Demanda clásic

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(1)

ADOLFO GARCÍA DE LASIENRA1

Instituto de Filosofía Facultad de Economía Universidad Veracruzana asienrag@gmail.com

1. La teoría clásica de la demanda

La teoría clásica de la demanda pretende explicar el comportamiento del consumidor, caracterizado por el aparato conceptual de la teoría de la elección, mediante el concepto de preferencia: la aserción es que el con-sumidor demanda lo que demanda precisamente porque posee un cierto ordenamiento de preferencias que de hecho puede ser representado por una cierta función de utilidad. La TCDgenera, a partir de una estructura de preferencia, una serie de funciones. Dada una cierta clase de estruc-turas de preferencia —que aquí llamaré ‘clásicas’— se procede a generar las funciones de demanda walrasiana, indirecta de utilidad, de demanda hicksiana y de gasto. El concepto de estructura de preferencia clásica es introducida en la siguiente definición.

DEFINICIÓN1 Ces unaestructura de preferencia clásicasyss existe

tal que

(0) C=h; i;

(1) Ces una estructura de preferencia regular;

(2)

es estrictamente convexa;

(3)

es localmente insaciada;

(4)

es suave.

TEOREMA1 SeaC=h;

iuna estructura de preferencia clásica. Entonces existe

una función de utilidad u:!Rque representaCy tiene las siguientes

propieda-des:

(1) u es estrictamente cuasicóncava; (2) u es continuamente diferenciable; (3) u(0)=0y u(x)>0para todox6=0.

(2)

Demostración: Los argumentos dados en el capítulo anterior establecen la existencia de una función de utilidad continuamente diferenciable. Para demostrar (1), sean x, x0

elementos arbitrarios de con u(x) u(x 0

) y

x6=x 0

, y sea2(0;1). Tenemos quex

x

0

yx6=x 0

lo cual implica, por la estricta convexidad de

, que

x+(1 )x 0

x

0

; luego,u[x+(1 )x 0

℄>

u(x0

).

Llamaremosnormal a una función de utilidad que represente una es-tructura de preferencia clásica y que posea las propiedades enunciadas en el Teorema.

El problema de calcular el máximo deupara un (p;w) dado es llamado

el problema del consumidor(PC) o el problema de la maximización de la utilidad (PMU). El problema de calcular el mínimo costo de alcanzar un determina-do nivel de utilidad para un sistema de precios dadetermina-dopdado es llamadoel problema de la minimización del gasto(PMG). De hecho cada uno de estos pro-blemas es dual del otro. Estos propro-blemas usualmente se atacan mediante el método de los lagrangianos.

TEOREMA2 SeaC = h;@;ila estructura de elección inducida por la

estruc-tura de preferencia clásicah;

iy u:!Runa función de utilidad normal que

representah;

i. Para cada(p;w) 2 Æ

R

+, la función de utilidad u alcanza

un máximo global en un único punto(x) de B

p;w.

Demostración:Para cualquier par (p;w), el conjuntoBp

;wes compacto. Como

u es continua, el teorema de Weierstrass implica que u tiene un máximo (de hecho, también un mínimo) enBp;w. Si ˆxes el punto en el queuasume

el máximo, tiene que ser único. Pues de lo contrario, comoBp;wes convexo,

six

fuera otra punto de Bp;w con u(x

) = u( ˆx), la combinación convexa xˆ+(1 )x

estaría en Bp;w y sería estrictamente más preferida que ˆx,

debido a la convexidad estricta de

, lo cual es imposible.

DEFINICIÓN2 La función : Æ

R

+

! , que asigna a cada (p;w) 2

Æ

R

+ el único punto de Bp;w en el que u asume el máximo valor, es

llamada lafunción de demanda walrasiana.

(3)

Demostración:Esto se sigue del hecho de que

px w,pxw:

Es decir,Bp;w

=B

p;w.

TEOREMA4 (LEY DEWALRAS) La función de demanda walrasianasatisface

la Ley de Walras.

Demostración: Se requiere demostrar que el punto ˆxen el que u asume el valor máximo enBp;wpertenece al hiperplano

fx2jpx=wg.

