INSTITUTO UNIVERSITARIO EXPERIMENTAL DE TECNOLOGÍA LA VICTORIA
LA VICTORIA- ESTADO ARAGUA COMISIÓN ACADÉMICA DEL PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN ELECTRICIDAD en el marco de la Misión Sucre
FÍSICA I
AUTOR:
Prof. Maria Esther Pérez
La Victoria, Enero 2010 LA VICTORIA
MÓDULO I
CINEMÁTICA
VECTORES
Una Cantidad Escalar: Es aquélla que se especifica por completo mediante un
solo número con una unidad, posee sólo magnitud. Ejemplo: masa, potencia,
temperatura, tiempo, volumen, trabajo, densidad, carga eléctrica entre otro.
Un Vector: Es aquel que quedará definido completamente mediante tres
características, como:
Módulo: es la parte escalar del vector, es la distancia entre los extremos de un
vector, longitud del vector.
Dirección: La dirección de un vector está dada por la recta sobre la cual se
considera que está colocado dicho vector.
Sentido: Es la orientación del vector de acuerdo con su dirección
Ejemplo:
B
AB
A
AB: Distancia entre A y B
Un vector se puede representar por una letra negrita A y su magnitud por A ó
se puede representar por una letra con una flecha sobre ella A y su magnitud por
A, sin flecha.
COMPONENTES DE UN VECTOR
La suma y la diferencia de vectores se facilitan en gran medida cuando se
utilizan las componentes de un sistema de coordenadas.
Un vector se representa por un segmento rectilíneo dirigido, la longitud de
este segmento rectilíneo es la magnitud, y el ángulo que forma con respecto a un
eje de referencia es su dirección.
Cualquier vector que se encuentre en el plano xy (sistema de coordenas
cartesiano bidimensional), puede representarse como la suma de un vector
paralelo al eje x y otro paralelo al eje y. Estos vectores se llaman componentes
vectoriales rectangulares
Ejemplo
Y
Ay A A = Ax + Ay
. X Ax
Componente de x = Ax= A Cos Componente y = Ay= A sen
La magnitud de un vector, en función de sus componentes es : A =( Ax) 2+ ( Ay)2
Ax/A = Cos y Ay/A = sen Tang = Ay/Ax despejando al ángulo
= arc tang (Ay/Ax)
VECTOR EN UN ESPACIO TRIDIMENSIONAL
En un espacio tridimensional, un vector B puede descomponerse en sus componentes Bx, By, Bz a lo largo de tres ejes en el espacio.
Ejemplo:
Componente en X=Bx=Bsen cos Componente en Y = By=B sen sen Componente en Z= Bz=Bcos
Donde B= 2 2 2
) ( ) ( )
(Bx By Bz
Los ángulos y fijan la dirección del vector.
By=B sen sen
Bx=B sen cos
Si dividimos By/Bx = tang ( despejando el ángulo)
=arc tang-1 By/Bx
x B
y B
z B
=Cos-1 By/B
COSENOS DIRECTORES
Estos son los cosenos de los ángulos directores, los cuales expresan el ángulo que forma la dirección de un vector con la parte positiva de cada uno de los ejes de coordenadas.
Estos ángulos directores son tres:
= ángulo director respecto al eje X
= ángulo director respecto al eje Y
= ángulo director respecto al eje z Donde:
Cos =Bx/B
Cos =By/B
Cos =Bz/B
Donde B= 2 2 2
) ( ) ( )
(Bx By Bz
REPRESENTACIÓN CANÓNICA
Es la representación de un vector como combinación lineal de los vectores unitarios fundamentales i,j,k
ĩ= (1,0,0) y dirección en el eje X
ĵ=(0,1,0) y tiene dirección en el Y
K=(0,0,1) y tiene dirección en el eje z
Un Vector en un espacio tridimensional se puede expresar como combinación lineal de ellos tres:
Ejemplo.
B=Bx ĩ +Byĵ+Bzk
ÁLGEBRA VECTORIAL
SUMA
La suma de dos vectores es comutativa
A+B=B+A
X Y
Z
A=Ax ĩ +Ayĵ+Azk B=Bx ĩ +By ĵ +Bzk A+B=C
C= (Ax+Bx) ĩ +(Ay+By) ĵ +(Az+Bz)k
MULTIPLICACIÓN DE VECTORES
Hay tres operaciones de multiplicación de vectores
Multiplicación de un Vector por un Escalar:
La multiplicación de un vector A por un escalar K , se escribe KA , y se define como un nuevo vector que tiene el mismo sentido que A si K es positivo y sentido opuesto, si K es negativo. Para dividir un vector entre un escalar simplemente se multiplica el vector por el reciproco del escalar. Ejemplo:
A= Ax ĩ +Ay ĵ +Azk y un escalar K k.A =kAx ĩ +KAy ĵ +kAzk
Multiplicación de un Vector por un Vector de tal manera que se obtenga un escalar
Cuando se multiplique una cantidad vectorial por otra cantidad vectorial se debe distinguir entre el producto escalar( que se representa por un punto) y el producto vectorial ( que se representa con una cruz).
Ejemplo:
Dados dos vectores
A=Ax ĩ +Ay ĵ +Azk y B= Bx ĩ +By ĵ +Bzk
El producto escalar se denota A.B cuyo resultado es un numero real
Es equivalente a decir la magnitud de A por La magnitud de la proyección B
sobre A, ó la proyección de A sobre B por la magnitud de B. Luego A.B= A.B cos
Donde
B
.
Teniendo en cuenta que el producto escalar de
ĩ. ĩ = ĵ. ĵ =kk=1
ĩ. ĵ = ĵ k=k ĵ =0
Ejemplo
W= Trabajo ( escalar)
F= Fuerza (vector)
S=Desplazamiento ( vector)
W= F.S
Multiplicación de dos vectores de tal manera que se obtenga otro vector
El producto vectorial de dos vectores A y B se escribe A x B y el resultado es otro vector C
Ax B = C
Su magnitud C=AB sen siendo el ángulo entre A y B, el sentido se determina por la regla de la mano derecha.
ĩ ĵ k
Ax Ay Az
AxB= Bx By Bz
Ejemplo:
= Momento de una fuerza (vector)
r = Posición (vector)
F =Fuerza (vector)
Al multiplicar vectorialmente (producto cruz) dos vectores se obtiene un vector
= rx F
MEDICIÓN
Es una técnica que se utiliza para determinar el valor numérico de una
propiedad física comparándola con una cantidad patrón que se ha adoptado
como UNIDAD.
Hay cuatros magnitudes fundamentales independientes. Longitud, tiempo,
El Metro: ( abreviado m) es la unidad de longitud. Es igual a la distancia
recorrida por la luz en el vació en un tiempo de 3.335640x10-9s
El Kilogramo: (abreviado Kg) es la unidad de masa .Está definido como la
masa del kilogramo prototipo Núm 1( bloque de platino) o kilogramo
internacional, para fines prácticos es igual a la masa de 10-3 m3 de agua destilada a 4° C.
