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Lectura 1.1 En la Antig¨

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Cap´ıtulo 1

Geometr´ıa Anal´ıtica

La Geometr´ıa Anal´ıtica es una parte de los conceptos b´asicos necesarios para la representaci´on gr´afica de ciertas ecuaciones para lo cual es necesario tener previamente el concepto de Sistema Coordenado, entre ellos tenemos, el m´as conocido es el Sistema de Coordenadas Cartesiana. 1, otros de los sistemas de coordenadas es el sistema de coordenadas polares, esf´ericas y cil´ındricas; para efectos del presente curso solamente desarrollaremos b´asicamente el sistema de coordenadas cartesiano.

Lectura 1.1 En la Antig¨uedad En la Grecia Antigua, por diversas razones, la aritm´etica y el ´

algebra se vieron subordinadas a la geometr´ıa. Los n´umeros y las relaciones num´ericas se estudiaban a partir de sus representaciones geom´etricas (como por ejemplo, segmentos, ´areas o vol´umenes), y las construcciones con regla y comp´as eran centrales. Por ejemplo, hoy en d´ıa nosotros expresamos la relaci´on algebraica (distributividad):

a(b+c+d) =ab+ac+ad

En la Antig¨uedad, el famoso matem´atico Euclides, en su libro Los Elementos (Libro II), escribi´o el equivalente de esa expresi´on algebraica en t´erminos geom´etricos:

”Si tenemos dos l´ıneas rectas y cortamos una de ellas en un n´umero cualquiera de segmentos, entonces el rect´angulo contenido por las dos l´ıneas rectas es igual a los rect´angulos contenidos por la l´ınea recta que no fue cortada y cada uno de los segmentos anteriores.”

Este teorema quer´ıa decir que:

AD(DE+EG+GC) =AD·DE+AD·EG+AD·GC

(2)

Con la ca´ıda definitiva de las civilizaciones griega y romana, siglo V d. C., lo que hoy conocemos como Europa (salvo Italia y Grecia), se convirti´o en una colecci´on de pueblos aislados y de poco nivel cultural y educativo, bajo la influencia central de la Iglesia Cat´olica. Una buena parte de los textos griegos fueron rescatados, preservados, traducidos y ampliados por los musulmanes (despu´es del siglo VII d. C.). La mayor´ıa de estos textos ser´ıan conocidos por lo europeos hasta despu´es del siglo XII d. C., y esto contituy´o un factor importante del Renacimiento (siglos XV y XVI) y, tambi´en, de la Revoluci´on Cient´ıfica que se dar´ıa en el siglo XVII.

En el nuevo momento hist´orico nuevos avances significativos en las ciencias y las matem´aticas des-pu´es de los griegos tuvieron que esperar m´as de 15 siglos. Aunque hubo predecesores importantes como, por ejemplo, Nicole Oresme (circa 1323-1382) y Francois Vi¨Ste (1540-1603), el resultado decisivo para ”liberar.ala aritm´etica y el ´algebra de su subordinaci´on a la geometr´ıa, fue construido

por los franceses Ren´e Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665) (independientemen-te). Se trataba de la representaci´on de curvas geom´etricas en sistemas de coordenadas y, lo m´as importante, el tratamiento del ´algebra y la aritm´etica sin tanta limitaci´on con relaci´on a la re-presentaci´on geom´etrica antigua. Si las curvas de esta manera pod´ıan describirse con ecuaciones algebraicas, tambi´en nuevas ecuaciones algebraicas permit´ıan definir nuevas curvas que los griegos antiguos no pod´ıan conocer (pues estaban .amarrados.a las construcciones geom´etricas con regla y

comp´as). A los nuevos m´etodos se les llamar´ıa Geometr´ıa Anal´ıtica. La nueva geometr´ıa permi-ti´o considerar un sin n´umero de nuevos problemas matem´aticos y f´ısicos y, de la misma manera, pon´ıa en evidencia que el ´algebra y la aritm´etica constitu´ıan campos te´oricos independientes de la geometr´ıa. Podr´ıa decirse que los siguientes siglos de la historia de las matem´aticas ver´ıan un cambio de ´enfasis de la geometr´ıa hacia el ´algebra.

Descartes y Fermat Debe se˜nalarse que la construcci´on de la geometr´ıa anal´ıtica fue completamente imprescindible para la creaci´on del C´alculo Diferencial e Integral. Cabe mencionar algunos detalles interesantes:

Por un lado, que el uso m´as sistem´atico de las coordenadas rectangulares ¸cartesianas”fue realizado m´as bien por Fermat que por Descartes (quien us´o en general coordenadas oblicuas). En segundo lugar, la obra de Descartes en la que aparece la geometr´ıa anal´ıtica fue publicada en 1637 como un ap´endice del famoso libro El discurso del M´etodo es intitulado: La Geom´etrie. La obra de Fermat ser´ıa publicada hasta 1679 (p´ostumamente en la obra Varia opera mathematica). Sin embargo se ha demostrado que Fermat hab´ıa descubierto el nuevo m´etodo antes que apareciera La Geom´etrie de Descartes. En tercer lugar: los nuevos m´etodos algebraicos, tanto para Descartes como para Fer-mat se enfocaron hacia la soluci´on de problemas geom´etricos. Sin embargo, Descartes ten´ıa mejor comprensi´on que Fermat en cuanto a que se trataba de una metodolog´ıa radicalmente nueva que romp´ıa con la tradici´on antigua. La geometr´ıa anal´ıtica fue necesaria para la creaci´on del C´alculo, pero, tambi´en, se entendi´o mejor la importancia de la geometr´ıa anal´ıtica cuando el C´alculo se desarroll´o.

Descartes y las matem´aticas Ren´e Descartes al igual que matem´atico fue un gran fil´osofo, f´ısico, y tambi´en soldado. Fue abanderado del mecanicismo (la realidad se describe con las leyes de la mec´anica) y trat´o de dar un nuevo m´etodo para obtener conocimiento verdadero basado en las matem´aticas y sus m´etodos. El siguiente p´arrafo fue escrito por ´el:

”...Todas las ciencias que tienen como finalidad investigaciones acerca del orden y la medida est´an relacionadas con las matem´aticas. Es de poca trascendencia si esta medida se mira en n´umeros, formas, estrellas, sonidos, o en cualquier otro objeto. En acuerdo con eso, debe existir una ciencia general que debe explicar todo lo que puede ser conocido acerca del orden y la medida, considerados independientemente de cualquier aplicaci´on a un sujeto particular, y eso, de hecho, esta ciencia tiene su propio nombre, consagrado por un largo uso, ... las matem´aticas. Y una prueba que sobrepasa en facilidad e importancia las ciencias que dependen de ella es que integra al mismo tiempo todos los objetos a los cuales ´estas se dedican y a muchas otras m´as a la par...”

