Apéndice III
TABLA DE INTEGRALES
Integrales elementales
1.
∫
du= +u C2.
∫
a du=au+C3.
∫
[ ( )f u +g u du( )] =∫
f u du( ) +∫
g u du( )4.
1
( 1)
1 n
n u
u du C n
n
+
= + ≠ −
+
∫
5. du lnu C
u = +
∫
Integrales que contienen a
+ bu
6. 2
1
[ ln ]
u du
a bu a a bu C a bu+ =b + − + +
∫
7.
2
2 2
1 2 3 1
( ) 2 ( ) ln
u du
a bu a a bu a a bu C
a bu+ =b ⎡⎣ + − + + + ⎤⎦+
∫
8. 2 2
1
ln
( )
u du a
a bu C a bu
a bu b
⎡ ⎤
= ⎢ + + ⎥+
+
+ ⎣ ⎦
∫
9.
2 2
2 3
1
2 ln
( )
u du a
a bu a a bu C
a bu a bu b
⎡ ⎤
= ⎢ + − − + ⎥+
+
+ ⎣ ⎦
∫
10. 3 2 2
1 1
( ) 2( )
u du a
C a bu
a bu b a bu
⎡ ⎤
= ⎢ − ⎥+
+
+ ⎣ + ⎦
∫
11.
1 ln
( )
du u
C u a bu a a bu
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥+
+ ⎣ + ⎦
∫
12. 2 2
1 ln
( )
du b a bu
C
au u
u a bu a
+
= − + +
+
∫
13. 2 2
1 1
ln
( )
( )
du u
C
a a bu a bu
u a bu+ = + +a + +
Integrales que contienen
a bu
+
14. 2 (3 2 )( )3 / 2
15
u a bu du bu a a bu C
b3
+ = − + +
∫
15. 2 3 2 2 2 3 / 2
2
(15 12 8 )( )
105
u a bu du b u abu a a bu C
b
+ = − + + +
∫
16.
3 / 2
1
2 ( ) 2
(2 3) (2 3)
n
n u a bu an n
u a bu du u a bu du
b n b n
− + + = − + + +
∫
∫
17. 2 2( 2 )
3
u du
bu a a bu C
b a bu = − + + +
∫
18. 22 2 2
3
2
(3 4 8 )
15
u du
b u abu a a bu C b a bu = − + + + +
∫
19. 1 2 2(2 1) (2 1)
n n n
u du u a bu an u du
b n b n
a bu a bu
− + = − + + + +
∫
∫
1 1ln si 0
20.
2
tan si < 0
a bu a
C a
a a bu a
du
u a bu a bu
C a a a − ⎧ + − + > ⎪ + + ⎪ = ⎨ + ⎪ + + ⎪ − − ⎩
∫
21. 1 1
(2 3) 2 ( 1) ( 1) n
n n
du a bu b n du
a n
a n u
u a bu − u − a bu
+ − = − − − − + +
∫
∫
22. a bu du 2 a bu a du
u u a bu
+
= + +
+
∫
∫
23.
3 / 2
1 1
( ) (2 5)
2 ( 1) ( 1)
n n n
a bu du a bu b n a bu du
a n
u a n u − u−
+ + − +
= − −
− −
∫
∫
Integrales que contienen
a u
2± 224. 2 2 1
1 tan du u C a a a u − = + +
∫
25. 1 2 2 1 1 tanh si 1 ln 1 2 coth si uC u a
du u a C a a
u a u a
a u
C u a
a a
−
−
⎧ + <
⎪ + ⎪ = + = ⎨ − − ⎪ + > ⎪⎩
∫
1 2 2 1 1 tanh si 1 26. ln 1 2 coth si uC u a
du u a a a
C
u a u a
u a
C u a
a a
−
−
⎧− + <
⎪
− ⎪
= + = ⎨
+
− ⎪− + >
⎪⎩
Integrales que contienen
u a
2± 2En las fórmulas 27 a 38 puede reemplazarse
En u+ u2+a2 por senh 1u. a
−
En u+ u2−a2 por cosh 1u. a
−
En
2 2
a u a
u
+ +
por senh 1a.
u
−
27. 2 2 ln 2 2
du
u u a C
u a
= + ± +
±
∫
28.
