1.
Transformada de Laplace
A l guno s pro blema s que i nvol ucra n ecuacio nes difer en ci ales no hom og én ea s con c o e ficientes c on st antes s uelen tener como par te no ho mo génea un a funció nf (t) que n o es continua. El análisis de estos problemas es má s s encillo cu ando se utiliza el método de la transformada de Laplace.
1.1.
Definición de la Transformada de Laplace
Definition 1 (Transformada de Laplace) Seaf(t)una función con dominio en[0,∞). La Transformada de Laplacedef(t)es la funciónF(s)que se obtiene como sigue
F(s) := Z ∞
0
f(t)e−stdt (1)
Nótese qu eF (s) es una fu nción e n l a va ria ble s cuyo do minio consta de to dos los valor es des par a lo s c ua les l a integral (1) existe es decir esconvergente. Además (1) es una integral impropia, por lo que
Z ∞
0
f(t)e−stdt= l´ım n→∞
Z n
0
f(t)e−stdt (2)
lo cual restringe las funciónesf(t)que para las cuales puede existir transformada de Laplace.
No ta tion 2 La transf ormada de Laplace de una función cualq ui era se denota util izando l a l etra mayúscula corre-spondiente a la función Transformada o utilizando notación de operadores comoL{.}; por ejemplo la transformada de Laplace de una funcióng(t)se denotaría comoG(s)oL{g}(t).
Una primera forma de obtener la transformada de Laplace de una función, si es que esta tiene, nos la proporciona la definición, es decir que si tenemos una funciónf(t)cualesquiera, su transformada de Laplace se obtiene evaluando la integral dada en (1) o en forma equivalente (2) como en los siguientes ejemplos:
Example 3 Determine la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
1. f(t) =et
Solution 4 Utilizando la definición
F(s) = Z ∞
0
f(t)e−stdt
= Z ∞
0
ete−stdt
= Z ∞
0
e−t(s−1)dt
= l´ım n→∞
Z n
0
e−t(s−1)dt
= l´ım n→∞
µ
1−e−n(s−1) s−1
¶
= 1
s−1nl´→∞ım ³
1−e−n(−1+s)´
Evaluando el límite de la última expresión nos damos cuenta que
l´ım n→∞
³
1−e−n(s−1)´= l´ım
n→∞(1)−nl´→∞ım ³
de donde
l´ım
n→∞(1) = 1
y
l´ım n→∞
³
e−n(s−1)´= 0
siempre y cuandos >1, de otra manera este límite no existiría.
Por lo tanto la transformada de Laplace def(t) =et es
F(s) = 1 s−1
2. g(t) = 3
Solution 5 Utilizando la definición
G(s) = Z ∞
0
g(t)e−stdt
= Z ∞
0
3e−stdt
= 3 Z ∞
0
e−stdt
= 3 l´ım n→∞
Z n
0
e−stdt
= 3 l´ım n→∞
µ
1−e−ns s
¶
= 3 snl´→∞ım
¡
1−e−ns¢
Evaluando el límite de la última expresión nos damos cuenta que
l´ım n→∞
¡
1−e−ns¢= l´ım
n→∞(1)−nl´→∞ım ¡
e−ns¢
de donde
l´ım
n→∞(1) = 1
y
l´ım n→∞
¡
e−ns¢= 0
siempre y cuandos≥0, de otra manera este límite no existiría. Por lo tanto la transformada de Laplace deg(t) = 3 es
G(s) = 3 s
3. h(t) = sin (3t)
Solution 6 Utilizando la definición
H(s) = Z ∞
0
h(t)e−stdt
= Z ∞
0
sin (3t)e−stdt
= l´ım n→∞
µ − 3
s2+ 9e
−stcos (3t) − s
s2+ 9e
−stsin (3t) ¶n
0
= − 1
s2+ 9nl´→∞ım
¡
3e−stcos (3t)−se−stsin (3t)¢n0
= − 1
s2+ 9nl´→∞ım
¡
Evaluando el límite de la última expresión nos damos cuenta que
l´ım n→∞
¡
3e−sncos (3n) +se−snsin (3n)−3¢ = l´ım n→∞
¡
3e−sncos (3n)¢
+ l´ım n→∞
¡
se−snsin (3n)¢
− l´ım n→∞(3)
de donde
l´ım
n→∞(3) = 3
l´ım n→∞
¡
3e−sncos (3n)¢= 3 l´ım n→∞
¡
e−sncos (3n)¢= 0
ya quecos (3n)es una función acotada y l´ımn→∞(e−sn) = 0 siempre y cuandos≥0. Finalmente
l´ım n→∞
¡
se−snsin (3n)¢=s l´ım n→∞
¡
e−snsin (3n)¢= 0
siempre y cuandos≥0ya que sucede algo similar que en la función anterior. Por lo tanto la transformada de Laplace deh(t) = sin (3t)es
H(s) = 3 s2+ 9
1.2.
