UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL

UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL

ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA

Profesor: Mg. Vladimiro Contreras Tito

NUMEROS REALES

1 DEFINICION.



R,,.



Se llama sistema de números reales a un conjunto no vacío provisto de dos operaciones internas la Adición(+)y multiplicación(.)que cunplen ciertas condiciones especificadas a continuación:

1. AXIOMAS DE LA ADICION: R b a R b a

A₁: ,  ,(  ) propiedad de clausura o cerradura a

b b a R b a

A₂: ,  ,    propiedad de conmutatividad )

( )

( , , ,

3 a b c R a b c a b c

A       propiedad de asociatividad a

a a

R R

a

A4   ,!0 / 00  elemento neutro aditivo 0

) ( ) ( / ) ( ! ,

5aR  a R a a  a a

A elemento inverso aditivo

3. AXIOMAS DE LA MULTIPLICACION R

b a R b a

M₁ ,  ,( . ) propiedad de clausura o cerradura a

b b a R b a

M2 ,  , .  . propiedad de conmutatividad )

. ( ) . ( , , ,

3 a b c R ab c a bc

M    propiedad de asociatividad

4 , 1 / .1 1.

M    a R R a  aaelemento neutro aditivo

1 1 1

5 , 0, ( ) / ( ) ( ) 1

M  a R a  a R a a  a a elemento inverso multiplicativo 4. PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS RESPECTO A LA ADICION

, , ,

Si a b cR entonces

1 ( )

D a b c ab ac propiedad Distributiva por la izquierda

2 ( )

D b c a ba ca propiedad Distributiva por la derecha PROPOSICIÓN

i. El cero , el uno el opuesto de a (a) y el inverso 1

(a ) son únicos. ii. a  ( a)  a

iii. Si 1 1

0 , ( )

a a a  iv. a00  a

v.   a ( 1)a  a

vi. a(  b) ( a b)  (ab) a b,  vii. (  a)( b) ab a b, 

viii. Si a c  b c  ab (ley de cancelación de la suma) ix. Si acbc c; 0  ab (ley de cancelación del producto)

x. ab0  a0  b0 (ab0  a0  b0 )

xi. 2 2

a b  ab  a b

Nota

Cociente: 1

0 a

a b b

b



 

PROPOSICIÓN

i. a b   (b a) )

ii. a b c  a b c ; c a b c a b 0 b

   

iii. a b c(  ) ab ac

iv. a c ad bc

b d bd

  

v. a c ad bc

b d bd

  

vi. Si a 0 ax b c x c b

a



     

AXIOMAS DE LA RELACIÓN DE LA IGUALDAD DE LOS NÚMEROS REALES

1. Propiedad reflexiva

Todo a es igual a si mismo.

2. Propiedad simétrica Sean a b,  .

Si ab  ba

3. Propiedad transitiva

Sean a b c, ,  .

Si ab  bc  ac

4. Principio de sustitución

Todo número real puede ser reemplazado por su igual sin alterar el valor veritativo de tal proposición.

5. REPRESENTACION DE LOS NUMEROS REALES

CONJUNTOS NUMERICOS IMPORTANTES

















3

1, 2, 3, 4, ,

, , 3, 2, 1, 0,1, 2, 3, ,

, , , 0

, , 5, 2, 2, 3, ,

/ , , 1

N números naturales

Z números enteros

a

Q a b R b números racionales b

I números irracionales

R Q I números reales

C a bi a b R i números complejos

 

 

     

 

_   _

 

   

 

    

6. INTERVALOS. Los intervalos son conjuntos de números reales que sirven para expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos se representan gráficamente en la recta numérica.

Se tienen los siguientes intervalos:

a) Intervalo Cerrado

 

a,b 



xR/a xb



b) Intervalo Abierto a,b



xR/axb



c) Intervalo Abierto en a y Cerrado en b a b, ]



xR a/  x b



d) Intervalo Cerrado en a y Abierto en b



a,b



xR/axb



e) Intervalos Semi- infinitos

i)



a,



xR/xa



ii) a,



xR/xa



iii),b







xR/xb



iv),b



xR/xb



v),



x/xR



f) Intervalo degenerado [ , ]a a 



a



EJERCICIOS CON INTERVALOS

1. Sean los intervalos:A6,12, B7,16



, C



16,.Hallar (AB)'C' 2. SiA7,3



, B3,4 yC



xR/x4



.Hallar:C'(AB)'

3. Si

 











 







 



x R x x



Hallar



A B C

 

A B C



C

x x

R x B x

x R x A

     

 

 



    

 

    



) (

) (

: .

