Grado en Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Telecomunicaci´on

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(1)Teor´ıa de la Comunicaci´on. Grado en Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Telecomunicaci´on. C AP´I TULO 4 ´ M ODULACIONES Y D ETECCI ON EN C ANALES G AUSIANOS Marcelino L´azaro Departamento de Teor´ıa de la Se˜nal y Comunicaciones Universidad Carlos III de Madrid. Creative Commons License 1 / 167. ´Indice de contenidos ´ a los sistemas de comunicaciones digitales Introduccion ´ geometrica ´ ˜ Representacion de las senales ´ digital Modelo de comunicacion ˜ de cada elemento del sistema de comunicaciones Diseno I I I I. Demodulador Decisor Codificador Modulador. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ MDCG - Introduccion 2 / 167.

(2) ´ de un sistema de comunicaciones Definicion ´ Finalidad de un sistema de comunicaciones: transmision ´ Proceso de enviar, transportar, informacion ´ de un punto Transmision: ´ de un canal o medio de (fuente) hasta otro punto (destino) a traves ´ transmision ´ ´ Informacion Informacion transmitida recibida Fuente de ´ Informacion I. s(t)-. r(t)- Destino de ´ Informacion. Medio de ´ Transmision. ´ de informacion ´ a traves ´ del medio de Transmision ´ (canal): senales ˜ ´ transmision electromagneticas F F. ´ de la informacion ´ en senales ˜ ´ Conversion adecuadas para su transmision por el canal ´ informacion ´ / senal ˜ electrica: ´ Conversion Transductor ´ ˜ de voz) - Ejemplo: salida de un microfono (senal. RESERVOIR DOGS (Mr. White): If you get a customer, or an employee, who thinks he’s Charles Bronson, take the butt of your gun and smash their nose in. Everybody jumps. He falls down screaming, blood squirts out of his nose, nobody says fucking shit after that.. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ MDCG - Introduccion 3 / 167. ´ Sistemas de comunicaciones analogicos y digitales ´ Sistema de comunicaciones analogico I. ˜ ´ una forma de onda Disenado para enviar como informacion continua. Sistema de comunicaciones digital I. ˜ ´ una secuencia de Disenado para enviar como informacion s´ımbolos pertenecientes a un alfabeto finito (M posibles valores para cada s´ımbolo) F. I. ´ a una velocidad (tasa de s´ımbolo) dada: Rs Transmision s´ımbolos/s F. I. ´ comun: Ejemplo mas ´ Bits (M = 2): {0, 1} ´ 0110001101110011010101110010011010... - Informacion:. Se transmite un s´ımbolo cada T =. 1 Rs. segundos. ˜ ´ Los s´ımbolos han de convertirse en senales electricas para su ´ transmision F F. Cada s´ımbolo se asocia a una forma de onda ´ simple: formas de onda de T = R1 segundos Caso mas s. Preponderancia de los sistemas de comunicaciones digitales c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ MDCG - Introduccion 4 / 167.

(3) Ventajas de los Sistemas Digitales ´ Capacidad de regeneracion ´ ´ y correccion ´ de errores Existen tecnicas de deteccion ´ se puede encriptar (proteger) La informacion ´ introducida por el canal (igualacion) ´ Permite corregir la distorsion ´ (voz, datos, TV, Formato independiente del tipo de informacion etc.) ´ de Permite utilizar TDM/TDMA y CDM/CDMA (ademas ´ FDM/FDMA) como mecasismo de multiplexacion/acceso al medio Los circuitos son, en general I I I. ´ fiables Mas De menor coste ´ flexibles (programables) Mas ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ MDCG - Introduccion 5 / 167. ´ digital Regeneracion ´ DE BITS - Sistema binario con pulsos rectangulares CODIFICACION 1 ⌘ Nivel alto 0 ⌘ Nivel bajo ˜ ˜ SENAL DIGITAL TRANSMITIDA SENAL RECIBIDA DISTORSIONADA .. ................... ................................................ ... ... ... ... . ... ... ... .. . 0 ... 1 ... 0 ... 1 1 1 .... 0 . . ... ... ................. ................ ................ 0. T. 2T. 3T. 4T. 5T. 6T. ................. ....... . . . . . .. .. ..... . .... ... .... ..... ....... . ... . . . ... . ... ... ... . . . . ... ... ... ... ...... ... ..... .. ........ ........ ....... 7T 0. ´ DE CADA S´IMBOLO IDENTIFICACION ... T. 2T. 3T. 4T. 5T. 6T. 7T. ˜ SENAL REGENERADA. ................... ................................................ .................... ......................................................................... . ... . ... .. ... . ... . . . . . . . ... . ... ... ... ... ... .... ..... .... .. . ... ... ...... .. ... ... .. ... ... ... . ... ... . . . . . . . . . . ................. . . ................. .................... ................ ................ ................ 0. T. 2T. 3T. 4T. 5T. c Marcelino L´azaro, 2014. 6T. 7T 0. T. 2T. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 3T. 4T. 5T. 6T. 7T. ´ MDCG - Introduccion 6 / 167.

(4) Desventajas de los Sistemas Digitales Necesidad de sincronismo Mayor ancho de banda ´ son de naturaleza Muchas fuentes de informacion ´ analogica I. ´ A/D Conversion F F. I. Muestreo ´ ! error de cuantificacion ´ Cuantificacion. ´ D/A Conversion F F. ´ Interpolacion Filtrado paso bajo. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ MDCG - Introduccion 7 / 167. ´ Analogico ´ Conversion Digital (A/D) ´ Fuentes analogicas: amplitudes continuas, tiempo continuo ´ analogico/digital: ´ Conversion I I. Tiempo discreto: Muestreo a frecuencia fs muestras/s ´ a n bits/muestra Amplitudes discretas: Cuantificacion F F. 7 6 5 4 3 2 1 0. ´ solo ´ hay 2n niveles de cuantificacion ´ Ruido de cuantificacion: - Diferencia entre valor muestreado y valor cuantificado Decrece a medida que se incrementa n. ......... .. .. ..... ... .. ... .. .. ... . . ... . .. . ... . .... ... ...... ˜ s(t) Senal. rb 7 7 b b b r 6 b 6 b r b br 5 5 b 4 br br 4 b b b r 3 3 rb b 2 2 b br r 1 1 b b br b 0 0 Muestreo s[n] Cuantificacion ´ (n = 3 bits). Tasa binaria (bits/s): Rb = fs (muestras/s) ⇥ n (bits/muestra) c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ MDCG - Introduccion 8 / 167.

(5) Transmisor/Receptor Digital Transmisor digital Fuente. - Codificador - Codificador -Entrelazador de Fuente de Canal. I. Bb [`] Modulador -. Canal. Digital. -. ´ de una secuencia de Modulador digital: Transmision ´ de una canal de s´ımbolos (generalmente bits, Bb [`]) a traves comunicaciones. Receptor digital ˆ b [`] Desentrer(t) Demodulador B - Decodificador - Decodificador DestinoDigital. I. lazador. de canal. de fuente. ´ de la secuencia de Demodulador digital: Recuperacion ˆ b [`]) a partir de la senal ˜ recibida traves ´ de s´ımbolos (bits, B una canal de comunicaciones, r(t) c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ MDCG - Introduccion 9 / 167. Codificadores de fuente y de canal Codificador de fuente I I. ´ Reduce la redundancia de la fuente (compresion) ´ de la tasa binaria a transmitir Reduccion. Codificador de canal I I I. I. ´ de redundancia de forma controlada Introduccion ´ y correccion ´ de errores Deteccion ´ ´ en funcion ´ de su Capacidad de deteccion/correcci on complejidad ´ sencillo: codigos ´ ´ Ejemplo mas de repeticion F F. ´ ´ 1: 0 ! 00 1 ! 11 Codigo de repeticion - Detecta 1 error sobre un bloque de dos bits ´ ´ 2: 0 ! 000 1 ! 111 Codigo de repeticion ´ basada en - Detecta 2 errores o corrige 1 error (correccion ´ por mayor´ıa) sobre un bloque de tres bits decision. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ MDCG - Introduccion 10 / 167.

(6) Entrelazado (Interleaving) ´ frente a errores de rafaga ´ Proteccion ´ con el codificador de canal En combinacion. I. ´ de bits Reordenacion. ´ Objetivo: transformar errores de rafaga en errores aislados. I. F. El decodificador de canal puede corregir relativamente pocos errores por bloque. Clases de entrelazadores Entrelazadores bloque Entrelazadores convolucionales. I I. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ MDCG - Introduccion 11 / 167. Entrelazado - Un ejemplo Bits sin codificar. ´ Codigo de Canal. 101110 Bits codificados. ´ ´ (orden 2) Codigo de repeticion Bits entrelazados. 111 000 111 111 111 000. 101 110 101 110 101 110. ´ Transmision 101 110 101 1 10 101 1 10. Bits desentrelazados 11 1 00 0 11 1 11 1 1 1 1 0 0 0. ´ Rafaga de errores. 1 1 1. 0 0 0. 1 1 1. 1 1 1. 1 1 1. 0 0 0. Errores aislados Entrelazador Bloque. Entrada de bits: por columna Salida de bits: por fila. Entrelazador. 1 0 1 1 1 0. 1 0 1 1 1 0. Desentrelazador. Nc ⇥ Nb. c Marcelino L´azaro, 2014. 1 0 1 1 1 0. Nb ⇥ Nc. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ MDCG - Introduccion 12 / 167.

(7) ˜ de un sistema de comunicaciones Diseno ˜ Factores a considerar en el diseno I I I. Tecnolog´ıas existentes Coste Calidad (prestaciones) F F. I. ´ ´ senal ˜ a ruido (S/N) Sist. analogicos: fidelidad ! relacion Sist. digitales: tasa de errores (BER). Consumo de recursos F. F. Potencia (energ´ıa) - Limitaciones f´ısicas - Limitaciones administrativas ´ - Limitaciones economicas Ancho de banda - Mismo tipo de limitaciones. Objetivo fundamental de este cap´ıtulo: I. ˜ de moduladores/demoduladores digitales Diseno considerando el compromiso entre prestaciones y consumo de recursos c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ MDCG - Introduccion 13 / 167. Modulador digital Bb [`] Modulador Digital. s(t). -. ´ de bits (secuencia Bb [`]) a una tasa binaria Rb = T1b bits/s Transmision I Conversion ´ en una senal ˜ electrica ´ s(t) ´ de bits por bloques - Secuencia de s´ımbolos Transmision I Segmentacion ´ de la secuencia Bb [`] en bloques de m bits I Cada bloque de m bits es un s´ ımbolo F F I. 1 s´ımbolo ⌘ m bits 1 Alfabeto de posibles s´ımbolos: M = 2m s´ımbolos: B 2 {bi }N i=0. Secuencia de s´ımbolos B[n] F F F. Tasa de s´ımbolo Rs = T1 s´ımbolos/s (baudios) ´ entre tasas Rb / Rs : Rb = m · Rs (o tambien ´ T = m · Tb ) Relacion 1 Alfabeto de posibles s´ımbolos: M = 2m s´ımbolos: B 2 {bi }M i=0. ´ de un s´ımbolo (bloque de m bits) cada T seg. Transmision ´ de secuencia de bits/s´ımbolos a senal ˜ s(t) Conversion I Generacion ´ por tramos: “fragmentos” de T segundos (correspondientes a 1 s´ımbolo) I. F. Intervalo de s´ımbolo para B[n]: intervalo nT  t < (n + 1)T. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ MDCG - Introduccion 14 / 167.

