las derivadas hasta el orden que se necesite y luego evaluarlas donde este centrada (para el caso general se evalúa en una constante (a) arbitraria)

Serie de Maclaurin: esta serie es simplemente Taylor evaluada en cero, su formula por recurrencia es análoga a la de serie de Taylor entonces se puede enunciar como

𝑠𝑚𝑐𝑓(𝑥) = 𝑓𝑛(0)

𝑥𝑛

𝑛!

𝑛 =0

Algunas series de Maclaurin:

Serie binomial: si (m) es un numero real entonces se plantea lo siguiente basándonos en un binomio o digamos una función de la forma 𝑓 𝑥 = (1 + 𝑥)𝑚 su representación como serie viene dada por

Saludos y éxito en su prueba ∞𝑛 =0𝑥𝑛 =

1

1−𝑥 𝑥 < 1

∞ 𝑛 =0(−1)𝑛𝑥𝑛 =

1

1+𝑥 𝑥 < 1

𝑥𝑛

𝑛 ! = ∞

𝑛 =0 𝑒𝑥 𝑥 < ∞

(−1)𝑛𝑥2𝑛 +1

(2𝑛+1)! ∞

𝑛 =0 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑥 < ∞

(−1)𝑛𝑥2𝑛

(2𝑛)! ∞

𝑛 =0 = cos⁡(𝑥) 𝑥 < ∞

(−1)𝑛 −1𝑥𝑛 𝑛 ∞

𝑛 =1 = ln⁡(1 + 𝑥) −1 < 𝑥 ≤ 1 (−1)𝑛𝑥2𝑛 +1

2𝑛 +1 ∞

𝑛 =0 = 𝑡𝑎𝑛−1(𝑥) 𝑥 < 1

(1 + 𝑥)𝑚 = 1 + 𝑚 𝑚 − 1 𝑚 − 2 … … … … . (𝑚 − 𝑛 + 1)

𝑛! 𝑥

𝑛 ∞

𝑛=1

Figure

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