Problemas Propuestos de Análisis de la Varianza
EXPERIMENTOS DE UN FACTOR
4.1 La Tabla 4.1 da las producciones en quintales por hectárea de una cierta variedad de trigo que crece en terrenos tratados con fertilizantes A, B y C. Hallar (a) las producciones medias para los diferentes tratamientos, (b) la media global para todos los tratamientos, (c) 1a variación total, (d) la variación entre tratamientos y (e) la variación dentro de los tratamientos. Usar el método largo.
Tabla 4.1
A 32 33 34 33
B 31 33 32 32
C 33 34 34 34
4.2 Con referencia al Problema 4.1, hallar una estimación sin sesgo de la varianza de la población
ó2 de (a) la variación entre tratamientos bajo la hipótesis nula de medías de tratamiento iguales y (b) la variación intra tratamientos.
4.3 En el Problema 4.1, ¿podemos rechazar la hipótesis nula de medias iguales al nivel de significación (a) 0,05 y (b) 0,01?
4.4 Usar las fórmulas abreviadas para llegar a los resultados del Problema 4.1.
4.5 Una empresa quiere comprar una de entre cinco
máquinas diferentes: A, B, C, D o E. En un experi-mento diseñado para comprobar si hay diferencia entre ellas, cada máquina fue manejada por un operario experto distinto en cada una, durante tiempos iguales. La Tabla 4.2 muestra los números de unidades producidas por las máquinas. Contras-tar la hipótesis de que no hay diferencia entre las máquinas al nivel de significación (a) 0,05 y (b) 0,01.
4.6 Se realiza un experimento para determinar las pro-ducciones de 5 variedades de trigo: A, B, C, D y E.
Se asignan 4 parcelas a cada variedad. Las produc-ciones (en quintales por hectárea) se dan en la Tabla 4.3. Supuesto que las parcelas son de la misma fertilidad y que las variedades se asignan al azar a las parcelas, determinar si hay diferencia entre las producciones al nivel de significación (a) 0.05 y (b)
0.01.
4.7 Una empresa quiere comparar cuatro tipos de neumáticos: A, B, C y D. Sus vidas medias en rodaje (en miles de kilómetros) se dan en la Tabla 4.4, donde cada tipo ha sido probado en seis coches similares asignados al azar a los neumáticos. Determinar si hay diferencia signi-ficativa al nivel de significación (a) 0,05 y (b)
0,01 entre las llantas.
4.8 Un profesor quiere contrastar tres tipos distintos de enseñanza: I, II y III. Para ello, escoge al azar tres grupos de 5 estudiantes cada uno, y aplica a cada uno un método distinto. Tras
Tabla 4.2
A 68 72 77 42 53
B 72 53 63 53 48
C 60 82 64 75 72
D 48 61 57 64 50
E 64 65 70 68 53
Tabla 4.3
A 13,5 8,1 10,1 12,8
B 11,4 9,4 8,1 10,1
C 15,5 10,8 12,1 9,4
D 10,1 11,4 13,5 8,1
E 14,1 9,4 11,4 12,1
Tabla 4.4
A 53 61 58 64 50 56
B 51 64 68 61 48 55
C 50 60 56 53 55 48
proponer, al final del curso, el mismo examen a todos ellos, se obtienen las notas que indica la Tabla 4.5. Determinar si hay diferencia tiva entre los tres métodos al nivel de significa-ción (a) 0,05 y (b) 0,01.
MODIFICACIONES PARA NÚMEROS DISTINTOS DE OBSERVACIONES
4.9 La Tabla 4.6 da las vidas medias, en horas, de muestras de tres tipos distintos de tubos de televisión producidos por cierta empresa. Usando el método largo, determinar si hay diferencia entre ellos al nivel de significa-ción (a) 0,05 y (b) 0,01.
4.10 Resolver el Problema 4.9 usando las fórmulas abreviadas.
4.11 La Tabla 4.7 da el número de kiló-metros por litro recorridos por co-ches similares usando cinco tipos distintos de naftas. Determinar si hay diferencia significativa entre las naftas al nivel de significación (a)
0,05 y (b) 0,01.
4.12 Durante un cuatrimestre, un estudiante obtuvo las calificaciones que figuran en la Tabla 4.8. Determinar si hay una diferencia significativa entre esas calificaciones a nivel de significación
(a) 0,05 y (b) 0,01.
EXPERIMENTOS DE DOS FACTORES
4.13 La Tabla 4.9 muestra
las producciones por acre de cuatro semillas sembradas en campos tratados con tres ferti-lizantes distintos. Por el método largo,
deter-minar el nivel de significación 0,01 si hay diferencia en producción por acre (a) debida a los fertilizantes y (b) debida a las semillas.