8 , 0 2

, 5 /

10 , 4 6

, 4 /

, 8 , 0 5

4. Sean los intervalos: SiA



2,5



, B1,3



yC



xR/3x5



Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?



( )



) '

)' )(

' '

)A B ii A B C iii A B C B C A

i         

5. Se dan los conjuntos en R: A3,8



1, B,3



, C



6,. Cuáles de las afirmaciones son verdaderas?





     

        

    

 

, 8 [ ] 3 , )

3 , 8

, 6 )

)(

, 8 ) )( 7

, )

)(

A iv

B A

iii

A C ii B

A i

6. Dados los conjuntos:



x R x x x



D x

x x

R x C

x x x

x x R x B x x

x x R x A

     

    



 

    



   

 

            



 _  _{   } 

4 2 2 3

/ 4

2 3 5 4 1 2 /

1 1 4 1 3 4 2 / 1

1 2 0 2 3 /

2

Determine:

) _ ( ) )( )

( ) )( )

)(A B C ii C D A B iii A C B D

i       

7. Si



 /2 4 7



, 



 / 12  8



[1,3].

 x R x x B x R x x x C

A Cuáles de

las afirmaciones son verdaderas?



] 3 , 1

, 11 )

)(

, 8 [ ] 1 , 11 [ )

, 1 3

, 1 ) )( )

)(

  

  

       

       

 

C A iv

B A iii

C B ii B A C B i

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

1. Principio de sustitución de la adición Sean a b c d, , ,  .

Si ab  cd  a c  b d 2 Principio de sustitución de la multiplicación

Sean a b c d, , ,  .

AXIOMAS

En existe un subconjunto denotado con  llamado el de los reales positivos que satisface las condiciones:

a) Cada a , satisface una y solo una de las condiciones siguientes:

, 0 ,

a  a  a

b) Si a  y b  entonces a b   y a b 

Definición Si a b,  se dice que “a es menor que b” y se denota con “ab” si y solo si b a   .

Observaciones

La relación “mayor que” se define por: ab  ba

La relación “menor igual” denotado por “” se define como:

ab  a b ab a b c  ab  bc a b c  ab  bc Propiedades.

a) a b,  , uno y sólo uno de los siguientes enunciados se cumple:

ab  ab  ab ley de tricotomía

b) 2 2

0 ( 0 si 0)

a   a a  a

c) Si ab  bc  ac ley de transitividad

d) Si ab  c0  acbc (Ley de monotonía en el producto) e) Si ab  a c  b c  c (Ley de monotonía en la suma)

f) a b a c b d

c d

 

     



g) Si ab  c0  acbc

h) 1

0 0

a  a 

i) 1

0 0

a  a 

j) 1 1

0 a b  a b 0

k) 1 1

0 0

a b  a b

n) ab0  (a0  b0)  ( a0  b0) o) ab0  (a0  b0)  (a0  b0)

p)

2 2

2 2

0 0 a b a b

Si a b entonces

a b a b

   

   _

  



q) 2 2

0 0 0

a b   a  b

EJERCICIOS 1. Demostrar que:

bd ac d c y b a

i)    

a b b

a b

a Si

ii  

        

1

0 0

)

bc ac ab c

b a c b a

iii)(   )2  2 2 22 2 2

2. Cuáles de las siguientes propiedades son verdaderas?

bd ac d c b a iii b

a b a ii b a

i     )     

4 3 )

) 2 2

3. Si a0b0, halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: b a b a b

iv a ab ab iii b a

a b a ii a a b

i      

  

 1 2 2

0 ) )

) 1

)

4. Para números reales cualesquiera, determine el valor de verdad de:

1 1 2

2 1

0 ) 4

) ( )

0 ) (

) 0

) )( ( 0 )

  

     

    

      

