Problema sistemas de ecuaciones II

(1)

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CCSS

PROBLEMAS TEMA 4 - ECUACIONES Y SISTEMAS

PÁGINA 87, EJERCICIO 48

La suma de los cuadrados de dos números naturales impares consecutivos es 1570. Calcula el valor del siguiente impar.

(2n

+ 1)

2

+ (2n

+ 3)

2

= 1570 =

⇒

x

2

+ (x

+ 2)

2

= 1570 =

⇒

x

2

+

x

2

+ 4x

+ 4 = 1570 =

⇒

2x

2

+ 4x

−

1566 =

0 =

⇒

x

2

_{+ 2x}

₋

_{783 = 0 =}

_⇒

x

=

−2± √

3136

2

=

−2±56

2

=

*

27 −

29 ←

no v´

alida

. Así, el siguiente impar será 31.

PÁGINA 87, EJERCICIO 49

Al dividir dos números que suman 147 se obtiene 5 de cociente y 9 de resto. ¾Cuáles son esos números?

Dividendo

=

cociente

· divisor+resto

=

⇒

(

x

+

y

= 147

x

= 5y

+ 9

=

⇒

5y

+ 9 +

y

= 147 =

⇒

6y

= 138 =

⇒

y

= 23 =

⇒

x

= 124

Los números divididos son, pues, 124 y 23.

PÁGINA 87, EJERCICIO 50

Dos capitales iguales se colocan al 3 % y al 4 %, respectivamente, durante un año. El segundo capital produce 12'50 euros mas de intereses que el primero. ¾A cuánto ascendían los capitales iniciales iguales?

A

→

x

=

C

0

· (1

0

03)

1

B

→

x

+ 12

0

50 =

C

0

· (1

0

04)

1

Restando:

B

−

A

=

⇒

12

0

50 = 1

0

04

· C

0

−

1

0

03

· C

0

=

⇒

12

0

50 = 0

0

01

· C

0

=

⇒

C

0

=

12 0₅₀

00₀₁

= 1250

¿ eran los

capitales iniciales.

PÁGINA 87, EJERCICIO 51

Un padre tiene cuatro veces la edad de su hija. Dentro de cinco años solo tendrá tres veces la edad de ella. ¾Cuáles son las edades actuales del padre y la hija?

Hoy

En

5 a˜

nos

P adre

4x

3

· (x

+ 5)

Hija

x

+ 5

4x

+ 5 = 3

· (x

+ 5) =

⇒

4x

+ 5 = 3x

+ 15 =

⇒

x

= 10

años tiene, hoy, la hija. Por tanto, su padre tiene 40

años.

PÁGINA 87, EJERCICIO 52

Hace tres años, las edades de dos personas estaban en la proporción 6:1, y dentro de seis años estarán en la proporción 3:1. ¾Cuáles son las edades actuales de ambas personas?

Hace

3 a˜

nos

Dentro de

6 a˜

nos

P ersona

1 6x

3

· (x

+ 9)

P ersona

2 x

x

+ 9

(2)

PÁGINA 87, EJERCICIO 53

Se han pagado 400 euros con 32 billetes, unos de 20 euros y otros de 5. ¾Cuántos billetes de cada cantidad se entregaron?

(

x

+

y

= 32

20x

+ 5y

= 400

=

⇒

(

x

= 32

−

y

20

· (32

−

y) + 5y

= 400

=

⇒

640 −

20y

+ 5y

= 400 =

⇒ −

15y

=

−

240 =

⇒

y

= 16

monedas de 5 euros. Además, x = 32 - y = 32 - 16 = 16 monedas de 20 euros.

PÁGINA 87, EJERCICIO 54

La relación entre la temperatura en grados centígrados y la temperatura en grados Fahrenheit es: 0ºC equivalen a 32ºF, y 100ºC se corresponden con 212ºF.

a) Escribe la expresión analítica que relaciona los grados Fahrenheit con los grados centígrados.

b) Se observa que la temperatura es de 32ºC. ¾Cuál sería esta misma temperatura medida en grados Fahrenheit?

a) A = (0, 32) y B = (100, 212)

=

⇒

→

v

=

→

AB

= (100,

180)

Calculemos la recta:

x−0

100

=

y−32

180

=

⇒

x

=

100y−3200

180

=

5y−160

9

, que es la expresión analítica que relaciona

ambos grados, representando la x los grados centígrados y la y los grados Fahrenheit.

b)

x

= 32

º C

=

⇒

32 =

5y−₉160

=

⇒

288 = 5y

−

160 =

⇒

448 = 5y

=

⇒

y

= 89

0

6 º F

PÁGINA 88, EJERCICIO 55

Halla una fracción tal que si al numerador y al denominador se les suma una unidad, la fracción equivale a 1

3, y si se les restan

3 unidades, equivale a 1 5.

