301 MATEMATICAS I

(1)

B9

301

B9

Resuelve ecuaciones cuadráticas I

IV. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completando a trinomio cuadrado perfecto; comprueba que las raíces encontradas son correctas.

1. _x2_{− − =}_{x 1 0} 2. _x2₋_{3x 2 0}_{− =} 3. _x2₊_{10x 20 0}₊ ₌ 4. _2x2₊_{4x 6 0}_{− =} 5. _x2₋_{5x 24 0}₊ ₌ 6. _2x2₋_{8x 5 0}_{− =} 7. _3x2₋_{12x 15 0}₊ ₌ 8. _x2₊_{6x 4 0}_{− =} 9. _x2₋_{2x 10 0}₋ ₌ 10. _x2₋_{5x 2 0}_{+ =} 11. _60x2₋_{30x 120 0}₊ ₌ 12. _10x2₋_{30x 1 0}_{+ =}

V. A partir de las ecuaciones modeladas en el ejercicio anterior, encuentra la solución de cada una de ellas aplicando un método algebraico.

1. Encuentra el número distinto de cero que es igual al doble de su cuadrado.

2. Si al doble del cuadrado de un número se le resta el triple del mismo el resultado es cero. Halla el número, si éste es distinto de cero.

3. En un rectángulo, la base mide el triple que la altura. Si se disminuye en 1

centímetro cada lado, el área inicial disminuye en 15 centímetros. Calcular las dimensiones y el área del rectángulo inicial.

4. Halla 3 números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le restan los cuadrados de los otros 2, se obtiene como resultado 7.

5. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo, ¿cuántos años tiene ahora cada uno?

VI. En equipos resuelvan los siguientes problemas, cuya solución será expuesta en plenaria.

(2)

B9

2. Un número positivo es 3/5 de otro y su producto es 2160. Encuentra los números.

3. Paola tiene tres años más que Brenda y el cuadrado de la edad de Adriana aumentado en el cuadrado de la edad de Brenda equivale a 317 años. Determina ambas edades.

4. Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. ¿Cuáles son los números?

5. El cuadrado de un número disminuido en 9, equivale a 8 veces el exceso del número sobre 2. Obtiene tales números.

6. Un tren ha recorrido 200 km en cierto tiempo. Para haber recorrido esa distancia en 1 hora menos, la velocidad debía haber sido 10 km /h. Encuentra la velocidad del tren.

7. Una empresa vende calzado deportivo a $40 el par si se piden menos de 50

pares. Si se compran 50 o más, hasta 600, el precio del par se reduce a una tasa de $.04 por el número requerido. ¿Cuántos pares se pueden comprar con $1800?

8. Se desea usar una hoja de papel de 24 cmx 36 cmpara un cartel rectangular cuyo largo sea vertical. Los márgenes a los lados y en la parte superior deben tener igual anchura, pero el margen inferior debe tener doble anchura que los demás. Calcula el ancho de los márgenes si el área impresa debe tener 661.5 cm2_.

9. Una pelota de beisbol se arroja directa hacia arriba con una velocidad inicial de

64 pies/s. El número de pies s, sobre el terreno después de t segundos, está expresado por la ecuación: s = -16 t2_{+ 64 t}_{. ¿Cuándo estará la pelota a}₄₈_pies

sobre el terreno?

Resuelve en tu cuaderno de notas cada una de las situaciones planteadas, determinando en cada uno de ellas: ecuación cuadrática y método algebraico de solución. Elije la opción que muestra el resultado correcto a cada una.

1. Juan Antonio tiene un terreno de forma cuadrada con un área de 289 m2_{, que quiere} emplear como corral. ¿Cuántos metros de tela de alambre va a necesitar para cercarlo por los cuatro lados?

a) 13 b) 15 c) 17 d) 19

(3)

B9

303

B9

2.Si se aumenta en 4 cm el lado de un cuadrado, su área aumenta en 104 cm2_. Calcular el área y perímetro del cuadrado inicial.

a) Área: 121 cm2 Perímetro: 44 cm

c) Área: 144 cm2 Perímetro: 48 cm

b) Área: 81 cm2 Perímetro: 36 cm

d) Área: 169 cm2 Perímetro: 52 cm

3. Determina el valor de m para que la ecuación 2x2_{- 4x + m = 0}_{tenga una raíz}

cuadrática doble (de multiplicidad 2).

