Ejercicios de Teor´ıa de
C ´odigos
S. Ling - C. Xing
Steven Roman
Vera Pless
Detecci ´on y correcci ´on de errores
1. Explique por qu´e el canal de comunicaci ´on binario, donde p< 0.5 es llamado canal in ´util.
2. Suponga que se env´ıan palabras codificadas el c ´odigo bi-nario {000,100,111} sobre un canal binario sim´etrico, con probabilidad de error p = 0.03. Utilice la regla de de-codificaci ´on de m ´axima probabilidad para decodificar las siguientes palabras recibidas.
(a) 010, (b) 011, (c) 001.
3. Considere el canal binario sin memoria con probabilidades Pr(0 recibido|0 enviado)=0.7,
Pr(1 recibido|1 enviado)=0.8.
Si las palabras del c ´odigo binario {000,100,111} se en-viar ´an sobre este canal, utilice la regla de decodificaci ´on por m ´axima probabilidad para decodificar las siguientes palabras:
(a) 010, (b) 011, (c) 001. 4. SeaC ={001,011} un c ´odigo binario.
(a) Suponga que tenemos un canal binario sin memoria con las siguientes probabilidades:
Pr(0 recibido|0 enviado)=0.1, Pr(1 recibido|1 enviado)=0.5.
Utilice la regla de decodificaci ´on por m ´axima proba-bilidad para decodificar la palabra recibida 000. (b) Use la regla de decodificaci ´on por distancia m´ınima
para decodificar 000.
5. Para el c ´odigo binario C ={01101,00011,10110,11000}, use la regla de decodificaci ´on por distancia m´ınima para de-codificar las siguientes palabras recibidas:
(a) 00000, (c) 10110, (e) 11011. (b) 01111, (d) 10011,
6. Para el c ´odigo ternario C = {00122,12201,20110,22000}, use la regla de decodificaci ´on por distancia m´ınima para decodificar las siguientes palabras recibidas:
(a) 01122, (c) 22022, (b) 10021, (d) 20120.
7. Construya la tabla de decodificaci ´on por por distancia m´ınima para cada uno de los siguientes c ´odigos binarios.
(a) C ={101,111,011}, (b) C ={000,001,010,011}.
Decodificaci ´on por distancia m´ınima
1. Calcule las siguientes distancias de Hamming a) d(01001,10110) b) d(12345,54321)
2. ¿Cu ´antos errores detectar ´a el c ´odigo binario de repetici ´on de longitud seis? ¿Cu ´antos corregir ´a?
3. Sea C ={11100,01001,10010,00111}. (a) Calcule la distancia m´ınima de C.
(b) Decodifique las palabras 10000, 01100 y 00100. (c) Calcule la raz ´on de este c ´odigo.
4. Construya un (8,4,5)-c ´odigo binario.
5. ¿Existe un (7,3,5)-c ´odigo binario? Justifique su respuesta. 6. Pruebe las siguientes relaciones entre la distancia y el peso
de Hamming.
(a) d(x,y)= ps(x−y), para todox,y∈Fn q.
(b) d(x,y)= ps(x)+ps(x)−ps(x∗y),para todox,y∈Fn 2, (note que q=2) donde x∗y=(x1y1, . . . ,xnyn).
7. SiAes un conjunto finito pruebe que la distancia de Ham-ming, d sobre An,
es una funci ´on distancia en el sentido usual.
8. Pruebe que un c ´odigo C es exactamente t-detector de erro-res si y s ´olo si d(C)=t+1.
9. Pruebe que si d(C) = 2t+ 2 entonces C es exactamente t-corrector de errores.
10. Pruebe que d(C) = d si y s ´olo si C es exactamente b(d−1)/2c-corrector de errores.
11. Muestre que si se desea detectar y corregir errores si-mult ´aneamente, en el caso de distancia m´ınima impar d = 2t + 1, cuando la calidad de correcci ´on de errores es m ´axima, no ocurre la detecci ´on de (t+1) errores, a diferencia del caso de distancia m´ınima par.
12. Considere el c ´odigo binario
C ={00000000,00001111,00110011,00111100}
(a) Calcule la distancia entre todas las parejas de palabra codificadas en C
(b) Definimos el complemento de una palabra binaria como la palabra obtenida intercambiando todos los ceros por unos y tambi´en los unos por ceros. Des-criba las caracter´ısticas de la distancia del c ´odigo obtenido tomando todas las palabras codificadas en C y el complemento de esas palabras codificadas. (c) Generalice los resultados en la parte (b).
13. Defina la distancia m´axima de un c ´odigo. ¿Puede enun-ciar y probar alg ´un resultado sobre la distancia m ´axima an ´alogo a los resultados estudiados?
borra-do de la entrada. En este canal se satisfacen las probabil-idades
Pr (0|0)= p, Pr (1|1)=r, Pr (?|0)=q, Pr (?|1)= s,
Pr (1|0)= 1− p−q, Pr (0|1)=1−r− s.
Pruebe que para el canal binario de borrado la probabilidad de decodificaci ´on por m ´axima probabilidad es equivalente a la decodificaci ´on por distancia m´ınima.
15. Encuentre un canal sim´etrico para el cual la decodificaci ´on por m ´axima probabilidad no es equivalente a la decodifi-caci ´on por distancia m´ınima.
16. Pruebe que un (n,M,2t+1)-c ´odigo binario existe si y s ´olo si existe un (n+1,M,2t+2)-c ´odigo binario. Sugerencia: Piense en los bits verificadores de paridad.
Propiedades b ´asicas de campos finitos
1. Pruebe que
d|n⇒ pd−1|(pn−1)⇒ xpd −x |xpn − x 2. ¿Es Z2 F2? ¿Es Z4 F4? ¿Cu ´ando Zq Fq?
3. ¿Es Zpn un campo para todo entero positivo n?