4.14 Usar las fórmulas abreviadas para llegar a los resultados del Problema 4.13.
4.15 Los artículos manufacturados por una compañía se producen en 3 máquinas distintas manejadas por 3 operarios diferentes. El dueño desea saber si hay diferencia (a) entre los operarios y (b) entre las
máquinas. Se realiza un experimento para conocer el número de artículos producidos al día, con los resultados que recoge la Tabla 4.10. Establecer la deseada información al nivel de significación 0,05.
Tabla 4.5
M étodo I 75 62 71 58 73
M étodo II 81 85 68 92 90
M étodo III 73 79 60 75 81
Tabla 4.6
M uestra 1 407 411 409
M uestra 2 404 406 408 405 402
M uestra 3 410 408 406 408
Tabla 4.7
Tipo A 10,2 12,8 11,9 9,4 12,8
Tipo B 11,9 10,2 12,8
Tipo C 9,4 10,2 8,5 11,9
Tipo D 12,8 15,3 13,6 14,5 11,9
Tipo E 8,5 10,2 11,9 10,2
Tabla 4.8
M atem áticas 7,2 8,0 8,3 7,5
C iencias 8,1 7,4 7,7
Inglés 8,8 8,2 9,0 8,7 8,0
E conom ía 7,4 7,1 7,7 7,0
Tabla 4.9
Sem illa I Sem illa II Sem illa III Sem illa IV
F ertilizante A 4,5 6,4 7,2 6,7
F ertilizante B 8,8 7,8 9,6 7,0
F ertilizante C 5,9 6,8 5,7 5,2
Tabla 4.10
O perador
1 2 3
M áqu ina A 23 27 24
M áqu ina B 34 30 28
4.16 Rehacer el problema 4.15 para un nivel de significación del 0,01.
4.17 Se siembran semillas de maíz de 4 tipos distintos en 5 bloques, cada bloque dividido en 4 parcelas que se asignan al azar a dichos 4 tipos de semillas. Determinar el nivel de significación 0,05 si las producciones en quintales por hectárea, dadas en la Tabla 4.11 varían significativamente con diferen-tes (a) terrenos (o sea, los 5 bloques) y (b)
tipos de maíz.
4.18 Resolver el Problema 4.17 al nivel de signi-ficación 0,01.
4.19 Supongamos que en el Problema 4.7 se hace la primera observación para cada tipo de neumático usando un tipo particular de coche, la segunda con otro tipo de auto, etc. Determinar si hay diferencia significativa al nivel de significación 0,05 entre (a) los tipos de neumáticos y (b) los tipos de coches usados.
4.20 Rehacer el Problema 4.19 al nivel de significación 0,01.
4.21 Supongamos que en el Problema 4.8 la primera entrada para cada método de enseñanza corresponde a un estudiante de un colegio concreto, la segunda a uno de otro colegio, etc. Contrastar la hipótesis, al nivel de significación 0,05, de que hay diferencia entre (a) los métodos de enseñanza y (b) los colegios.
EXPERIMENTOS DE DOS FACTORES CON REPETICIÓN
4.22 Un empresario desea determinar la eficacia de cuatro tipos distintos de máquinas (A, B, C y D) en la producción de tornillos. Para ello, anota el número de tornillos defectuosos cada día de una semana en dos turnos de trabajo, con los resultados que recoge la Tabla 4.12. Hacer un análisis de varianza para determinar al nivel de significación 0,05 si hay diferencia (a)
entre las máquinas y (b) entre los turnos.
Tabla 4.12
Prim er Turno Segundo Turno
M áquina L M M J V L M M J V
A 6 4 5 5 4 5 7 4 6 8
B 10 8 7 7 9 7 9 12 8 8
C 7 5 6 5 9 9 7 5 4 6
D 8 4 6 5 5 5 7 9 7 10
4.23 Rehacer el Problema 4.22 al nivel de significación 0,01.
4.24 Supongamos que el experimento del Problema 4.6 se realizó en el sur de EE.UU. y que las columnas de la Tabla 4.3 indican ahora 4 tipos de fertilizantes, mientras que un experimento similar se llevó a cabo en el Oeste con los resultados de la Tabla 4.13.
Tabla 4.11
Tipo de m aíz
I II III IV
B loque A 81 101 67 94
B loque B 101 128 81 74
B loque C 94 121 101 81
B loque D 74 108 81 108
B loque E 108 114 74 94
Tabla 4.13
A 10,8 12,1 13,5 15,5
B 10,1 11,4 10,8 12,8
C 14,1 12,8 12,1 14,1
D 12,1 14,8 14,1 15,5
Determinar al nivel de significación 0,05 si hay diferencia en producción debida a (a) los fertilizantes y (b) la localización.