Si ˆx2= fx2jpx=wghay una vecindadV de ˆxy un puntox 0

2V\B

p;w

tal quex0

xˆ. Pero ello es imposible porque ˆxes óptimo enB

p;w.

TEOREMA5 La función de demanda walrasianaes continua.

Demostración:Es menester mostrar que, para cualquier sistema (p;w),

vec-tor infinitesimalε2* Æ

y número infinitesimal positivo",

(p+ε;w+") '(p;w):

Para ello procederé del siguiente modo. Siendo p0

= p+εyw 0

= w+",

mostraré primeramente que hay puntos (no estándar) sobre el hiperpla-no presupuestal de Bp0

;w

0 infinitamente cerca de ˆx = (p;w). En segundo

lugar, y de manera análoga, mostraré que hay puntos (estándar) sobre el hiperplano presupuestal deBp;w infinitamente cerca de ˆx

0

= (p 0

;w 0

). La continuidad deuimplicará que ˆx0

2 hal( ˆx), pues de lo contrario habrían

menúsx (estándar) en el hiperplano de Bp;w yx 0

(no estándar) en el de Bp0

;w

0 tales que x 0

' xˆyx ' xˆ 0

, en cuyo caso tendríamos que la diferen-cia u( ˆx) u(x) es positiva y apreciable (porque ˆx x), de modo que la

diferenciau(x0

) u( ˆx0

) también lo es, lo cual es imposible porque ˆx0

x

0

. TEOREMA6 La función de demanda walrasiana es continuamente

diferencia-ble.

DEFINICIÓN3 Lafunción indirecta de utilidades la aplicaciónv: Æ

R

+

!R

que asigna a cada (p;w) el máximou( ˆx) deu enB

p;w; es decir,v(p ;w) =

(4)

TEOREMA7 La función indirecta de utilidad v tiene las siguientes propiedades: (1) v es homogénea de grado cero;

(2) v es estrictamente creciente en w y no creciente en plpara todo l;

(3) v es cuasiconvexa;

(4) v es continuamente diferenciable enpy w.

Demostración:(1) Sies un número real positivo, la desigualdad ‘px w’

es equivalente a ‘px w’, de modo que el conjunto presupuestalB

p;w

es idéntico a Bp;w y el óptimo de Bp;w es idéntico al de Bp;w. Pero esto

significa quev(p;w) =v(p;w).

(2) Si w0

> w, B

p;w es un subconjunto propio de Bp;w

0 y sus

correspon-dientes hiperplanos presupuestales no se intersectan, de modo que el óp-timo deBp;w

0 es estrictamente preferido al deBp

;w; pero esto significa que

v(p;w) >v(p;w 0

). Sip0

l >p

lentoncesp 0

es idéntico apexcepto en la coordenadal, donde aparece el preciop0

l. Como el hiperplano deBp0

;w puede tener elementos

en común con el deBp;w, el óptimo puede ser el mismo en ambos

conjun-tos pero también es posible que el óptimo del segundo sea estrictamente preferido al del primero, lo cual significa quev(p0

;w) v(p;w).

(3) Es menester demostrar que siv(p;w) v,˜ v(p 0

;w 0

) ˜vy 2[0;1℄

entonces

v[(p;w)+(1 )(p 0

;w 0

)℄v˜:

Para cualquier menú x 2 , si x no está en ninguno de los conjuntos

presupuestalesBp;w yBp 0

;w

0, tampoco está en el conjuntoB

(p;w)+(1 )(p 0

;w 0).

En efecto,px>wyp 0

x>w 0

implican

[p+(1 )p 0

x=px+(1 )p 0

x>w+(1 )w

0 :

Luego, el óptimo deB(p;w)+(1 )(p 0

;w

0) tiene que pertenecer aBp

;wo aBp 0

;w 0.

En el primer caso,

v[(p;w)+(1 )(p 0

;w 0

(5)

en el segundo,

v[(p;w)+(1 )(p 0

;w 0

)℄v(p 0

;w 0

) v˜:

(4) Para demostrar quev es continuamente diferenciable enpyw, ob-servemos quev es la composiciónu Æ de las funciones de utilidad y de

demanda walrasiana. Como ambas funciones son continuamente diferen-ciables, la regla de la cadena implica queves continuamente diferenciable. En efecto,

Jv;(p;w) =J

u;(p;w) J

;(p;w)

:

TEOREMA8 Para cada ( ˜p;u)˜ 2 Æ

u(), la función : ! R tal que

(x) =px˜ tiene un mínimow precisamente en un punto de K˜ = fx2ju(x)

˜ ug.