a) m = 0 b) m = 1 c) m = 2 d) m = 3

4. Calcula el valor de x para el siguiente par de ecuaciones:

(

)

2 2

3x y 12 y 2 2 x 2

+ =

+ = +

a) x= ± 2 b) x 2= _c)x 3= _d)_x= ± ₃

5. En un laboratorio se estudia el crecimiento de una bacteria peligrosa; el estudio de su comportamiento fue encargado a Hugo, pero, se durmió y sólo alcanzó a registrar los datos mostrados en la siguiente tabla:

Hora (x) Crecimiento de una bacteria (y)

1 4

3 12

28 7

84

11 124

¿Cuál es la expresión algebraica que debió encontrar Hugo para determinar los valores que faltan y así establecer la relación entre ambas columnas?

a) _{y x}₌ 2₊₃

b) y x 3= +

c) _{y 3x}₌ 2

(4)

B9

Evaluación formativa

A partir de la situación planteada realiza lo que se pide.

Dos obreros tardan 12 horas en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardarían en hacerlo separadamente, si uno tarda 5 horas más que el otro?

a) Encuentra la ecuación cuadrática que modela la situación.

b) Resuelve la ecuación cuadrática aplicando un método algebraico.

c) Verifica que el primer obrero tarda en realizar el trabajo, él solo, 21.75 horas, es decir, 21 horas y 45 minutos; el segundo obrero tarda 5 horas más, es decir,

26 horas y 45 minutos.

(5)

B9

305

B9

Escala de rango Nombre del alumno:

Escala de valoración:

0 Nulo 1 Deficiente 2 Aceptable 3 Satisfactorio

Aspectos observables Sí No Estimación Comprendió la situación del planteada

Encontró la ecuación cuadrática correctamente Resolvió la ecuación por algún método algebraico Se verificaron los resultados

TOTAL: Cal=Total×10

12 =

(6)

BL

OQUE

10

Saberes

Conocimientos

Habilidades

Actitudes y valores

»

SUGERENCIA DE EVIDENCIAS

DE

APRENDIZAJE

»

UNIDAD DE

COMPETENCIA

»

• Identifica la relación entre funciones y ecuaciones cuadráticas.

• Reconoce la ecuación en dos variables

y=ax2_{+bx+c, como la forma de la función}

cuadrática, y las ecuaciones en una variable

d=ax2_{+bx+c, como casos particulares de la}

anterior.

• Describe la función cuadrática en la forma

estándar y=a(x–h)2_{+k para trazar su gráfica.}

• Comprende el efecto del parámetro a en el

ancho y concavidad de la parábola, y asocia las intersecciones-x de ésta con las raíces de

ax2_+bx+c=₀_.

• Interpreta la fórmula cuadrática.

(7)

BL

OQUE

10

Saberes

Conocimientos

Habilidades

Actitudes y valores

»

SUGERENCIA DE EVIDENCIAS

DE

APRENDIZAJE

»

UNIDAD DE

COMPETENCIA

»

Construye e interpreta modelos

aritméticos, algebraicos y gráficos aplicando las propiedades de los números reales y expresiones algebraicas,

relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y resolución de situaciones y/o problemas algebraicos, concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.

Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje algebraico.

• Explica que la ecuación cuadrática en dos

variables y=ax2_{+bx+c, representa una}

relación funcional entre las variables porque para cada valor de x obtiene un único valor para y.

• Obtiene el valor de los parámetros a, b y c, de una ecuación cuadrática.

• Traza las gráficas de funciones cuadráticas tabulando valores y las identifica como parábolas verticales.

• Tabula puntos cercanos al vértice, para obtener éste mediante tanteos y aproximaciones y lo identifica como el punto más alto o más bajo de una parábola. • Escribe la forma estándar de la función

cuadrática para ubicar el vértice (h, k) de la parábola y trazar ésta calculando valores de x alrededor de h.

• Anticipa la concavidad de la parábola mediante el signo del parámetro a y compara el ancho de distintas parábolas, mediante el valor absoluto del parámetro a. • Identifica gráficamente cuándo la ecuación

cuadrática ax2_+bx+c=₀_{posee una, dos, o}

ninguna solución real.