(8) ´ s´ımbolo / senal ˜ - Modelo mas ´ simple Conversion Se estudia inicialmente el caso del primer s´ımbolo I I. B ⌘ B[0] Intervalo de s´ımbolo: 0  t < T. ´ s´ımbolo / senal ˜ Conversion I I. Alfabeto de M posibles s´ımbolos: B 2 {b0 , b1 , · · · , bM 1 } ´ de M formas de onda de duracion ´ T segundos Definicion {s0 (t), s1 (t), · · · , sM. I I. 1 (t)},. definidas en 0  t < T. ´ s´ımbolo / forma de onda: bi $ si (t) Asociacion ´ de la senal ˜ a transmitir Generacion F. Si B = bi , entonces s(t) = si (t). ´ del s´ımbolo B[n] Transmision I I. Intervalo de s´ımbolo: nT  t < (n + 1)T Valor de s´ımbolo: B[n] = bj F. Se traslada la forma de onda asociada a bj al intervalo s(t) = sj (t. c Marcelino L´azaro, 2014. nT), en nT  t < (n + 1)T. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ MDCG - Introduccion 15 / 167. Ejemplo M = 4 Numero de bits por s´ımbolo: m = 2 ! M = 4 s´ımbolos ´ S´ımbolos: b0 ⌘ 00, b1 ⌘ 01, b2 ⌘ 10, b3 ⌘ 11 ˜ Senales seleccionadas (definidas en 0  t < T) +1. s (t) 60. + 2. T. 1. s (t) 61. s (t) 62..... ........... + 2 ... ..... . . ... ... . - .. .... ...T ......... t p ... .. tp t T 2 .... 2 p. p. 1. s (t) 63 T. t. 1. Secuencia a transmitir: Bb [`] = 011110001101 · · ·. Secuencia de s´ımbolos I Segmentacion ´ de Bb [`]: 01 | 11 | 10 | 00 | 11 | 01 | · · · I Secuencia B[n] = b1 | b3 | b2 | b0 | b3 | b1 | · · ·. p. ˜ transmitida Senal I Generacion ´ por intervalos: s(t) = {s1 (t) | s3 (t T) | s2 (t. 2T) | s0 (t. 3T) | s3 (t. 4T) | s1 (t. 5T) | · · · }. + 2 .... .... .. ........ +1 ................................. .... ..... .... ..... . ... .. .... .. ... ..... .. ..... . . . . . . . .. · · · .. 0 .. ... ... ... ... ... .. ... ... . . . . . . . . ... .. .. .. ... ... .. ....... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . p ..... ....... .. 2 ... 0. T. 2T. c Marcelino L´azaro, 2014. 3T t (seg) 4T. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 5T. 6T. s(t) ···. 7T. ´ MDCG - Introduccion 16 / 167.

(9) ´ a traves ´ del canal Transmision ˜ recibida a la salida del canal, r(t) Senal I I. ˜ sufre distorsiones durante la transmision ´ La senal ˜ transmitida: r(t) 6= s(t) No coincide con la senal. ´ considerados Modelo de canal - Efectos de distorsion I. ´ lineal Distorsion F. I. Modelo: sistema lineal e invariante, h(t), H(j!). ´ Ruido termico F. ´ Modelo: proceso aleatorio n(t) estacionario, ergodico, blanco, gaussiano, con densidad espectral de potencia Sn (t) = N20 , siendo N0 = k ⇥ T a (o K) s(t) -. - j. h(t). r(t) -. 6. n(t) I. ˜ recibida Senal r(t) = s(t) ⇤ h(t) + n(t) c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ MDCG - Introduccion 17 / 167. Demodulador digital r(t) Demodulador Digital. ˆ b [`] B -. ´ de la secuencia de bits Bb [`] a partir de la Recuperacion ˜ recibida a traves ´ del canal, r(t) senal I. ˜ sufre distorsiones en la transmision: ´ r(t) 6= s(t) La senal. Procesado de r(t) para recuperar los bits transmitidos I I. ´ en intervalos de s´ımbolo Procesado a tramos: particion ´ del s´ımbolo (m bits) transmitido en cada intervalo Estimacion. ˆ ⌘ B[0] ˆ Estima del primer s´ımbolo: B I I. ´ de la senal ˜ r(t) en el primer intervalo: 0  t < T Observacion Comparar con las M posibles formas de onda transmitidas F. ˆ = bk ´ parecida” es sk (t), entonces B Si la “mas. ˆ Estima del s´ımbolo de ´ındice n: B[n] I I. ˜ r(t) en el intervalo nT  t < (n + 1)T Observar la senal Comparar con las M posibles formas de onda F. ˆ = bv ´ parecida” es sv (t), entonces B[n] Si la “mas. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ MDCG - Introduccion 18 / 167.

(10) Ejemplo M = 4 S´ımbolos: b0 ⌘ 00, b1 ⌘ 01, b2 ⌘ 10, b3 ⌘ 11 ˜ Senales seleccionadas +1. s (t) 60. + 2. T. 1. s (t) 61. s (t) 62..... ........... + 2 ... ..... . . ... ... . - .. .... ...T ......... t p ... .. tp t T 2 .... 2 p. p. s (t) 63. 1. T. t. 1. ˜ recibida p Senal ........ . + 2 . . . +1 . .. . . ... ........ .. ............. ......... . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... .... ...... ... ... ... ........ .... ..... . . . . . . .. .. ..... ... .. · · · ... ..... ..... .. . . . . . . ... .. ...... . ...... ........ .. ..................... .... ........... .... .... ...... . ....... ..... .... ... .... .... ........... ........ . .... ... .. . . . 0 ... .... .... p1 ... . ...... 2 ...... T. 0. 3T t (seg) 4T. 2T. -. 5T. r(t) ···. 7T. 6T. ´ de s´ımbolos Deteccion I. ´ de la senal ˜ en intervalos de s´ımbolo Segmentacion ˆ = b1 F n = 0, intervalo 0  t < T - Senal ˜ “mas ´ parecida”: s1 (t) ! B[0] ˆ = b3 F n = 1, intervalo T  t < 2T - Senal ˜ “mas ´ parecida”: s3 (t) ! B[1] ˆ = b2 , B[3] ˆ = b0 , B[4] ˆ = b3 , B[5] ˆ = b1 F Siguiendo el mismo proceso: B[2] ˆ ˆ Secuencia decidida: B[n] = b1 b3 b2 b0 b3 b1 · · · ) Bb [`]: 01 11 10 00 11 01 · · · ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ MDCG - Introduccion 19 / 167. ´ de las M fomas de onda - Factores a considerar Seleccion 1. Prestaciones: probabilidad de equivocarse en el receptor (Pe ) I I. ´ senal ˜ mas ´ parecida - Pe depende del “parecido” entre senales ˜ Decision: Medida de “parecido” (distancia): energ´ıa de la diferencia (ra´ız cuadrada) sZ 1 p d(si (t), sk (t)) = E{si (t) sk (t)} = |si (t) sk (t)|2 dt F. 2. 1. ˜ Reducir errores: incrementar la distancia entre senales. ˜ transmitida Energ´ıa de la senal I I. ˜ transmitida esta´ limitada en la practica ´ La energ´ıa de la senal ´ energ´ıa media por s´ımbolo transmitido (Es ) Cuantificacion: F Probabilidad de cada s´ımbolo: pB (bi ) = P(B[n] = bi ) F Energ´ıa del s´ımbolo bi ⌘ energ´ıa de la senal ˜ si (t) F Energ´ıa media por s´ımbolo: promedio de la energ´ıa de los M s´ımbolos Es =. M X1 i=0. 3. pB (bi ) · E{si (t)}, siendo E{si (t)} =. ´ al canal (h(t)) Adecuacion I I. Z. 1 1. |si (t)|2 dt. ´ que sufre la senal ˜ en la transmision: ´ r(t) = s(t) ⇤ h(t) + n(t) Minimizar la distorsion ´ ideal: distorsion ´ lineal introducida por el canal nula (solo ´ ruido) Situacion F El ruido es el unico ´ elemento de distorsion: r(t) = s(t) + n(t) ´ F Se consigue si: si (t) ⇤ h(t) = si (t) o´ Si (j!) · H(j!) = Si (j!) para i = 0, 1, · · · , M c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 1. ´ MDCG - Introduccion 20 / 167.

(11) ´ vectorial de las senales ˜ Conveniencia de una representacion ˜ del modulador digital Diseno I. ´ de las M senales ˜ Seleccion que permiten transmitir cada bloque de m bits. Considerar los 3 factores anteriores a la hora de ˜ seleccionar las M senales trabajando en el dominio temporal es un problema dif´ıcil de tratar I. ´ vectorial de las Se simplifica utilizando una representacion ˜ senales. ´ vectorial de las senales ˜ Representacion I I I. ´ ˜ Facilitara´ el calculo de la energ´ıa de cada senal ´ ˜ Facilitara´ el calculo del “parecido” entre senales ´ de las Permite separar el problema de la adecuacion ˜ senales al canal de los otros dos factores a considerar. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ´ MDCG - Introduccion 21 / 167. ´ geometrica ´ ˜ Representacion de las senales Espacios vectoriales Un espacio vectorial (V) es un conjunto de elementos (vectores) que poseen las siguientes propiedades: ´ interna: suma (+) Ley de composicion ´ suma: x + y 2 V x, y, 2 V, Operacion que debe cumplir las siguientes propiedades a) Conmutativa: 8 x, y 2 V; x + y = y + x b) Asociativa: 8 x, y, z 2 V; x + (y + z) = (x + y) + z c) Existencia de elemento neutro 9 0 2 V : 8 x 2 V; x + 0 = 0 + x = x d) Existencia de elemento inverso 8 x 2 V9( x) : x + ( x) = 0 c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Espacios vectoriales 22 / 167.