Demostración:Como (K) está acotado por abajo, tiene un inf, digamos ˜w. Mostraremos que ˜wes elemento de (K). Pero ello es inmediato porque K es cerrado. Se sigue que hay un punto ˜x en K tal que ˜w = ( ˜x). El

nivel de utilidad de cualquier punto que satisfaga la ecuación ( ˜x) = w˜

debe ser precisamente ˜upues de lo contrario sería mayor y sobre la recta R = fx 2 jx˜para algún 2 [0;1℄g, que une a ˜x con 0, habría un

punto˜xtal queu(x˜) = u, debido a la continuidad de˜ u. Pero entonces

tendríamos˜x 2 K con (x˜) = ( ˜x) < ( ˜x) = w, contradiciendo el˜

hecho de que alcanzaba su mínimo enK en ˜x. ˜

xes el único punto en el que alcanza un mínimo enKpues, si ˜x0

fuera otro punto tal, la combinación convexax˜+(1 ) ˜x

0

también lo sería, lo cual implicaría queu[x˜+(1 ) ˜x

0

℄=u, contradiciendo el hecho de que˜

u[x˜+(1 ) ˜x 0

℄>u( ˜x).

DEFINICIÓN4 La función de gastoes la aplicación e: Æ

u() ! Rque

asigna a cada (p;u) el mínimo de enfx2ju(x) ug.

TEOREMA9 La función de gasto e tiene las siguientes propiedades: (1) e es homogénea de grado uno enp;

(2) e estrictamente creciente en u y no decreciente en plpara todo l;

(3) e es cóncava enp;

(6)

Demostración:

DEFINICIÓN5 La función de demanda hicksiana es la aplicación h : Æ

u() !3(R) que asigna a cada (p;u) el vector óptimo del PMG.

TEOREMA10 La función de demanda hicksiana h tiene las siguientes propiedades para todo(p;u) 2

Æ

u():

(1) h es homogénea de grado cero enp;

(2) h es estrictamente creciente en u y no decreciente en pl para todo l;

(3) hay precisamente un elemento en h(p;u), de modo que h es una función.

(4) Para todoph(p;u)=w;

TEOREMA11 La función de demanda hicksiana satisface la ley compensada de la demanda; e.e.

(p00 p0

)[h(p 00

;u) h(p 0

;u)℄0:

TEOREMA12 Para cada(p;u), la función de demanda hicksiana es el vector de

derivadas de la función de gasto con respecto a los precios

h(p;u) =rpe(p;u):

Demostración:SeaK el conjunto fx2ju(x) u˜g. ComoK es convexo y

cerrado, y hemos demostrado (Teorema 8) que y la función soporte deK, e(p;u), es diferenciable con respecto ap, existe un único punto ˆx2K tal

que pla característica de que re(p;u) = xˆ, donde es el único punto tal

que

Esto es una consecuencia del Teorema de Dualidad, donde

TEOREMA13 La función de demanda hicksiana h(;u) satisface las siguientes

identidades:

(1) Dph(p;u)=D

2

pe(p;u);

(2) Dph(p;u)es semidefinida negativa;

(3) Dph(p;u)es simétrica;

(7)

TEOREMA14 (ECUACIÓN DESLUTSKY) Para todo(p;w) y u=v(p;w): h

l(p;u) p

k =

l(p;w)

p k

+

l(p;w) w

k(p;w):

De manera compacta,

Dph(p;u) =D

p(p;w)+D

w(p;w)(p;w) t

:

TEOREMA15 (IDENTIDAD DEROY)

x(p;w) =

1

r

wv(p;w) r

pv(p;w):

TEOREMA16 Sea: Æ

R

+

!la función que asigna a cada(p;w) el vector

óptimo con respecto a u en el conjunto Bp;w. Entonces

h;@;i es una estructura

de demanda walrasiana.

