Jorge J. Delgado – Maria L ´ucia Torres Villela
1 Conjuntos num ´ericos 7
§1. Os naturais, os inteiros e os racionais . . . 9
Aula 1: N ´umeros naturais e inteiros . . . 11
Aula 2: Os n ´umeros racionais . . . 23
Aula 3: Os n ´umeros racionais - continuac¸ ˜ao . . . 35
Aula 4: Somas de progress ˜oes geom ´etricas . . . 49
§2. Expans ˜oes decimais . . . 59
Aula 5: A expans ˜ao decimal de um n ´umero racional . . . 61
Aula 6: Expans ˜oes de n ´umeros racionais . . . 71
§3. Os N ´umeros Reais . . . 81
Aula 7: Os n ´umeros irracionais . . . 83
Aula 8: Os gregos e os n ´umeros reais . . . 95
Aula 9: Pot ˆencias de n ´umeros reais . . . 109
§4. Desigualdades, Intervalos e Dist ˆancias . . . 119
Aula 10: Intervalos na reta real . . . 121
Aula 11: Desigualdades e dist ˆancias . . . 129
Conjuntos num ´ericos
Os n ´umeros governam o mundo
Pit ´agoras
R e f e r ˆe n c i a s
Sobre ensino da Matem ´atica:
Meu professor de Matem ´atica e outras hist ´orias de Elon Lages Lima. Editado pela Sociedade Brasileira de Matem ´atica (SBM), 1987.
Para saber mais sobre a hist ´oria dos n ´umeros: N ´umeros e Nu-meraisde Bernard H. Gundlach, Editora Atual, 1994.
Neste m ´odulo estabelecemos a linguagem b ´asica em que se
funda-menta o C ´alculo Diferencial e Integral.
Os conceitos abordados s ˜ao imprescind´ıveis para o bom entendi-mento da Matem ´atica.
A representac¸ ˜ao dos n ´umeros reais mediante expans ˜oes decimais ´e apresentada com cuidado, devido `a grande import ˆancia do seu uso no nosso cotidiano.
As aulas cont ˆem coment ´arios de natureza hist ´orica e exerc´ıcios que lhe ajudar ˜ao a assimilar melhor os t ´opicos apresentados.
Nesta primeira sec¸ ˜ao, apresentamos as propriedades b ´asicas dos
n ´umeros naturais, inteiros e racionais.
A sec¸ ˜ao ´e dividida em quatro aulas. A primeira, sobre os n ´umeros naturais e inteiros, tem por objetivo lembrar e esclarecer conceitos que
voc ˆe utiliza com naturalidade desde o ensino fundamental. A segunda e a terceira apresentam as frac¸ ˜oes e os n ´umeros racionais, com um enfo-que mais detalhado. A quarta trata das progress ˜oes geom ´etricas e ser ´a utilizada no estudo das expans ˜oes decimais na pr ´oxima sec¸ ˜ao.
Aula 1: N ´
umeros naturais e inteiros
Objetivos
•Rever os n ´umeros naturais e os n ´umeros inteiros.
•Relembrar as operac¸ ˜oes de adic¸ ˜ao e multiplicac¸ ˜ao de n ´umeros inteiros e suas propriedades.
• Rever os conceitos de divisibilidade, divisor, m ´ultiplo e o algoritmo da divis ˜ao de Euclides.
•Relembrar os conceitos de n ´umeros primos, primos entre si e a fatorac¸ ˜ao de inteiros em produto de pot ˆencias de primos.
Osn ´umerost ˆem acompanhado o homem desde os prim ´ordios.
Com o advento da agricultura e da pecu ´aria, as civilizac¸ ˜oes tiveram necessidade de medir suas colheitas e contar seus rebanhos, quantifi-candoa natureza que lhes abastecia.
Voc ˆe sabia que...
O egipt ´ologo escoc ˆes Henri Rhindcomprou o papiro de Ah-mes, em 1858, em Luxor, Egito, por isso ´e chamado tamb ´em pa-piro de Rhind. Escrito por volta de 1650 a.C. pelo escriba Ah-mes, o papiro ´e c ´opia de ou-tros papiros que, na ´epoca, ti-nham 200 anos. Portanto, a informac¸ ˜ao contida no papiro de Ahmes data de aproximada-mente 1850 a.C.
O papiro de Ahmes est ´a em exposic¸ ˜ao no Museu Brit ˆanico desde 1865.
Para saber mais:
Sobre as contribuic¸ ˜oes dos ba-bil ˆonios na Matem ´atica, con-sulte
http://www-groups.dcs. st-and.ac.uk/∼history/ HistTopics/Babylonian mathematics.html
Fig. 1: Papiro deAhmes. Os registros mais antigos que cont ˆem
a noc¸ ˜ao de n ´umero foram encontrados na China, ´India, Mesopot ˆamia (hoje Iraque) e
Egito. Um dos mais conhecidos ´e o Papiro de Ahmes, ou Papiro de Rhind encontrado no Egito.
Este papiro, com 6 metros de compri-mento por 80 cent´ımetros de largura, cont ´em sofisticados problemas matem ´aticos e
tabu-adas de multiplicac¸ ˜ao (em sistema sexagesi-mal, isto ´e, na base 60).
Os babil ˆonios viveram na Mesopot ˆamia, habitando uma plan´ıcie f ´ertil entre os rios Tigres e Eufrates. Desenvolveram uma Matem ´atica pr ´atica e inspirada nos problemas do dia-a-dia, como o c ´alculo de ´areas. As ta-belas Plimpton-322 ou tabelas babil ˆonicas, datadas entre 1900 e 1600
O conhecimento matem ´atico dos babil ˆonios foi herdado pelos gre-gos. A Matem ´atica grega comec¸ou a florescer por volta de 400 a.C., era mais abstrata e de natureza geom ´etrica. Grande parte da majestosa
ma-tem ´atica produzida na Gr ´ecia antiga encontra-se na obra Elementos es-crita porEuclides de Alexandria, de quem falaremos com freq ¨u ˆencia.
Os gregos fizeram valiosas contribuic¸ ˜oes ao estudo dos n ´umeros.
Eles foram um dos primeiros povos a perceber que os n ´umeros existem independentemente do mundo palp ´avel. Observaram tamb ´em, que os n ´umeros inteiros e as frac¸ ˜oes n ˜ao s ˜ao suficientes para efetuar medic¸ ˜oes. Desenvolveram, ent ˜ao, a teoria da comensurabilidade (veja a Aula 8, da Sec¸ ˜ao 3) com a qual estabeleceram os fundamentos para a construc¸ ˜ao dos n ´umeros reais.
Desde a antiguidade a noc¸ ˜ao de n ´umero est ´a ligada aos processos de contar e medir. Na nossa educac¸ ˜ao o conceito den ´umero ´e abordado em paralelo ao conceito deconjunto: umn ´umero natural ´e a caracter´ıstica
de todos aqueles conjuntos que t ˆem a mesma quantidade de elementos. Na Figura 2, vemos tr ˆes conjuntosA,BeC, cujos elementos foram colo-cados em correspond ˆencia seguindo as flechas.
Fig. 2: O n ´umero4´e uma caracter´ıstica comum dos conjuntosA,BeC.
Importante:
O s´ımbolo ∈ representa a relac¸ ˜ao de pertin ˆencia de um elemento a um conjunto. SeA
´e um conjunto, e x ´e um ele-mento deA, escrevemosx∈A
que se l ˆe xpertence aA. Se
xn ˜ao ´e elemento deA escreve-mosx 6∈ A, leia-sexn ˜ao per-tenceaA.
Por exemplo, n ∈ Nsignifica quen´e um n ´umero natural.
Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi
780 - 850, Bagd ´a.
Reformula aritmeticamente os conceitos fundamentais da Ma-tem ´atica grega. Por solicitac¸ ˜ao do califa Al-Mamun, escreve o
Hisab Al-jabr wa’l Muqabalah
(Livro da restaurac¸ ˜ao e do ba-lanceamento), dando origem `a
´
Algebra (palavra derivada de Al-jabr que significa restaurac¸ ˜ao). Veja:
http://www-groups. dcs.st-and.ac.uk/ ∼history/Mathematicians/ Al-Khwarizmi.html
Assim, o nosso ponto de partida ser ´a o conjuntoN, cujos elementos
s ˜ao osn ´umeros naturais:
N=0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . .
onde as retic ˆencias indicam que a contagem continua indefinidamente.
Alguns autores excluem o0(zero) do conjunto dos n ´umeros naturais. Esta ´e uma quest ˜ao de mera conveni ˆencia.
qualquer contagem que realizamos, mesmo a contagem dos anos na era moderna, comec¸a no1e n ˜ao no zero.
Os s´ımbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, usados para escrever os n ´umeros e o sistema de numerac¸ ˜ao posicional baseado empot ˆencias de
10, conhecido comosistema decimal, foram levados da ´India para terras
´arabes pelo matem ´atico muc¸ulmano Al-Khwarizmi. Esses s´ımbolos s ˜ao
chamadosalgarismos indo-ar ´abicos em homenagem a ele. Por volta do ano 1200, os algarismos e o sistema decimal foram levados para a Europa pelo matem ´atico italianoLeonardo Fibonacci(veja o Exerc´ıcio 9).
Os n ´umeros naturais mostraram-se insuficientes para resolver os problemas do dia-a-dia. Nos s ´eculos XV e XVI foi desenvolvida uma lin-guagem padr ˜ao para designarperdas,d ´ebitos,preju´ızos etc.
A terminologia adotada consiste em preceder a quantidade num ´erica
do sinal “−”. Assim, uma perda de 4 unidades monet ´arias ´e simbolizada por−4. Estes s ˜ao osn ´umeros inteiros negativos.
Juntando os n ´umeros inteiros negativos ao conjunto dos n ´umeros
naturais, obtemos o conjunto dosn ´umeros inteiros:
Z= . . . , −4 ,−3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . .
Em oposic¸ ˜ao ao conjunto dos n ´umeros inteiros negativos, os n
´ume-ros naturais diferentes de zero s ˜ao chamadosn ´umeros inteiros positivos.