(3)

1.1.

Sistemas de Coordenadas

Como ya se dijo existe m´as de un sistemas de coordenadas, para empezar iniciaremos estudiando el sistema de coordenadas euclideanas, este sistema es posible ser representado en R2 y en R3 solamente, para dimensiones mayores no es posible, como se muestra en el gr´afico (1.2) mostramos la representaci´on para el sistemas cartesiano enR3.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −5

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

Sistema Cartesiano

y

x z

X

Y

Z

P(x,y,z)

Figura 1.2: Representaci´on del Plano Cartesiano.

Si denotamos a Pcomo un punto, digamosP = (x, y) indicamos que Pha de considerarse como su radio vector, es decir el punto inicial de la flecha que representa a Pes el origen y como punto terminal es el extremo de este radio vector. As´ı pues (x, y) puede llamarse el vector, un radio vector, o un puntoP; y a los n´umerosx,yllamaremos componentes o coordenadas deP

La definici´on de una recta nace de la idea intuitiva de que una recta esta determinada por un punto P0y una direcci´ona, dondeaes un vector no nulo

a

Po ta

L Po+ta

Figura 1.3:Representaci´on de una recta en el Plano Cartesiano.

Como se muestra en la figura (1.3,)todos los puntos P sobre la recta L que pasan por P0 en la direcci´on deason todos los puntos de la formaP =P0+ta, dondetR. es decir son todos los puntos que pueden alcanzarse desdeP0 siguiendo una direcci´on paralela aa.

Ahora en base a esta idea podemos dar la siguiente definici´on:

Definici´on 1.1 (Espacio Euclidiano Bidimensional) El espacio Euclidiano bidimensional, de-notado por R2 es el espacio vectorial bidimensionalV

2 donde: 1. Los elementos(x, y)deV2 son los puntos deR2

2. Un conjuntoL de puntos deR2 es una recta si hay un puntosP

0R2 y un vector no nulo

aV2 tal que

(4)

3. La distancia, denotada por d(P1,P2) del punto P1= (x1, y1)al punto P2 = (x2, y2) es la longitud del vectorP2−P1, es decir;

d(P1, P2) =|P2−P1) =

(x2−x1)2+ (y2−y1)2

De manera an´aloga podemos presentar la misma definici´on para el caso deR3

Definici´on 1.2 (Espacio Euclidiano Tridimensional) [NBH80]El espacio Euclidiano Tridi-mensional, denotado por R3es el espacio vectorial tridimensional V3 donde:

1. Los elementos(x, y, z)deV3 son los puntos deR3(Figura 1.2) 2. Un conjunto L de puntos deR3 es una recta si hay un puntos P

0R3 y un vector no nulo

aV3tal que

L={P0+ta/tR}

3. Un conjunto P de puntos de R3 es un plano si hay un punto P

0 R3 y dos vectores no paralelosay bdeV3tales que

P ={P0+ua+vb/u, vR}

4. La distancia, denotada pord(P1, P2)del puntoP1= (x1, y1, z1)al puntoP2= (x2, y2, z2)es la longitud del vectorP2−P1, es decir;

d(P1, P2) =|P2−P1) =

(x2−x1)2+ (y2−y1)2+ (z2−z1)2

Definici´on 1.3 Se llama ecuaci´on vectorial de la recta a las ecuaciones de las componente deP

donde P=P0+ta

i.e. las ecuaciones vectoriales de la recta ser´an:

x=x0+ta1 ∧ y=y0+ta2

Ejemplo 1.1 Determine la recta que pasa por los puntosP0= (1, 1)y P1= (1, 2).

Soluci´on:

Sea a=P1−P0= (0, 1)luego

L={P0+t(P1−P0)/tR}

de lo que se deduce queLes una recta que contiene aP0yP1 ya queP0se obtiene al hacert=0 yP1se obtiene al hacert=1. Luego la ecuaci´on de la recta estar´a dada por:

L={(1, 1) +t(0, 1)}={1, 1+t}

Ejercicios

1. Encontrar las ecuaciones vectoriales de las rectas, para: a) P0= (0, 0) a= (1, 1)

b) P0= (−3, 2) a= (1, 5) c) P0= (−1,−3) a= (−2,−7)

2. Encontrar las ecuaciones vectoriales de las rectas que pasan por: a) P0= (8,−3) P2= (5, 0)

(5)

c) P0= (1, 1) P2= (−3, 2)

Definici´on 1.4 Se dice que dos vectores en V2 son paralelos si uno de ellos es igual al producto del otro por un n´umero real.

Definici´on 1.5 Un vectorase dice que es ortogonal (perpendicular) a a un vector bsi|a+b|=

|ab| donde|a|= √

a2

1+· · ·+a2n=

[∑n k=1a2k

]1/2

Teorema 1.1 Dos vectores ay bson ortogonales si y s´olo s´ı<a,b>=0 donde

<a,b>=

n ∑

k=1

akbk

Teorema 1.2 Para cada par de puntos distintos de R2 hay una y s´olo una recta que pasa por ellos.

Definici´on 1.6 Dos rectasL1={P1+sa/sR} y L2={P2+tb/tR} se dicen PARALELAS si los vectores ayb son paralelos.

Corolario 1.1 Para todo punto P1 R2 y toda recta L ={P0+sa/sR}hay una y solamente una recta que pasa por P1paralela aL1

Corolario 1.2 Si L1 = {P1+sa/s R} y L2 = {P2+tb/t R} son rectas paralelas entonces

L1=L2oL1∩ L2=ϕ

Corolario 1.3 Si las rectasL1 yL2no son paralelas entoncesL1∩ L2 consiste de un solo punto o es vac´ıo.

Ejemplo 1.2 Determine si L1 y L2 son paralelas para: L1 ={(1, 3) +t(3,−6)} y L2 ={(2, 1) +

s(−2, 4)}

Soluci´on:

L1//L2si existerRtal que:(3,−6) =r(−2, 4) i.e.3= −2r =⇒r= −3

2 y adem´as−6=4r =⇒r= −3

2 Luego estas ecuaciones se satisfacen para r= −32 =⇒L1//L2

Ejercicio 1.1 Determine si L1 y L2 son o no paralelas

L1={(1, 3) +t(3,−6)} L2{(2, 1) +s(1,−9)}

Soluci´on:

L1//L2sirRtal que(3,−6) =r(1,−9) =⇒ 3=r ∧ r= 23

L1∦L2

Definici´on 1.7 θes el ´angulo entre las rectasL1 yL2si para ciertos vectores no nulos vayvb,

L1={P1+sa}L2{P2+tb}y θ el ´angulo entrea yb, donde:

cosθ= <a.b>

|a||b|

(6)

1.2.

