El fenómeno del Tazón pdf

1 Sistemas con estaciones tipo M/M/1/K

En la mayor parte de los sistemas estudiados, se asumió el hecho de que existe espacio

suficiente para que los clientes se formen frente a una estación, algo que no siempre se

cumple. En una fábrica por lo regular el espacio destinado para mantener el inventario en

proceso frente a una estación está limitado. Aún en un sistema más grande como las

taquillas de un cine o bien frente a la dulcería el área para los clientes es finita, sin embargo

dicha área es muy amplia y no tiene un efecto considerable.

Una de los indicadores que los administradores vigilan constantemente es la cantidad de

trabajo en proceso que se acumula frente a las estaciones, y por lo regular se establecen

límites máximos de piezas formadas. Las razones para mantener o fijar límites son de

espacio o bien económicas.

Cuando por alguna razón es necesario establecer un límite a la cantidad de trabajo en

proceso, se disparan un conjunto de efectos que deben considerarse ya que impactan en los

indicadores de un sistema.

Figura 1 Sistema en serie con “buffers”

Considere una línea de producción como la de la figura 1. El sistema consta de n estaciones

y hay m buffers. Los clientes entran por la primera estación y van pasando por cada etapa

hasta completar su proceso y salir por la estación n. Cada máquina consta con un solo

servidor y el tiempo de proceso en cada estación es ts,i. En cada estación hay una capacidad

Ki para el trabajo en proceso: bi lugares para los clientes en la cola más el que está siendo

atendido.

¿Qué sucede si la totalidad de los b lugares disponibles frente a una estación i están

ocupados? La limitación de espacio disponible en un sistema da como resultado paros en la

producción en las estaciones, los cuales se propagan tanto hacia atrás como hacia adelante y

su efecto es mayor en la medida en que dichos paros se prolonguen o duren más. Station 1 Buffer 1 Station 2 Buffer 2 Station 3

…

2 Para la estación que se encuentra antes de la máquina i se presenta un fenómeno llamado

bloqueo; este fenómeno le da nombre al hecho de que un cliente no puede pasar a la

siguiente etapa en su proceso porque no hay lugar disponible en el buffer j. Este bloqueo se

propaga hacia todas las estaciones antes de la máquina i generando un acumulamiento de

material en proceso y que puede generar un paro total de la línea.

Figure 2. Propagación del bloqueo hacia atrás (backward)

De igual manera, la falta de material disponible para fabricación debido a las restricciones

de espacio en combinación con una máquina o estación lente tiene como resultado un

fenómeno que se llama falta-de-material (starvation), las máquinas no tienen material para

procesar y permanecen ociosas, este se propaga hacia adelante.

Figura 3 Propagación del bloqueo hacia adelante (forward)

Existen dos mecanismos de bloqueo.

Bloqueo antes de servicio. Cuando el buffer de la estación i+1 no tiene lugar para una

nueva pieza, entonces se manda una señal para no se inicie el proceso de la pieza en la

estación i.

2

1

Backward propagation

Buffer full

2

1

Blocking

Station slow K limited

3

3 Figure 4. Bloqueo Antes de la atención

Bloqueo después del proceso. En este caso la pieza es procesada y una vez que finaliza el

servicio, verifica si existe lugar en la siguiente estación, si lo hay entonces abandona la

máquina, en caso contrario permanece en esta hasta que se libera al menos un lugar.

Figure 5. Bloqueo después de la atención

En Balsamo (2009) se describen otras variantes para cada uno de las clases de bloqueo

mencionadas. En este trabajo se utilizará la correspondiente al BAS para desarrollar un

modelo.

Cálculo del tiempo de residencia en una estación

Suponga que

a. El tiempo de servicio de las estaciones es tsi y sigue una distribución de probabilidad

exponencial

b. La demanda llega exclusivamente por la primera estación, los tiempos entre arribos

siguen una distribución exponencial.

c. Se sigue el mecanismo de bloqueo-después-del-servicio.

Al igual que en los sistemas vistos en el capítulo 3, la línea puede modelarse como una

cadena de Markov, sin embargo el número de estados posibles crece de forma explosiva

STOP

MACHINE

STOP

4 generando un sistema de ecuaciones lineales muy grande que requiere un esfuerzo

computacional considerable para obtener la solución (Song, Takahashi, 1990).