Voc ˆe sabia que...
a letraZd ´a o nome ao conjunto
dos n ´umeros inteiros por ser a primeira letra da palavra alem ˜a
Zahlque significa n ´umero?
Lembre que...
A operac¸ ˜ao de adic¸ ˜ao ´e repre-sentada pelo s´ımbolo+:
2+3,a+5etc.
A operac¸ ˜ao de multiplicac¸ ˜ao ´e indicada com os s´ımbolos·, ×
ou pela justaposic¸ ˜ao dos fato-res (escrever um ap ´os o outro) quando n ˜ao houver perigo de confus ˜ao:
5·a,5×ae5asignificam o pro-duto de5pora. Por ´em45´e o n ´umero quarenta e cinco e4×5
ou4·5indicam o produto de4
com5.
As operac¸ ˜oes de adic¸ ˜ao e multi-plicac¸ ˜ao s ˜aoassociativas(p. ex.
1+(2+3) = (1+2)+3e5×(6× 7) = (5×6)×7),comutativas(p. ex.4+5=5+4e7×8=8×7) e vale apropriedade distributiva
(p. ex.5×(6+7) =5×6+5×7).
A subtrac¸ ˜ao:
´
E a soma de um inteiro com o sim ´etrico de outro. A soma
n+ (−m), do inteironcom o sim ´etrico−m do inteirom, se escreven−me se l ˆenmenos
m.O n ´umeron−m´e o n ´umero quedevemossomar a mpara obtern.
Das definic¸ ˜oes deNeZ, vemos que N ´e um subconjunto deZ:
N ⊂ Z (l ˆe-se: N ´e subconjunto de Z).
H ´a duas operac¸ ˜oes b ´asicas que podem ser efetuadas com n ´umeros inteiros, aadic¸ ˜ao(ousoma) e amultiplicac¸ ˜ao (ouproduto). Essas opera-c¸ ˜oes satisfazem as mesmas propriedades que a soma e a multiplicaopera-c¸ ˜ao
de n ´umeros naturais. Por ´em, a operac¸ ˜ao de soma no conjunto dos n ´ume-ros intei´ume-ros tem uma caracter´ıstica adicional:
Se n ´e um inteiro, o seu sim ´etrico ´e o inteiro designado por −n, que somado comnd ´a0: n+ (−n) =0.
Esta propriedade ´e a que faz a diferenc¸a entreNeZ.
pode ser sempre resolvida no conjunto Z qualquer que seja n ∈ Z. No
entanto, tente determinar um n ´umeronaturalx de modo quex+4=0.
Em geral, se n ´e um n ´umero natural diferente de zero, n ˜ao existe nenhum n ´umero natural x de modo que x +n = 0. Logo, esta equac¸ ˜ao n ˜ao tem soluc¸ ˜ao no conjuntoNdos n ´umeros naturais.
Exemplo 1
a. O sim ´etrico de4 ´e−4, pois4+ (−4) =0.
b. Quanto vale−(−4)?
Soluc¸ ˜ao: Note que, pela definic¸ ˜ao anterior, o sim ´etrico de −4, que se designa por−(−4), ´e o n ´umero inteiro que somado a−4resulta zero.
Este inteiro ´e4, porque−4+4=0. Portanto,−(−4) =4.
Em geral,−(−n) =nqualquer que seja o inteiron.
c. O sim ´etrico−nde um inteiron ´e obtido multiplicandonpor(−1).
Soluc¸ ˜ao: Para verificar isto observe a seguinte seq ¨u ˆencia de igualdades:
n+ (−1)n(A)= 1·n+ (−1)·n(B)= (1+ (−1))·n(C)= 0·n(D)= 0. Na seq ¨u ˆencia de igualdades ao
lado, a igualdade (A) vem do fato de1·n=n, a igualdade (B) usa a propriedade distributiva, a igualdade (C) ´e conseq ¨u ˆencia de (−1) ser o sim ´etrico de 1
e (D) ´e verdadeira porque a multiplicac¸ ˜ao de0por qualquer n ´umero d ´a0.
No conjuntoZtemos o conceito dedivisibilidade.
Definic¸ ˜ao 1 (M ´
ultiplo e divisor)
Um n ´umero inteiron ´e m ´ultiplode um inteirom quando podemos encon-trar um inteiroktal quen=m×k.
Se o inteiro m ´e diferente de zero, dizemos que m divide o inteiron ou quem ´e umdivisor, ou umfator, den.
Exemplo 2
a. Como14=7×2, vemos que14 ´e m ´ultiplo de7e de2.
b. 36 ´e um m ´ultiplo dos inteiros1,−1,3,−3,4,−4,6,−6,9,−9,12,−12,
36e−36. De fato, observe as igualdades:
36=1×36,36= (−1)×(−36),36=3×12,36= (−3)×(−12),36=4×9,
36=6×6,36= (−6)×(−6)e36= (−4)×(−9).
c. 5n ˜ao ´e m ´ultiplo de 2, pois2×2=4,2×3 =6e n ˜ao h ´a inteiros entre
d. −15n ˜ao ´e m ´ultiplo de4, pois(−4)×4= −16e(−3)×4= −12e n ˜ao h ´a inteiro algum entre−3e−4.
Exemplo 3
a. 7divide14, pois14=7×2.
b. −3divide36, pois36= (−3)×(−12).
c. 2 n ˜ao divide 5, porque n ˜ao h ´a um n ´umero inteiro m de modo que
5=2m.
Note que:
•O zero ´e m ´ultiplo de qualquer n ´umero inteiro.
De fato, 0 = 0 × n qualquer que seja n ∈ Z. Contudo nenhum inteiro diferente de zero ´e m ´ultiplo de zero, pois a multiplicac¸ ˜ao de zero por qualquer inteiro sempre ´e igual a zero.
•O zero n ˜ao ´e divisor de inteiro algum.
Com efeito, observe que por definic¸ ˜ao, um divisor de um inteiro deve ser diferente de zero.
•Todo n ´umero inteiron ´e m ´ultiplo de si pr ´oprio.
Para verificar essa afirmac¸ ˜ao, basta observar que: n=1×n.
•Todo n ´umero inteirondiferente de zero ´e divisor de si pr ´oprio.
De fato, note que: n=1×n.
•O conjunto que consiste dos m ´ultiplos de um inteiro diferente de zero ´e sempre um conjunto infinito.
Vejamos o significado desta ´ultima observac¸ ˜ao nos seguintes
exem-plos:
Exemplo 4
a. O conjunto dos m ´ultiplos de 3 ´e {. . . ,−9,−6,−3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, . . .}.
Este conjunto ´e tamb ´em o conjunto de m ´ultiplos de−3.
b. Os inteiros m ´ultiplos de 2 s ˜ao chamadosn ´umeros pares. O conjunto dos n ´umeros pares ´e: {. . . ,−10,−8,−6,−4,−2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, . . .}.
c. O conjunto dos inteiros quen ˜aos ˜ao m ´ultiplos de2 ´e o conjunto formado pelosn ´umeros ´ımpares.
Assim, todo n ´umero par ´e da forma2kondek ´e um n ´umero inteiro e todo n ´umero ´ımpar pode ser escrito da forma 2k+1 ou 2k−1 onde k ´e um n ´umero inteiro. Por exemplo: 12 ´e par pois 12 =2×6, enquanto que7 ´e ´ımpar porque7=2×3+1=2×4−1.
d. O conjunto formado pelos m ´ultiplos de0 ´e o conjunto unit ´ario{0}.
>,<,≥,≤...
Sem ∈ Z ´e positivo,
escreve-mosm > 0(m´emaior que0), por exemplo:4 > 0,23 > 0etc. Sem∈ Z ´e negativo,
escreve-mosm < 0(m´emenor que0), Por exemplo:−5 < 0,−20 < 0
etc.
Escrever0 < m(0 ´emenor que
m) significa m > 0. Similar-mente, 0 > m (0 ´e maior que
m) significam < 0.
A possibilidade de serm > 0ou
m = 0 ´e abreviadam≥ 0(m
´emaior ou igual que0). Similar-mentem≤0significa quem < 0ou quem= 0. Desta forma,
m > nquandom−n > 0e
m≤nquandon−m≥0, por exemplo:5 > 3pois5−3=2e
2 > 0,11≥7pois11−7=4 > 0e9≤9pois9=9.
Escrever 0 ≤ r ≤ bsignifica que0≤rer≤b.
Euclides de Alexandria 325-265 a.C. Alexandria, Egito.
Um dos mais destacados ma-tem ´aticos da era antiga, as suas descobertas sobre Aritm ´etica e Geometria s ˜ao relatadas na sua obra Elementos, uma colec¸ ˜ao de 13 livros. Consulte:
http://www-groups.dcs. st-and.ac.uk/∼history/ Mathematicians/Euclid.html
Uma grande contribuic¸ ˜ao de Euclides de Alexandriana teoria da
di-visibilidade ´e oalgoritmo da divis ˜ao ou algoritmo de Euclides(ou divis ˜ao euclidiana). Para entender melhor o procedimento do algoritmo preste atenc¸ ˜ao no seguinte exemplo.
Exemplo 5
Como27n ˜ao ´e m ´ultiplo de4, h ´a muitas maneiras de escrever o n ´umero27
usando a tabela de multiplicac¸ ˜ao por 4. Por exemplo, podemos escrever:
27 = 7×4−1 ou 27 = 6×4+3 ou ainda27 = 5×4+7. Tente outras
possibilidades, usando a tabuada de multiplicac¸ ˜ao por4.
Contudo, dentre todas as alternativas27 =4q+r, apenas em uma delas temos que0 < r < 4, a saberq=6er=3.
O algoritmo de Euclides:
Dados a, b ∈ Z, sendo b > 0, podemos escrevera como a soma de um m ´ultiplo debe um poss´ıvel restorn ˜ao negativo e menor queb:
a=q·b+r, onde 0≤r < b
apenas de uma maneira. O n ´umeroq ´e oquocientee o n ´umero r ´e o restoda divis ˜ao deaporb.
