4 Gestión del combustible nuclear Teorías del transporte y la difusión multigrupo

(1)

ENERG´IA NUCLEAR Y

CICLO DE COMBUSTIBLE

Tema 4: Gesti´

on del combustible nuclear.

Teor´ıas del transporte y la difusi´

on

multigrupo

3 er

Curso.

1 er

Cuatrimestre

Victor Koerting Wiese y C´esar Queral Salazar

(2)

´Indice general

1. Gestión del núcleo y gestión del combustible. 1

1.1. Gesti´on del n´ucleo . . . 3

1.2. Gesti´on del combustible . . . 5

1.2.1. Tipos de esquemas de recarga . . . 6

1.2.1.1. Esquemas out-in . . . 6

1.2.1.2. Esquemas de bajas fugas . . . 8

1.2.1.3. Inter´es de los esquemas de bajas fugas . . . 9

1.2.2. Estrategias de recarga en los reactores espa˜noles . . . 10

1.2.2.1. Reactores PWR . . . 10

1.2.2.2. Reactores BWR . . . 13

2. Teor´ıa del transporte neutrónico 16 2.1. Conceptos básicos: Flujo, densidad y corriente neutrónica . . . 16

2.2. Ecuaci´on del transporte neutr´onico . . . 19

2.3. Reactor virtual. kef . . . 21

2.4. Tratamiento de la variable angular . . . 22

2.4.1. M´etodo de Monte Carlo . . . 22

2.4.2. M´etodo de las ordenadas discretas Sn. M´etodo de Carlson . . 23

2.4.3. Aproximaci´on PL. Teor´ıa de la difusi´on (P1) . . . 23

3. Teor´ıa de la difusión. Teor´ıa de la difusión multigrupo 29 3.1. Condiciones de contorno en las ecuaciones de difusión multigrupo . . 32

3.2. Teor´ıa de la difusi´on de un grupo . . . 34

3.2.1. Resolución de la ecuación de difusión . . . 36

(3)

Tema 4. Secci´on ´Indice general

3.3.1. Reactor t´ermico con la teor´ıa de difusi´on de dos grupos . . . . 55

3.3.2. Relación de la teor´ıa de difusión de dos grupos con la difusión edad . . . 57

3.3.3. Reactor con reflector. Perfil espacial del flujo neutr´onico . . . 58

3.4. Teor´ıa de la difusi´on de tres grupos . . . 63

3.5. T´ecnicas de resoluci´on espacial . . . 64

3.5.1. Diferencias finitas . . . 64

3.5.2. M´etodos nodales . . . 65

3.6. Problemas. Aplicaciones de la teor´ıa de la difusi´on. . . 67

4. Metodolog´ıa y programas de simulación para el cálculo del esquema de recarga. 79 4.1. Metodolog´ıa de cálculo . . . 79

(4)

´Indice de figuras

1.1. Fases de ingenier´ıa en los estudios de recarga de un reactor. . . 2

1.2. Limitaciones en la gesti´on del n´ucleo. . . 4

1.3. Tipos de esquemas de recarga. . . 6

1.4. Esquema de recarga tipoout-inen el primer ciclo de un reactor PWR-W. . . 7

1.5. Esquemas de recarga de bajas fugas. . . 8

1.6. Impacto de la estrategia de recarga (out-in o L3_P _{) y los venenos} consumibles en el perfil radial del flujo neutr´onico. . . 9

1.7. Esquema de recarga L3_P _{con venenos consumibles WABA. PWR-W.} ₁₁ 1.8. Esquema de recargaL3_P _{con venenos consumibles integrales. PWR-W. 11} 1.9. Esquema de recarga de bajas fugas en un PWR-KWU. C.N. Trillo. . 12

1.10. Esquema de recarga de bajas fugas y CCC en un BWR. . . 14

1.11. Perfil radial en un BWR con esquema de bajas fugas con CCC. . . . 15

2.1. Vector unitario de la velocidad. Coordenadas esf´ericas. . . 17

2.2. Esquema del m´etodo de Monte Carlo. . . 23

2.3. Ejemplos de aproximaciones angulares. Cerca de una barra de control (a) y cerca de la cara interior de la vasija (b). . . 24

2.4. Representaci´on esquem´atica de la ley de Fick. . . 27

3.1. Ordenaci´on de los grupos energ´eticos. . . 30

3.2. Discretizaci´on en dos y cuatro grupos energ´eticos . . . 30

3.3. Condiciones en la frontera entre materiales. . . 32

3.4. Distancia extrapolada. Condici´on en la frontera con el vac´ıo. . . 33

(5)

Tema 4. Secci´on ´Indice de figuras

3.6. Modo fundamental, n = 0, y segundo modo, n = 1, de una losa

infinita de anchura H. . . 38

3.7. Perfil radial del flujo neutr´onico para distintas configuraciones ge-om´etricas. . . 44

3.8. Losa infinita de anchura Hcon reflector de espesor b. . . 44

3.9. Comparaci´on del perfil espacial del flujo neutr´onico con/sin reflector (teor´ıa de un grupo). . . 45

3.10. Perfiles radial y axial del flujo neutrónico para un reactor cil´ındrico homogéneo con/sin reflector (a)y heterogéneo con reflector (b). . . . 46

3.11. Comparaci´on de los perfiles espaciales del flujo neutr´onico para un reactor con reflector con la teor´ıa de un grupo y la multigrupo. . . 46

3.12. Variaci´on del perfil radial con la distribuci´on del enriquecimiento. . . 47

3.13. Perfil axial del flujo neutr´onico en un BWR (combustible fresco). . . 48

3.14. Perfiles axiales en un BWR con distintas estrategias de operaci´on. . . 49

3.15. Variaci´on del perfil radial del flujo neutr´onico con el quemado. . . 50

3.16. Variaci´on del perfil axial con el quemado en un PWR. . . 51

3.17. Perfil radial de los flujos térmico y rápido en un reactor homogéneo. . 57

3.18. Losa infinita de anchura H con reflector de espesorb. . . 59

3.19. Perfil radial de los flujos térmico y rápido en un reactor con reflector. 60 3.20. Perfil radial de los flujos térmico y rápido en un reactor con/sin reflector. 61 3.21. Perfiles radial y axial del flujo neutrónico en un reactor cil´ındrico con/sin reflector. . . 62

3.22. Problema de la t´ecnica nodal. . . 65

3.23. Sistema peri´odico combustible-moderador. . . 74

4.1. Esquema de la metodolog´ıa del c´alculo de la recarga. . . 80

4.2. Esquema de c´alculo de celda - elemento - n´ucleo. . . 81

4.3. Perfil del flujo neutr´onico para distintos grupos energ´eticos dentro de una celda de combustible. . . 83

4.4. Condensaci´on de las secciones eficaces. . . 84

4.5. Homogeneizaci´on en una celda de combustible. . . 84

4.6. Efecto de la homogeneización en un grupo de varillas sobre el flujo neutrónico rápido y térmico. . . 85

4.7. Tipos de elementos BWR (secciones transversales). . . 86

(6)

Tema 4. Secci´on ´Indice de figuras

4.9. Perfil de potencia y tasa de fisi´on en elementos BWR . . . 88

4.10. Homogeneización en un elemento de combustible. . . 89 4.11. Núcleos de reactores LWR. . . 90 4.12. Perfil radial normalizado de la potencia en un PWR. Variación con el

quemado. . . 91 4.13. Variaci´on del quemado a lo largo del ciclo en un esquema de bajas

(7)

´Indice de tablas

3.1. Laplaciano geom´etrico, distribuci´on de flujo cr´ıtica y volumen cr´ıtico

m´ınimo para diferentes geometr´ıas. . . 43

4.1. C´odigos de celda . . . 94

4.2. C´odigos de n´ucleo . . . 95

(8)

´

Secci´

on 1

Gesti´

on del n´

ucleo y gesti´

on del

combustible.

´Indice

1.1. Gesti´on del n´ucleo . . . 3

1.2. Gesti´on del combustible . . . 5

1.2.1. Tipos de esquemas de recarga . . . 6

1.2.2. Estrategias de recarga en los reactores espa˜noles . . . 10

En los reactores nucleares de agua ligera, al final de cada ciclo de operación, se realiza una parada de la producción de energ´ıa eléctrica para recargar el combustible fresco y descargar el combustible gastado. La duración de estos ciclos puede ser de 12, 18 ó 24 meses. Por lo tanto, es necesario prever con antelación qué combustible se va a necesitar para el siguiente ciclo, su enriquecimiento y dónde se colocará dentro del reactor. También se debe procurar optimizar el coste de la energ´ıa, y garantizar mediante los cálculos realizados que se cumplen todos los requisitos de seguridad necesarios.

La gesti´on del n´ucleo y del combustible son trabajos de ingenier´ıa complejos (ver Figura 1.1) en la que intervienen diversos aspectos y actores:

- Econ´omicos: empresas el´ectricas, suministradores de materias primas, fabri-cantes de combustible nuclear, empresas de ingenier´ıa . . .