• Calcula el valor del determinante b2_–_4ac_,

para anticipar la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática.

• Resuelve o formula problemas de su entorno, u otros ámbitos, que pueden representarse y solucionarse mediante una ecuación o una función cuadrática.

• Elabora o interpreta gráficas y tablas utilizando distintas escalas y realizando las correspondientes conversiones de unidades, en situaciones diversas que conllevan el uso de funciones y ecuaciones cuadráticas.

• Resuelve ecuaciones cuadráticas por métodos numéricos y gráficos.

• Representa y resuelve situaciones mediante ecuaciones y funciones cuadráticas.

• Transita de ecuaciones a funciones cuadráticas, y viceversa, al representar y solucionar diversas situaciones.

• Ejecuta instrucciones y procedimientos propios de las ecuaciones cuadráticas de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

• Describe el proceso para hallar las soluciones de una ecuación cuadrática mediante la fórmula general.

• Interpreta la naturaleza real o compleja de las raíces, a partir del discriminante cuadrático.

• Valora la importancia de la conexión entre funciones y ecuaciones cuadráticas, para examinar y solucionar situaciones. • Aprecia las representaciones gráficas de

funciones cuadráticas como instrumento de análisis visual de su comportamiento. • Aprecia la utilidad de la fórmula cuadrática

(8)

B10

Las ecuaciones cuadráticas tienen su representación gráfica para lo cual se establece una relación con la función cuadrática; además, existe un método de solución por fórmula general. Éstos son los temas para el desarrollo del presente bloque.

Efectúa en tu cuaderno los siguientes ejercicios y subraya la opción que muestra el resultado correcto.

1. ¿Cuál enunciado corresponde a la expresión _x2 y

2

+ ?

a) La mitad del cuadrado de un número más otro. b) El cuadrado de un número más la mitad de otro.

c) La suma del cuadrado de un número con la mitad de otro. d) El cuadrado de la mitad de dos números.

2. Los valores de x en la ecuación

(

x 7−

)

2=25 son:

a) 1

2 x 5 x 7 = = b) 1 2 x 2 x 12 = = c) 1 2 x 2 x 12 = − = d) 1 2 x 5 x 7 = = −

3. Los valores de x en la ecuación _x2_{= −}₆₄ _son:

a) 1

2

x 8i x 8i

=

= − b) 1 2

x 8 x 8

=

= − c)

1 2

x 32 x 32

=

= − d)

1 2 x 32i x 32i = = −

4. ¿Cuál es la gráfica que corresponde a la ecuación _{y x}₌ 2₋₁

INTRODUCCIÓN

(9)

B10

309

B10

Resuleve ecuaciones cuadráticas II

a) b)

c) d)

5.Una expresión equivalente a −9en el conjunto de números complejos es:

a) 9i b) – 9 c) – 3 d) 3i

6. ¿Cuántas raíces puede tener una ecuación cuadrática de la formaax2_{+ bx + c =0}_?

__________________________________________________________________

7. ¿Qué nombre recibe la gráfica de una ecuación cuadrática?______________________

8. ¿Qué valor toma la expresión x b b2 4ac

2a

− + −

= para a 2, b 4 y c= = = −6?

(10)

B10

9. Y, ¿qué valor toma la expresión

2

b b 4ac x

2a

− − −

= también para a 2, b 4 y c= = = −6?

a) x 3= b) x= −2 c) x= −3 d) x 2=

Relacionando la ecuación cuadrática con su gráfica

Organizados en equipos de tres integrantes, y monitoreados por su profesor, realicen los cálculos necesarios, registrándolos en su cuaderno de notas, para encontrar la ecuación cuadrática que modele la situación planteada, así como su respuesta correspondiente.

Vamos a poner en prueba sus habilidades, jugando a las adivinanzas:

1. ¿Cuántas monedas tengo en mi bolsillo, si al multiplicar el número de monedas que

poseo por el mismo número menos cuatro, obtengo 21?

a) ¿Cómo se puede expresar algebraicamente la situación anterior?

b) ¿Qué similitud encuentras entre esta expresión encontrada y las ecuaciones de las fórmulas que determinan el área de un cuadrado, un círculo y un rectángulo?