4. Determine el n ´umero de subcampos de F1024. Determine el n ´umero de subcampos de F729.
5. Si F < K muestre que F y K deben tener la misma carac-ter´ıstica.
6. Pruebe que, excepto por el caso de F2, la suma de todos los elementos de un campo finito es igual a cero.
7. Encuentre todos los elementos primitivos deF7 y F9. 8. Suponiendo que β es un elemento primitivo de F16
cons-truya una tabla de logaritmos para el campo (es decir si
β es un generador de F16 y βk = a3β3 + a2β2+ a1β+ a0β debe tabular k y a3a2a1a0.) Utilice la tabla para calcular
β10+β5 β2+β4.
9. Encuentre todos los subcampos de F16, descr´ıbalos en t´erminos de un elemento primitivo deF16.
10. Verifique que el polinomio p(x) = x4 + x3+ x2 + x+ 1 es irreducible sobre F2.
11. Verifique que el polinomio p(x)= x4+x+1 es irreducible sobreF2.
12. Muestre que si α∈F16es un cero de p(x)= x4+x3+x2+x+1 entoncesα+1 es un elemento primitivo de F16.
13. Muestre que los polinomios p(x)= x2+1 y q(x)= x2+x+ 4 son irreducibles sobre F11. ¿Son isomorfos los campos
F11[x]/hp(x)i y F11[x]/hq(x)i? Explique.
14. Utilice el polinomio primitivo x3+ x+1 para dar una re-presentaci ´on matricial deF8 sobreF2.
15. Muestre que el polinomio p(x) = x4 + x3+1 es primitivo sobre F2 y calcule una tabla de logaritmos del campo F16 usando este polinomio, es decir si β es un generador de
16. Si F es un campo arbitrario, pruebe que si F∗ es c´ıclico entonces F debe ser finito.
17. Sea Nq(d) el n ´umero de polionomios m ´onicos irreducibles de grado d sobre Fq. Encuentre Nq(2).
18. En referencia al ejercicio previo, encuentre una expresi ´on para Nq(3) en t´erminos de Nq(2).
19. Encuntre todos los polinomios irreducibles de grado 2, 3 y 4 sobre F2.
20. Encuntre todos los polinomios m ´onicos irreducibles de grado 2 y 3 sobre F3.
21. Muestre que el polinomio p(x) = x3+ x2 +1 es primitivo sobreF2. Construya el campo F8 expresando los elementos no cero como polinomios sobre F2, como potencias de un generador deF8 y como elementos del espacio vectorialF32. Construya una tabla de logaritmos del campo F8.
22. Verifique que p(x) = x2 + x+ 2 es primitivo sobre F3, y repita el ejercicio previo para el campo F9.
(a) Muestre que para todo entero n ≥ 1, el producto de todos los polinomios m ´onicos, irreducibles sobre Fq, cuyo producto divide a n es igual a xqn −x.
(b) Denote comoNq(d) el n ´umero de polinomios m ´onicos irreducibles de grado d en Fq[x]. Muestre que
qn= X
d|n
d Nq(d), para todo n∈N,
donde la suma se extiende sobre todos los enteros positivos d divisores de n.
23. La funci´on de Möbiusen el conjuntoNde enteros positivos se define como
µ(n)=
1, si n= 1
(−1)k, si n es producto de k primos distintos 0, si n es divisible por el cuadrado de un primo (a) Sean h y H dos funciones de N a Z. Muestre que
H(n)=X
d|n
h(d), n≥ 1
si y s ´olo si
h(n)= X d|n
µ(n)H
n
d
, n≥ 1.
(b) Muestre que el n ´umero Nq(n) de polinomios m ´onicos de grado n, irreducibles sobreFq, est ´a dado por
Nq(n)= 1 n
X
d|n
µ(n) qn/d.
Familias de c ´odigos
1. ¿Es sistem ´atico el c ´odigo C ={000,110,011,111}?
2. Sea A un conjunto finito. Pruebe que si 0 ∈ A entonces cualquier c ´odigo sobre A es equivalente a un c ´odigo que contiene el vector 0.
4. Sea En el conjunto de palabras de peso par en Fn2. Muestre que En es lineal. ¿Cu ´ales son sus par ´ametros n,k y d? 5. Pruebe que si C es un (n,M,d)-c ´odigo, entonces el c ´odigo
acortado, formado por las palabras codificadas de C con 0 en la i-´esima posici ´on coordenada y enseguida suprimien-do tal posici ´on, es un (n−1,M/2,d)-c ´odigo.
6. Si C es un (n,M,d)-c ´odigo, muestre que el c ´odigo exten-dido Cbes un
bn,Mb,bd
-c ´odigo conbn= n+1, Mb= M ydb=d
o d+1.
7. Pruebe que si L es un c ´odigo lineal binario y si 1 = 11. . .1∈L entonces L= Lc. Sin embargo si 1<L entonces L∩Lc =∅.
8. Muestre que un c ´odigo lineal puede ser equivalente a un c ´odigo no lineal.
9. H ´agase ver que, salvo equivalencias, existe exactamente un (8,4,5)-c ´odigo.
10. Pruebe que cualquier (n,q,n)-c ´odigo q-ario es equivalente a un c ´odigo de repetici ´on.
11. ¿Cualquier c ´odigo es equivalente a un c ´odigo que contenga la cadena 1=11. . .1?
12. Demuestre que cualquier (5,M,3)-c ´odigo binario debe sa-tisfacer M ≤ 4. Pruebe adem ´as que existe, salvo equiva-lencia, exactamente un (5,4,3)-c ´odigo binario.
13. ¿Cu ´antos (n,2)-c ´odigos binarios no equivalentes existen?
14. Considere las palabras binarias c1 = 11010000, c2 = 11100100 y c3 = 10101010. Sea C el c ´odigo formado por 0,1,c1,c2,c3 y todos sus corrimientos c´ıclicos. Muestre que C es un (8,20,3)-c ´odigo.
