TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOS

TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOS

Carlos Navarro

Para definir el laminado se emplearán los siguientes criterios:

- Se definirán las láminas desde el exterior hacia el interior del laminado.

- Se indicará con un número el ángulo que forman las fibras con la dirección de

referencia y, mediante un subíndice, el número de láminas seguidas que poseen esta orientación. - Cuando se defina la secuencia de apilamiento de todas las láminas del laminado se empleará el subíndice Tpara indicar que, el laminado, ha sido definido en su totalidad.

- Cuando se trate de un laminado simétrico, sólo se expresará la secuencia de apilado de uno de los lados y utilizaremos el subíndice Spara indicar que el laminado es simétrico.

PLAN

O ME

DIO

DEL L

Un laminado simétrico compuesto por 3 láminas a 90º, 2 a 0º, 1 a -45º y otra a +45º puede nombrarse de las siguientes maneras alternativas: - [90₃, 0₂,-45,+45,+45,-45,0₂,90₃]_T

- [90₃, 0₂,-45,+45]_S

- [90₃, 0₂,-45,+45₂,-45,0₂,90₃]_T

Un laminado puede, también, estar constituido por una secuencia de "sublaminados" que se repiten. Así, por ejemplo, un laminado realizado a base de sublaminados, podría ser:

- [0₂,60,+45₃]_2S - [0₂,60,+45₂}_S

- [0₂,60,+45,0₂,60,+45,0₂,60,+45,0₂,60,+45]_T

Ejemplos de nomenclatura:

Si laminado anterior tuviera una lámina justo en el plano de simetría que, por ejemplo, presentara una orientación de sus fibras de 90º, su nomenclatura sería:

ANTES DEL PROCESO DE CURADO

DESPUES DEL PROCESO DE CURADO

Posibles secuencias de apilamiento simétricas para evitar la pérdida de planitud del laminado una vez que la resina ha curado:

0

o

90

o

0/90/90/0

[0,90]

_s

¡Cada lámina se supone trabajando

RIGIDEZ EN EL PLANO DE LAMINADOS SIMETRICOS

El material compuesto presenta un comportamiento elástico-lineal hasta rotura

El laminado tiene un espesor pequeño (laminado delgado)

La deformación de cualquier lámina es igual a la del laminado

(comportamiento solidario de todas las láminas)

Hipótesis:

z

x

z

{ }

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

xy y x

N

N

N

N

Vector de cargas (N/m):

x

y

z

N_x N_x

N_y

y

N_yx

N_xy N_yx

{ }

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

xy y x

τ

σ

σ

σ

{ }

{ }

0

0 0 0

ε

γ

ε

ε

γ

ε

ε

ε

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

xy y x xy y x

Vector de tensiones:

Vector de deformaciones:

{ }

N

{ }

dz

[ ]

Q

{ }

dz

h h h h

ε

σ

2 2 2 2

∫

∫

− −

=

=

/ / / /

{ }

[ ]

{ }

RIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS

„ Hipótesis de Kirchhoff:

1.- La rectas perpendiculares al plano medio, antes de que el laminado se deforme, siguen permaneciendo rectas una vez que el laminado se haya deformado.

2.- Las rectas perpendiculares al plano medio no experimentan ningún tipo de deformación longitudinal (el laminado no cambia de espesor) 3.- Las rectas perpendiculares al plano medio permanecen

perpendiculares a la superficie que adquiere dicho plano una vez que que el laminado flecte.

Por tanto, las secciones planas ortogonales al plano medio del laminado siguen siendo planas y ortogonales a la superficie que adquiera dicho plano una vez que el laminado haya flectado.

„ El comportamiento del material se supone elástico lineal.

„ Las láminas se encuentran trabajando solidariamente unas a otras

„ No existen tensiones fuera del plano de cada lámina (σ_z=τ_xz= τ_yz=0): las láminas trabajan en condiciones de tensión plana

Campo de desplazamientos:

u=u (x,y,z) v=v (x,y,z) w=w (x,y,z)

x, u

y, v z, w

{ }

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

xy y x

M

M

M

M

Vector de cargas (Momentos, N.m/m):

x

y z

M_x M_x

M_y

M_y

M_xy M_xy

M_yx

x

z

O P z_P

u₀

w₀

β β

O P u_P

z_Pβ

β

P O

P u z

u = −

x w_O

∂

∂

β

=

x w z u

u_{P O} O

∂

∂

− =

De la misma manera podríamos llegar a que:

y w z v

v_{P O} O

∂

∂

− =

CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS EN EL LAMINADO

Utilizando las hipótesis de Kirchhoff y llamando u₀, v₀y w₀a los desplazamientos del plano medio:

Dado que la deformación ε_z es nula:

O

P w

2 2

x w z

x u x

u_{P O O}

x

∂

∂

∂

∂

∂

∂

ε

= = −

2 2

y w z

y v y

v_{P O O}

y

∂

∂

∂

∂

∂

∂

ε

= = −

y x

w z

x v y

u x

v y

u_{P P O O O}

xy ∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂

γ = + = + −2 2

CAMPO DE DEFORMACIONES EN EL LAMINADO:

0

=

z

ε

0

=

xz

γ

0

=

yz

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

xy y x o xy o y x xy y x

z

κ

κ

κ

γ

ε

ε

γ

ε

ε

⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ x v y u y v x u O O O O o xy o y o x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ γ ε ε ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ y x w y w x w O O O xy y x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ κ κ κ 2 2 2 2 2 2

Vector de deformaciones

en el plano medio

Laminado simétrico sometido a flexión pura:

0

=

=

=

o

xy

o

y

o

x

ε

γ

ε

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

xy y x

xy y x

z

κ

κ

κ

{ }

{ }

σ

[ ]

{ }

ε

[ ]

{ }

κ

[ ]

_⎥

{ }

κ

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

=

=

∫

∫

∫

∫

−

dz

z

Q

dz

z

Q

dz

z

Q

=

dz

z

2

h/2

h/2 -2

h/2

h/2 -h/2

h/2 -2

2

/

/

h

h

M

z

x x

z M

[ ]

D

[ ]

D

[ ]

Q

z

2

dz

(en

N.m)

h/2

h/2 -

∫

=

{ }

₌

[ ]

_⋅

{ }

ε

0

A

N

[ ]

[ ]

_(en

_N/m)

2

2

dz

Q

A

h

h

∫

−

=

/

/

{ }

M

=

[ ]

D

{ }

κ

RIGIDECES DE LAMINADOS SIMÉTRICOS

Rigidez en el plano:

RIGIDEZ A FLEXION DE LAMINADOS NO SIMETRICOS

{ }

ε

=

{ }

ε

o

+

z

{ }

κ

{ }

{ }

[ ]

{ }

[ ]

{ }

[ ]

{ }

{ }

4 34

4 4 2 1 4 4 3 4 4 2 1 k B k Q o A Q Q N h h h h o h h h h ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − −

∫

∫

∫

∫

= = + = 2 2 2 2 2 2 2

2 dz dz dz z dz

/ / / / / / / / ε ε ε σ

{ }

{ }

[ ]

{ }

[ ]

{ }

{ }

[ ]

{ }

{ }

4 34

4 4 2 1 4 4 3 4 4 2 1 k D k Q B Q Q M h h h h o h h h h o ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − −

∫

∫

∫

∫

= = + = 2 2 2 2 2 2 2 2

2 z dz z dz zdz z dz

/ / / / / / / / ε ε ε σ

{ }

σ

=

[ ]

Q

{ }

ε

z z

x x

M

1

i

z_i zi-1 z₀=h/2

N

h

b

z

y

x

2

{ }

N

=

[ ]

A

{ }

ε

o

+

[ ]

B

{ }

k

(

en

N/m)

{ }

M

=

[ ]

B

{ }

ε

o

+

[ ]

D

{ }

k

(

en

N)

[ ]

[ ]

Q

[

z

(i)

z

1

]

(en

N/m)

(i) m

1 = i

) ( −

−

=

∑

i

A

[ ]

[ ]

Q

[

( ) ( )

z

z

]

(en

N)

2

1

m (i) _(i) 2 ₁ 2 1

= i

) ( −

−

=

∑

i

B

[ ]

[ ]

Q

[

( ) ( )

z

z

]

(en

N.m)

3

1

m (i) _(i) 3 ₁ 3 1

= i

) ( −

−

=

∑

i

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

κ

ε

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

0

D

B

B

A

M

N

[ ]

{ }

[ ]

{ }

{ }

[ ]

{ }

κ

ε

0

0

0

0 0

D

M

A

N

D

A

M

N

B

=

=

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

κ

ε

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

Si el laminado fuese simétrico:

•Simétrico

•Antimétrico

•Balanceado

•Cuasi-Isótropo

•Láminas cruzadas (Cross-Ply laminate)

•Láminas a

α

(Angle-Ply laminate)

• Ortotrópico

±

•Láminas del mismo material, espesor, y orientación, dispuestas simétricamente respecto al plano

medio

•Ejemplo: [+θ/−θ/−θ/+θ]

•Característica principal:

B_ij=0

•Característica mecánica:

No existe acoplamiento entre cargas en el plano y flexión

•Las láminas que ocupan posiciones simétricas tienen orientaciones del mismo ángulo pero con signo distinto, son del mismo material y espesor.

