Polinomios, ecuaciones, sistemas de ecuaciones (Gauss) e inecuaciones

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(1)

R

esuelve

Página 73

Los cadetes que desfi lan con su mascota

Una compañía de cadetes, formada en cuadro de 20 metros de lado, avanza con paso regular. La mascota de la compañía, un pequeño perro, parte del centro de la última fi la, punto A, camina en línea recta hasta el centro de la fi la de cabeza, punto B, y regresa del mismo modo hasta el centro de la última fi la. En el mo-mento de volver a alcanzar A, los cadetes han recorrido exactamente 20 metros. Suponiendo que el perro camina con velocidad constante y que no pierde tiem-po en los giros, ¿cuántos metros ha recorrido?

A B

Representamos esquemáticamente el movimiento de la mascota y de los cadetes:

x

20 m

t = 0 t = 0 t

Mascota Cadete cola Cadete cabeza

t = t = t t1

20 m x t =

t = t ttt22

Llamamos x al espacio que recorre el soldado de cabeza hasta que la mascota lo alcanza, y usaremos la x al espacio que recorre el soldado de cabeza hasta que la mascota lo alcanza, y usaremos la x fórmula tiempo = velocidadespacio .

El tiempo que tarda la mascota en llegar hasta el soldado de cabeza, t1, es el mismo que el que tarda el soldado de cabeza en recorrer los x metros.x metros.x

Llamamos vmascotamascotamascota a la velocidad de la mascota y a la velocidad de la mascota y vcadetecadetecadete a la velocidad de los cadetes. a la velocidad de los cadetes. La ventaja del cadete de cabeza es de 20 m.

t1 = tiempo que tarda la mascota en llegar hasta el cadete de cabeza t1 = v 20v

t d

v t v d

v v

vv

v t v d

vv

vma tt v detdet vma v v s a v v s a v v s acoco v v co v v s a v v co v v s att v dd

v t v d

v s a v

v t v d

vmas ama v vma v v s a v vma v v tt vcadd e

t1 = tiempo que tarda el cadete de cabeza en recorrer los x metrosx metrosx t1 = v x

(2)

Luego tenemos la igualdad:

I : I :

I v 20v

t d

v t v d

v v

vv

v t v d

vv

vma tt v detdet vma v v s a v v s a v v s acoco v v co v v s a v v co v v s att v dd

v t v d

v s a v

v t v d

vmas ama v vma v v s a v vma v

v tt vcadd e = vcaxdete

El espacio recorrido por la mascota cuando avanza con los cadetes es 20 + x. El espacio recorrido por la mascota al volver es x, puesto que al fi nal se queda a 20 m del principio. Luego el espacio total recorrido por la mascota es e = 20 + 2e = 20 + 2e x.

El tiempo total durante el cual avanza la compañía, ttt , es el mismo que el tiempo que está la mascota 22 corriendo.

t2 t2

t = tiempo total durante el cual avanza la compañía t2

t2 t = v20

det ca e

t2 t2

t = tiempo total durante el cual corre la mascota

t2 t2

t = v20 2x

t mas as as acocott mas a ma

+

Luego tenemos la igualdad: II :

II : II v20 2x

t mas as as acocott mas a ma

+ =

vca20dete 8 vvmas amas amacadets as acotcotte = 20 220+ x Operamos en la igualdad I:I:I

x(vmascotamascotamascota – – vcadetecadetecadete) = 20 · ) = 20 · vcadetecadetecadete 8 x · x · x vmascotamascotamascota = 20 · = 20 · vcadetecadetecadete + + xvcadetecadetecadete 8 8 x · x · x vmascotamascotamascota = = vcadete(20 + x) x) x 8

8 vmascotamascotamascota = = vcadete(((((((20x+x) )))))) 8 vv 20 1x

det t ca e mas as as acocott mas a ma === 2020+++

Hemos obtenido la razón entre las dos velocidades. Usamos esta relación en la igualdad II y obtenemos:II y obtenemos:II x

x 20

20 2+222xx ==== 202220 10++++ 8 1 + x x

202222xx ==== 220220 10 ++++ 8 x2022xx = 22x0 Operamos y obtenemos:

2xxx = 400 8 x x x22 2 = 200 8 x = 10x = 10x 2 m

(3)