- T´ecnicos: es un proceso industrial en etapa de madurez pero en constante evoluci´on.

- Regulaci´on: hay que tomar en cuenta toda la legislaci´on sobre seguridad. Consejo de Seguridad Nuclear (CSN).

(9)

Tema 4. Secci´on

1. Gestión del núcleo: Determinación del número de elementos combustibles y enriquecimiento.

2. Gesti´on del combustible: Determinaci´on del esquema de recarga.

3. Estudio de seguridad de la recarga: C´alculo de estacionarios y transitorios.

!

"

#

(10)

Tema 4. Sección 1.1. Gestión del núcleo

1.1. Gesti´

on del n´

ucleo

El objetivo de la gestión del núcleo es determinar la cantidad y enriquecimiento del combustible que se va a introducir en el reactor en el nuevo ciclo. Para analizarlo de una forma sistemática, se presentan primero los datos conocidos de partida, después lo que se quiere calcular y para terminar las restricciones que se imponen en esta fase.

Datos de partida:

- La potencia en el reactor que es fija.

- La duraci´on aproximada del ciclo.

Se quiere calcular:

- N´umero de elementos combustibles que vamos a comprar.

- Enriquecimiento de los elementos combustibles.

Restricciones:

- Conviene que el quemado sea lo m´as alto posible.

- Existen limitaciones de seguridad sobre el enriquecimiento y el quemado, ver Figura 1.2.

L´ımite de enriquecimiento = 5 %, debido al l´ımite impuesto en el licenci-amiento de instalaciones de fabricaci´on y medios de transporte.

Quemado limitado en la descarga, debido a su efecto sobre:

◦ La resistencia mecánica de la vaina (por la presión en el huelgo, máxima deformación elástica de la vaina (<1 %).

◦ Corrosi´on. Empeora en ciclos largos.

L´ımites de quemado:

Barra → 60,000 MWd/tU Elemento → 50,000 MWd/tU Regi´on → 45,000 MWd/tU

(11)

Tema 4. Sección 1.1. Gestión del núcleo $% &'$% &% ('$% ) *+,-./00 123-32* 45 67 8 9: 9 6 9 6;< 8 = > 8 ?@$ ?@& ?@( ) AB -. 1 0 1 C / 1 B D 0 * E F G

HIJ KL

MN N

OP QRS L S N M L T M

12 meses 15 meses 18 meses

out-in

L3P L4P

(12)

Tema 4. Secci´on 1.2. Gesti´on del combustible

1.2. Gesti´

on del combustible

El objetivo de la gestión del combustible es determinar la distribución de elemen-tos nuevos y antiguos, venenos neutrónicos, barras de control en el nuevo núcleo y duración del ciclo. Para analizarlo de una forma sistemática, igual que en la sec-ción anterior, se presentan primero los datos conocidos de partida, después lo que se quiere calcular y para terminar las restricciones que se imponen en esta fase.

Datos de partida:

- Número de elementos frescos y su enriquecimiento (determinados en lagestión del núcleo, Sección 1.1).

- Quemado de los elementos gastados.

Se quiere calcular:

- La colocaci´on y orientaci´on de los elementos frescos, y de los gastados que se van a volver a introducir. A esto se denomina:

ESQUEMA DE RECARGA DEL COMBUSTIBLE

- Venenos consumibles necesarios.

- Duraci´on del ciclo.

- Concentraci´on de Boro durante el ciclo (PWR).

- Configuraci´on de las barras de control (BWR).

Restricciones:

- Respecto a la seguridad:

Margen de parada. Tiene que ser mayor que el valor m´ınimo exigido. Coeficientes de realimentaci´on negativos (CTM puede ser >0 a HZP)

Perfil radial de potencia lo m´as plano posible.

Evitar valores altos de la densidad de potencia lineal local. De esta forma se evitan da˜nos en la vaina y el combustible.

(13)

No se pueden superar los l´ımites de quemado de descarga.

- Econ´omicas:

M´ınimo n´umero de venenos consumibles. Se reduce el coste y el manejo de estos.

Por otra parte, hay dos aspectos que van a interesar en la gesti´on del combustible:

Que el ciclo sea lo m´as largo posible.

Un quemado a la descarga que sea lo m´as alto y uniforme posible: interesa extraer la m´axima energ´ıa de los elementos de combustible.

1.2.1. Tipos de esquemas de recarga

En una primera aproximaci´on, se debe tener en cuenta que el combustible con distintos quemados se puede colocar en distintas configuraciones, Figura 1.3.

Figura 1.3: Tipos de esquemas de recarga.

Aunque existen infinidad de tipos de esquemas, los esquemas de recarga se clasifican b´asicamente en dos: esquemas out-in y esquemas de bajas fugas.

1.2.1.1. Esquemas out-in

En este tipo de esquemas el combustible fresco se coloca en la corona exterior del n´ucleo y los elementos combustibles con distintos grados de quemado se introducen en la zona interior, ver Figura 1.4.

Sus caracter´ısticas son:

(14)

Se introducen 40-50 elementos frescos (sobre un total de 157 elementos1_).

3,25 % de enriquecimiento.

Figura 1.4: Esquema de recarga tipoout-in en el primer ciclo de un reactor PWR-W.

1

(15)

1.2.1.2. Esquemas de bajas fugas

En este tipo de esquemas el combustible más quemado (que puede llevar dentro del reactor 2-3 ciclos) se coloca en la corona exterior del núcleo, el combustible fresco se coloca a continuación, y los elementos combustibles con quemados intermedios (1-2 ciclos) se introducen en la zona interior.

Se distinguen dos tipos, dependiendo del grado de agresividad del esquema, ver Figura 1.5.

1. Bajas fugas. Low Leakage Loading Pattern, L3_P_.

El enriquecimiento del combustible fresco es del 3,60 %.

Se recarga del orden de un tercio de los elementos. Para un PWR-W t´ıpico ser´ıan 52 elementos frescos (de 157, en total)

Ciclos de 15 meses.

2. Muy bajas fugas. Low Low Leakage Loading Pattern,L4_P_.

El enriquecimiento del combustible fresco es del 4,1 %.

60/64 elementos frescos (157 en total), para un PWR-W t´ıpico.

Los ciclos son m´as largos: 18 meses.

Figura 1.5: Esquemas de recarga de bajas fugas.

(16)

Figura 1.6: Impacto de la estrategia de recarga (out-in o L3_P _{) y los venenos}

consumibles en el perfil radial del flujo neutr´onico.

1.2.1.3. Inter´es de los esquemas de bajas fugas

Su caracter´ıstica principal consiste en que los elementos quemados se sit´uan en la zona exterior. Esto conlleva una serie de ventajas e inconvenientes, que se enumeran a continuaci´on.

Ventajas:

1. Menos fugas.

2. Menor fluencia neutr´onica en la vasija (hasta la mitad).

3. Ciclos m´as largos con el mismo enriquecimiento.

4. Enriquecimientos menores para una misma longitud del ciclo.

Inconvenientes:

1. Perfiles de potencia menos planos.

2. Necesidad de m´as venenos consumibles que en el out-in para:

- Disminuir los picos de potencia. - Garantizar el margen de parada.

(17)

1.2.2. Estrategias de recarga en los reactores espa˜

noles

En esta sección se analizan las distintas estrategias según los tipos de reactores nucleares que existen en España: PWR y BWR.

1.2.2.1. Reactores PWR

Antes de 1986 los PWR operaban a en ciclos de 12 meses y fracciones de recarga del 30 %, con enriquecimientos de recarga de 3,15 % - 3,25 %. Los esquemas de recarga eran del tipo out-in con quemados medios por regi´on de 33,000 MWd/tU, y se utilizaban venenos consumibles del tipo WABA2_.

En 1986 comenz´o la transici´on a ciclos de 18 meses, con enriquecimientos de 4,15 % - 4,25 % en el combustible fresco, y fracciones de recarga del orden del 40 %.

Los esquemas que se utilizan hoy en d´ıa son de bajas fugas (L3_P _- _L4_P_{), con}

quemados medios por región de 45,000 MWd/tU y venenos integrales de óxido de Gd, en C.N. Zorita se utilizan sólo WABAs. Los esquemas L3_P _y _L4_P _{son mejores}

desde la perspectiva de la econom´ıa neutrónica —bajas fugas, ciclos largos—, aunque ofrecen márgenes de operación inferiores a los que se usaban anteriormente. Esto ha provocado el cambio de los siguientes l´ımites de operación:

El l´ımite deF∆H que ha pasado de 1,55 a 1,62.

El l´ımite deFQ que ha pasado de 2,3 a 2,4.

El l´ımite del coeficiente de realimentaci´on por temperatura del moderador (MTC), debido a la necesidad de utilizar concentraciones de Boro m´as altas en el BOC3_.