1uma (unidad de masa atómica) =1,66x10-27 kg
El Segundo: ( abreviado s) es la unidad de tiempo, se define como el lapso
en que transcurren 9992631700 periodos de la radiación correspondiente a
cierta transición del átomo de 133 Cs
El Coulomb : ( abreviado C) es la unidad de carga eléctrica
UNIDADES Y CANTIDADES FÍSICAS COMPLEMENTARIAS DESI
Cantidad Física Nombre de la Cantidad Símbolo
longitud metro m
Masa Kilogramo Kg
Tiempo Segundo S
Corriente Eléctrica Ampere A
Temperatura termodinámica Kelvin K
Cantidad de Sustancia mol mol
Frecuencia hertz HZ
Energía Joule J
Fuerza Newton N
Presión Pascal Pa
Potencia Watt W
Carga Eléctrica Coulomb C
Potencial Eléctrico Volt V
Resistencia Eléctrica ohm
Capacitancia farad F
Inductancia Henry H
Flujo Magnético Weber Wb
Algunos Factores de Conversión de longitud 1m=39,37in=3,28ft=1,904 yardas
1mi=5280ft=1609,4m 1al=9,461x1015 m 1in=2,54cm Donde: in= Pulgadas Ft=Pie
mi= Millas al=año luz
Algunos Factores de Conversión de Masa
1Slung=14,59kg 1 Tonelada(T)=103 kg 1 kilogramo(Kg)=103 g
1kilogramo(Kg)=2,205 lb( libra masa)
Algunos Factores de Conversión de Tiempo 1 dia = 24 Horas (h)
1 Hora=60 minutos (min) 1 min =60 segundos (s) 1 Hora =3600 segundos (s)
PREFIJOS PARA POTENCIAS DE 10
Múltiplo Prefijo Abreviatura
1018 EXA E
1015 PETA P
1012 TERA T
109 GIGA G
106 MEGA M
103 KILO K
102 HECTO H
101 DECA Da
100 UNIDAD
10-1 Deci d
10-2 Centi c
10-3 Mili m
10-6 Micro
10-12 Pico p 10-15 Femto f
10-18 Ato a
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME, MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMENTE ACELERADO Y LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ARRIBA
Sistemas de Referencia
Un objeto está en movimiento con respecto a otro cuando su posición,
medida en relación con el segundo cuerpo, está cambiando con el tiempo.
Por otro lado, si esta posición relativa no cambia con el tiempo, el objeto se
encuentra en reposo relativo. Reposo y movimientos son conceptos relativos, es
decir, dependen de las condiciones del objeto con respecto al cuerpo que sirve de
referencia.
Una planta y una fabrica están en reposo con relación a la tierra, pero en
movimiento con respecto al sol.
Cuando pasa un carro por una parada, decimos que está en movimiento
con respecto a la parada, un pasajero que vaya en él podría decir que la parada
se está moviendo en relación con el carro, pero en la dirección opuesta.
Para describir el movimiento, el observador debe definir un sistema de
referencia en relación con el cual se analiza el movimiento.
Un sistema de referencia puede considerarse como un objeto o conjunto de
objetos en reposo con respecto al observador, en física se utilizan sistema de
coordenadas bien sea cartesiano , esférico o cilíndricos.
Conceptos Fundamentales
Consideremos como sistema de referencia el eje de coordenadas
cartesianos x-y. Supongamos que una partícula está en el punto A en el instante t1
(Ver figura 1), su posición en el plano x-y queda determinado por el vector r1,
consideremos que en un instante posterior t2, la partícula está en el punto B, su
vector posición r2 queda determinado por un vector trazado desde el origen del
vector desplazamiento que describe el cambio de posición de la partícula
conforme se mueve del punto A al punto B es r, donde r= r2 – r1.
(Figura 1)
Trayectoria de la partícula
y
x
Por lo tanto se puede definir el desplazamiento como la variación del vector
posición r= rf - ro
Desplazamiento = Posición Final – Posición inicial Desplazamiento = Variación del vector posición
Cuando la partícula vario su posición utilizo un tiempo y el tiempo
transcurrido para el movimiento entre esos puntos es t= (tf – to) de allí se
desprende que la velocidad media de la partícula durante ese intervalo de tiempo
queda definitiva por
V =
) (
) (
scurrido tiempotran
ento desplazami t
v
Velocidad media
La cantidad V es un vector
V =
) (
) (
Escalar Vector t
v
r= r2-r1
r1
r2
t1
t2
A
Vector
Porque se obtiene dividiendo el vector desplazamiento entre el escalar tiempo.
Por consiguiente, la velocidad incluye tanto dirección y sentido como
magnitud. Su dirección y sentido son las de r y su magnitud es r/t, la magnitud
se expresa en unidades de distancias divididas entre unidades de tiempo.
La velocidad media no nos dice nada acerca de cómo fue el movimiento
entre A y B, la trayectoria puede haber sido curva o recta, el movimiento pudo
haber sido continuo o variante.
La velocidad media se refiere simplemente al desplazamiento total y al
tiempo total transcurrido.
Nota: Si la velocidad media resulta la misma en magnitud, dirección y sentido
entre dos puntos cualquiera a lo largo de la trayectoria, deduciríamos que la
partícula se había movido con una velocidad constante, esto es, siguiendo una
línea recta (dirección constante) y con una rapidez uniforme (magnitud constante)
Velocidad Instantánea:
Supongamos que una partícula se está moviendo de tal manera que su
velocidad media, medida en un gran número de intervalos de tiempos diferentes,
no resulta constante. Se dice que esta partícula se mueve con velocidad variable.
La velocidad puede variar porque cambia de magnitud o de dirección o de
sentido. Entonces tratar de determinar una velocidad de la partícula en un
instante dado cualquiera es lo que se llama velocidad instantánea.
En la figura 2 se puede observar que conforme B se va acercando al punto
A, encontramos que la relación del desplazamiento con respecto al tiempo
transcurrido, tiende a un valor límite definido, al ir haciendo cada vez más
pequeño el vector desplazamiento tiende a una dirección límite, la de la tangente a
la trayectoria de la partícula en el punto A. Este valor límite de v/t se llama
t r V
t
lim
0
La magnitud V de la velocidad instantánea se llama rapidez y es
simplemente el valor absoluto de V.
V = V = dr/dt
Como la rapidez es la magnitud de un vector, es intrínsecamente positiva.
Figura 2
Aceleración:
A menudo la velocidad de un cuerpo móvil cambia, ya sea en magnitud, en
dirección, o en ambas cosas, al efectuarse el movimiento, entonces se dice que el
cuerpo tiene una aceleración. (La aceleración de una partícula es la rapidez
con que cambia su velocidad al transcurrir el tiempo).
Supongamos que en un instante t1, una partícula se encuentra en el punto
A y se está moviendo en el plano xy con una velocidad instantánea V1, y en un
instante posterior t2 se encuentra en el punto B y moviéndose con una velocidad
instantánea V2.( ver figura 3) Figura 3 y
x y
At1
B’’ t2’’
B’ t2’ B
t2 r2’
r2 r’’2
r’’’
A v2
v2 t2 B
r’
r’’
r’’’
La aceleración media a, durante el movimiento de A a B, se define como el cambio de velocidad dividido entre el intervalo de tiempo, o sea,
a =
t v t t
v v
1 2
1 2
La cantidad a es un vector, porque se obtiene dividiendo un vector V
entre un escalar t. por consiguiente, la aceleración se caracteriza por magnitud,
dirección y sentido. Su dirección es la dirección de V y su magnitud es V/t
Aceleración Instantánea:
Si una partícula se esta moviendo de tal manera que su aceleración media,
medida en varios intervalos de tiempo diferentes, no resulta constante, se dice que
la partícula tiene una aceleración variable.
