PASO DE SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO A DECIMAL Y VICEVERSA

ELECTRÓNICA DIGITAL

1. Necesidad de los sistemas binarios

El funcionamiento de la mayor parte de los objetos electrónicos actuales, como teléfonos, calculadoras o computadoras, está basado en la idea de que toda información se puede traducir y descomponer en números, en una cantidad de dígitos.

El sistema de numeración que emplean todos los aparatos digitales en la actualidad es el sistema binario. Esto se debe a que la única información que podemos transmitir por un cable de un circuito electrónico es la de que pasa o no pasa corriente. Nosotros podemos hacer corresponder estos dos estados con los valores 1 y 0 del sistema de numeración binario. Así la unidad mínima de información será el bit, que podrá tomar el valor 0 o 1.

(El sistema decimal genera demasiadas complicaciones ya que cada dígito de un número puede tener 10 valores distintos, que varían del 0 al 9).

Toda la información que nosotros queramos introducir en el ordenador (números, letras, signos, símbolos,…) tiene que ser traducida a un lenguaje comprensible para el ordenador, es decir, combinaciones de 0 y 1, combinaciones de bits. Este lenguaje en que toda la información va codificada como ceros y unos es lo que denominamos

sistema de numeración binario o código binario. También sucede al revés, toda la información que nos llega desde el ordenador tiene que ser traducida desde el código binario a nuestro lenguaje.

Para lograr convertir un lenguaje en otro, el sistema consiste en hacerle corresponder a cada carácter a introducir un nº decimal (los que nosotros manejamos a diario); estos números decimales los

traducimos al código binario, o viceversa.

Puedes ver en la tabla de la derecha esta correspondencia. Si te fijas cualquiera carácter se puede representar mediante un máximo de 8 bits (1 byte):

255(sistema decimal) = 2.100 + 5.10 + 5.1

11111111 (sistema binario) = = 1.27 + 1.26 + 1.25 +1.24 +1.23 +1.22 + 1.21 + 1.20 = =1.128+1.64+1.32+1.16+1.8+1.4+1.2+1.1 = 128+64+32+16+8+4+2+1= 255

PASO DE SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO A DECIMAL Y VICEVERSA

▪ SISTEMA DECIMAL: Se compone de 10 dígitos, que van desde el 0 al 9. Los distintos números se escriben como una combinación de estos dígitos. El valor de cada dígito se asocia a una potencia de base 10 dependiendo de la posición que ocupa en el conjunto: unidades, decenas, centenas,…

▪ SISTEMA BINARIO: Se compone de 2 dígitos, 0 y 1. Cualquiera número se escribe como una combinación de esos dígitos. El valor que tome cada dígito dependerá de la posición que ocupen en el conjunto, siendo siempre múltiplos de potencias de base 2. Los primeros números en el sistema binario: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111,… Ejemplo:

101 = 1.22 + 0.21 + 1.20 = 1.4 + 0.2 + 1.1 = 4+1 = 5 El número 101 en binario equivale al número 5 decimal.

▪ PASO DE BINARIO A DECIMAL: Como vimos en el ejemplo anterior, podemos escribir el número como suma de potencias de base 2.

Ejemplo:

1011 = 1.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20 = 1.8 + 0.4 + 1.2+ 1.1= 8 + 2 + 1 = 11

▪ PASO DE DECIMAL A BINARIO: Tenemos que dividir el número decimal entre 2 de forma sucesiva hasta que el cociente sea igual a 1. Después escribimos, de derecha a izquierda, el último cociente (1) y todos los restos en orden inverso al que los

obtuvimos. Ejemplo:

EJEMPLO 1. Realiza el paso de binario a decimal de los números:

A) 101101 (45) B) 11001101 (205)

EJEMPLO 2. Realiza el paso de decimal a binario.

A) 109 (1101101) B) 182 (10110110)

Existen otros sistemas de numeración muy empleados en sistemas informáticos y de control, por ejemplo el sistema hexadecimal. En este caso la base del sistema es el 16, siendo la equivalencia con el sistema de numeración binario la que expresamos en la tabla siguiente: Un número expresado en hexadecimal podría ser el C0, que si pasamos a sistema decimal resultaría el 192

C·161 + 0·160 = 12·161 =192

Este sistema de numeración nos permíte expresar los números del 0 al 255 de una forma muy simple. Si tenemos una conexión para intercambio de información con 16 cables, cada uno de esos cables vendrá asociado con un dígito del sistema hexadecimal, desde el

0 hasta el F. Así con dos impulsos eléctricos podremos indicar un número del 0 al 255, como en el código ASCII, o como el código de colores web.

