LIBRO DE CINEMÁTICA DE EVARISTO

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(1)

CINEMÁTICA DEL PUNTO

MATERIAL

Autor:

Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo

(Compilación)

UMSA –UCB – EISPDM: LA PAZ – BOLIVIA, 2013.

Hacia una Física para la vida y la

Hacia una Física para la vida y la

Hacia una Física para la vida y la

Hacia una Física para la vida y la

Investigación

Investigación

Investigación

Investigación C

C

C

Científica

ientífica

ientífica

ientífica

(2)

La cinemática se ha constituido como los cimientos de la mecánica clásica, por ser parte de la física que estudia los movimientos sin considerarse las causas que los origina, al decir cinemática del punto lo que se quiere mostrar a los lectores es que en este curso formal de Física aplicada no interferirán cuestiones como las dimensiones de los cuerpos ni mucho menos sus características. Muchos estudiantes cursan este mismo curso en la secundaria sin embargo dejan de lado muchas cuestiones matemáticas que son muy importantes a la hora de plantear un modelo matemático de un problema real. Para entender este capítulo se sugiere a los lectores revisar su curso de análisis matemático, sin embargo para una mayor comodidad se introducen conceptos matemáticos a utilizarse como ser las nociones del cálculo integro diferencial.

En varias universidades e institutos superiores la enseñanza de la Física deja mucho que desear, ya que bajo el denominativo que la enseñanza debe ser los más práctico posible se van directamente a las aplicaciones y reemplazos numéricos que a la larga se constituye en un aprendizaje mecánico, y la argumentación que se coloca es dejar los formalismos a los científicos, si bien esta noción es errónea lo mas denigrante para los hombres que han cultivado las ciencias es que los enseñantes vayan haciendo desaparecer la esencia fundamental de la Física que es ciencia de interpretación de los fenómenos de la naturaleza y no así de reemplazos numéricos. Por ello es este ensayo se plantea desde esta visión la enseñanza de la Cinemática puntual, todas las demostraciones y consecuencias de las relaciones entre las variables cinemáticas son mostradas con la mayor rigurosidad científica posible, por ello a la hora de terminar este curso el estudiante debe ser capaz de interpretar un fenómeno cinemático y plantear su modelo matemático que lo representa para poderlo resolver y predecir su movimiento.

Se inicia con la ubicación de un punto en diferentes sistemas de coordenadas, se repasa el cálculo integro – diferencial para en lo posterior entrar en la definiciones de las cantidades cinemáticas y mostrar sus relaciones. Se comienza con el movimiento más elemental que es el movimiento horizontal sea acelerado no acelerado o constante, luego continua con el movimiento vertical o también denominado caída libre para posteriormente entrar al movimiento en el plano que es el parabólico y el circular, se muestra la manera de afrontar los problemas de maximización y minimización utilizando el cálculo diferencial, se continua con las definiciones del movimiento relativo como consecuencia de la traslación y/o rotación de los sistemas de coordenadas, se derivan con el mayor rigor matemático - científico las relaciones para las aceleraciones: centrípeta, de coriolis, angular, etc.

El presente material bibliográfico está dedicado a mi fiel esposa que es la Física, mi amante la señorita Matemática y mi fiel compañera la soledad, mismas que cambiaron mi concepción de espacio y del tiempo al cual les agradezco por darme la oportunidad de crecer como ser humano y conocer otros mundos que no había conocido.

Prof. Lic. Evaristo Mamani Carlo

CATEDRÁTICO DE FÍSICA – MATEMÁTICA

(3)

PRÓLOGO ÍNDICE

1. EL ESPACIO VECTORIAL ... 1

1.1 MAGNITUDES VECTORIALES ... 1

1.2 MAGNITUDES ESCALARES ... 1

2. SISTEMAS DE COORDENADAS ... 1

2.1 COORDENADAS RECTANGULARES Ó CARTESIANAS ... 1

2.2 COORDENADAS POLARES ... 2

2.3 COORDENADAS CILÍNDRICAS ... 2

2.4 COORDENADAS ESFÉRICAS ... 2

3. REPASO DE DERIVADAS ... 3

3.1 NOTACIÓN ALTERNATIVA PARA LA DERIVADA ... 3

3.2 REGLAS DE DERIVACIÓN ... 4

3.3 DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES ... 4

4. REPASO DE INTEGRALES ... 4

4.1 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA INTEGRAL DEFINIDA ... 5