1

Polinomios. Factorización

Página 75

1 Descompón factorialmente los siguientes polinomios: a) x6 – 9x5 + 24x + 24x + 24 4 – 20x3

b) x6 – 3x5 – 3x4 – 5x3 + 2x2 + 8x

c) x6 + 6x5 + 9x4 – x2 – 6x – 9xx – 9

d) 4x d) 4x

d) 4 4 – 15x2 – 5x + 6xx + 6

a) x 6 – 9x 5 + 24x 4 – 20x 3 = x 3 (x 3 – 9x 2 + 24x – 20)x – 20)x

1 –9 24 –20

2 2 –14 20

1 –7 10 0

2 2 –10

1 –5 0

x 6 – 9x 5 + 24x 4 – 20x 3 = x 3(x – 2)2 (x – 2)2 (x x – 5)x – 5)x

b) x 6 – 3x 5 – 3x 4 – 5x 3 + 2x 2 + 8x = x = x x(x 5 – 3x 4 – 3x 3 – 5x 2 + 2x + 8)x + 8)x

1 –3 –3 –5 2 8

2 1 –2 –5 –10 –8

1 –2 –5 –10 –8 0

–1 –1 3 3 8

1 –3 –2 –8 0

4 4 4 8

1 1 2 0

x 2 + x + 2 = 0 x + 2 = 0 x x = x = x ± 2 1 1± 1 1± 8 – ± – –1 1±±± – –1 1±± – –1 1– –1 11 1±± – –1 11 11 11 11 1±±±±±±±± – –1 11 11 11 11 11 1±±±±±±±± –

–1 11 11 1±±±± – (no tiene solución)

x 6 – 3x 5 – 3x 4 – 5x 3 + 2x 2 + 8x = x = x x(x – 1) (x – 1) (x x + 1) (x + 1) (x x – 4) (x – 4) (x x 2 + x + 2)x + 2)x

c) x 6 + 6x 5 + 9x 4 – x 2 – 6x – 9x – 9x

1 6 9 0 –1 –6 –9

–1 –1 –5 –4 4 –3 9

1 5 4 –4 3 –9 0

–3 –3 –6 6 –6 9

1 2 –2 2 –3 0

–3 –3 3 –3 3

1 –1 1 –1 0

1 1 0 1

1 0 1 0

x 2 + 1 = 0 x 2 = –1 (no tiene solución)

(4)

d) 4x x x4 – 15x x x2 – 5x + 6x + 6x

4 0 –15 –5 6

2 8 16 2 –6

4 8 1 –3 0

–1 – 4 – 4 3

4 4 –3 0

, 8 8

x x x xx ,, xx

4x 4x

4x2 4x 3 0–––––––3 03 0 88 xx –4 14 1±± 6 488 88 xxxxxx 1221 xxxxxx ––––––– 23 4 2 4

4x 4x 4xx2 4xx 4xxxx ++4xxxx == 4xx +4xx =

4x +++4x 3 0–––––––––––––3 03 03 03 03 0=== == 4 14 14 16 46 4+ xxxxxxxxxxxxxxxx========= ,,,, xxxxxxxxxxxxxxxx=========–––––––––––––

( )( )

x x xx ((xx ) x)((x )) xx x 4x 1 x

4xxxxxx –155xxxxxx –55xx 6 46 4((xx 2222))((((((xx 1111)))))) xx 12 32 4xx –1 xx

4xxxxxxx44––15555xxxxxxx22––5555 (((((( –––––22222222))))))((((((((((((xxxx 11111111)))))))))))) xxxx––––– 4 4 1 2

4x 1 x 4xx4 1 xx2

4xxxxx44 15555xxxxx22 5555xxxxxx+ =+ =6 46 4 xxxxxx22222222 ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx++++++++++++++++++++++++11111111))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))ccccccxxxxxx 1xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 1mmccxx++++++++++++++++++++++++ m

2 a) Intenta factorizar x4 + 4x + 4x + 4 3 + 8x2 + 7x + 7x + 7 + 4.xx + 4.

b) Hazlo ahora sabiendo que es divisible por x2 + x + 1.xx + 1.

a) El polinomio dado no tiene raíces enteras (de hecho, no tiene raíces reales). b) Hacemos la división:

x x

x4 + 4x x x3 + 8x x x2 + 7x + 4x + 4x x x x2 + x + 1x + 1x –x

–x

– x x4 – x x x3 – x x x2 x x x2 + 3x + 4x + 4x 3x x x3 + 7x x x2 + 7x + 4x + 4x

–3x x x3 – 3x x x2 – 3x 4x x x2 + 4x + 4x + 4x – 4x x x2 – 4x – 4x – 4x 0

Los polinomios x x x2 + x + 1 y x + 1 y x x x x2 + 3x + 4 son irreducibles (las ecuaciones x + 4 son irreducibles (las ecuaciones x x x x2 + x + 1 = 0 y x + 1 = 0 y x x x x2 + 3x + 4 = 0 no tienen solución).x + 4 = 0 no tienen solución).x