La aceleración puede variar en magnitud, en dirección, o en ambas cosas la
aceleración de la partícula en un instante cualquiera se denomina aceleración
instantánea.
La aceleración instantánea se define por la expresión.
a =
dt dv t v
t
lim
0 1
La dirección de la aceleración instantánea a es la dirección límite del
cambio vectorial de la velocidad v. la magnitud a de la aceleración instantánea
es simplemente a=dv/dt. Cuando la aceleración es constante, la aceleración
instantánea es igual a la aceleración media. t1
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
La característica fundamental de un Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U)
es que su velocidad (Vector) es constante y por lo tanto su trayectoria es una línea
recta.
Es necesario recordar que la velocidad es un vector, por lo tanto posee
módulo, dirección y sentido.
Ejemplo 1
Consideremos un automóvil que se desplaza a través de una carretera,
como lo indica la figura 4.
Figura 4
Parte del punto A, donde Xo = O m y sigue su trayectoria en línea recta
sucesivamente hasta el punto F, donde Xr = 125m
Si se analiza cada tramo, encontramos que:
En el tramo “AB”
Xo = Om
Xf = XB = 25m
to = 0S
Xo Xo=25m Xc= 50m Xo=75m Xo=100m Xf=125m
A B C D E F A
V VB VC VD VE VF
XAB=25m
tf = tB =2S
Recordando que velocidad = Desplazamiento
Tiempo Velocidad = to t X X f f 0
VAB = m s
om m / 5 , 12 05 25 25
Característica de la velocidad en el tramo AB es:
Módulo = 12,5 m/s
Dirección = Horizontal
Sentido = Hacia la derecha
En el tramo BC
Xo= XB= 25m
t r V t x
Xf = Xc = 50m
to = tB= 2S
S S m m to t Xo X V f f 2 4 25 50
tf= tc= 4S = 12,5 m/s
Característica de la velocidad en el tramo Bc
módulo = 12,5 m/s
Dirección = Horizontal
Sentido = Hacia la derecha
TRAMO CD
Velocidad tramo CD
Xo = Xc = 50 m
Xf= XD =75m
to t Xo X V f f
tr = tp= 6S m s S
S m m
V 12,5 /
4 6 50 75
Característica de la velocidad en el tramo CD
Módulo = 12,5 m/s
Dirección = Horizontal
Sentido = Hacia la derecha.
TRAMO DE
Velocidad tramo de DE
Xo= XD= 75m
t r V to t x x f f 0
X1 = XE = 100m
to = tD= 6S m s
S S
m m
V 12,5 /
6 8 75 100
tf= tc= 8S = 12,5 m/s
Característica en el tramo de módulo = 12,5m/s
Módulo: 12,5m/s
Dirección = Horizontal
Sentido = hacia la derecha.
Tramo EF
Xo= XE= 100m
t r V to t x x f f 0
Xf = Xf = 100m
to = tE= 8S m s
S S
m m
V 12,5 /
8 10 100 125
tf= tf= 10S = 12,5 m/s
Característica de la velocidad en el tramo EF
En resumen comparando cada tramo se concluye que el automóvil,
mantuvo su velocidad constante, ya que su módulo, dirección y sentido no
variaron en ningún tramo, por lo tanto el automóvil posee un Movimiento
Rectilíneo Uniforme.
Si graficamos los valores de las distancia recorrida en cada tramo en función de su
tiempo empleado para cada uno encontramos que:
Distancia (m) Tiempo (s)
0m OS
25m 2S
50m 4S
75m 6S
100m 8S
125m 10S
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20 Y
X (m)
180
Xo YoXf
Yf Gráfica 1
La recta en la gráfica 1 nos indica que existe una relación directa entre las
distancia recorrida y los tiempos empleados.
Buscando la pendiente en la gráfica encontramos que
m= Pendiente
1 2
1 2
X X
y y m
m= 125m – 50m = 12,5 m/s
105 - 45
La pendiente representa la velocidad del cuerpo.
De la gráfica podemos concluir que un cuerpo realiza movimiento rectilíneo
uniforme cuando recorre distancia iguales en intervalos de tiempo iguales.
Con los datos de la primera gráfica se puede construir una segunda gráfica, pero
ahora relacionando velocidad en función del tiempo.
Velocidad (m/s) Tiempo (s)
12,5m/s OS
12,5m/s 2S
12,5m/s 4S
12,5m/s 6S
12,5m/s 8S
12,5m/s 10S
Gráfica 2
V(m/ s)
y
20 12,5 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t(s)
X
La gráfica 2 resultante es una recta paralela al eje de las X, su pendiente vale
cero.
Recordando que
m= pendiente
1 2
1 2
X X
y y m
45 65
/ 5 , 12 / 5 , 12
m s m s
m
m=0m/S2
Las unidades nos indica que la pendiente representa la aceleración, de allí
concluimos que en un Movimiento Rectilíneo Uniforme, no existe aceleración,
porque la velocidad se mantiene constante.
En la gráfica N° 2, se puede determinar la distancia total recorrida por el auto para
el ejemplo
Gráfica 2
El área que está debajo de la gráfica es un rectángulo
= base x altura
= 10S x 12,5 m = 125m
S V(m/
s) y
12,5
15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 t(s)
X
Está área (125m) es numéricamente igual a la distancia total recorrida.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO Ejemplo 2
Consideremos un vehículo que se desplaza por una carretera en línea recta como
lo indica la figura 5
Figura 5
A continuación analizaremos cada tramo para determinar las características de la
velocidad.
En la gráfica se puede ver que el tiempo en cada punto va variando de 1 segundo,
pero las distancias recorridas no son proporcionales con el tiempo.
Tramo AB
Xo = XA=om
Xf = Xb=1,5m
to = tA=oS
tf = tB=1S
Como
t X V
Xo XB=1,5m Xc= 6m XD=13,5m Xo=100m
A B C D E
VB VC VD VE
t x V
Vo f
2
Si el cuerpo partió de reposo, entonces su velocidad inicial vale cero.