Exemplo 6
a. A divis ˜ao euclidiana de37por5d ´a como quocienteq=7e restor=2, pois37=5×7+2e0≤r=2 < 5.
b. No algoritmo de Euclides ´e importante observar que, enquanto o divisor
b ´e sempre positivo, o dividendo a pode ser negativo. Isto exige mais
cuidado:
e menor que4, como determina o algoritmo de Euclides.
Lembre-se agora da seguinte definic¸ ˜ao:
Para saber mais...
Euclides demonstrou a validade do algoritmo da divis ˜ao, verifi-cando tamb ´em que o quociente e o resto na divis ˜ao s ˜ao determi-nados de uma ´unica maneira a partir do divisor e do dividendo. Demonstrou, pela primeira vez que o conjunto dos n ´umeros pri-mos ´e infinito e oTeorema Fun-damental da Aritm ´eticaque as-segura que todo n ´umero natu-ral maior que1pode ser escrito como o produto de pot ˆencias de primos.
Definic¸ ˜ao 2 (N ´
umeros Primos)
Um n ´umero natural p 6= 0 ´e chamado primo quando ´e diferente de 1 e seus ´unicos divisores s ˜ao1ep.
Exemplo 7
a. Os naturais primos menores que 100 s ˜ao: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,
29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,91 e 97.
b. 8n ˜ao ´e primo pois2e4s ˜ao divisores de8diferentes de1e8.
c. 2 ´e o ´unico natural par que ´e primo.
De fato, qualquer outro natural par ´e da forma 2k sendo k um n ´umero natural maior que1. O n ´umero2k ´e divis´ıvel por2onde26=1e26=2k.
O conceito de divisibilidade leva `a id ´eia defatorac¸ ˜ao de um n ´umero: processo que permite expressar qualquer natural como produto de pot ˆen-cias de primos.
Exemplo 8
a. 24=23×3 .
b. 90=2×32×5 . c. −560= −24×5×7 .
Veja no seguinte exemplo, como funciona o processo de fatorac¸ ˜ao.
Exemplo 9
Determinemos a fatorac¸ ˜ao do n ´umero924:
Soluc¸ ˜ao:
924 2 ←menor primo que divide924 924÷2→ 462 2 ←menor primo que divide462 462÷2→ 231 3 ←menor primo que divide231 231÷3→ 77 7 ←menor primo que divide77
Note que todo n ´umero terminado em algum dos algarismos0,2,4,6
ou8 ´e par e, portanto, tem2como fator. Da mesma forma, os n ´umeros ter-minados em0ou5t ˆem5como fator (veja tamb ´em o Exerc´ıcio 9). Assim,
35e90t ˆem o n ´umero5como fator comum.
Definic¸ ˜ao 3 (Primos entre si)
Dois n ´umeros inteiros m e ns ˜ao chamados primos entre si quando n ˜ao possuem divisores (ou fatores) positivos em comum diferentes de1.
Exemplo 10
a. Os n ´umeros8 e 15 s ˜ao primos entre si, pois os fatores positivos de 8
s ˜ao1, 2,4 e8. Por outro lado, os fatores positivos de 15s ˜ao1, 3, 5e 15, nenhum destes, a n ˜ao ser1, ´e fator de8.
b. Os n ´umeros 27 e −12 n ˜ao s ˜ao primos entre si, pois 3 ´e um fator de
27=3×9e de−12=3×(−4).
c. Os n ´umeros11e29s ˜ao primos entre si, pois eles s ˜ao primos.
Terminamos esta aula com a seguinte observac¸ ˜ao.
Observac¸ ˜ao.
Dois inteiros s ˜ao primos entre si quando nenhum dos primos da fatorac¸ ˜ao de um deles aparece na fatorac¸ ˜ao do outro.
Em particular,dois primos diferentes s ˜ao sempre primos entre si.
Resumo
Voc ˆe reviu os n ´umeros naturais e inteiros; as operac¸ ˜oes de adic¸ ˜ao e multiplicac¸ ˜ao de inteiros e suas propriedades; os conceitos de divisibili-dade, m ´ultiplo, divisor, n ´umeros naturais primos e inteiros primos entre si; o algoritmo euclidiano; a fatorac¸ ˜ao de inteiros em produto de pot ˆencias de
n ´umeros primos.
Exerc´ıcios
1. Efetue o c ´alculo das seguintes express ˜oes, respeitando as regras de hierarquia (veja a nota ao lado) e as propriedades das operac¸ ˜oes de soma e multiplicac¸ ˜ao.
Hierarquia das operac¸ ˜oes: • Efetuamos primeiramente os c ´alculos entre par ˆenteses.
•Onde n ˜ao h ´a par ˆenteses, efe-tuamos primeiro as pot ˆencias, depois as multiplicac¸ ˜oes e di-vis ˜oes e finalmente as adic¸ ˜oes e subtrac¸ ˜oes.
• Onde n ˜ao h ´a par ˆenteses, as operac¸ ˜oes s ˜ao efetuadas se-guindo a prioridade do item
acima, sempre da esquerda a. 4+5×6+7×2 . b. (3+2)
c. 2×{3+5×(3− [4+2×3])×2+1}+ (3+2×5)×2 .
d. −3×(1+ (3−2×3)4+ (1+2×2)3)×(3+ (7−5×2)2).
2. Quais das seguintes afirmativas s ˜ao verdadeiras? D ˆe uma justifica-tiva para cada uma das suas respostas.
a. 21 ´e m ´ultiplo de4.
b. 21 ´e divis´ıvel por −7.
c. todo n ´umero inteiro ´e m ´ultiplo de0.
d. qualquer que seja o inteiron, vale: n÷n=1 .
e. a soma de dois n ´umeros ´ımpares ´e par.
f. o produto de dois n ´umeros ´ımpares ´e ´ımpar.
g. a soma de um n ´umero ´ımpar com um n ´umero par ´e sempre ´ımpar.
h. o produto de um n ´umero par por um n ´umero ´ımpar ´e sempre par.
i. todo m ´ultiplo de3 ´e ´ımpar.
j. sendividem, ent ˜aom ´e m ´ultiplo den .
l. sem ´e m ´ultiplo den, ent ˜aondividem .
3. Determine:
a. o quociente e o resto da divis ˜ao de321por5.
b. o quociente e o resto da divis ˜ao de−321por 5.
Lembre que no algoritmo de Euclides o resto deve ser um n ´umero natural menor que o divisor.
c. dois n ´umeros inteirosmen, sabendo que a sua diferenc¸am−n
´e288e o seu quociente ´e5, isto ´e,m=5n.
d. os n ´umeros inteiros que divididos por5deixam resto3.
4. Verifique que a multiplicac¸ ˜ao de qualquer inteiro pelo seu antecessor (ou pelo seu sucessor) ´e sempre par.
5. Verifique que a soma de tr ˆes inteiros consecutivos ´e um m ´ultiplo de 3. Vale o mesmo para o produto de tr ˆes inteiros consecutivos?
O que voc ˆe pode dizer sobre o produto de quatro inteiros consecuti-vos?
6. Efetue a decomposic¸ ˜ao em produto de pot ˆencias de primos dos n ´umeros:
a. 541 , b. 1.141 , c. 4.620 , d. 1.345 , e. 961 .
7. Determine os poss´ıveis valores de inteirosmentais quem·n=6 .
8. Determine quais dos pares de n ´umeros dados s ˜ao primos entre si:
a. 27 e 40 , b. 21 e 25 , c. 1 e 4 ,
d. 0 e 1 , e. 9 e 75 , f. 121 e 44 ,
g. 0 e 4 .
9. Por volta de 1200, o matem ´atico italiano da Idade M ´edia, Leonardo de Pisa, tamb ´em conhecido como Leonardo Fibonacci publicou o livroLiber Abaci, sendo a primeira vez que um crist ˜ao escrevia sobre
´
Algebra. As palavras iniciais que aparecem no livro dizem:
Leonardo Fibonacci 1170-1250. Pisa, It ´alia.
Aprendeu Matem ´atica na Ar-g ´elia, de onde viajou para o Egito, S´ıria e Gr ´ecia. Na sua volta `a It ´alia, escreve o Liber Abaci (1202) introduzindo os algarismos na Europa. Fibo-nacci escreveu outros livros versando sobre Aritm ´etica e Geometria como Practica Geometriae (1220) contendo resultados baseados nos Ele-mentos de Euclides,Flos(1225) sobre equac¸ ˜oes polinomiais e
Liber quadratorum contendo m ´etodos para determinar ternas pitag ´oricas. Para saber mais consulte:
http://www-groups.dcs. st-and.ac.uk/∼history/ Mathematicians/Fibonacci. html
Eis os s´ımbolos dos hindus: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Com eles, junto com o s´ımbolo 0 que em ´arabe ´e chamado zephiro, ´e poss´ıvel a escrita de qualquer n ´umero...
Desta maneira, os algarismos foram introduzidos na Europa. Para entender o significado das palavras de Fibonacci consideremos, por exemplo, o n ´umero5 832:
5 832 =5×1000+8×100+3×10+2×1
=5×103 +8×102+3×10+2 .
De modo geral, todo n ´umero naturalnpode ser escrito na forma:
n=mk·10k+mk−1·10k−1+. . .+m2·102 +m1 ·10+mo (1)
ondek ´e um n ´umero natural emo, m1, . . . , mk s ˜ao n ´umeros do
con-junto de algarismos{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Dito de outro modo, o n ´umeron possui mo unidades, m1 dezenas,
m2 centenasetc. Estes s ˜ao osalgarismosden.
a. Escreva os seguintes n ´umeros na forma da equac¸ ˜ao (1):
i. 34 590 , ii. 54 907 786 , iii. 324 910 345 .
10. Divisibilidade por 3:
Talvez voc ˆe saiba que um n ´umero natural ´e divis´ıvel por 3 quando a soma dos seus algarismos ´e um m ´ultiplo de 3. Porque isto ´e ver-dade?