2. El modelo Cobb-Douglas

Si adoptamos la función de utilidad Cobb-Douglas sobre el ortante de un espacio específico obtenemos un modelo específico de laTCD. Aquí desa-rrollaremos el modelo paraL = 2. Es interesante observar que la función

Cobb-Douglas satisface las propiedades enunciadas en el teorema ?? y por lo tanto representa una relación de preferencia clásica. En la construcción de cualquier modelo se requiere obtener las siguientes funciones:

(1) La función de demanda walrasiana, la cual asigna a cada

siste-ma de precios-riqueza (p1;p2;w) el menú de consumo ( ˆx1;xˆ2) = (p1;p2;w) que maximiza la utilidad del agente bajo ese sistema.

Esta función se obtiene resolviendo elPMU.

(2) La función indirecta de utilidadv, la cual asigna a cada (p1;p2;w)

la utilidad máxima que el consumidor puede alcanzar en esa si-tuación; es decir, la utilidad que le brinda su consumo óptimo: v(p1;p2;w) =u[(p1;p2;w)℄.

(3) La función de demanda hicksianah, la cual asigna a cada vector (p1;p

2;u), donde ˜˜ u es un nivel de utilidad determinado, el menú

(8)

utilidad ˜u: h(p1;p2;u) = ( ˇ˜ xy). Esta función se obtiene resolviendo

elPMG.

(4) La función de gastoe, la cual asigna a cada (p1;p2;u), donde ˜˜ u es

un nivel de utilidad determinado, el costo mínimo de alcanzar el nivel de utilidad ˜u: e(p1;p2;u)˜ = p1xˇ1+p2xˇ2 = ph(p1;p2;u). Debe˜

verificarse quee(p1;p2;(p1;p2;w)) =w.

Así, para un consumidor con una función Cobb-Douglas se requiere re-solver el PMU, el PMG y determinar las funciones siguientes:

(1) La función de demanda walrasiana(p1;p2;w);

(2) la función de utilidad indirectav(p1;p2;w);

(3) la función de demanda hicksianah(p1;p2;u);˜

(4) la función de gastoe(p1;p

2;u)˜

Una vez hecho esto, hay que hacer lo siguiente: (5) Demostrar que

e(p1;p2;v(p1;p2;w)) =w y v(p1;p2;e(p1;p2;u))˜ =u˜:

(6) Demostrar que

r( p1;p

2)e(p1;p2;u)˜ =h(p1;p2;u)˜ :

(7) Demostrar que las funciones satisfacen la Ecuación de Slutsky: Dph(p;u)=D

p(p;w)+

1(p;w)D

w(p;w)

L(p;w)D

w(p;w)

:

(8) Demostrar que satisfacen la Identidad de Roy:

(p;w) =

1

r

wv(p;w)

rpv(p;w):

Se procede primero a resolver el PMU:

Maximizarx

1x 1

(9)

sujeto ap1x1+p2x2=w

Para ello, comenzamos por formular el lagrangiano: L(x1;x2;) =x

1x 1

2 +[w p1x1 p2x2℄:

Derivando L con respecto a x1, x2 y, e igualando las derivadas a cero,

obtenemos las condiciones de primer orden:

x

1

1 x 1

2 p1=0 (1)

(1 )x

1x

2 p

2=0 (2)

w p1x1 p2x2=0: (3)

Despejandoen (1) y (2), obtenemos

=p

1 1 x

1

1 x 1

2 (4)

y

=p

1

2 (1 )x

1x

2 (5)

Así, p 1

1 x

1

1 x 1

2 =p

1

2 (1 )x

1x

2 : (6)

Para separar variables, multiplicamos ambos lados de (6) porx

2 y

obte-nemos p 1

1 x

1

1 x2=p

1

2 (1 )x

1: (7)

Multiplicando ahora ambos lados de (7) porx1

1 ,

p 1

1 x2=p

1

2 (1 )x1: (8)

Despejandox2, obtenemos

x2=p1

1

p 1

(10)

Al sustituir la parte derecha de (9) porx2en la tercera condición,

obtene-mos:

w=p1x1+p2p1

1

p 1

2 (1 )x1 =p

1x1+p

1

1(1

)x

1

=p1

x1+

1(1

)x1

=p1

1+

1(1

)

x1

=p1

1

x1:

Luego, ˆx1=p

1

1 wy, sustituyendoxcon ˆx en la ecuación (9), obtenemos

ˆ x2=p1

1

p 1

2 (1 )p

1 1 w

=(1 )p

1 2 w:

Por lo tanto, la función de demanda walrasiana es

(p1;p2;w) =

p

1 1 w

(1 )p

1 2 w

(10) La función de utilidad indirecta se calcula así:

v(p1;p

2;w) =u

(p

1;p

2;w)

=

p

1 1 w

(1 )p

1 2 w

1

=

p

1 w

(1 )

1

p 1

2 w 1

=

(1 )

1

p

1 p

1

2 w

Procedemos ahora a resolver elPMGpara determinar la función de de-manda hicksiana. El problema es

Minimizar(x1;x2)≧0p1x1 +p2x2

sujeto ax 1x1

2 =u˜

Nuevamente, procedemos a través de la introducción de un lagrangia-no.

L(x1;x2;) = p1x1 p2x2+[u˜ x

1x 1

(11)

con condiciones de primer orden

L

x1

= p1 x

1

1 x 1

2 =0 (11)

L

x2

= p2 (1 )x

1x

2 =0 (12)

L

=u˜ x

1x 1

2 =0: (13)

Despejandodos veces e igualando,

p1

1

x1

1 x

1

2 = p2(1 )

1

x

1 x

2:

Multiplicando por x

1x 1

2

p1

1

x1

1 x

1x

1

2 x 1

2 =p

2(1 )

1

x

1 x

1x

2x 1

2

p1

1

x1=p2(1 )

1

x2

Despejandox2,

x2=

1(1

)p1p

1 2 x1:

Sustituyendo en la condición 3, x

1[

1(1

)p1p

1 2 x1℄

1 =u˜;

de donde x1[

1(1

)p1p

1 2 ℄

1 =u˜

y así, ˇ

x1=[p1p

1

2 (1 )℄

1

1

˜ u:

Sustituyendo en (2), y haciendo algunas transformaciones algebraicas, ˇ

x2=[p1p

1

2 (1 )℄

˜ u:

(12)

h(p1;p2;u)˜ =

1

(1 )

1

p 1

1 p 1

2 u˜

(1 )

p

1p

2 u˜

(14) La función de gasto es

e(p1;p2;u)˜ =

(1 ) 1

p

1p 1

2 u˜; (15)

pues

1

(1 )

1

+

(1 )

=

1

(1 )

(1 )

1

+

(1 )

=

1

(1 )

1

+

(1 )

=

(1 )

1

+1

(1 )

=

(1 )

1

+(1 )(1 )

1

(1 )

=

[+(1 )℄(1 )

1(1

)

=

[+(1 )℄(1 )

1

=

(1 )

1

TEOREMA17 Tenemos:

(1) e(p1;p2;v(p1;p2;w)) =w

(2) v(p1;p2;e(p1;p2;u))˜ =u.˜

Demostración:Para mostrar (1), recordemos que e(p1;p2;u)˜ =

(1 ) 1

p

1p 1

2 u˜

Sustituyendo ˜uconv(p1;p2;w) =

(1 )

1

p

1 p

1

2 wobtenemos

(1 ) 1 p 1p 1 2

(1 )

1

p

1 p

1

2 w=w:

Para mostrar (2), sustituimoswcon

(1 )

1

p

1p 1

2 u˜env(p1;p

2;w)

(1 )

1 p 1 p 1 2

(1 )

1

p

1p 1

2 u˜=u˜:

TEOREMA18 r( p1;p

(13)

Tenemos

e

p1

=

1

(1 ) 1

p 1

1 p 1

2 u˜

e

p2

=

(1 )

p

1p

2 u˜:

Estas ecuaciones implican que

r( p1;p

2)e(p1;p2;u)˜ =h(p1;p2;u)˜ :

TEOREMA19 (ECUACIÓN DESLUTSKY) Para todo(p;w) y u=v(p;w): hl(p;u)

p k

=

l(p;w) p

k +

l(p;w) w

k(p;w):

Para demostrar que la función Cobb-Douglas satisface la Ecuación de Slutsky, observemos que