Discusi´

on y Trazado de Gr´

aficas de Lugares Geom´

etri-cos en

R

2

Definici´on 1.8 Se llama gr´afica de una ecuaci´on f(x, y) =0 al conjunto de puntos cuyas coorde-nadas satisfacen le ecuaci´on.

Observaci´on 1.2.1 No toda ecuaci´on f(x, y) = 0 posee una gr´afica en R2 como por ejemplo la ecuaci´on x2+y2+4=0 no tiene una gr´afica en R2.

A continuaci´on daremos los criterios a seguir para la construcci´on de la gr´afica de una ecuaci´on en

R2.

1o Criterio Intersecci´on con los ejes coordenados.

Para llevar a cabo este criterio se analizan las intersecciones con los diferentes ejes teniendo en cuenta que cuando esto sucede el valor de la otra variable debe anularse:

Con el EjeX:

Damos entonces parayel valor cero y lo reemplazamos en la ecuaci´onf(x, y) =0. Con el EjeY:

Damos entonces paraxel valor cero y lo reemplazamos en la ecuaci´onf(x, y) =0.

2o Criterio Simetr´ıa.

Decimos que existe simetr´ıa respecto de cierto eje cuando al pasar del lado positivo al lado negativo en el sistema de coordenadas el valor de la ecuaci´on no var´ıa, por tanto tendremos tres casos:

Respecto del ejeX

Si el valor de la ecuaci´onf(x, y) =0no se altera al sustituir ypor−y

Si la ecuaci´on no contiene potencias impares dey

Respecto del ejeY

Si el valor de la ecuaci´onf(x, y) =0no se altera al sustituir xpor−x

Si la ecuaci´on no contiene potencias impares dex

Respecto del origen

Si el valor de la ecuaci´onf(x, y) =0no se altera al sustituir xpor−xy adem´as ypor

−y

Si cada t´ermino es de grado par o impar.

3o Criterio Extensi´on del a curva.

Consiste en determinar los intervalos de valores para los cualesxeyson n´umero reales. Estos intervalos se determinan resolviendo la ecuaci´on dada, parayen t´erminos dexy luego para x en t´erminos de y En otras palabras se podr´ıa decir que encontramos los dominios tanto paraxcomo paray.

4o Criterio Tangente a una curva en el origen.

(7)

5o Criterio As´ıntotas.

Horizontales

Se obtienen despejando x en funci´on de y, luego de obtener los puntos cr´ıticos, donde no existe gr´afico de la curva.

Verticales

Se obtienen despejando y en funci´on de x, luego de obtener los puntos cr´ıticos, donde no existe gr´afico de la curva.

6o Criterio Bandas vac´ıas.

Se obtiene muy f´acilmente obteniendo los intervalos donde no existe la gr´afica para las dos variables, respectivamente.

Ejemplo 1.3 Discutir la gr´afica de la siguiente ecuaci´on:x2y2+9x2−4y2=0

Soluci´on:

1o Criterio Intersecci´on con los ejes coordenados. Con el Eje X:

Paray=0 la ecuaci´on queda del siguiente modo:9x2=0 luego los puntos de intersec-ci´on con el ejeXes solamente en cero.

Con el EjeY:

Parax=0 la ecuaci´on queda del siguiente modo:−4y2=0 luego los puntos de inter-secci´on con el ejeY es solamente en cero.

2o Criterio Simetr´ıa. Respecto del ejeX

Si en la ecuaci´onx2y2+9x2−4y2=0sustituimosypor−ytenemos:x2(−y)2+9x2− 4(−y)2=0no va ha variar, pues es equivalente ax2y2+9x2−4y2=0.

Adem´as la misma ecuaci´on no tiene potencias impares deYpor tanto:x2y2+9x2−4y2= 0es sim´etrica respecto del ejeX.

Respecto del ejeY

Si en la ecuaci´onx2y2+9x2−4y2=0sustituimosxpor−xtenemos:(−x)2y2+9(−x)2

4y2=0no va ha variar, pues es equivalente ax2y2+9x24y2=0, por tanto el gr´afico es sim´etrico con respecto al ejeY.

Adem´as la misma ecuaci´on no tiene potencias impares deXpor tanto:x2y2+9x2−4y2=

0es sim´etrica respecto el ejeY. Respecto del origen

Como se puede ver en el criterio anterior la ecuaci´onx2y2+9x2−4y2=0no var´ıa al sustituirxpor−xy adem´as ypor−y

As´ı mismo podemos afirmar que como ninguno de sus t´erminos es de grado impar entonces la ecuaci´on es sim´etrica respecto del origen.

3o Criterio Extensi´on del a curva.

Consiste en determinar los intervalos de valores para los cualesxeyson n´umero reales, es decir de:

x2y2+9x2−4y2=0

(8)

x2y2+9x2−4y2=0

y2(x2−4) = −9x2

y2= −9x

2

x24 =

−1(−9x2)

−1(x24)

y= √

−9x2

x24 =

−1(−9x2)

−1(x24)

y= 3x

4−x2 (1.1)

de lo que deducimos quex(−2, 2)

adem´as de:

x2y2+9x2−4y2=0

x2(y2+9) =4y2

x2= 4y

2

y2+9

x= √2y

y2+9 (1.2)

De lo que deducimos queyR

4o Criterio Tangente a una curva en el origen.

Se lleva a cabo este criterio igualando a cero todos los t´erminos de menor grado que aparezcan en la ecuaci´on, es decir de x2y2+9x24y2 = 0 tomamos el segundo y tercer factor y lo igualamos a cero:

9x2−4y2=0

despejando tenemos obtenemos:

y=±3x 2

y estas ecuaciones de las rectas son las ecuaciones de las tangentes a la curva.

5o Criterio As´ıntotas.

Horizontales

De la ecuaci´on 1.2 despejamosxen funci´on dey, luego comoyRentonces no tiene puntos cr´ıticos, por tanto el gr´afico no tiene as´ıntotas horizontales.