Acompanhe o seguinte argumento feito com um n ´umero com 4 al-garismos (para n ´umeros com mais alal-garismos, o processo funciona da mesma forma):
Se um n ´umero natural ntem4algarismos:
a0 unidades,a1 dezenas, a2 centenas ea4 unidades de milhar,
e a soma destes algarismos ´e um m ´ultiplo de 3:
a0+a1+a2 +a3 =3k para algum naturalk,
ent ˜ao, segundo a decomposic¸ ˜ao feita em (1) do exerc´ıcio anterior,
n=a0 +a1×10+a2×100+a3×1000
=a0 +a1×(1+9) +a2×(1+99) +a3×(1+999)
=a0 +a1+9a1+a2 +99a2+a3+999a3
= (a0 +a1+a2+a3) + (3×3a1+3×33a2+3×333a3)
Como a0+a1+a2+a3 =3k e
3×3a1+3×33a2+3×333a3 =3(3a1+33a2+333a3),
obtemos:
n=3k+3×(3a1+33a2+333a3) =3×(k+3a1+33a2+333a3).
Assim,n ´e o triplo de um inteiro e, portanto, ´e divis´ıvel por3.
O segredo deste argumento ´e escrever as pot ˆencias positivas de
10 como a soma de 1 com um n ´umero cujos algarismos s ˜ao todos
iguais a9.
Crit ´erios de divisibilidade.
Se voc ˆe quer saber crit ´erios para determinar quando um n ´u-mero natural ´e divis´ıvel por4,5,
6,...,13consulte:
http://forum.swarthmore. edu/k12/mathtips/division. tips.html
a. Escreva o processo acima quandontem um n ´umero qualquer de algarismos.
b. Dentre os seguintes n ´umeros, identifique, usando o crit ´erio acima, aqueles que s ˜ao divis´ıveis por3:
11. Desafio:
No in´ıcio da aula falamos dastabelas babil ˆonicasoutabelas Plimpton-322(veja a figura ao lado). Nessas tabelas se descrevem processos para determinar n ´umeros naturaism,nekverificandom2 =n2+k2.
Na linguagem atual, um terno de n ´umeros naturais com esta propri-edade ´e chamadoterno pitag ´orico. Por exemplo, 3, 4 e 5 formam um
terno pitag ´orico, pois32+42 =52. Fornec¸a outros ternos pitag ´oricos distintos deste.
Tabelas Plimpton-322
Auto-avaliac¸ ˜ao
Resolveu os Exerc´ıcios de 1 a 9? Recordou as propriedades
Aula 2: Os n ´
umeros racionais
Objetivos
•Rever os conceitos de frac¸ ˜oes, frac¸ ˜oes equivalentes e frac¸ ˜oes irredut´ıveis.
•Rever a definic¸ ˜ao dos n ´umeros racionais.
•Relembrar as operac¸ ˜oes de adic¸ ˜ao e multiplicac¸ ˜ao de n ´umeros racionais e suas propriedades.
Uma excelente leitura:
O homem que calculava de Malba Tahan, 52aedic¸ ˜ao.
Editora Record, 2000. No seu livro O homem que calculava, Malba Tahan conta hist ´orias
sobre a vida de um jovem persa do s ´eculo XII, Beremiz Samir, grande conhecedor da Matem ´atica da sua ´epoca. No terceiro cap´ıtulo do livro, Beremiz e seu fiel amigo, ambos montados no mesmo camelo, chegam a um o ´asis no deserto. Encontram tr ˆes irm ˜aos numa acirrada disputa por uma heranc¸a de 35 camelos deixados pelo pai.
Fig. 3: Os irm ˜aos n ˜ao conseguiam distribuir a partilha. O falecido estipulara que o
filho mais velho ficaria com a me-tade da heranc¸a, o filho do meio, comum terc¸o, e o mais moc¸o, com
um nonosegundo explicado a
Be-remiz pelo mais velho dos tr ˆes. O motivo da discuss ˜ao era porque a
metade de 35 ´e 17 e meio e simi-larmente, a terc¸a e a nona partes de 35 tamb ´em n ˜ao s ˜ao exatas.
Foi ent ˜ao que Beremiz se ofereceu para resolver o problema com justic¸a:
– Se me permitirem juntar aos 35 camelos da heranc¸a este belo animal que, em boa hora, aqui nos trouxe!
O espanto do companheiro de viagem, e dono do camelo que Be-remiz oferecia, foi em princ´ıpio bem justificado. No entanto, a pedido de Beremiz, e confiando na sua esperteza, cedeu o seu camelo para facilitar a partilha.
di-vis ˜ao justa e exata dos camelos que s ˜ao agora, em n ´umero de 36.
Voltando-se para o mais velho dos irm ˜aos disse:
– Deverias receber, meu amigo, a metade de 35, isto ´e, 17 e meio. Receber ´as a metade de 36. Nada tens a reclamar, pois com 18 camelos
sa´ıste lucrando!
Dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:
– Tu deverias receber um terc¸o de 35, isto ´e, 11 e pouco, recebendo um terc¸o de 36, isto ´e, 12 camelos, sa´ıste lucrando tamb ´em com a divis ˜ao!
E disse ao mais moc¸o:
– E tu, jovem amigo, segundo a vontade do teu pai, receberias a
nona parte de 35, isto ´e, 3 e tanto. Receber ´as a nona parte de 36, isto ´e, 4. O teu lucro foi igualmente not ´avel!
Concluindo assim:
– Nesta vantajosa divis ˜ao na qual coube 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4 ao terceiro, dando como resultado 18+12+4=34, dos 36 camelos sobraram 2 camelos. Um deles, como voc ˆes sabem, pertence
ao meu amigo, o outro toca por direito a mim por ter resolvido, a contento de todos o complicado problema.
Os irm ˜aos, convencidos de que a partilha tinha sido justa, concorda-ram com as palavras de Beremiz que, junto com seu amigo (agora cada
um em seu pr ´oprio camelo), continuou a sua viagem.
Para saber mais:
A palavrafrac¸ ˜ao deriva da raiz latina fractio e do verbo fran-gere, logo traduzida pelos auto-res ingleses de livros antigos de Aritm ´etica comobroken number
(n ´umero quebrado). A palavra ´arabe usada para nomear estas quantidades ´eal-kasr, derivada do radical do verbo quebrar.
Voc ˆe certamente conhece as express ˜oes metade, um terc¸o e um nono referidas acima. Quantidades desse tipo apareceram muito cedo
na hist ´oria da Matem ´atica e foram, ao longo do tempo, conhecidas pelo nome defrac¸ ˜oes.
Os gregos j ´a conheciam bem as frac¸ ˜oes. De fato, quandoPit ´agoras
de Samosdisse que“os n ´umeros governam o mundo”, pensava nos n ´umeros naturais eraz ˜oesentre eles, ou seja, em frac¸ ˜oes.
Vamos ilustrar o antigo procedimento utilizado pelos gregos para
di-vidir um segmento em partes iguais, dividindo o segmento OL em cinco partes de igual tamanho.
auxiliarOA, que n ˜ao seja paralela ao segmentoOL, veja a Figura 4.
Fig. 4: Passo 1 Fig. 5: Passo 2
Passo 2. escolha um segmento para representar a unidade na
semi-reta OA e transporte-o, sucessivamente, com ajuda do compasso, ao longo da semi-retaOAcomo na Figura 5.
Passo 3. trace um segmento ligando o ponto B, que representa a
quinta unidadena marcac¸ ˜ao feita na semi-reta OA (pois vamos dividir o segmento OL em cinco partes de igual tamanho), com a extremidade L
do segmentoOL (Figura 6).
Passo 4. trace retas paralelas ao segmento BL, passando por cada
uma das marcac¸ ˜oes da semi-retaOAque estejam no segmentoOB. Mar-que os pontos de intersec¸ ˜ao destas paralelas com o segmentoOL, veja a Figura 7. Cada segmento entre duas marcas consecutivas emOL repre-senta aquinta parte do segmento deOL.
Fig. 6: Passo 3. Fig. 7: Passo 4.
Fac¸a voc ˆe mesmo essa experi ˆencia, dividindo a largura da folha do seu caderno em 8 partes iguais.
Cuidado!
Ao escrever as frac¸ ˜oes na forma
m/ndevemos ter o cuidado de colocar a barra inclinada sepa-rando os n ´umeros me n. O s´ımbolom|nque usa uma barra vertical significa que m divide
horizontal: m
n (l ˆe-se eme sobre ene ou eme ene-avos). A forma m/n ´e tamb ´em usada.
Na frac¸ ˜ao m
n, m ´e o numerador en ´e o denominador. O denomina-dor deve ser sempre diferente de zero.
As frac¸ ˜oes s ˜ao usadas para representar diversas id ´eias:
•Parte da unidade: O denominador indica em quantas partes ´e dividida a unidade, e o numerador indica o n ´umero de partes tomadas.
•O quociente de dois inteiros: O numerador ´e o dividendo e o denomina-dor ´e o divisor. A frac¸ ˜ao ´e a quantidade que deve multiplicar o divisor para obter o dividendo.
Duas frac¸ ˜oes m n e
p
q s ˜ao consideradasequivalentesouiguaisquando representamas mesmas partes. Neste caso escrevemos m
n = p q.
Por exemplo, no ensino fundamental, as crianc¸as aprendem frac¸ ˜oes equivalentes mediante esquemas visuais como o da Figura 8.
O primeiro ret ˆangulo da Figura 8 foi dividido em12partes iguais e to-mamos8dessas partes, representando a frac¸ ˜ao 8
12. O segundo ret ˆangulo, de igual tamanho que o primeiro, foi dividido em 3 partes iguais e toma-mos duas dessas partes, representando a frac¸ ˜ao 2
3. Note que a parte tomada em cada ret ˆangulo ´e a mesma, indicando que 8
12 e 2
3 represen-tam a mesma quantidade, isto ´e: 8
12 = 2 3.
Fig. 8: Esquemas visuais para representar frac¸ ˜oes equivalentes.