     

a b b a ab

iv a

b a a b a iii

ad be e d d a ii c

a b c

b a i

5. Sia,b,cR,a2b2c2 abacbc 6. Si a,b,c,dRa4b4c4 d4 abcd 7. Si a,b,cRa2b2c232(abc) 8. Si a,b,cR(abcd)2 (a2 c2)(b2d2)

9. Si a b c

c ab b ac a bc c

b

a0, 0, 0     

10. i)Si 0 1  1 2 a a a

a ii)

8 ) ( ,

4 4

4 a b

b a R b

Sia     

11. Si , , 0 ( ) 1 1 1 9

  



 _{ }

   

c b a c b a c

b a

12. Sia,b,c0(abc)



a2b2c2



9abc 13. Si a,b,c0



a3b3c3



3abc

14. Si





4

4 1 0 ,

,b c a b c d abcd

1.11 ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE Estas ecuaciones tienen la forma:

a b x R

b a b

ax 0, ,    

Ejemplo: Resolver la ecuación

5 25 5

10 15 2

4 3

10 2 4 ) 5 ( 3

  

  

     

   

x x

x x x

x x x

1.12 ECUACIONES CUADRATICAS

Una ecuación de segundo grado toma la forma de : 0

, , , , 0

2    

a R c b a c bx ax

Los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas son tres: a) Método de factorización

b) Método de completar cuadrados c) Por medio de la fórmula general

a) Método de Factorización. Se usa la siguiente propiedad de números reales:ab0a0b0

Ejercicio. Resolver por factorización: x25x60 Solución. Factorizando se tiene:(x6)(x1)0

 





x/(x6)(x1)0  x/x60, x10 



x/x6x1



C.S.



1,6



b) Método de completar cuadrados. Usaremos la Propiedad de números reales:a2 bb0,a b

c) Por la Fórmula general:

a ac b

b x

2 4

2 

  

La fórmula se deduce de la completación de cuadrados

Para usar la fórmula general, se debe tener en cuenta el discriminante Discriminante: b24ac

iii) Si 0, La ecuación no admite raíces reales.

Ejercicio. Resolver por la fórmula:2x23x30 Solución:

   



 _ 

     

 

 _{  }



4 33 3 / )

2 ( 2

) 3 )( 2 ( 4 3 3 /

2

x x x

x

   



 

 



4 33 3 , 4

33 3 .

.S x x

C

RELACION ENTRE LAS RAICES Y SUS COEFICIENTES

Teorema. Si la ecuación cuadrática ax2 bxc0 con a0admite soluciones r y s en R, se cumplen:

a b s r S

a)    

a c s r P

b)  . 

a ac b

s r P

c) 4

2 

  

1.14 RELACIONES DE ORDEN, DESIGUALDADES EN GENERAL Definiciones:

i) Un número aR se llama positivo si 0<a ii) Un número aR se llama negativo si a<0 iii) La relaciones de orden se definen:

b a b a b a

b a b a b a

a b b a

b a b a

    

    

   

   

0 0

c b b a c b

a     

TEOREMAS IMPORTANTES SOBRE DESIGUALDADES d

b c a d c

b a

T    

  

 

:

1 T2:abab

1 1 3:

  _



b a b

a y signo mismo el

tiene b y a si T

bc ac c

b a Si

T4:   0  : 0 0

2

5 Sia a 

T

bd ac d c

b a

T  

  

 

 

0 0 :

6

0 )

0 )

:

7

 

 

ab diferentes signos

tienen b y a ii

ab signo mismo el

tienen b y a i T

diferentes signos

tienen b y a ab

ii

signo mismo el

tienen b y a ab

i T

 

 

0 )

0 )

:

8

9: 0 ) ( 0 0) )( 0 0)

10: 0 )( 0 0) )( 0 0)

T ab i a  b  ii a  b

b a b a

entonces b

a Si T

  

  

2 2

11: 0 0

b a b a b a

entonces b

Si T

     



2

12: 0, :

b a b b

a

entonces b

Si T

    



2

13: 0, :

Nota.- Los teoremas del 1 al 13 son válidos al reemplazar donde aparezcan los símbolos < por  y  por  respectivamente

EJERCICIOS



R c b a Si

i) , , , demuestre que:(abc)2 3(a2b2c2) 0

: 2 1 :

)   a

a a que Demostrar ii

0 , 0 :