(12) Espacios vectoriales (II) ´ externa: producto (⇥) con escalares (C) Ley de composicion ´ producto: ↵ ⇥ x 2 V ↵ 2 C, x 2 V, Operacion que debe cumplir las siguientes propiedades a) Asociativa: 8 ↵,. 2 C; 8 x 2 V; ↵ ⇥ ( ⇥ x) = (↵ · ) ⇥ x. b) Existencia de elemento neutro: 9en 2 C : 8 x 2 V; en ⇥ x = x c) Distributiva respecto a la suma: 8 ↵ 2 C; 8 x, y 2 V; ↵ ⇥ (x + y) = ↵ ⇥ x + ↵ ⇥ y d) Distributiva respecto al producto por un escalar: 8 ↵,. 2 C; 8 x 2 V; (↵ + ) ⇥ x = ↵ ⇥ x +. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ⇥x. MDCG - Espacios vectoriales 23 / 167. Espacios de Hilbert Espacio de Hilbert: espacio vectorial con producto escalar ´ hx, yi - Operacion ´ f : (V, V) ! C Notacion: ´ producto escalar Propiedades de la operacion a) b) c) d). hx, yi = hy, xi⇤ h(↵ ⇥ x + ⇥ y), zi = ↵ ⇥ hx, zi + ⇥ hy, zi hx, xi 0 hx, xi = 0 , x = 0 (vector elemento neutro). c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Espacios vectoriales 24 / 167.

(13) Norma para el espacio vectorial El producto escalar define una norma para el espacio vectorial p ||x|| = hx, xi Medida de distancia entre vectores d(x, y) = ||x. y||. ´ Angulo entre dos vectores se mide como ✓ ◆ Re{hx, yi} ✓ = cos 1 ||x|| ||y|| ´ del producto escalar no es unica La definicion ´ I. ´ da lugar a un espacio de Hilbert distinto Cada definicion. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Espacios vectoriales 25 / 167. ˜ Espacio de Hilbert para senales de energ´ıa en tiempo continuo (espacio L2 ) Producto escalar que define el espacio L2 Z 1 hx, yi = x(t) · y⇤ (t) dt 1. Norma inducida por este producto escalar sZ 1 p p 2 ||x|| = hx, xi = |x(t)]| dt = E{x(t)} 1. ˜ Distancia entre dos senales sZ d(x, y) = ||x. y|| =. c Marcelino L´azaro, 2014. 1. 1. |x(t). y(t)|2. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. p dt = E{x(t). y(t)}. MDCG - Espacios vectoriales 26 / 167.

(14) ˜ Espacio de Hilbert para senales de energ´ıa en tiempo discreto (espacio `2 ) Producto escalar que define el espacio `2 hx, yi =. 1 X. n= 1. x[n] · y⇤ [n]. Norma inducida por este producto escalar v u 1 p p u X 2 t ||x|| = hx, xi = |x[n]| = E{x[n]} n= 1. Distancia: distancia eucl´ıdea v u 1 u X d(x, y) = ||x y|| = t |x[n]. y[n]|2 =. n= 1. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. p E{x[n]. y[n]}. MDCG - Espacios vectoriales 27 / 167. Desigualdad de Cauchy-Schwarz Desigualdad de Cauchy-Schwarz |hx, yi|  ||x|| · ||y|| ˜ Expresiones para los espacios de senales de energ´ıa L2 y `2 s sZ Z 1 Z 1 1 ⇤ 2 x(t) · y (t) dt  |x(t)| dt · |y(t)|2 dt 1. 1 X. n= 1. 1. 1. v v u 1 u 1 X u u X |x[n]|2 · t |y[n]|2 x[n] · y⇤ [n]  t n= 1. n= 1. Se cumple la igualdad si los dos vectores son linealmente dependientes (proporcionales) y = ↵ ⇥ x, para cualquier ↵ 2 C I. ´ para espacios de senales ˜ Particulacion de energ´ıa L2 y `2 y(t) = ↵ ⇥ x(t) o´ y[n] = ↵ ⇥ x[n]. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Espacios vectoriales 28 / 167.

(15) ´ en una base del espacio vectorial Representacion ´ D: Base para un espacio de Hilbert H de dimension D 1 Subconjunto de D elementos {bn }n=0 2 H que permiten representar ´ lineal de estos D cada elemento del espacio como una combinacion elementos D X1 x= cn (x) · bn n=0. I. 1}) para cada x 2 H (coordenadas). D coeficientes unicos cn (x) (n 2 {0, 1, · · · , D ´. Base ortogonal:. hbn , bm i = 0, 8 n 6= m. El producto escalar de dos elementos distintos de la base es nulo. Base ortonormal: base ortogonal con elementos normalizados ´ hbn , bn i = 1 ! ||bn || = 1 hbn , bm i = 0, 8 n 6= m y ademas I. Coeficientes en una base ortonormal: cn (x) = hx, bn i ´ del producto escalar (del vector con los elementos de la base) Se obtienen a traves c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Espacios vectoriales 29 / 167. ´ de Gram-Schmidt Procedimiento de ortogonalizacion Objetivo (general): encontrar una base ortonormal que permita representar un conjunto de vectores Objetivo (particular): encontrar una base ortonormal que permita ˜ representar un conjunto de M senales I. ˜ Senales (M). I. ˜ ´ N) - N  M Base ortonormal - N senales (dimension. 1 {si (t)}M i=0. 1 { j (t)}N j=0. I. ´ de las senales ˜ Representacion si (t) =. N X1 j=0. I. ai,j ·. j (t). ˜ si (t), en la base Coordenadas de una senal, ai,j = hsi (t),. j (t)i. 2. 6 6 ´ vectorial (N dimensional): vector de coordenadas ai = 6 Representacion 4 c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 3. ai,0 ai,1 .. .. ai,N. 1. 7 7 7 5. MDCG - Espacios vectoriales 30 / 167.

(16) ´ de la base Obtencion Paso 0: Elegir s0 (t) con energ´ıa no nula. Paso 1 I. s0 (t) p , E0 = E{s0 (t)} : Energ´ıa de s0 (t) (t) = 0 E0. ´ de s1 (t) sobre Proyeccion a1,0 = hs1 (t),. I. 0 (t). 0 (t)i. =. 1 1. ⇤ 0 (t). s1 (t) ·. dt. ´ - Se sustrae esta proyeccion ´ Ortogonalizacion d1 (t) = s1 (t). I. Z. a1,0 ·. ´ Normalizacion d1 (t) , E1 = E{d1 (t)} = 1 (t) = p E1 c Marcelino L´azaro, 2014. 0 (t). Z. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 1 1. |d1 (t)|2 dt. MDCG - Espacios vectoriales 31 / 167. ´ de la base (II) Obtencion Paso k I. ´ de sk (t) sobre los elementos ya disponibles de la Proyeccion base ({ 0 (t), 1 (t), · · · , k 1 (t)}) Z 1 ak,j = hsk (t), j (t)i = sk (t) · ⇤j (t) dt, j = 0, 1, · · · , k 1 1. I. ´ - Sustraccion ´ de las proyecciones Ortogonalizacion dk (t) = sk (t). k 1 X j=0. I. ak,j ·. j (t). ´ Normalizacion dk (t) , Ek = E{dk (t)} = k (t) = p Ek c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. Z. 1 1. |dk (t)|2 dt. MDCG - Espacios vectoriales 32 / 167.

(17) ˜ Ejemplo Gram-Schmidt - Senales s0 (t) 6. s2 (t) 6. 1. 1 2. t. 1. 1. 1. s1 (t) 6. 3 t. s3 (t) 6 2. 1. c Marcelino L´azaro, 2014. 1 t. 3 t. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Espacios vectoriales 33 / 167. Ejemplo Gram-Schmidt - Base 60 (t) p1 2. 2. t. 62 (t) 1 2. 61 (t) p1 2. 2. - p12 c Marcelino L´azaro, 2014. 3 t. t. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Espacios vectoriales 34 / 167.

(18) Ejemplo Gram-Schmidt - Coordenadas ´ vectorial de las senales ˜ Representacion 2 p 3 2 3 2 3 2 p 3 0 0 2 2 p p a0 = 4 0 5 a1 = 4 2 5 a2 = 4 2 5 a3 = 4 0 5 0 0 1 1. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. MDCG - Espacios vectoriales 35 / 167. Ejemplo Gram-Schmidt - Base alternativa Base 0 (t). =. 1 (t) =. 2 (t). =. ( ( (. 1, 0,. si 0  t < 1 en otro caso. 1, 0,. si 1  t < 2 en otro caso. 1, 0,. si 2  t < 3 en otro caso. Coordenadas en la base 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 a00 = 4 1 5 a01 = 4 1 5 a02 = 4 1 5 a03 = 4 1 5 0 0 1 1 c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Espacios vectoriales 36 / 167.

(19) Ejemplo Gram-Schmidt - Coordenadas (base alternativa) ´ vectorial de las senales ˜ Representacion 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 0 0 0 0 a0 = 4 1 5 a1 = 4 1 5 a2 = 4 1 5 a3 = 4 1 5 0 0 1 1. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Espacios vectoriales 37 / 167. Ejemplo Gram Schmidt - Energ´ıas y distancias ˜ y distancias entre senales ˜ Energ´ıa de una senal se calculan de forma eficiente a partir de las representaciones ˜ vectoriales de las senales I. ˜ Energ´ıa de una senal Ei = E {si (t)} =. I. Z. 1 1. =||ai. 2. |si (t)| dt = ||ai || =. ˜ Distancia entre dos senales sZ d (si (t), sk (t)) =. 2. 1 1. |si (t). v uN 1 uX ak || = t |ai,j. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. j=0. |ai,j |2. sk (t)|2 dt. j=0. c Marcelino L´azaro, 2014. N X1. ak,j |2. MDCG - Espacios vectoriales 38 / 167.

(20) Ejemplo Gram Schmidt - Energ´ıas y distancias (II) Coordenadas en la primera base 2 p. a0 = 4. 3 2 3 2 2 p0 0 5 a1 = 4 2 5 a2 = 4 0 0. 0 p 1. Coordenadas en la segunda base. 3. 2 p. 2 5 a3 = 4. 3 2 0 5 1. 2. 3 2 3 2 3 2 3 +1 +1 1 +1 a00 = 4 +1 5 a01 = 4 1 5 a02 = 4 +1 5 a03 = 4 +1 5 0 0 +1 +1. Energ´ıas y distancias (independientemente de la base elegida) E0 = 2, E1 = 2, E2 = 3, E3 = 3 p d(s0 , s1 ) = 2, d(s0 , s2 ) = 5, d(s0 , s3 ) = 1 p p d(s1 , s2 ) = 9, d(s1 , s3 ) = 5, d(s2 , s3 ) = 2 c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Espacios vectoriales 39 / 167. Ejemplo Gram Schmidt - Conclusiones ˜ La base ortonormal que permite representar las M senales no es unica ´ I. ´ ˜ Es valido cualquier conjunto de N senales ortonormales que ˜ permitan representar cada una de las M senales de forma exacta. ˜ La energ´ıa de cada una de las senales y la distancia entre las mismas sera´ la misma para cualquier base ortonormal I. ´ de una base u otra solo ´ supondra´ una rotacion ´ La eleccion del sistema de referencia. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Espacios vectoriales 40 / 167.

