AMASA –RESORTE P ÉNDULO

U

UNNIIVVEERRSSIIDDAADDNNAACCIIOONNAALLEEXXPPEERRIIMMEENNTTAALLDDEELLTTÁÁCCHHIIRRAA D

DEEPPAARRTTAAMMEENNTTOODDEEMMAATTEEMMÁÁTTIICCAAYYFFÍÍSSIICCAA N

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S

I

I

S

S

T

T

E

E

M

M

A

A

M

M

A

A

S

S

A

A

–

–

R

R

E

E

S

S

O

O

R

R

T

T

E

E

P

P

É

É

N

N

D

D

U

U

L

L

O

O

1. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Este tipo de movimiento es un caso particular del movimiento vibratorio.

Se dice que un punto sigue un movimiento vibratorio armónico simple (m.a.s.) cuando su posición en función del tiempo es una sinusoide. Es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. Una partícula sometida a este tipo de movimiento tendrá un punto central, alrededor del cual oscilará. (Tomado de http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_simple)

Se puede describir el Movimiento Armónico Simple (MAS) como aquel tipo de comportamiento del movimiento periódico que tiene una dependencia senoidal con relación al tiempo (t) de una posición de un objeto en movimiento.

cos(

)(

)

x

=

A

ω

t

+

δ

m

Donde:

A Amplitud, desplazamiento máximo respecto a punto de equilibrio, es un valor constante. ω Frecuencia angular

(

1

)

rad s=s−

δ Constante de fase, es el ángulo por el cual el movimiento esta desplazado de x=0m cuando t=0 .s

t

ω

+

δ

Fase del movimiento x Posición

Figura 1Un aparato experimental para demostrar el movimiento armónico simple.

Movimiento del papel Movimiento del papel

(a) (b) (c)

Figura 2

a)Resorte en equilibrio, es decir, sin estirar.

b)Sistema masa – resorte, en equilibrio al colocarse la masa. Resorte estirado en una cantidad

0 mg y

k

=

1.1.1.Conceptos básicos

§ Periodo: es el tiempo que tarda en dar una oscilación completa o un ciclo de su movimiento.

2 2

T s

f ( )

π π

ω

= =

§ Frecuencia: es el número de oscilaciones que la partícula hace en la unidad de tiempo.

1 1

1 1

1 2

ciclo f s donde s Hertz

T ( ); : s

ω π

− −

= = = =

1.1.2.Cinemática de la Partícula Sometida a un MAS Posición

La ecuación general que describe cualquier movimiento armónico simple es:

ω

δ

=

+

( t )

x

A cos( t

) (m)

Velocidad

Se obtiene de derivar la función posición

[

ω

δ

]

ω

ω

δ

+

=

( t )

=

= −

+

( t )

dx

d A cos( t

)

v

A sen( t

)m s

dt

dt

Aceleración

Se obtiene de derivar la función velocidad

[

ω

ω δ

]

ω

ω δ

−

+

=

( t )

=

= −

2

+

2

( t )

dv

d

A sen( t

)

a

A

cos( t

)m s

dt

dt

1.1.3.Dinámica de la Partícula Sometida a un MAS

La base de un movimiento armónico simple consiste en que la única fuerza ejercida sobre la partícula en movimiento lineal y que únicamente depende de la posición de ésta. Si se llama x a la posición de dicha partícula, la fuerza ejercida sobre ella es:

Por II Ley de Newton

F

=

ma

, donde la aceleración es 2

a

= −

ω

x

. Por lo tanto

F

= −

m

ω

2

x

Donde 2

k

m

ω =

_{; entonces}

_F

_{= −}

_kx

_{, siendo k la}

constante de elasticidad del resorte (en N/m) 0 x

Mov.

A x

0

Mov.

A

1.1.4.Energía en el Movimiento Armónico Simple

Debido a que las fuerzas involucradas en un MAS son conservativas, se tiene que la energía relacionada a dicho movimiento permanece constante en el tiempo, dicha energía es la llamada Energía Mecánica, la cual esta constituida por la energía potencial (asociada a la fuerza del resorte) y la energía cinética.