Note que cada uma das terc¸as partes do segundo ret ˆangulo foi divi-dida em 4 partes iguais no primeiro ret ˆangulo. Logo, duas terc¸as partes s ˜ao compostas por2×4doze avos.
Dividindo uma magnitude em n partes iguais e tomando m dessas partes, estaremos tomando m
n da magnitude. Ao dividir cada uma das
n- ´esimas partes emp partes iguais, a magnitude ficar ´a dividida emn·p
partes iguais. Devemos ent ˜ao tomarm·pdestas partes para representar a frac¸ ˜ao m
m n =
m·p n·p
De maneira geral, dadas duas frac¸ ˜oes m n e
p
q, onde m, n, p, q ∈ Z,
n6= 0eq 6=0, vale o crit ´erio dos produtos cruzados para a igualdade de
frac¸ ˜oes:
m n =
p
q equivale a m·q=n·p
De fato, m n =
p
q equivale a m·q
n·q = p·n q·n, pois
m n =
m·q n·q e
p q =
p·n q·n. Logo, m·q=n·p, pois os denominadores de m·q
n·q e p·n
q·n s ˜ao iguais. Assim, o problema de saber se duas frac¸ ˜oes s ˜ao iguais equivale a saber se dois n ´umeros inteiros s ˜ao iguais.
Por exemplo, no esquema da figura anterior temos:
8 12 =
2
3 pois 8×3=12×2 .
As frac¸ ˜oes que t ˆem denominador1 s ˜ao representadas apenas pelo numerador. Por exemplo, 2
1 = 2,
−5
1 = −5. Em geral, se m ∈ Z, ent ˜ao m
1 =m:
Todo n ´umero inteiro pode ser representado por uma frac¸ ˜ao.
Uma frac¸ ˜ao m
n 6=0 ´e chamada irredut´ıvel quando os inteiros m en n ˜ao t ˆem fatores primos comuns. Isto ´e:
m
n ´eirredut´ıvelquandomens ˜aoprimos entre si.
Exemplo 11
a. 7
5 ´e irredut´ıvel, pois7e5s ˜ao primos.
b. 12
25 ´e irredut´ıvel, pois 12 = 2
2 ×3 e 25 = 52 n ˜ao t ˆem fatores primos
comuns.
c. −15
9 n ˜ao ´e uma frac¸ ˜ao irredut´ıvel, pois−15=3×(−5) e9=3×3 t ˆem o fator comum3. Por ´em, −5
3 ´e irredut´ıvel (pois−5e3s ˜ao primos entre si) e −15
9 =
−5
Em geral:
Toda frac¸ ˜ao equivale a uma frac¸ ˜ao irredut´ıvel.
Para determinar a frac¸ ˜ao irredut´ıvel equivalente a uma frac¸ ˜ao dada, fatoramos seu numerador e seu denominador. A frac¸ ˜ao irredut´ıvel
equiva-lente ´e obtida eliminando os fatores comuns no numerador e denomina-dor.
Exemplo 12
a. 24 15 =
23×3 3×5 =
23× 63
63×5 =
23 5 =
8 5.
b. −18 14 =
−2×32
2×7 =
−62×32
62×7 =
−32 7 =
−9
7 .
Note que:
•Cada frac¸ ˜ao ´e equivalente a uma infinidade de frac¸ ˜oes.
• As frac¸ ˜oes −m n e
m
−n s ˜ao equivalentes. Logo, cada frac¸ ˜ao n ˜ao-nula equivale a uma ´unica frac¸ ˜ao irredut´ıvel com denomi-nador positivo.
Exemplo 13
a. As frac¸ ˜oes . . . ,−12
−8 ,
−9
−6,
−6
−4,
−3
−2, 3 2, 6 4, 9 6, 12 8 , 15
10, . . . s ˜ao equivalentes a 6
4. A frac¸ ˜ao irredut´ıvel com denominador positivo equivalente a 6 4 ´e
3 2.
b. As frac¸ ˜oes . . . , 9
−12, 6
−8, 3
−4,
−3 4 , −6 8 , −9 12, −12
16 , . . . s ˜ao equivalentes a
−6
8 .
A frac¸ ˜ao irredut´ıvel com denominador positivo equivalente a −6 8 ´e
−3
4 . Ob-serve que 3
−4 tamb ´em ´e uma frac¸ ˜ao irredut´ıvel, mas n ˜ao tem denominador positivo.
c. As frac¸ ˜oes. . . ,−16
−4 ,
−8
−2,
−4
−1, 4 1, 8 2, 12 3 , 16 4 , 20
5 , . . . s ˜ao equivalentes a 16
4 .
A frac¸ ˜ao irredut´ıvel com denominador positivo equivalente a 16
4 ´e4= 4 1.
d. As frac¸ ˜oes 0
n, onde n ´e um inteiro diferente de zero, s ˜ao equivalentes a 0 = 0
1. A frac¸ ˜ao irredut´ıvel com denominador positivo deste conjunto ´e
Definic¸ ˜ao 4 (N ´
umeros racionais)
Um n ´umero racional ´e uma frac¸ ˜ao. O conjunto dos n ´umeros racionais ´e designado pela letraQ:
Q=
m
n
m, n∈Z, n6=0
O conjuntoQ:
Como cada frac¸ ˜ao equivale a uma frac¸ ˜ao com denomina-dor positivo, podemos escrever tamb ´em:
Q=
m
n |m, n∈Z, n > 0
A letra Q tem sido usada para designar o conjunto dos n ´umeros racionais por ser a letra inicial da palavra inglesa
quotient que significa quoci-ente.
Anteriormente vimos que todo n ´umero inteiro pode ser pensado como um n ´umero racional (ou seja, como uma frac¸ ˜ao). Temos ent ˜ao a relac¸ ˜ao:
N ⊂ Z ⊂ Q
No conjuntoQdos n ´umeros racionais temos duas operac¸ ˜oes aritm
´e-ticas, a adic¸ ˜ao e a multiplicac¸ ˜ao, definidas a partir das correspondentes operac¸ ˜oes de adic¸ ˜ao e multiplicac¸ ˜ao no conjunto dos n ´umeros inteiros. Veja como isto ´e feito:
Se m
n, p
q ∈ Q s ˜ao duas frac¸ ˜oes, definimos a adic¸ ˜ao m
n + p q e a multiplicac¸ ˜ao m
n · p q como: m n + p q =
mq+np
nq e m n · p q = mp nq Observac¸ ˜ao.
a. O resultado da adic¸ ˜ao de n ´umeros racionais n ˜ao se altera ao substituir as parcelas por outras equivalentes.
Por exemplo, 1 2 e
2
4 s ˜ao frac¸ ˜oes equivalentes, 3 9 e
4
12 s ˜ao tamb ´em equivalentes. Somando as primeiras frac¸ ˜oes, e as segundas frac¸ ˜oes des-tes pares:
1 2 +
3 9 =
1×9+2×3 2×9 =
15 18 e 2 4 + 4 12 =
2×12+4×4 4×12 =
40 48.
Note que as somas 15 18 e
40
48 s ˜ao tamb ´em equivalentes: 15×48 = 720 =
40×18 .
Da mesma forma, o resultado da multiplicac¸ ˜ao de duas frac¸ ˜oes n ˜ao se altera ao substituir os fatores por frac¸ ˜oes equivalentes. Por exemplo:
1 2 ·
3 9 =
1×3 2×9 =
3 18 e 2 4 · 4 12 =
2×4 4×12 =
8 48.
Observe que: 3 18 =
8
b. A partir da observac¸ ˜ao do item anterior, podemos justificar a regra que usamos no dia-a-dia para somar duas frac¸ ˜oes: somar frac¸ ˜oes com igual denominador, equivalentes `as parcelas originais. Neste caso a adic¸ ˜ao ´e
mais simples, basta somar os numeradores.
Por exemplo, para somar 1 2 e
3
9, consideramos frac¸ ˜oes equivalentes 1 2 = 9 18 e 3 9 = 6
18 e somamos: 1 2 + 3 9 = 9 18 + 6 18 =
9+6 18 =
15 18 =
63×5
63×6 = 5 6.
As operac¸ ˜oes de adic¸ ˜ao e multiplicac¸ ˜ao definidas no conjunto dos n ´umeros racionais satisfazem as mesmas propriedades que as operac¸ ˜oes
de adic¸ ˜ao e multiplicac¸ ˜ao no conjunto dos n ´umeros inteiros. Veja os se-guintes exemplos:
Exemplo 14
a. A ordem das parcelas n ˜ao altera a soma, e a ordem dos fatores n ˜ao
altera o produto: 1
2 + 3 5 =
1×5+2×3 2×5 =
11 10 e 3 5 + 1 2 =
3×2+5×1 5×2 =
11 10 , tamb ´em: 1 2 · 3 5 =
1×3 2×5 =
3 10 e 3 5 · 1 2 =
3×1 5×2 =
3 10.
b. A adic¸ ˜ao de mais de duas parcelas pode ser efetuada associando-as de qualquer forma sem modificar a soma.
4 3 + 1 2 + 3 5 = 4 3 +
1×5+2×3 2×5 =
4 3 +
11 10 =
4×10+3×11 3×10 =
73 30 , e 4 3 + 1 2 +3 5 =
4×2+3×1 3×2 +
3 5 = 11 6 + 3 5 =
11×5+6×3 6×5 =
73 30.
Da mesma maneira, a multiplicac¸ ˜ao de mais de dois fatores pode ser efetuada associando-os de qualquer maneira sem afetar o produto:
4 3 · 1 2 · 3 5 = 4 3 ·
1×3 2×5 =
4 3 ·
3 10 =
4×3 3×10 =
12 30, e 4 3 · 1 2 · 3 5 = 4×1 3×2 ·
3 5 = 4 6 · 3 5 =
4×3 6×5 =
12 30.
c. Uma frac¸ ˜ao n ˜ao se modifica quando lhe adicionamos o n ´umero 0
(frac¸ ˜ao 0
4 5+0=
4 5+
0 1 =
4×1+5×0 5×1 =
4+0
5 =
4
5 e
4 5·1=
4 5·
1 1 =
4×1 5×1 =
4 5.
d.Multiplicar uma frac¸ ˜ao pela soma de outras duas ´e o mesmo que somar os produtos da primeira por cada uma das parcelas.
