1 Instituto Tecnológico de Tijuana Subdirección académica Departamento de Sistemas y computación Semestre Agosto- Diciembre 2013 Ingeniería en Tecnologías de la Información y Comunicaciones

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Instituto Tecnológico de Tijuana

Subdirección académica

Departamento de Sistemas y computación

Semestre Agosto- Diciembre 2013

Ingeniería en Tecnologías de la Información y Comunicaciones

González Rocha Juan Carlos 12211517

Profesora: Ma. Eugenia Bermúdez Jiménez

Materia: Algebra Lineal

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Índice:

1.1

Definición de matriz ……… ……….………3

1.2

Operaciones con matrices……….4

1.3

Clasificación de matrices………...…5

1.4

Transformaciones elementales por renglón …...…….……….……6

1.5

Calculo de la matriz inversa ……….………..8

1.6

Definición de determinantes de una matriz……….………. 9

1.7

Propiedades de los determinantes…………...……….10

1.8

Inversa de una matriz ………12

1.9

Aplicación de matrices y determinantes ……….12

(3)

2.1 Definición de matriz

[1] Sea A un anillo unitario y m, n números naturales no nulos. Una matriz m×n

sobre A es una aplicación B:{1,. . ., m} × {1,. . ., n} −→ A.

Escribiremos bij en lugar de B (i, j) y también B = (bij). En la práctica escribiremos los elementos de una matriz m× n dispuestos en m filas y n

columnas así:

B = (

)

Llamaremos Matm×n(A) al conjunto de todas las matrices m × n sobre A.

Las matrices n × n se llaman matrices cuadradas. Escribiremos Matn(A) en lugar de Matn×n(A).

Evidentemente dos matrices B = (bij) y C = (cij) son iguales si y solo si tienen las mismas dimensiones m× n y bij = cij para todo par de índices i, j.

Podemos identificar los elementos de An con las matrices 1 × n, es decir, con las matrices con una sola fila y n columnas. A estas matrices se las llama

matrices fila. Cuando A es un anillo de división se las llama también vectores fila.

Llamaremos matriz traspuesta de una matriz B ∈ Matm×n(A) a la matriz Bt ∈

Matn×m(A) que resulta de intercambiar las filas de B por sus columnas, es decir,

la componente (i, j) de Bt es la componente (j, i) de B. De este modo, la traspuesta de una matriz fila es una matriz columna y viceversa. Claramente Btt= B.

Una matriz cuadrada B es simétrica si B = Bt, es decir, si bij = bji para Todo par de índices i, j.

La fila i-esima de una matriz B es la matriz fila Bi = (bi1,. . ., bin). La columna j-esima de la matriz B es la matriz columna

Bj = [

]

Luego, en este sentido, una matriz m× n tiene m filas y n columnas.

Llamaremos matriz nula de orden m × n a la matriz m × n que tiene todas sus componentes iguales a 0.

Llamaremos diagonal principal de una matriz cuadrada B ∈ Matn(A) a la n-tupla (b11,. . ., bnn).

Una matriz cuadrada es una matriz diagonal si tiene nulas todas sus componentes que no están en la diagonal principal.

Una matriz diagonal es una matriz escalar si tiene todas sus componentes de la diagonal principal iguales entre sí.

La matriz identidad de orden n es la matriz escalar n×n cuyas componentes de la diagonal principal son iguales a 1. La representaremos por In.

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2.2 Operaciones con matrices

[1] Ahora definimos unas operaciones con matrices:

Si B = (bij) y C = (cij) son matrices m× n, llamaremos B + C a la matriz m× n

dada por B + C = (bij + cij ).

Si B = (bij) es una matriz m×n y a ∈ A, llamaremos aB a la matriz m×n dada por

aB = (abij ).

Finalmente definimos el siguiente producto de matrices:

Si B ∈ Matm×n(A) y C ∈ Matn×r(A), la matriz BC ∈ Matm×r(A) es la que tiene en la

posición (i, j) el elemento ∑ .

Es pura rutina comprobar las propiedades siguientes (que se cumplen cuando las dimensiones de las matrices son las apropiadas):

B (CD) = (BC) D.

B(C + D) = BC + BD.

(B + C)D = BD + CD.

BIn = ImB = B.

Si A es conmutativo (BC)t = CtBt.

En general, el producto de matrices no es una operación interna en el conjunto

Matm×n(A), pero si lo es en los espacios de matrices cuadradas. Los espacios

Matn(A) son anillos unitarios con la suma y el producto de matrices.

Ejemplo suma de matrices:

[ ] [ ] [ ]

Ejemplo resta de matrices:

[ ] [ ] [ ]

Ejemplo multiplicación de matrices:

[

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2.3 Clasificación de matrices [2] Triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

[ ]

Triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros

[ ]

Diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

[ ]

Escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

[

]

Identidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

[ ]

Traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

A=[

] At=[

]

Simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At.