t x V
VoA B
2
VB=
A o r o r Vo t t X X 2VB= m s
s m Om m / 3 2 / 0 15 5 , 1
Característica de la velocidad den el tramo AB Módulo = 3m/s
Dirección: Horizontal
Sentido: Hacia la derecha
Tramo BC
Xf= Xc= 6m
Xo= XB= 1,5m
tr= tc= 25
to= tB= 1S
Vo= VB= 3m /S
B C B C C B t t X X V V 2
VC= B
B C B c V t t X X 2
Vc= 9m/s – 3m/s = 6m/s
Característica de la velocidad en el tramo BC Módulo = 6m/s
Dirección= horizontal
Sentido= hacia la derecha
Tramo CD
XO= Xc= 6m
X1= Xd= 13,5m
to= tc= 25
tr – tD= 3S
Vo= VC= 6m /S
t X V o r r o r t t X X V V 0 2 C D C D C D t t X X V V 2
VC= C
VB= m s S S m m / 6 2 2 3 6 5 , 13
Vo= 15m/s – 6m/s = 9m/s
Característica de la velocidad en el tramo CD
Módulo = 9m/s
Dirección= horizontal
Sentido= hacia la derecha
Tramo DE XO= XD= 13,5m
Xr= XE= 24m
to= tD= 3S
tr – tE= 4S
Vo= VD= 9m /S
t X V o r r o r t t X X V V 0 2 o E o E D E t t X X V V 2
VE= m s
S S m m / 9 2 3 4 5 , 13 24
Vo= 21m/s – 9m/s = 12m/s
Característica de la velocidad en el tramo DE
Módulo = 12m/s
Cuando se revisa todos los tramos por los cuales paso el vehículo y se compara
las velocidades, se puede observar, que las velocidades se mantuvieron constante
en dirección y sentido pero su módulo vario, por lo tanto el sistema está acelerado,
basta que cambie al menos una característica del vector velocidad para que se
produzca una aceleración.
En la figura 6, se puede observar que la velocidad aumenta cantidades iguales en
intervalos de tiempos iguales
Figura 6
VA=om/s
Ahora se analizará su aceleración en cada tramo
Tramo AB
Vo=VA= om/s
o r
o r
t t
V V t V a
Vr=VB=3m/s
to=tA=OS 3 / 2
1
/ /
3
s m OS
S
s om s m
a
tr=tB=1S
Característica de la velocidad en el tramo AB Módulo: 3m/S2
Dirección: Horizontal
Sentido: Derecha
VB=3m/s Vc= 6m/s VD=9m/s VE=12m/s
V V V V
Tramo BC
Vo=VB= 3m/s
o f o f t t V V t V a
Vr=VC=6m/s
to=tB=1S 3 / 2
1 2 / 3 / 6 s m S S s m s m a
tr=tC=2S
Característica de la aceleración en el tramo BC Modulo: 3m/s2
Dirección : Horizontal
Sentido: Derecha
Tramo CD
Vo=VC= om/s
o f o f t t V V t V a
Vr=VD=9m/s
to=tC=2S 3 / 2
2 3 / 6 / 9 s m S S s m s m a
tr=tD=3S
Característica de la aceleración en el tramo CD Módulo 3m/S2
Dirección: Horizontal Sentido: Derecha
Tramo DE
Vo=VO= 9m/s
o r o r t t V V t V a
Vr=VE=12m/s
to=tD=3S 3 / 2
tr=tE=4S
característica de la aceleración en el tramo DE
Modulo: 3m/s2
Dirección : Horizontal
Sentido: Derecha
Comparando las aceleraciones del vehículo en cada tramo, se observa que
la aceleración se mantiene constante tanto en módulo, como en dirección y
sentido.
Si observamos la figura 6, se puede concluir que para que exista un Movimiento Rectilíneo Uniformemente acelerado o retardado su velocidad debe aumentar o disminuir cantidades iguales en intervalos de tiempos iguales y, su trayectoria debe ser una línea recta.
Gráfica de distancia en función del tiempo de la Figura 5
Distancia (m) t (segundo)
0m t1=OS
1,5m t2=1S
6m t3=2S
13,5m t4=3S
Gráfica 4
Si se eleven al cuadrado los tiempos
Distancia (m) t (segundo2)
0m OS2
1,5m 1S2
6m 4S2
13,5m 9S2
24m 16S2
26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 X(m)
0 1S 2S 3S 4S 5S t(s)
Distancia en función del tiempo
Gráfica 5
La gráfica 5 nos indica que existe una proporción directa de la distancia con los
tiempos al cuadrado, determinando la pendiente.
m= pendiente
m=
1 2
1 2
X X
y y
m= 2
2
2 1,5 /
4 9
6 5 , 13
s m S
S
m m
como la X t2
X= kt2 , si m es igual a K donde K= a
2 1 28
26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 X(m)
0 2S2 4S2 6S2 8S2 10S2 12S2 14S2 16S2 t(S2)
Distancia en función del tiempo al cuadrado
y2
=m
x2
y1
Sustituyendo
1,5m/s2= a
2 1
2( 1,5m/s2) = a 3m/s2=a
Si graficamos los datos obtenidos en la figura 6
Velocidad (m/s) Tiempo S
0m/s OS
3m/S 1S
6m/S 2S
9m/S 3S
12m/S 4S
Gráfica 6
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 V(m/S)
Velocidad en función
x2 y2
y1
x1
En la gráfica Nº 6 vemos que existe una relación directa de la velocidad en función
del tiempo, además se puede observar que la velocidad aumenta cantidades
iguales en los intervalos de tiempo iguales.
Determinado la pendiente
m= 1 2
1 2
x x
y y
m= 2
/ 3 1
4
/ 3 / 12
s m S
S
s m s m
Las unidades nos indica que se trata de la aceleración
Se tiene que V t
V = Kt
Como el vehículo partió del reposo Vo= Om/s
Vf= Vo + at
V = at
Donde la pendiente representa la aceleración y se trata de una aceleración
constante.
En la gráfica N° 6, se puede determinar el área.
Gráfica 6
El área bajo la gráfica es un triángulo área de un triángulo
Base x altura
Área = 4 x 12 = 24
2
El área de la gráfica de la velocidad contra el tiempo es numéricamente
igual a la distancia total recorrido por el vehículo en el ejemplo 2. 12
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Y V(m/s)
0 1S 2S 3S 4S 5S 6s t(S)
Deducciones de las ecuaciones para un movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado
Cuando la aceleración media es igual a la aceleración instantánea, el
cuerpo posee una aceleración constante, como consecuencia, la velocidad
aumenta o disminuye con la misma rapidez, en todo el movimiento.
Sabemos que:
o f
o f
t t
v v a
Por conveniencia, sean t1=0 y tf cualquier instante arbitrario. También, sea
Vi = Vo (la velocidad inicial en t=0 ) y Vf=V (la velocidad en cualquier instante
arbitrario t) se puede expresar la aceleración como:
t Vo V
a
V = Vo + at (despejando)
Una característica del movimiento unidimensional con aceleración
constante, es el hecho de que dado que la velocidad varía linealmente con el
tiempo (ver gráfica 6), se puede expresar la velocidad media en cualquier intervalo
de tiempo como la media aritmética de la velocidad inicial( Vo) y la Velocidad final
( V)
2
V Vo
V (velocidad media para aceleración constante)
Esta expresión sólo es válida cuando la aceleración es constante, es decir,
cuando la velocidad varía linealmente con el tiempo.