2_{WABA =}_{Wet Annular Burnable Absorber}_. 3

(18)

Figura 1.7: Esquema de recarga L3_P _{con venenos consumibles WABA. PWR-W.}

(19)

(20)

1.2.2.2. Reactores BWR

Por otra parte, los BWR pasaron de ciclos de 12 meses y 1/3 de fracción de recarga a 24 meses (C.N. Cofrentes y C.N. Garoña) con 1/3 de fracción de recarga. En 2004 comenzó en la C.N. Cofrentes un proceso gradual de aumento de la duración de los ciclos hasta 24 meses (20-22-24 meses) que ya ha terminado. Los esquemas de recarga en Cofrentes utilizan la técnica de celdas de control (CCC, Control Cell Core) con bajas fugas. En el caso de C.N. Garoña se utilizan estrategias convencionales.

El esquema de recarga tipo CCC se caracteriza porque las barras de control que se utilizan est´an rodeadas por elementos de bajo enriquecimiento, lo cual permite conseguir las siguientes ventajas:

Los factores de pico son m´as bajos.

Simplifica la operaci´on.

Aumenta los m´argenes t´ermicos.

Por otra parte los elementos combustibles han ido pasando de 8×8 a 9×9 y 10×10 con la consiguiente disminuci´on de lam´axima densidad lineal de potencia(PLHGR), que permite aumentar el quemado.

(21)

(a) Posiciones de CCC

(b) Ejemplo: recarga en C.N. Cofrentes

(22)

(23)

´

Secci´

on 2

Teor´ıa del transporte neutr´

onico

´Indice

2.1. Conceptos básicos: Flujo, densidad y corriente neutrónica 16 2.2. Ecuación del transporte neutrónico . . . 19 2.3. Reactor virtual. kef . . . 21 2.4. Tratamiento de la variable angular . . . 22

2.4.1. M´etodo de Monte Carlo . . . 22

2.4.2. Método de las ordenadas discretasS_n. Método de Carlson 23 2.4.3. Aproximación P_L. Teor´ıa de la difusión (P₁) . . . 23

2.1. Conceptos b´

asicos: Flujo, densidad y

corri-ente neutr´

onica

En los cap´ıtulos anteriores se ha realizado una descripción global del comportamiento de los neutrones en un reactor. Sin embargo, para aplicaciones prácticas es necesario un grado de detalle mucho más alto. Para ello se analizarán aquellas teor´ıas que permiten realizar una descripción detallada de dicho comportamiento. Estas teor´ıas son principalmente, la teor´ıa del transporte y la teor´ıa de la difusión. La descripción de la teor´ıa del transporte neutrónico y la de la teor´ıa de la difusión, requieren el conocimiento de unos ciertos conceptos básicos que se enumeran a continuación. En lecciones anteriores se utilizó el concepto de flujo neutrónico,φ(~r), cuyas unidades son,

[φ] = neutrones

(24)

Tema 4. Sección 2.1. Conceptos básicos: Flujo, densidad y corriente neutrónica

Esta variable es escalar. Este flujo puede separarse en dos cantidades, la densidad neutr´onica ,n(~r), y el m´odulo de la velocidad, v,

φ(~r) =v×n(~r)

cuyas unidades son,

[v] = cm

s

[n] = neutrones

cm3

Se debe tener en cuenta que en la expresi´on anterior, aparece el m´odulo de la velocidad, no el vector,~v, que viene dado por,

~v =v×Ω~

siendoΩ el vector unitario de la velocidad.~

~

Ω = 



sinθcosα

sinθsinα

cosθ



= 

 p

1−µ2_cos_α

p

1−µ2_sin_α

µ





siendoµ= cosθ.

Figura 2.1: Vector unitario de la velocidad. Coordenadas esf´ericas.

Por otra parte, suele ser necesario conocer qué flujo neutrónico tenemos para cada energ´ıa. Para ello es necesario conocer el flujo neutrónico por unidad de energ´ıa,

ϕ(E, ~r) , en vez del propio flujo, φ(~r), que est´an relacionados por,

φ(~r) = Z ∞

0

ϕ(E, ~r)dE

(25)

Tema 4. Sección 2.1. Conceptos básicos: Flujo, densidad y corriente neutrónica

[ϕ(E, ~r)] = neutrones

cm2_×_s_×_eV

Otras veces también hace falta saber no sólo qué flujo tenemos para cada energ´ıa sino además, distinguiendo qué direcciones llevan dichos neutrones. En este caso es necesario tener en cuenta la dependencia en Ω . A este flujo dependiente de~ ~Ω , se le denomina flujo angular Ψ(~r, E, ~Ω) , cuya relación con los anteriores es,

ϕ(~r, E) = Z 4π

0

Ψ(~r, E, ~Ω)d~Ω = Z 2π

0

dα

Z π

0

Ψ(~r, E, ~Ω) sinθ dθ

φ(~r) = Z ∞

0

ϕ(E, ~r)dE = Z ∞

0

dE

Z 2π

0

dα

Z π

0

Ψ(~r, E, ~Ω) sinθ dθ

y sus unidades son

[Ψ(~r, E, ~Ω)] = neutrones

cm2_×_s_×_eV _×_rad

Si el flujo es is´otropo, el mismo en todas direcciones,

Ψ(~r, E, ~Ω) = 1

4πϕ(E, ~r)

Por ´ultimo existe una variable denominada corriente neutr´onica, J~(~r, E) que viene definida por,

→

J(~r, E) = Z 4π

0

~

ΩΨ(~r, E, ~Ω)d~Ω

y su integral en energ´ıas,

→ j(~r) =

Z ∞

0

→

J(~r, E)dE

de forma que la tasa neta de neutrones que atraviesan la unidad de ´area viene dada por,

→

j(~r)·~eS

Las unidades de

→

j(~r) yφ(~r) son id´enticas. Sin embargo

→

j(~r) es una variable vectorial que caracteriza la tasa neta a la cual los neutrones atraviesan una superficie orientada en una determinada direcci´on, ~eS , mientras que φ(~r) caracteriza la tasa total de

(26)

Tema 4. Sección 2.2. Ecuación del transporte neutrónico

´esta. Por ello

→

j(~r) es una cantidad más adecuada para describir las fugas (por ejemplo, las fugas a través de la superficie del reactor) yφ(~r) es más adecuada para caracterizar las tasas de reacciones.

2.2. Ecuaci´

on del transporte neutr´

onico

El comportamiento de un conjunto de neutrones viene descrito por la ecuaci´on de transporte, despreciando las interacciones entre neutrones,

1

v(E)

∂Ψ(~r, E, ~Ω, t)

∂t

tasa de acumulaci´on

= −Ω~∇~Ψ(~r, E, ~Ω, t)

t´ermino de transporte (fuga)

− Σt(~r, E, ~Ω)Ψ(~r, E, ~Ω, t)

desaparici´on por choques y absorciones

+

+ χ(E)

4π (1−β)

Z 4π

0

Z E0

0

ν(E∗

)Σf(~r, E∗, ~Ω∗)Ψ(~r, E∗, ~Ω∗, t)dΩ∗dE∗

neutrones instant´aneos producidos en las fisiones

+

6

X

i=1

χi(E)

4π λiCi(~r, t)

neutrones diferidos

+ S(~r, E, t)

fuente neutr´onica

+

+ Z 4π

0

Z E0

0

Σs(~r, E∗ →E;Ω~∗ →Ω)Ψ(~ ~r, E∗, ~Ω∗, t)dΩ∗dE∗

aparici´on por choques

y las ecuaciones de los grupos diferidos,

∂Ci(~r, t)

∂t =βi

Z 4π

0

Z E0

0

ν(E∗

)Σf(~r, E∗, ~Ω∗)Ψ(~r, E∗, ~Ω∗, t)dΩ∗dE∗−λiCi(~r, t)

(27)

Tema 4. Sección 2.2. Ecuación del transporte neutrónico

Ψ(~r, E, ~Ω, t) flujo neutrónico por unidad de energ´ıa y ángulo sólido.

~r vector de posici´on en el espacio.

E energ´ıa.

~

Ω vector unitario de la velocidad (direcci´on),

~v(E) =v(E)×~Ω

v(E) velocidad de los neutrones de energ´ıa E.

χ(E) espectro de fisi´on de los neutrones instant´aneos, RE0

0 χ(E)dE = 1

β =P

i

βi tanto por uno de neutrones diferidos generados en las fisiones.

βi tanto por uno de neutrones diferidos del grupo i generados

en las fisiones.

χi(E) espectro de fisi´on de los neutrones diferidos del grupo i,

RE0

0 χi(E)dE = 1

λi constante de desintegraci´on del grupo de diferidos i.

Ci(~r, t) densidad de nucleidos de los precursores del grupo i.

S(~r, E, t) fuente neutr´onica.