2 :

)Demostrarque ab  ab a b iii

0 , 0 , 0 ; :

)   abc a b c

c ab b ac a bc que Demuestre iv

abc c

b a que

demostrar c

b a donde c

b a Si

v)   1: 0, 0, 0; :(1 )(1 )(1 )8 vi)Demostrar que para cualesquiera números reales a,b y cse cumple que:

ac bc ab c b

a2 2 2   

vii)Si abc0 y a0,b0,c0,demostrar que _{2 2 2}

2

1 1 1 1

1 1

c b a c b

a    

 



 _{ }

viii)Demostrar que:a2b2c232(abc)

c b

c a b a que demostrar c

y b a Si ix

   



 0; :

0

)

d c d b

c a b a Entonces

d c b a y d y b talesque R

d y c b a Si x

   

 

 

:

0 0

, ;

, , )

1.15 INECUACION.

Una inecuación es toda desigualdad condicional que contiene una o más cantidades desconocidas, llamadas variables, y que solo es verdadera para determinados valores de dichas variables. Las inecuaciones de una variable son de la forma:

P(x)>0, P(x)>0, P(x)0, P(x)0. 1.15.1 INECUACIONES LINEALES

0

 b ax

Su conjunto solución en general es un intervalo 0

, 



 a

a b x

Ejemplo. Resolver en R la siguiente inecuación: 3(x-5) <2x – 103x – 15 < 2x – 10

3x –2x <15 –10 x < 5

Luego el conjunto solución será:x ,5

EJERCICIOS

0 ,

1 2 ) ,

5 3

)

5 4 2

8 10 3

5 3 ) 4

13 2

) 2 ( 4 5

2 3 ) 2 2 3 10 )

2

2            

     

   

  

a b c c x b

x a x e b a b a b a

x b

a x d

x x

x c x

x b x

a

1.15.2 INECUACIONES CUADRATICAS

Una inecuación de segundo grado ó cuadrática es de la forma:

0 ), 0 0

, 0 (

,

0 2 2 2

2_{             }

a c

bx ax c

bx ax c

bx ax c

bx ax

Su conjunto solución se puede encontrar por dos formas: i)Factorización. utilizando la ley de signos(T9 yT10)

ii)Completación de cuadrados. (T11,T12,yT13 )

Ejemplo 1 Resolver la siguiente inecuación:

) 2 ( ) 2 1 (

) 2 2

1 ( ) 2 2

1 (

) 0 2 0

1 2 ( ) 0 2 0

1 2 (

0 ) 2 )( 1 2 ( 0 2 3 2 2

    

         

           

      

x x

x x

x x

x x

x x

x x x

x

Conjunto Solución:







_  

     

 ,

2 1 2

, 2

1 2

/x x

R x

2 5 2

4 1 4 9 4

1 4 9

4 9 4 1 4

9 16

81 4

1

4 1 5 4 1 2 1

5 2 1 0

10 2

2

2 2

2 2 2

         

             

                

     

x x

x x

x x

x x x

x

Conjunto Solución:

  

      

2 5 2

/ x

R x

1.15.3 INECUACIONES POLINOMICAS Son de la forma:

0 ), 0 , 0 , 0 ( , 0

0 1 2

2 1

1         

 

 

 n

n n n n n

nx a x a x a x a a

a  ...(*)

Su conjunto solución de acuerdo a la naturaleza de las raíces del polinomio: Pasos a seguir para encontrar el conjunto solución

1. Se factoriza el polinomio (*) en factores lineales y cuadráticos irreductibles) 0

) )(

( ) )( )(

(xa₁ xa₂ xa₃ bx2c dx2e 

2. Cada factor lineal se iguala a cero para determinar los PUNTOS CRITICOS Ó PUNTOS DE REFERENCIA, y los términos cuadráticos irreductibles se eliminan por ser positivos y no afectan a la desigualdad

cos ,

,

, 0 ,

, 0

3 2

1

3 2

críti Puntos a

x a x a x

a x a x a

x

 



  

 

3. Cada punto crítico se coloca en la recta real en forma ordenada

-)Serán puntos abiertos si la inecuación lleva cualquiera de los signos > ó < -)Serán puntos cerrados si la inecuación lleva cualquiera de los signos ó 4. Se intercalan los signos de derecha a izquierda empezando con el signo +, , +,