DECIMAL HEXADECIMAL BINARIO

0 0 0000

1 1 0001

2 2 0010

3 3 0011

4 4 0100

5 5 0101

6 6 0110

7 7 0111

8 8 1000

9 9 1001

10 A 1010

11 B 1011

12 C 1100

13 D 1101

14 E 1110

2.

Álgebra de Boole

LA HERRAMIENTA MATEMÁTICA PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: ÁLGEBRA DE BOOLE.

A mediados del siglo XIX un matemático francés, llamado George Boole, desenvolvió una herramienta matemática para representar las formas del razonamiento lógico, de forma que se pudiesen representar las proposiciones con dos valores, verdadero y falso. Las variables solo podían tomar esos dos valores, de la misma forma que en un sistema de numeración binario solo tenemos dos estados, el 1 y el 0. En nuestro caso estos valores representan los estados de un dispositivo: presencia y ausencia de tensión, interruptor cerrado o abierto.

Para la formulación matemática, la electrónica digital considera una lógica de niveles en función de los valores de tensión en los dispositivos. En principio consideraremos y trabajaremos con las siguientes premisas:

Nivel de tensión alto en los dispositivos (5V) asociado al valor 1 de la variable Nivel de tensión bajo en los dispositivos (0V) asociado al valor 0 de la variable. Esta lógica que establecemos de esta forma se denomina lógica positiva, y si lo hiciésemos al revés (nivel de tensión alto asociado ó valor 0) se llamaría lógica negativa.

OPERACIÓNES EN EL ÁLGEBRA DE BOOLE

Una función lógica viene dada por la correspondencia de una variable binaria S en la que su valor depende de una expresión algebraica formada por otras variables. Estas variables pueden estar relacionadas mediante las operaciones + y ·

Por ejemplo: S = a·b +a·c

El resultado será 1 cuando los productos a·b o a·c sean 1. Para representar el comportamiento de una ecuación binaria empleamos las tablas de verdad, en la que representamos todo los estados de las variables de entrada y los resultados de cada una de las operaciones, para obtener las variables de salida, en este caso el valor de la función S.

Una función lógica también la podemos pensar como las posibles combinaciones para diferentes elementos eléctricos, en este caso Interruptores abiertos y cerrados. En el caso que nos ocupa de la función S, el esquema eléctrico sería:

La salida tendrá valor 1 (tendrá corriente) cuando los interruptores a y b, o a y c estén cerrados.

Veremos que en muchos casos podremos simplificar las funciones aplicando las propiedades del Álgebra de Boole, como la conmutativa y asociativa, o bien los postulados y teoremas que nos permiten simplificar funciones.

Operaciones.

Las operaciones que realizamos son tres: Suma + : a + b

Producto · : a·b

a

: ación Complement

a b S 0 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 1 0

Propiedades.

Tres propiedades fundamentales: Conmutativa: a + b = b + a Asociativa: a + b +c = a+ (b + c) Distributiva: a·(b+c) = a·b + a·c

a + (b·c) = (a+b)·(a+c)

Aplicando la propiedad distributiva vemos que podemos representar la función S mediante interruptores de la siguiente forma:

Podemos representar entonces la tabla de verdad para este circuito-función:

Observamos que los productos solo toman valor 1 cuando los dos factores del mismo tienen ese mismo valor, siendo el resultado 0 en cualquiera otro caso. Las sumas toman

valor 1 siempre y cuando uno de los sumandos tengan valor 1, independientemente del valor del otro sumando.

Postulados.

Los postulados son verdades que se cumplen para cualquiera valor de las variables, y los podremos comprobar con la tabla de verdad

Debemos observar de que las variables a y ā son complementarias, siempre que una toma el valor 1 la otra tomará el valor 0.

● Leyes de Morgan

El complementario de la suma es igual al producto de los complementarios

El complementario del producto es igual a la suma de los complementarios c b a b+c S= a·(b+c)

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1

a + 1 = 1 a ·1 = a a + 0 = a a ·0 = 0 a + a = a a · a = a a + ā = 1 a · ā = 0 _

ā =a

a

b

a

b

a

S

a

S

3. Representación de las puertas lógicas

Puerta AND. Función lógica producto

Tenemos la representación ASA y DIN de la puerta AND, así como la tabla de verdad de la misma.

Puerta OR. Función lógica suma.

Las puertas lógicas nos aparecen en circuitos integrados, como el circuito 7432 que dispone de cuatro puertas OR

La tabla de verdad para esta puerta lógica es la que aparece a la derecha, y la representación mediante elementos eléctricos sería la siguiente:

Puerta NOT, función lógica negación (complementación).