15. Use la construcci ´on u|u+v y el c ´odigo del ejercicio anterior para construir un (16,2560,3)-c ´odigo.
16. Suponga que L es un n,qk,d
-c ´odigo lineal que es sis-tem ´atico en todas las elecciones de k posiciones. Muestre que d =n−k+1.
C ´odigos lineales y sus duales
1. Encuentre un c ´odigo C0 equivalente al c ´odigo C dado.
(a) C ={00000,10110,10101,00011} (b) C ={00000,11100,00111,11011}
2. Sea C un [n,k]-c ´odigo lineal. Pruebe que dadas cua-lesquiera k posiciones coordenadas existe un c ´odigo equi-valente aC que es sistem ´atico en esas posiciones.
3. Encuentre una matriz generadora para el c ´odigoq-ario de repetici ´on.
4. ¿Puede existir un (11,24,5)-c ´odigo lineal? Explique. 5. Encuentre una matriz generadora en forma est ´andar para
dada.
(a) G =
1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1
(b) G =
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1
6. Si L es un c ´odigo lineal, ¿es lineal el c ´odigo extendido bL,
definido al agregar un verificador de paridad total a L? 7. Asigne mensajes a las palabras en F3
2 de la siguiente man-era:
000 100 010 001 110 101 011 111
A B E L O P R S
Utilizando la matriz
G=
1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1
codifique el mensaje OSO POLAR (ignore el espacio). 8. Encuentre la distancia m´ınima de un c ´odigo lineal binario
con matriz generadora
G =
1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1
.
9. Encuentre la distancia m´ınima de un c ´odigo lineal ternario con matriz generadora
G = 0 1 2 1
1 0 2 2
! .
10. Construya un arreglo est ´andar para el c ´odigo binario con matriz generadora
G= 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0
! .
Despu´es decodifique las palabras 11111 y 10000.
11. Muestre que para un c ´odigo lineal C con matriz gener-adora G, las posiciones coordenadas i1,i2, . . . ,ik forman un conjunto de informaci ´on si y s ´olo si las columnas co-rrespondientes de G son linealmente independientes. 12. Pruebe que para un c ´odigo lineal binario con matriz
veri-ficadora de paridad H se cumple que Hxt es la suma de las columnas de H donde ha ocurrido un error.
13. Sea C el [4,2] c ´odigo binario con matriz generadora
G= 1 0 1 1 1 1 0 1
! .
(a) Encuentre las clases (laterales) de C, eligiendo un vector de peso m´ınimo de la clase como l´ıder de clase. (b) Escriba el arreglo est ´andar para el c ´odigo.
(c) Liste los l´ıderes de clase y sus s´ıntomas.
14. Si un c ´odigo lineal C tiene matriz verificadora de paridad H, ¿cu ´al es la matriz verificadora de paridad Hbdel c ´odigo
extendido que se obtiene de C al agregarle un verificador de paridad total?
mitad de las palabras codificadas enC tiene peso impar. Si Ccontiens una palabra de peos impar, describa el conjunto de palabras de peso par.
16. H ´agase ver que, eligiendo adecuadamente las operaciones con renglones, la decodificaci ´on por mayor´ıa l ´ogica puede realizarse en todas las 7 posiciones del c ´odigoC discutido en la subsecci ´on de decodificaci ´on por mayor´ıa l ´ogica. 17. Demuestre que si G es una matriz generadora del c ´odigo
lineal q-ario C, entonces C es auto-ortogonal si y s ´olo si distintos renglones de G son ortogonales y tienen peso divisible por q.
18. H ´agase ver que si L es un c ´odigo auto-ortogonal entonces todos las palabras codificadas tienen peso par y 1∈ L⊥.
19. Pruebe que si L es un [n,(n−1)/2]-c ´odigo binario (de ah´ı que n sea impar) entonces L⊥ es generado por cualquier base para L junto con la cadena 1.
20. Muestre que un[n,k]-c ´odigo linealL es auto-dual si y s ´olo si es auto-ortogonal y k =n/2.
21. ¿Puede un subespacio de un espacio vectorial sobre un campo de caracter´ıstica cero ser auto-dual? Explique. 22. Pruebe que existe un[n,n/2]-c ´odigo binario auto-dual para
todo entero positivo n. Sugerencia: Construya una matriz generadora.
23. Sean A y B subconjuntos de Fnq mutuamente ortogonales, esto es a· b = 0 para todo a ∈ A y todo b ∈ B. Suponga adem ´as que |A| = qk y |B| ≥ qn−k+1. Muestre que A es un c ´odigo lineal. Sugerencia: Considere los subespacios hAiy
hBi generados por A y B, resp. ¿Qu´e puede decir sobre la suma de sus dimensiones?
C ´odigos de Hamming y de Golay
1. H ´agase ver que un c ´odigo perfecto debe tener distancia m´ınima impar.
2. Muestre que la condici ´on de empaquetamiento con esferas se satisface para los siguientes par ´ametros
(a) (n,M,d)=(n.1,2n+1) (b) (n,M,d)=(2m+1,2,2m+1) (c) (n,M,d)=((qr−1)/(q−1),qn−r,3) 3. Sean c,d ∈ An y considere los conjuntos
S ={x∈ An :d(x,c)<d(x,d)}, T = {x∈ An
:d(x,d)<d(x,c)}.
Pruebe que |S|= |T|.
4. Sea C un (n,M,7)-c ´odigo perfecto binario. Utilice la condici ´on de empaquetamiento con esferas para mostrar que n = 7 o n = 23. Sugerencia: Muestre que la condici ´on de empaquetamiento con esferas es
(n+1)h(n+1)2−3(n+1)+8i=3(2k) para alg ´un k≥ 0. Si 2i |(n+1) muestre que i≤ 3.