Si sabemos que:

2. ¿Qúe dio el área de un rectángulo?

Con base en la ecuación_{y x}₌ 2_{+ −}_{x 2}_{, completen la siguiente tabulación:}

x -3 -2 -1 0 1 2

y

a) Ubiquen las coordenadas

( )

x,y obtenidas en la tabulación, en el plano, e

intenten trazar la gráfica correspondiente.

(11)

B10

311

B10

b) ¿Qué características pueden mencionar de la gráfica obtenida?

c) ¿Para qué valor de x se tiene y = 0?

d) ¿Qué pueden conjeturar acerca de las tres representaciones del área del rectángulo: figura, ecuación y gráfica

e) Grafiquen también la ecuación del área del cuadrado _{y x}₌ 2

f) Hagan comparaciones entre las dos gráficas obtenidas de las fórmulas de un rectángulo y del cuadrado.

Al finalizar, elíjase uno de los equipos para exponer sus resultados frente al grupo.

Un método más, donde podemos encontrar y observar la solución de una ecuación cuadrática es el de la representación gráfica de una ecuación cuadrática o de segundo grado, lo cual es una parábola. Esta representación se establece a partir de la expresión _{y ax}₌ 2₊_{bx c}₊ _{la cual podemos referir como} función cuadrática, pues es una expresión en dos variables en donde el valor de una de ellas y, corresponde uno y sólo un valor sujeto al valor que reciba x.

(12)

B10

Una función cuadrática es una expresión de la forma 2

y ax= +bx c+ , o bien, _{f x}

( )

₌_ax2₊_{bx c}₊ _{, con a, b, c,}_a,b,c_∈__.

Para graficar una función cuadrática puede aplicarse el método de tabulación, en el cual se le asignan valores a x, para que al ser sustituidos en la función

2

y ax= +bx c+ , se tengan los valores de y, obteniendo parejas ordenadas que se representan en el plano cartesiano para lograr trazar la gráfica.

En la parábola debemos reconocer un elemento importante llamado vértice, que es el punto donde la curva cambia de dirección, o bien, el punto más bajo o más alto de la parábola; la coordenada de este vértice se denota por (h, k), como se observa en las siguientes figuras.

A partir del vértice, podemos describir la función cuadrática en su forma estándar:

(

)

2

y a x h= − +k

de donde puede trazarse también la parábola.

Si tenemos la función cuadrática de la forma _{y ax}₌ 2₊_{bx c}₊ _{, deducimos la} forma estándar

(

)

2

y a x h= − +k como sigue:

2 2

2

2 2

y ax bx c b y a x x c

a b

y a x x c a

b b

y a x c

2a 4a = + +   = _ + _+     = _ + + _+ −       = _ + _ +_ − _     2 2 b b 4a 4a

La solución de la ecuación 2

ax +bx c 0+ = es el valor(es) de x que satisfacen la igualdad, y por ser un caso particular de la función

2

(13)

B10

313

B10

Si hacemos: h b y k c b2

2a 4a

= = −

Tenemos:

₍

₎

2

y a x h= − +k

Así, para determinar el vértice (h, k) a partir de la función cuadrática 2

y ax= +bx c+ tendremos por fórmula b, c b2 2a 4a

 

−

 

 , pues 2

b b

h y k c

2a 4a

= = −

Los valores que corresponden a la solución de una ecuación cuadrática 2

ax +bx c 0+ = , se denominan raíces o soluciones de la ecuación; éstas se observan gráficamente como sigue:

• Una ecuación cuadrática puede tener dos raíces; es decir, la parábola corta dos puntos del eje x.

• Una ecuación cuadrática puede tener sólo una raíz; es decir, la parábola corta sólo un punto del eje x.

• Si la parábola no corta ningún punto del eje x, entonces la ecuación cuadrática no tiene raíces reales; éstas son imaginarias.