Condiciones de Existencia de la Transformada de Laplace
Antes de enunciar el teorema de existencia de la transformada de Laplace de una función es preciso definir un concepto para el teorema de existencia de la TL (Transformada de Laplace) de una función.
Definition 7 (Orden Exponencial) Se dice que una función f(t) es de orden exponencial α si existen con-stanes positivasT y M tales que
|f(t)|≤M eαT
para todo valor det≥T.
En otras palabras, una función es de orden exponencialα, si se puede encontrar una función exponencial adecuada MeαT que esté por ensima de la funciónf(t)a partir de un valor determinado parat.
Example 8 La función
f(t) =t2+ 4
es de orden exponencial α= 1 ya que la función exponencial
2et
0 2 4 6 8 10 12
-4 -2 2 t 4
Example 9 La función
g(t) =et2
no es de orden exponencial ya que no es posible encontrar ninguna función exponencial con la formaM eαtque crezca
más rápido que ella.
Theorem 10 (Existencia de la TL) Si f(t)es una función continua a trozos en [0,∞) y de orden exponencial
α, entonces L{f}(s) =F(s)existe para s > α.
La interpretación de este resulatado es sencilla: ya que la transformada de Laplace es una integral impropia, esta integral converge siempre y cuando la función dada no crezca más rápido que la función exponenciale−st. Es preciso señalar que el teorema proporciona una condición suficiente más no necesaria para la existencia de la TL de una función, esto es queuna función que no es de orden exponencial puede tener TL.
1.3.
Linealidad de la Transformada de Laplace
La definición de la transformada de Laplace mediante una integral no solamente proporciona algunas restricciones sobre las funciones de las cuales se puede encontrar su TL, sino también algunas ventajas ya que, al ser la integral un operador lineal, es decir que cumple
Z
(kf(t) +g(t))dt=k Z
f(t)dt+ Z
g(t)dt
(conkuna constane yf(t)yg(t)dos funciones continuas a trozos) esta misma propiedad la hereda a la TL, como se expresa en el siguiente teorema:
Te o re ma 1 1 ( L ine a li dad de l a T L) Sea n f (t) y g (t) d os fu nci on es cuy as T L e xist en y s on , respect iva men te,
F(s)yG(s). Sea kuna constante. Entonces se cumple
1. L{f+g}(s) =L{f}(s) +L{g}(s)
2. L{kf}(s) =kL{f}(s)
o en forma equivalente
L{kf+g}(s) =kL{f}(s) +L{g}(s)
1.4.
Transformadas de Laplace de Funciones Usuales
f(t) F(s)
1 1
s u(t−a) e−ass k cte. ks
tn n!
sn+1 paran∈Z+
ta Γ(a+1)
sa+1 paraa∈(−1,∞)
eat 1
s−a eattn n!
(s−a)n+1 paran∈Z
ektta Γ(a+1)
(s−k)a+1 paraa∈(−1,∞)
sin (at) s2+aa2
cos (at) s2+sa2
eatsin (bt) b
(s−a)2+b2
eatcos (bt) s−a
(s−a)2+b2
sinh (at) s2−aa2
cosh (at) s
s2−a2
eatsinh (bt) (s b −a)2
−b2
eatcosh (bt) (s s−a −a)2
−b2
(Tabla 1)
1.5.
Funciones Continuas a Trozos
Una ventaja de este tipo de transformaciones es que pueden aplicarse a funciones que son muy comunes dentro de la física-matemática a las cuales se conoce como funciones trozos, las cuales trataremos a continuación.
Definition 12 (Discontinuidad de Salto) Se dice que una función f(t) definida en (a, b), tiene una discon-tinuidad de saltoen t0∈(a, b)sif(t)es discontinua ent0 y los límites por la derecha y por la izquierda def(t) existen y sonfinitos.
Example 13 Si consideramos la función
g(t) = ½
t 0< t <2
1 11t
2−2 2< t
cuya gráfica es como sigue
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-4 -2 2 t 4
Esta función tiene una discontinuidad de salto ent0= 2ya que
l´ım
t−→2−g(t) = 2 l´ım
t−→2+g(t) = −
Definition 14 (Función Continua por Segmentos) Se dice que una función f(t)es Continua por Segmen-tos o Continua a Trozosen un intervalo [a, b], sif(t)es continua en todo punto de[a, b], excepto posiblemente en un númerofinito de puntos en los que f(t)tiene una discontinuidad de salto.