Por tanto:

( )( )

x 4x 8x x ((x x ))((x x )) x 4x 8

x4 x3 xx 77xx 44 (( 1111)()(((((((xx 3333xx 44)))))))) x4 x3

x4 44x3 88 x 4x 8 x4 x3 x 4x 8

x x xxxxxx222222 7777xxxxxx 4444 ((((((xx222222 xx 1111))))))((((((((((((((xxxx2222 3333xxxx )))))))))))))) x + x +

x +44x +88 x 4x 8 x + x + x 4x 8

x x

x4 x3 x + x + x4 x3 x44+4444x33+8888 x 4x 8 x4 x3 x 4x 8 x + x + x 4x 8 x4 x3 x 4x 8

x x xxxxxxxxxxxxxxxxxx222222222222++++++777777777777xxxxxxxxxxxxxxxxxx++++++444444444444======((((((((((((((((((((((((xxxxxx222222222222++++++xxxxxx++++++111111111111)))()))))))))))))))))))))(((((((((((((((((((((((((((((xxxxxxxxxxxx22++++++333333333333xxxxxxxxxxxx+ ))))))))))))))))))))))))))))))

3 Intenta factorizar 6x4 + 7x + 7x + 7 3 + 6x2 – 1. Vuelve a intentarlo sabiendo que –

2 1 y

3

1 son raíces suyas. El polinomio dado no tiene raíces enteras.

Teniendo en cuenta el dato adicional (que – y 21 31 son raíces), procedemos así:

6x x x2 + 6x + 6 = 0x + 6 = 0x 6(x x x2 + x + 1) = 0x + 1) = 0x

x = x =

x –––––––1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1±±±±±±2 –––––––4 (no tiene solución) 6

6(

x

6 7 6 0 –1

6(–1/2

6(

6(–3

6(

6(–2

6(

6(–2

6(

6(1

6(

6 4 4 –2 0

1/3

x1/3

x2

x2

x2

x2

x2

x2

x

6 6 6 0

Por tanto:

6x x x4 + 7x x x3 + 6x x x2 – 1 = ccxx+++++++++++++ ccxx 666666666666666666666666666666666666666666666666666(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2222222222222222222222222222222222222222222+++++++++++++xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx+ =+ =+ =+ =+ =+ =+ =+ =+ =+ =+ =+ =111111111111111111111111111111111111111111111111111)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) () ())))))))))))) ()))))))))))))))))))))))) () (((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((2 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 1xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx++++++++++++++++++++++++++ )))))))))())))))))())())()))))))))))))))))))))())))))))()))))))))()))))))())))))()))())()))()))))))))))))))))))))(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((33333333333333333333333333xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx11111111111111111111111111)))))()()()))())))))))))))))))))))))))))))))))))())))))))))))))))))))()())))))))))())))))))))))))))))))))))))))))))))))()()(((((((((((((((((((((xxxxxxxxx2222222222222222222222222222222222222222222++++++++++++++++++++++++++xxxxxxxxx+1))))))))))))))))))))))))))))))) 2

cxx 22 cxx cxx 21 cxx cxx 11 cxx

cxxxx+ 1 cxxxx + cxxxxxx++ 11 cxxxxxx ++

cxxxxxxxxxxxx+++++++++ 11mmmmmmmmmmcxx 1xxxxxxxxx 1x–––– 111313mmmmmmmmmm +++++++++ ––––

c mc m

cx cx

cxx mcxx m

cx cx

c mc m

cx cx

cxx mcxx m cxxx+ cxxx + cxxxx++ mcxxxx m ++ cxxxx++ cxxxx ++

(5)

2

Fracciones algebraicas

Página 77

1 ¿Verdadero o falso?

a)

xx2+ =+11 x1+1 b)

xx2––11= x1+1 c)

x 1 x

3x 3

3x 3

1 3

3 –3

3 3

2 = +

d) x x

x

1 1 1–

+ =

a) Para comprobar si son equivalentes, multiplicamos en cruz: (x + 1)(x + 1)(x x + 1) ≠ x + 1) ≠ x x x x2 + 1, luego es falso.

b) Para comprobar si son equivalentes, multiplicamos en cruz: (x – 1)(x – 1)(x x + 1) = x + 1) = x x x x2 – 1, luego es verda-dero.

c) La primera fracción es el triple de

xx2––11, y la segunda es el triple de x 11+ que son las fracciones del apartado anterior, luego es verdadero.

d) Operamos en el miembro de la izquierda:

x

x x

x

1 1

x 1 x 1

x x

x 1 x 1 xx x 1 x 1

x x

x+ x

x x =

Obtenemos el miembro de la derecha, luego es verdadero.