D(p1;p

2)h(p1;p2;u)˜ =

1

(1 )

p 2

1 p 1

2 u˜

1

(1 )

p 1

1 p

2 u˜

1

(1 )

p 1

1 p

2 u˜

1

(1 )

p

1p (+1)

2 u˜

Ahora bien,

1

(1 )

p 2

1 p 1

2 u˜=

1

(1 )

p 2

1 p 1

2

(1 )

1

p

1 p

1

2 w

=( 1)p

2 1 w

1

(1 )

p 1

1 p

2 u˜=

1

(1 )

p 1

1 p

2

(1 )

1

p

1 p

1

2 w

=(1 )p

1 1 p 1 2 w 1

(1 )

p 1

1 p

2 u˜=

1

(1 )

p 1

1 p

2

(1 )

1

p

1 p

1

2 w

=(1 )p

1 1 p

(14)

1

(1 )

p

1p (+1)

2 u˜=

1

(1 )

p

1p (+1)

2

(1 )

1

p

1 p

1

2 w

=( 1)p

2 2 w

De manera que D(p1;p

2)h(p;q;u)˜ =

( 1)p

2

1 w (1 )p

1 1 p

1 2 w

(1 )p

1 1 p

1

2 w ( 1)p

2 2 w

:

Por otra parte, D(p1;p

2)(p1;p2;w) =

p

2

1 w 0

0 ( 1)p

2 2 w

:

Además,

Dw(p1;p2;w) =

p

1 1

(1 )p

1 2

:

Así,

Dp(p;w)+

1(p;w)D

w(p;w) 2(p;w)D

w(p;w)

=

p

2

1 w 0

0 ( 1)p

2 2 w +

2p 2

1 w (1 )p

1 1 p

1 2 w

(1 )p

1 1 p

1

2 w (1 )

2p 2 2 w

=

( 1)p

2

1 w (1 )p

1 1 p

1 2 w

(1 )p

1

1 p21w ( 1)p

2 2 w

=D( p1;p

2)h(p;q;u)˜

TEOREMA20 (IDENTIDAD DEROY)

(p1;p2;w) =

1

r wv(p1;p

2;w) r(

p1;p2)v(p1

;p2;w):

Notemos que 1

r

wv(p1;p

2;w)

=

(1 ) 1

p

1p 1

(15)

Además,

r

pv(p1;p

2;w) =

+1

(1 )

1

p (+1)

1 p

1

2 w

(1 )

2

p

1 p

2

2 w

Una par de sencillas multiplicaciones muestra que

(p1;p2;w) =

1

r

wv(p1;p2;w) r(p

1;p

2)v(p1;p2;w):

3. Integrabilidad

Tenemos, como punto de partida, una función determinada de demanda, por ejemplo, la función Cobb-Douglas:

(p1;p2;w) =

p

1 1 w

(1 )p

1 2 w

:

Introduzcamos lafunción de compensación:R +

! R, la cual está

definida por la condición

(p;q;p0;q0;w) =e(p;q;v(p0;q0;w))

(p;q;p0;q0;w) es el mínimo costo de alcanzar el nivel de utilidad

v(p0;q0;w)) si los precios vigentes sonpyq.

A partir de las ecuaciones de integrabilidad

(p;q;p0;q0;w) p

=1(p;q;(p;q;p0;q0;w)) (16)

(p;q;p0;q0;w) q

=2(p;q;(p;q;p0;q0;w)) (17)

(p0;q0;p0;q0;w) =w (18)

podemos obtener una función de compensación —la cual contiene implí-citamente una función indirecta de utilidad —y a partir de ésta es posible obtener la función directa de utilidad, resolviendo el siguiente problema:

Minimizar(p1;p2)≧0v(p ;q;w)

(16)

La función incógnita a determinar es precisamente. Podemos

norma-lizar los precios de tal manera que el precio del bien 2 seaq =1, siendop

el precio del primer bien, de modo que es suficiente resolver la ecuación (1) parap. Sustituyendo en (1) obtenemos

d

dp =p

1

1 (19)

o, de modo equivalente, d

dp p

1

1 =0: (20)

La ecuación (5) es de la forma d

dp+f(p)= 0: (21)

dondef(p)= p

1

1 . El método general para resolver una ecuación de

es-ta forma consiste en integrar la funciónf(p) y en observar que la ecuación es equivalente a

d dp e

F(p)