4 3 · 1 2 + 3 5 = 4 3 ·
1×5+2×3 2×5 =
4 3 ·
11 10 =
4×11 3×10 =
44 30, e 4 3 · 1 2 + 4 3 · 3 5 =
4×1 3×2+
4× 63
63×5 = 4 6 +
4 5 =
4×5+6×4 6×5 =
20+24 30 =
44 30.
Subtrac¸ ˜ao de frac¸ ˜oes:
A soma de pq com o sim ´etrico
−m
n de
m
n se escreve p
q −
m n
(l ˆe-sepqmenosmn). Isto ´e: p q− m n = p q+ ` −mn´
. e.O sim ´etrico de m
n ´e a frac¸ ˜ao− m
n =
−m
n = m
−n:
2 3 + −2 3 = 2 3 + −2 3 =
2×3+3×(−2)
3×3 =
6+ (−6)
9 =
0 9 =0 .
No entanto, a multiplicac¸ ˜ao emQpossui uma propriedade que faz a
diferenc¸a entreQeZ:
Sejam
n um n ´umero racional diferente de zero. O n ´umero n
m ´e chamado oinverso multiplicativode m
n e satisfaz:
m n ·
n m =1.
Exemplo 15
O inverso do n ´umero 2 3 6=0 ´e
3 2, pois
2 3 ·
3 2 =
2×3 3×2 =
6 6 =1 .
Se m
n ´e um n ´umero racional diferente de zero, o seu inverso
multi-plicativo se escreve tamb ´em na forma m1
n
, ou ainda na forma m n
−1
. No
exemplo acima,2 3 −1 = 1 2 3 = 3 2.
A multiplicac¸ ˜ao de p
q pelo inverso de m
n 6=0 ´e adivis ˜aode p q por m n: p q ÷ m n = p q m n = p/q m/n = p q · n m = p n q m
Exemplo 16
2 3 ÷ 4 5 = 2 3 · 5 4 =2×5 3×4 =
10 12 e
1
2 ÷4= 1 2 ÷ 4 1 = 1 2 · 1 4 =
1×1 2×4 =
Resumo
Voc ˆe reviu os conceitos de frac¸ ˜oes, frac¸ ˜oes equivalentes, frac¸ ˜oes ir-redut´ıveis e os n ´umeros racionais; as operac¸ ˜oes de adic¸ ˜ao e multiplicac¸ ˜ao de n ´umeros racionais e suas propriedades.
Exerc´ıcios
1. Determine frac¸ ˜oes irredut´ıveis equivalentes `as frac¸ ˜oes abaixo.
a. 36
120, b. 58 48, c.
3.477
5.871, d. 25×(5
−5)5, e. 33
3
622 , f.
5 2+
3 7.
2. A escadaria de uma igreja tem 28 degraus, cada um com 121
8 cent´ımetros de altura, mais 3 cent´ımetros de revestimento. Qual a altura total da
escadaria?
3. De um tanque cheio de ´agua, retiramos 2
3 do seu conte ´udo. Ao colocarmos nele 30 litros de ´agua, o conte ´udo passa a ser a metade do conte ´udo original. Qual ´e a capacidade do tanque?
4. a. Existe algum inteironde modo que n 2 +
n 3 +
n
4 =13?
b. Existe algum inteironde modo que n 2 +
n 3 +
n 4 =n?
c. Existe algum inteironde modo que 1 2 +
n 3 +
n 4 =n?
5. Todos os trabalhadores de uma f ´abrica organizaram uma excurs ˜ao. A metade deles foi de ˆonibus, a terc¸a-parte foi de bicicleta e 5 foram de carro.
a. Quantos trabalhadores foram `a excurs ˜ao?
b. Quantos foram de ˆonibus?
c. Quantos foram de bicicleta?
p q n =
1 se n=0 e p
q 6=0; p
q· p q·. . .·
p q
| {z }
nfatores
= p n
qn se n > 0.
p q −n = " p q
−1#n
= q p n = q n
pn se n > 0 e
p q 6=0.
NOTA IMPORTANTE.
As regras de hierarquia das operac¸ ˜oes para o c ´alculo de ex-press ˜oes envolvendo n ´umeros racionais s ˜ao as mesmas que conhecemos para as operac¸ ˜oes emZ.
a. Efetue as operac¸ ˜oes nas seguintes express ˜oes e exprima os re-sultados como frac¸ ˜oes irredut´ıveis:
i. −6 9
3
, ii. 3
2
3
−2 3 2 , iii. 3 6 − 2+ 1 5 3 ÷1
2 − 1 4
2
, iv. 3
4 −2 − 7 3 2 ÷ 5 8 .
b. Desafio: Escreva duas propriedades que voc ˆe conhece sobre
pot ˆencias de n ´umeros racionais. Elabore mais de um exemplo para cada uma delas.
7. Determine o valor das seguintes express ˜oes:
a. 2
3 −
1
2
2
+3 2 −2 , b. 1− 1 2 6
1− 1
2 , c. 7 3− 4 8
1−3
9
3
1−1
2
3 ,
d. 1+1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + 1 2 4 + 1 2 5 ,
e. a·b2 −a2, ondea= −r
2, b=2r e r∈Q
f. 1
r, onder=2+ 7
s es ´e um n ´umero racional positivo.
8. Quais das seguintes afirmativas s ˜ao verdadeiras e quais s ˜ao falsas? Justifique com cuidado as suas respostas.
a. Um n ´umero racional ´e uma express ˜ao da forma m
n, onde m, n ∈
Z.
b. Sem, n ∈Z, sempre podemos acharx∈Qde modo quem·x =
n.
c. A equac¸ ˜aor·x =s comr, s ∈Q, r6=0, sempre tem soluc¸ ˜ao em
Q.
d. O sim ´etrico de m
e. 1
7 + 3 5 =
78 105.
f. 1
7 − 78 105 =
−33
−55.
g. 1
2 ·
1
3 + 1 4
= 18 12.
h. O inverso de 7 5 ´e
45 63
i. Toda frac¸ ˜ao ´e equivalente a uma frac¸ ˜ao com denominador nega-tivo.
j. O inverso de 0
6 ´e um n ´umero racional.
l. m+n
pq = m
p + n
q, ondem, n, p, q∈Z,p6=0eq6=0.
Auto-avaliac¸ ˜ao
Voc ˆe resolveu os exerc´ıcios propostos sem dificuldade? Se sua res-posta foi sim, ent ˜ao voc ˆe relembrou as propriedades elementares dos n ´umeros racionais, suas operac¸ ˜oes e sabe a hierarquia entre essas opera-c¸ ˜oes! Se teve alguma dificuldade, n ˜ao desista. Volte ao exerc´ıcio e reveja os conceitos necess ´arios para resolv ˆe-lo: frac¸ ˜ao irredut´ıvel, frac¸ ˜ao equi-valente, adic¸ ˜ao ou multiplicac¸ ˜ao de frac¸ ˜oes. Os tutores podem ajudar e
Aula 3: Os n ´
umeros racionais - continuac¸ ˜ao
Objetivos
•Rever os conceitos de frac¸ ˜ao pr ´opria e frac¸ ˜ao impr ´opria.
•Representar graficamente os n ´umeros naturais, inteiros e racionais.
• Relembrar a relac¸ ˜ao de ordem no conjunto dos n ´umeros racionais e suas propriedades e resolver inequac¸ ˜oes emQ.
•Comparar pot ˆencias de n ´umeros racionais positivos.
As propriedades do conjunto Q s ˜ao mais ricas que as do conjunto
Z. Por exemplo, considere a equac¸ ˜ao 2x = 3 onde x ´e uma quantidade
vari ´avel. Esta equac¸ ˜ao n ˜ao pode ser resolvida em Z. Isto ´e, nenhum
n ´umero inteiro x verifica 2x = 3. Enquanto que a equac¸ ˜ao 2x = 6 ´e verificada pelo n ´umero inteirox=3, pois2×3=6.
Em geral, umaequac¸ ˜aoda forman·x =m, ondemens ˜ao n ´umeros inteiros en 6= 0, tem soluc¸ ˜ao em Zapenas quando n ´e um divisor de m
e, neste caso, a soluc¸ ˜aox ´e o quociente da divis ˜ao de mporn.
No entanto, se n 6= 0 n ˜ao ´e divisor dem, a equac¸ ˜ao n·x =m n ˜ao pode ser resolvida em Z, mas sim em Q. Neste caso, a soluc¸ ˜ao x ´e o n ´umero racional m
n.
No exemplo acima, a equac¸ ˜ao 2x = 3 tem por soluc¸ ˜ao em Q o
n ´umero racional x = 3
2. Pois, ao multiplicar a igualdade 2x = 3 pelo inverso de2, temos:
1
2·(2 x) = 1
2 · 3, ou seja,
1
2 · 2
x= 3
2.
Como 1
22=1, conclu´ımos quex= 3 2.
Quando m
n ∈Qen > 0n ˜ao ´e divisor dem, podemos fazer a divis ˜ao euclidiana de m porn para obter um quociente q e um restor, de modo
que m = qn+r com 0 < r < n. Observando a definic¸ ˜ao de soma de frac¸ ˜oes, obtemos:
m n =
q·n+r
n =
q·n+r·1 1·n =
q 1 +
r
n =q+ r n
Neste caso, dizemos que m
Se numa frac¸ ˜ao m
n se tem m > n e n > 0, a quantidade q de uni-dades ´e um n ´umero positivo e a frac¸ ˜ao m
n ´e chamadaimpr ´opria. Quando
m < na frac¸ ˜ao ´e ditapr ´opria.