(

_x₊₁

y+1

=

1

3

⇒

3x

+ 3 =

y

+ 1

x−3

y−3

=

1

5

⇒

5x

−

15 =

y

−

3 =

⇒

2x

−

18 =

−

4 =

⇒

2x

= 14 =

⇒

x

= 7

3x

+ 3 =

y

+ 1 =

⇒

21 + 3 =

y

+ 1 =

⇒

y

= 23

. Por tanto, la fracción es

x_y

=

₂₃7

.

PÁGINA 88, EJERCICIO 56

Un ciclista realiza un trayecto a la velocidad de 12 km/h. En cierto momento se le pincha una rueda, por lo que debe regresar andando a una velocidad de 4 km/h. Calcula a qué distancia del punto de partida se le pinchó la rueda, sabiendo que el tiempo total que invirtió entre la ida y la vuelta fue de dos horas y media.

Distancia recorrida = x km

2

0

5 =

₁₂x

+

x₄

2

0

5 =

4₁₂x

=

⇒

30 = 4x

=

⇒

x

= 7

0

5 km

PÁGINA 88, EJERCICIO 57

Una fábrica de perfumes dispone de 600 l de un producto A y de 400 l de un producto B. Mezclando ambos productos se obtienen esencias diferentes. Se quieren preparar dos clases de perfume, la primera debe llevar tres partes de A y una de B, y se venderá a 50 euros el litro, y la segunda debe llevar los productos A y B al 50 % y se venderá a 60 euros el litro.

a) ¾Cuántos litros de cada clase de perfume se podrán preparar?

b) ¾Qué ingresos totales se obtendrán por la venta de la totalidad de los productos fabricados?

a) Llamemos

l

1

, l

2

a los litros de cada perfume, siendo

A

1

, A

2

los litros del perfume A y

B

1

, B

2

los del

perfume B.

Sabemos que:











l

1

+

l

2

= 1000

l

1

=

A

1

+

B

1

= 3B

1

+

B

1

= 4B

1

l

2

=

A

2

+

B

2

=

B

2

+

B

2

= 2B

2

=

⇒

(

4B

1

+ 2B

2

= 1000

B

1

+

B

2

= 400

=

⇒

2B

1

= 200 =

⇒

B

1

= 100

l, y como hay

400 l de perfume B,

B

2

= 300

l.

Así,

A

1

= 300

l y

A

2

= 300

l, lo que nos deja 400 l del primer perfume y 600 l del segundo.

(3)

PÁGINA 88, EJERCICIO 58

Se quiere construir un marco rectangular para adornar una fotografía. Para ello se dispone de un listón de madera de 50 cm de longitud.

a) Escribe la expresión algebraica que relaciona el área encerrada por el marco con la longitud de uno de sus lados. b) Determina las dimensiones del marco si se quiere que el área sea de 156cm2.

a)

P

= 2x

+ 2y

= 50 =

⇒

y

=

50−₂2x

= 25

−

x

=

⇒

A

=

x

· (25

−

x)

es la expresión del área.

b)

156 = 25x

−

x

2

=

⇒

x

2

−

25x

+ 156 = 0 =

⇒

x

=

25±

√

252₋₄_·₁_·₁₅₆

2

=

25±√1

2

=

25±1

2

=

*

13

12 El marco será de 13x12 centímetros.

PÁGINA 88, EJERCICIO 59

En un hotel turístico tienen un total de 36 habitaciones con 60 camas. Solo existen habitaciones individuales y dobles. Calcula el número de habitaciones de cada tipo que hay.

(

x

+

y

= 36

2x

+

y

= 60

=

⇒

x

= 24

habitaciones dobles

=

⇒

y

= 12

habitaciones individuales

PÁGINA 88, EJERCICIO 60

Un joyero compra dos anillos de oro por un total de 825 euros y los vende por 863'75. Calcula cuánto pagó por cada anillo si en la venta del primero ganó un 15 % y en la del segundo perdió un 5 %.