Σs(~r, E∗ →E;Ω~∗ →~Ω) secci´on eficaz diferencial de dispersi´on,

Σs(~r, E∗ →E;~Ω∗ →~Ω) = Σs(~r, E∗, ~Ω∗)p(E∗ →E;Ω~∗ →~Ω)

La probabilidad de que los neutrones pasen de una energ´ıa E∗

aE es, en el caso is´otropo,

p(E∗

→E) = − 1

E∗₍₁₋_α₎, siendo α=

1−A

1 +A

2

R4π

0

RE0

0 p(E

∗ _→

E;Ω~∗ _→ ~

Ω)dEd~Ω = 1 n´ucleo de dispersi´on.

La ecuaci´on de transporte muestra un alto grado de complejidad para su resoluci´on, debido entre otras razones a :

Dependencia de las ecuaciones en siete variables:~r(3), E(1), ~Ω(2), t(1).

Dependencia de la secciones eficaces respecto de la energ´ıa y la posici´on (distintos materiales, con diversas estructuras geom´etricas).

La ecuaci´on es lineal en el flujo neutr´onico, porque no se incluyen interacciones entre neutrones (n−n).

(28)

Tema 4. Secci´on 2.3. Reactor virtual.kef

2.3. Reactor virtual.

kef

Al ser una ecuación lineal, la ecuación de transporte se puede expresar como un problema de autovalores. La solución de la ecuación es una combinación lineal de autofunciones1_{. Expresando} la ecuación de transporte en función del operadorL,

∂Ψ(~r, E, ~Ω, t)

∂t =L

n

Ψ(~r, E, ~Ω, t)o

Este operador define un problema de autovalores de la forma,

LnΨn(~r, E, ~Ω)

o

=αnΨn(~r, E, ~Ω)

permitiendo expresar la soluci´on de la ecuaci´on de transporte como,

Ψ(~r, E, ~Ω, t) =X

n

cnΨn(~r, E, ~Ω) exp(αnt)

El conjunto de autovalores se puede ordenar en funci´on de la parte real de los autovalores,

Re(αn)≥Re(αn+1) ∀n, n= 0,1,2, . . .

de forma que para intervalos de tiempo suficientemente altos la soluci´on es,

Ψ(~r, E, ~Ω, t) =

t>>c0Ψ0(~r, E, ~Ω) exp(α0t)

Como no es posible la existencia de flujos negativos es necesario que Ψ0(~r, E, ~Ω)≥0 ∀~r, E, ~Ω y

α0debe ser real (sino en las oscilaciones aparecer´ıan valores negativos). El signo deα0determina si el reactor es supercr´ıtico (α0>0), cr´ıtico (α0 = 0) o subcr´ıtico (α0<0). Los autovaloresαi

se denominan como autovalores temporales, din´amicos o de decaimiento.

Para realizar el estudio de cuando una determinada configuración de materiales se hace cr´ıtica ser´ıa suficiente resolver la ecuación de transporte para el mayor autovalor,α0. Si éste no es nulo se podr´ıa cambiar la configuración hasta alcanzar la configuración de reactor cr´ıtico. Sin embargo como lo que se persigue en este caso es que el reactor sea cr´ıtico es más aconsejable resolver el problema a través de los autovalores estáticos, k.

Esta técnica consiste en reemplazar el número de neutrones por fisión ν por ν

k, y

variando k hasta alcanzar la criticidad. Despreciando las fuentes de neutrones y el aporte de los diferidos que no influyen apreciablemente en estado estacionario,β = 0,

−~Ω∇~Ψ(~r, E, ~Ω)−Σt(~r, E, ~Ω)Ψ(~r, E, ~Ω)+

+ Z Z

E∗_,_Ω∗

Σs(~r, E∗ →E;Ω~∗ →Ω)Ψ(~ ~r, E∗, ~Ω∗)dΩ∗dE∗+

+ 1

k χ(E)

4π

Z Z

E∗_,_Ω∗ ν(E∗

(29)

Tema 4. Secci´on 2.4. Tratamiento de la variable angular

Simplificando la notaci´on,

−~Ω∇~Ψ−ΣtΨ +

Z Z

E∗_,_Ω∗

ΣsΨdΩ∗dE∗+

1

k χ

4π

Z Z

E∗_,_Ω∗

νΣfΨdΩ∗dE∗ = 0

Esta ecuación también es una ecuación de autovalores, kn, que cumplen,

k0 > k1 > k2 > . . . > kn

Al primer autovalor k0 se le denomina kef. Este par´ametro es el mismo que ya se

analizó con la fórmula de los seis factores, sólo que el valor que se obtiene con esta ecuación es el exacto no un valor aproximado.

2.4. Tratamiento de la variable angular

Existen tres posibilidades de tratar la variable angular:

No realizar la discretización:método de Monte Carlo ométodo de la probabil-idad de colisión (forma integral de la ecuación del transporte)

Discretizar en N regiones angulares: m´etodo Sn o m´etodo de Carlson.

Desarrollo en armónicos e integración en el espacio angular: teor´ıa de la difusión.

2.4.1. M´

etodo de Monte Carlo

En estos m´etodos se sigue el comportamiento individual de un conjunto de neutrones. El conjunto de neutrones debe ser seleccionado de forma aleatoria, al igual que sus posibles interacciones en los diversos materiales2_.

Esta técnica tiene la ventaja de permitir el modelado de sistemas con geometr´ıas complejas e irregulares. En la teor´ıa de Monte Carlo también se utilizan un alto conjunto de grupos de secciones eficaces que se aplican como probabilidades de las reacciones neutrónicas. Ver Figura 2.2.

2

(30)

Figura 2.2: Esquema del m´etodo de Monte Carlo.

2.4.2. M´

etodo de las ordenadas discretas

S

n

. M´

etodo de

Carlson

En algunas ocasiones es necesario tener en cuenta la dependencia del flujo neutrónico respecto de Ω, para ello se discretiza la variable Ω en un conjunto finito de direcciones denominadas ordenadas discretas (ndirecciones). Este método también se denomina a veces modelo de transporte por su generalidad3_.

Esta técnica está limitada a los casos que se pueden modelar en dos dimensiones, ya que la tercera dimensión aumentar´ıa de forma prohibitiva el cálculo. Las n

expresiones de las ecuaciones en cada sector angular Ωn son similares a las de la

ecuaci´on de transporte. Ver Figura 2.3.

2.4.3. Aproximaci´

on

P

L

. Teor´ıa de la difusi´

on (

P1

)

Supongamos que intentamos integrar la ecuaci´on de transporte en la variable angular, de forma que podamos obtener la ecuaci´on del flujo por unidad de energ´ıa,

ϕ(~r, E, t) = Z 4π

0

Ψ(~r, E, ~Ω, t)dΩ

(31)

Figura 2.3: Ejemplos de aproximaciones angulares. Cerca de una barra de control (a) y cerca de la cara interior de la vasija (b).

Como se puede observar a continuación surgen diversas dificultades. Integrado la ecuación de transporte endΩ (se omiten por simplicidad los términos de neutrones diferidos y fuentes neutrónicas que más tarde se volverán a recuperar),

1

v(E)

∂ϕ(~r, E, t)

∂t =−

Z 4π

0

~

Ω∇~Ψ(~r, E, ~Ω, t)dΩ−Σt(~r, E)ϕ(~r, E, t)+

+χ(E) Z E0

0

ν(E∗

)Σf(~r, E∗)ϕ(~r, E∗, t)dE∗+

Z E0

0

Σs(~r, E∗ →E)ϕ(~r, E∗, t)dE∗

como

Z 4π

0

~

Ω∇~Ψ(~r, E, ~Ω, t)dΩ =∇~

Z 4π

0

~

ΩΨ(~r, E, ~Ω, t)dΩ

(32)

→

J(~r, E, t) = Z 4π

0

~

ΩΨ(~r, E, ~Ω, t)dΩ

se obtiene

1

v(E)

∂ϕ(~r, E, t)

∂t =−∇~

→

J(~r, E, t)−Σt(~r, E)ϕ(~r, E, t)

+χ(E) Z E0

0

ν(E∗

)Σf(~r, E∗)ϕ(~r, E∗, t)dE∗

+ Z E0

0

Σs(~r, E∗ →E)ϕ(~r, E∗, t)dE∗

(2.2)

Esta ecuaci´on que ya no depende de la variable angular,~Ω, pero a cambio tiene dos inc´ognitas, ϕ(~r, E, t) y

→

J(~r, E, t). A continuación se intenta obtener una ecuación para la corriente neutrónica,

→

J(~r, E, t), para ello se multiplica la ecuaci´on del transporte por ~Ω y se integra a su vez sobre la variable angular,

1

v(E)

∂ →

J(~r, E, t)

∂t =−

Z 4π

0

~

ΩΩ~∇~Ψ(~r, E, ~Ω, t)dΩ−X

t(~r, E)

→

J(~r, E, t)+

+χ(E) Z 4π

0

→

ΩdΩ Z E0

0

ν(E∗

)Σf(~r, E∗)ϕ(~r, E∗, t)dE∗+

+ Z 4π

0

Z 4π

0

Z E0

0

~

ΩΣs(~r, E∗ →E;Ω~∗ →~Ω)Ψ(~r, E∗, ~Ω∗, t)dΩ∗dE∗dΩ

ComoR4π

0

→

ΩdΩ = 0 y aproximando el t´ermino de choque el´astico por,

Z 4π

0

Z 4π

0

Z E0

0

~

ΩΣs(~r, E∗ →E;Ω~∗ →~Ω)Ψ(~r, E∗, ~Ω∗, t)dΩ∗dE∗dΩ∼=

∼_{= ¯}_µ

0(~r)Σs(~r, E)

→

J(~r, E, t)

donde ¯µ0(~r) =

2

3A es el valor medio del coseno en el sistema LAB. Sustituyendo,

1

v(E)

∂ →

J(~r, E, t)

∂t =−

Z 4π

0

~

(33)

donde

Σtr(~r, E) = Σt(~r, E)−µ¯0(~r)Σs(~r, E)

es la secci´on eficaz macrosc´opica de transporte.