Verticales

De la ecuaci´on 1.1 despejamos y en funci´on de x, de esta ecuaci´on tenemos que los puntos cr´ıticos son parax= −2y parax=2por lo que las as´ıntotas verticales ser´an las rectasx=2

yx= −2.

6o Criterio Bandas vac´ıas.

De la misma manera que en el criterio anterior a partir de la ecuaci´on 1.1 deducimos que las bandas vac´ıas solamente existen para los valores dex <−2yx > 2

Luego finalmente tenemos que trazar la gr´afica para lo cual podemos ayudarnos de la siguiente tabla de valores.

x y

0.5 0.8 1 1.7 1.5 3.4

(9)

–4 –2 0 2 4 Y

–2 –1 1 2 X

Figura 1.4: Representaci´on gr´afica de la ecuaci´onx2y2+9x24y2=0.

–4 –2 0 2 4 Y

–4 –2 2X 4

Figura 1.5: Representaci´on gr´afica de la ecuaci´onxy24x+2y=0.

Lista de Ejercicios 1.1 :

Para cada una de las ecuaciones siguientes realizar la discusi´on de su gr´afica.

1. xy−2y−3=0

2. xy−2x−1=0

3. xy−2x−2y+2=0

4. x2+2xy+y2+2x2y1=0 5. x33x2y+3x2y2=0

–4 –2 0 2 4 Y

–4 –2 2X 4

(10)

–6 –4 –2 0 2 4 6 Y

–1 –0.5 0.5 1 1.5 2 X

Figura 1.7: Representaci´on gr´afica de la ecuaci´onx3+xy2y2=0.

–2 –1 1 2 3 4

Y

–4 –2 2 4 X

Figura 1.8:Representaci´on gr´afica de la ecuaci´onx2yx2y=0.

6. x2y−4y−x=0

7. xy2−9x−y−1=0

8. x2yxy2x2=0 9. xy2+xy2x2=0 10. x2xy+5y=0 11. x2y24x2+9y2 12. x2y6x+4y=0 13. y3+x2y+5x25y2=0 14. (x2+y2)(x−3)2=25x2

15. y4−12y3+36x 2=0

16. y= x2−4x6

17. y= xx22−2x−3+2x−3

(11)

1.3.

Ecuaci´

on de la Recta

Para dar la ecuaci´on de la recta es necesario dar algunos conceptos y definiciones previas

Definici´on 1.9 (Pendiente de una recta) Sean los puntosP1yP1cuyas coordenadas son(x1, y1) y (x2, y2) respectivamente, se define entonces a la pendiente m de la recta que pasa por los dos puntos esta dada por:

m= y2−y1 x2−x1

= ∆y ∆x =tgθ

donde∆yy∆xson los incrementos enY yXrespectivamente. F´ormulas importantes de la ecuaci´on de una recta:

Entre estas formas tenemos:

x=a Ecuaci´on de unarecta vertical.

y=b Ecuaci´on de unarecta horizontal.

y=mx+b Ecuaci´on denominadaPendiente, ordenada al origen. dondemes la pendiente de la recta yb= CB2

y−y1=m(x−x1) denominadaecuaci´on punto pendiente.

Si se tiene ahora dos puntos en el plano cartesiano, por el postulado de Euclides, por esos dos puntos pasa una recta cuya ecuaci´on es

Ax+By+C=0 (1.3)

que se denomina la ecuaci´on general de la recta. Adem´as de esta ecuaci´on es factible obtener la siguiente relaci´on:m= −AB

Ejercicio 1.3 Calcular las ecuaciones de las rectas, teniendo en cuenta lo siguiente: 1. Pasan por los puntos.

a) (1, 3)y (4, 1/2)

b) (0, 3)y (5, 1)

c) (9, 4)y (1, 1)

2. Pasa por el punto (1, 1)y tiene pendiente -3 3. La familia de rectas que tienen pendiente 0.5 Otros conceptos importantes son los de:

Definici´on 1.10 Sean las rectas L1 y L2 cuyas pendientes son m1 = tg(θ1) y m2 = tg(θ2) respectivamente entonces:

1. L1 es paralela aL2 si y s´olo sim1=tg(θ1) =tg(θ2) =m2 2. L1 es perpendicular aL2si y s´olo sim1=tg(θ1) = −tg(θ12) = −

1 m2

En la definici´on anterior, si tenemos que

m2=tgθ2=tg(90+θ1) =

sen(90+θ1)

cos(90+θ1)

= cosθ1 −senθ1

= − 1

tgθ1

= − 1

m1

(12)

Definici´on 1.11 Sean la recta L, cuya ecuaci´on general es: Ax+By+C=0 y un punto P con coordenadas (x1, y1) exterior aL, definimos la distancia deL al punto Pcomo:

d= |Ax1+By1+C|

±√A2+B2

Ejercicio 1.4 Encontrar las ecuaciones para las rectas paralelas y perpendiculares, si fuera posible, para cada uno de los problemas presentados en el ejercicio (1.3)

1.4.

Ecuaci´

on de la Circunferencia

Definici´on 1.12 La circunferencia es un conjunto de puntos en el plano cuya distancia a un punto fijo dado en el plano es una constante.

La ecuaci´on cartesiana de la circunferencia se deduce de la f´ormula de distancia entre dos puntos, sea el puntoC(h, k)un punto fijo dado; yP(x, y)un punto cualquiera de la circunferencia entonces por la definici´on anterior se tieneCP=rdonderes la constante.

CP=r

Luego

(h−x)2+ (k−y)2=r2 (1.4)

Que es llamadaEcuaci´on de la circunferencia con centro ehC(h, k)

Definici´on 1.13 Se define como la ecuaci´on can´onica de la circunferencia a la ecuaci´on dada en (1.4) para el caso queC(h, k)coinciden con el origen de los ejes coordenados, transform´andose en

x2+y2=r2 (1.5)

Observaci´on 1.4.1 .

De la ecuaci´on (1.5) se puede deducir que cuando r → 0 el grafo de (1.5)tiende a un punto.

La ecuaci´on (1.4) se puede tomar como la ecuaci´on can´onica de la circunferencia, transfor-mada mediante una traslaci´on de ejes.

Ejercicio 1.5 1. Para cada uno de los casos siguientes determinar si la ecuaci´on dada repre-senta o no una circunferencia.

a) 2x2+2y26x+16y+7=0 b) 4x2+4y2+28x8y+53=0 c) 16x2+16y2−64x+8y+177=0

2. Calcular la longitud de la circunferencia cuya ecuaci´on es:25x2+25y2+30x−20y−62=0

3. Probar que las circunferencias4x2+4y2−16x+12y+13=0y12x2+12y2−48x+36y+55=0

son conc´entricas.