6. Si extendemos el [n,k,3]-c ´odigo binario de Hamming H2(r) agregando un verificador de paridad total obten-emos un [n+1,k,4]-c ´odigo. ¿C ´omo se comparan las ca-pacidades de correcci ´on de errores de estos c ´odigos? ¿Qu´e puede decir de las capacidades para detectar errores? 7. Suponiendo un canal binario sim´etrico muestre que la
probabilidad de corregir un error, utilizando decodificaci ´on por s´ıntoma, es la misma para el c ´odigoH2(r)que para su extensi ´on, obtenida agreg ´andole un verificador de paridad total.
8. Verifique que los c ´odigos de Hamming son perfectos. 9. Utilice el hecho de que los c ´odigos de Hamming son
per-fectos para determinar el n ´umero de palabras codificadas de peso 3 en H2(r). Sugerencia: Piense acerca de las pa-labras de peso 2.
10. Pruebe las siguientes propiedades del [2r−1,r]
-c ´odigo s´ımplex Sr.
(a) Toda palabra codificada no cero en Sr tiene peso 2r−1. De ah´ı que Sr es un
h
2r−1,r,2r−1i
-c ´odigo.
(b) La distancia entre cualesquiera dos palabras enSr es 2r−1.
(c) Si c = c1c2. . .cn est ´a en Sr entonces tambi´en cnc1c2. . .cn−1 estar ´a enSr.
11. Construya una tabla de s´ıntomas, conteniendo los l´ıderes de clase y sus s´ıntomas, para el c ´odigo de Hamming H2(3). Entonces decodifique las palabras 0000010, 1111111, 1100110.
12. Complete los detalles de la demostraci ´on del lema: El c ´odigo de Golay G24 es generado por la matriz (A|I12). 13. Si G = (I12|A) es la matriz generadora de G24 discutida en
clase pruebe que el peso de la suma de cualquier n ´umero de renglones deG es divisible por 4.
14. Muestre que 1∈ G24.
15. Muestre que para el c ´odigo de GolayG24 siAi es el n ´umero de palabras codificadas de peso i,entonces tenemos A20 = A4 = 0 y A8 = A16.
16. Sea G = (I12|A) la matriz generadora de G24 discutida en clase. Pruebe que las suma de cualesquiera dos renglones de A tiene peso al menos 6.
17. En referencia a la discusi ´on de la decodifcaci ´on de G24 muestre que si ambos ps(e1) y ps(e2) son positivos, en-tonces ps(S1)≥ 5 y ps(S2)≥ 5.
18. Complete los detalles relacionados a la decodificaci ´on del c ´odigo de Golay G24.
19. Decofique, si es posible, las siguientes palabras recibidas sabiendo que se utiliz ´o el c ´odigo de Golay G24 para su transmisi ´on.
(a) 111 000 000 000 011 011 011 011 (b) 111 111 000 000 100 011 100 111 (c) 000 111 000 111 101 000 101 101 (d) 110 000 000 000 101 100 100 000
20. ¿Puede aplicarse el proceso para decodificar el c ´odigo de Golay G24 en m ´as generalidad? Explique.
21. Pruebe las siguientes propiedades del c ´odigo ternario de Golay G12.
(a) El c ´odigo G12 es auto-dual, esto esG⊥12 =G12.
(b) La matriz B utilizada en la definici ´on de G12 es sim´etrica.
(c) G12 es un [12,6,6]-c ´odigo.
(d) El c ´odigo ternario G11, que se obtiene perforando G12 en su ´ultima posici ´on coordenada, es un [11,6, 5]-c ´odigo perfe5]-cto.
22. Muestre que G11 tiene 132 palabras de peso 5. Sugerencia: Cuente el n ´umero de parejas (x,c), donde ps(x) = 3 y ps(c) = 5, c∈ G11, y c cubre a x de dos maneras. Use el hecho de que G11 es perfecto.
23. Muestre que el c ´odigo de Vasil’ev V es un c ´odigo binario no lineal perfecto, con los par ´ametros de un c ´odigo de Hamming.
24. Verifique que permutando columnas y utilizando opera-ciones elementales de renglones, la matriz generadora G para G24 puede escribirse de la forma
G0 = I7 ∗
05 ∗
! ,
donde la octava columna es la suma de las primeras siete columnas. Sugerencia: Use el teorema que relaciona la distancia m´ınima de un c ´odigo con la independencia lineal de las columnas en una de sus matrices verificadoras de paridad.
C ´odigos de Reed-Muller
1. ¿Cu ´al es el peso de la palabra codificada en R(r,m) co-rrespondiente al monomio xi1· · ·xij?
2. Muestre que, para cualquier funci ´on booleana f (x1, . . . ,xm−1), la funci ´on xm + f (x1, . . . ,xm−1) toma los valores 0 y 1 con la misma frecuencia.
3. Muestre que los c ´odigos R(r,m) y R(r,m−1) ⊕ R(r−1,m−1) tienen la misma cardinalidad, donde ⊕ de-nota la construcci ´on de Plotkin.
4. Utilice la contrucci ´on u|u+v para expresar una matriz ge-neradora para el c ´odigoR(r,m)en t´erminos de la matrices generadoras para R(r,m−1) y R(r−1,m−1).
5. ¿Cu ´al es la relaci ´on entre R(r,m) y R(s,m)?
6. ¿Cu ´ales c ´odigos de Reed-Muller son auto-duales? ¿Cu ´ales son auto-ortogonales?
7. SeaF una variedad lineal de dimensi ´onm−k.Los elemen-tos de F satisfacen un sistema dek ecuaciones lineales en m variables, con rango k, digamos `j(x1, . . . ,xm) = 1, con 1≤ j ≤ k.¿Por qu´e el polinomio Qk
j=1`j(x) tiene grado k? (Note que el producto de dos polinomios lineales puede ser lineal, por ejemplo x1x1 = x1.)