4.25 La Tabla 4.14 da el número de artículos producidos por 4 trabajadores en dos máquinas distintas, I y II, en diferentes días de la semana. Determinar si hay diferencia significativa al nivel 0,05 entre (a) los trabajadores y (b) las máquinas.
Tabla 4.14
M áquina I M áquina II
lun m ar m ie jue vie lun m ar m ie jue vie
O perador A 15 18 17 20 12 14 16 18 17 15
O perador B 12 16 14 18 11 11 15 12 16 12
O perador C 14 17 18 16 13 12 14 16 14 11
O perador D 19 16 21 23 18 17 15 18 20 27
CUADRADOS LATINOS
4.26 Un labrador quiere contrastar los efectos de cuatro fertilizantes
(A, B, C y D) en la producción de trigo. Con el fin de eliminar fuentes de error debidas a la variabilidad en la fertilidad del suelo, los utiliza en una disposición de cuadrado latino, tal como indica la Tabla 4.15, donde los números están en bushels por unidad de área. Hacer un análisis de varianza para determinar si hay diferencia entre los fertilizantes al nivel de significación (a)
0,05 y (b) 0,01.
4.27 Se lleva a cabo un experimento para comprobar los efectos en la producción de maíz de 4 fertilizantes (A, B, C y D) y de las variaciones del terreno en dos direcciones perpendicula-res. El cuadrado latino de la Tabla 4.16 da los resultados obtenidos, donde los números muestran la producción de maíz por unidad de área. Contrastar al nivel de significación 0,01 la hipótesis de que no hay diferencia entre (a) los fertilizantes y (b) las variaciones del terreno.
4.28 Resolver el Problema 4.27 al nivel de significación 0,05.
CUADRADOS GRECO-LATINOS
4.29 Interesa saber si hay dife-rencia en millas recorridas por galón entre las gasolinas
A, B, C y D. Diseñar un ex-perimento con cuatro con-ductores distintos, cuatro coches distintos y cuatro carreteras distintas.
4.30 Supongamos que al realizar
el experimento del Problema 4.29 el número de millas por galón resulta ser el que indica la Tabla 4.17. Determinar por análisis de varianza si hay diferencias al nivel de significación 0,05.
4.31 Con objeto de lograr mejorar la calidad de un pienso para gallinas, se han añadido dos
Tabla 4.15
A18 C21 D25 B11
D22 B12 A15 C19
B15 A20 C23 D24
C22 D21 B10 A17
Tabla 4.16
C 8 A 10 D 12 B 11
A 14 C 12 B 11 D 15
D 10 B 14 C 16 A 10
B 7 D 16 A 14 C 12
Tabla 4.17
Conductor
1 2 3 4
productos químicos a sus ingredientes básicos. Las distintas cantidades del primero se indican por A, B, C y D, y las del segundo por á, â, ã y ä. Se da el pienso a animales ordenados en
1 2 3 4
grupos de acuerdo con cuatro pesos iniciales diferentes (W , W , W y W ) y cuatro especies
1 2 3 4
diferentes (E , S , S y S ). Los aumentos de peso por unidad de tiempo vienen dados en el cuadrado greco-latino de la Tabla 4.18. Hacer un análisis de varianza del experimento al nivel de significación 0,05, sacando las conclusiones pertinentes.
Tabla 4.18
1 2 3 4
W W W W
1
S Cã 8 Bâ 6 Aá 5 Dä 6
2
S Aä 4 Dá 3 Câ 7 Bã 3
3
S Dâ 5 Aã 6 Bä 5 Cá 6
4
S Bá 6 Cä 10 Dã 10 Aâ 8
1 2 3 4 1 2 3
4.32 Cuatro tipos de cables (T, T , T y T ) se fabrican en cada una de las empresas (C , C , C
4
y C ). Cuatro operarios (A, B, C y D) usando cuatro máquinas distintas (á, â, ã y ä) miden las tensiones de ruptura de esos cables, obteniendo los valores promedio que indica el cuadrado greco-latino de la Tabla 4.19. Hacer un análisis de varianza al nivel de significación 0,05 para llegar a las conclusiones pertinentes.
Tabla 4.19
1 2 3 4
C C C C
1
T Aâ 164 Bã 181 Cá 193 Dä 160
2
T Cä 171 Dá 162 Aã 183 Bâ145
3
T Dã 198 Câ212 Bä 207 Aá 188
4