En lugar de ello se recurrirá a una aproximación que se describirá a continuación. En la

figura 5 hay dos estaciones, la estación i tiene espacio suficiente para las piezas que se

forman frente a ella; por otra parte hay un buffer frente a la estación i+1 con bj espacios

disponibles para que se formen las piezas a ser procesadas, entonces la capacidad de la

estación i+1 es Ki+1 = bj +1. Cada estación tiene lugar para procesar una pieza a la vez.

Figura 5 Sistema con dos estaciones y buffer en la parte “central”

Cuando la pieza o cliente entra a la estación i se inicia el proceso de servicio, una vez que

finaliza el proceso el cliente verifica si existe al menos un lugar disponible en la siguiente

estación. Se puede presentar uno de los siguientes casos:

Si hay lugar en la siguiente etapa entonces abandona la estación dejando el espacio

disponible para la siguiente pieza, por otra parte en caso de no haber lugar entonces

permanece más tiempo ocupando la estación (hay un bloqueo), permanecerá ahí hasta que

reciba la señal de que existe al menos un lugar en la siguiente estación, sólo entonces podrá

abandonar la etapa.

Sea el tiempo promedio de residencia (tri) el lapso promedio que permanece ocupada una

estación por una pieza o cliente, y es la suma del tiempo promedio de proceso que requiere

la pieza (tsi ) más el tiempo promedio que la siguiente estación tiene todos los espacios

ocupados (tK,i+1 ) (Buzacott y Shantikumhar, 1991):

1 , ,

,i





r

t

t

t

Si en la estación i+1 existe al menos un lugar entonces tri = tsi y la pieza sólo ocupará la

estación durante el período correspondiente al servicio

Station i

Buffer j

Station i+1

5 Desde el punto de vista de la máquina i, en una operación prolongada, la estación i +1

tendrá períodos en los que tendrá espacio para aceptar clientes y períodos donde el buffer

estará lleno bloqueando a su predecesor.

Figura 6. Bloqueo desde el punto de vista de la máquina i

Desde el punto de vista de la estación i, la duración de los períodos de bloqueo se sucederán

de forma aleatoria. El tiempo promedio que una estación permanece bloqueada es:

i r i K i

K

p

t

t



Sustituyendo en (1) se tiene:

1 , 1 , ,

,i





r

t

p

t

t

El tiempo promedio que la estación i+1 tiene ocupados todos los espacios es pK,i+1tr,i+1; si se

trata de un sistema con estaciones M/M/1/K entonces pK,i es la probabilidad de que todos

los lugares estén ocupados (Takahashi, Hasegawa y Miyahara, 1980):









i i K i i K i i K _i i

p   _

       _ ; 1 1 1

, (4)

Substituyendo en (3):









  _{K ri}

i i K i i s i

r t t

t i i    (5)

Donde ρi+1 = λe,i t r,i+1. Se debe recordar que el flujo de salida en estaciones M/M/1/K se

denota como λe,i y en un sistema en serie la salida de la estación i se convierte en el flujo de

entrada del a estación i+1.

Se aplicará la expresión 5 de manera recursiva al sistema de la figura 7. Las estaciones son

M/M/1/K. Iniciando con la última estación.

Blocking Blocking _Blocking

6 Figura 7 Sistema con “tres” estaciones y tres “buffers”

La estación 3 es la última por lo que el tiempo promedio de residencia es igual al tiempo

promedio de servicio, es decir tr3 = ts3. Continuando con la estación 2 se tiene:









r t t

t        (6)

Donde ρ3 = λe,2 t r,3. Para la estación 1 se tiene:









r t t

t        (7)

La congestión de la estación 2 es ρ2 = λe,1 tr,2 ; en el caso de la estación 1 la congestión es ρ1

= λe,1t r,1. La salida efectiva de la estación i es: λe,i= (1-pk,i)λe,i-1 y se obtiene una vez que se

conoce pk, i. La ecuación recursiva se utiliza en el siguiente algoritmo para calcular las

propiedades de un sistema con buffers:

Leer parámetrosn, ts,i , Ki , λ1 Termina = Falso

tr,i= ts,i para i=n, …,1

λ1λe,i para i=n, … ,1 Calcule: ρi

Resuelva las ecuaciones de flujo

Para i= n,…,1

Hacer

Calcule pk,i con (5)