Ejemplos

I. A continuación, se hace una tabulación para graficar la función cuadrática indicada,

de la forma_{y ax}₌ 2₊_{bx c}₊ _{y, a partir de ésta, se visualiza la solución o raíces de la}

(14)

B10

1. Graficar _{y x}₌ 2_{+ −}_{x 6}

Tabulación:

x y P(x, y)

–4 y = (–4)2_{+ (–4) – 6 = 6} _P_{(–4, 6)} –3 y = (–3)2_{+ (–3) – 6 = 0} _P_{(–3, 0)} –2 y = (–2)2_{+ (–2) – 6 = – 4} _P_{(–2, – 4)} –1 y = (–1)2_{+ (–1) – 6 = – 6} _P_{(–1, –6)} 0 y = (0)2_{+ (0) – 6 = – 6} _P_{(0, –6)} 1 y = (1)2_{+ (1) – 6 = – 4} _P_{(1, –4)} 2 y = (2)2_{+ (2) – 6 = 0} _P_{(2, 0)}

Gráfica:

En este ejemplo, podemos visualizar con claridad que las abscisas de las intersecciones

de la parábola con el eje x son: –3 y 2; luego, las soluciones o raíces de la ecuación

2

x + − =x 6 0 son:x₁ = –3 y x₂ = 2

Comprobación: Parax₁ = – 3

(–3)2 _{+ (–3) – 6 = 0}

9 – 3 – 6 = 0 0 = 0

Parax₂ = 2

(2)2 _{+ (2) – 6 = 0}

4 + 2 – 6 = 0 0 = 0 El método gráfico de

solución de la ecuación 2

(15)

B10

315

B10

Al sustituir las raíces en la ecuación, se verifica que son correctas.

II. Ahora, en estos ejemplos, observemos que a partir de visualizar las raíces de

la ecuación cuadrática en la gráfica, podremos deducir la ecuación cuadrática misma, así como la función lineal, aun si las raíces son imaginarias.

1.

Para esta gráfica, como las raíces son:

1 2

x =5, x =7, a partir del método de

factorización, deducimos:

Ecuación cuadrática :

(

)(

)

2

x 3 x 1 0 x 2x 3 0

+ − = + − =

Función cuadrática: _{y x}₌ 2₊_{2x 3}₋

2.

Para esta gráfica, como las raíces son:

1 2

x = −5, x =0, a partir del método de

Ecuación cuadrática:

(

)(

)

2

x 5 x 0 0 x 5x 0

+ + =

+ =

Función cuadrática: _{y x}₌ 2₊_5x

3.

Para esta gráfica,como las raíces

son: x1=2, x2=6, a partir del método

de factorización y atendiendo que la parábola se abre hacia abajo, deducimos:

4.

Para esta gráfica , como la raíz

es:x1=0, a partir del método de

factorización y atendiendo que la parábola se abre hacia abajo, deducimos:

(16)

B10

(

)(

)

2

x 2 x 6 0 x 8x 12 0

− − − =

− + − =

Función cuadrática: _y_{= − +}_x2 _{8x 12}₋

(

)

2 2

x 0 0 x 0

− + = − =

Función cuadrática: _y_{= −}_x2

5.

Para esta gráfica, como la raíz

es: x1=3, a partir del método de

(

)

2 2

x 3 0 x 6x 9 0

− = − + =

Función cuadrática:_{y x}₌ 2₋_{6x 9}₊

6 .

Para esta gráfica , como la raíz es: x₁=

-4, a partir del método de factorización,

deducimos:

(

)

2 2

x 4 0 x 8x 16 0

+ =

+ + =

Función cuadrática:_{y x}₌ 2₊_{8x 16}₊

7. 8.

(17)

B10

317

B10

7. Para esta gráfica, como las raíces

son imaginarias, deduciremos la ecuación de la siguiente manera: Partimos de la función cuadrática en

su forma estándar y a x h=

(

−

)

2+k

, y sustituimos en ella el vértice

( ) (

h,k = −4,4

)

y un punto

( ) (

x,y = −3,5

)

identificados en la parábola, para determinar así el valor

de a.

8. Para esta gráfica, como las raíces son

imaginarias, deduciremos la ecuación de la siguiente manera:

Partimos de la función cuadrática en su

forma estándar y = a(x - h)2_{+ k, y sustituimos}

en ella un vértice aprox.

( )

h,k 1 8,

2 3

 

=_ − _

 

y un punto

( ) (

x,y = 0, 3−

)

_{identificados}

en la parábola, para determinar así el

valor de a.