2
2 2 2 2 ln 2 2
2 2
u a
u ±a du= u ±a ± u+ u ±a +C
∫
29.
4
2 2 2 2 2 2 2 2 2
(2 ) ln
8 8
u a
u u ±a du= u ±a u ±a − u+ u ±a +C
∫
30.
2 2 2 2
2 2 ln
u a du a u a
u a a C
u u
+ = + − + + +
∫
31.
2 2
2 2 1
sec
u a du u
u a a C
u a
− −
= − − +
∫
32.
2 2 2 2
2 2
2 ln
u a du u a
u u a C
u u
± = − ± + + ± +
∫
33.
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 ln
u du u a
u a u u a C
u a
±
= ± − + ± +
±
∫
34.
2 2
2 2
1 ln
du a u a
C
a u
u u a
+ +
= − +
+
∫
35. 2 2 1
1 sec
du u
C
a a
u u a
−
= +
−
∫
36.
2 2
2
2 2 2
du u a
C a u u u a
±
= − +
± ±
∫
37.
4
2 2 3 / 2 2 2 2 2 3 2 2
( ) (2 5 ) ln
8 8
u a
u ±a du= u ± a u ±a + u+ u ±a +C
∫
38. 2 2 3 / 2 2 2 2
( )
du u
Integrales que contienen
a u
2− 239. 2 2 sen 1
du u C a a u − = + −
∫
40. 22 2 2 2 1
sen
2 2
u a u
a u du a u C
a − − = − + +
∫
41. 42 2 2 2 2 2 2 1
(2 ) sen
8 8
u a u
u a u du u a a u C
a
−
− = − − + +
∫
42.
2 2 2 2
2 2 ln 2 2 cosh 1
a u du a a u a
a u a C a u a C
u u u
−
− + −
= − − + = − − +
∫
43.
2 2 2 2
1
2 sen
a u du a u u
C u a u − − − = − − +
∫
44. 2 2
2 2 1
2 2 2 2sen
u u a u
a u C
a a u − = − − + + −
∫
2 2 1 2 2 1 145. du ln a a u C cosh a C
a u a u
u a u
− + − = − + = − + −
∫
46. 2 2 22 2 2
du a u
C a u u a u
− = − + −
∫
47. 42 2 3 / 2 2 2 2 2 3 1
( ) (2 5 ) sen
8 8
u a u
a u du u a a u C
a
−
− = − − − + +
∫
48. ( 2 2 3 / 2) 2 2 2
du u
C a −u = a a −u +
∫
Integrales que contienen
2
au u
-
249.
2
2 2 1
2 2 cos 1
2 2
u a a u
au u du au u C
a − − ⎛ ⎞ − = − + ⎜ − ⎟+ ⎝ ⎠
∫
50.2 2 3
2 2 3 2 1
2 2 cos 1
6 2
u au a a u
u au u du au u C
a − − − ⎛ ⎞ − = − + ⎜ − ⎟+ ⎝ ⎠
∫
51. 2 2 1 22 cos 1
au u du u
au u a C
u a − − = − + ⎛ − ⎞+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
∫
52. 2 2 1 22 2 2
cos 1
au u du au u u
C u a u − − = − − − ⎛ − ⎞+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
∫
53. 2 cos 1 1
54. 2 2 2 cos1 1
2
u du u
au u a C
a au u
− ⎛ ⎞
= − − + ⎜ − ⎟+
⎝ ⎠
−
∫
55.
2 2
2 1
2
( 3 ) 3
2 cos 1
2 2
2
u du u a a u
au u C
a au u
−
+ ⎛ ⎞
= − − + ⎜ − ⎟+
⎝ ⎠
−
∫
56.