(21) Ejemplo para M = 2 - Candidatos para s0 (t), s1 (t) s (t). 1. s (t). 60. T. -1. -. t. 1. s (t). 61. -1. 2. T t. T. -2. Conjunto 1 s0 (t) p 6 2 ........... . .. .. p - 2. -. t. 61. 2. T t. -2. Conjunto 2. s1 (t) p 6 .... 2 ... ..... ... .T .. . . . . . ... .. t p .......... ...... - 2. s (t). 60. s (t). t. Conjunto 3 c Marcelino L´azaro, 2014. 1 .6. ..... ... 2 ..... ... .... ..... .T ..... ... .. ... .. t ........ ........ T t -2 -2 2. .. T. s (t). 60... Conjunto 4 ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Modelo del sistema 41 / 167. ˜ Distancias entre las senales d(si (t), sj (t)) =. sZ. 1 1. |si (t). sj (t)|2 dt. Primer conjunto d(s0 (t), s1 (t)) =. s Z. T 0. |1. p ( 1)|2 dt = 2 T. Segundo conjunto d(s0 (t), s1 (t)) =. c Marcelino L´azaro, 2014. s Z. T 0. |2. p 0|2 dt = 2 T. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Modelo del sistema 42 / 167.

(22) ˜ Distancias entre las senales Tercer conjunto s. ◆ ✓ ✓ ◆◆ 2 p 2⇡t 2⇡t d(s0 (t), s1 (t)) = 2 sin 2 sin dt T T 0 s  sZ ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ T 2⇡t T 2⇡t 2⇡t 2 = 8 sin dt = 4 t sin cos T 2⇡ T T 0 Z. T. ✓. p. T. p =2 T. 0. Cuarto conjunto s. ◆ ✓ ✓ ◆◆ 2 2⇡t 2⇡t d(s0 (t), s1 (t)) = 2 sin 2 cos dt T T 0 sZ ✓ ◆ ✓ ◆ T p 2⇡t 2⇡t = 4 8 sin cos dt = 2 T T T 0 ya que. Z. T 0. 8 sin. ✓. 2⇡t T. ◆. Z. ✓. T. cos. c Marcelino L´azaro, 2014. ✓. 2⇡t T. ◆. . dt =. 2T sin2 ⇡. ✓. 2⇡t T. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ◆. T. =0 0. MDCG - Modelo del sistema 43 / 167. Energ´ıa media por s´ımbolo. Es =E [E{s(t)}] = E =. M X1 i=0. Conjunto 1 1 Es = 2. Z. T 0. Z. 1 1. P (s(t) = si (t)) ·. 1 |1| dt + 2. Z. 1 |2|2 dt + 2. Z. 2. T. |. 0. |s(t)|2 dt. Z. 1 1. |si (t)|2 dt. 1 1 1|2 dt = T + T = T 2 2. Conjunto 2 1 Es = 2. Z. T 0. c Marcelino L´azaro, 2014. T 0. 1 1 |0|2 dt = 4T + 0 = 2T 2 2. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Modelo del sistema 44 / 167.

(23) Energ´ıa media por s´ımbolo  ✓ ◆ ✓ ◆ T ⇡t 1 2⇡t 2⇡t cos2 dt = + cos sin 2⇡ T 2 T T 0 ✓ ◆  ✓ ◆ ✓ ◆ Z T 2⇡t T ⇡t 1 2⇡t 2⇡t sin2 dt = cos sin T 2⇡ T 2 T T 0. Z. ✓. T. 2⇡t T. ◆. Conjunto 3 Es =. T. =. T 2. =. T 2. 0 T 0. 1 p 2T 1 p T · ( 2) + · ( 2)2 = T 2 2 2 2. Conjunto 4 Es =. 1 T 1 T · (2)2 + · (2)2 = 2T 2 2 2 2. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Modelo del sistema 45 / 167. Ejemplo para M = 2 - Candidatos para s0 (t), s1 (t) s (t). 1. s (t). 60. -1. T. -. t. 1. s (t). 61. -1. T t. 2. T. -2. Conjunto 1. -. t. 61. 2. T t. -2. Conjunto 2. s0 (t) s1 (t) p 6 p 6 ..... 2 ........... 2 .. .. ..... .. ... .T. . .. . ... .. p t p ........... T t ....... - 2 - 2. s (t). 60... s (t). 1 .6. .. .. .... 2 ..... .. .. ... .... ..... .T. . ... .. ... .. t ......... T t ....... -2 -2 2. Conjunto 3 c Marcelino L´azaro, 2014. s (t). 60. Conjunto 4 ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Modelo del sistema 46 / 167.

(24) ´ Base y constelacion ˜ Se define una base para las M senales ´ vectorial de cada senal ˜ Se obtiene la representacion 2. 6 6 si (t) $ ai = 6 4. 3. ai,0 ai,1 .. .. ai,N. 1. 7 7 7 5. ´ de la senal ˜ con la representacion ´ discreta Relacion si (t) =. N 1 X j=0. ai,j ·. j (t). Facilita la medida de energ´ıa y distancias E{si (t)} = ||ai ||2 =. N X1 j=0. v uN 1 uX ak || = t |ai,j. 2. |ai,j | , d(si (t), sk (t)) = ||ai. c Marcelino L´azaro, 2014. j=1. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ak,j |. 2. MDCG - Modelo del sistema 47 / 167. ´ - Conjunto 1 Base y constelacion 60 (t) p1 T. t. T. p a0 = [a0,0 ] = + T,. p. p. T. s1 (t) = a1 ·. r. 0. a1 = [a1,0 ] =. s0 (t) = a0 ·. c Marcelino L´azaro, 2014. a0. r. -. - p1T. a1. p. - 0 (t). T. T. 0 (t) 0 (t). ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Modelo del sistema 48 / 167.

(25) ´ - Conjunto 2 Base y constelacion 60 (t) p1 T. a1. a0. t. 0. p 2 T. p. a1 = [a1,0 ] = 0. r. -. T. - p1T. a0 = [a0,0 ] = +2 T, s0 (t) = a0 · s1 (t) = a1 ·. c Marcelino L´azaro, 2014. r. - 0 (t). 0 (t) 0 (t). ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Modelo del sistema 49 / 167. ´ - Conjunto 3 Base y constelacion. p p2 T. p p - T2. 60 (t). ........ .. ... ....... ... .. ... ... ... .. . . ... .... ..... T ........... t. p. p. T. s1 (t) = a1 ·. r. 0. a1 = [a1,0 ] =. s0 (t) = a0 ·. c Marcelino L´azaro, 2014. a0. r. -. p a0 = [a0,0 ] = + T,. a1. p. - 0 (t). T. T. 0 (t) 0 (t). ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Modelo del sistema 50 / 167.

(26) ´ - Conjunto 4 Base y constelacion 1 p p2 T. -. 60 (t). .......... ..... ..... ... . .. . . . ... .. T p ......... p2. p p2 T. -. t. -. T. a0 =. . a0,0 a0,1. =. 61 (t). ........ .... ... .. .. . ... ... ... . . p .... ... T t ...... p2. p. 6 r a1. 2T. a0 pr 2T. T.  p. 2T 0. a1 =. ,. s0 (t) = a0,0 ·. 0 (t). s1 (t) = a1,0 ·. . 0 (t). a1,0 a1,1. + a0,1 ·. =. p0 2T. 1 (t). + a1,1 ·. 1 (t). ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. . 0. MDCG - Modelo del sistema 51 / 167. ˜ ´ Distancias entre las senales - Constelacion v uN 1 uX aj || = t |ai,j. d(ai , ak ) = ||ai. j=0. p Primer conjunto: a0 = + T, a1 = d(a0 , a1 ) =. ak,j |. r. p. 2. T. p (+ T). (. p. 2. T). p =2 T. p Segundo conjunto: a0 = 2 T, a1 = 0 d(a0 , a1 ) =. r. p (+2 T). p Tercer conjunto: a0 = + T, a1 = d(a0 , a1 ) =. Cuarto.  p. r. p. p (+ T). (0). p =2 T. T (. p.  0 2T conjunto: a0 = , a1 = p 0 2T r p 2 d(a0 , a1 ) = ( 2T) (0) + (0) c Marcelino L´azaro, 2014. 2. 2. T). p =2 T. p ( 2T). ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 2. p =2 T. MDCG - Modelo del sistema 52 / 167.

(27) ´ Energ´ıa media por s´ımbolo - Constelacion Es =E [E{s(t)}] = =. M X1 i=0. pA (ai ) ·. M X1. i=0 N 1 X j=0. pA (ai ) · E{ai }. |ai,j |2. Conjunto 1 (s´ımbolos equiprobables) 1 ⇣ p ⌘2 1 ⇣ p ⌘2 1 1 Es = · + T + · T = ·T + ·T =T 2 2 2 2. Conjunto 2 (s´ımbolos equiprobables). 1 ⇣ p ⌘2 1 1 1 Es = · +2 T + · (0)2 = · 4T + · 0 = 2T 2 2 2 2 ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. MDCG - Modelo del sistema 53 / 167. ´ (II) Energ´ıa media por s´ımbolo - Constelacion Conjunto 3 (s´ımbolos equiprobables) 1 ⇣ p ⌘2 1 ⇣ p ⌘2 1 1 Es = · + T + · T = ·T + ·T =T 2 2 2 2 Conjunto 4 (s´ımbolos equiprobables)   ⇣p ⌘2 1 ⇣p ⌘2 1 2 2 Es = · 2T + (0) + · (0) + 2T 2 2 1 1 = · 2T + · 2T = 2T 2 2 M´ınima energ´ıa para unas distancias entre s´ımbolos dadas I. En este caso Conjunto 1 y Conjunto 3 requieren menos energ´ıa para la misma distancia F. Para unas distancias entre s´ımbolos dadas, se minimiza la ´ es nula energ´ıa si la media de la constelacion 2. 6 6 E [ai ] = 6 4. c Marcelino L´azaro, 2014. E[ai,0 ] E[ai,1 ] .. . E[ai,N 1 ]. 3. 2. 7 6 7 6 7=6 5 4. 0 0 .. . 0. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 3. 7 7 7=0 5. MDCG - Modelo del sistema 54 / 167.