8. Decodifique las siguientes palabras recibidas sabiendo que fueron codificadas utilizando el c ´odigo R(1,3) :
(c) 0001 0100 (d) 1100 1110
9. Se utiliz ´o el c ´odigo R(2,4) para codificar mensajes. Si es posible decodifique los siguientes mensajes recibidos:
(a) 0111 0101 1000 1000 (b) 0110 0110 0001 0000 (c) 0101 1010 0100 0101 (d) 0011 1100 0001 1100 (e) 1001 1101 0001 1101
10. Muestre que existen 2(2m−1)hiperplanos en
Am(F2). Sug-erencia: ¿Cu ´antos subespacios de dimensi ´on uno existen en Am(F2)?
11. Pruebe que existen polinomios booleanos p(x1, . . . ,xm) de gradom−kcuyos correspondientes subconjuntos deAm(F2) no son variedades lineales. Sugerencia: Considere poli-nomios cuadr ´aticos en tres variables. Recuerde que, en
A3(F2), los hiperplanos corresponden a los polinomios li-neales, as´ı que si un polinomio cuadr ´atico corresponde a una variedad lineal, debe ser una l´ınea.
12. Sean F = u+S y G = v+T dos variedades lineales en
Am(F2). Pruebe que F∩G =∅ o bien F∩G=x+(S ∩T), para cualquier vector no cero xen F∩G.
13. Pruebe que todas las variedades lineales en Am(F2) con m ´as de un punto tienen un n ´umero para de vectores.
C ´odigos MDS
1. ¿Es MDS el c ´odigo peso par En?
2. Muestre que existen c ´odigos q-arios con par ´ametros [n,n,1], [n,1,n] y [n,n−1,2].
3. Sea F4 =
n
0,1, α, α2o. Encuentre una matriz generadora para un [4,2,3]-c ´odigo MDS sobre F4. ¿Es tambi´en MDS el c ´odigo dual?
4. Pruebe que si toda submatriz cuadrada de la matriz A es invertible entonces (Ik|A) es matriz generadora de un c ´odigo MDS.
5. Suponga que Fq =
n
0, α1, . . . , αq−1
o
. Pruebe que para cualquierk, con 1≤k≤ q, cualesquiera q−k+1 columnas de la matriz
H1 =
1 · · · 1 1 0
α1 · · · αq−1 0 0
α2
1 · · · α 2
q−1 0 0
... · · · ... ... ...
αq−k
1 · · · α q−k q−1 0 1
forman una matriz no singular. De ah´ı que H1 es una ma-triz verificadora de paridad para un
q+1,k
-c ´odigo MDS. (Para k=q la matriz H1 es una matriz rengl ´on y todas sus entradas son 1.)
6. Sea Fq un campo finito. Muestre que para que se cumpla
x , y ⇒ x2
7. Pruebe que si C es un [n,k]-c ´odigo MDS q-ario, entonces el n ´umero de palabras codificadas en C con peso m´ınimo es
(q−1) n n−k+1
! .
8. Sea C un [n,k]-c ´odigo MDS q-ario. Demuestre que si Aw denota el n ´umero de palabras codificadas en C de peso w, entonces
Aw =wn w−d
P
j=0
(−1)jwj qw−d+1−j−1
=n
w
(q−1) w−d
P
j=0
(−1)jw−j1qw−d+1−j
9. Muestre que cualquier submatriz cuadrada de una matriz de Vandermonde con entradas reales positivas es no sin-gular. Demuestre que esto es falso en general para en-tradas sobre un campo finito.
Polinomios irreducibles
1. Considere el polinomio irreducible p(x)= x4 −2 sobre
Q.
Muestre que adjuntando un ra´ız de p(x) a Q no produce el campo de descomposici ´on para el polionomio. ¿Cu ´al es el grado del campo de descomposici ´on para p(x) sobreQ? 2. Muestre que el orden ord(f) de un polinomio irreducible f(x) es el menor entero positivo e para el cual f(x) | (xe−1).
3. Muestre que la relaci ´on α es un conjugado de β sobre Fq es una relaci ´on de equivalencia.
4. Muestre que todo elemento enGF(qn)tiene una ´unica ra´ız qi-´esima, para i=1, . . . ,n−1.
5. Si 2- q pruebe que exactamente una mitad de los elemen-tos no cero de Fq tiene ra´ız cuadrada. Sugerencia: Sea β un elemento primitivo de Fq. Si β = α2, entonces α2k = α para alg ´un k.
6. Calcule el polinomio m´ınimo sobre F2 para todos los ele-mentos de F4.
7. Calcule el polinomio m´ınimo sobre F2 para todos los ele-mentos de F8.
8. Calcule el polinomio m´ınimo sobre F3 para todos los ele-mentos de F9.
9. Encuentre directamenteNq(2). Entonces utilice la f ´ormula que permite conocer este valor, y verifique su respuesta. 10. Calcule Nq(20).
11. Muestre que Nq(d) > 0. ¿Qu´e dice esto en palabras? Su-gerencia: Use el hecho de que µ(d)≥ −1 para d |n, d >1. 12. Suponga que α ∈ GF(qn) y que f (x) es el polinomio
m´ınimo de α sobre GF(q). Si grad(f(x)) = d, muestre que f(x) divide a mcdxqd
−x,xqn
−x.
13. Sup ´onga que f (x),g(x) ∈ Fq[x] y que ambos polinomios se descomponen en GF(qn). Suponga tambi´en que f(x) no tiene ra´ıces m ´ultiples en GF(qn). Si todas las ra´ıces de f(x) en GF(qn)
14. Utilice el resultado del ejercicio previo para mostrar que si a∈Fq y n es un entero positivo, entonces xq−x+a divide a xqn −x+na.