2
2
2
2
du au u
C au u au u
−
= − +
−
∫
57. (2 2 3 / 2) 2 2
2
du u a
C
au u a au u
−
= +
− −
∫
58. 2 3 / 2 2
(2 ) 2
u du u
C au−u = a au−u +
∫
Integrales que contienen funciones trigonométricas
59.
∫
senu du= −cosu+C60.
∫
cosu du=senu+C61.
∫
tan u du=ln secu +C62.
∫
cotu du=ln senu +C(
1 1)
4 2
63.
∫
secu du=ln secu+tanu + =C ln tan π + u +C1 2
64.
∫
cscu du=ln cscu−cot u + =C ln tan u +C65.
∫
sec2u du=tanu+C66.
∫
csc2u du= −cotu+C67.
∫
secu tan u du=secu+C 68.∫
cscu cotu du= −cscu+C69. 2 1 1
2 4
sen u du= u− sen 2u+C
∫
70. 2 1 1
2 4
cos u du= u+ sen 2u+C
∫
71.
∫
tan2u du=tan u− +u C72.
∫
cot2u du= −cotu− +u C73. sennu du 1senn 1u cosu n 1 senn 2u du
n n
− − −
= − +
∫
∫
74. cosnu du 1cosn 1usenu n 1 cosn 2u du
n n
− − −
= +
∫
∫
75. tan 1 tan 1 tan 2
1
nu du n u n u du n
− −
= −
−
76. cot 1 cot 1 cot 2
1
nu du n u n u du
n
− −
= − −
−
∫
∫
77. sec 1 sec 2 tan 2 sec 2
1 1
nu du n u u n n u du
n n
− − −
= +
− −
∫
∫
78. csc 1 csc 2 cot 2 csc 2
1 1
nu du n u u n n u du
n n
− − −
= − +
− −
∫
∫
79.
sen ( ) sen ( )
sen sen
2 ( ) 2 ( )
m n u m n u
mu nu du C
m n m n
+ −
= − + +
+ −
∫
80.
sen ( ) sen ( )
cos cos
2 ( ) 2 ( )
m n u m n u
mu nu du C
m n m n
+ −
= + +
+ −
∫
81.
cos ( ) cos ( )
sen cos
2 ( ) 2 ( )
m n u m n u
mu nu du C
m n m n
+ −
= − − +
+ −
∫
82.
∫
usenu du=senu−u cosu+C 83.∫
ucosu du=cosu+usenu+C84.
∫
u2senu du=2 senu u+ −(2 u2) cosu+C85.
∫
u2cosu du=2 cosu u+(u2−2) senu+C86.
∫
unsenu du= −uncosu+n u∫
n−1cosu du87.
∫
uncosu du=unsenu−n u∫
n−1senu du1 1
2
1 1
2
sen cos 1
88. sen cos sen cos
sen cos 1
sen cos
m n
m n m n
m n
m n
u u m
u u du u u du
m n m n
u u n
u du
m n m n
− +
−
+ −
−
−
= − +
+ +
−
= +
+ +
∫
∫
∫
Integrales que contienen funciones trigonométricas inversas
89.
∫
sen−1u du=usen−1u+ 1−u2 +C90. cos−1u du=ucos−1u− 1−u2 +C
∫
91. tan−1u du=utan−1u−ln 1+u2 +C
∫
92. cot−1u du=ucot−1u+ln 1+u2 +C
∫
1 1 2 1 1
93.
∫
sec− u du=usec− u−lnu+ u − + =1 C usec− u−cosh− u+C1 1 2 1 1
Integrales que contienen funciones exponenciales y logarítmicas
95.
∫
e duu =eu+C96.
ln u
u a
a du C
a
= +
∫
97.
∫
ue duu =e uu( − +1) C98.
∫
u e dun u =u en u−n u∫
n−1e duu99. 1
ln ln n u
n u u a n n u
u a du u a du C
a a
−
= − +
∫
∫
100. 1 1
1 1
( 1)
u u u
n n n
e du e e du
n
u = − n− u − + − u −
∫
∫
101. 1 1
ln 1
( 1)
u u u
n n n
a du a a a du
n
u = − n− u − + − u −
∫
∫
102.