(13)

1.4.1.

Ecuaci´

on de una circunferencia que pasa por tres puntos

De la ecuaci´on general de la circunferencia: (h−x)2+ (ky)2 = r2 desarrollando obtenemos

x2+y22hx2ky+h2+k2r2=0de lo de cambiando de variables podemos representar la ecuaci´on por:

x2+y2+Dx+Ey+F=0 (1.6)

dondeD= −2h,E= −2kyF=h2+k2−r2

A partir de estas ecuaciones reemplazamos los valores de los tres puntos en la ecuaci´on (1.6) y se encuentra los valores de D,EyF y a partir de ellos se calcula los valores deh,k, yr.

Ejemplo 1.4 Determinar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntos (−1, 1),(3, 5)

y (5,−3)

Soluci´on:

Reemplazando en la ecuaci´on (1.6) obtenemos el siguiente sistema

D−E−F = 2 3D+5E+F = −34 5D−3E+F = −34

De lo que se obtieneD= −325 ,E= −85 ; y F= −345 de lo que sigue, reemplazando estos valores en la ecuaci´on se tiene (

x− 16 5

)2

+ (

y−4 5

)2

= 442 25

Otra forma para determinar la ecuaci´on de una circunferencia que pasa por tres puntos es aplicando el teorema que se da a continuaci´on.

Teorema 1.3 La ecuaci´on de la circunferencia que pasa por 3 puntos no colineales P1(x1, y1),

P2(x2, y2); yP3(x3, y3)esta dada por el determinante:

x2+y2 x y 1

x2

1+y21 x1 y1 1

x2

2+y22 x2 y2 1

x2

3+y23 x3 y3 1

=0

Ejemplo 1.5 Determinar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntosA(3, 2)B(7, 8)

y que tiene su centro en la rectaL:x−y=5

Soluci´on:

Como los puntos AyBpertenecen al a circunferencia entonces deben satisfacer la ecuaci´on

(x−h)2+ (y−k)2=r2 (1.7)

luego reemplazamos cada uno de los puntos en (1.7) e igualamos entre si, es decir:

(3−h)2+ (2−k)2= (7−h)2+ (8−k)2

2h+3k=25 (1.8)

Adem´as como sabemos que el centro de la circunferencia esta sobre la rectax−y−5=0el punto

(h, k)debe satisfacer la ecuaci´on de la recta, entonces reemplazamos en(h, k)en ella y obtenemos

(14)

Ahora de (1.8)y (1.9) obtenemos que h = 8 y k = 3, ahora nos falta determinar el radio de la circunferencia a partir un punto cualquier y el centro obtenemos quer2=26por tanto la ecuaci´on resultado ser´a

(x−8)2+ (y−3)2=26

Lista de Ejercicios 1.2 Desarrollar cada uno de los siguientes ejercicios.

1. Determinar el los elementos de la circunferencia cuya ecuaci´on esta dada por: a) x2+y23x+4y1=0

b) x2+y26x8y+21=0 c) x2+y2+6x−12y+36=0

d) x2+y2+10x−4y+25=0

e) x2+y2−3x+5y−14=0

2. Halar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntos: a) A(4,−1), B(2, 3) y C(−1, 6)

b) A(2, 1), B(4, 2) y C(4, 3)

c) A(1, 4), B(4, 2) y C(4, 3)

d) A(0, 0), B(3, 6) y C(7, 0)

e) A(2,−4), B(−1, 4) y C(4, 1)

f) A(9,−1), B(0,−7) y C(−2,−3)

3. Determinar el valor de k para que la ecuaci´on x2+y2−8x+10y+k = 0 represente una circunferencia de radio 7

4. Determinar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntosA By que tiene su centro en la rectaL

a) A(2, 3) y B(4, 1)L:3x−4y=0

b) A(−4, 3) y B(−3, 4)L: −2x−y=2

c) A(−4, 5) y B(1, 4)L: −x+3y=8

d) A(4,−2) y B(10,−4)L: −x−4y=18

e) A(1, 2) y B(1, 0)L:5x−4y=6

5. Determinar la ecuaci´on de la recta tangente a la circunferenciax2+y2+2x4y=3 en el punto(−3, 4)

6. En una empresa se desea construir un ducto circular de 20cm de di´ametro y 1cm de espesor en sus paredes, determinar la ecuaci´on de la circunferencia externa e interna del ducto.

1.5.

Transformaci´

on de Coordenadas

Definici´on 1.14 Una transformaci´on es una operaci´on para la cual la relaci´on, expresi´on o figura se cambia a otra siguiendo una ley dada.

(15)

1.5.1.

Traslaci´

on de Ejes

Teorema 1.4 Si se trasladan los ejes a un nuevo origenO(h, k)y si las coordenadas de cualquier punto P antes y despu´es de la traslaci´on son (x, y) y (x, y) respectivamente, las ecuaciones de transformaci´on del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son:

x=x+h ⇒ x =x−h

y=y+k ⇒ y =y−k

Esquem´aticamente tenemos la figura (1.9), a partir de lo que obtenemos las ecuaciones de trans-formaci´on dadas por:

x = x+h

y = y+k (1.10)

o lo que es equivalente a:

x = x−h y = y−k

Figura 1.9:Traslaci´on de ejes coordenados.

Ejemplo 1.6 Sea la ecuaci´on x2+y2−6x−6y+17=0, efectuar la traslaci´on al nuevo origen

(3, 3)

Soluci´on:

Como h = 3 y k= 3 entonces tenemos que: x= x +3 y y= y+3, luego reemplazando en la ecuaci´on original dada, tenemos:

(x+3)2+ (y+3) −6(x+ +3) −6(y+3) +17=0

=⇒ x2+y2=1

y esto no es otra cosa que una circunferencia con centro en(3, 3)y radio1

Ejemplo 1.7 Sea las ecuaciones: 1. x2+y2=r2

2. 4py=x2

3. 4px=y2

4. x2 a2 +

(16)

5. bx22 +

y2

a2 =1

6. x2 a2 −

y2 b2 =1

7. x2 b2 −

y2 a2 =1

ecuaciones can´onicas de la circunferencia, par´abola, elipse e hip´erbola respectivamente.