-,... sucesivamente

5. Para determinar el conjunto solución se tendrá en cuenta lo siguiente:

-) Se toman los intervalos con signo +, si la inecuación lleva los signos >0 ó 0 -) Se toman los intervalos con signo -, si la inecuación lleva los signos ó0 1.15.4 INECUACIONES FRACCIONARIAS

Una inecuación fraccionaria es una desigualdad de la forma: )

0 , 0 , 0 ( , 0 ) (

)

( _{   }

x Q

x P

1.15.5 INECUACIONES EXPONENCIALES Son de la forma:

) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) (

x Q x P x Q x P

x Q x P x Q x P

a a

a a

a a

a a

 



 



Donde P(x) y Q(x) son polinomios, aR,a1

Para resolver estas inecuaciones, se consideran dos casos

i) Si a1, entonces se elimina la base y el signo de la desigualdad permanece, continuando con la solución de la inecuación , es decir

) ( ) (

:a ( ) a ( ) P x Q x

Si Px  Q x  

ii) Si 0a1, entonces se elimina la base y el signo de la desigualdad cambia de sentido, continuando con la solución de la inecuación, es decir

) ( ) (

:a ( ) a ( ) P x Q x

Si Px  Q x  

1.15.6 INECUACIONES IRRACIONALES

Las inecuaciones irracionales son las que llevan en sus términos

4

3 _{( ), ( )}

, )

(x Q x R x

P , etc.

1) Para resolver las inecuaciones radicales se debe tener en cuenta las siguientes propiedades:

a)

y x y

x iii

y x y

x ii y

x y

x i

    

     

   

0 0

)

0 0

) 0

0 )

b) Si n es un entero positivo par

) ( ) ( 0 ) ( )

( )

0 ) ( 0 ) ( ) 0

) ( ) ( 0 ) ( )

x Q x P x

Q x

P

x P x

P x

P x P x

P n n

n n

 

 



 

 

 

   

c) Si n es un entero positivo impar

) ( ) ( ) ( )

( )

0 ) ( 0 ) ( ) 0

) ( 0 ) ( )

x Q x P x Q x

P

x P x

P x

P x

P n n

n n

 

 

 

 

 

 

Nota.- Cuando en una expresión existen k radicales par entonces se calculan los universos parcialesU1,U2,,Uk para cada radical y el universo general

seráUU1 U2 Uk

Ejemplo. Resolver la siguiente inecuación:



3,3



:

3 3

9 0

9 : /

9 1 9

2 2

2 2

 

          

  

x Solución Conjunto

x x

x U x x válida es x Como

x





) ) : . . ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) 0 ) ( ) : ), ( ) ( 2 1 ii i Sol Conj x Q x P x Q x Q ii x P i así obtiene se solución Su x Q x P T        





) ) : . . ) ( ) ( 0 ) ( ( 0 ) ( ) 0 ) ( ) : ), ( ) ( 2 ii i Sol Conj x Q x P x Q x Q ii x P i así obtiene se solución Su x Q x P T         ) ) : . . ) ( ) ( 0 ) ( ) 0 ) ( ) : ), ( ) ( 3 ii i Sol Conj x Q x P x Q ii x P i así obtiene se solución Su x Q x P T       ) ) : . . ) ( ) ( 0 ) ( ) 0 ) ( ) : ), ( ) ( 4 ii i Sol Conj x Q x P x Q ii x P i así obtiene se solución Su x Q x P T      

3. Para las inecuaciones de la forma:

0 ) ( 0 ) ( : , 0 ) ( ) ( ) 0 ) ( 0 ) ( : , 0 ) ( ) ( ) 5           x Q x P así obtiene se solución Su x Q x P ii x Q x P así obtiene se solución Su x Q x P i T









6 2

) ( ) ( ) , 0, :

( ( ) 0 ( ) 0) ( ) ( )

T i P x Q x k k Su solución se obtiene así

P x Q x P x k Q x

  

     

1. Para resolver las inecuaciones irracionales de la forma:

0 ) ( 0 ) ( : , 0 ) ( ) ( ) 7      x Q x P así obtiene se solución Su x Q x P i T