15. Suponga que α ∈ GF(qn)
tiene polinomio m´ınimo f (x) sobre Fq, con grad(f (x)) = d. Considere los elementos
α, αq, . . . , αqr
.
(a) Si r= d,¿son distintos estos elementos?
(b) Sir= kd, para un k> 1,¿qu´e puede decir sobre cu ´ales de estos elementos son distintos?
Si f(x) es un polinomio de grado d el polinomio rec´ıproco de f (x) es fR(x)= xdf x−1. Por tanto si
f(x)= anxn+an−1x
n−1+· · ·+
a1x+a0
entonces
fR(x)=a0xn+a1xn−1+· · ·+an−1x+an.
Si un polinomio satisface f (x) = fR(x) decimos que f(x) es auto-rec´ıproco.
16. Muestre que α, 0 es un cero de f(x) si y s ´olo si α−1
, 0
es un cero de fR(x).
17. Pruebe que el rec´ıproco de un polinomio irreducible f(x), x tambi´en es irreducible.
18. Demuestre que si un polinomio f(x) es auto-rec´ıproco e irreducible, entonces grad(f (x)) debe ser par.
19. Suponga que f (x) = p(x)q(x), donde p(x) y q(x) son irreducibles y que f (x) es auto-rec´ıproco. Muestre que
(a) p(x)= δ· pR(x) y q(x)=δ·qR(x) con δ =±1, o bien (b) p(x) = α· qR(x) y q(x) = α−1 · pR(x),
para alg ´un
α ∈ Fq. ¿Qu´e puede decir acerca de esto si el grado de p(x) es impar?
Ra´ıces de la unidad
1. Pruebe que, para un polinomio irreducible f (x), tenemos f (x)|xk−1 si y s ´olo si ord(f)|k.
2. Eval ´ue la suma 1+α+α2+· · ·+αn−1, donde α
es una ra´ız n-´esima de la unidad.
3. Encuentre Q2(x), Q4(x), Q8(x), y Q12(x).
4. ¿Es una ra´ız n-´esima primitiva de la unidad tambi´en un elemento primitivo en alg ´un campo?
5. Si(n,q), 1, ¿cu ´antas ra´ıces n-´esimas de la unidad existen sobreFq?
6. Pruebe que si f (x)es un polinomio primitivo para GF(qn) sobreFq, entonces grad(f(x))= n.
7. Factorice x5−1 sobre (a)
F2, (b) F3. 8. Factorice x7−1 sobre (a)
F2, (b) F3, (c) F5.
9. Factorice x8−1 sobre (a) F2, (b) F3, (c) F4, (d) F5. 10. Factorice x10−1 sobre (a)
F2, (b) F3. 11. Factorice x13−1 sobre (a)
12. ¿Cu ´al es el campo de descomposici ´on para x4 − 1 sobre
F3? Encuentre las ra´ıces cuartas primitivas de la unidad en este campo dedescomposici ´on. Haga lo mismo para las ra´ıces octavas de la unidad sobre F3.
13. Suponga que α1, . . . , αn son ra´ıces n-´esimas de la unidad sobre Fq. Muestrtre que para 1 < k < n se tiene αk1 +αk2+ · · ·+αk
n= 0.
14. Muestre que Qn(x) ∈ Fq[x] es irreducible si y s ´olo si ordn(q)=ϕ(n).
15. Si n y q son primos relativos, pruebe que el polinomio xn−1+xn−2+· · ·+x+1 es irreducible sobre Fq si y s ´olo si n es primo y Qn(x) es irreducible,
16. Muestre que d | n implica que Qn(x) divide a (xn−1)xd−1.
17. Pruebe que si r es primo, entonces Qrn(x) =
xrn −1/xrn−1 −1. 18. Eval ´ue Qn(1). 19. Eval ´ue Qn(−1).
Verifique las siguentes propiedades de los polinomios ci-clot ´omicos. Como es usual p es un n ´umero primo.
20. Qnp(x)= Qn(xp)/Qn(x), para p
- n.
21. Qnp(x)= Qn(xp), para todo p|n. 22. Qnpk(x)= Qnp
xpk−1. 23. Qn(0)=1 para n≥ 2.
23. Qnx−1xϕ(n) =Qn(x) para n≥ 2.
C ´odigo c´ıclicos
En todos los ejercicios de esta secci´on suponga que (n,q)= 1. En particular un c´odigo binario tiene longitud impar.
1. Si p(x)∈Rn, muestre que hp(x)i= {f (x)p(x) : f (x)∈Rn}. 2. Pruebe que f (x) ∈ Rn tiene un inverso multiplicativo si y s ´olo si f(x) es primo relativo a xn− 1. Utilice esto para probar que Rn no es un campo.
3. Encuentre todos los c ´odigos binarios de longitud 3. Es-criba una matriz generadora y una matriz verificadora de paridad para cada c ´odigo.
4. Encuentre todos los c ´odigos c´ıclicos ternarios de longitud 4. Escriba una matriz generadora y una matriz verifi-cadora de paridad para cada c ´odigo.
5. Muestre que el conjunto de k posiciones coordenadas con-secutivas en un [n,k]-c ´odigo es un conjunto de infor-maci ´on.
6. Sean C1 = hg1(x)i y C2 = hg2(x)i c ´odigos c´ıclicos en Rn. Pruebe que
(a) C1 ⊆C2 si y s ´olo si g2(x)|g1(x), (b) C1∩C2 =
mcm
g1(x),g2(x),
(c) C1+C2=
mcd
g1(x),g2(x).
8. Si h(x) es el polinomio verificador para C, escriba hx−1 como un polinomio en C⊥.
9. Muestre que el [7,4]-c ´odigo binario Dx3+x+1E y el[7, 3]-c ´odigo binario Dx4+ x3+x2+1E son c ´odigos duales. 10. Sea g(x) el generador de un c ´odigo binario C. Suponga
que C contiene al menos una palabra codificada de peso impar. Muestre que el conjunto de palabras codificadas en C de peso par es un subc ´odigo c´ıclico de C. ¿Cu ´al es el polinomio generador de este subc ´odigo?