2 Reduce previamente a común denominador las fracciones algebraicas siguientes, y súmalas:

x

x+ 7 xx2–2x x2 x

x x

x +x

x x – 2222xxxx++11111

( )

x x

x x x xx x(( )) x 1 x ((1 1)) x 1 x 1

x x

2 x2 x x x x x= x x

+ = x + =x

x x (( + )) x+ =x

x x

x 1 x 1 x+ =x x 1 x 1

x 11 x+11

4

mín.c.m. = x (x (x x + 1)x + 1)x

Reducimos a común denominador:

( )

( )( )

( )

x x

x x( ) x x( ) (x ) x

( )

x x( ) x x( )

x x

7

( 1) (7 )1 ( 7) 1 (xx 77)((xx 11)) (x ) x ( 7) 1 (x ) x (xx 7)((((xx 1))))

( 1) (8 )7 x 8x 7 x2 x x2 x

x x

+ = ((((((((((((xxxxxxxxxxxxxx+++++((77777777)))))()))))())+((((((((((xxxxxxxxxxxxxx+++++))11111111)))))))))))) =

( + )

( )

x + +x x + +88x 77 x 8x 7 x + +x x 8x 7

x x

( )

xx2–––222x x xx xxxx(((( –––21)))) x2 x

x x x +x

x x = (( + ))

( )

( )

( ) ( )

xx 1 ((x xx x((xx ))))xx x xx x((x x)) x xx x((x x)) 2 1x

2 1x

( 1)

( )

(2 1)

( )

( x )x (2 1) ( x )x

( )

( 1)

( )

2

( 1)

( )

2 – 2 12 1 =++ – – xx2222 xx – x22xxx2222–xxxx

– =–

– – ((((((((2 12 1((xxxx++))) =)))))))xxxx –– ((xxxxxx22+++x =xxxxx)) =–– ((22+ ))

– – – –

Las sumamos:

( ) ( ) ( )

x x

xx x xx xx xx x(( x )) x xx xx(( )) x xx x((x ))x

7 2

1 2 1x 2 1x

( 1) (8 )7 x 8x 7

x x

( 1)

( 2) 2(( 1))

– – ––22 –– xxxx

2 x2 x x x

2 x2 x

x x xx22 xx

+ + x +x

x x 2 12 1 =++ xxxxxx + ++ ++ +((8888+xxxxxx ))7777+ (( + )) + (( + )) =

x x

x x x x x

x x

x x

8 7

x 8x 7

x x xxxxxxxx– –– –2 22 22 2x –xxxxxxx ––xx –x––xxx 8 58 5xxxx 2

x2 x x x

2 2

x2 x 2

x22 88x 77 xx xx22 x 8x 7

x2 x 2

x 8x 7

x22 x xxxx 2 22 22 22 2xxxx22

2 x2 x x x 2 x2 x

x x

=

x +x x x x + +x x + +88x 77 x 8x 7 x + +x x 8x 7

x x

x2 x 2

x + +x

x2 x 2

x22+ +8888x 7777 22 x 8x 7

x2 x 2

x 8x 7 x + +x x 8x 7

x2 x 2

x 8x 7

x22 x ++ 22 =

x +x x x x + +x x + +8 58 5x x 8 5x x + +x x 8 5x

(6)

3 Efectúa: a)

x21–1 +x2+x1 xx–1 b)

xx+1+5x

a)

x21–1 + x2+x1 – xx1 = (((((((((((((xxxxxxxxxxx11111111)()()))))())())))1(((((((((xxxxxxxxxxx+11111111))))))))) x)))) + 2+x1xx1 =

= (((((((((((((((((((((xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx1111111111111111111111))())()))))()())())))))))()1(((((((((((((((((((((((((((((((((xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx++1111111111111111111111) ()))))))))))))))))))))))))))))))))) ()))) + (((((((((((((xxxxxxxxxxx222222x xx xx xx xx xx x11111111((((((((((((()()()())))())))))))(((((((((((xxxxxxxxxxx111111++++++++++))) –))))))))))11111111))))))))))))))) (((((((((((((((((((((((((((((((xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx x(((((((11111111111111)))))))))()())))))))))))))()))())))(+((((((((((((((((xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx1++++++++++)))))))11111111111111)))))))))))))))))))))=