Exemplo 17
a. 5unidades e 3 quartos equivalem `a frac¸ ˜ao5+3 4 =
5×4+3
4 =
23 4 .
b. 17 6 =
2×6+5
6 = 2+
5
6. Logo, 17 sextos t ˆem duas unidades e cinco sextos.
c. −17 6 =
(−3)×6+1
6 = −3+ 1
6. Logo −17sextos t ˆem−3unidades e um sexto.
As considerac¸ ˜oes acima e o m ´etodo para dividir um segmento num n ´umero determinado de partes iguais, como feito na aula anterior, permi-tem construir umarepresentac¸ ˜ao gr ´afica do conjuntoQ. Esta representa-c¸ ˜ao ´e feita da seguinte maneira, veja as Figuras 9, 10 e 11: numa reta, escolhemos um ponto para representar o n ´umero zero, designamos este
ponto por 0. Escolhemos tamb ´em um sentido de percurso ao longo da reta, que indicamos com uma flecha, isto ´e, escolhemos uma orientac¸ ˜ao
na reta. Para representar o n ´umero 1, escolhemos um ponto da reta
di-ferente do ponto 0, seguindo o sentido do percurso escolhido. Dizemos ent ˜ao que o segmento de0a1 ´eum segmento unit ´arioouunidade.
Transportando a unidade consecutivamente, no sentido do percurso, obtemos os pontos na reta que representam os n ´umeros naturais, veja a Figura 9.
-t t t
0 1 2 · · · N
Fig. 9: Representac¸ ˜ao gr ´afica deN.
Obtemos a representac¸ ˜ao dos n ´umeros inteiros, a partir da repre-sentac¸ ˜ao dos n ´umeros naturais transportando a unidade em sentido con-tr ´ario ao sentido de percurso escolhido. Os pontos obtidos nesta etapa representam os n ´umeros inteiros negativos, veja a Figura 10.
-t t t t t
· · · −2 −1 0 1 2 · · · Z
Fig. 10: Representac¸ ˜ao gr ´afica deZ.
divi-dir cada um dos segmentos entre dois inteiros consecutivos emn partes de igual tamanho, onde n ´e um n ´umero inteiro positivo qualquer, veja a Figura 11. Os pontos obtidos na reta representam os n ´umeros racionais.
-t t t t t
· · ·
−2 −1 0 1 2
Q · · ·
t
−3215
t
−32
t
−34
t
−27
t 1 4 t 1 2 t 2 3 t 4 5 t 7 6 t 11 8 t 14 9 t 21 11 t 21 10
Fig. 11: Representac¸ ˜ao gr ´afica deQ.
Por exemplo, para determinar o ponto na reta orientada que repre-senta o n ´umero racional 14
9 , observamos que
14 9 =
9×1+5
9 =
9 9 +
5
9 =1+ 5 9.
Ent ˜ao, dividimos o segmento entre os inteiros 1 e 2 em 9 partes iguais. O ponto correspondente `a quinta marcac¸ ˜ao nessa subdivis ˜ao cor-responder ´a a uma unidade e cinco nonos.
Os pontos na reta que representam os n ´umeros racionais est ˜ao dis-postos tanto `a direita como `a esquerda do ponto que representa o zero.
Lembre que ...
Sem, n∈Zen6=0, ent ˜ao m
n =0⇐⇒m=0.
O sinal de um racional.
Um n ´umero racional m
n ∈Q, comm, n∈Z,m 6=0en6=0 ´e
• positivo, e escrevemos m
n > 0, quando os inteiros m e n t ˆem o
mesmo sinal, isto ´e, ambos s ˜ao positivos ou ambos s ˜ao negativos.
• negativo, e escrevemos m
n < 0, quando os inteiros m e n t ˆem
sinais contr ´arios, isto ´e, um ´e positivo e o outro negativo.
Exemplo 18
a. 7
6 > 0, pois7 > 0 e 6 > 0. Tamb ´em
−7
−6 > 0 pois−7 < 0 e−6 < 0.
Note que, −7
−6 =
(−1)·7
(−1)·6 =
−1
−1 ·
7 6 =1·
7 6 =
7 6.
b. −3
2 < 0, pois−3 < 0e2 > 0. Note que− 3
2 = (−1) 3 2 = −1 1 · 3 2 = −3 2 . c. Sabemos que todo racional ´e equivalente a um racional com denomi-nador positivo. Se m
n ∈ Q, com m, n ∈ Z e n > 0, vemos que o sinal de m
n depende apenas do sinal de m: Se m > 0, ent ˜ao m
n > 0 e sem < 0 ent ˜ao m
d. Todo n ´umero racional da forma m
n, com m e n inteiros positivos (ou inteiros negativos) ´e positivo. Logo o seu sim ´etrico−m
n ´e negativo.
Similarmente, se m
n ´e um racional comm < 0en > 0(oum > 0en < 0), ent ˜ao m
n ´e negativo e o seu sim ´etrico− m
n ´e positivo.
Definic¸ ˜ao 5 (Relac¸ ˜ao de ordem em
Q
)
Dizemos que m
n ´e menor que
p
q e escrevemos m
n < p
q, quando
p q −
m n ´e positivo. Ou de maneira equivalente, quando m
n − p
q ´e negativo.
Exemplo 19
a. 2 3 <
4
5, pois 4 5 − 2 3 = 4 5 + −2 3 =
4×3+5×(−2)
15 =
12−10 15 =
2 15 > 0.
b. −7 5 <−
3
4, pois
−7 5
−−3 4
= −7 5 +
3 4 =
−28+15
20 =
−13
20 < 0.
Na Figura 11 interpretamos a relac¸ ˜ao de ordem da seguinte maneira:
A frac¸ ˜ao m
n ´e menor que a frac¸ ˜ao p
q apenas quando o ponto que
repre-senta m
n fica `a esquerda do ponto que representa
p q.
Por exemplo, na Figura 11, vemos que:
−3 2 <−
3 4, −
2 7 < 1 4, 4 5 < 7 6, 11 8 < 21 11 etc. Outras desigualdades.
• Escrevemos m
n ≤ p q (
m
n ´e menor ou igual a p
q), quando m n < p q ou m n = p q.
•Escrevemos p q >
m n (
p
q ´e maior que m
n), quando m
n < p q. IMPORTANTE!
• Voltamos a destacar que os n ´umeros racionais negativos s ˜ao representados por pontos `a esquerda do ponto que repre-senta o0, e que os n ´umeros ra-cionais positivos s ˜ao represen-tados por pontos `a direita do ponto que representa o0.
• Qualquer racional negativo ´e menor que qualquer racional po-sitivo.
Uma desigualdade: ´
E uma relac¸ ˜ao entre duas quan-tidades onde aparece algum dos s´ımbolos<,>,≤ou≥.
•Escrevemos p q ≥
m n (
p
q ´e maior ou igual a m
n), quando m
n ≤ p q.
•Se m n ,
p q,
r
s ∈Q, escrevemos m
n < p q <
r
s para abreviar que m n < p q e p q < r
s. Um ou ambos os sinais<podem ser trocados por≤.
•Similarmente, m n >
p q >
r
s equivale a dizer que m n > p q e p q > r s.
Exemplo 20
Escrevemos 2 3 < 7 6 ≤ 11O nosso prop ´osito agora ´e mostrar algumas t ´ecnicas para determi-nar as soluc¸ ˜oes de inequac¸ ˜oes envolvendo n ´umeros racionais.
Uma inequac¸ ˜ao ´e uma relac¸ ˜ao entre duas express ˜oes envolvendo uma ou mais quantidades vari ´aveis e algum dos s´ımbolos de comparac¸ ˜ao
>,<,≥ou≤.
Por exemplo, a relac¸ ˜ao 2x = 3 ´e uma equac¸ ˜ao na vari ´avel x e a relac¸ ˜ao2x < 3 ´e umainequac¸ ˜ao na vari ´avelx.
Enquanto a equac¸ ˜ao2x =3tem somente uma soluc¸ ˜ao, a inequac¸ ˜ao
2x < 3 tem uma infinidade de soluc¸ ˜oes (a desigualdade se verifica para
uma quantidade infinita de valores da vari ´avelx).
Para atingir este objetivo devemos entender melhor a relac¸ ˜ao de or-dem no conjuntoQ, assim como o seu comportamento perante as
opera-c¸ ˜oes de adiopera-c¸ ˜ao e multiplicaopera-c¸ ˜ao. Preste muita atenopera-c¸ ˜ao nas sete proprieda-des b ´asicas a seguir.
Propriedades b ´asicas da relac¸ ˜ao de ordem emQ.
1. Entre dois racionais somente podemos colocar um dos s´ımbolos <, =
ou>. Assim, se os racionais s ˜ao diferentes, ent ˜ao um deles ´e menor que o outro.
Por exemplo:
1 4 6=
2
3 e
1 4 <
2 3.
2. Se um n ´umero racional ´e menor que outro, e este ´ultimo ´e menor que um terceiro, ent ˜ao o primeiro ser ´a menor que o terceiro.
Por exemplo, como 1 4 <
2 3 e
2 3 <
5
6, temos 1 4 <
5 6.
3. Se um racional ´e menor que outro e somamos a ambos um terceiro, a desigualdade entre os resultados se mant ´em na mesma ordem.
Por exemplo:
1 4 <
2
3, logo:
1 4+
1 2 <
2 3+
1
2, concluindo ent ˜ao:
3 4 <
7 6.
por um terceiro positivo, os produtos resultantes ir ˜ao manter a mesma relac¸ ˜ao. Por exemplo: 1 5 < 1
2, e 2
3 > 0 , logo:
1 5· 2 3 < 1 2· 2
3, efetuando os produtos:
2 15 <
2 6.
5. No entanto, se no item anterior o multiplicador ´e negativo, a ordem dos produtos ´e invertida.
Por exemplo:
1 5 <
1
2, e −
2
3 < 0,logo:
1 5· −2 3 > 1 2· −2 3
, isto ´e:
− 2
15 > − 2 6.
6. Se um n ´umero racionalpositivo ´e menor que outro en ´e uminteiro po-sitivo, ent ˜ao as n−´esimas pot ˆencias ser ˜ao racionais positivos mantendo
amesma ordem.