Example 15 Consideremos ahora la función
f(t) =
t−3 t <−3 t2 −3< t <3
−(t+ 3) 10< t
cuya gráfica se presenta a continuación
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-4 -2 2 t 4
Observe que en t=−3y t= 3 la función tiene discontinuidad de salto, por lo que la función f(t) es continua a trozos.
Ya que la transformada de Laplace está definida mediante una integral, no es dificil pensar en que sea posible calcular la transformada de Laplace de funciones continuas a trozos. El siguiente ejemplo nos ilustra como se calcula la transformada de Laplace de una función continua a trozos:
Example 16 Considere la función
k(t) =
2 0< t <5 0 5< t <10 e4t 10< t
Solution 17 Utilizando la definición
K(s) = Z ∞
0
k(t)e−stdt
y comok(t)está definida a trozos
K(s) = Z 5
0
k(t)e−stdt+ Z 10
5
k(t)e−stdt+ Z ∞
10
k(t)e−stdt
= Z 5
0
2e−stdt+ Z 10
5
0e−stdt+ Z ∞
10
e4te−stdt
= 2 Z 5
0
e−stdt+ l´ım n→∞
Z n
10
e−t(s−4)dt
= 2−2e−
5s
s + l´n→∞ım µ
e40−10s−e−n(s−4)
s−4
¶
= 2−2e−
5s
s +
1 s−4nl´→∞ım
³
e40−10s−e−n(s−4)´
= 2−2e−
5s
s +
e40−10s s−4 −
1 s−4nl´→∞ım
³
Evaluando el límite de la última expresión nos damos cuenta que
l´ım n→∞
³
e−n(s−4)´= 0
siempre y cuandos≥4, de otra manera este límite no existiría. Por lo tanto la transformada de Laplace de
k(t) =
2 0< t <5 0 5< t <10 e4t 10< t
es
K(s) = 2−2e −5s
s +
e40−10s s−4
1.5.1. Función Escalón Unitario o Heaviside
Una función que se utiliza muy comunmente en el estudio de análisis de señales es la función Escalón Unitario o Heaviside que se define a continuación:
Definition 18 (Función Escalón Unitario) La funciónEscalón UnitariooFunción de Heavisidese define como sigue
u(t) = ½
0 t <0 1 0< t
cuya gráfica es la siguiente:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-4 -2 2 t 4
Desplazamiento y Amplitud deu(t)
La función Heaviside desplazada en el tiempo se representa como u(t−a) =
½
dondeaes una constante cualquiera. La gráfica de una función escalón trasladada, por ejemplo cona= 2, es
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-4 -2 2 t 4
La amplitud de la función Heaviside puede modificarse como sigue ku(t) =
½
0 t <0 k 0< t
dondekes una constante cualesquiera. Dependiendo del valorkes la gráfica de la función: Sik >0entonces la gráfica se ve como siguie (conk= 3)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-4 -2 2 t 4
Sik <0entonces la gráfica se ve como siguie (conk=−3)
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
-4 -2 2 t 4
Theorem 19 (TL de la Función Escalón Unitario) La transformada deu(t−a)con a≥0está dada por
L{u(t−a)}= e −as
s
Segundo Teorema de Translación
Teorema 20 (Propiedad de Traslación en el Tiempo) Sea f (t) una función cuya TL es F (s) . Entonces se cumple que
L{f(t−a)u(t−a)}=e−atF(s) (3)
Ej a m p l o 2 1 Encontra r la TL de las siguiente s funcio nes
1. g(t) = (t−3)u(t−3)
Sol ución 22 Co mparan d o esta f un c i ón co n (3 ) t en emos qu e
a = 3 f(t) = t
De la tabla de transformadas tenemos que la TL def(t) está dada por
F(s) = 1 s2
Por lo tanto, de acuerdo con (3) la TL deg(t)será
G(s) =e−
3s
s2
1.6.
Transformada Inversa de Laplace
Definition 23 (Transformada Inversa de Laplace) La Transformada Inversa de Laplace de una función
F(s)es una función única L−1
{F}(t) =f(t), que es continua en[0,∞), tal que satisface
F(s) =L{f}(s)
En otras palabras, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es una función f(t) cuya TL sea F(s).