Soluci´on:

Aplicamos el teorema (1.4) tendremos las siguiente ecuaciones: 1. (x−h)2+ (yk)2=r2

2. 4p(y−k) = (x−h)2 3. 4p(x−h) = (y−k)2

4. (x−h)2 a2 +

(y−k)2

b2 =1

5. (x−h)2 b2 +

(y−k)2

a2 =1

6. (x−h)2 a2 −

(y−k)2

b2 =1

7. (x−h)b2 2 −

(y−k)2 a2 =1

Ejercicio 1.6 1. Trasladar los ejes coordenados el nuevo origenOpara las ecuaciones de cada una de las c´onicas dadas en el ejemplo anterior.

a) O(1, 1)

b) O(−1, 1)

c) O(−1,−1)

d) O(1,−1)

2. ¿C´ual ser´a la ecuaci´on de: x3−3x2−y2+3x+4y−5=0, trasladando los ejes, al origen nuevo origen(1, 2)?, luego trazar el lugar geom´etrico y los sistemas coordenados.

3. Mediante la traslaci´on de ejes coordenados, transformar la ecuaci´on:

x2−4y2+6x+8y+1=0

1.5.2.

Rotaci´

on de Ejes

Teorema 1.5 Si los ejes coordenados giran un ´angulo θ en torno de su origen como centro de rotaci´on y las coordenadas de un punto cualquieraP antes y despu´es de la rotaci´on son (x, y) y

(x, y), respectivamente las ecuaciones de transformaci´on del sistema original est´n dadas por:

x = xcosθ−ysenθ

y = xsenθ+ycosθ (1.11)

NOTA:0θ < 90o Considerando la figura (1.10), podemos obtener las siguientes equivalencias:3

x = rcos(ϕ+θ) y = rsen(ϕ+θ)

y

x = rcos(ϕ) y = rsen(ϕ)

3Estas ecuaciones se obtiene gracias a las identidades:

sen(x±y) =Senx cosy±cosxseny

(17)

Figura 1.10:Rotaci´on de ejes coordenados.

Ejemplo 1.8 Transformar la ecuaci´on 2x2+3xy+y2=4 cuando se giran los ejes30o, luego trazar el lugar geom´etrico.

Soluci´on:

De las ecuaciones de rotaci´on (1.11) se tiene:

x=xcos30o−ysen30o=

3 2 x

1 2y

y=xsen30o−ycos30o= 1 2x

+

3 2 y

Al sustituir estos valores en la ecuaci´on dada se tiene como ecuaci´on rotada en un ´angulo de 30o

la siguiente ecuaci´on:

5x2+y2=8

Que es la ecuaci´on de la elipse.

Figura 1.11:Representaci´on gr´afica de la ecuaci´on2x2+3xy+y2=4. que es equivalente a la5x2+y2=8

Ejercicio 1.7 Por rotaci´on de ejes coordenados transformar la ecuaci´on9x224xy+16y240x−

30y=0en otra que carezca del t´ermino enxy′, trazar el lugar geom´etrico y ambos ejes.

(18)

1.6.

Ecuaci´

on de la Par´

abola

Definici´on 1.15 Una par´abola es el conjunto de puntos que equidistan de un punto y de una recta fijos, dados en el plano cartesiano, donde el punto fijo toma el nombre de foco y la recta fija el nombre de directriz

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −5

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

p F(0,p)

P(x,y) X Y

−p

Q(x,−p)

Figura 1.12:Base de la deducci´on de la ecuaci´on de la Par´abola

Si consideramos la definici´on anterior tenemos entonces en el gr´afico (1.12) tendremos que:

FP = PQ

x2+ (yp)2 =(y+p)2

x+y22py+p2 = y2+2py+p2

x2=4py (1.12)

luego de esto, (1.12) toma el nombre de ecuaci´on can´onica de la par´abola, de la misma forma de esta deducci´on podemos obtener 4 casos diferentes de ecuaciones can´onicas de la par´abola.

1.6.1.

Par´

abolas con v´

ertices en el origen

Se presentan los casos siguientes.

1. Par´abolas abiertas hacia arriba: Las ecuaci´on can´onica esta dada por:

x2=4py (1.13)

Dondepes la ordenada del foco y la directriz esta dada por la ecuaci´ony= −p

2. Par´abolas abiertas hacia abajo: Las ecuaci´on can´onica esta dada por:

x2= −4py (1.14)

Dondepes la ordenada del foco y la directriz esta dada por la ecuaci´ony=p

3. Par´abolas abiertas hacia la derecha: Las ecuaci´on can´onica esta dada por:

4px=y2 (1.15)

(19)

4. Par´abolas abiertas hacia la izquierda: Las ecuaci´on can´onica esta dada por:

−4px=y2 (1.16)

Dondepes la abscisa del foco y la directriz esta dada por la ecuaci´onx=p

Ahora si partimos de las ecuaciones (1.13), (1.14), (1.15) y (1.16) y si empleamos las ecuaciones de transformaci´on (1.10) (traslaci´on) se pueden obtener las ecuaciones de una par´abola con v´ertice en(h, k)y ejes focales paralelos a un eje coordenado. Luego las ecuaciones (1.13), (1.14), (1.15) y (1.16) se transforman en:

(x−h)2=4p(y−k) (1.17)

(x−h)2= −4p(y−k) (1.18)

4p(x−h) = (y−k)2 (1.19)

−4p(x−h) = (y−k)2 (1.20)

respectivamente.

De la misma manera podemos encontrar las ecuaciones de las par´abolas que hayan sido rotadas un determinado ´angulo de inclinaci´on y a´un m´as si a partir de estas ultimas ecuaciones podemos rotar alrededor nuevo origen un determinado ´angulo de inclinaci´on.

Lista de Ejercicios 1.3 Desarrollar cada uno los ejercicios siguientes:

1. Determinar la ecuaci´on de la circunferencia de radio uno, que pasa por el origen de coorde-nadas y la intersecci´on de las par´abolas−x22x+y=0 y −x22x+y=0

2. En una parcela de tierra se tiene que el lomo y la cama de un surco estan dados por las ecuaciones E1 y E2 respectivamente, determinar cuales ser´an las ecuaciones del lomo y cama de los surcos contiguos.

a) E1:−x2+2xy=0 y E2:−x2+6x+y=8, b) E1:−x2+2xy=0 y E2:−x2+6x+4y=8, c) E1:x2−2x+4y=0y E2: −x2+6x+4y=8,

3. Determinar la ecuaci´on de la secci´on transversal de un canal de riego de 3m de profundidad, de forma par´abolica si se sabe que el foco de la par´abola se encuentra a la altura del borde del canal.