4.2 EL PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO ... 5

4.3 EL SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO ... 5

4.4 PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS ... 5

4.5 INTEGRALES DE FUNCIONES ELEMENTALES ... 6

5. MOVIMIENTO, MAGNITUDES FÍSICAS DEL MOVIMIENTO ... 6

5.1 MOVIMIENTO ... 6

5.2 VECTOR DE POSICIÓN ... 6

5.3 REPRESENTACIÓN DEL VECTOR DE POSICIÓN ... 7

5.3.1 En el Espacio ... 7

5.3.2 En el Plano ... 7

5.3.3 En una dimensión ... 7

5.4 REPRESENTACIÓN DEL VECTOR DESPLAZAMIENTO ... 7

6. VELOCIDAD ... 8

6.1 VELOCIDAD MEDIA... 8

6.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA ... 8

7. ACELERACIÓN ... 8

7.1 ACELERACIÓN MEDIA ... 8

7.2 ACELERACIÓN INSTANTÁNEA ... 9

7.3 OTRA NOTACIÓN ALTERNATIVA PARA LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA ... 9

8. REGLA DE DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN PARA LA CINEMÁTICA ... 9

9. MOVIMIENTO UNIFORME ... 10

9.1 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME ... 10

10. MOVIMIENTO UNIFORME ACELERADO ... 10

10.1 MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO ... 12

11. MOVIMIENTO VERTICAL Ó CAÍDA LINBRE ... 12

12. MOVIMIENTO EN EL PLANO ... 14

12.1 ECUACIÓN DE LA TRAYECTORIA ... 15

12.2 CÁLCULO DE ALGUNOS PARÁMETROS DEL MOVIMIENTO PARABÓLICO... 15

13. PROBLEMAS DE MAXIMIZACIÓN Y MINIMIZACIÓN ... 17

13.1 DEFINICIÓN 1 ... 17

13.2 TEOREMA 1 ... 17

14. MOVIMIENTO CIRCULAR ... 18

14.1 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ... 21

14.2 VELOCIDAD ANGULAR MEDIA E INSTANTÁNEA ... 21

14.3 ACELERACIÓN ANGULAR MEDIA E INSTANTÁNEA ... 21

14.4 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO ... 22

14.5 TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTO ... 23

15. UNIDADES DE MEDICIÓN DE LAS VARIABLES LINEALES Y ANGULARES ... 24

16. ALGUNAS PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS CURVAS ... 24

17. MOVIMIENTO RELATIVO ... 25

17.1 SISTEMAS EN TRASLACIÓN ... 25

17.2 SISTEMAS EN ROTACIÓN Y TRASLACIÓN ... 27

(4)

Cinemática del punto material

Cinemática del punto material

Cinemática del punto material

Cinemática del punto material

Al igual que la energía Al igual que la energía Al igual que la energía

Al igual que la energía no se crea ni se destruye, solo no se crea ni se destruye, solo no se crea ni se destruye, solo no se crea ni se destruye, solo se transforma; se transforma; se transforma; se transforma; El amor tampoco se crea ni se destruye solamente se siente. El amor tampoco se crea ni se destruye solamente se siente. El amor tampoco se crea ni se destruye solamente se siente. El amor tampoco se crea ni se destruye solamente se siente.

Autor: E=mc2

1. EL ESPACIO VECTORIAL

1.1 MAGNITUDES VECTORIALES

Las magnitudes vectoriales son aquellas que para quedar perfectamente definidas necesitan de: • Punto de aplicación

• Módulo o valor del VECTOR • Dirección

• Sentido

En este sentido algunos de los ejemplos que encontramos en Física de cantidades vectoriales son: la velocidad, Fuerza, aceleración, posición, campo gravitatorio, campo eléctrico, la inducción magnética, etc.

1.2 MAGNITUDES ESCALARES

Las magnitudes escalares son aquellas que para su identificación, solo es necesario conocer su magnitud (su valor numérico). Algunas de las magnitudes escalares que podemos encontrar en Física son: El tiempo, masa, Energía, Temperatura, Calor, etc.

2. SISTEMAS DE COORDENADAS

Para representar un punto ya sea en el plano ó en el espacio, existen diferentes sistemas en las cuales se los puede realizar, el mas utilizado es el sistema cartesiano; sin embargo existen otros sistemas que facilitan la identificación del punto, como ser:

• Coordenadas rectangulares ó cartesianas • Coordenadas polares

• Coordenadas cilíndricas • Coordenadas esféricas • Etc.