Notation 24 A la transformada inversa de una función se le denota con la letra minúscula correspondiente a la de su transformada o utilizando el operador transformada inversaL−1{.}
Para funciones simples, la forma más práctica de encontrar la transformada inversa de una función dada F(s), es observando la tabla de transformadas. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos:
Example 25 Encuentre la transformada inversa de las siguientes funciones (ver Tabla 1):
1. F(s) = 2
Solution 26 Apoyados en la tabla (ver renglón 3 de la tabla) tenemos que
L−1
½ 2 s3
¾ =t2
2. F(s) = 6 (s−4)4
Solution 27 Apoyados en la tabla (ver renglón 5 de la tabla) tenemos que
L−1
( 6 (s−4)4
) =e4tt3
3. F(s) = s23+9
Solution 28 Apoyados en la tabla (ver renglón 6 de la tabla) tenemos que
L−1
½ 3 s2+ 9
¾
= sin (3t)
4. F(s) = s2−s−2s1+5
Solution 29 Como no se encuentra exactamente una forma como la de F(s) en la tabla, hacemos una
ma-nipulación algebráica (completar el cuadrado en el denominador) para que pueda tener una forma como la de el renglón 9 de la Tabla 1
s−1 s2−2s+ 5 =
s−1 s2−2s+ 1 + 4
= s−1 (s−1)2+ 4
entonces
L−1
(
s−1 (s−1)2+ 4
)
=etsin (2t)
No siempre las funciones de las cuales hay que encontrar su transformada inversa son funciones simples, en oca-siones hay que recurrir a ciertas propiedades o técnicas algebráicas que nos permitan tener funciones simples a partir de funciones complejas y así poder encontrar su transformada inversa con la ayuda de una tabla de transformadas.
1.6.1. Linealidad de la Transformada de Laplace Inversa
Una propiedad que posee la TL-Inversa, la cual hereda de la TL, y que nos permitirá encontrar en algunas ocaciones la TL-Inversa es la propiedad de linealidad, la cual se enuncia en el siguiente teorema:
Theorem 30 (Linealidad de la TL-Inversa) SeanF(s)yG(s)las TL de dos funcionesf(t)yg(t)dadas y sea
αuna constante cualquiera. Entonces se cumple
L−1{αF(s)} = αL−1{F(s)} = αf(t)
o equivalentemente
L−1{αF(s) +G(s)} = L−1{αF(s)}+L−1{G(s)} = αL−1
{αF(s)}+L−1
{G(s)} = αf(t) +g(t)
Example 31 Determina las TL-Inversas de las diguientes funciones
1. F(s) = s15
Solution 32 Apoyados en la tabla (renglón 3) tenemos que para que la fórmula se acople perfectamente a la de la tabla en el numerador de la función F(s)debería aparecer4! = 24. Recurriendo a un truco algebráico y a la linelidad de la TL-Inversa, para poder calcular la TL-Inversa hacemos lo siguiente
L−1
½ 1 s5
¾
= L−1
½ 24 24 1 s5 ¾
= L−1
½ 24 24 24 s5 ¾ = 1 24L −1 ½ 24 s5 ¾ = 1 24t 4
2. F(s) = 5 (s+2)4
Solution 33 Ya que en el denominador se encuentra(s+ 2)4esto nos suguiere el uso de la fórmula del renglón 5 de la tabla. Sin embargo para ello deberíamos tener como numerador 6 = 3!. Utilizando la linealidad de la TL-Inversa podemos proceder como siguie
L−1
( 5 (s+ 2)4
)
= L−1
( 6 6
5 (s+ 2)4
)
= L−1
( 5 6
6 (s+ 2)4
) = 5 6L −1 ( 6 (s+ 2)4
)
= 5 6e
−2tt3
3. f(s) = 5
s−6− 6s
s2+9+2s2+83s+10
Solution 34 Comenzaremos aplicando la propiedad de linelidad con la intención de separar cada uno de los sumandos y quitar, según sea el caso, de cada uno de ellos las constantes que no nos sean útilies
L−1
½ 5 s−6−
6s s2+ 9+
3 2s2+ 8s+ 10
¾ =L−1
½ 5 s−6
¾ −L−1
½ 6s s2+ 9
¾ +L−1
½ 3 2s2+ 8s+ 10
donde
L−1
½ 5 s−6
¾
= 5L−1
½ 1 s−6
¾ = 5e6t
L−1
½ 6s s2+ 9
¾
= 6L−1
½ s s2+ 9
¾
= 6 cos (3t)
L−1
½ 3 2s2+ 8s+ 10
¾
= L−1
½
3 2 (s2+ 4s+ 5)
¾
= 3 2L
−1
½ 1 s2+ 4s+ 5
¾
= 3 2L
−1
½
1 s2+ 4s+ 4 + 1
¾
= 3 2L
−1
( 1 (s+ 2)2+ 1
)
= 3 2e
−2tsin (t)
por lo que
L−1
½ 5 s−6−
6s s2+ 9+
3 2s2+ 8s+ 10
¾
= 5e6t−6 cos (3t) +3 2e
−2tsin (t)
1.6.2. Fracciones Parciales y la TL-Inversa
Si observamos la Tabla 1 nos daremos cuenta que la TL de toda función es una función racional estrictamente
propia1 donde los grados de los denominadores no son mayores que dos
(0 < deg (D) ≤ 2). En el caso de que tengamos el problema de calcular la TL-Inversa de una función racional que no sea estrictamente propia, entonces aplicaremos un procedimiento algebráico muy común para lograr esto al cual se le conoce como descomposición enfracciónes parciales.