(

)

( )

(

)

( )

2 2

y a x h k 5 a 3 4 4 5 a 1 4

a 5 4 a 1 = − + = − − − + = + = − =

Con este valor, determinamos la función cuadrática en su forma estándar como:

(

)

2

y= x 4+ +4

Es decir:

Función cuadrática: _{y x}₌ 2₊_{8x 20}₊

Ecuación cuadrática: _x2₊_{8x 20 0}₊ ₌

(

)

2 2 y a x h k

1 8

3 a 0

2 3

1 8 3 a

4 3 8 a 4 3

3 1 4 a 4 3 3 = − +    − = _ −_{ }_ −       − = _{ }−     = _− + _   −   = _− _=  

Con este valor, determinamos la función cuadrática en su forma estándar como:

2

4 1 8

y x

3 2 3

 

= − _ − _ −

 

Es decir:

Función cuadrática: _y 4_x2 4_{x 3}

3 3

= − + −

Ecuación cuadrática: 4x2 4x 3 0

3 3

− + − =

Hemos esperado hasta este momento para estudiar otro método algebraico de solución de una ecuación cuadrática, siendo ésta completa o incompleta, es por fórmula general.

FÓRMULA GENERAL

(18)

B10

Para resolver la ecuación _ax2₊_{bx c 0}_{+ =} _{, bastará identificar los coeficientes} de los términos de la ecuación cuadrática y sustituirlos en la fórmula general.

La fórmula general que permite encontrar las soluciones de la ecuación

ax2_{+ bx + c =}₀_es:

2

b b 4ac x

2a

− ± − =

Donde:

a es el coeficiente del término cuadrático.

b es el coeficiente del término lineal.

c es el término independiente.

(Esta fórmula se justifica en el caso 2 del método por factorización antes descrito).

La expresión b2 _–₄_{ac se llama discriminante y determina las soluciones de la} ecuación cuadrática bajo las condiciones siguientes:

• Si b2 _–₄_{ac >}₀_{, la ecuación tiene dos soluciones reales.}

• Si b2 _–₄_{ac =}₀_{, la ecuación tiene una solución real.}

• Si b2 _–₄_{ac <}₀_{, la ecuación tiene dos soluciones complejas (imaginarias).}

Ejemplos

I. Resolvamos ecuaciones cuadráticas aplicando la fórmula general, y realicemos también su comprobación.

1. 3x2_{– 4}_x_{+ 1 = 0}

Se identifican los coeficientes de los términos: a = 3, b = – 4 y c = 1

Estos valores se sustituyen en la fórmula general:

2

b b 4ac x

2a

− ± − =

Donde:

( ) ( )

( )( )

( )

2

4 4 4 3 1 x

2 3

(19)

B10

319

B10

Simplificando:

1

2

4 2 6

x 1

4 16 12 4 4 4 2 6 6 x

4 2 2 1

6 6 6 _x

6 6 3

+  ₌ _{= =}  ± − ± ±  = = = =_ −  ₌ _{= =} 

Así, las soluciones o raíces del sistema son: 1 2

1 x 1 y x

3

= =

Comprobación:

Para x₁ = 1 Para x₂ =

1

3 ( )

2

( )

3 1 4 1 1 0 3 4 1 0 4 4 0 0 0 − + = − + = − = = 2 1 1

3 4 1 0

3 3

1 4 _{1 0} 3 3

1 1 0 0 0   ₋  _{+ =}         − + = − + = = 2. 4x2_–_{4x + 1 = 0}

Se identifica: a = 4, b = – 4 y c = 1

2

b b 4ac x 2a − ± − = Donde:

_{( ) ( )}

_{( )( )}

( )

2

4 4 4 4 1 x

2 4

− − ± − − =

4 16 16 4 0 4 2 1

x ,de donde x

8 8 8 4 2

± − ±

= = = = =

Así, la solución o raíz del sistema es: 1

1 x 2 = Comprobación: 2 1 1

4 4 1 0

2 2

(20)

B10

3. 5x2_{- 4x + 1 = 0}

Se identifica: a = 5, b = – 4 y c = 1

2

b b 4ac x 2a − ± − = Donde:

( ) ( )

( )( )

( )

2

4 4 4 5 1 x

2 5

− − ± − − =

( )

4 16 20 x

10

4 4 1 4 4

10 10

4 4 1 10 4 2i 10 ± − = ± − ± − = = ± − = ± =

Luego, 1

2

4 2i 2 i x

10 10 5 5 4 2i 2 i x

10 10 5 5

 ₌ ₊ _{= +}

 

 = − = − 

Así, las soluciones o raíces del sistema son imaginarias:

x1 i y x2 i

2 5 5

= + = −

I. Relaciona las siguientes ecuaciones cuadráticas con su correspondiente función

cuadrática, construye la gráfica e identifica gráficamente, las raíces de la ecuación.