2.1 COORDENADAS RECTANGULARES Ó CARTESIANAS

x

y

z

z

x

y

r

(

x

y

z

)

P

,

,

x

y

z

z

x

y

r

(

x

y

z

)

P

,

,

Cuyo vector posición está dado por:

k

z

j

y

i

x

(5)

2.2 COORDENADAS POLARES

2.3 COORDENADAS CILÍNDRICAS

2.4 COORDENADAS ESFÉRICAS

Cuyo vector posición está dado por:

r

r

r

=

ˆ

Cuyas coordenadas están relacionadas con las cartesianas como:

( )

θ

;

y

r

sen

( )

θ

cos

r

x

=

=

Y además:

( )

=

=

+

=

x

y

tg

x

y

tg

;

y

x

r

2 2

θ

θ

1

Donde los versores en cada dirección están dados por:

( )

i

sen

( )

j

;

sen

( )

i

cos

( )

j

cos

r

ˆ

=

θ

ˆ

+

θ

ˆ

θ

ˆ

=

θ

ˆ

+

θ

ˆ

r

x

y

θ

( )

r

,

θ

P

r

ˆ

θ

ˆ

r

x

y

θ

( )

r

,

θ

P

r

ˆ

θ

ˆ

x

y

z

z

ϕ

ρ

r

P

(

ρ

,

ϕ

,

z

)

k

ˆ

ϕ

ˆ

ρ

ˆ

x

y

z

z

ϕ

ρ

r

P

(

ρ

,

ϕ

,

z

)

k

ˆ

ϕ

ˆ

ρ

ˆ

El vector posición está dado por:

k

z

r

=

ρ

ρ

ˆ

+

ˆ

Cuyas coordenadas están relacionadas con las cartesianas como:

( )

;

y

sen

( )

;

z

z

cos

x

=

ρ

ϕ

=

ρ

ϕ

=

Y además:

( )

=

=

+

=

x

y

tg

x

y

tg

;

y

x

2 2

ϕ

ϕ

1

ρ

Donde los versores en cada dirección están dados por:

( )

i

sen

( )

j

;

sen

( )

i

cos

( )

j

cos

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ρ

=

+

=

+

x

y

z

ϕ

r

r

P

(

r

,

r

ˆ

θ

,

ϕ

)

θ

r

ϕ

ˆ

θ

ˆ

x

y

z

ϕ

r

r

P

(

r

,

r

ˆ

θ

,

ϕ

)

θ

r

ϕ

ˆ

θ

ˆ

El vector posición está dado por:

r

r

r

r

=

ˆ

Cuyas coordenadas están relacionadas con las cartesianas como:

( )

( )

( )

( )

( )

θ

ϕ

θ

ϕ

θ

cos

r

z

sen

sen

r

y

cos

sen

r

x

=

=

=

Y además:

( )

( )

=

=

+

=

+

=

+

+

=

− −

x

y

tg

x

y

tg

;

z

y

x

tg

z

y

x

tg

;

z

y

x

r

1

2 2 1

2 2 2

2 2

ϕ

ϕ

θ

(6)

Donde los versores en cada dirección están dados por:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

i

cos

( )

j

sen

k

sen

j

sen

cos

i

cos

cos

k

cos

j

sen

sen

i

cos

sen

r

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ϕ

ϕ

ϕ

θ

ϕ

θ

ϕ

θ

θ

θ

ϕ

θ

ϕ

θ

+

=

+

=

+

+

=

3. REPASO DE DERIVADAS

Las derivadas constituyen una gran herramienta matemática para seguir avanzando dentro del formalismo de la Física aplicada, ya que surgió como una necesidad de poder extender las consecuencias de la mecánica Newtoniana particularmente de la gravitación universal y cuya resolución de las ecuaciones que aparecieron requerían del conocimiento de otro tipo de formalismo matemático que posteriormente se la denomino el cálculo integro – diferencial.

Sea

y

=

f

( )

x

cualquier función que depende de la variable independiente x, que está dado por:

De la figura:

( )

(

) ( )

h

x

f

h

x

f

tg

m

=

θ

=

0

+

0 , cuando

h

se hace cada vez mas pequeño, la recta

secante se aproximará a la recta tangente en el punto

x

0, este proceso de aproximación se conoce como el límite de aproximación hacia

x

0, y se representa por:

(

) ( )

h

x

f

h

x

f

lím

h

0 0

0

+

→ y ésta operación se

denomina como la derivada de la función

f

evaluada en el punto

x

0, y se representa como:

(

) ( )

h

x

f

h

x

f

lím

dx

df

h x x

0 0

0

0

+

=

→ =

Y la derivada de la función

f

evaluada en cualquier punto x será:

(

) ( )

h

x

f

h

x

f

lím

dx

df

h

+

=

→0

(DERIVADA DE

f

RESPECTO DE

x

)

3.1 NOTACIÓN ALTERNATIVA PARA LA DERIVADA Cuando se deriva una función respecto de una

variable es costumbre también utilizar la notación:

x

y

0

x

x0+h h

x0−

( )

x

f

y

=

( )

x

0

f

(

x

h

)

f

0

+

(

x

h

)

f

0

h h

ante recta sec

x

y

0

x

x0+h h

x0−

( )

x

f

y

=

( )

x

0

f

(

x

h

)

f

0

+

(

x

h

)

f

0

h h

ante recta sec

(

x0 h

) ( )

f x0

f + −

h

θ

( )

ante recta sec la

de

pendiente tg

m=

θ

=

(

x0 h

) ( )

f x0

f + −

h

θ

( )

ante recta sec la

de

pendiente tg

(7)

( )

dx

df

x

f

'

=

Donde el símbolo de la “prima” significa una derivada.

3.2 REGLAS DE DERIVACIÓN Cabe aclarar que estamos trabajando con funciones de variable real, en

este sentido sean las funciones:

f

( ) ( ) ( )

x

,

g

x

y

h

x

todas de variable real, por lo cual tenemos:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

x

g

( )

h

( )

x

f

( )

x

g

( ) ( ) (

h

( )

x

h

x

Regla

de

la

cadena

)

f

:

Si

e

x

g

c

x

f

x

g

c

x

f

y

R

c

:

Si

d

cociente)

del

(regla

x

h

x

h

x

g

x

h

x

g

x

f

x

h

x

g

x

f

:

Si

c

producto)

del

(regla

x

h

x

g

x

h

x

g

x

f

x

h

x

g

x

f

:

Si

b

ión)

sustracc

y/o

adición

la

de

(regla

x

h

x

g

x

f

x

h

x

g

x

f

:

Si

a

'

'

'

)

'

'

)

'

'

'

)

'

'

'

)

'

'

'

)

2

=

=

=

=

=

=

+

=

=

±

=

±

=

3.3 DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES Existe una gama de derivadas, pero algunas que

consideramos importantes recordar son:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1

'

;

)

0

'

)

2

'

)

'

)

1

1

'

)

'

)

'

)

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

n n ax ax

x

n

a

x

f

R

n

x

a

x

f

:

Si

g

x

f

b

x

f

:

Si

f

bx

b

x

f

bx

x

f

:

Si

e

e

a

x

f

e

x

f

:

Si

d

x

b

bx

x

f

bx

ln

x

f

:

Si

c

bx

sen

b

x

f

bx

cos

x

f

:

Si

b

ax

cos

a

x

f

ax

sen

x

f

:

Si

a

R

b

a,

Si

4. REPASO DE INTEGRALES

Así como se definió las derivadas como el cálculo de pendientes de cualquier curva y en cualquier punto, las integrales constituyen el cálculo de áreas de cualquier región contempladas entre cualesquiera par de puntos; la notación para las integrales es:

y existen dos tipos de integrales:

• Integrales definidas • Integrales indefinidas a) Las integrales definidas son aquellas de la forma:

f

( )

x

dx

b

a

, donde

a

se conoce como el límite inferior

y

b

como el límite superior y

f

( )

x

la función a integrar.

b) Las integrales indefinidas son aquellas de la forma:

f

( )

x

dx

, es decir no tienen límites de integración

( )

x

(8)

4.1 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA INTEGRAL DEFINIDA

La anterior figura representa:

f

( )

x

dx

b

a

que significa el área que encierra la curva desde el punto

inferior

límite

a

x

=

hasta el punto

x

=

b

límite

superior

, en cambio la variable respecto del cual se está integrando se lo denota como:

dx

diferencia

l

de

la

variable

x

.

4.1.1 Teorema. Toda función continua sobre el intervalo cerrado

[ ]

a ,

b

es integrable sobre

[ ]

a ,

b

.

4.2 EL PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Sea

G

la función definida por:

G

( )

x

f

( )

t

dt

x

a

=

, si

f

es continua sobre un intervalo

δ

y si

a

δ

entonces

G

es diferenciable sobre

δ

y :

G

'

=

f

.