Nota 2. Considerando casos más generales: Caso N° 1. Si n es impar positivo mayor que uno

0 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( )    x R x Q x P x R x Q x P a n 0 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( )    x Q x R x P x Q x R x P b n ) ( ) ( ) ( ) (

) P x Q x P x Q x

c n n  

)n ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0

a P x Q x  P x  Q x 

)n ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0

b P x Q x  P x  Q x 

( ) ( )

) 0 ( ) 0 0

( ) ( ) ( )

n

P x P x

c Q x

R x Q x R x     

( ) ( )

) 0 ( ) 0 0

( ) ( ) ( )

n

P x P x

d Q x

R x Q x R x     

2. VALOR ABSOLUTO Y MAXIMO ENTERO

Definición. Se llama valor absoluto de un número real x al número no negativo denotado por: x y se define como:

, 0

, 0

a si a a

a si a

 

 _{ }



Nota.- El valor absoluto de un número geométricamente representa la distancia del punto al origen

2.1 PROPIEDADES.

) (

) )

) ( ) 0 , )

) ,

) )

0 0

, ,

0 )

2 2

2

triangular d

desigualda b

a b a vi a

a vi a

a v b

b a b a iv

b a ab iii R a a a ii a a ii a

a R a a

i

   

 



 

  

 

    

2.2 PROPIEDADES PARA RESOLVER ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

0 0

1a  a

T T₂ a b



b0(abab)



b a b a b a

T3     







( 0) ( )



)

) (

) 0 ( )

4

b x b b

b a ii

b x b b

b a i T

      

      



a b a b



ii a b



a b a b



b

a i

T₅ )      )     

0 ) )( ( )

0 ) )( ( )

0 ) )( ( )

0 ) )( ( )

6

     

   

     

   

b a b a b a iv b

a b a b a iii

b a b a b a ii b

a b a b a i T

EJERCICIOS .i) Dados dos números de signos opuestos a y b





a b x

b x

a  0 máx ,

ii) Si a, b y c son reales; tales que a0,b0,c0, entonces bc ac ab

a b c a  b  c    MAXIMO ENTERO

Definición. El máximo entero de un número real x representado por

 

x es el mayor de todos los enteros menores o iguales a x, es decir:

 

x máx



nZ/xn



Para calcular el máximo entero de un número real x, se observa todos los enteros que se encuentran a la izquierda de x(o que coinciden con x, en caso que x sea entero) y el mayor de todos ellos es el máximo entero

 

x .Esto es, el máximo entero se puede definir como:

1,

x n n x n n Z  

      

PROPIEDADES

i)   _{ }x ii)     _{ }x x x iii)       _{ }x x _{ }x 1,  x iv) 0    x _{ }x 1,  x v)__ x   __{ } x _ vi)       _x n_{  }x n, n vii)      _{ }x n x n 1 , n viii)     _{ }x n x n, n

ix)     _{ }x n x n , n x) _{ }     x n x n 1 , n xi)Si y ,     _{ }x y x y 1 xii) x y,  , si x      y _{   }x y

CONJUNTOS ACOTADOS

Para un conjunto no vacio A de números reales, tenemos las siguientes definiciones:

 Se dice que un conjunto A está acotado superiormente si existe un número M tal que:

,

xM  x A Al número M se le llama cota Superior del conjunto A

 Se dice que un conjunto A está acotado inferiormente si existe un número m tal que:

,

 Se dice que un conjunto A está acotado si existe un número k tal que: | |x k ,  x A

Al número kse le llama cota del conjunto A (el cual no es UNICO). También podemos decir que un conjunto A está acotado si y solo si A está acotado superior e inferiormente. En este caso, k max{|m| , |M|}.