Antisimetrica

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Compleja

Sus elementos son números complejos.

Conjugada

Matriz conjugada de una matriz A Aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo)

Hermitiana o hermitica

Una matriz hermitiana (o hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j: A= A*

Por ejemplo

[ ]

Es una matriz hermítica.

Antihermitiana

Una Matriz antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación:

A * = -A O en su forma componente, si (A = ai,j):

̅̅̅̅

Para todas las i y las j

2.4 Transformaciones elementales por renglón

[3] La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que definimos a continuación.

Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los números de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer número distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.

Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades:

1. Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.

2. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente más a la derecha que el pivote de la fila de encima.

Por ejemplo, entre las matrices:

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Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg (E), como el número de filas no nulas de E.

En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n.

La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de rango para una matriz cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuación.

Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres:

1. Intercambiar la posición de dos filas.

2. Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.

3. Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.

Nota: Análogamente podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos después.

El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.

Teorema

A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.

Veamos en un ejemplo cómo se hace. Obsérvese que, primero, hacemos que la componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2,2), y así sucesivamente.

El teorema anterior nos permite hacer una definición importante:

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2.5Calculo de la matriz inversa

[6] En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos A·B y B·A, que darán como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes serán, en general, distintas.

Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In. Por analogía con el caso de los números reales, podemos plantearnos la siguiente cuestión: Si tenemos un número real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para el producto, es decir un número real x tal que 2·x = 1, el producto de 2 por x sea igual al elemento neutro, el 1.

Evidentemente, en el caso de los números reales es bien fácil despejar x para obtener, en nuestro caso, que x =1/2, es decir, el inverso de un número real es otro número que multiplicado por ´el da el elemento neutro, el 1.

*Todo número real, salvo el 0, tiene inverso.

Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que A ・ X = In es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In. Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales:

1. No podemos “despejar” la matriz X del modo X = In A, porque no hemos definido la división de matrices.

2. No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analogía con los números).

Definamos, en primer lugar, el término de matriz inversa: Dada una matriz cuadrada de orden n, A, se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A y representada por A−1 y tal que: A * A−1 = In y A−1 * A = In

-Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.

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Ejemplo: [7]

2.6 Definición de determinante de una matriz

[1] El determinante de una matriz cuadrada es un número real cuya definición exacta es bastante complicada. Por ello, definiremos primero el determinante de matrices pequeñas, y estudiaremos métodos y técnicas para calcular determinantes en general. Solamente se puede calcular el determinante a matrices cuadradas.

En cuanto a la notación, a veces el determinante se escribe con la palabra det, y otras veces se indica sustituyendo los paréntesis de la matriz por barras verticales.

[4] El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o mal condicionados. En otras palabras, sirve para determinar la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales.

• El determinante de una matriz es un número.

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• Un determinante con valor cercano a cero indica que se tiene un sistema mal condicionado.

Un sistema singular es cuando en el sistema de ecuaciones se tiene a más de una ecuación con el mismo valor de la pendiente. Por ejemplo ecuaciones que representan líneas paralelas o ecuaciones que coinciden en los mismos puntos de graficación.

Dada una matriz cuadrada B, escribiremos indistintamente det (B) o |B| para representar al determinante de B.

Según la construcción del teorema anterior, si B = (bij), entonces

∑ ( ) ( ) ∈∑

Por ejemplo, si n = 1 es claro que |a| = a para todo a ∈ A. Para n = 2 tenemos la fórmula:

|

|

Para n = 3 hay 6 sumandos, tres con signo positivo y tres con signo negativo. Se puede comprobar que el desarrollo es el siguiente:

|

|

*El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su Traspuesta.

2.7 Propiedades de los determinantes [5]

1.- |At|= |A| El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

2.-|A|=0 Si: Posee dos líneas iguales

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Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

F3 = F1 + F2

3.-Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal

4.-Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

5.-Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

6.-Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

7.-Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

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2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta

[6] Sea A una matriz de nxn. Entonces A es invertible si y solo si detA≠0. Si detA≠0, entonces

Si detA≠0, entonces se demuestra que (1/detA) (adjA) es la inversa de A multiplicándola por A y obteniendo la matriz identidad:

Si AB=I, entonces B=A-1. Así, (1/detA) adjA=A-1

2.9 Aplicación de matrices y determinantes

[8] Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables.

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Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes:

Resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B).

Nos piden que organicemos la información anterior en dos matrices de tamaño concreto. Si nos fijamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:

Bibliografía:

Algebra, Carlos Ivorra Castillo [1]

http://sureyma.blogspot.mx/2009/10/33-clasificacion-de-la-matrices.html [2]

http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/24-transformaciones-elementales-por.html [3] http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/26-definicion-de-determinante-de-una.html [4] http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/27-propiedades-de-los-determinantes.html [5] http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/28-inversa-de-una-matriz-cuadrada.html [6] http://www.vitutor.com/algebra/matrices/i_e.html [7]

Figure

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