1. _x2_{+ =}_{9 0} 2. _3x2₊_{12 0}₌ 3. ₋_2x2₋_{10 0}₌

4. _7x2_{+ =}_{11 0} 5. _5x2₋_{15 0}₌ 6. ₋_81x2₋_{16 0}₌

Actividad

Una raíz imaginaria es un número cuyo cuadrado es negativo; se representa como bi, donde b es un número real e i es la unidad imaginaria con la propiedad siguiente:

i2_{= – 1}_{, de donde i =} ₋₁

Las soluciones

(21)

B10

321

B10

7. _{− +}_x2 _{18 0}₌ 8. _8x2₊_{20 0}₌ 9. 1_x2 _{4 0}

2 − =

10. _x2₊_{3x 0}₌ 11. _3x2₋_{9x 0}₌ 12. _{− −}_x2 _{4x 0}₌ 13. _14x2₋_{17x 0}₌ 14. ₋_5x2₋_{20x 0}₌ 15. _12x2₋_{48x 0}₌ 16. ₋_3x2₋_{18x 0}₌ 17. 1_x2 1_{x 0}

2 +3 =

18. 1_x2 4_{x 0}

2 −3 =

19. _x2_{− − =}_{x 2 0} 20. _x2₋_{3x 4 0}_{− =} 21. _x2₊_{10x 25 0}₊ ₌ 22. _2x2₊_{5x 3 0}_{− =} 23. _x2₋_{10x 24 0}₊ ₌ 24. _2x2₋_{3x 5 0}_{− =}

25. _3x2₋_{12x 12 0}₊ ₌ 26. _x2₊_{5x 6 0}_{− =} 27. _x2₋_{2x 15 0}₋ ₌ 28. _3x2₋_{5x 2 0}_{+ =} 29. ₋_63x2₋_{29x 4 0}_{+ =} 30. ₋_65x2₋_{29x 4 0}_{+ =} 31. _x2_{− − =}_{x 1 0} 32. _x2₋_{3x 2 0}_{− =} 33. _x2₊_{10x 20 0}₊ ₌ 34. _2x2₊_{4x 6 0}_{− =} 35. _x2₋_{5x 24 0}₊ ₌ 36. _2x2₋_{8x 5 0}_{− =} 37. _3x2₋_{12x 15 0}₊ ₌ 38. _x2₊_{6x 4 0}_{− =} 39. _x2₋_{2x 10 0}₋ ₌ 40. _x2₋_{5x 2 0}_{+ =} 41. _60x2₋_{30x 120 0}₊ ₌ 42. _10x2₋_{30x 1 0}_{+ =}

II. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas aplicando la fórmula general,

(22)

B10

1. _x2₋_{3x 4 0}_{+ =}

2._2x2₋_{5x 2 0}_{+ =}

(23)

B10

323

B10

4. _x2₊_{6x 9 0}_{+ =}

5. _2x2₋_{5x 1 0}_{+ =}

(24)

B10

7._3x2₋_{8x 5 0}_{+ =}

8. ₋_3x2₊_{6x 2 0}_{− =}

III. Diseña la ecuación que modele las situaciones planteadas y encuentra la solución

a cada una.

1. Encuentra el número distinto de cero que es igual al doble de su cuadrado.

2. Si al doble del cuadrado de un número se le resta el triple del mismo el resultado

es cero. Halla el número, si éste es distinto de cero.

3. En un rectángulo, la base mide el triple que la altura. Si se disminuye1centímetro

cada lado, el área inicial disminuye15centímetros. Calcula las dimensiones y el

área del rectángulo inicial.

4. Halla3números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le

restan los cuadrados de los otros2, se obtiene como resultado 7.

5. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de24años la edad

(25)

B10

325

B10

IV. Mediante la visualización, obtén las raíces de la ecuación cuadrática representada

en cada una de las gráficas siguientes, además, usa tu cuaderno de notas para determinar la ecuación cuadrática y función cuadrática correspondientes.

1.

Ecuación cuadrática: Función cuadrática:

2.

3.

4.

(26)

B10

7.

8.

Elije la opción correcta en cada uno de los ejercicios y resuelve en tu cuaderno de notas la ecuación correspondiente a cada ejercicio aplicando la fórmula general.

1. ¿Cuál es la gráfica que representa correctamente los valores numéricos de la

ecuación _y_{= − +}_x2 _8x_?

a) b)

(27)

B10

327

B10

c) d)

2. ¿Cuál es la función cuadrática que se relaciona con la siguiente gráfica

a) _{y x}₌ 2₋_{2x 2}₊

b) _{y x}₌ 2₋_{2x 2}₋

c) _{y x}₌ 2₊_{2x 2}₋

d) _{y x}₌ 2₊_{2x 2}₊

3. Identifica la gráfica de la función:_{y x}₌ 2₊_{2x 1}₋

a) b)

(28)

B10

c) d)

4. ¿Cuál es la función cuadrática que se relaciona con la gráfica?

a) _y_{= − +}_x2 _{4x 3}₋ b) _y_{= − +}_x2 _{4x 3}₊

c) _y_{= − −}_x2 _{4x 3}₋

d) _y_{= − −}_x2 _{4x 3}₊

A partir de la situación planteada realiza lo que se pide.

1. En un laboratorio médico se investiga el crecimiento de la bacteria que produce el

cólera. Para ello se coloca la bacteria en una caja de petri con agua y componentes

nutrimentales. En la gráfica se representa el número de bacterias durante las primeras horas del experimento.

(29)

B10

329

B10

a) ¿Cuál es la ecuación que relaciona la gráfica y hace corresponder el número de bacterias con el tiempo transcurrido?

a) y= 1+2x2 _b)_{y= 1+x} _c)_{y= 1+x}2 _d)_{y= 1+4x}

b) ¿Cuántas bacterias había al iniciar el experimento?

c) Si el crecimiento de las bacterias se da de igual manera al transcurrir las

horas, ¿cuántas bacterias habrá después de transcurrir5horas?

Escala de rango

Nombre del alumno:

Escala de valoración:

0 Nulo 1 Deficiente 2 Aceptable 3 Satisfactorio

Aspectos observables Sí No Estimación

Comprendió la situación del planteada

Encontró la ecuación cuadrática correctamente Resolvió la ecuación por algún método algebraico Se verificaron los resultados

Total: Cal=Total×10

12 =

Observaciones:

(30)

(31)

330

B10

Bibliografía

Arriaga Coronilla, Alfonso y et al (2009). Matemáticas I. México, Progreso Editorial

Baldor, Aurelio (2006). Álgebra. México, Ultra.

Baldor, Aurelio (1974). Aritmética. Barcelona, Cultural Centroamericana. Barnett, Raymond A. (1987). Álgebra. México, McGraw-Hill.

Gobran, Alfonse (1995). Álgebra elemental. México, Iberoamérica.

Kaseberg, Alice (2001). Álgebra elemental, un enfoque justo a tiempo. México, Thomson Internacional.

Northop, Eugene (2002). Paradojas matemáticas. México, Limusa. Perelman,Yakov (2001). Álgebra recreativa. México, Quinto Sol.

Perero, Mariano (1994). Historia e historias de matemáticas. México, Grupo Editorial Iberoamérica.

Philips, Elizabeth P. et. al (1999). Álgebra con aplicaciones. México, Oxford University Press.

Pulido Chiunti, Antonio (2009). Matemáticas I. México, Compañía Editorial Nueva Imagen SA. de CV.

Ríos Hernández, Rosa Isela (2008). Matemáticas I. México, SEV. Schools, Council (1985). Modelos polinomiales. México, CECSA.

Smith, Stanley y et al (2001). Algebra. EUA, Addison-Wesley Iberoamericana. Spiegel, Murray (1992). Álgebra Superior. McGraw-Hill.

Steen, Lynn Arthur (2003). La enseñanza agradable de las matemáticas. México, Limusa.