SUPREMO DE UN CONJUNTO

Sea A un conjunto acotado superiormente. El supremo del conjunto A que denotaremos por supA, se define como el menor de las cotas superiores de A( cuando existe es UNICO). En otras palabras, S es el supremo de A si

i) xS ,  x A

ii) Sa, donde aes una cota superior de A implica S a

ÍNFIMO DE UN CONJUNTO

Sea A un conjunto acotado inferiormente. El ínfimo del conjunto A que

denotaremos por inf A, se define como el mayor de las cotas inferiores de A( cuando existe es UNICO). En otras palabras, s es el ínfimo de A si

i) sx ,  x A

ii) sb, donde bes una cota inferior de A implica sb NOTA:

Tanto el supremo como el ínfimo no necesariamente pertenecen al conjunto A. En caso que el supremo Spertenezca al conjunto A, se dice que S es el máximo de A y se denota por:

max

S A

y en el caso que el ínfimo s pertenezca al conjunto A, se dice que s es el mínimo de A y se denota por:

min

s A

AXIOMA DEL SUPREMO

Todo conjunto no vacio de números reales, acotado superiormente tiene supremo.

AXIOMA DEL ÍNFIMO

Todo conjunto no vacio de números reales, acotado inferiormente tiene ínfimo.

EJERCICIOS

16. Dada la ecuación (1a2)(xa)2a(1x2)con aconstante. Si su conjunto solución es

 

r,s hallar rs

17. Si

 

r,s son las raíces de la ecuación ax22bxc0, hallar la ecuación cuyas raíces

   



 _{ }

r s s

r 1,2 1

2 y probar que cuando ac0, esta ecuación es la misma que la ecuación original

18. Si

 

r,s son las raíces reales de la ecuación x2bxc0y si rk, skson las raíces reales de la ecuaciónx2  pxq0, hallar ktal que p0

19. Resolverlas ecuaciones reductibles a cuadráticas:

a) 1 6 1 624

  

  _{ } 

  

  _{ }

x x

x x

b)(x2)2 5



x2 4x51



c) x2 2 x2 6x 246x d) 2 ₂72 18

  

x x x x

e) (2x7)(x29)(2x5)91 f)42x11665(4x1) g)

6 13 1

1 

 

 x

x x

x

h)

2 3 2

3 3

2 _

  

x x x

x

EJERCICIOS DE INECUACIONES 1. Resolver en R:

0 ,

1 )

, 5 3

) 3

5 2 4 3 5

) _{2 2}       

     



 c b a

c x b

x a x c b a b a b a

x b

a x b x

x a

16 ) 2 )( 1 )( 3 ( ) ) 5 ( 3 ) 7 ( 2 ) 3 4 ( 4 ) 5 ( 3

) x   x  x  x e x x x x  d

0 12 16 4

) 0 24 ) 1 )( 2 )( 0

2 3 2

)x2 x  g x2 x x2   h x4 x3x2  x 

f

0 ) 5 )( 4 2 2 )( 1 6 )( 0

15 8 29 6

)x5 x4 x3 x2 x  j x2 x x3 x2 x x 5 

i

0 3 10 5

2 ) 0 ) 1 ( ) 1 ( ) 3

)( x 3 x2 2 x 5x l x4 x3 x2 x 

k

2. Resolver en R:

4 3 4

) ) 3 2 )( 2 (

3 3 2 2 1 ) 8 2

24 8

) _{2 2}

2 2

 

   



  

 

  

x x

x x

x c x

x

x x b

x x x a

2 8 4

2 ) )

2 3

4 7 3

1 ) 3

2 1 )

2 2

4 _ 

  

   

 

 x

x x x g x

x f x x

2 4 1 2 ) 0 ) 2 )( 4 ( ) 6 )( 6 ( ) 0 ) 3 2 ( ) 6 ( ) 5 3 ( ) 1 ( ) 3 6 ( ) ₂ 3 2 3 2 2 2 2 17 2 7 3 2 2                   x x x x k x x x x x x i x x x x x h 0 ) 1 )( 1 ( ) 3 1 ( ) 12 4 )( 16 )( 6 5 ( ) 2 1 5 12 1 ) 1 1 3 2

) _{3 2}

2 4 2                  x x x x x x x x n x x x x m x x x l

3. Resolver las inecuaciones exponenciales:

2 2 2

3 3 3 3 1 4 1 3 7 3 2 ) 2 , 0 ( 25 1 ) 9 ) 27 ( ) ) 0016 , 0 ( ) 2 , 0 )(                

 x x x

x x x x x c b a

 

x

x x x x x x x x x e d ₄ 6 5 6 2 ) 2 ( 1 2 1 5 2 4 3 2 27 27 243 81 243 ) 729 ( ) 3 3 3 . 3 ) 2 _       