•Ejemplo: [+θ/-θ/+θ/-θ]

•Característica importante:

A₁₆=A₂₆=0 D₁₆=D₂₆=0

•Descripción: Por cada lámina + θ, hay otra a -θ, y por cada una a 0° hay otra a 90°

•Ejemplo: [0/45/90/-45] •Características:

Q₁₆(θ )=-Q₁₆(-θ) Q₂₆(θ )=-Q₂₆(-θ)

•Característica importante:

A₁₆=A₂₆=0 D₁₆=D₂₆=0

B₁₁=B₂₂=B₁₂=0

•Característica mecánica:

N_x=B₁₆κ_{xy ⎪}⎪

•El laminado se comporta como una placa isótropa

•Su comportamiento en el plano es similar al de los materiales isótropos •La rigidez a flexión es diferente a la de las placas con materiales isótropos •Se define como:

donde k es el número de lámina, N=el número total de láminas (>=3) y θ₀ es un ángulo arbitrario

•Igual número de láminas a

–0, 45, -45, 90 o –0, 60, -60

•La matriz A es independiente de la orientación de aplicación de las cargas •Sin embargo, B y D sí que dependen de dicha orientación

0 k

N

k

θ

+

π

=

θ

•Láminas cruzadas: láminas a 0° y 90°, solamente: [D] =0

Fácil de analizar si es simétrico ([B]=0)

•Laminado a ±θ°: láminas con esas dos orientaciones

Si es simétrico: A₁₆=A₂₆=0; B_ij=0; D₁₆≠0; D₂₆≠0

LAMINADO ESPECIALMENTE ORTÓTROPO

•Laminado de láminas cruzadas o giradas θ

Tejidos bidireccionales

•Módulos equivalentes: E_x, E_y, G_xy, ν_xy

Definido para laminados simétricos y balanceados

Propiedades de una placa ficticia equivalente que se comporta de manera análoga al laminado bajo cargas en el plano

No utilizables para casos de flexión

puesto que: D₁₆≠0; D₂₆≠0

22 12 xy

66 xy

11 2 12 22

11 y

22 2 12 22

11 x

A

A

t

A

G

tA

A

A

A

E

tA

A

A

A

E

=

ν

=

−

=

−

=

•Pasos:

1) Calcular las deformaciones que sufre el laminado a partir de las cargas en el

plano y momentos a él aplicados

2) Referir las deformaciones obtenidas a los ejes materiales en cada lámina

3) Calcular las tensiones dentro de cada lámina en el sistema de ejes materiales

4) Aplicación del criterio de rotura a cada lámina

[ ]

{ }

ε

=

{ }

ε

+

{ }

κ

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

κ

ε

z

M

N

F

o

o

ejes materiales:

{ }

1

{ }

_xy

12

=

[

R

][

T

][

R

]

ε

ε

−

Paso 3: Cálculo de las tensiones en cada lámina en ejes materiales:

Paso 4: Aplicación del criterio de rotura a cada lámina

Rotura de la primera lámina:

- En ella se alcanza un estado tenso-deformacional que verifica el criterio de rotura empleado.

- El laminado seguiría trabajando pero se debe eliminar (o ir degradando sus propiedades) la lámina rota, suponiendo que cada una de las otras láminas conserva sus propiedades y

su posición original.

- Hay que determinar las nuevas matrices A,B y D sin considerar la lámina rota (o considerándola con unas propiedades “degradadas”) y repetir el proceso de cálculo para obtener las nuevas

tensiones y deformaciones en cada una de las láminas restantes.

Repitiendo este proceso, podríamos ir eliminando láminas a medida

1. Suponer elásticamente cargado el laminado.

2. Calcular las tensiones y deformaciones en cada lámina.

3. Aplicar el criterio de rotura a cada lámina.

4. Incrementar la carga hasta que se produzca la rotura de

la primera lámina.

5. Modelizar el comportamiento postrotura de la lámina.

6. Recalcular las matrices de rigidez del laminado y

redistribuir las cargas entre las láminas que siguen

trabajando.

7. Continuar el proceso hasta que rompa la siguiente lámina.

8. Volver al paso 5 y continuar así hasta que rompan todas

(

N

_x

)

_Total

) 3 ( x

N

) 2 ( x

N

) 1 ( x N

1

n = n = 2 n = 3

Rotura primera lámina, k=1

Rotura segunda lámina, k=2

Rotura tercera lámina, k=3 última

lámina

) 1 ( x

ε (2) x

ε (3) x

ε

( )

εx Total

Deformación

•Si una lámina rompe, su matriz de rigidez de hace nula

•La lámina rota NO SOPORTA ninguna carga. Por tanto, la carga total aplicada es absorbida por el resto de láminas y las tensiones se redistribuyen. Esta redistribución puede llevar a la rotura

inmediata de otras láminas. Cuando la redistribución de cargas cause la rotura de todas las láminas, diremos que el laminado ha roto.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

_⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

∑

∑

= = n 0 n 0 n n n n n n n

k 0 n n 0 Total 0 0 n k n n Total

κ

ε

D

B

B

A

M

N

κ

ε

κ

ε

M

N

M

N

1 1 ( ) ( ) ( )

( )

( )

[ ]

bajando. siguen tra que láminas las de Q rigidez de matrices las de Dependen 1 -n la de rotura la de después rigidez de s modificada matrices las son n ésima . ,

, n n n

D B