A continuación para poder resolver el sistema es necesario desarrollar el flujo angular en función del ángulo (la aproximación de orden L consiste en desacoplar las ecuaciones a partir de un L determinado), tomando sólo el desarrollo en primer orden (aproximaciónP1),

Ψ(~r, E, ~Ω, t) = 1

4πϕ(~r, E, t) +

3 4π

→

J(~r, E, t)Ω + ∆(~ ~Ω2) +. . .+

y sustituyendo en el t´ermino convectivo,

Z 4π

0

~

ΩΩ~∇~Ψ(~r, E, ~Ω, t)dΩ = Z 4π

0

~

ΩΩ~∇~( 1

4πϕ(~r, E, t) +

3 4π

→

J(~r, E, t)Ω)~ dΩ

= 1

3∇~ϕ(~r, E, t)

se obtiene la ecuaci´on,

1

v(E)

∂ →

J(~r, E, t)

∂t =−

1

3∇~ϕ(~r, E, t)−Σtr(~r, E)

→

J(~r, E, t) (2.4)

Por ´ultimo es posible demostrar que la derivada temporal de la corriente neutr´onica

se puede despreciar en general, ∂

→

J(~r, E, t)

∂t ∼0, obteniendo finalmente,

→

J(~r, E, t) = − 1

3Σtr(~r, E)

~

∇ϕ(~r, E, t)

Definiendo el coeficiente de difusi´on como,

D(~r, E)≡ 1

3Σtr(~r, E)

queda,

→

(34)

Figura 2.4: Representaci´on esquem´atica de la ley de Fick.

´

Esta es la denominada ley de Fick o aproximaci´on de difusi´on, Figura 2.4.

Sustituyendo esta expresión de la corriente neutrónica se obtiene la siguiente expresión del flujo neutrónico, denominado modelo de difusión dependiente de la energ´ıa (se vuelven a incluir los términos de los neutrones diferidos y las fuentes neutrónicas que se hab´ıan omitido por simplificar la notación),

1

v(E)

∂ϕ(~r, E, t)

∂t =∇(D(~r, E)∇ϕ(~r, E, t))−Σt(~r, E)ϕ(~r, E, t)

+χ(E)(1−β) Z

E∗ ν(E∗

)Σf(~r, E∗)ϕ(~r, E∗, t)dE∗

+

6

X

i=1

χi(E)λiCi(~r, t) +

Z

E∗

Σs(~r, E∗ →E)ϕ(~r, E∗, t)dE∗+S(~r, t)

∂Ci(~r, t)

∂t =βi

Z E0

0

ν(E∗

)Σf(~r, E∗)ϕ(~r, E∗, t)dE∗−λiCi(~r, t)

(35)

Las ecuaciones no son v´alidas en zonas con gradientes fuertes en el flujo: frontera con el exterior (frontera con el vac´ıo), interfase entre materiales distintos y fuentes localizadas.

No es v´alida en medios fuertemente absorbentes.

Algunas de estas limitaciones se pueden subsanar de forma artificial, como se mostrar´a en posteriores secciones.

La ecuaci´on de la difusi´on para el reactor virtual (despreciando las aportaciones de los diferidos) es,

∇(D(~r, E)∇ϕ(~r, E))−Σt(~r, E)ϕ(~r, E)

+ 1

kχ(E)

Z

E∗ ν(E∗

)Σf(~r, E∗)ϕ(~r, E∗)dE∗

+ Z

E∗

Σs(~r, E∗ →E)ϕ(~r, E∗)dE∗+S(~r) = 0

(36)

´

Secci´

on 3

Teor´ıa de la difusi´

on. Teor´ıa de la

difusi´

on multigrupo

´Indice

3.1. Condiciones de contorno en las ecuaciones de difusi´on multigrupo . . . 32 3.2. Teor´ıa de la difusi´on de un grupo . . . 34

3.2.1. Resolución de la ecuación de difusión . . . 36

3.3. Teor´ıa de la difusi´on de dos grupos . . . 54

3.3.1. Reactor t´ermico con la teor´ıa de difusi´on de dos grupos . 55

3.3.2. Relación de la teor´ıa de difusión de dos grupos con la difusión edad . . . 57

3.3.3. Reactor con reflector. Perfil espacial del flujo neutr´onico . 58

3.4. Teor´ıa de la difusión de tres grupos . . . 63 3.5. Técnicas de resolución espacial . . . 64

3.5.1. Diferencias finitas . . . 64

3.5.2. M´etodos nodales . . . 65

3.6. Problemas. Aplicaciones de la teor´ıa de la difusi´on. . . . 67

Para resolver la ecuación de la teor´ıa de la difusión es necesario realizar algún tipo de simplificación o discretización en la variable energética. El rango de interés en energ´ıas va desde 10 MeV a 0 eV. Se divide en un número de grupos o intervalos de energ´ıa, G. El número de grupos depende de la aplicación en concreto y puede variar entre 105 _{y 1. La forma de ordenarlos es se presenta en la Figura 3.1}

En la Figura 3.2 se muestran los rangos de energ´ıa correspondientes a 2 y 4 grupos energ´eticos

(37)

Tema 4. Secci´on

Figura 3.1: Ordenaci´on de los grupos energ´eticos.

Figura 3.2: Discretizaci´on en dos y cuatro grupos energ´eticos

1

v(E)

∂ϕ(~r, E, t)

∂t =∇(D(~r, E)∇ϕ(~r, E, t))−Σt(~r, E)ϕ(~r, E, t)

+χ(E) Z

E∗ ν(E∗

)Σf(~r, E∗)ϕ(~r, E∗, t)dE∗

+ Z

E∗

Σs(~r, E∗ →E)ϕ(~r, E∗, t)dE∗+S(~r, t)

(38)

Tema 4. Secci´on

1

v

∂φg(~r, t)

∂t =∇(Dg(~r)∇φg(~r, t))−Σt,g(~r)φg(~r, t)

+χg G

X

g∗₌₁

νg∗Σ_{f g}∗(~r)φ_g∗(~r, t) +

G

X

g∗₌₁

Σs,g∗→g(~r)φg(~r, t) +Sg(~r, t)

Donde,

φg(~r, t) =

R

∆Egϕ(~r, E, t)dE , flujo energ´etico del grupo g.

[φg(~r, t)] =

neutrones cm2_× _s

Σt,g = Σa,g + Σs,g

g = 1,2, . . . , G

Aplicando el modelo de reactor virtual se obtiene la ecuaci´on espacial para el grupo

g,

∇(Dg(~r)∇φg(~r))−Σt,g(~r)φg(~r) +

χg

k

G

X

g∗₌₁

νg∗Σ_{f g}∗(~r)φ_g∗(~r)

+

G

X

g∗₌₁

Σs,g∗→g(~r)φg(~r) +S(~r) = 0

Las inc´ognitas de este problema son los G perfiles espaciales de los G grupos y la

kef,

                  

φ1(~r)

φ2(~r)

. . .

. . . φG(~r)

kef

Siendo el flujo total,

(39)

Tema 4. Secci´on 3.1. Condiciones de contorno en las ecuaciones de difusi´on multigrupo

En las siguientes secciones se describen las teor´ıas de un grupo, dos y tres grupos energéticos. De esta forma se podrán resolver ciertos casos sencillos de forma anal´ıtica e ir comprobando el grado de complejidad que genera el número de grupos utilizado.