4.3 EL SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Sea

f

continua sobre un intervalo

δ

, si

F

es diferenciable sobre

δ

y si

F

'

( ) ( )

x

=

f

x

sobre

δ

entonces

a ,

b

δ

cualesquiera:

( )

x

dx

F

( )

x

F

( ) ( )

b

F

a

f

b

a b

a

=

=

4.4 PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS

( )

( )

( ) ( )

(

)

( )

( )

( )

( )

∫ ∫

∫ ∫

=

±

=

±

=

a

b b

a

b

a b

a b

a

b

a b

a

dx

x

f

dx

x

f

c

dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f

b

dx

x

f

c

dx

x

f

c

a)

:

que

cumple

se

R

c

,

b

,

a

)

)

x

y

( )

x

f

y

=

a

b

curva la de

debajo por Área

x

y

( )

x

f

y

=

a

b

curva la de

(9)

[ ]

( )

=

( )

+

( )

b

c c

a b

a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

b

,

a

c

Si

d

)

4.5 INTEGRALES DE FUNCIONES ELEMENTALES

( )

( )

( )

( )

( )

( )

R

n

;

c

n

x

a

dx

x

a

g

c

x

a

dx

a

dx

a

f

c

bx

dx

bx

e

c

e

a

dx

e

d

c

x

bx

ln

x

dx

bx

ln

c

c

bx

sen

b

dx

bx

cos

b

c

ax

cos

a

dx

ax

sen

a

R

c

,

b

a ,

n n

ax ax

+

+

=

+

=

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

1

)

)

3

2

)

1

)

)

1

)

1

)

1 3

De los cálculos anteriores puede concluirse que siempre que se trate de integrales indefinidas, al integrarlas debe adicionarse una constante, está constante se lo conocerá una vez que se especifique los limites del problema, es decir los limites inferior y superior.

Existen varios métodos para integrar funciones, algunos de los cuales son:

• Integración por sustitución • Integración por partes

• Integración por sustitución trigonométrica • Integración de Formas cuadráticas • Integración por fracciones parciales • Etc.

Todos éstos métodos se los estudian en un curso formal de Análisis matemático, para el lector interesado en estudiar a profundidad el cálculo integro diferencial se sugiere: P.E. DANKO & A.G.POPOV

Matemáticas Superiores en ejercicios y Problemas , EDITORIAL MIR MOSCÚ.

5. MOVIMIENTO, MAGNITUDES FÍSICAS DEL MOVIMIENTO

5.1 MOVIMIENTO

El movimiento es el cambio de posición de una partícula, en un determinado instante de tiempo.

5.2 VECTOR DE POSICIÓN

(10)

5.3 REPRESENTACION DEL VECTOR POSICIÓN

Para representar al vector posición, se lo debe expresar en forma vectorial del siguiente modo:

5.3.1 En el Espacio:

2 2 2

z

y

x

r

:

ódulo será

cuyo m

k

z

j

y

i

x

r

r

=

ˆ

+

ˆ

+

ˆ

r

=

+

+

5.3.2 En el Plano:

2 2

y

x

r

:

ódulo será

cuyo m

j

y

i

x

r

r

=

ˆ

+

ˆ

r

=

+

5.3.2 En una dimensión:

x

r

:

ódulo será

cuyo m

i

x

r

r

=

ˆ

r

=

5.4 REPRESENTACIÓN DEL VECTOR DESPLAZAMIENTO

Cuando una partícula comienza a moverse desde un punto que no coincide con el origen de coordenadas, y se desplaza hacia otro punto; el vector que apunta de donde comenzó el movimiento hasta donde terminó su movimiento se denomina Vector desplazamiento y se define como:

z

r

r

=

r

r

f

r

r

i

Inicio Final

r

r

i

r

r

f

y

x

i f

r

r

r

r

=

r

r

(11)

6 VELOCIDAD

La velocidad es una cantidad vectorial que se define como la variación de la posición de un móvil en un sentido determinado respecto del tiempo empleado en esa variación.

Se simboliza con la letra

v

r

, y sus dimensiones corresponden a una Longitud sobre un Tiempo. Se distinguen dos tipos de Velocidades:

6.1 VELOCIDAD MEDIA

La velocidad media, es la variación del vector desplazamiento respecto a la variación del tiempo, y se lo representa generalmente como:

t

r

v

=

r

r

i f

i f

t

t

r

r

t

r

v

=

=

r

r

r

r

=

=

=

=

=

=

i f

i f z

i f

i f y

i f

i f x

t

t

z

z

t

z

v

t

t

y

y

t

y

v

t

t

x

x

t

x

v

6.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA

La velocidad instantánea es la velocidad que tiene un cuerpo en cada instante de tiempo, y matemáticamente se define como la derivada del vector de desplazamiento respecto al tiempo:

t

d

r

d

t

r

Lim

v

Lim

v

t

t 0 0

r

r

r

r

=

=

=

→ ∆ →



=

=

=

dt

dz

v

dt

dy

v

dt

dx

v

z y x

7 ACELERACIÓN

Siempre que hay cambios en la velocidad existe aceleración. La aclaración es una cantidad vectorial que se simboliza con la letra

a

r

y que se define como: La variación de la velocidad en un intervalo de tiempo. Al igual que en la velocidad existe una aceleración media y una instantánea:

7.1 ACELERACIÓN MEDIA

La aceleración media es el cociente entre la variación de la velocidad y el intervalo de tiempo transcurrido, es decir:

Descomponiendo

(12)

i f

i f

t

t

v

v

t

v

a

=

=

r

r

r

r

=

=

=

=

=

=

i f

i z f z z z

i f

i y f y y y

i f

i x f x x x

t

t

v

v

t

v

a

t

t

v

v

t

v

a

t

t

v

v

t

v

a

7.2 ACELERACIÓN INSTANTÁNEA

La aceleración instantánea es la aceleración que tiene un cuerpo en cada instante de tiempo, y matemáticamente se define como la derivada del vector velocidad respecto al tiempo:

t

d

v

d

t

v

Lim

a

Lim

a

t t 0 0

r

r

r

r

=

=

=

→ ∆ →



=

=

=

t

d

v

d

a

t

d

v

d

a

t

d

v

d

a

z z

y y

x x

NOTA: Siempre que se hable de velocidad ó de aceleración sin mencionar algún tipo en especial se

supondrá que se trata de la velocidad instantánea y de la aceleración instantánea.

7.3 OTRA NOTACIÓN ALTERNATIVA PARA LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA

Recordando que

t

d

r

d

v

r

r

=

y como

t

d

v

d

a

r

r

=

, entonces: 2

2

t

d

r

d

a

dt

r

d

dt

d

t

d

v

d

a

r

r

r

r

r

=

=

=

, que

se lo traduce como la segunda derivada de la posición con respecto del tiempo al cuadrado.

8. REGLA DE DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN PARA LA CINEMÁTICA Apreciado lector ahora se

preguntará seguramente ¿cuando debo derivar y cuando debo integrar?, por ello a continuación le mostraré un esquema que le ayudará bastante:

Descomponiendo

Descomponiendo

r

r

v

r

a

r

dt

d

dt

d

2 2

dt

d

∫∫

r

r

v

r

a

r

dt

d

dt

d

2 2

dt

d

(13)

El anterior gráfico indica claramente por ejemplo que para hallar la velocidad a partir de la información de la aceleración, esta se lo encuentra integrando la aceleración con respecto del tiempo.

9. MOVIMIENTO UNIFORME

Este movimiento se caracteriza por que la velocidad se mantiene constante durante el trayecto, y las ecuaciones que rigen son:

constante

t

d

r

d

v

=

=

r

r

y la aceleración será:

0

r

r

r

=

=

t

d

v

d

a

, ya que la derivada de una constante se anula, para hallar la ecuación de movimiento partamos de:

t

d

v

r

d

t

d

r

d

v

=

r

=

r

r

r

, recordemos que; si se tiene el diferencial de una magnitud fisica, para hallar

esa magnitud física se procede a integrar, es decir:

dF

F

hallar Para

. Entonces integrando ambos

miembros desde una posición inicial hasta una posición final tenemos:

(

)

(

)

v

t

r

t

t

r

r

v

t

t

v

r

r

t

v

r

constante

es

v

que

ya

dt

v

r

dt

v

r

d

t

d

v

r

d

i f

i f i

f i f t

t r

r

t

t r

r t

t r

r

f i f i

f

i f i f

i f

i

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r r

r r r

r

=

=

=

=

=

=

=

=

Es decir en el movimiento uniforme la velocidad instantánea es idéntica a la velocidad media, y además la aceleración es nula.

9.1 MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

Este movimiento al igual que el anterior se caracteriza por que la partícula solo se mueve sobre un eje determinado, generalmente se elije el eje x, por lo cual de la anterior ecuación vectorial que se dedujo solo se utilizara una componente, es decir:

i f

i f x

t

t

x

x

v

=

, como ya se sabe que está en el eje x, se acostumbra utilizar la notación:

v

en vez de

v

x, además si se considera que la partícula partió del origen de coordenadas y que el reloj sincronizamos a cero (caso muy común:

x

i

=

t

i

=

0

) y se considera que la posición final y el tiempo que emplea corresponden a cualquiera instante y posición (

x

f

=

x

;

t

f

=

t

), tenemos la siguiente ecuación del

movimiento rectilíneo uniforme:

t

x

v

=

( 1 )

Que indica que la velocidad de un móvil con velocidad constante es el cociente del espacio recorrido y el tiempo transcurrido.