E

= +

K

Ue

Energía Cinética

Para un oscilador armónico simple que varia con el tiempo, la energía cinética viene dada

por la siguiente expresión: K = 1₂mv2

[ ]

J

Energía Potencial

La energía potencial, como la fuerza, alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria (cuando hace parar a la partícula y reiniciar la marcha en sentido contrario) y, también como la fuerza, tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto central del movimiento. Tiene por ecuación:

[ ]

2 1 2

=

Movimiento Armónico Simple de un Sistema Masa – Resorte y su Relación con el Movimiento de un Péndulo Simple

t (s) x (m) v (m s) a m s

(

2

)

K J

( )

U J

( )

0 A 0 −ω2

A 0 1kA2 2

1 T

4 0 −ωA 0

2

1 kA

2 0

1 T

2 −A 0 ω

2_{A 0} 1 2

kA 2

3 T

4 0 ωA 0

2

1 kA

2 0

T A 0 −ω2

A 0 1kA2 2

Los parámetros referidos en la tabla del sistema masa - resorte, son asumiendo que x=A en t=0s, con

cos( )

x=A ωt

Relación entre elmovimiento uniforme circular de un punto P y el moviendo armónico simple de un puntoQ. una partícula en el punto P se mueve en un circulo de radio “A” con velocidad angular constante.

a) El circulo de referencia muestra la posición de P en t=0s

b) La coordenada x del punto P yQ son iguales y varían en el tiempo como x=Acos(ω δt+ )

EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIO 1

Un sistema masa – resorte, se encuentra sobre una superficie lisa, tal y como se muestra en la figura, experimentando un M.A.S, el cual es representado mediante la proyección de un movimiento circular uniforme, la partícula gira en un circulo de radio R=3m y una rapidez

angular de 8rad s. En el instante t=0s , la partícula ocupa una

coordenada x = 2 m.

Use la siguiente información: 2

0 05 9 8

= =

m , kg; g , m s

x 0

1. Entonces la velocidad (en m/s) y la aceleración (en m/s2 _{) de la partícula en ese instante de tiempo es:}

2. La constante de elasticidad del resorte (en N/m) es :

3. La energía mecánica total (en J) del sistema masa – resorte es:

4. La posición (en m) de la partícula cuando su velocidad es de vr =1 2i m s

Considere ahora que en el momento que el bloque de masam se encuentra en la posición

x

=

A

, se coloca

otro bloque de masa

m

₂

=

2

m

.

5. Entonces, comparando esta nueva situación con la situación anterior, se puede afirmar que la frecuencia angular del oscilador:

a) Aumenta el doble b) Es la misma c) Disminuye a la mitad d) Disminuye

EJERCICIO 2

Un sistema masa – resorte, se encuentra sobre una superficie lisa, tal y como se muestra en la figura, experimentando un M.A.S. el período de oscilación es de 2 s. En el instante t=0s las masas se encuentra en

0

x =A, Entre las masas actúa la fuerza de roce estática máxima. Use la siguiente información:

2

1 6 2 4 2 9 8 e 0 6

m = k g; m = k g; T = s; g = , m s ; µ = ,

A

- A 0

2

1

A

- A 0

2

1

1. Entonces la constante de elasticidad del resorte (enN/m) es: 2. Y la amplitud (en m) del movimiento será:

3. Y el tiempo (en s) que demora en llegar por primera vez a la posición x= −0, 25 m es: 4. Y la energía mecánica total (enJ) es:

Considere ahora que en el momento que los bloques se encuentran en la posición

x

=

A

, se quita el

bloque de masa m₂.

5. Entonces, comparando esta nueva situación con la situación anterior, se puede afirmar: a)Tarda mas tiempo en

volver a x=A

b)Tarda menos tiempo en volver a x=A

c)Tarda el mismo tiempo en volver a x=A

d)Duplica el tiempo en volver a x=A

6. En esta nueva situación la posición (en m) y aceleración (en m/s2 _{) de masa}

1

m 1,2 s después será:

EJERCICIO 3

Se tiene un sistema masa – resorte que oscila, ubicado inicialmente en x=A, sobre una superficie horizontal lisa y un péndulo simple que oscila en fase con la masa del sistema. (El período de los movimientos es igual). Datos:

2

1 1 2

2

1 5 9 5 9 8

4 0 1

= = = =

= =

m , kg T T s g , m s

m kg A , m

Usando la información anterior determinar:

1. La longitud del péndulo simple (en m), le frecuencia angular (en rad/s) y la constante de elasticidad del resorte (en N/m) es:

2. El tiempo en cual el sistema masa – resorte pasa por primera vez por la posición de equilibrio (en s) es:

3. En el instante t=0 634s, la energía potencial elástica del sistema masa –

Si justo en el momento en que el péndulo y el sistema masa – resorte se encuentran en x=A, se corta la

cuerda del péndulo, quedando m2 sobre m1, de tal modo que oscilan juntos.