Calcule tr,i = ts,i + pk,itri+1

Actualice el flujo a la salida λe,i= (1-pk,i)λe,i-1 i=n,…, 1

1iteraciones Hacer

Para i= n, …, 1

Calcule ρi

Calcule pK,i con (5)

7 Calcule tr,i = ts,i + pk,itri+1

Actualice el flujo a la salida λe,i= (1-pk,i)λe,i-1

Iteraciones = iteraciones + 1

Hasta Termina = cierto

Calcule WIPi, TCi, i=n,…,1

Ejemplo 1

El tiempo de servicio y la capacidad de tres estaciones se muestran en la siguiente tabla:

Tabla 1. Datos de las estaciones

Estación 1 2 3

ts,i(min) 1/3 1/3 1/3

Ki 5 5 5

La demanda es de 4.0 clientes por minuto. Suponga que los tiempos entre arribos y el

tiempo de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial. En la tabla 2 se

muestran los resultados obtenidos después de aplicar el procedimiento expuesto

anteriormente, comparándolos con simulación.

Tabla 2. Desempeño del sistema

Analítico

Estación WIPi TCi

1

2

8 Ejemplo 2.

Suponga ahora que los tiempos de servicio son los siguientes ts =[ 1/5, 1/6, 1/5]. Complete

la tabla de abajo.

Tabla 3. Desempeño del Sistema

Analítico

Estación WIPi WIPi

1

2

3

El fenómeno del Tazón

Ejemplo 3. Suponga que tiene una línea de producción con las siguientes características:

Tabla 4. Desempeño del Sistema

Tasa de servicio

Capacidad (K)

Buffer = Capacidad - 1

1.1 5 4

1.1 5 4

1.1 5 4

Todas las estaciones tienen el mismo tiempo de servicio (balanceada) y tienen capacidad limitada en la fila. Las estaciones son de tipo markoviano. La demanda es de 1 pieza por unidad de tiempo. El costo de espera es $4.5 y el costo de servicio es de $1.75, son iguales para las tres estaciones, el ingreso por pieza fabricada es de $100.0.

Una estrategia para incrementar el “throughput”(Th) de la línea de producción consiste en romper el balance haciendo que las máquinas del centro trabajen más rápido (las máquinas de los extremos más lento). Esta estrategia no toma en cuenta la variabilidad de las

9 Figura 1. Línea de producción balanceada (tiempo de servicio igual en todas las estaciones, misma capacidad en cada estación).

Figura 2. Fenómeno del tazón: Las estaciones de la parte central trabajan más rápido que las estaciones de los extremos.

Se sabe que el incremento en el valor del Th está en el intervalo de 1 – 2%. A medida que se incrementa el número de estaciones en la línea de producción. Los estudios más

recientes indican que aún con tiempos de servicio deterministas, es conveniente tomar en cuenta la opción de sistemas de producción desbalanceados.

Prueba 1. Incremente la velocidad de operación de la estación 3 hasta encontrar la ganancia máxima de la línea realizando incrementos de 0.5 unidades. Registre la ganancia y regrese a las condiciones originales.

Prueba 2. Realice el mismo estudio, pero ahora con la estación 2 (centro).

Bibliografía

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Hillier, F.S., and So, K.C. (1991), "The effect of the coefficient of variation of operation times on the allocation of storage space in production line systems", IIE Transactions 23, 198-206.

Estación 1 2 3 4 5

10 Hillier, F.S., and So, K.C. (1993), "Some data for applying the bowl phenomenon to large production line systems", International Journal of Production Research, 31, 811-822.

Hillier, F.S., So, K.C., and Boling, R.W. (1993), "Towards characterizing the optimal allocation of storage space in production line systems with variable processing times", Management Science 39, 126-133.

Hillier, F.S., So, K.C. (1996) On the robustness of the bowl phenomenon. European Journal of Operational Research, 89. Pp 496-515.

Castellucci, P.B., Costa, A.M. (2015) A NEW LOOK AT THE BOWL PHENOMENON. Pesqui. Oper. vol.35 no.1 Rio de Janeiro Jan./Apr. 2015

M. Hillier (2013). Designing unpaced production lines to optimize throughput and work-in-process inventory. IIE Transactions (45), 5, 516 – 527.