10. MOVIMIENTO UNIFORME ACELERADO

(14)

Recordando que:

Constante

d

v

a

d

t

t

d

v

d

a

=

=

r

=

r

r

r

, integrando ambos miembros se tiene:

(

f i

)

i f t t v v t t t t v v

t

t

a

v

v

t

a

v

t

d

a

t

d

a

v

d

f i f i f i f i f i

=

=

=

=

r

r

r

r

rr

r

r

r

r

r

r

, por lo cual despejando la

velocidad al final del trayecto:

v

f

=

v

i

+

a

(

t

f

t

i

)

r

r

r

( 2 )

Por otro lado de la ecuación

t

d

v

d

a

r

r

=

como es una ecuación vectorial, multiplicando escalarmente por

el vector diferencial del desplazamiento tenemos:

t

d

r

d

v

d

r

d

t

d

v

d

r

d

a

r

o

r

r

o

r

r

o

r

=

=

ya que

t

d

r

d

v

r

r

=

y además el producto escalar es conmutativo, tenemos:

a

r

o

d

r

r

=

d

v

r

o

v

r

=

v

r

o

d

v

r

, integrando ambos miembros de la ecuación anterior:

=

f i f i v v r r

v

d

v

r

d

a

r r r r

r

o

r

r

o

r

, antes de integrar recordemos la definición de

producto escalar, si

v

r

=

v

x

i

ˆ

+

v

y

j

ˆ

+

v

z

k

ˆ

d

v

r

=

d

v

x

i

ˆ

+

d

v

y

ˆ

j

+

d

v

z

k

ˆ

, entonces:

z z y y x

x

d

v

v

d

v

v

d

v

v

v

d

v

r

o

r

=

+

+

, entonces la anterior integral será:

(

)

=

=

+

+

=

+

+

z f z i y f y i x f x i f i f i f i v v z z v v y y v v x x v v z z y y x x v v r r

v

d

v

v

d

v

v

d

v

v

d

v

v

d

v

v

d

v

v

d

v

r

d

a

r r r r r r

r

o

r

r

o

r

, como la

aceleración es constante y como

2

2

x

dx

x

=

, entonces tendremos:

(

)

(

2 2 2 2 2 2

)

2 2 2

2

1

2

2

2

f i fx ix f y iy fz iz

v v z v v y v v x r

r

a

r

r

v

v

v

v

v

v

v

v

v

r

a

z f z i y f y i x f x i f

i

=

+

+

+

+

=

r

o

r

r

r

o

r

r

r ; Ordenando la

anterior ecuación:

(

)

(

2 2 2

(

2 2 2

)

)

2

1

z i y i x i z f y f x f i

f

r

v

v

v

v

v

v

r

a

r

o

r

r

=

+

+

+

+

y como:

v

v

v

v

y

v

v

v

v

2f

=

2fx

+

2f y

+

2fz i2

=

i 2x

+

i 2y

+

i 2z , entonces:

(

)

(

2 2

)

2

1

i f i

f

r

v

v

r

a

r

o

r

r

=

, finalmente tendremos:

v

f

v

i

a

(

r

f

r

i

)

r

r

o

r

+

=

2

2

2

( 3 )

Por último de la ecuación (2), como el tiempo final y la velocidad final corresponden a cualquier punto, entonces se puede escribir:

v

r

f

=

v

r

y

t

f

=

t

, entonces tendremos la ecuación:

v

r

=

v

r

i

+

a

r

(

t

t

i

)

, recordando que:

t

d

r

d

v

r

r

=

, entonces:

v

a

(

t

t

)

d

r

v

d

t

a

t

d

t

a

t

d

t

t

d

r

d

i i i

i

+

=

+

=

r

r

r

r

r

r

r

, integrando

ambos miembros tenemos:

=

+

f i f i f i f i t t i t t t t i r r

t

d

t

a

t

d

t

a

t

d

v

r

d

r

r

r

r

r

r

, como

v

r

i

,

a

r

y

t

i son constantes, entonces al integrarlos saldrán fuera de la integral por lo cual: f

i f i f i f i t t i t t t t i r

r

v

t

a

t

a

t

t

r

r

=

r

+

r

r

r

r 2

2

1

(15)

desarrollando:

r

f

r

i

v

i

(

t

f

t

i

)

a

(

t

f

t

i

)

a

t

i

(

t

f

t

i

)

v

i

(

t

f

t

i

)

a

(

t

f

t

i

)(

t

f

t

i

2

t

i

)