(28) M´ınima Es para unas distancias entre s´ımbolos - Media nula Ejemplo en espacio 1D: s´ımbolos a0 = B I I. A, a1 = B + A. Media B Distancia entre s´ımbolos 2A. 2A r. r. a0 B. a1 A. B. B+A. - 0 (t). Energ´ıa media por s´ımbolo (s´ımbolos equiprobables) 1 1 1 1 · E{a0 } + · E{a1 } = · (B A)2 + · (B + A)2 2 2 2 2 ⌘ 1 ⇣ ⌘ 1 ⇣ 2 = · B + A2 2AB + · B2 + A2 + 2AB = B2 + A2 2 2. Es =. I I. ´ media: B2 Contribucion ´ distancia: A2 Contribucion. M´ınima energ´ıa por s´ımbolo para una distancia 2A Media nula (B = 0) ! Es = A2 ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. MDCG - Modelo del sistema 55 / 167. ˜ Respuesta en frecuencia de las senales Conjunto 1 y Conjunto 2 6. 2⇡ T I. . |Si (j!)| ......... . . ..... ..... .. . .. .. .. ................. ...... ..... ..................... 0. + 2⇡ T. ! (rad/s). ˜ ´ en canales con “buena Senales apropiadas para transmision respuesta” en bajas frecuencias. Conjunto 3 y Conjunto 4. ... ..... ..... . .... ..... . ... . .. ... .................... .... .... .................... 2⇡ T. I. 6 |Si (j!)|. 0. ... ..... ..... . .... ..... . ... . .. ... .................... .... .... .................... + 2⇡ T. -. ! (rad/s). ˜ ´ en canales con “buena Senales apropiadas para transmision respuesta” en torno a la frecuencia 2⇡ T radianes/s c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Modelo del sistema 56 / 167.

(29) ˜ del modulador digital - Seleccion ´ de las M senales ˜ Diseno Restricciones a tener en cuenta I I I. ˜ Energ´ıa de las senales (Es ) ˜ Distancia (medida de parecido) entre senales: d(si (t), sj (t)) ´ a las caracter´ısticas del canal: si (t) ⇤ h(t) = si (t) Adecuacion. ´ discreta (vectorial) de las senales ˜ Representacion I. ´ de M puntos representando las senales ˜ Constelacion F F. I. ´ N M vectores ai de dimension Permite evaluar energ´ıas y distancias (independientemente de la base). ´ N Base ortonormal de dimension F F. N funciones ortonormales, j (t) ´ a las caracter´ısticas del canal Permite evaluar la adecuacion ´ (independientemente de la constelacion) Si. I. j (t). ⇤ h(t) =. j (t),. 8j, entonces si (t) ⇤ h(t) = si (t), 8i. ´ – base Restricciones constelacion F. ´ del espacio de senales, ˜ Dimension N c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Modelo del sistema 57 / 167. ´ digital Modelo de comunicacion Bb [`] ! B[n] -. Codificador. A[n]-. Modulador. s(t) ?. Modulador Digital Bˆb [`]. ˆ B[n]. Decisor. q[n]. Demodulador. Canal. r(t). Demodulador Digital ´ del modulador digital en dos modulos ´ Division I I. Codificador Modulador. ´ del demodulador digital en dos modulos ´ Division I I. Demodulador Decisor. Representaciones intermedias vectoriales: A[n] y q[n] I I. ´ discreta de las senales ˜ Representacion en un espacio vectorial de ´ N definido por una base { j (t)}Nj=01 dimension ˜ del transmisor y receptor Simplifican notablemente el diseno c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Modelo del sistema 58 / 167.

(30) ´ de cada modulo ´ Descripcion Codificador I. ´ vectorial de la senal ˜ asociada a cada Define la representacion ´ s´ımbolo (constelacion) F. I. Intervalo de ´ındice n: vector A[n] representando s(t) en nT  t < (n + 1)T. ˜ (para seleccionar la constelacion) ´ Criterios de diseno F F. Energ´ıa ˜ Distancia (“parecido”) entre senales (prestaciones). Modulador I I. ˜ Define la base ortonormal del espacio de senales ˜ (para seleccionar las N funciones Criterios de diseno F. ´ a las caracter´ısticas del canal Adecuacion. j (t)). Demodulador I. ˜ recibida, por intervalos de s´ımbolo, en vectores Convierte la senal ˜ en el espacio de senales definido por la base { j (t)}Nj=01 F. Decisor I. Intervalo de ´ındice n: vector q[n] representando r(t) en nT  t < (n + 1)T. ˜ recibida y las M posibles Compara el “parecido” entre la senal ˜ senales {s0 (t), s1 (t), · · · , sM 1 (t)} para decidir s´ımbolos F F. Medida de distancia sobre las representaciones vectoriales Compara las distancias de: ˜ recibida en el intervalo de s´ımbolo: q[n] - Vector de la senal -c Vectores de los M posibles s´ımbolos: ai , ´para i 2 {0, 1, · · · , M Marcelino L´azaro, 2014. Demodulador. r(t). Teor´ıa de la Comunicacion. - Demodulador. q[n]. 1}. MDCG - Modelo del sistema 59 / 167. -. ´ en tiempo discreto de la senal ˜ recibida r(t) Obtiene la representacion I Proyeccion ´ en el espacio de senales ˜ N-D del modulador 2. 3 q0 [n] 6 q1 [n] 7 6 7 q[n] = 6 7 ⌘ r(t) en base ortonormal { .. 4 5 . qN 1 [n]. 1 (t), · · ·. 0 (t),. ,. N. 1 (t)}. ˜ a tramos: por intervalos de s´ımbolo Proceso de la senal F En q[n] se tiene la representacion ´ discreta de r(t) en el intervalo de s´ımbolo asociado a A[n], i.e., nT  t < (n + 1)T ´ ´ Calculo de la proyeccion I Proyeccion ´ en una base ortonormal: producto escalar F Proceso del primer intervalo de s´ ımbolo: q[0] ⌘ q = [q0 , q1 , · · · , qN 1 ]T I. Intervalo: 0  t < T Z 1 Z ⇤ qj = hr(t), j (t)i = r(t) · j (t) dt =. c Marcelino L´azaro, 2014. 1. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. T 0. r(t) ·. ⇤ j (t). dt. MDCG - Demodulador 60 / 167.

(31) ´ Demodulador por correlacion ´ directa del producto escalar Implementacion I I. Banco de N correladores con { j (t)}Nj=01 Proceso del primer intervalo de s´ımbolo Z T qj = hr(t), j (t)i = r(t) · 0. - h•, i 0 - h•, i 1. r(t) -. r r r. - h•, N 1i. q0 q1 r r r. qN. ⇤ j (t). - @n 6. -. ⇤ 0 (t). -. r(t) -. - @n 6 ⇤ 1 (t). 1. -. c Marcelino L´azaro, 2014. - @n 6 ⇤ N 1 (t). ´ Teor´ıa de la Comunicacion. dt. RT 0. • dt. RT 0. • dt. RT. • dt. 0. r r r. q0. -. q1. -. r r r. qN. 1. -. MDCG - Demodulador 61 / 167. ´ - Conjuntos de senales ˜ Ejemplos de implementacion anteriores candidatos a implementar el modulador r(t) - @n 6 1 p T. RT 0. • dt. q0 -. a). r(t) - @n - R T • dt 0 6 r ✓ ◆ 2 2⇡t sen T T b). q0 -. - @n - R T • dt 0 6 r ✓ ◆ 2 2⇡t sen r(t) T T - @n - R T • dt 0 6 r ✓ ◆ 2 2⇡t cos T T c). q0 -. q1 -. a) Conjuntos 1 y 2 b) Conjunto 3 c) Conjunto 4 c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Demodulador 62 / 167.

(32) Demodulador mediante filtros adaptados ˜ con un banco de N filtros Filtrado de la senal I I. Respuesta de los filtros: hk (t), con k = 0, 1, · · · , N Salida del filtro de ´ındice k Z 1. yk (t) = r(t) ⇤ hk (t) =. 1. r(⌧ ) · hk (t. 1. ⌧ ) d⌧. Filtros adaptados a los elementos de la base ortonormal I. Respuesta del filtro adaptado. hk (t) = I. I. ˜ de salida del filtro Senal Z 1 yk (t) = r(⌧ ) · 1. ⇤ k(. ⇤ k(. t) ⌧ )) d⌧. (t. ˜ yk (t) en el instante t = 0 Valor de la senal Z 1 yk (0) = r(⌧ ) · ⇤k (⌧ ) d⌧ ⌘ hr(t),. k (t)i. 1. F. = qk. Coordenada de ´ındice k de la salida del demodulador ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. MDCG - Demodulador 63 / 167. Demodulador mediante filtros adaptados (II) Banco de N filtros adaptados I I. Filtros adaptados a los N elementos de la base ortonormal Proceso del primer intervalo de s´ımbolo F. Muestreo en t = 0 de la salida de los filtros. r(t)-. -. ⇤( 0. t). -. ⇤( 1. t). -. r r r. ⇤ N 1(. t). q0. -. q1. -. r r r. qN. 1. -. ?. t=0 c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Demodulador 64 / 167.

(33) Demodulador con filtros adaptados causales Soporte para la respuesta de los elementos de la base I. Funciones. I. Soporte de los filtros adaptados hk (t) = F F F. k (t). definidas en 0  t < T. ⇤( k. t). Funciones ⇤k ( t) definidas en T < t  0 Respuestas al impulso NO causales (anticausales) ´ real NO es posible Implementacion. ´ real de los filtros adaptados Implementacion I. ´ en respuesta causal: retardo de T segundos Conversion hTk (t) = hk (t. I. T) =. ⇤ k(. (t. T)) =. ⇤ k (T. t). Producto escalar (para obtener coordenada qk ) F. ˜ de salida Usando hTk (t) se retarda T segundos la senal yTk (t) = r(t) ⇤ hTk (t) = yk (t. F. T). Hay que retardar el instante de muestreo T segundos qk = hr(t),. k (t)i. = yk (0) = yTk (T). ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. MDCG - Demodulador 65 / 167. Demodulador mediante filtros adaptados causales (II) Banco de N filtros adaptados causales I I. Retardo de T segundos en la respuesta de los filtros Proceso del primer intervalo de s´ımbolo F. Retardo de T seg. en el instante de muestreo: t = T. r(t) -. -. ⇤ 0 (T. -. ⇤ 1 (T. -. q0. t). q1. t). r r r. r r r. ⇤ N 1 (T. t). -. qN. -. 1. -. ? t=T. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Demodulador 66 / 167.