4. Determinar los puntos de intersecci´on de las par´abolas cuyos focos coinciden y es el punto F

y sus directrices son las rectasL1 yL2respectivamente, para: a) F(−1, 1),L1: y=2 y L2: x= −3

b) F(−8, 0),L1: y=5 y L2: x=2 c) F(2, 2),L1: y=4 yL2: x= −2

1.6.2.

Aplicaciones de la Par´

abola.

Ejemplo 1.9 Una secci´on de un puente colgante tiene su peso uniformemente distribuido entre 2 torres gemelas que distan 400m. entre ellas y se elevan 90m. sobre la pista. Un cable suspen-dido sobre los extremos superiores de las torres tienen una forma parab´olica y su punto medio se encuentra 10m por arriba de la carretera

1. Establezca la longitud del cable

(20)

Soluci´on:

Como datos iniciales tenemos: V= (0, 10)y pasa por los puntosP0= (−200, 90)yP1= (200, 90) Para solucionar la parte 1) tenemos que aplicar la ecuaci´on de la recta teniendo en cuenta que el v´ertice no es el origen y que el eje focal es paralelo al eje Y, y la parabola se abre hacia arriba entonces aplicamos la ecuaci´on (1.17) obteniendo

4p(y−10) =x2

Luego reemplazamos el puntoP1en la ecuaci´on anterior obtenemos:

4p(90−10) =2002 ⇒ p=125

Por lo tanto la ecuaci´on de la par´abola que describe el cable esta dada por:

y= x

2

500+10

Pero para calcular la longitud del cable hacemos uso de la siguiente f´ormula:La= ∫b

a

1+ (f(x))2dx luego la longitud del cable es de:

Lc =2 ∫200

0

√ 1+

( x 250

)2

dx

Para solucionar la segunda parte solamente se debe de evaluar la funci´on obtenida en cada uno de los puntos y luego efectuar una suma sucesiva.

1.7.

Ecuaci´

on de la Elipse

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −3

−2 −1 0 1 2 3

b

a c P(x,y)

F(c,0) F(−c,0)

Y

X

Figura 1.13:Base de la deducci´on de la ecuaci´on de la Elipse

Definici´on 1.16 Una elipse es el conjunto de los puntos de un plano cuya distancia a dos puntos fijos del plano tiene una suma constante.

En la deducci´on debemos de tener en cuenta la figura (1.13) en la que podemos apreciar que:

2a = PF1+PF2

= √(x+c)2+y2+(xc)2+y2

2a−√(x+c)2+y2 =(xc)2+y2

4a2−2a√(x+c)2+y2+ (x+c)2+y2 = (xc)2+y2

a2a(x+c)2+y2+cx = 0

cx+a2 = a√(x+c)2+y2

c2x2−a2x2−a2y2 = a2c2−a4

(21)

De lo que deducimos, teniendo en cuenta que como 2a > 2c entonces a2> c2 entonces podemos afirmar queb2=a2−c2> 0, luego teniendo la ecuaci´on:

x2

a2+

y2

(a2c2) =1

, podemos reescribirla como:

x2

a2+

y2

b2 =1 (1.21)

que toma el nombre de Ecuaci´on Can´onica de la Elipse.

de la misma forma de esta deducci´on podemos obtener otro caso diferente de ecuaci´on can´onica de la elipse.

1.7.1.

Elipses con centro en el origen

Se presentan los casos siguientes.

1. Ecuaci´on de la Elipse con el eje mayor enX: Las ecuaci´on can´onica esta dada por:

x2 a2 +

y2

b2 =1 (1.22)

En la que se tiene queaes el semieje mayor,bes el semieje menor y adem´as, por los criterios de simetr´ıa de los trazado de gr´aficos tendremos que la ecuaci´on tiene simetr´ıa respecto de los 2 ejes.

Adem´as los focos tendr´an coordenadas(c, 0)y(−c, 0)yc2=a2−b2 ´o a2=b2+c2

2. Ecuaci´on de la Elipse con el eje mayor enY: Las ecuaci´on can´onica esta dada por:

x2 b2+

y2

a2 =1 (1.23)

En la que se tiene queaes el semieje mayor,bes el semieje menor y adem´as, por los criterios de simetr´ıa de los trazado de gr´aficos tendremos que la ecuaci´on tiene simetr´ıa respecto de los 2 ejes.

Adem´as los focos tendr´an coordenadas(0, c)y(0,−c)yc2=a2−b2

Ahora si partimos de las ecuaciones (1.22) y (1.23), y si empleamos las ecuaciones de transformaci´on (1.10) (traslaci´on) se pueden obtener las ecuaciones de una elipse con centro en(h, k)y ejes focales paralelos a un eje coordenado. Luego las ecuaciones (1.22) y (1.23), se transforman en:

(x−h)2

a2 +

(y−k)2

b2 =1 (1.24)

(x−h)2

b2 +

(y−k)2

a2 =1 (1.25)

respectivamente.

De la misma manera podemos encontrar las ecuaciones de las elipses que hayan sido rotadas un determinado ´angulo de inclinaci´on y a´un m´as si a partir de estas ultimas ecuaciones podemos rotar alrededor nuevo origen un determinado ´angulo de inclinaci´on.

Observaci´on 1.7.1 (Excentricidad) La excentricidad es el indicador que muestra el grado de alejamiento de la circularidad y esta dada por

e= c a

(22)

e=0 la elipse se transforma en circunferencia; y

e=1 La elipse se transforma en segmentos de recta.

Lista de Ejercicios 1.4 Desarrollar cada uno de los siguientes ejercicios.

Hallar la ecuaci´on de lugar geom´etrico de los puntosP(x, y)cuya suma de distancias a los puntos fijos(4, 2)y(−2, 2)sea igual a 8.

Determinar los elementos caracter´ısticos y la ecuaci´on de la elipse cuyos focos sonF1yF2 respec-tivamente.

1. F1(−3, 0)y F2(3, 0), y su eje mayor mide 10 2. F1(−5, 0)y F2(5, 0), y su eje mayor mide 16 3. F1(0,−3)y F2(0, 3), y su eje mayor mide 10 4. F1(−5, 0)y F2(5, 0), y su eje menor mide 6 5. F1(0,−5)y F2(0, 5), y su eje menor mide 10

1.7.2.