3.1. Condiciones de contorno en las ecuaciones de

difusi´

on multigrupo

Existen dos tipos de condiciones de contorno, las condiciones en la frontera con el exterior y las condiciones en la frontera entre diferentes materiales:

1. Condiciones en la frontera entre diferentes materiales. Es necesario que tanto el flujo neutr´onico como la corriente neutr´onica sean continuas en dichas fronteras, ya que si no se acumular´ıa flujo en la frontera:

Continuidad del flujo φ1,g(~r0) =φ2,g(~r0)

Continuidad de la corriente neutr´onica J~1,g(~r0) = J~2,g(~r0)

Esta condición también se puede expresar en función del flujo, recordando que,

~

Jg(~r) = Dg(~r)∇φg(~r)

se obtiene,

D1,g(~r0)∇φ1,g(~r0) =D2,g(~r0)∇φ2,g(~r0)

(40)

Tema 4. Secci´on 3.1. Condiciones de contorno en las ecuaciones de difusi´on multigrupo

2. Condiciones de contorno en la frontera con el exterior (vac´ıo). Esta condición se obtiene calculando a que distancia de la frontera del reactor se anular´ıa el flujo neutrónico suponiendo que la variación espacial del flujo desde la frontera es lineal. Esta distancia recibe el nombre de distancia extrapolada,

dg , siendo el flujo nulo en dichos puntos,

φg(dg) = 0

Gr´aficamente se puede observar en la Figura 3.4.

Figura 3.4: Distancia extrapolada. Condici´on en la frontera con el vac´ıo.

Los valores de la distancia extrapolada se pueden calcular con la teor´ıa de la difusi´on y la del transporte. El resultado obtenido var´ıa dependiendo de la teor´ıa que se utilice, en la Figura 3.5 se observan las distancias extrapoladas que se obtienen con la teor´ıa de la difusi´on y la teor´ıa del transporte para geometr´ıas planas.

Los valores de la distancia extrapolada para la teor´ıa de la difusi´on y la teor´ıa del transporte son:

Teor´ıa de la difusi´on:dg =

2

3λtr,g = 2 3Σtr,g

= 2Dg, siendoDg el coeficiente

de difusi´on.

Teor´ıa del transporte: dg = 0,71λtr,g =

0,71 Σtr,g

(41)

Tema 4. Secci´on 3.2. Teor´ıa de la difusi´on de un grupo

Figura 3.5: Comparaci´on de la distancia extrapolada en las teor´ıas del transporte y la difusi´on.

3.2. Teor´ıa de la difusi´

on de un grupo

Esta teor´ıa supone que es posible describir el comportamiento de todos los neutrones independientemente de la energ´ıa. Esta aproximación no es válida en general, pero permite introducir diversos conceptos de forma sencilla. Para obtener la expresión de esta teor´ıa sólo hay que tener en cuenta que los términos de moderación (en inglés, scattering) desaparecen, ya que se ha integrado ha todo el intervalo de energ´ıas. En el caso del reactor virtual,

∇(D(~r)∇φ(~r))−Σa(~r)φ(~r) +

νΣf(~r)

k φ(~r) +S(~r) = 0

donde

Σa = Σa,nucleo´ = Σa,combustible+ Σa,ref rigerante+ Σa,estructuras + Σa,venenos

Nota: En lo sucesivo no se incluye el t´ermino fuente, excepto para ejemplos concre-tos.

Teniendo en cuenta que,

νΣf =ν

Σf

Σa,com

Σa,nucleo´

(42)

se observa que la expresi´on de lak∞ en la teor´ıa de difusi´on de un grupo viene dada por,

k∞= νΣf Σa,nucleo´

=ηf

En esta teor´ıa no aparecen los parámetros ǫ y pal no distinguirse las energ´ıas. Por tanto, la ecuación de difusión para un grupo se puede expresar como,

∇(D(~r)∇φ(~r))−Σa(~r)φ(~r) +

k∞(~r)Σa(~r)

k φ(~r) = 0

Esta ecuación es necesario resolverla numéricamente en el caso general debido a la dependencia espacial de D(~r) , Σa(~r) y k∞(~r) . Para un reactor homogéneo,

en el cual el combustible se encuentra disperso uniformemente dentro del refriger-ante/moderador, los coeficientes no tienen dependencia espacial,

D∇2φ(~r)−Σaφ(~r) +

k∞Σa

k φ(~r) = 0

Recordando que L2 ₌ D

Σa

,

∇2φ(~r) +

k∞ k −1

1

L2φ(~r) = 0

Esta ecuaci´on es de la forma,

∇2φ(~r) +B2φ(~r) = 0

Las inc´ognitas de la ecuaci´on son:

El perfil espacial del flujo neutr´onico,φ(~r).

kef

(43)

3.2.1. Resoluci´

on de la ecuaci´

on de difusi´

on

La ecuaci´on de difusi´on de un grupo junto con sus condiciones de contorno se puede resolver como un problema de valores propios,

∇2φn(~r) +Bn2φn(~r) = 0

donde B2

n= k∞ kn −1 1

L2 .

Tanto B2

n como φn(~r) toman valores y expresiones distintas dependiendo de la

geometr´ıa del reactor. Las inc´ognitas, perfil espacial del flujo neutr´onico y kef ,

se obtienen de la siguiente forma:

La constante de multiplicaci´on,kef , se obtiene a partir del primer autovalor,

B₀2 = k∞ k0 −1 1

L2 =

k∞ kef −1 1 L2 Despejando,

kef =

k∞

1 +L2_B2 0

El perfil del flujo neutr´onico bajo condiciones de criticidad es la primera autofunci´on,

φ(~r) =φ0(~r)

Para comprender mejor como se realiza el cálculo se analizará a continuación un ejemplo.

♦

Ejemplo 3.1 Resoluci´on de un reactor con geometr´ıa de losa infinita de anchura

H

i. C´alculo de autofunciones y autovalores.

ii. Expresión del perfil espacial del flujo neutrónico. iii. Cálculo de la k_ef.

iv. Obtener de la condici´on de criticidad. Ancho de la losa que hace que sea cr´ıtica. v. Obtener la expresi´on de la probabilidad de fuga de los neutrones a partir de la

(44)

vi. Obtener la expresi´on de la tasa de neutrones por unidad de ´area que fugan de

la losa.

vii. Hallar la relaci´on entre el flujo medio y el flujo m´aximo.

viii. Obtener la expresi´on de la probabilidad de fuga a partir de la corriente

neu-tr´onica.

Soluci´on:

1. C´alculo de autovalores y autofunciones

La ecuaci´on de difusi´on es unidimensional en este caso,

∂2_φ

n(x)

∂x2 +B 2

nφn(x) = 0

y las condiciones de contorno,

φn

H

2 +d

= 0 =φn

−H

2 −d

la distancia extrapolada,d, es del orden de2D, dondeDes el coeficiente de difusi´on.

φn

H

2 + 2D

= 0 =φn

−H

2 −2D

las soluciones a este problema de autovalores y autofunciones son,

Bn =

(n+ 1)π

H+ 2d n = 0,1,2,3, . . .

φn(x) =

          

Ancos

(n+ 1)πx H+ 2d

n = 0,2,4, . . .

Ansin

(n+ 1)πx H+ 2d

(45)

Figura 3.6: Modo fundamental, n= 0, y segundo modo, n= 1, de una losa infinita de anchuraH.

2. Expresi´on del perfil espacial del flujo neutr´onico

El perfil espacial del flujo neutr´onico es la primera autofunci´on,

φ(x) =A0cos

πx H+ 2d

en la cual queda por determinar el par´ametro A0 , este par´ametro se puede expresar

en función del flujo máximo. Teniendo en cuenta que el flujo máximo es cuando cos(0) = 1 , en el centro de la losa, queda,

A0 =φm´ax

Por tanto, la expresi´on del flujo neutr´onico queda,

φ(x) =φm´axcos

πx H+ 2d

3. C´alculo de kef

La kef se obtiene del primer autovalor, que se denomina Laplaciano geom´etrico,Bg2

, ya que sólo depende de las caracter´ısticas geométricas del sistema, H (la expresión de B2

g es distinta para cada configuraci´on geom´etrica).