(34) Demodulador con flujo indefinido de s´ımbolos ´ q ⌘ q[0] Se ha analizado el proceso de la primera observacion ´ de q[n]: proceso de r(t) en nT  t < (n + 1)T Obtencion ...... - ..........h .. 6 ⇤ 0 (t. r(t). -. 1 (t. R (n+1)T nT. q q q. nT). ...... - ..........h .. 6 ⇤ N. nT. q0 [n]. -. • dt. -. ⇤ 0 (T. t). ... ..... ..... ...... q0 [n]. t). ... ..... ..... ...... q1 [n]. -. nT). .. - ...........h .... 6 ⇤ 1 (t. R (n+1)T. R (n+1)T nT. q1 [n]. • dt. • dt. q q q. -. qN 1 [n]. -. r(t). -. -. -. ⇤ 1 (T. ⇤ N. q q q. 1 (T. ... ..... qN ..... ...... t). nT). ?. q q q. -. -. 1 [n]. t = (n + 1)T FILTROS ADAPTADOS (Causales). CORRELADORES. ´ se considera NOTA: se ha representado el caso general para una posible base { k (t)} compleja, aunque en este cap´ıtulo solo el caso real c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Demodulador 67 / 167. ´ ´ S/N Propiedad del filtro adaptado - Maxima relacion ˜ s(t) mas ´ ruido n(t) con filtro h(t) Filtrado de una senal s(t)- n -. h(t). 6. I I. I. q. q(t). ?. t=0. n(t) ˜ s(t) S : Energ´ıa en q debida a la senal F. ˜ real determinista s(t) es una senal. F. Modelo de ruido: proceso aleatorio estacionario, blanco y gausiano, con estad´ısticos N0 N0 Sn (j!) = , Rn (⌧ ) = (⌧ ) 2 2. N : Energ´ıa en q debida al ruido n(t). ´ ´ senal ˜ a ruido (S/N) Calculo de la relacion S Energ´ıa en q debida a s(t) ⌘ N Energ´ıa en q debida a n(t) F. ´ S/N Busqueda del filtro real h(t) que maximiza la relacion ´ c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Demodulador 68 / 167.

(35) ´ ´ S/N (II) Propiedad del filtro adaptado - Maxima relacion Salida del filtro. q(t) =(s(t) + n(t)) ⇤ h(t) = s(t) ⇤ h(t) + n(t) ⇤ h(t) Z 1 Z 1 = s(⌧ ) · h(t ⌧ ) d⌧ + n(⌧ ) · h(t ⌧ ) d⌧ 1. 1. Valor en el instante t = 0 q = q(0) =. Z |. 1 1. s(⌧ ) · h( ⌧ ) d⌧ + {z. }. ´ ˜ termino de senal⌘s. ´ senal ˜ a ruido en q Relacion. I. I. ✓. ´ Calculo de E[|s|2 ] F. S N. = q. |. 1 1. n(⌧ ) · h( ⌧ ) d⌧ = s + z {z. }. ´ termino de ruido⌘z. E[|s|2 ] E[|z|2 ]. ˜ determinista Procesado de s(t), senal Z 1 h i 2 2 E |s| = |s| = s(⌧ ) · h( ⌧ ) d⌧. 2. (valor determinista). 1. ´ Calculo de E[|z|2 ] F. ◆. Z. ˜ aleatoria Procesado de n(t), senal ´ Calculo del valor esperado de |z|2 teniendo en cuenta los estad´ısticos de la ˜ de ruido n(t) senal ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. MDCG - Demodulador 69 / 167. ´ ´ S/N (III) Propiedad del filtro adaptado - Maxima relacion Estad´ısticos de n(t) N0 N0 ´ Rn (⌧ ) = ; Autocorrelacion (⌧ ) 2 2. Densidad espectral de potencia Sn (j!) =. ⇥ ⇤ ´ Calculo de E |z|2. ✓Z h i E |z|2 =E =. =. Z Z. N0 = 2. +1 1 +1 1. Z. +1. n(⌧ ) · h( ⌧ ) d⌧. 1 +1. Z Z. 1 +1 1. 1. +1 1. n(✓) · h( ✓) d✓. ◆. E[n(⌧ ) · n(✓)] ·h( ⌧ ) · h( ✓) d⌧ d✓ | {z } Rn (⌧. N0 (⌧ 2 | {z Rn (⌧. +1. ◆ ✓Z. ✓). ✓). ✓) ·h( ⌧ ) · h( ✓) d⌧ d✓ }. N0 |h( ⌧ )| d⌧ = 2 2. Z. +1 1. |h(⌧ )|2 d⌧ =. N0 · E{h(t)} 2. ´ NOTA: se ha aplicado la propiedad de la integral de una delta multiplicando a una funcion Z +1 1. c Marcelino L´azaro, 2014. f (x) · (x. x0 ) dx = f (x0 ). ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Demodulador 70 / 167.

(36) ´ ´ S/N (IV) Propiedad del filtro adaptado - Maxima relacion ´ senal ˜ a ruido Relacion ✓. S N. ◆. = q. |s|2 = E[z2 ]. Z. 1 1. 2. s(⌧ ) · h( ⌧ ) d⌧ N0 2. · E{h(t)}. Desigualdad de Cauchy-Schwarz para s(t) y h( t) reales Z. 1 1. 2. s(⌧ ) · h( ⌧ ) d⌧. . ✓Z. 1 1. 2. |s(⌧ )| d⌧. ◆ ✓Z. 1 1. 2. |h( ⌧ )| d⌧. ◆. ´ La igualdad (valor maximo) se obtiene para h( t) = ↵ ⇥ s(t), ↵ 2 IR ´ senal ˜ a ruido maxima: ´ Relacion I. m´ax h(t). ✓. S N. ◆. =. ✓Z. 1 1. q. =. ✓Z. s(⌧ ) · h( ⌧ ) d⌧ N0 2. 1 1. ◆2. · E{h(t)}. ◆ ✓ Z 2 |s(⌧ )| d⌧ · ↵2 N0 2. c Marcelino L´azaro, 2014. h( t)=↵·s(t) 1 2 1. |s(⌧ )| d⌧. · ↵2 · E{s(t)} ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ◆. =. E{s(t)} N0 2. MDCG - Demodulador 71 / 167. ´ ´ S/N (IV) Propiedad del filtro adaptado - Maxima relacion De este resultado se obtienen dos conclusiones: 1 ˜ ´ senal ˜ a ruido a la salida se Para senales reales, la relacion ´ hace maxima cuando h(t) = ↵ · s( t) para cualquier valor de ↵ (exceptuando ↵ = 0) y, particularmente, para el filtro adaptado h(t) = s( t) ˜ ´ Para senales complejas se llega a la misma conclusion pero con el filtro adaptado complejo h(t) = s⇤ ( t) 2. ´ senal ˜ a ruido a la salida del filtro adaptado no La relacion depende de la forma espec´ıfica de s(t), sino unicamente de ´ su energ´ıa y de la densidad espectral de potencia de ruido a la entrada del filtro c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Demodulador 72 / 167.

(37) Demodulador - Modelo estad´ıstico de q para A = ai Modelo de la salida del demodulador q asumiendo: I Eleccion ´ optima ´ del modulador para el canal Base ortonormal : h j (t), F. k (t)i. T. ·. j (t). 0. ⇤ k (t). dt =. (. 0, 1,. si k = 6 j ⌘ [j si k = j. k]. ´ al canal ! canal gausiano: Adecuacion j (t). I. =. Z. ⇤ h(t) =. j (t). ! r(t) = s(t) + n(t). S´ımbolo transmitido es A = ai = [ai,0 , ai,1 , · · · , ai,N 1 ]T F Senal ˜ generada en el primer intervalo de s´ımbolo 0  t < T: s(t) =. Coordenada de ´ındice k de q Z. qk =hr(t), k (t)i = 0 Z T NX1 @ = ai,j · 0. =. N X1. T 0. j (t)A. j=0. ai,j. Z. r(t) · 1. T j (t) ·. 0 j=0 c Marcelino L´azaro, 2014. ⇤ k (t). N X1 j=0. ⇤ k (t). ⇤ k (t). dt =. dt +. Z |. dt + zk =. Z. ai,j ·. T 0. T 0. j (t). (s(t) + n(t)) ·. n(t) · {z. ⇤ k (t). zk. N X1. ai,j · [j. j=0 ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ⇤ k (t). dt. dt }. k] + zk = ai,k + zk MDCG - Demodulador 73 / 167. Canal discreto equivalente ´ q dado que A = ai Modelo completo de la observacion 2 3 2 3 ai,0 z0 6 ai,1 7 6 z1 7 6 7 6 7 q = 6 .. 7 + 6 .. 7 = ai + z 4 . 5 4 . 5 ai,N 1 zN 1 Canal discreto equivalente AModulador. s(t)Canal. r(t)Demodulador. q. -. ................ .. .... .. Canal A - Discreto Equivalente c Marcelino L´azaro, 2014. q. -. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. q=A+z. MDCG - Demodulador 74 / 167.

(38) Canal discreto equivalente - Modelo estad´ıstico para z Modelo para n(t) es un proceso aleatorio gausiano I Coordenadas {z0 , z1 , · · · , zN 1 } son variables aleatorias conjuntamente gausianas F. ´ - funcion ´ densidad de probabilidad conjunta gausiana Caracterizacion ´ - Parametros: Vector de medias / Matriz de covarianzas. Media de cada coordenada E[zk ] = E. Z. T. ⇤ k (t). n(t) ·. 0. dt =. Z. T 0. =. = =. I. Z. Z. T 0 T 0. N0 2. Z Z. Z. T. ✓Z. T 0. E[n(t) · n⇤ (⌧ )] | {z }. 0. ⇤ j (t). n(t) ·. ⇤ k (t). dt = 0. mn (t)=0. Covarianza entre dos coordenadas Cov(zj , zk ) =E[zj · z⇤k ] = E. E[n(t)] · | {z }. dt. ⇤ j (t). ·. ◆ ✓Z. T 0. k (⌧ ). n⇤ (⌧ ) ·. k (⌧ ) d⌧. ◆. dt d⌧. N Rn (t ⌧ )= 20 · (t ⌧ ). T 0 T. 0. N0 · (t 2 ⇤ j (t). ·. ⌧) ·. k (t). dt =. ⇤ j (t). ·. k (⌧ ). N0 · [j 2. dt d⌧. k]. Variables aleatorias zj y zk (k 6= j) incorreladas ! independientes ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. MDCG - Demodulador 75 / 167. Distribuciones marginales y conjuntas para z ´ marginal Distribucion 1 fzk (zk ) = p e ⇡N0 I. z2k N0. Gausiana de media nula y varianza N20 ✓ ◆ N0 fzk (zk ) = N 0, 2. ´ conjunta (para z = [z0 , z1 , · · · , zN 1 ]T ) Distribucion N Y1. 1 fz (z) = fzk (zk ) = e N/2 (⇡N ) 0 k=0 I. 2 1 zk k=0 N0. PN. 1 = e (⇡N0 )N/2. Gausiana N-dimensional de media nula y varianzas ✓ ◆ N0 N fz (z) = N 0, 2 c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. ||z||2 N0. N0 2. MDCG - Demodulador 76 / 167.