=0; (22)

dondeF(p) = R

p

f()d. En el caso que nos ocupa,

F(p) = Z

p

( )

1

d= logp;

de modo que d dp

e F(p)

=

d dp

e logp

=

d

dpe

logp p

1 1 e

logp

=e logp

d

dp p

1 1

(17)

Se sigue que existe una constantec tal quee logp

=c, o

=ce

logp =c(e

logp) =cp

1 (23)

Se comprueba que ésta es, efectivamente, una solución de la ecuación (4), pues,

d

dp

=cp

1

1

=p

1 1 cp

1

=p

1 1

Sustituyendo en la condición inicial (3) encontramos

(p 0

;1;p 0

;1;w) =c(p 0

)

=w

o

c =(p 0

)

w

Así obtenemos la expresión explícita de:

=(p 0

)

wp

1 (24)

Se comprueba que esta expresión es correcta, pues

(p;1;p 0

;1;w) =(p 0

)

wp

1

=[+(1 )℄p

1(p

0

)

w

=

1

(1 ) 1

+

(1 )

p

1

(1 )

1

(p0

)

w

=e(p;1;v(p 0

;1;w))

Si partimos de la función de demanda walrasiana obtenida a partir de la función de utilidad Cobb-Douglas, el problema es recuperar esta función a partir de la misma, es decir, la funciónu(x;y) =x

1x 1

2 .

Para esta función de demanda, la solución general al sistema (1)-(3) es

=cp

1p 1

(18)

Se comprueba:

p =p

1

1 p 1

2

=p

1 1 p

1p 1

2

=p

1 1 ;

q

=(1 )p

1p

2

=(1 )p

1 2 qp

1p

2

=(1 )p

1 2 p

1p 1

2

=(1 )p

1 2

Sustituyendo en la condición inicial obtenemos cp

0q 1

0 = w o c =

p

0 q

1

0 w. Por lo tanto,

(p;q;p0;q0;w) =p

0 q

1

0 wp

1p 1

2

=

(1 )

1

p

0 q

1

0 w

(1 ) 1

p

1p 1

2

=v(p0;q0;w)e(p1;p2;u)u˜

1

Vemos así que, para cualquier sistema de precios (p0;q0), la función de

utilidad indirecta es v(p0;q0;w) =

(p;q;p0;q0;w)

e(p1;p2;u)u˜

1

=

(1 )

1

p

0 q

1

0 w

Procedemos ahora a resolver el siguiente problema: Minimizar(p1;p2)≧0

( 1 )

1

p

1 p

1

2 w

sujeto apx+qy=w

Construimos el lagrangiano: L(p;q;) =

(1 )

1

p

1 p

1

2 w+

w px qy

(19)

con condiciones de primer orden

L

p

=

1+

(1 )

1

p (1+)

1 p

1

2 w x =0 (26) L

q

=

(1 )

2

p

1 p

2

2 w y=0 (27) L

=w px qy=0 (28)

Despejandoen las condiciones (5) y (6) obtenemos

=

1+

(1 )

1

p (1+)

1 p

1

2 wx 1

1 (29)

y

=

(1 )

2

p

1 p

2

2 wx 1

2 : (30)

Igualando los términos derechos de las ecuaciones (8) y (9), y multiplican-do ambos por

(1 ) 1

,

p

(1+)

1 p

1

2 wx 1

1 =(1 )p

1 p

2

2 wx 1

2 (31)

Nuevamente, multiplicando ambos lados de (10) por p1+

1 p 2

2 xy,

obtene-mos

qwy=(1 )pwx (32)

Despejandoq, q =

1(1

)pxx

1

2 : (33)

Sustituyendo este valor deq en la condición (7), px+

1(1

)px =w: (34)

Como 1+

1(1

) =

1, el valor óptimo depes

ˆ p =x

1

1 w: (35)

Sustituyendo este valor depen (12) obtenemos el valor óptimo deq: ˆ

q =(1 )x

1

2 w: (36)

Sustituyendo estos valores depyq en la función objetivo obtenemos v( ˆp;qˆ;w) =x

1x 1

2 ; (37)

Figure

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