(

x

+

y

= 825

1

0

15x

+ 0

0

95y

= 863

0

75 =

⇒

(

1

0

15x

+ 1

0

15y

= 948

0

75

1

0

15x

+ 0

0

95y

= 863

0

75 =

⇒

0

_20y

_{= 85 =}

_⇒

_y

_{= 425}

_¿

₌

_⇒

_x

_{= 400}

_{¿ son}

los precios que pagó por cada anillo.

PÁGINA 88, EJERCICIO 61

En una tienda de regalos se adquiere un libro y una pulsera. la suma de los precios que marcan los dos productos es de 35 euros, pero el dependiente informa al cliente de que a los libros se les aplica una rebaja del 6 %, y a las pulseras, una rebaja del 12 %, por lo que en realidad debe pagar 31'40 euros. ¾Qué precio marcaban el libro y la pulsera? ¾Qué precio se ha pagado nalmente por cada uno de estos dos productos?

Libro = x; pulsera = y. Así:

(

x

+

y

= 35

0

94x

+ 0

0

88y

= 31

0

40 =

⇒

(

0

94x

+ 0

0

94y

= 32

0

90

0

94x

+ 0

0

88y

= 31

0

40 =

⇒

0

_06y

_{= 1}

0

_{50 =}

_⇒

_x

_{= 10}

_¿

₌

_⇒

_y

_{= 25}

_{¿ es el}

precio que marcaban el libro y la pulsera, respectivamente.

0

94

· 10 = 9

0

40 ¿ pagó por el libro, y

25

·

0

88 = 22

¿ pagó por la pulsera.

PÁGINA 88, EJERCICIO 62

Un coche sale de un punto A a una velocidad de 90 km/h. En el mismo instante, otro coche sale a su encuentro desde un punto B situado a 10 km detrás de A y a una velocidad de 115 km/h. ¾Cuánto tiempo tardará en darle alcance?

A recorre x km en un tiempo t a una velocidad de 90 km/h.

B recorre x+10 km en un tiempo t a una velocidad de 115 km/h.

Como sabemos que

e

=

v

· t

:

(

A

→

x

= 90

· t

=

⇒

x

= 90t

B

→

x

+ 10 = 115

· t

=

⇒

x

= 115t

−

10 =

⇒

90t

= 115t

−

10 =

⇒

25t

= 10 =

⇒

t

=

10 25

=

m

60

=

⇒

m

=

600

25

= 24

min tardará el coche que sale de B en dar alcance al que sale de A.

PÁGINA 88, EJERCICIO 63

Un coche sale de A en dirección a B a una velocidad de 80 km/h. Tres minutos después, otro coche sale de B en dirección a A a una velocidad de 100 km/h. Calcula el punto de encuentro de los dos coches si A y B distan 22 km.

A recorre x km en un tiempo t a una velocidad de 80 km/h.

(4)

Como sabemos que

e

=

v

· t:

(

A

→

x

= 80

· t

B

→

22 −

x

= 100

· (t

−

0

05)

=

⇒

(

t

=

₈₀x

t

=

22₁₀₀−x

+ 0

0

05 =

⇒

x

80

=

22−x

100

+ 0

0

_{05 =}

_⇒

x

80

=

27−x

100

=

⇒

x

4

=

27−x

5

=

⇒

=

⇒

5x

= 108

−

4x

=

⇒

9x

= 108 =

⇒

x

= 12

km dista de A el punto en el que se encuentran ambos coches.

PÁGINA 88, EJERCICIO 64

El área de un rectángulo es de 35 unidades cuadradas. Si se aumenta un lado en 2 unidades y se disminuye el otro en 3 unidades, el área disminuye en 17 unidades cuadradas. Halla las dimensiones del rectángulo inicial.

Área = 35

=

⇒

(

x

· y

= 35

(x

+ 2)

· (y

−

3) = 18

=

⇒

(

x

=

35_y

(x

+ 2)

· (y

−

3) = 18

=

⇒

35

y

+ 2

· (y

−

3) = 18 =

⇒

=

⇒

35 + 2y

−

105_y

−

6 = 18 =

⇒

2y

−

105_y

+ 11 = 0

=

∗

⇒

2y

2

+ +11y

−

105 = 0 =

⇒

y

=

−11₄±31

=

*

5 −

10

0

5 Lógicamente, la opción negativa no es válida, y nos queda que

y

= 5 =

⇒

x

= 7. Las dimensiones del

rectángulo inicial son, por tanto, 5x7 unidades.