Como velocidad media se puede expresa de la siguiente manera:
t x V
t V x
(despejando el desplazamiento)
t V Vo
x
2 (sustituyendo la velocidad media)
pero V = Vo + at (Esta ecuación representa la velocidad final de la partícula en
función del tiempo)
sustituyendo a la velocidad final en la ecuación del desplazamiento , tenemos:
2 ) (Vo Vo at t
x
Vo at
tx
2
2 1
) 2
( 2
1 2
at Vot
x
Xf-Xo=Vot+ 2
2 1
at
2
2 1
at Vot Xo
Esta ecuación representa la posición de la partícula en cualquier instante
Se puede obtener otra expresión útil que no contenga al tiempo
t V Vo Xo
X ( )
2 1
como V= Vo+at
Despejando a “t”
t a
Vo V
Sustituyendo en la primera expresión
a Vo V V Vo Xo
X ( ) 2
1
VoV Vo V VVo
a Xo
X 2 2
2 1
) (
2
1 2 2
Vo V a Xo
X
2 2
) (
2a X Xo V Vo
x a Vo
V2 22
Esta ecuación representa la velocidad final de la partícula en función del
RESUMEN DE LAS ECUACIONES Para un Movimiento Rectilíneo Uniforme
Como la velocidad es constante, no existe aceleración en el sistema, la única
expresión matemática es:
dt dx V o
t x
V
donde
V= Velocidad (m/s)
X= Distancia (m)
t= Tiempo (s)
Para un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado
Para este tipo de movimiento, la aceleración se mantiene constante, y la
velocidad puede aumentar o disminuir linealmente en función del tiempo por lo
tanto se puede tener un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado o un
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Retardado.
Si VF Vo se tiene Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado
Si Vo Vf se tiene Movimiento Rectilíneo Uniformemente Desacelerado
Las ecuaciones son
VF= Vo a t
Vf2 = Vo2 2ax
2
Vf Vo
V
t X V
t Vf Vo
V
Xf= Xo+Vot 2 2 1
at
Se utiliza el signo más si se trata de un Movimiento Rectilíneo Acelerado y
signos menos si se trata de un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Retardado
leyenda:
Vf= Velocidad final (m/s)
Vo = Velocidad Inicial ((m/s)
a= Aceleración constante (m/s2)
X= Variación del desplazamiento (m)
V = Velocidad Media (m/s)
t= Tiempo empleado
Resolución de Ejercicios
1) El movimiento de una partícula está definido por la
relación 1,
5 2 4
5 5 3 2
t t t
X , donde X está expresado en metro y t en
segundo. Determine a) la posición de la partícula para t1= 0S y t2= 1S b) El
desplazamiento de la partícula entre t2 y t1 c) La velocidad media entre t2 y t1
d) la velocidad instantánea para t1=0s y t2=1S e) la aceleración promedio para
el tiempo t2 y t1 f) La aceleración instantánea para t1=0S y t2=1S
Procedimiento
a) La posición de la partícula en cualquier instante viene dada por la relación,
, 1 5 2 4
5 5 3 2
t t t
X si se quiere determinar su posición en cualquier tiempo,
simplemente se sustituye los valores del tiempo dado en la expresión dada.
Para t1=0S
, 1 5 2 4
5 5 3 2
t t t
Posición X1
X1= (0) 1m
5 2 ) 0 ( 4 ) 0 (
5 5 3 2
X1=-1m
Posición X2, para t2 = 1S
X2= (1) 1m
5 2 ) 1 ( 4 ) 1 (
5 5 3 2
X2= 1m
5 2 4 5
X2= 0,4m
b) El Desplazamiento entre t2 y t1
Como desplazamiento = Variación del vector posición
X= Xr - Xo
Desplazamiento = posición final – posición inicial
Sustituyendo
X=(0,4m) – (-1,0m)=
X= 0,4m + 1m = 1,4m
c) La velocidad media V entre t2 y t1
V = Variación del vector posición
Variación del tiempo
0
1 t
t X X
V r o
S m S S m m
V 1, /
d) Velocidad instantánea para t1= 0S y t2=1S
V=
dt dx
Derivada de la posición en cualquier instante
En función del tiempo
Velocidad Instantánea
Sustituyendo
V =
dt t t
t
d 5 5 4 3 2/5 2 1
V= (25t4-12t2+4/5t) m/s representa la velocidad en cualquier instante evaluando para t1=0S, en la ecuación anterior, se sustituye tiempo por OS.
V= 25(0)4-12(0)2+4/5(0)m/s V= 0 m/s
Para t2=1S
V= 25(1)4-12(1)2+4/5(1)m/s V= (25-12+4/5) m/s
V= 13,8 m/s
e) La aceleración media entre t2 y t1
a= V Variación de la velocidad
t Variación del tiempo
Sustituyendo
a = Vf-Vo = (13,8m/s) – (0 m/s) = 13,8 m/S2
tf-Vo 1S – 0S
f) La aceleración instantánea para t1=0S y t2= 1S
a= dv derivada de la velocidad en cualquier instante
aceleración instantánea
sustituyendo
a=
dt
t t
t
d 25 4 12 2 4/5
a= (100t3-24t+4/5) m/s2
está representa la aceleración en cualquier instante para el ejercicio dado
luego la aceleración para t1=0S y t2=1S, se consigue sustituyendo el tiempo para
cada valor.
Para t1= 0S
a= 100(0)3-24(0)+4/5m/s2 a=0,8 m/s2
para t1= 1S
a= 100(1)3-24(1)+4/5m/s2
a= (100-24+4/5) m/s2 = 76,8 m/s2
2) El movimiento de una partícula está definido por la relación
, ) 8 30 2 5 3 5 (
2 3
ft t t
t
X donde X está expresada en pies (ft) y t en segundos.
Determine el tiempo, la posición y la velocidad cuando la aceleración es
cero.
Procedimiento
a) 30 8) ,
2 5 3 5 (
2 3
ft t t
t
b) Velocidad se obtiene derivando la posición en cualquier instante en función del
tiempo.
V=
dt dx
Sustituyendo
, 8 30 2 / 5 3 /
5 3 2
dt
t t t
d
V
V= (5t2-5t-30) m/s, está expresión representa la velocidad en cualquier instante
c) La aceleración se obtiene derivando la velocidad en cualquier instante en
función en tiempo.
a= dv
dt
sustituyendo
dt t t d
a 5 5 30
2
a = (10t – 5) m/s2
, esta expresión representa la aceleración en cualquier instante.
Como el ejercicio dice que determine la posición y la velocidad cuando la
aceleración vale cero, entonces se iguala a aceleración en cualquier instante a
cero y de allí se despeja el tiempo.
a= 10t – 5
0=10t –5, se despeja el valor del tiempo
5 = t, luego t= 0,5S
cuando el tiempo vale 0,5 S, la aceleración se hace cero.
Una vez obtenido el tiempo, se evalúa la posición y la velocidad para t= 0,5S
a= Posición en cualquier instante
X= t t t ft
8 30 2
5 3
5 3 2
Para t= 0,5S
X= ft
8 ) 5 , 0 ( 30 ) 5 , 0 ( 2 5 ) 5 , 0 ( 3
5 3 2
X= (0,21-0,61-15+8) ft
X= (8,21-15,01) ft = -7,4 ft
b) La velocidad en cualquier instante
V= (5t2 –5t-30) m/s Para t= 0,5S
V= [5(0,5)2-5(0,5)-30] m/s
V= (1,25 – 2,5 –30) m/s
V= -31,25m/s
3) Un adolescente tiene un auto que acelera a 3,20 m/s2 y desacelera
a-4,5m/s2. en un viaje a la tienda, acelera desde el reposo hasta 12 m/s, maneja
a velocidad constante durante 5,0S y luego se detiene momentáneamente en
una esquina. Acelera después hasta 18m/s, maneja a velocidad constante
durante 20S, desacelera durante 8/3S, continua durante 4,0S a está velocidad
y después se detiene. a) Cuanto dura el recorrido? b) ¿Qué distancia
recorre? c) ¿Cuál es la velocidad promedio del viaje? d) ¿Cuánto tardaría se
Procedimiento
Lo primero que se debe hacer, es realizar un esquema de lo expuesto
anteriormente
Lo que se debe hacer es analizar cada tramo, y buscar el tiempo y la distancia en
cada uno de ellos.