Aplicaciones

1. Propiedad Reflectora de las ElipsesUn elipsoide es engendrado por la rotaci´on de una elipse alrededor de su eje mayor. Su superficie interior se recubre de plata para obtener un espejo. Pruebe que un rayo de luz procedente de uno de los focos se refleja en el otro 2. Otra de las aplicaciones de la elipses es la forma silueta que presentan los puentes sobe ciertos

r´ıos y que poseen la forma de una elipse. Por ejemplo es factible calcular la longitud maxima que debe tener un arco de puente teniendo en cuenta que su altura no debe pasar de cinco metros.

3. Dibuje a escala la ´orbita de Plut´on.

a) Escr´ıbase la ecuaci´on de la ´orbita del cometa Halley en un sistema coordenado en el cual el sol se halla en el origen y el otro foco esta en el ejeXpositivo, cuya escala se da en unidades astron´omicas.

b) Cu´anto se aproxima al Sol el cometa en unidades astron´omicas? y en millas?

c) Cu´anto se aleja del Sol el cometa en unidades astron ´micas? y en millas? Cu´ando fue la ´

ultima vez que estuvo el cometa a esa distancia del Sol?

d) Mediante la tercera ley de Kepler, calcule la distancia media del cometa al Sol, si su per´ıodo es de unos 76 a˜nos?

1.8.

Ecuaci´

on de la Hip´

erbola

Definici´on 1.17 Una hip´erbola es el conjunto de los puntos de un plano cuya distancia desde dos puntos fijos en el plano tienen una diferencia constante.

(23)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −8

−6 −4 −2 0 2 4 6 8

x=a x=−a

P(x,y)

F (c,0) 2 O

F (−c,0) 1

Y

X

Figura 1.14:Base de la deducci´on de la ecuaci´on de la Hip´erbola

2a = √(x+c)2+y2(xc)2+y2

2a−√(x+c)2+y2 =(xc)2+y2

4a2−2a√(x+c)2+y2+ (x+c)2+y2 = (xc)2+y2

a2a(x+c)2+y2+cx = 0

cx+a2 = a√(x+c)2+y2

c2x2−a2x2−a2y2 = a2c2−a4

x2(a2−c2) +a2y2 = a2(a2−c2)

x2 a2+

y2

(a2−c2) = 1

Hasta aqu´ı podemos apreciar que se cumple lo mismo que en la Elipse pero ahora a2−c2 es negativo, ya que la diferencia de los dos lados del tri´angulo F1F2P es menor que el tercer lado es decir 2a < 2c as´ı en este casoc2−a2 es positivo y tiene una ra´ız cuadrada real y positiva que llamaremosb

b=√c2a2

luego podemos escribir entonces la ecuaci´on de la hip´erbola como:

x2

a2−

y2

b2 =1 (1.26)

que toma el nombre de Ecuaci´on Can´onica de la Hip´erbola.

de la misma forma de esta deducci´on podemos obtener otro caso diferente de ecuaci´on can´onica de la hip´erbola.

1.8.1.

Hip´

erbolas con centro en el origen

Se presentan los casos siguientes.

1. Ecuaci´on de la Hip´erbola con el eje mayor enX: Las ecuaci´on can´onica esta dada por:

x2 a2 −

y2

b2 =1 (1.27)

En la que se tiene queaes la distancia entre el v´ertice y el origen,ces la distancia del origen al foco yb=c2a2

Adem´as los focos tendr´an coordenadas(c, 0)y(−c, 0)yc2=a2+b2 2. Ecuaci´on de la Hip´erbola con el eje mayor enY:

Las ecuaci´on can´onica esta dada por:

y2 a2 −

x2

(24)

Adem´as los focos tendr´an coordenadas(0, c)y(0,−c)

Ahora si partimos de las ecuaciones (1.27) y (1.28), y si empleamos las ecuaciones de transformaci´on (1.10) (traslaci´on) se pueden obtener las ecuaciones de una hip´erbola con centro en (h, k) y ejes focales paralelos a un eje coordenado. Luego las ecuaciones (1.27) y (1.28), se transforman en:

(x−h)2

a2 −

(y−k)22

b2 =1 (1.29)

(y−k)2

a2 −

(x−h)2

b2 =1 (1.30)

respectivamente.

De la misma manera podemos encontrar las ecuaciones de las hip´erbolas que hayan sido rotadas un determinado ´angulo de inclinaci´on y a´un m´as si a partir de estas ultimas ecuaciones podemos rotar alrededor nuevo origen un determinado ´angulo de inclinaci´on.

1.8.2.

As´ıntotas

Cuando un punto se aleja del origen el puntoP de la curva, la distancia entre el punto Py una recta fija tienda a cero. En otras palabras la curva se acerca cada vez m´as a la recta al alejarse del origen tales rectas toman el nombre de as´ıntotas, cuyas ecuaciones var´ıan de acuerdo al origen que se este tomando, siendo el caso general para un origen en(h, k)las ecuaciones de las as´ıntotas est´an dadas por:

y−k=±b

a(x−h) (1.31)

1.8.3.

Excentricidad

La excentricidad en Hip´erbola no tiene restricci´on a que a > b como en el caso de la elipse, la direcci´on en que se abre la hip´erbola esta controlada por los signos y no por los valore relativos de los coeficientes de los t´erminos cuad´aticos.

Como en el caso de la elipse definimos el excentricidad ede la hip´erbola como

e= c

a (1.32)

dondec > apor tanto la excentricidad de un hip´erbola siempre ser´a mayor que uno.

Teorema 1.6 Si una ecuaci´on de segundo grado tiene solamente un t´ermino de segundo grado; y este es el t´ermino enx, y, entonces representa una hip´erbola rectangular, con as´ıntotas horizontales y verticales o dos rectas una vertical y una horizontal.

Ejemplo 1.10 Identificar la curvaxy+2x−y−3=0

1.8.4.

Aplicaciones

En la Teor´ıa de la relatividad de Einstein surgen trayectorias parab´olicas, las cuales consti-tuyen tambi´en base del sistema LORAN (Long Range Navigation).

Un Cometa que no regresa a su sol, sigue una trayectoria hiperb´olica.

(25)

Bibliograf´ıa

Figure

Figura 1.1: Representaci´ on de expresi´ on algebraica de Euclides 1 Nombre dado por haber sido Descartes quien introdujo esta idea
Figura 1.3: Representaci´ on de una recta en el Plano Cartesiano.
Figura 1.6: Representaci´ on gr´ afica de la ecuaci´ on xy − y − 1 = 0.
Figura 1.8: Representaci´ on gr´ afica de la ecuaci´ on x 2 y − x 2 − y = 0.
+6

Referencias

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