El uso de esta técnica algebráica aplicada a la búsqueda de la TL-Inversa de funciónes racionales estrictamente propias lo ilustraremos en los siguientes ejemplos:
Example 35 Calcular la TL-Inversa de las siguientes funciones:
1. F(s) = s+2
(s−1
2)(s−2)(s+1)
Solution 36 Como la función dada es una función racional propia cuyo grado del denominador es mayor que
dos y además su factorización tiene tres términos diferentes no repetidos, entonces utilizaremos el primer caso de fracciones parciales para representar esta función como la suma de funciones racionales con denominador lineal
F(s) =− 20 18¡s−1
2
¢+ 8 9 (s−2) +
2 9 (s+ 1)
1R ecu erd e q u e u n a fu nción
H(t) = N(t)
D(t)
se dice unafunción racional siN(t)yD(t)son polinomios. Sideg (N)≤deg (D)entonces la función racional se dicepropia(si la desigualdad es estricta, i.e.deg (N)<deg (D), entonces se dice estrictamente propia). En caso contrario la función racional se dice
A esta última expresión le calcularemos su TL-Inversa
L−1
(
− 20 18¡s−12¢+
8 9 (s−2)+
2 9 (s+ 1)
)
= L−1
(
− 20 18¡s−12¢
) +L−1
½ 8
9 (s−2) ¾
+L−1
½ 2
9 (s+ 1) ¾
= −20 18L
−1
½ 1 s−12
¾ +8 9L −1 ½ 1 s−2
¾ +2 9L −1 ½ 1 s+ 1
¾
= −20 18e
1 2t+8
9e
2t+2 9e
−t
2. F(s) = (ss+3)(2+9ss+2 −1)2
Solution 37 La función dada es una función racional propia cuyo grado del denominador es mayor que dos
y además su factorización tiene un término lineal repetido, entonces utilizaremos el segundo caso de fracciones parciales para encontrar una representción convenitente paraF(s)
F(s) =− 1 s+ 3+
3 (s−1)2 +
2 s−1
A esta última expresión le calcularemos su TL-Inversa
L−1
( − 1
s+ 3+ 3 (s−1)2 +
2 s−1
)
= −L−1
½ 1 s+ 3
¾
+ 3L−1
( 1 (s−1)2
)
+ 2L−1
½ 1 s−1
¾
= −L−1
½ 1 s+ 3
¾
+ 3L−1
( 1 (s−1)2
)
+ 2L−1
½ 1 s−1
¾
= −e−3t+ 3tet+ 2et
3. F(s) = s2+s+3 (s−1)(s2+2s+5)
Solution 38 La función racional propia tiene un factor lineal y uno cuadrático, entonces utilizaremos el primer y el tercer caso de fracciones parciales, respectivamente para encontrar una representción conveniente paraF(s)
F(s) = 5 8 (s−1)+
1 8
A esta última expresión le calcularemos su TL-Inversa
L−1
½ 5 8 (s−1) +
1 8
1 + 3s s2+ 2s+ 5
¾
= 5 8L
−1
½ 1 s−1
¾ +1
8L −1
½
1 + 3s s2+ 2s+ 5
¾
= 5 8e
t+1 8L
−1
½
1 + 3s s2+ 2s+ 1 + 4
¾
= 5 8e
t+1 8L
−1
(
3s+ 1 + 2−2 (s+ 1)2+ 4
)
= 5 8e
t+1 8L
−1
(
3s+ 3−2 (s+ 1)2+ 4
)
= 5 8e
t+1 8
Ã
L−1
(
3 (s+ 1) (s+ 1)2+ 4
) −L−1
( 2 (s+ 1)2+ 4
)!
= 5 8e
t+1 8
à 3L−1
(
s+ 1 (s+ 1)2+ 4
) −L−1
( 2 (s+ 1)2+ 4
)!
= 5 8e
t+3 8e
−tcos (2t)