Tramo AB
Allí se trata de un Mov. Re. Unif. Acelerado (M.R.V.A.), donde VoVf, se tiene que:
Vo= 0m/s
Vf= Vb= 12m/s
a= 3,20m/s2 (dado en el ejercicio, cuando acelera) Recordando que
a) Vf= Vo + at (Signo más, si es acelerado)
despejando t t= Vf – Vo
a
Tab= 12m/s – 0m/s = 3,75s
3,20m/s2
b) Vf2= Vo2 + 2xa (Despejando la distancia)
X = Vf2-Vo2
2a
Vo=om/s VB=12m/s Vc=12m/s Vo=0m/s VE=18m/s VF=18m/s VG=? VH=VG VF=0m/s
Punto de Partida
Tienda punto de llegada
Xab= (12m/s)2 – (0m/s)2
2(3,20m/s2)
Xab= 22,5m
Otra ecuación que se puede utilizar
Xab= Xo + Vot + 1 a t2ab
2
Tramo BC
La particular se desplaza con velocidad constante desde el punto B hasta el punto
C, por lo tanto posee un M.R.U.
V = X X= Vt
t
Xbc= 12m/s 5s =60m
tbc= 5,0S (lo da el ejercicio)
Tramo CD
El vehículo desacelera hasta que se detiene por lo tanto posee un Mov. Rect. Unif.
desacelerado.
Vo= Vc= 12m/s
Vf= VD= 0m/s
a= 4,5 m/s2 ( lo da el ejercicio, cuanto desacelera)
a) como Vf= Vo – at (el signo menos se utiliza cuando el cuerpo desacelera)
Despejando el tiempo (t)
tCD= 12m/s – 0m/s = 2,67s
4,5 m/s2
b) Vf2= Vo2 – 2xa (el signo menos, porque el mov. es desacelerado)
Despejando a “x “
X= Vo2 – Vf2 2a
sustituyendo
XCD= (12m/s)2 – (om/s)2 = 16m
2(4,5m/s2)
TRAMO DE
El vehículo parte del reposo y acelera hasta adquirir una velocidad de 18m/s. en
este tramo se tiene un Mov. Rect. Unif. Ace. (MRUA)
Donde
Vo=0m/s
Vf= VE= 18m/s
a= 3,20m/s2 (cuando el vehículo acelera, dado en el ejercicio) Vf= Vo + at despejando t
t= Vf –Vo
a
sustituyendo
tDE= (18m/s) – (0m/s) = 5,63S
3,20m/s2
b) Vf2= Vo2 + 2xa despejando x
Sustituyendo
XDE= (18m/s)2 – (0m/s)2 = 50,63m
2(3,20m/s2)
Tramo EF
El vehículo mantiene su velocidad, durante 20S, por lo tanto en este tramo se
tiene un Movimiento Rectilíneo Uniforme.
V= X X= Vt
t
XEF= 18m/s 20S = 360m
TEf=20S (dado en el ejercicio)
Tramo FG
El vehículo desacelera hasta una velocidad desconocida y el tiempo que emplea
en adquirir esta velocidad es 8/3s. en este tramo se tiene un Mov. Rect. Unif.
desacelerado
Donde
Vo= Vf= 18m/s
Vr= Vo= ?
TFG= 8/3 s
a= 4,5 m/s2 (cuando el cuerpo desacelera dado en el ejercicio)
a) Vf= Vo – at (el signo menos, es porque el Mov. es desacelerado)
VB= Vf – atFG
Sustituyendo
VG= (18m/s) – (4,5ms2) (8/3s)
b) luego
Vf2= Vo2 – 2xa despejando a “x”
XFG= (Vf)2 – (VG)2
2a
Sustituyendo
XFG= (18m/s)2 – (6m/s)2 = 32m
2(4,5m/s2)
TRAMO GH
El cuerpo mantiene la velocidad final que adquirió en el tramo anterior por 4
segundos el vehículo en este tramo posee movimiento rectilíneo uniforme. V=x/t despejando a “x”
X=v.t
XGH= 6m/s.4s =24m
TRAMO HI
El vehículo desacelera hasta que se detiene, en este tramo el vehículo posee Mov
Rect. Unif: desacelerado
Vo=VH=VG=6m/s
Vf=VI=0m/s
a=4,5m/s2 (dado en el ejercicio cuando desacelera) como:
Vf=Vo-at (Despejando el tiempo)
T=Vo-Vf
a
Sustituyendo:
t= S
s m
s m s m
34 , 1 /
5 , 4
/ 0 / 6
2
Vf2= Vo2 –2xa X= a V Vo f 2 2 2
X=
) / 5 , 4 ( 2 ) / 0 ( ) / 6 ( 2 2 2 s m s m s m 4 m
a)¿Cuanto dura el recorrido?
El tiempo total será igual a la suma de los tiempos en cada tramo
Tt=TAB+TBC+TCD+TDE+TEF+TFG+TGH+THI
Sustituyendo:
Tt=3,75S+5,0S+2,67S+5,63S+20S+8/3S+4S+1,34S=45,06S
b) ¿ Qué distancia recorre?
Xt=XAB+XBC+XCD+XDE+XEF+XFG+XGH+XHI
Sustituyendo
XT=22,5m+60m+16m+50,63m+360m+32m+24m+4m=569,13m
c) Cuál es la velocidad promedio del viaje?
s m s m t X
V 12,63 /
06 , 45 13 , 569
d) ¿Cuánto tardaría si caminaría a la tienda y regresa a ese mismo modo a 1,5
m/s?
Supongamos que la persona camina a un ritmo moderado, de ser así
tendría, un Movimiento Rectilíneo Uniforme al llegar a la tienda y un Movimiento
Rectilíneo Uniforme al regresarse de la tienda.
Como V= X
y la distancia desde donde comienza el vehículo a la tienda la tenemos que es
569,13m, despegamos el tiempo
t= X= (569,13m) = 379,42s
V (1,5m/s)
Se tardaría en ir y en venir el doble
tT= 2(379,425) = 759s
4) Un automóvil que está parado en un semáforo acelera a 2,80 m/s2 al
encenderse la luz verde, 3,10 segundos después, un camión que se mueva a
una velocidad constante de 80,0 km/h se rebasa el automóvil.
El automóvil mantiene una aceleración constante hasta llegar a la velocidad
de 104 km/h y continua entonces a esa velocidad ¿Cuánto tiempo pasará
desde que se prendió la luz verde hasta que el automóvil se rebase al
camión? ¿estará el automóvil acelerado todavía o ya se moverá a velocidad
constante?