4. Considerando esta nueva situación, el coeficiente de roce estático mínimo que debe existir entre m1 y m2 para que

oscilen juntos es:

5. Para esta nueva situación, la función que permite determinar la velocidad del sistema masa resorte a partir de ese momento es:

a) v= −0,349sen 3, 491t m s

(

)

b) v= −0,182sen 1, 823t m s

(

)

c) v= −0, 2148sen 2,148t m s

(

)

d) v= −0,182sen 3, 4907t m s

(

)

EJERCICIO 4

En el sistema masas resorte que se presenta conformado por dos cajas de masas m₁ y m₂ respectivamente colocada una sobre la otra, existiendo entre ellas un coeficiente de roce µS y la caja m1 está ubicada en una superficie lisa. El resorte de constante de elasticidad k_res tiene su extremo derecho soldado a la masa m₁ y el izquierdo está empotrado en una pared tal se observa en la figura.

Datos: m₁ = 5kg; m₂ = 3kg; k_res =100N m ; g = 9 8, m s

Si se considera que no hay deslizamiento entre las masas y el oscilador se suelta desde x₍₀₎ =0, 2m con una

velocidad inicial de vr_{( 0 )} = 0 , 3i m s

6. Calcular la amplitud y la constante de fase del movimiento.

7. Cuál será la rapidez del oscilador cuando su posición sea x=0,10m

8. Cuanto tiempo tarda el oscilador en alcanzar una velocidad de vr= −0 6, i m s

Si cuando el sistema está en la posición x= Ase retira

m

₂

9. Para esta nueva situación, la energía cinética del sistema masa – resorte en el instante

t

=

0 3s

,

(en J) es: 10. Comparando esta nueva situación con la anterior, se puede afirmar que:

a)Amplitud aumenta y

ω aumenta b)Amplitud permanece igualy el periodo aumenta c)Amplitud disminuye yaumenta ω

d)Amplitud permanece igual y el periodo disminuye

EJERCICIO 5

Un satélite con masa m 500kg= se encuentra en una orbita circular a una distancia d 1000km= sobre la superficie terrestre, como se muestra en la figura.

Datos:

6 24

T T

R =6,37 10 m;× M =5,98 10× kg

1. La rapidez angular (en rad/s) del satélite es: 2. Y el potencial gravitatorio (en J/kg) del satélite es: 3. La energía potencial gravitatoria (en J) del satélite es:

El motor del satélite se enciende haciendo que se mueva a otra orbita, adquiriendo una energía mecánica total

9

E= −9, 02 10 J×

4. De acuerdo a esta nueva situación, la posición (en km) del satélite será:

5. Y el período (en s) del satélite es:

6. Y la fuerza de gravitación universal (en N) que actúa sobre el satélite es:

d

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE MAS

[ ]

[ ]

ω δ ω ω δ ω ω δ = + = − +   = − _{+  } r r r ( t )

( t )

2 2

( t )

x Acos( t ) m

v A sen( t ) m s

a A cos( t ) m s

[ ]

[

]

δ π ω π   = _{ }   = = 0 x arccos rad A 2

2 f rad s T

SISTEMA MASA – RESORTE

[

]

[ ]

ω= k rad s T=2π m s

m k

ENERGÍA

[ ]

=1 2+1 2 = 1 2

E mv kx kA J 2 2 2

[ ]

ω ω = ±   = ± _{ } r

rmáx 2 2

máx

v A m s

a A m s

2

2

v

2

A

x

ω

 

=

_{ }

+

 

PÉNDULO SIMPLE

[

]

[ ]

ω = g rad s T=2π l s

l g

PÉNDULO FÍSICO

[

]

[ ]

ω= MgD rad s T=2π l s

l MgD GRAVITACIÓN KEPLER III = 2 2 1 2 3 3 1 2 T T r r ENERGÍA POTENCIAL

[ ]

= − Mm

U G J r

ENERGÍA CINÉTICA

[ ]

= 1 2

K mv J 2 FUERZA GRAVITACIONAL

[ ]

− = − = × r 2

11 2 2

Mm F G r N

r

G 6,67 10 Nm kg

ENERGÍA MECÁNICA

[ ]

= + ⇒ = −GMm

E K U E J 2r

POTENCIAL GRAVITATORIO

[

]

= − M

V G J kg r

CAMPO GRAVITATORIO

 

= − _ 2_

2

M g G r m s

r

ORBITAS CIRCULARES

[ ]

π

= 2

2 4 3

T R s GM

ORBITAS ELÍPTICAS

Velocidad en el Perihelio

[ ]

  −       =   −     a p p 2 p a 1 1 2GM r r

v m s

r 1 r

Velocidad en el Aphelio

[

]

  −       =   −  _{ }   a p a 2 a p 1 1 2GM r r

v m s

r 1

r

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