11. Si C es un c ´odigo c´ıclico y si L es un c ´odigo lineal que es equivalente bajo m ´ultiplos escalares (en algunas posiciones coordenadas) a C, debe L ser c´ıclico tambi´en?
12. Sea h(x) el polinomio verificador de un c ´odigo c´ıclico C. ¿Cu ´al es la relaci ´on entre C y el c ´odigo hh(x)i? (¿Son iguales? ¿Son equivalentes?)
13. Pruebe que un c ´odigo c´ıclico binario C = hg(x)i contiene la palabra codificada 1si y s ´olo si g(1),0.
14. Suponga queC es un c ´odigo c´ıclico binario. Pruebe queC contiene una palabra codificada de peso impar si y s ´olo si 1∈C.
15. Encuentre el n ´umero de c ´odigos c´ıclicos enRn en t´erminos del n ´umero de clases ciclot ´omicas de q m ´odulo n.
16. Si C = hg(x)i es un c ´odigo c´ıclio binario auto-ortogonal, muestre que (x−1)|g(x).
17. Si C = hg(x)i es un c ´odigo c´ıclico pruebe que C es auto-ortogonal si y s ´olo si h⊥(x) | g(x), donde h(x) es el
poli-nomio verificador.
18. Sean C1 y C2 c ´odigos c´ıclicos en Rn. Muestre que C1 +C2 es el menor c ´odigo c´ıclico que contiene a C1 y C2.
19. Encuentre todos los c ´odigos c´ıclicos binarios de longitud 7. Proporcione el polinomio generador, una matriz gene-radora, el polinomio verificador y una matriz verificadora de paridad para cada c ´odigo. Identifique todos los c ´odigos duales.
20. Sea C un c ´odigo c´ıclico. Muestre que los ceros del c ´odigo dual C⊥ son los inversos de los no-ceros del c ´odigoC. 21. Sea C = hg(x)i un c ´odigo c´ıclico en Rn, con polinomio
verificador h(x). Suponga que p(x) y h(x) son primos re-lativos. Muestre queC =hp(x)g(x)i.
22. Un c ´odigo C es reversible si c0c1· · ·cn−1 ∈ C implica que cn−1· · ·c1c0 ∈C. Muestre que un c ´odigo c´ıclico C = hg(x)i es reversible si y s ´olo si g(α)= 0 implica gα−1= 0. 23. Muestre que un c ´odigo c´ıclico de longitud n es reversible
(vea el ejercicio previo) si−1 es una potencia deq m ´odulo n.
24. Un c ´odigo c´ıclico C de longitud n es degenerado si existe r, con r | n, tal que cada palabra codificada c tiene la forma c = c0c0· · ·c0, donde c0 es una cadena de longitud r. (Por tanto una palabra codificada consiste de n/r copias de una cadena de longitudr.) Pruebe que C es degenerado si y s ´olo si su polinomio verificador h(x) divide a xr−1. Sugerencia: Muestre que el polinomio generadorg(x)tiene la forma
25. Pruebe que un c ´odigo c´ıclico q- ´ario C, de longitud n, es invariante bajo la permutacion π para la cual π(i) = qimodn. Sugerencia: Si p(x) ∈ C entonces muestre que p(xq) mod (xn−1)∈C.
M ´as sobre c ´odigo c´ıclicos
1. ¿Cu ´antos renglones tiene la tabla de decodificaci ´on por s´ındrome de un c ´odigo c´ıclico t-corrector de errores? ¿Cu ´antos existen si usamos la decodificaci ´on de Meggitt? 2. (Meggit, 1960) Sea C = hg(x)i un c ´odigo c´ıclico en Rn.
Pruebe que para cualquier polinomio u(x)∈Rn sint[x u(x) mod (xn−1)]= sint[xsint(u(x))]. 3. Para ver que el s´ıntoma como lo hemos definido es un
s´ıntoma en el sentido anterior proceda como sigue: Sea C= hg(x)i un [n,n−r]-c ´odigo c´ıclico.
(a) Sea si(x) el residuo que se obtiene al dividir xr+i por g(x),
xr+i =ai(x)g(x)+si(x).
Muestre que xr+i−si(x), parai= 0, . . . ,n−r−1 forma una base para C.
(b) Encuentra la matriz generadora asociada a la base en la parte (a), y una matriz verificadora de paridad correspondiente, digamos H.
(c) Si u(x) es un polinomio recibido, escriba
u(x)= r−1
X
j=0 ujxj+
n−r−1
X
i=0
ur+ixr+i
y sustituya xr+i empleando los resultados en la parte (a).
(d) Use sus c ´alculos en la parte (c) para encontrar los coeficientes de xj
en el s´ıntoma de u(x). ¿C ´omo se relaciona esto con (u0· · ·un−1)Ht?
4. SeaC un[7,4]c ´odigo binario de Hamming con polinomio generador g(x) = 1+ x+ x3. Suponga que se reciben las siguientes palabras con a lo m ´as un error. Decodifiquelas utilizando la captura de errores:
(a) 1101011; (b) 0101111; (c) 0100011.
5. Un [15,7]-c ´odigo c´ıclico binario es generado por g(x) = 1+ x4 + x6 + x7 + x8. Decodifique las siguientes palabras utilizando la captura de errores.
(a) 110111101110110; (b) 111110100001000.
6. Suponga que g(x) = 1+ x + x2 + x4 + x5 + x8 + x10 es el polinomio generador de un [15,5]-c ´odigo c´ıclico binario. Decodifique las siguientes palabras utilizando la captura de errores.