4. Resolver las inecuaciones irracionales siguientes:

0 118 9 ) 5 2 ) 5 5

)    2     4  

x x c x x x b x x a 0 2 1 ) 3 9 2 ) 8 2

)x 3 x3 e x  x f x   x 

d 0 2 ) ) 0 , 0 , 0 ( , 0 3 5 1 8 2 ) 2 2 32 )                x x g x x x x f x x x e 0 4 21 4 3 ) 0 9 2 1 ) 0 2 2 2 ) 4 ( ) 2 2 2 2 2                 x x x j x x x x i x x x x h ) 0 , 0 , 0 ( , 0 2 2 ) 1 ( ) 4 ( 4 625 ) 29 2 16 5 4 3

) _{3 2}

3 2 2 3 2 4 2 2 2 2                   x x x x x x x l x x x x x k

4. Determinar las soluciones de las ecuaciones dadas:

a)3x12x5 b) x2 4 42x c)2x2 2 562x2 3 d) x 3  3x2 e) 2x2 3x5  2x2 4x1 f)2x3 2 x6 5. Si A



xR/3x1 2x5



, B



xR/x193x



,Halle la suma de los

elementos de AB

6. Si A



xR/2x3  x3



, B



xR/2x12 2x12



y



x R x x



C  /3 4  ; hallar (AB)'C 7. Demuestre que:

5 3 2 0 2 1

)x    x 

i 18 11 9 1 6 4 1 2 4

9  

    x x ii 2 , 0 , 6 2 10 5 10 7 :

)     x

8. Resolver las siguientes inecuaciones:

a)2x2 3 5x b) x2 2x5  x2 4x1 c)5x4 3x2 d) x2 52  x2 5 12 e)



x 1





2x1





x 3



0

f)

1 5

4    

x x x

x

g)

3 4 8

2     

x x x

x

h)

2 1 2

  

x x x

i) 0

3 2 1

 

  x x

j)

1 2

5 3

   



x x x

x

k)

3 2 3

6 1

 

 x x





0 6

1 )

2

 

 

x x

x x x

l 0

6 5

1 2

) ₂

2 2



 

   

x x

x x x m

9. Exprese en términos de intervalos el conjunto





   



 _{ }

  

 / 3,3

4 2

2 x

x x A

10.Encuentre los valores que pueda tomar:

a)

 

3x , si x

 

0,1 b)



x2 /2



,si x



3/2,3



c)



1 x



2, si x



1/2,10



d)



senx



,si x



0,3



e)



cos2 x



,si x



/2,2



11.Halle el conjunto solución de las ecuaciones siguientes:

a)



2x1



1 b)

 

x   2  c) 0 2 1

    

 

 

x x

12.Resolver las ecuaciones:

a)

 

3x  x2 b)



2x10



x4 3 1 2

3

) _

  



x _

c

2 3

1 1

) 

    

 

 x 

d 5

3 1

) _

  

 

 

x x

e f)



2x2 1



1

13.Demostrar que:

a)

   

x  x xZ b)

   

x  x 1xRZ c)



x

 

x



2

 

x d)ab

   

a  b a,bR 14.Demostrar que:



1,1



,

1 3

2

  

     

  

 

x si x

x

15.Resolver:



1



0

) x2  

a b)



x2 1



0 c)



x2 1



0 d)



x2 4



1

 

1 2

16.Encuentre el conjunto solución de:

 

0

)x 

a b)



32x



 3 c)



x

 

x



1/2 ) 1

_{ }

1  x x d



2 16



52/7

) 2   

x x e

 

0

3

3 6

) ₂ 

  

x x f

17.Resolver:



2 5 2



1

) x2 x  

i ii)



 

x x





x2



x3



2 0

_{ }

1

1 1

) 

 

x x iii

18.Expresa el conjunto como combinación de intervalos:





 







1 2 / 0,2



)A x2  x   x x i

    

  

     

  

 

     

 0

3 2

5 1

3 / )

x

x x

x R x B ii

 





   

 

  

 / 2,1

2 1

)C x x x

iii

19.Resolver:



x 1





x3





 

x 2





2 x  x 2



0

20. Halle el conjunto de valores que puede tomar

    

  

1 4

x para:

10 1 ) 3

)x ii x 