Por exemplo:
0 < 1
2 < 3
4, 3∈Z, 3 > 0. Logo:
0 < 1
2
3
< 3
4
3
, isto ´e:
0 < 1
8 < 27 64.
Contudo, observe que a condic¸ ˜ao de ambos os n ´umeros racionais serem positivos ´eessencialpara a validade desta propriedade. Por
exem-plo, observe que −1 2 < −
1
4 e que 2 > 0, mas
−1 2
2
= 1
4 n ˜ao ´e menor
que −1 4
2
= 1
16. Isto aconteceu porque ambos os n ´umeros − 1 4 e −
1 2 n ˜ao s ˜ao positivos.
Por exemplo:
0 < 1
2 < 3
4, −3∈Z, −3 < 0 .Logo:
1
2
−3
> 3
4
−3
. Isto ´e:
23 =2
1
3
> 4
3
3
. Ou seja:
8 > 64
27.
De novo, o fato de as bases das pot ˆencias serem positivas ´e essen-cialpara a validade desta propriedade. Por exemplo,−1 <−1
2 e−2 ´e um inteiro negativo. No entanto,
(−1)−2 =
1
−1
2
=1 n ˜ao ´e maior que −1 2 −2 = − 1 1 2 2
= (−2)2 =4.
Veja agora como estas propriedades s ˜ao usadas na pr ´atica.
Exemplo 21
Este exemplo estabelece um conhecido crit ´erio para saber quando uma frac¸ ˜ao ´e menor que outra, chamadocrit ´erio dos produtos cruzados para
desigualdades de frac¸ ˜oes com denominadores positivos:
Lembre que ...
Na aula anterior estudamos o crit ´erio dos produtos cruza-dos para igualdade de frac¸ ˜oes
que estabelece a seguinte equi-val ˆencia:
m n =
p
q ⇐⇒mq=np
No entanto, no crit ´erio anun-ciado ao lado, observe que ´e de fundamental import ˆancia que os denominadores sejam positi-vos.
Se m
n, p
q ∈Qt ˆem os seus denominadores positivos, ent ˜ao:
m n <
p
q equivale a m·q < p·n
Com efeito, como n e q s ˜ao inteiros positivos, o produto nq ´e tamb ´em positivo.
Assim, a desigualdade m n <
p
q equivale, pela propriedade 4, `a
desigual-dade m
n ·nq < p
q ·nq. Isto ´e, equivale a
m·n·q n <
p·n·q q .
Como m·n·q
n =m·q e
p·n·q
q =p·n, conclu´ımos que m
n < p
q equivale `a desigualdade m·q < p·n de n ´umeros inteiros.
Por exemplo, 2 3 <
5
6, pois12=2×6 < 5×3=15.
Tamb ´em−2 3 <−
1
2, pois esta desigualdade equivale a
−2
3 <
−1
Exemplo 22
Determine os n ´umerosr∈Qque satisfazem4−3r < 5.
Soluc¸ ˜ao:Pela propriedade 3, a desigualdade equivale a (4−3r)−4 < 5−4,
ou seja, −3r < 1.
Usando a propriedade 5, obtemos a desigualdade 1
−3
·(−3r)> 1
−3
·1 ,
que ´e equivalente `a anterior. Dessa desigualdade, obtemos −3r
−3 > −
1 3,
ou seja r >−1 3.
Portanto, os n ´umeros racionais r que satisfazem 4 − 3r < 5, s ˜ao os n ´umeros racionais maiores que−1
3 .
Exemplo 23
Quais s ˜ao os n ´umerosr∈Qque satisfazem 3
5 < r+ 2 3 ?
Soluc¸ ˜ao:Da propriedade 3, 3 5 < r+
2
3 equivale a 3 5+ −2 3
< r+2 3+ −2 3 ,
o que equivale a 3 5 −
2
3 < r. Ou seja: − 1 15 < r .
Portanto, os n ´umeros racionais que satisfazem a desigualdade proposta s ˜ao os n ´umeros racionais maiores que−1
15 .
Exemplo 24
Para que n ´umeros racionaisrvale a desigualdade r 2+
1 4 ≤
3 4?
Soluc¸ ˜ao: Da propriedade 3 vemos que a desigualdade proposta equivale
a r 2 + 1 4 + −1 4 ≤ 3 4 + −1 4
, que por sua vez equivale a r 2 ≤
2 4.
Como 2
1 = 2 > 0, pela propriedade 4 obtemos 2 1 · r 2 ≤ 2 1 · 2
4, ou seja 2·r
1·2 ≤ 2·2
1·4. Isto ´e,r≤ 4 4 =1.
Portanto, a desigualdade proposta ´e satisfeita pelos n ´umerosr∈Q,r≤1.
Exemplo 25
Para quais n ´umeros racionaisrvale a desigualdade 2r−1 2r+1 <
2 3?
Soluc¸ ˜ao: Pela definic¸ ˜ao da relac¸ ˜ao de ordem, a desigualdade proposta equivale a 2r−1
2r+1 − 2
3 < 0 , ou seja, 3(2r−1) −2(2r+1)
3(2r+1) =
6r−3−4r−2 6r+3 =
2r−5 6r+3 < 0.
Logo, devemos determinar os n ´umeros racionaisrtais que: 2r−5
Sabemos que 2r−5
6r+3 ´e negativo quando 2r−5 e 6r+3 t ˆem sinais opostos.
(4)Multiplicando ...
Lembre das propriedades da relac¸ ˜ao de ordem em Q, em
particular da propriedade 4 que diz que uma desigualdade n ˜ao se modifica quando multiplica-mos ambos os membros por um n ´umero racionalpositivo.
(?)Na tabela ao lado ... Usamos o s´ımbolo(?)para in-dicar que a express ˜ao2r6r−+53n ˜ao est ´a definida quandor= −12. Observe que 2r−5 < 0 significa 2r < 5 e multiplicando ambos os
membros(4) desta desigualdade por 1
2 obtemos: r < 5
2. Similarmente,
2r−5 > 0quandor > 5
2, e5−2r=0quandor= 5 2.
Por outro lado, 6r+3 > 0 significa 6r > −3. Multiplicando(4) ambos os membros desta desigualdade por 1
6 obtemos: r >
−3
6 = − 1
2. Similar-mente,6r+3 < 0 quandor <−1
2 e6r+3=0quandor= − 1 2. Reunindo estas informac¸ ˜oes, obtemos a seguinte tabela:
r <−1
2 r= − 1 2 −
1 2 < r <
5 2 r=
5 2 r >
5 2
2r−5 < 0 < 0 < 0 0 > 0
6r+3 < 0 0 > 0 > 0 > 0
2r−5
6r+3 > 0
?
< 0 0 > 0Observe que, para r = −1
2, a express ˜ao 2r−5
6r+3 n ˜ao est ´a definida (pois o denominador ´e igual a zero).
Da tabela anterior, conclu´ımos que o conjunto dos n ´umeros racionais para os quais a desigualdade proposta ´e verificada ´e:
r∈Q| −1
2 < r < 5 2
.
Exemplo 26
Para quais inteirosnvale a desigualdade 1 n−1
3 < 0?
Soluc¸ ˜ao: Em virtude da definic¸ ˜ao das pot ˆencias de n ´umeros racionais, a desigualdade proposta equivale a 1
(n−1)3 < 0. Como 1 > 0, a ´ultima
desigualdade equivale a(n−1)3 < 0. Logon−1 < 0, pois3 ´e um expoente
´ımpar. Portanto, a desigualdade vale para todo inteiro menor que1.
Exemplo 27
Quais s ˜ao os n ´umeros racionaisrque satisfazem: 5r−3
3r−2 ≤
5r+1 3r+5 ?
Pela definic¸ ˜ao da relac¸ ˜ao de ordem, a desigualdade proposta equivale a:
0≤ 5r+1 3r+5 −
5r−3 3r−2.
Cuidado!
No Exemplo 27 n ˜ao podemos aplicar a regra dos produtos cru-zados, pois os sinais dos de-nominadores 3r−2 e 3r+5
Simplificamos o lado direito desta desigualdade:
5r+1 3r+5 −
5r−3 3r−2 =
(5r+1)(3r−2) − (5r−3)(3r+5) (3r+5)(3r−2)
= (15r
2+3r−10r−2) − (15r2+25r−9r−15)
(3r+5)(3r−2)
= 15r
2−7r−2−15r2−16r+15
(3r+5)(3r−2)
= 13−23r
(3r+5)(3r−2).
Logo:
0≤ 5r+1
3r+5 − 5r−3
3r−2 equivale a 0≤
13−23r
(3r+5)(3r−2).
Para analisar o sinal da express ˜ao 13−23r
(3r+5)(3r−2), devemos estudar
se-paradamente o sinal de 13−23r , 3r+5 e 3r−2:
O s´ımbolo⇐⇒: ´
E usado entre duas proposic¸ ˜oes para indicar que elas s ˜ao equi-valentes, isto ´e, que a validade de uma equivale `a validade da outra. Se P e Q s ˜ao duas proposic¸ ˜oes, a relac¸ ˜ao
P⇐⇒Q
se l ˆe “P ´e verdadeirase, e so-mente se,Q´e verdadeira”
•13−23r:
Temos: 13−23r > 0⇐⇒13 > 23r⇐⇒ 13
23 > r.
Similarmente: 13−23r < 0 ⇐⇒13 < 23r ⇐⇒ 13
23 < r.
Tamb ´em: 13−23r=0⇐⇒r= 13 23.
•3r+5:
Temos: 3r+5 > 0⇐⇒3r >−5⇐⇒r >−5 3.
Similarmente: 3r+5 < 0 ⇐⇒3r <−5⇐⇒r <−5 3.
Tamb ´em: 3r+5=0⇐⇒r= −5 3.
•3r−2:
Temos: 3r−2 > 0⇐⇒3r > 2⇐⇒r > 2
3.
Similarmente: 3r−2 < 0 ⇐⇒3r < 2⇐⇒r < 2
3.
E finalmente: 3r−2=0⇐⇒r= 2 3.
Observe agora que−5 3 <
13 23 <
2 3.