= 1 21 21 2+++++++++++++ x xx xx xx xx xx x(((((((((((((xxxxxxxxxxx(((((((((((((((((((((((((((– –– –– –– –– –– –1111111111111111111111111111111)())()())))())()))(((((((()))) x x)))))))))))))))))))))))xxxxxxxxxxx+x xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx x11111111((((((((((((((((((((())))))))))))) +++++++++++++11111111111111111111111))))))))))))))))))))) =

=

x

x x x x

x

x x

1 1 2xx 2xx

1 3 1 x 3 1x

x x

– –

xx

x x

x 2x xxx 2x

x x xxxx

xx

x x

2

2 2

x2 x 2 x22 22x xx22 xx x 2x

x2 x 2 x 2x

x x

2 2 x2 x

x x

1 2+

1 2 = 3 13 1+

b) xx+1 + = 5x xxxxxxxxx+++++555555555555xxxx(xxxxx(x+(((((((((((((((((xxxxxx1+++++111111111111))))))))))))))))))) = x xx xx xx x(((((((((((((55x55++16666)))))) =))))))) 55555555xxxxxxxxxxxx222++166666666xxxxxxxxxxx

4 Efectúa estas operaciones:

a) x

x x

x 2

2 3

x 2x 3

x x

5 2x 3 2x 3

x x

x2 x ·

x2 x

x 22x+33 + 2 +3

2 3

b) :

x

x x

x 2

2 3

x 2x 3

x x

5 2x 3 2x 3

x x

x2 x

x2 x

x 22x+33 + 2 +3

2 3

a) xxxxxxx22–x2222xxxxxxx2+3333 ·2222xxx++53 = 333 (((x (((x x )))(x))() ) )

x x

2 5

( 2) 5 (xx 22)((xx 55)) (x ) x ( 2) 5 (x ) x (xx 2)((((xx 5)))) ( 2 3)

( )

(x x ) ( 2 3) (x x ) ( )((((((22xx 33))))))

3 1

x 3x 1

x x 0

2x x 9 2x x 9 (x ) x

( – ) (x ) x

( )

(x x )

( – )

(x x )

( )

3 –1

3 1

x x 2xxxx 9 2x x 9 2

( 2 )

( )

(x x )

( 2 )

(x x )

( )

2 x2 x

x x

3 2

2 3 2 9 2x x 9 2xx3 xx2 9 2x x 9

( )

2 (( +5)) 2+( 5)+

( + ) +

( + )(( + )) ( 2 3)

( + ) +

( 2 3)

( ++ )((((((((((((2222xxxx++3333)))))))))))) = x + x

x x

2 +9

2 9

b) xxxxxxx22–x2222xxxxxxx2+3333 :2222xxx++533 = 33 (((((((((xxx(((((((((22xxxxx22xxx33))())()))))(((33xxxxx))()()))))()((x2)))))5))) x)) x x 2x x 6 23x x7 6 x 3x 7

x x 15

( – )

( )

(x x )

( – )

(x x )

( )

2 – –6 2x x 6 2xx – –xx 6 2x x 6 2

( 2 )

( )

(x x )

( 2 )

(x x )

( )

2

2 2 6

2x x 6 2xx2 xx 6 2x x 6

3 2

x3 x2 x3 33x2 77 x 3x 7 x3 x2 x 3x 7

x x

( x ) x (2 3) ( x ) x ( + ) ( x ) x (2 3) ( x ) x

( +) +

( + ) +

( ++ )((((((xx++ )))))) ( 2 3)

( + ) +

( 2 3)

( ) = xxxxxxxxxxxxxxxxxx333333+++++++++3333333333333333xxxxxxxxxxxxxxxxxx222222––7777777777777777xx+++++++++

5 Calcula:

a) :

x

x : x

x 2: x

x 2 x

x x

x+ x

x ccx ·· mm

x cx m

x x

x

c xx m

c 3 x m

c 31 m

c 1 2 1m

c 22xx 11m c 2xx 1m c 22 +11m c 22 +11m

c m

c m

b) x

x x

x

x x

1 x x

x x ·

2 4 2

x4 x2

x x

4 4 2

x4 x2

x x

+ xxx +xxx

4 2

x +x x4 x2

x x

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