Esta puerta realiza la función de negación o complementación. Si en la entrada de la puerta hay tensión

tendremos ausencia de tensión a la salida y viceversa.

Tendremos esta puerta en el circuito integrado 7404.

Con el conjunto de estas tres puertas podremos representar las demás. Las expresiones matemáticas de las otras puertas lógicas se podrán escribir como combinación de las puertas NOT, AND y OR

Puerta NOR.

Con esta puerta estamos realizando en un solo paso la misma función que realizaríamos empleando primero una puerta OR y posteriormente una NOT, esto es, realizamos una suma y posterior negación.

La tabla de verdad para esta puerta lógica es la siguiente:

a b S 0 0 0 0 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 1 1

a b S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1

a S 0 0 1 1 1 0

a b S 0 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 1 0

& 0 0 0

a

b

a

b

S=a·b

S=a·b

a

b

a

b

S=a+b

S=a+b

a

b

a

b

S

a

b

b

a

S

b

a

b

a

b

a

S

·

·

Si aplicamos los Teoremas de Morgan vemos que podemos expresar la función que nos da esta puerta lógica de dos formas:

b

a

b

a

S

·

En el circuito integrado 7402 tenemos cuatro puertas NOR de dos entradas.

Puerta NAND.

En este caso realizamos en una sola puerta la misma función que haríamos con las puertas AND y posteriormente NOT. También podríamos comprobar otra expresión para esta puerta lógica empleando los Teoremas de Morgan. Usaremos la puerta NAND de cuatro entradas representada en el circuito 7400.

• Puerta EXOR (OR exclusiva)

Con esta puerta lógica la salida solo es 1 si una de las entradas está activada. Nunca si lo están a la vez.

4. Ejemplos de aplicación

EJEMPLO 1: Obtenemos la función lógica a partir del esquema de

un circuito.

_

Como la última puerta del circuito es una puerta OR, en la salida tendremos la suma de las funciones de las entradas:

c

b

c

a

b

S

(

·

)

·

Si hacemos la tabla de verdad del circuito:

Tenemos indicado primero todos los posibles valores de las entradas, ordenados de menor a mayor. Después tenemos calculado el valor en la salida de cada una de las puertas lógicas, para finalmente llegar al resultado de la función S.

a b S 0 0 0 1 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 0

a b S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 0

a b c a·c

_b

b

(a·c)

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1

EJEMPLO 2: Dada la función

S= ā·b + a·(b + c)

realizar la tabla de

verdad, y representar el circuito con puertas lógicas

Para realizar la tabla de verdad procedemos igual que en el ejemplo 1.

Para la representación del circuito partimos de las tres entradas, y vamos empleando las puertas lógicas apropiadas para cada caso.

5. Puertas universales

Consideramos las puertas NAND y NOR puertas universales, porque con estas dos puertas podemos implementar cualquiera función lógica. A continuación se exponen las equivalencias entre los diferentes tipos de puertas y las puertas universales.

6. Diferentes simbologías de puertas lógicas

a b c

ā

_{a·(b + c) ā·b}

S

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1

FUNCIÓN Simbología más

extendida

Símbolos IEC

Ecuación

Lógica

NOT

S=

ā

AND

S=a·b

OR

S=a+b

NAND

__

S=a·b

NOR

___

S=a+b

EXOR

7. Ejercicios de aplicación

1)Pasa los siguientes números de Decimal a Binario a) 137 b) 208 c) 93 2) Pasa los siguientes números de Binario a Decimal

a) 11000101 b)01001110 c) 10111001

3) Obtén la función lógica del siguiente circuito, y haz la tabla de verdad correspondiente.

4) A partir de las siguientes expresiones para funciones lógicas, obtén la tabla de verdad:

a)

F

a

·

b

a

·(

b

c

)

S

a

·(

a

b

·

c

)

b

·(

c

a

)

5) A partir de los siguientes esquemas de circuitos digitales, obtén la función que representan:

6) A partir de la siguiente tabla de verdad, obtén la función lógica y represéntala.

7) Tenemos tres depósitos de agua de 5000, 6000 y 10000 litros. Queremos que se encienda una bomba de agua cuando quedan vacios dos de ellos, o cuando queda vacio el de 10000 litros. Realiza la tabla de verdad del circuito digital que cumple esas condiciones, y obtén la función de salida a partir de la tabla.

8) Tenemos tres detectores de humo en el taller de tecnología; A, B y C. Queremos que se active una alarma de incendios cuando los tres detecten humo, o cuando lo detecten el B y el C a la vez. Realiza la tabla de verdad y representa el circuito empleando puertas lógicas.

a b c S