(39) Distribuciones condicionales para q dado A = ai Canal discreto equivalente q=A+z. ´ para cada coordenada dado A = ai Distribucion 2. zk 1 N0 qk = ai,k + zk , con fzk (zk ) = p e ⇡N0 ✓ ◆ (qk ai,k )2 1 N0 N0 fqk |A (qk |ai ) = p e ⌘ N ai,k , 2 ⇡N0. I. Gausiana de media ai,k y varianza. N0 2. ´ de la observacion ´ conjunta dado A = ai Distribucion N Y1. PN 1 1 k=0 fq|A (q|ai ) = fqk |Ak (qk |ai,k ) = e N/2 (⇡N0 ) k=0 ✓ ◆ ||q ai ||2 1 N 0 N0 = e ⌘ N N ai , 2 (⇡N0 )N/2 I. (qk. ai,k )2 N0. Gausiana N-dimensional de media ai y varianzas c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. N0 2. MDCG - Demodulador 77 / 167. Decisor q[n]. -. Decisor. ˆ B[n]. -. Estima la secuencia de s´ımbolos transmitidos B[n] I I. Estima de esta secuencia s´ımbolo a s´ımbolo En el instante discreto n: F F. ´ en n, i.e., q[n] Se procesa la observacion ˆ Se estima el s´ımbolo transmitido en n, i.e., B[n]. ˜ Objetivo de diseno I. Minimizar la probabilidad de error de s´ımbolo Pe ˆ 6= B[n]) m´ınima ´ para Pe = P(B[n] Decision. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Decisor 78 / 167.

(40) ˜ del decisor - Regiones de decision ´ Diseno Alfabeto de M posibles valores B[n] 2 {b0 , b1 , · · · , bM 1 } ´ para una observacion ´ q[n] Forma de establecer la decision I. ´ del dominio de q[n] en M regiones disjuntas Division F F F. ´ Ik se asocia a un s´ımbolo bk Cada region ˆ = bk cuando q[n] 2 Ik Se decidira´ B[n] ´ Por eso se denominan regiones de decision. ´ Establecimiento de las regiones de decision I. ´ del dominio de q[n] para cumplir el Hay que hacer la division ˜ del decisor criterio de diseno F. ´ de la probabilidad de error de s´ımbolo Pe Minimizacion. ´ un´ıvoca B[n] = bi $ A[n] = ai NOTA: Recuerde que hay una asociacion c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Decisor 79 / 167. Desarrollo del decisor ˆ ⌘ B[0] ˆ Desarrollo para el primer s´ımbolo: q ⌘ q[0] ! B Probabilidad de error para un caso concreto I. ˆ = bi Caso en que observando q = q0 se decide B ˆ i) (q=q0 !B=b. Pe. =P(B 6= bi |q = q0 ) = 1 =1. I. pB|q (bi |q0 ). P(B = bi |q = q0 ). Probabilidad condicional pB|q (bi |q0 ) ⌘ Probabilidad a posteriori. Probabilidad de error para un decisor “tonto” (constante) I I. ˆ = bi , para cualquier valor de q ´ es siempre B Decision ˆ = bi , Promedio de la probabilidad de error cuando se decide B para todos los posibles valores de q h i Z 1⇥ ⇤ ˆ i) ˆ i ,8q) (q=q0 !B=b (B=b Pe =Efq (q0 ) Pe = 1 pB|q (bi |q0 ) · fq (q0 ) dq0 1 Z 1 Z 1 = fq (q0 ) dq0 pB|q (bi |q0 ) · fq (q0 ) dq0 1 1 Z 1 =1 pB|q (bi |q0 ) · fq (q0 ) dq0 1. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Decisor 80 / 167.

(41) Desarrollo del decisor (II). ´ Probabilidad de error usando REGIONES DE DECISION I I I. 1 ´ del dominio de q en M regiones disjuntas {Ik }M Division k=0 ˆ = bi si la observacion ´ q cae en Ii Se decide B Probabilidad de error: M X1 Z Pe = 1 pB|q (bi |q0 ) · fq (q0 ) dq0 Ii. i=0. ´ de la probabilidad de error Minimizacion I I I. ´ Se minimiza maximizando el segundo termino (rojo) fq (q0 ) es independiente del s´ımbolo transmitido o decidido ´ se puede variar la pB|q (bi |q0 ) que se Para cada valor de q0 solo 1 suma eligiendo bi entre uno de los M posibles valores de {bk }M k=0 1 F Esto equivale a modificar la definicion ´ de {Ik }M k=0. ˜ de las regiones de decision ´ - CRITERIO MAXIMO A POSTERIORI Diseno I. ´ de un valor del dominio de la observacion ´ q = q0 a la Asignacion ´ de decision ´ que maximiza la probabilidad a posteriori region q0 2 Ii si pB|q (bi |q0 ) > pB|q (bj |q0 ),. I. 8 j 6= i. En el caso: pB|q (bi |q0 ) = pB|q (bk |q0 ) > pB|q (bj |q0 ), 8 j 6= {i, k} F Asignacion ´ arbitraria de q0 a Ii o Ik ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. MDCG - Decisor 81 / 167. ´ para Pe m´ınima - Un ejemplo Regiones de decision. 1. pB|q (b0 |q). pB|q (b3 |q). .................................... ..................... ............... .................. .......... ........... ....... ........ . . . ....... . . ... ...... ...... .... .... .... B|q 1 ... . .... . .... ... .... ... .. ... .................. . . . . . . . . ..... ... . .... .... ... .. B|q 2 ... .... .. ... ... ... .. ... . .. . ... .. .. ... .. ... .. ......... ............ ... .. .. ... .... .... . ... . .. . . . . ... ... ... ... ... .... ... .... ... .. ... .. ... .. ...... . ... ... . . ..... .. ... ....... ... ..... ...... .. .. .. .. ... .... .. ... ... .. .. .. ... . ... ... .. .. .. ... ... ... .. .. .. ... ... .. ... .. . . ... ... ... ... .. .. . ... ... ... .. . ... ... ... .. . . ... ... . . . ... .. . ... ... .. . . . ... ... ... .. .. . ..... .... ... . . . . . . .... .... . .... ... .... . . ... .... . . . . . . . .... .. .... . . .... . . . . . ...... . .... . . ..... . . . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . ..... . .. ........ .. ........ . . . . . . . . . . . . . . . ...... . . ........ . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... .......... .......... .. .. . .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. ........................ ........ .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................... ............................................................................................... ................................................................ ........................... ..................................................................... ......................................................................................................................................... p. (b |q). p. 0,5. 0. s a0. c Marcelino L´azaro, 2014. s a1. (b |q). s a2. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. s a3. q. MDCG - Decisor 82 / 167.

(42) ´ para Pe m´ınima - Un ejemplo Regiones de decision pB|q (b0 |q). 1. 0,5. 0. pB|q (b3 |q). ....................... ........... . . . . . . . ...... . . ... pB|q (b1 |q) .... . . . . ... . . . . . . . . ... ..... ..... pB|q(b2|q) .. ... ........ . ... . . ... ... .... .. ... . ... ... .. .................................... ............... ............................... .............. .......... .......... ....... . . . . . . . ....... .... ...... ...... .... .... .... ... . . .... ... .... ... .... ... .............. . ... . . . . . . . . ...... ... .. ..... .... ... ... .. .... ... ... .. . . . . . ... ... . .. ... ... .. .. ..................... ... ... .. .... .. .... .. ... ... ... ... ..... . ... ... ... .. .. . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ..... .... ... ....... ..... .... .. .. ... ........ ....... ... ..... .... ... .... .... ... .... ..... .. .. ... .. ... ... .. ... .. . . . . . . . .. ... ... .. .. .. .. ... ... .. ..... .... .. .... .... .. .. .... ... .. . ... ... ..... ... ... ... ... . . ... .. . .. ... ... ... ... ... .. .. .. .. ... ... ... . . ... . .. . . . . ... ... ... . . .. ... .... .... .. ... . . ... . . . ..... .. . . . . . . . . . .... . . . . . . . . ... ..... . . . . . . . . . . .... . . . . . .... .... . . . . . . . . . . .... . . . . . . .... ... . . .... . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . . . . .... .. . .... . . . . . . . . . . . . . . ...... . . . .... .. . . ...... . . . . . . . . . . . . . . ........ . . . . . . . ...... .. . ....... .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .......... . . . . . . . . . . . ......... ......... . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . .................... .. .............. ... .. . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. .... .... ... ... ... ... ... .. .. 0 3 1 2 ... ... .. ... ... ... ... .. .. ... ... .. ... ... ... . . . 0 3 1 2. I. s a -. s a I. s a I. s a. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. q. -. I. MDCG - Decisor 83 / 167. Criterio Maximo A Posteriori (MAP) - Desarrollo Probabilidades a posteriori pB|q (bi |q0 ) - Regla de Bayes pB|q (bj |q0 ) = I. pB (bj ) · fq|B (q0 |bj ) fq (q0 ). Teniendo en cuenta que B = bj implica que A = aj y viceversa fq|B (q0 |bj ) ⌘ fq|A (q0 |aj ). Criterio MAXIMO A POSTERIORI (MAP): Se asigna q0 a Ii si pB (bi ) · fq|A (q0 |ai ) pB (bj ) · fq|A (q0 |aj ) > fq (q0 ) fq (q0 ). j = 0, · · · , M. 1, j 6= i. Como fq (q0 ) es una cantidad no negativa q0 2 Ii si. pB (bi ) · fq|A (q0 |ai ) > pB (bj ) · fq|A (q0 |aj ) pA (ai ) · fq|A (q0 |ai ) > pA (aj ) · fq|A (q0 |aj ). c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 8j 6= i MDCG - Decisor 84 / 167.

(43) Criterio MAP con fq|A (q0 |ai ) gausianas Ejemplo: I I. Caso binario (M = 2) pB (b0 ) = pA (a0 ) = 1/3 y pB (b1 ) = pA (a1 ) = 2/3. ............... . . ... pA (a1 ) · fq|A (q|a1 ) ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... . ... ................... .... ..... .... .... pA (a0 ) · fq|A (q|a0 ) .. . ... ........ . .... . . ... .... . . . . . . . ..... . . . . .... . . . ...... . . . . ..... .. .. . . ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................. .................. ............................. a1. q1 q2 a0. q. I1 = ( 1, q2 ), I0 = [q2 , 1). pB (b0 ) < pB (b1 ) o´ pA (a0 ) < pA (a1 ) ) d(q2 , a0 ) < d(q2 , a1 ) c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Decisor 85 / 167. ´ Criterio de Maxima Verosimilitud ´ Acronimo ML (Maximum Likelihood) Se aplica cuando los s´ımbolos son equiprobables pB (bi ) = pA (ai ) =. 1 , 8i M. ´ Ii si En ese caso, q0 se asigna a la region fq|A (q0 |ai ) > fq|A (q0 |aj ) 8j 6= i. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Decisor 86 / 167.