C ´odigos BCH
1. ¿Los c ´odigos BCH en sentido limitado dependen de la elecci ´on de la ra´ızn-´esima de la unidad elegida? Justifique su respuesta. Para una ra´ız n-´esima de la unidad fijaω ¿el conjunto de todos los c ´odigos BCH en sentido limitado de una distancia dise ˜nada dada dependen de la elecci ´on de
ω?
2. Describa el c ´odigo B2(7,5, ω).
3. Determine todos los c ´odigos BCH binarios en sentido li-mitado de longitud 15.
4. Determine todos los c ´odigos BCH binarios en sentido li-mitado de longitud 23.
5. Sea α un elemento en F256 cuyo polinomio m´ınimo f(x) tiene grado 8. ¿Cu ´al puede ser la longitud n de un c ´odigo c´ıclico que consiste en todos polinomios h(x) de grado< n para los que h(α)= 0?
6. Suponga que Sea αes un elemento primitivo de GF211 y que β= α89. Considere un c ´odigo BCH binario con ra´ıces
β, β2, β3 y β4, de forma que δ = 5. Proporcione una ma-triz generadora para este c ´odigo ¿Cu ´al es su distancia m´ınimal?
7. ¿Cu ´al es la distancia m´ınima del c ´odigo BCH binario en sentido limitado B2(255,51, ω)?
8. Construya el BCH c ´odigo ternario B3(26,5, ω).
9. Encuentre el polinomio generador para un c ´odigo BCH ternario de longitud 8 y dimensi ´on 5.
10. (a) Proporcione un polinomio generador de un c ´odigo BCH binario de longitud 15 que sea triple corrector de errores.
(b) ¿Cu ´al es la dimensi ´on de este c ´odigo? (c) D´e una matriz generadora para este c ´odigo.
11. (a) ¿Cu ´al es la dimensi ´on de un c ´odigo BCH, digamos C, cu ´adruple corrector de errores de longitud 15? (b) ¿Cu ´al es la distancia m´ınima real de C?
12. (a) ¿Cu ´al es la dimensi ´on de un c ´odigo BCH binario doble corrector de errores de longitud 31?
(b) ¿Cu ´al es la dimensi ´on de un c ´odigo BCH triple co-rrector de errores de longitud 31?
(c) ¿Cu ´al es la dimensi ´on de un c ´odigo BCH cu ´adruple corrector de errores de longitud 31?
13. (a) D´e un polinomio generador de un c ´odigo BCH 1-corrector de errores longitud 8.
(b) D´e una matriz generadora de este c ´odigo.
14. Describa un c ´odigo Reed-Solomon [7,3] sobre F8 dando su polinomio generador. ¿Cu ´antos errores corregir ´a?
15. Encuentre un polinomio generador para un c ´odigo Reed-Solomon doble corrector de errores sobre F16. D´e su lon-gitud y dimensi ´on.
16. Sea α un elemento primitivo del campo F16. Utilizando el c ´odigo BCH binario cuyo polinomio generador tiene a α,
α2, α3 y α 4
17. Utilizando el c ´odigo BCH del problema anterior decodi-fique los siguientes vectores recibidos:
(a) x= 010 000 010 000 000. (b) y= 111 011 111 111 111. (c) z=110 111 101 011 001. (d) w=001 100 101 011 001.
18. Sea g(x) = 1+ x2 + x5 + x6 + x8 + x9 + x10 un polinomio generador de un [15,5]-c ´odigo BCH. Suponga que se recibe la palabra v = 101 101 011 001 001. Determine la palabra correcta que se envi ´o.
19. Considere el c ´odigo BCH en sentido limitado B2(15,5, ω) con polinomio generador
g(x)= x8+x7+x6+ x4+1.
(a) Si se recibe u(x)= x10+x5+x4+x+1, decodifique la palabra recibida.
(b) Si se recibe u(x)= x11+x10+x6+x5+x4+x+1, ¿qu´e puede concluir sobre el n ´umero de errores?
20. Mueste que el dual de un c ´odigo BCH no necesariamente es otro c ´odigo BCH.
21. Encuentre un c ´odigo BCH de longitud n=7 que sea auto-ortogonal. Sugerencia: ¿Cu ´al es la relaci ´on entre los ceros de un c ´odigo c´ıclico y los ceros de su dual?
C ´odigos de Reed-Solomon
1. Encuentre el polinomio generador de un c ´odigo RS de lon-gitud 15 y dimensi ´on 11. ¿Cu ´al es la distancia m´ınima de este c ´odigo?
2. Encuentre el polinomio generador de un [10,6]-c ´odigo de Reed-Solomon. ¿Cu ´al es la distancia m´ınima de este c ´odigo?
3. Encuentre un c ´odigo de Reed-Solomon 2-corrector de e-rrores sobre F16. ¿Cu ´al es la distancia m´ınima de este c ´odigo?
4. Pruebe que el dual de un c ´odigo de Reed-Solomon es un c ´odigo de Reed-Solomon.
5. Encuentre un c ´odigo C1 para el cual d1b = d1 y un c ´odigo
C2 para el cual bd2= d2+1.
6. Verifique que si un c ´odigo 2m-ario es t-corrector de errores, entonces la versi ´on expandidaC? puede corregir r ´afagas de longitud menores a (t−1)m+1.
7. Dise ˜ne un c ´odigo, basado en un c ´odigo de Reed-Solomon, que pueda corregir errores en r ´afaga de longitud menor que 25.
8. Tome como c ´odigo interior el [7,4,3] c ´odigo de Ham-ming H2(3), y como c ´odigo exterior al [15,13,7] c ´odigo de Reed-Solomon C. Describa el procedimiento de super codificaci ´on, usando el procedimiento de codificaci ´on no sistem ´atica. Entonces codifique la 52-tupla
a = 0001 0100 0000 . . . 0000
| {z }