2

1

2

1

2

2

=

+

+

+

=

r

r

r

r

r

r

r

,

ordenando:

(

)

(

)

2

2

1

i f i

f i i

f

r

v

t

t

a

t

t

r

r

r

=

r

+

r

(

)

(

)

2

2

1

i f i

f i i

f

r

v

t

t

a

t

t

r

=

+

+

r

r

r

r

( 4 )

10.1 MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

Este movimiento corresponde a un caso especial del movimiento anterior, ya que el movimiento está restringido únicamente a un eje, por comodidad elegiremos el eje x, por lo cual las anteriores ecuaciones por ser ecuaciones vectoriales contendrán 3 componentes, por ejemplo la ecuación ( 2 ) , formalmente es:

(

)

(

(

)

)

(

)

+

=

+

=

+

=

+

=

i f z z i z f

i f y y i y f

i f x x i x f endo Descomponi i

f i f

t

t

a

v

v

t

t

a

v

v

t

t

a

v

v

t

t

a

v

v

r

r

r

Pero como se está estudiando el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, entonces se elige:

(

f i

)

x x i x

f

v

a

t

t

v

=

+

, pero como se sobrentiende que el movimiento está limitado al eje x, únicamente se escribirá:

v

f

=

v

i

+

a

(

t

f

t

i

)

, y como al tiempo inicial por lo general se lo considera nulo y como el tiempo final corresponde a cualquier instante de tiempo, la anterior ecuación se lo manejara por lo general:

v

f

=

v

i

+

a

t

, sin embargo note las grandes simplificaciones que se hicieron a la ecuación original (2), para llegar a la forma comúnmente conocida.

Realizando un tratamiento similar a las ecuaciones (3) y (4), se llega a los siguientes resultados conocidos en la gran mayoría de la literatura Física:

M.R.U.V.

ó

M.R.U.A

del

Ecuaciones

t

a

t

v

x

x

a

v

v

t

a

v

v

i i f

i f



+

=

+

=

+

=

2 2

2

2

1

2

11. MOVIMIENTO VERTICAL Ó CAÍDA LIBRE

Este movimiento es causado debido a la aceleración de la gravedad que actúa de forma vertical apuntando hacia el centro de la Tierra, generalmente la aceleración de la gravedad se lo considera constante y cuyo valor numérico corresponde a:





=

=

=

ˆ

9

.

81

2

s

m

g

g

j

g

(16)

Sin embargo en la realidad si nos alejamos de la superficie de la Tierra, el valor del campo gravitatorio disminuye a medida que nos alejamos o aproximamos hacia el centro de la Tierra, a una distancia r de la superficie, la aceleración decae de acuerdo con la siguiente ecuación:

2 0

1

+

=

R

r

g

g

r

Donde:

[ ]

gravedad

la

de

n

aceleració

la

de

medio

Valor

s

m

g

Tierra

la

de

medio

radio

R





=

=

81

.

9

km

6400

2 0

Las ecuaciones que rigen son las mismas que las ecuaciones maestras (2) , (3) y (4), salvo que ahora se debe utilizar las componentes que están en la dirección “y”, reemplazando la aceleración por el valor de la gravedad. Por ejemplo dentro de una de las componentes de la ecuación (2) a utilizar será:

(

f i

)

y y i y

f

v

a

t

t

v

=

+

Utilizando:

a

y

=

g

;

t

f

=

t

y

t

i

=

0

, ésta ecuación se reduce a:

t

g

v

v

fy

=

iy

, nótese que si la velocidad inicial de lanzamiento estaría dirigido hacia abajo se utilizaría

y i

v

cuyo signo indica que esta apuntando hacia abajo, por lo cual haciendo el mismo tratamiento anterior a las ecuaciones maestras (3) y (4) llegamos a las ecuaciones:

Vertical

Movimiento

del

Ecuaciones

t

g

t

v

y

y

g

v

v

t

g

v

v

y i

y i y f

y i y f



=

=

=

2 2

2

2

1

2

Para utilizar estas ecuaciones se deben respectar las siguientes convenciones de signos:

y

+

y

0

=

y

v

+

v

referencia

de Nivel

vertical altura la

Para Para la velocidad

y

+

y

0

=

y

v

+

v

referencia

de Nivel

vertical altura la

Figure

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