B2

g ≡B02 =

π H+ 2d

(46)

Siendo el valor de la kef,

kef =

k∞

1 +L2_B2

g

4. Obtenci´on de la condici´on de criticidad. Ancho de la losa que hace que sea cr´ıtica

Si lo que queremos es conocer el ancho de la losa que hace que sea cr´ıtica es necesario imponer la condici´on de criticidad, kef = 1,

B_g2 = k∞−1

L2

Al término de la derecha se le denomina Laplaciano material, ya que sólo depende de las propiedades de los materiales del reactor (su expresión es la misma para cualquier configuración geométrica del reactor),

B_m2 ≡ k∞−1 L2

Por tanto la condici´on de criticidad se puede expresar como,

(composici´on del reactor) B_m2 =B_g2 (geometr´ıa del reactor)

o sustituyendo por sus expresiones,

k∞−1

L2 =

π Hc+ 2d

2

que es la condici´on de criticidad que relaciona las caracter´ısticas de los materiales con las caracter´ısticas geom´etricas del reactor y permite obtener la anchura cr´ıtica de la losa infinita,

Hc =π

s

L2

(47)

5. Obtener la expresi´on de la probabilidad de fuga de los neutrones a partir de la expresi´on de la kef

Anteriormente se ha deducido la expresi´on de la kef,

kef =

k∞

1 +L2_B2

g

Como a su vez ´esta se puede expresar como,

kef =k∞P

siendo P la probabilidad de permanencia. Despejando, obtenemos una expresi´on de la probabilidad de permanencia,

P = 1

1 +L2_B2

g

y por tanto la expresi´on de la probabilidad de fuga es,

F = 1−P = L

2_B2

g

1 +L2_B2

g

6. Tasa de neutrones por unidad de ´area que fugan

La tasa de fuga por unidad de ´area viene determinada por,

f =J~

H

2

·~eS =−D ~∇φ

H

2

·~eS

Como en este caso el flujo s´olo depende de x , el gradiente es,

~

∇φ(x) =

∂φ(x)

∂x , ∂φ(x)

∂y , ∂φ(x)

∂z

=

dφ(x)

dx ,0,0

y por tanto la ´unica componente no nula de la corriente ser´a,

~

J(x, y, z) = (Jx(x),0,0)

donde Jx(x) =−D

dφ(x)

dx

Jx(x) =−D

dφ(x)

dx =D

φm´axπ

H+ 2dsin

πx H+ 2d

(48)

Por otra parte el vector unitario normal a la superficie es,

~eS = (1,0,0)

y por tanto la tasa de fuga por unidad de ´area es,

f =J~

H

2

·~eS = (Jx

H

2

,0,0)·(1,0,0) =Jx

H

2

=D φm´axπ H+ 2dsin

πH

2H+ 4d

7. Relaci´on entre el flujo medio y el flujo m´aximo

Si calculamos el valor medio del flujo neutr´onico,

¯

φ = 1

H/2 Z H/2

0

φm´axcos

πx H+ 2d

dx= 2φm´ax

H

H+ 2d π

sin

πx H+ 2d

H/2

0

= φm´ax

2H+ 4d

πH sin

πH

2H+ 4d

Por tanto,

φm´ax

¯

φ =

πH

(H+ 4d) sin

πH

2H+ 2d

Haciendo la hipótesis de d = 0 , válido para ver el orden de magnitud de esta relación,

φm´ax

¯

φ =

π

2 sin(π/2) =

π

2 = 1,57

Esta relación tiene gran importancia ya que existen unos l´ımites de potencia máxima local para evitar daños en el combustible. De forma que si esta relación es alta, la potencia media se ve muy limitada. Son convenientes perfiles lo más planos que se puedan conseguir de forma que la relación sea lo más cercana a la unidad.

8. Expresi´on de la probabilidad de fuga a partir de la corriente neutr´onica

(49)

F = neutrones fugados neutrones generados

Como la losa tiene dos caras, la tasa de fuga del volumen de anchoH y ´area, el ´area unidad es,

ftotal =D

2φm´axπ

H+ 2dsin

πH

2H+ 4d

neutrones cm2_×_s

y los neutrones generados en cada volumen de ancho H y ´area, el ´area unidad,n(V) son,

n(V) =n(H·A) =νΣfφV¯ =νΣfφHA¯ =νΣfφH¯

La probabilidad de fuga es,

F =

D2φm´axπ H+ 2dsin

πH

2H+ 4d

νHΣfφ¯

=

D 2π

H+ 2dsin

πH

2H+ 4d

νHΣf

πH

(2H+ 4d) sin

πH

2H+ 4d

=

Dπ2

νΣf(H+ 2d)2

como D=L2_Σ

a y Bg2 ≡

π H+ 2d

2

F = L

2_π2_Σ

a

νΣf(H+ 2d)2

= L

2_Σ

aBg2

νΣf

= L

2_B2

g

νΣf

Σa

= L

2_B2

g

k∞

Por otra parte como la losa es cr´ıtica,

B_g2 = k∞−1

L2

de donde,

k∞ = 1 +L2B_g2

(50)

Configuraci´on Esfera Paralelep´ıpedo Cilindro

geom´etrica recto infinito

Laplaciano ( π

R_e)

2 ₍π

a_e)

2_{+ (}π

b_e)

2_{+ (}π

c_e)

2 ₍2,405

R_e )

2_{+ (} π

H_e)

2

geom´etrico B_g2

Distribuci´on φmax

Rc

πr sin πr

R_c φmaxcos πx

a_c cos πy

b_c cos πz

c_c φmaxJ0(

2,405r R_c ) cos

πz Hc

de flujo cr´ıtica

Volumen 130 B3 c 161 B3 c 148 B3 c

cr´ıtico m´ınimo (si a=b=c) (para H = 1,847R)

φmax

¯

φ 3,29 3,87 3,63

Tabla 3.1: Laplaciano geom´etrico, distribuci´on de flujo cr´ıtica y volumen cr´ıtico m´ınimo para diferentes geometr´ıas.

F = L

2_B2

g

1 +L2_B2

g

se obtiene el mismo resultado que por el otro camino.

Realizando cálculos similares a los del ejemplo anterior se pueden obtener las expresiones del Laplaciano geométrico, de la distribución espacial del flujo neutrónico y el volumen m´ınimo para que el sistema sea cr´ıtico correspondientes a distintas geometr´ıas. En la tabla 3.1 se muestran los resultados para una esfera un cilindro y un paralelep´ıpedo recto,

DondeJ0 es la primera funci´on de Bessel y c es el valor cr´ıtico extrapolado.

♦

Ejemplo 3.2 Ecuaciones del reactor homog´eneo con reflector

Supongamos una losa infinita rodeada por un reflector. Se trata de obtener las ecuaciones necesarias para resolver el problema y qu´e mejora se obtiene al incluir un reflector en la parte externa de un reactor, Figura 3.8.

Las ecuaciones en la zona del n´ucleo homog´eneo y del reflector son, suponiendo reactor cr´ıtico, son:

Ecuación del flujo en el núcleo homogéneo,

Dnuc∂

2_φnuc₍_x₎

∂x2 + νΣ

nuc

f −Σnuca

(51)

Figura 3.7: Perfil radial del flujo neutr´onico para distintas configuraciones geom´etri-cas.

Figura 3.8: Losa infinita de anchura Hcon reflector de espesor b.

Ecuaci´on del flujo en el reflector,

Dref∂2φref(x)

∂x2 −Σ

ref

a φref(x) = 0

Imponiendo las condiciones de contorno, s´olo se incluyen las del eje positivo por simetr´ıa,

Continuidad del flujo en las fronteras entre materiales,

(52)

Continuidad de la corriente neutr´onica en las fronteras entre materiales,

Jref(H/2) =Jnuc(H/2)

Anulaci´on del flujo en la distancia extrapolada,

φref(H/2 +b+d) = 0

Figura 3.9: Comparaci´on del perfil espacial del flujo neutr´onico con/sin reflector (teor´ıa de un grupo).

La soluci´on del problema no se incluye por ser muy tediosa1_{, sin embargo se}

debe destacar que en el caso con reflector el flujo neutrónico es más grande, principalmente en las zonas cercanas al reflector, lo cual permite disminuir las fugas del reactor y la necesidad de menos material combustible para conseguir un reactor cr´ıtico. En la Figura 3.9 se compara el flujo neutrónico con y sin reflector. En la Figura 3.10 se muestran los flujos axial y radial para un reactor cil´ındrico.

Los reflectores no solo sirven para disminuir las fugas, además tienden a aplanar el perfil espacial del flujo neutrónico y por tanto la distribución espacial de potencia. Sin embargo, la teor´ıa de la difusión de un grupo no es adecuada para describir este efecto, y por lo tanto son necesarias teor´ıas más detalladas, como la teor´ıa de difusión de dos grupos, para poder analizar este fenómeno, ver Figura 3.11.

(53)

Figura 3.10: Perfiles radial y axial del flujo neutrónico para un reactor cil´ındrico homogéneo con/sin reflector (a)y heterogéneo con reflector (b).

(54)

♦

Ejemplo 3.3 Variación del perfil mediante enriquecimientos no homogéneos Como se ha visto en secciones anteriores, interesa que los flujos sean lo más planos posibles. Una de las técnicas más utilizadas para conseguir este objetivo es utilizar distintos enriquecimientos radialmente, gráficamente, Figura 3.12.

Figura 3.12: Variaci´on del perfil radial con la distribuci´on del enriquecimiento.

La aplicación de esta técnica será descrita con detalle en el cap´ıtulo sobre los esquemas de recarga de reactores nucleares.

♦

Ejemplo 3.4 Perfil axial del flujo neutr´onico en un BWR

(55)

(56)

(a) BOC

(b) EOC

(57)

♦

Ejemplo 3.5 Variaci´on del perfil radial del flujo neutr´onico con el quemado

(58)

♦

Ejemplo 3.6 Perfil axial del flujo neutr´onico en un PWR

Figura 3.16: Variaci´on del perfil axial con el quemado en un PWR.

Problema 3.1 El factor de multiplicaci´on infinito correspondiente a un sistema reticular, heterog´eneo, de uranio natural y agua pesada vale 1,28. El valor de L2_,

para neutrones t´ermicos es 175cm2_.