Se hace un esquema
y
X
Inicialmente el automóvil está en reposo, y a los 3,10 segundos de haber
acelerado, un camión que viaja a velocidad constante pasa al auto.
Se tiene que para el automóvil
Vo= 0m/s
a=2,80 m/s2 t= 3,10s
Durante ese tiempo el auto avanzo una distancia Xo1
Como Vf2= Vo2 + 2xa (signo + porque es el Mov. es acelerado) Despegando a “x”
Xo1= Vf12-Vo2
2a
Pero Vf1= ?
Vf= Vo + at
Vf1= 0m/s+(2,80m/s2) (3,10s)
Vf1= 8,68 m/s
Sustituyendo en X01
X01= (8,68m/s)2 – (0m/s)2
2(2,80m/s2) X01= 13,5 m
Ubicando ambos en un esquema para el tiempo 3,10s
s om
Vo / V1 8,68m/s
s m Vc 22,22 /
El automóvil mantiene su aceleración hasta alcanzar una velocidad de 104km/h y
a partir de allí conserva esa velocidad.
Ahora el automóvil utilizo un tiempo para adquirir esta velocidad.
Utilizando la expresión
Vf= Vo + at
Vf= V1 + at despejando t
t= Vf – V1 sustituyendo
(MRUA)
(MRU) 13,5m
t= (28,88m/s – 8,68 m/s)
2,80m/s2
t= 7,21S
y durante este tiempo el auto avanzo otra distancia.
Vf2= Vo2 + 2xa despejando a “x”
X= Vf2 – VA2
2a
X= (28,88m/s2) – (8,68 m/s)2 2(2,80m/s2 )
Xauto= 135, 48m
Xauto = 135,5m
XT= X01 + 135,5m = 13,5m + 135,5m = 149m
Otra forma de calcular la distancia total, desde el origen hasta que adquirió su
velocidad de 28,88m/s
X= Xo + Vot + 1 at2 2
X= 13,5m+ (8,68m/s) (7,21s) + 1 (2,80m/s2) (7,21S)2 2
X= 13,5 m + 62,58m + 72,77m
X= 148,85m
X= 149m
Para el camión que posee Movimiento Rectilíneo Uniforme
V= X/T despejando X= Vt
X= 22,22m/s . 7,21S
XTC= 13,5m + 160,20m = 173,7m
Y haciendo nuevamente el esquema.
Ahora ambos, se mueven a velocidad constante. Tomando como punto de
referencia el origen se tiene que la distancia que recorre el auto desde el origen al
punto de encuentro es exactamente igual a la distancia del origen del camión al
punto de encuentro.
Xta = XTC
Distancia total = Distancia total
del auto del camión
la distancia faltante se puede reemplazar utilizando la ecuación V= X
t
despejarlo X
X= Vt (Solamente para MRU)
149 + Vat = 173,m + Vct
ambos deben utilizar el mismo tiempo para llegar al punto de encuentro;
sustituyendo las velocidades de cada uno
149+28,28t= 173,7 + 22,22t
s m V 28,28 /
(MRU) 149m
Vo=0m/s
173,7m
s m V 22,22 /
X’’
Punto de encuentro
149-173,7 = 22,22 t – 28,28t -24,7= (22,22 – 28,28) t
-24,7 = -(6,06) t
Despejando al tiempo
-24,7 t
-6,06
t= 4,07s
es el tiempo que tarda ambos en llegar al punto de encuentro, a partir del
momento en que ambos poseen velocidad constante o Movimiento Rectilíneo
Uniforme.
Como ya se encontró el tiempo, se puede determinar las distancias total de ambos
Xtauto= 149m + 28,28m 4,07 s
s
Xtanto= 264,1m
Xtcamión= 173,7m + 22,22m 4,07 s
s
Xtcamión= 264,1m
Comprobando que Xtc= Xta
El tiempo total, que transcurrió desde el origen del sistema de coordenada hasta el
punto de encuentro es:
tT= 3,10S + 7,21S + 4,07S
5) Desde un punto A se desplaza un vehículo a 80km/h y desde un punto B
se desplaza en sentidos contrario otro vehículo a 60km/h, la separación
entre A y B es de 560km calcular a) El tiempo que tarda en encontrarse b) La
distancia de A al punto de encuentro
Esquema
A VOA 22,22m/s VoA VoB= 16,66m/s B
XA 560.000 - XA
560.000m
ambos vehículos poseen Movimiento Rectilíneo Uniforme, ya que sus velocidades
se mantienen constante en módulo, en dirección y en sentido.
El tiempo que emplea el auto A en llegar al punto de encuentro, debe ser el mismo
tiempo que emplea el auto B en llegar a ese mismo punto
Tap= TBp= t
Para el cuerpo A para el cuerpo B
V= X V= X
t t
X= Vt XB= VBt
XA= Vat 560.000m - XA= VBt
Sustituyendo XA en la ecuación del cuerpo B
560.000m – XA = VBt
560.000m – VAt = VBt
agrupando términos
560.000m= VBt + Vat (Sacando factor común t) Punto de encuentro
560.000m= (VB + VA) t
Sustituyendo valores
560.000m= (16,66m/s + 22,22m/s) t
560.000m= (38,88m/s) t
despejando al tiempo
t= 560.000m = 14,40x103s 38,88m/s
este el tiempo que tardan ambos en cruzarse
luego XA= VAt
XA= 22,22 m/s 14,40m x 103s
XA= 320 X103m
XB= VBt
XB= 16,66m/s 14,40 x 103s
XB= 239,90 x 103m = 240 x 103m
Luego XT= XA + XB
XT= 320 x 103m + 240 x 103m
6) Una particular se mueve con aceleración constante y recorre el espacio
que separa dos puntos distantes de 54m en 6S su velocidad cuando pasa
por el segundo punto es de 13,5m/s ¿Cuál es su aceleración y velocidad en
el primer punto?
Esquema
Partiendo de la velocidad media V
t X V
Como la aceleración es constante, la velocidad media, se pudo expresar como
media aritmética de la velocidad inicial y final.
2
Vf Vo
V
desde el punto 1 hasta el punto 2 para el ejercicio la Vo = V1 (en el punto 1) y la
Vf= V2 (en el punto 2)
sustituyendo t X V t X Vf Vo 2 t X X V V
2 2 1
1
2
Despejando la velocidad en el punto 1
1 2
2 V X
X
V
Punto Punto
1 2
V2= 13,5 m/s
t12= 6S
(0,0) X12=54m ?
Sustituyendo,
m ss s
m m
V 13,5 /
0 6 2 0 54 1
V1= 4,5m/s
Como la aceleración es constante, va a tener el mismo valor en cualquier punto.
Por lo tanto desde el punto 1 hasta el punto 2.
Vf= Vo + at (V2 > V1)
V2= V1 + at12 despejando la a
12 1 2 t V V
a
sustituyendo los valores
2 / 5 , 1 6 / 5 , 4 / 5 , 13 s m s s m s m
a
si la partícula partió del reposo, ¿cuál es su distancia total desde ese punto
(origen) hasta el punto 2 ?