Nota: en el paso marcado con * lo que hemos hecho es multiplicar todos los términos de la ecuación por 'y'.

PÁGINA 88, EJERCICIO 65

Un técnico informático espera obtener 360 euros por la reparación de varios equipos. El técnico se da cuenta de que cuatro ordenadores no tienen posible reparación y, para obtener el mismo benecio, aumenta en 4'50 euros el precio que iba a cobrar por un equipo reparado. ¾Cuántos ordenadores tenía al principio? ¾A qué precio cobrará nalmente cada reparación?

Sean x ordenadores, e y el precio al que pretendía cobrar la reparación. Entonces:

(

x

· y

= 360

(x

−

4)

· (y

+ 4

0

5) = 360

=

⇒

(

x

=

360_y

(x

−

4)

· (y

+ 4

0

5) = 360

=

⇒

360

y

−

4

· (y

+ 4

0

5) = 360

⇒

=

⇒

360 −

4y

+

1620_y

−

18 = 360 =

⇒ −

4y

+

1620_y

−

18 = 0

=

∗

⇒

4y

2

+ 18y

−

1620 = 0 =

⇒

2y

2

+ 9y

−

810 = 0 =

⇒

=

⇒

y

=

−9±₄81

=

*

18 −

22

0

5 Lógicamente, la opción negativa no es válida, y nos queda que

y

= 18

¿

=

⇒

x

= 20

ordenadores tenía al

principio. Como y = 18, el precio al que nalmente cobrará cada reparación es y + 4'5 = 22'5 ¿.

Nota: en el paso marcado con * lo que hemos hecho es multiplicar todos los términos de la ecuación por 'y'.

PÁGINA 88, EJERCICIO 66

Julia, Clara y Miguel reparten hojas de propaganda. Clara reparte siempre el 20 % del total, y Miguel reparte 100 hojas más que Julia. Entre Clara y Julia reparten 850 hojas. Plantea un sistema de ecuaciones que permita saber cuántas hojas reparte cada uno. Sabiendo que la empresa paga 1 céntimo por cada hoja repartida, calcula el dinero que ha recibido cada uno de los tres.

Total: x.

J ulia

→

y

Clara

→

0

2

· x

M iguel

→

y

+ 100

Así,

(

0

2x

+

y

= 850

y

+ 0

0

2x

+

y

+ 100 =

x

=

⇒

(

0

2x

+

y

= 850

0

8x

−

2y

= 100

=

⇒

(

0

4x

+ 2y

= 1700

0

8x

−

2y

= 100

=

⇒

=

⇒

1

0

2x

= 1800 =

⇒

x

= 1500

hojas

=

⇒

y

= 850

−

0

2

· 1500 = 550

hojas.

Por tanto,

J ulia

→

y

→

550 hojas

→

550

·

0

01 = 5

0

5¿

Clara

→

0

2

· x

→

300 hojas

→

300

·

0

01 = 3

¿

M iguel

→

y

+ 100

→

650 hojas

→

650

·

0

01 = 6

0

5 ¿

.

PÁGINA 88, EJERCICIO 67

(5)

Sean x los billetes de 10 euros, y los de 20 euros y z los de 50 euros.

z

y

=

3

4

=

⇒

4z

−

3y

= 0











x

+

y

+

z

= 800

10x

+ 20y

+ 50z

= 16000

−

3y

+ 4z

= 0

=

⇒











x

+

y

+

z

= 800

x

+ 2y

+ 5z

= 1600

−

3y

+ 4z

= 0

=

⇒











x

+

y

+

z

= 800

y

+ 4z

= 800

−

3y

+ 4z

= 0

=

⇒











x

+

y

+

z

= 800

y

+ 4z

= 800

16z

= 2400

⇒

z

=

2400₁₆

= 150

billetes de 50¿

=

⇒

y

+ 4z

= 800 =

⇒

y

= 800

−

4z

= 800

−

4

· 150 = 200

billetes de 20¿

=

⇒

x

+

y

+

z

= 800 =

⇒

x

= 800

−

y

−

z

= 800

−

200 −

150 = 450

billetes de 10¿.

PÁGINA 88, EJERCICIO 68

Un comercio tiene un total de 270 unidades de productos de tres tipos: A, B y C. Del tipo A tiene 30 unidades menos que de la totalidad de B más C, y del tipo C tiene el 35 % de la suma de A más B. ¾Cuántos productos de cada tipo hay en el comercio?