∫
lnu du=ulnu− +u C103.
1
2
ln [( 1) ln 1]
( 1)
n
n u
u u du n u C
n
+
= + − +
+
∫
104. ln ln
ln
du
u C
u u = +
∫
105. sen 2 2( sen cos )
au
au e
e nu du a nu n nu C
a n
= − +
+
∫
106. cos 2 2( cos sen )
au
au e
e nu du a nu n nu C
a n
= + +
+
∫
Integrales que contienen funciones hiperbólicas
107.
∫
senhu du=coshu+C108.
∫
coshu du=senhu+C109.
∫
tanhu du=ln coshu +C110.
∫
cothu du=ln senh u +C111.
∫
sechu du=tan (senh )−1 u +C112. 1
2
cschu du=ln tanh u +C
∫
113.
∫
sech2 u du=tanhu+C472
115.
∫
sech u tanhu du= −sech u+C116.
∫
csch ucothu du= −csch u+C117. 2 1 1
4 2
senh u du= senh 2u− u+C
∫
118. 2 1 1
4 2
cosh u du= senh 2u+ u+C
∫
119.
∫
tanh2 u du= −u tanhu+C120.
∫
coth2 u du= −u cothu+C121.
∫
usenhu du=ucoshu−senhu+C122.
∫
ucoshu du=usenhu−coshu+C123. senh 2 2( senh cosh )
au
au e
e nu du a nu n nu C
a n
= − +
−
∫
124. cosh 2 2( cosh senh )
au
au e
e nu du a nu n nu C
a n
= − +
−
473
Elementos Básicos de Cálculo Integral y Series
Bibliografía
1. Anton H. 1984. Cálculo y geometría analítica. Vols.I y II. México: Limusa.2. Edwards CH, Penny DE. 1996. 4.a ed. Cálculo con geometría analítica.
México: Prentice Hall.
3. Fernández Viña JA. 1981. Lecciones de análisis matemático I. 2.a ed. Madrid:
Editorial Tecnos.
4. Finney RL y otros. 2000. Cálculo de una variable. 2.a ed. México: Editorial
Pearson Educación.
5. Haaser NB, La Salle JP, Sullivan JA. 1977. Análisis matemático. Vol. 2, Curso intermedio, 9.a reimpr. México: Editorial Trillas.
6. Larson RE, Hostetler RP. 1998. Cálculo. 6.a ed. Madrid: McGraw-Hill
Interame-ricana.
7. Larson RE, Hostetler RP, Edwards BH. 2006. Cálculo I. 8.a ed. Madrid:
McGraw-Hill Interamericana.
8. Leithold L. 1998. El cálculo. 7.a ed. México: Editorial Oxford University Press.
9. Pita Ruiz C. 1998. Cálculo de una variable. México: Prentice Hall Hispano-americana.
10. Purcell E, Varberg D. 1992. Cálculo con geometría analítica. 6.a ed. México:
Pearson Prentice Hall Hispanoamericana.
11. Purcell EJ, Varberg D, Rigdon SE. 2001. Cálculo. 8.a ed. México: Editorial
Pearson Educación.
12. Smith RT, Minton RB. 2003. Cálculo. 2.a ed. Madrid: McGraw-Hill
Interame-ricana.
13. Spivak M. 1970. Cálculo infinitesimal.Barcelona: Reverté.
14. Stein SK. 1995. Cálculo y geometría analítica. 5.a ed. México: McGraw-Hill.
15. Sullivan M. 1997. Precálculo. 4.a ed. México: Prentice Hall Hispanoamericana.
16. Swokosky EW. 1998. Cálculo con geometría analítica. 2.a ed. México:
Edi-torial Iberoamericana.
17. Thomas GB Jr. 2005. Cálculo, una variable. 11.a ed. México: Editorial Pearson
Educación.