1. Determinar la laplaciana cr´ıtica, utilizando la ecuación de criticidad de un grupo (térmico). Se sabe que el sistema está constituido por barras de uranio natural de 1 pulgada de diámetro, dispuestas en una red cuadrada con un espaciado de seis pulgadas, suspendidas en una vasija cil´ındrica que contiene el moderador (agua pesada). El núcleo del reactor desnudo posee una relación de altura igual a 1,2.

(59)

3. Calcular la masa cr´ıtica de combustible suponiendo que el reactor esta recu-bierto lateralmente por un reflector de agua pesada de 25 cm de espesor. Se sabe que la longitud de difusi´on de los neutrones t´ermicos es de 100 cm.

1. La laplaciana cr´ıtica es,

Bc2 =

k∞−1

L2 =

0,28

175 = 1,6·10

−3_cm−2

2. Primero se calculan las dimensiones del sistema cr´ıtico, tomando para B2

c el

valor 0,0016cm2 _{del apartado anterior.}

B_c2 =

2,405

Rc 2 + π Hc 2 Pero como, Hc Dc

= Hc 2Rc

= 1,2

B_c2 = 7,5

R2

c

= 1,6·10−3

Por tanto,

R2_c = 7,5

1,6·10−3 ⇒ Rc = 68,46cm Hc = 164,32cm

Como las barras de combustible se encuentran distribuidas en una red cuadrada con espaciado de 6×2,54 = 15,2 cm, resulta que la superficie efectiva ocupada por cada barra es igual a (15,2)2 = 230cm2_{. La secci´on recta del n´}_{ucleo del}

reactor desnudo vale πR2

c = 14716cm2. Por consiguiente, el n´umero de barras

de U es igual a 14716/230 = 64. Como las barras tienen un di´ametro de 1pulgada= 2,54cm, y la longitud del n´ucleo del rector es164,32cm, se deduce que el volumen de las barras tiene por valor,

V =π

2,54

2 2

164,32·64 = 5,326·104cm3

La densidad del U met´alico es19g/cm3_{, de forma que la masa total de uranio}

en el reactor cr´ıtico desnudo es igual a,

(60)

3. Teniendo en cuenta que la relaci´on entreT, grosor del reflector, yLr, longitud

de difusi´on en el reflector, T /Lr = 0,25, es peque˜na, se puede considerar el

reflector comofino. Adem´as, teniendo en cuenta que el moderador y el reflector son ambos agua pesada, y por tanto los coeficientes de difusi´on no difieren mucho, el resultado que se obtiene es,

δ ≈ D

Dr

thT Lr

≈T

Por lo tanto, el ahorro por reflector será aproximadamente igual al grosor de este último. Por lo tanto, el radio critico del reactor con reflector será,

Rc = 68,46−25 = 43,46 cm

Como no hay reflector en las dos bases del cilindro, la altura permanece inalterada, y la relación de volúmenes será la relación entre radios elevado al cuadrado.

(43,46)2

(68,46)2 ≈0,8

(61)

Tema 4. Secci´on 3.3. Teor´ıa de la difusi´on de dos grupos

3.3. Teor´ıa de la difusi´

on de dos grupos

En esta sección se obtendrán primero las ecuaciones de la teor´ıa de dos grupos, posteriormente se analizará el ejemplo del reactor térmico. Teniendo en cuenta las ecuaciones generales de la teor´ıa multigrupo para el reactor virtual se obtienen las ecuaciones para la teor´ıa de dos grupos,

Grupo 1:

∇[D1(~r)∇φ1(~r)] − Σt,1(~r)φ1(~r) +

χ1

k [ν1Σf1(~r)φ1(~r) +ν2Σf2(~r)φ2(~r)]

+ Σs,2→1(~r)φ2(~r) = 0

Grupo 2:

∇[D2(~r)∇φ2(~r)] − Σt,2(~r)φ2(~r) +

χ2

k [ν1Σf1(~r)φ1(~r) +ν2Σf2(~r)φ2(~r)]

+ Σs,1→2(~r)φ1(~r) = 0

siendo,

Σt,1 = Σa,1+ Σs,1→2 Σt,2 = Σa,2 + Σs,2→1

Como no hay paso a grupos de mayor energ´ıa, Σs,2→1 = 0, las ecuaciones finales son

de la forma,

Grupo 1:

∇[D1(~r)∇φ1(~r)] − Σa,1(~r)φ1(~r)−Σs,1→2(~r)φr(~r)

+ χ1

k [ν1Σf1(~r)φ1(~r) +ν2Σf2(~r)φ2(~r)] = 0

Grupo 2:

∇[D2(~r)∇φ2(~r)] − Σa,2(~r)φ2(~r) +

χ2

k [ν1Σf1(~r)φ1(~r) +ν2Σf2(~r)φ2(~r)]

(62)

3.3.1. Reactor t´

ermico con la teor´ıa de difusi´

on de dos

grupos

Se puede considerar un modelo simplificado de reactor térmico con las expresiones para la teor´ıa de dos grupos, rápidos y térmicos. Suponiendo que en las fisiones sólo se producen neutrones rápidos, χr = 1, χt = 0 , se obtiene,

R´apidos:

∇[Dr(~r)∇φr(~r)] − Σa,r(~r)φr(~r)−Σs,r→t(~r)φr(~r)

+ 1

k[νtΣf,t(~r)φt(~r) +νrΣf,r(~r)φr(~r)] = 0

T´ermicos:

∇[Dt(~r)∇φt(~r)]−Σa,t(~r)φt(~r) + Σs,r→t(~r)φr(~r) = 0

Para mostrar cómo se resuelve el sistema lo aplicaremos al caso de reactor homogé-neo. El proceso de cálculo que se va a seguir es el siguiente,

C´alculo de la kef.

Relación entre los flujos rápido, térmico y el flujo total.

Perfil espacial del flujo neutrónico para los grupos rápido y térmico

A continuaci´on se va a analizar en detalle cada uno de los pasos:

1. C´alculo de la constante de multiplicaci´on.

Las ecuaciones para el caso homog´eneo son,

Dr∇2φr(~r)−Σa,rφr(~r)−Σs,r→tφr(~r) +

1

k[νtΣf,tφt(~r) +νrΣf,rφr(~r)] = 0

Dt∇2φt(~r)−Σa,tφt(~r) + Σs,r→tφr(~r) = 0

Calculando los autovalores del sistema, el primer par de autovalores permite obtener,

∇2φr(~r) +B2φr(~r) = 0

∇2_φ

(63)

siendoB2 _el_{Laplaciano geom´etrico}_{. Sustituyendo en las ecuaciones anteriores,}

−DrB2φr(~r)−Σa,rφr(~r)−Σs,r→tφr(~r) +

1

kef

[νtΣf,tφt(~r) +νrΣf,rφr(~r)] = 0

−DtB2φt(~r)−Σa,tφt(~r) + Σs,r→tφr(~r) = 0

Agrupando t´erminos,

−DrB2−Σa,r−Σs,r→t+

νr

kef

Σf,r

φr(~r) +

νt

kef

Σf,tφt(~r) = 0

−DtB2−Σa,t

φt(~r) + Σs,r→tφr(~r) = 0

o en forma matricial,



 

−DrB2−Σa,r−Σs,r→t+

νr kef Σf,r νt kef Σf,t

Σs,r→t −DtB2−Σa,t



 





φr(~r)

φt(~r)



= 0

Este sistema tiene soluci´on no trivial s´ı y solo s´ı el determinante es nulo,

DrB2+ Σa,r+ Σs,r→t− νr

kef

Σf,r

DtB2+ Σa,t

− νt kef

Σf,tΣs,r→t= 0

Despejando es posible obtener el factor kef para la teor´ıa de dos grupos,

kef =

νrΣf,r

DrB2+ Σa,r+ Σs,r→t

+ νtΣf,tΣs,r→t

(DrB2+ Σa,r+ Σs,r→t)(DtB2+ Σa,t)

2. Relación entre los grupos rápido y térmico. Flujo total.

Teniendo en cuenta la expresi´on deducida anteriormente,

−DtB2−Σa,t

φt(~r) + Σs,r→tφr(~r) = 0

(64)

φr(~r)

φt(~r)

= DtB

2 _{+ Σ}

a,t

Σs,r→t

Ecuaci´on que indica que ambos perfiles son iguales salvo una constante de escala. Por otra parte el flujo total es,

φ(~r) =φr(~r) +φt(~r)

3. Perfil espacial de los grupos r´apido y t´ermico.

El perfil espacial de los dos grupos son las dos primeras autofunciones similares a las analizadas en el caso de la teor´ıa de un grupo energético. En la Figura 3.17 se muestran los perfiles para los grupos térmico y rápido en un reactor homogéneo.

Figura 3.17: Perfil radial de los flujos térmico y rápido en un reactor homogéneo.