Viendo el esquema, desde el punto 0 hasta el punto 1
Vo= 0m/s
Vf = V1= 4,5 m/s
a= ctte = 1,5 m/s2
como Vf = Vo + at despejando t
a Vo V t01 1 sustituyendo s s m s m s m t 3 / 5 , 1 / 0 / 5 , 4 2 01
2
X01= 0m + 0m/st + 1/2 (1,5m/s2) (3s)2
X01= 6,75m
Desde el punto 1 al punto 2
Vf22= V12 + 2X12 a despejando X12
a V Vf X
2 2 1 2 2 12
sustituyendo
) / 5 , 1 ( 2
) / 5 , 4 ( ) / 5 , 13 (
2
2 2
12
s m
s m s
m
X
X12= 54m
Entonces
XT= X01 + X12
XT= 6,75 m + 54m
XT= 60,75m
Otra manera de determinar XT
XT= Xo + Vot + 1 a tT2
2
donde tT= t01 + t12
tT = 3s + 6s = 9s
sustituyendo el valor de t
XT= 0m + om/st + 1 (1,5m/s2) (9s)2
2
7) El tiempo de reacción de un conductor medio de un automóvil es
aproximadamente 0,75 (el tiempo de reacción es el intervalo que transcurre
entre la percepción de una señal para detenerse y la aplicación de los
frenos). Si un automóvil puede experimentar una desaceleración de 4,8m/s2.
Calcule la distancia total antes de detenerse una vez percibida la señal,
cuando la velocidad es de 30km/h.
Esquema
Analizando el ejercicio por segmento, se tiene que:
Del segmento A hasta el segmento B
Se tiene a una persona que va en un vehículo con una velocidad de 8,33m/s; ve
una señal, y tarda 0,7S en colocar los pies en el freno, pero durante 0,7s se
desplazo una distancia dada y mantuvo la velocidad
Por lo tanto desde el segmento A hasta el segmento B, posee un Movimiento
Rectilíneo Uniforme
Como V= X = X= Vt
t
XAB= VtAB
XAB= 8,33 m 0,7s = 5,83m
s
Del Segmento B hasta el Segmento C
En el punto B la persona aplica los frenos y el vehículo pierde velocidad
hasta que se detiene, pero en el momento de aplicar los frenos, el vehículo tiene
una velocidad de 8,33 m/s.
Vo= 8,33m/s
VB= 8,33m/s Vc= 0m/s
X (0,0)
A B C
Como Vf < Vo y el cuerpo además se desplaza en línea recta, se tiene un
Movimiento Rectilíneo Uniformemente desacelerado.
Recordando que: Vf2= Vo2 – 2xa (Desacelerado) Despejando a “X “
a V Vo X 2 2 1 2 BC C B BC a V V X 2 2 2 Sustituyendo ) / 8 , 4 ( 2 ) / ( ) / 33 , 8 ( 2 2 2 s m s om s m XBC
XBC= 7,23m
Luego XT= XAB + XBC
XT= 5,83 m + 7,23m = 13,06m
8. Una particular material se desplaza en línea recta con una velocidad V= (3t
+ 5) m/s, para t= 0s la partícula se encuentra en el punto Po= (2,0). Calcular:
a) La posición de la partícula en cualquier instante, b) El desplazamiento de
la partícula en el intervalo de tiempo comprendido entre t1 = 2s y t2= 5s.
Es necesario recordar que se parte de la posición de una partícula y se
deriva, se determina la velocidad de esa partícula, pero si derivamos la
velocidad obtendremos su aceleración, por supuesto todo en función del
tiempo.
X’ V’ a
Pero podemos utilizar las herramientas matemáticas para ir en un proceso
Si se integra la aceleración, obtendremos la velocidad y si integramos la
velocidad obtendremos la posición
X V a
Integrando
Integrando
En el ejercicio nos dan la velocidad en cualquier instante y nos piden la posición
X V
Por lo tanto debemos integrar la velocidad en cualquier instante partiendo de:
V = dx
dt
V dt = dx se integra en ambos lados
xfXo
dx Vdt
luego se sustituye la V por la velocidad en cualquier instante
xfXo
dx dt t 5) 3 (
xf
Xo
dx dt ctte dt
ctte
t 5
3
xfXo
dx dt
tdt 5
3
3t2 + 5t = Xf – Xo despejando Xf
2
2
pero inicialmente se tiene que Po = posición inicial
Xo=2m e Yo=0m
P = (2, 0) , sustituyendo a Xo en la ecuación XF
Xf = (2 + 3t2 + 5t) m
2
Evaluando la posición para cada tiempo
a) Posición para t1 = 2s
Xf = (2 + 3t2 + 5t) m
2
se sustituye a t por 2 s
Xf = (2 + 3(2)2 + 5(2)) m
2
Xf = 18m
b) Posición para t2 = 5 s
Xf = (2 + 3t2+5t) m
2
Se sustituye a t por 5 s
Xf = (2 + 3(5)2 + 5(5)) m
2
Xr = 64,5 m
El desplazamiento ( X) entre t1 y t2 X= Variación del vector posición
X= Xf – Xo
X= (64,5m)- (18m) = 46,5m
9) Un punto se mueve con la velocidad Vx = (5t) m/si e Vy= (t2-2) m/sj, Si para
t= 0s el móvil se encuentra en Po = (2,5) m. Calcule a) la posición, b) la
Se puede trabajar primero para un eje y luego para el otro eje.
Para el eje de las X
Se tiene Vx= (5t) m/s i
Debemos recordar que
X’ V’ a
Pero si integra desde la aceleración, se obtiene que
X V a La integral de la aceleración nos da la velocidad
La integral de la
Velocidad nos da la posición
a) Si se tiene la velocidad y se quiere buscar la aceleración, simplemente
derivamos la velocidad
V’ a’
a= dv derivamos la velocidad en cualquier instante
dt en función del tiempo
a= d (5t)
dt
a= (5m/s2) i
b) Si se tiene la velocidad y se quiere buscar la posición, se debe integrar la
velocidad
V = dx
dt
V dt = dx (se integra a ambos lados)
Vdt
dx
xfXo
dx ctte
tdt
xfXo
dx tdt
5
5t2/2= Xf – Xo despejando a Xf
Xf = (Xo + 5t2/2) m posición en cualquier instante
Pero Xo = 2 m
Xf = (2+5t2/2) m
Evaluando para t = 4s
Xf = 2 + 5(4)2 tm 2
Xf = 42m
c) La velocidad a los 4s
V = (5t) m/s , se sustituye a t por 4s
V= 5(4) m/s = 20 m/s
Para el eje de las y, se tiene que
Vy = (t2 –2) m/s j
a) Para determinar la velocidad a los 4s, solamente sustituimos a t por 4s
Vy = (4)2 - 2 m/s = 14 m/s
b) Para determinar su aceleración, derivamos la velocidad en función del tiempo.
a= dv Velocidad en cualquier instante
dt en función del tiempo
22
/ 2 2
s tm dt
t d
a
luego la evaluamos para t= 4s
a = 2(4) m/s2 = 8 m/s2
c) Para determinar su posición, integramos la velocidad
V = dx