(44) Criterio ML (bi equiprobables) .............. .............. . . . . ... ... . fq|A (q|a1 ) fq|A (q|a0 ) ... .... ... .... . ... .. ... .. ... ... ... .... .... ... ... .... ... . ... ..... ..... .... ... . . .... . . ... . . ... . . ... . . . . ... .... . . . . .... . . ..... . . ..... .. .. . . ...... . . . . . . . ......... . . . . . . . . . . . . . . . . ............................... ................................ .......................... ............................... a1 q1 =. q1. q. a0. a0 + a1 , I1 = ( 1, q1 ), I0 = [q1 , 1) 2. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. MDCG - Decisor 87 / 167. Criterio MAP (bi no equiprobables) ... ..... ........ . ... pA (a1 ) · fq|A (q|a1 ) ... ... .... ... ... ..... ... . ... ... ... .................... ... ..... .... .... pA (a0 ) · fq|A (q|a0 ) .. . ... ........ . .... . . ... . . .... . . .... . . ..... . . . . . . ..... . . ...... . . . . . . . . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................... .................................... ................. ............................. a1. q1 q2 a0. q. I1 = ( 1, q2 ), I0 = [q2 , 1). pB (b0 ) < pB (b1 ) o´ pA (a0 ) < pA (a1 ) ) d(q2 , a0 ) < d(q2 , a1 ). ´ de decision ´ de los Si los s´ımbolos no son equiprobables se tiende a hacer mayor la region ´ probables s´ımbolos mas c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Decisor 88 / 167.

(45) Caso fq|A (q|ai ) gausiana y pB (bi ) = 1/M Criterio ML: q0 pertenece a Ii si 1 e (⇡N0 )N/2 e. ||q0. ai ||2 N0. ||q0. ai || N0. 1 > e (⇡N0 )N/2. 2. ||q0. >e. ||q0. aj ||2 N0. aj ||2 N0. 8j 6= i. 8j 6= i. ´ monotona ´ La exponencial es una funcion creciente ea > eb , a > b ||q0. ai ||2. ||q0. ai ||2 < ||q0. aj ||2. ||q0. > 8j 6= i N0 N0 Multiplicando por N0 y quitando el signo negativo aj ||2. 8j 6= i. ´ de la norma de un vector Aplicando la definicion ||q0 I. 2. ai || =. N X1 k=0. ai,k |2 = |d(q0 , ai )|. |q0,k. 2. Criterio de m´ınima distancia eucl´ıdea q 2 Ii si d(q0 , ai ) < d(q0 , aj ), 8j 6= i. c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Decisor 89 / 167. Decisor de M´ınima Distancia S´ımbolos equiprobables ´ fq|A (q|ai ) gausiana (ruido gausiano) Distribucion ´ se cumplira´ para cualquier distribucion ´ simetrica ´ NOTA: En realidad, tambien respecto del ´ par) y decreciente en el caso 1-D, ya que en ese caso dos distribuciones origen (funcion ´ en el punto medio entre ambas medias, o para funciones con distinta media “se cortaran” de base radial decrecientes en el caso N-D. q. -. - d(•, a0 ). -. - d(•, a1 ). -. r r r. - d(•, aM 1 ) c Marcelino L´azaro, 2014. r r r. m´ın d(•, ai ) i. ˆ = bi B -. -. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Decisor 90 / 167.

(46) ´ Calculo de la probabilidad de error Cuando se transmite el s´ımbolo B = bi (o A = ai ) I I. ´ de la observacion ´ fq|A (q|ai ) Distribucion Probabilidad de error condicional. Pe|B=bi = Pe|A=ai ⌘ Pe|ai. Si se transmite el s´ımbolo B = Bi ˆ = bj 6= bi F Se produce un error cuando se decide B F Esto ocurre cuando al transmitir a la observacion ´ q2 / Ii i Z. Pe|ai =. Probabilidad de error total I. q2I /i. fq|A (q|ai ) dq. Se promedian las probabilidades de error condicionales Pe =. M X1 i=0. F. pA (ai ) · Pe|ai. Para s´ımbolos equiprobables. c Marcelino L´azaro, 2014. M 1 1 1 X pA (ai ) = ! Pe = Pe|ai M M ´ i=0 Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Decisor 91 / 167. Ejemplo Caso unidimensional (N = 1) y binario (M = 2) I. I I. ´ Constelacion. a0 = +A, a1 =. A. S´ımbolos equiprobables pA (a0 ) = pA (a1 ) = ´ Regiones de decision. 1 2. Umbral qu = 0 ! I0 = [0, 1), I1 = ( 1, 0). I1. as1. A. -. qu = 0. as0. I0. +A. -. q. Probabilidad de error Pe =pA (a0 ) · Pe|a0 + pA (a1 ) · Pe|a1 1 1 = · Pe|a0 + · Pe|a1 2 2 c Marcelino L´azaro, 2014. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Decisor 92 / 167.

(47) Probabilidad de error B = b0 ............... . . ... .. fq|A (q|a0 ) ... .... . ... . ... ..... ... .. ... .. ... ... ... ... ... . ... .. . . .... . . ..... . . .. . ....... . . . . . . . ......................... . . . . . . . . s s ...... ......................... A. 0. q. +A. ´ fq|A (q|a0 ) gausiana de media +A y varianza N0 /2 Distribucion ! Z A Pe|a0 = fq|A (q|a0 ) dq = Q p N0 /2 q2I /0 ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. MDCG - Decisor 93 / 167. Probabilidad de error B = b1 .... ..... ........ . . ... fq|A (q|a1 ) .... ... ... ... ... .... ... . ... ... ... .... ... . . ... . ... ... .... . . . ..... . . .. ....... . . . . . . . ................................... . . . . . . . . . . . . . . s s . .............. A. 0. +A. ´ fq|A (q|a1 ) gausiana de media Distribucion Pe|a1 =. Z. q2I /1. c Marcelino L´azaro, 2014. fq|A (q|a1 ) dq = Q. -. q. A y varianza N0 /2 ! A p N0 /2. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Decisor 94 / 167.

(48) ´ grafica ´ Probabilidad de error total - Interpretacion Pe =. 1 1 1 Pe|a0 + Pe|a1 = 2 2 2. Z. q2I /0. fq|A (q|a0 ) dq +. 1 2. Z. q2I /1. fq|A (q|a1 ) dq. ....... ....... .... ...... .... ...... 0,5 · fq|A (q|a0 ) ... .. ... .. ..... ... .... ... ... .... .... ... .. .. .... ... . . . . ... .... . . . . .... . . .... . . . . .. . . r ................................................... .................................................... r 0,5 · fq|A (q|a1 ). A. I1. 0 qu. +A. q. -. I0. ......... ......... 0,5 · fq|A (q|a1 ) ..... ..... ..... ..... 0,5 · fq|A (q|a0 ) ... .. ... . ..... ... .... ... .... .... .... ... .. .. ..... ... . . . . .... .... . . . . . .... . . . . . . . . . r .................................................. .................................................. r A. I1. 0. q0u +A. q. -. I0. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. MDCG - Decisor 95 / 167. Resultado general caso 1-D binario equiprobable En este caso, se tienen las siguientes condiciones I. ´ Regiones de decision F. Umbral en el punto medio de los dos s´ımbolos qu =. F. a0 + a1 2. Distancia de cada s´ımbolo al umbral d(a0 , qu ) = d(a1 , qu ) =. d(a0 , a1 ) 2. Probabilidad de error Pe = Q. c Marcelino L´azaro, 2014. d(a0 , a1 ) p 2 N0 /2. !. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. MDCG - Decisor 96 / 167.

(49) ´ Espacio 1-D M-ario Ejemplo: I I I. M = 4, s´ımbolos equiprobables pA (ai ) = 14 ´ a0 = 3, a1 = 1, a2 = +1, a3 = +3 Constelacion: ´ umbrales qu1 = 2, qu2 = 0, qu3 = +2 Regiones de decision: I0 = ( 1, 2], I1 = ( 2, 0], I2 = (0, +2], I3 = (+2, +1) I0 a0. t. 3. I. t. 2. I2 a2. -. t. 1. I3 a3. -. +1 +2 0 Probabilidades de error condicionales Pe|a0 = Q. I. I1 a1. -. p. 1 N0 /2. !. , Pe|a1 = 2Q. p. 1 N0 /2. !. Probabilidad de error total M 1 1X 3 Pe = Pe|ai = Q 4 2 i=0. -. t. q. +3. , Pe|a2 = Pe|a1 , Pe|a3 = Pe|a0. 1 p N0 /2. !. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. MDCG - Decisor 97 / 167. ´ Calculo Pe|a0. .............. . . ... . ... ..... ... ... ...... ... ... ..... . . ... ... ..... . ... ... ... ...... .. .. . ... ... ... ... ......... . . . a . 0 . ... ... ... ... ... ...u.........................................................u......................................................................u...................................................................................................... ............. u 3. I0. -. 2. ´ fq|A (q|a0 ) Distribucion I. Gausiana de media a0 =. Probabilidad de error I. 1. 0. +1. +2. q. +3. 3 y varianza N0 /2. Integrar fq|A (q|a0 ) fuera de I0. Pe|a0 =. Z. q2I /0. c Marcelino L´azaro, 2014. fq|A (q|a0 ) dq = Q. p. ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 1 N0 /2. ! MDCG - Decisor 98 / 167.

(50) ´ Calculo Pe|a1. .............. . . ... . ... ..... ... ... ...... ... ... ... ..... .... ... . ... ... ..... . ....... .... .... ... ... ... ...... . ... .. .. .. . ... ... ... ... ......... . . .... ... ... ... ... ... a1 . . . ... ... ... ... ... ...u................................. u . . u ................................................................................... .. ..u.. .. .. .. .. . . . ........................................................................................................................... 3. 2. 1. I1. 0 -. ´ fq|A (q|a1 ) Distribucion I. Gausiana de media a1 =. +2. q. +3. 1 y varianza N0 /2. Probabilidad de error I. +1. Integrar fq|A (q|a1 ) fuera de I1. Pe|a1 =. Z. q2I /1. fq|A (q|a1 ) dq = 2Q ´ Teor´ıa de la Comunicacion. c Marcelino L´azaro, 2014. 1 p N0 /2. !. MDCG - Decisor 99 / 167. ´ Calculo Pe|a2. .............. . . ... . ... ..... ... .... ...... ... ... ... ..... .... ... . ... ... ..... . ... ... ... ... ...... .......... .... .... . ... ... ... ... ......... .... ... ... ... ... a2 . . . . . .. ... ... ... ... ... ...u......................................................................................... u ............................................................................................................u.............................................. .. ..u.. .. ... ... ... 3. 2. 1. 0. +1 I2. +2 -. q. +3. ´ fq|A (q|a2 ) Distribucion I. Gausiana de media a2 = +1 y varianza N0 /2. Probabilidad de error I. Integrar fq|A (q|a2 ) fuera de I2. Pe|a2 =. Z. q2I /2. c Marcelino L´azaro, 2014. fq|A (q|a2 ) dq = 2Q ´ Teor´ıa de la Comunicacion. 1 p N0 /2. !. MDCG - Decisor 100 / 167.

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