Peter Hummelgens 10 de diciembre de 2006

(1)

Clase 1: Asuntos B´

asicos

Peter Hummelgens

10 de diciembre de 2006

1. Soporte de una funci´

on.

Sea A ⊂ R un conjunto, entonces se obtiene la clausura ¯A de A en R agregando a A

todos sus puntos de acumulaci´on (o puntos l´ımites). As´ı ¯Asiempre es un conjunto cerrado en

R.

Ejemplo 1.

(0; 1) = (0; 1] = [0; 1) = [0; 1], (−∞; 1) = (−∞; 1], Q=R,

{−1,0,3}={−1,0,3},

½

1

n |n= 1,2,3,· · ·

¾

=

½

0,1,1

2, 1 3,· · ·

¾

,

[−3; 1)∪(2,3) = [−3; 1]∪[2; 3]

Sea f :R−→C continua, entonces el soporte de f es por definici´on

sop(f) :={x∈R|f(x)6= 0} (siempre un conjunto cerrado).

Por ejemplo:

a

b c

(2)

sop(f) = (−∞;a]∪[b;c].

g(x)=sen(x)

x

sop(g) = R.

Un conjunto cerrado y acotado enRse llama un compacto enR. En las figuras anteriores

f y g no son de soporte compacto, pero

h(x) =

     

    

0; x <−1 1 +x; −1≤x≤0 1−x; 0≤x≤1 0; x >1

s´ı es de soporte compacto,sop(h) = [−1; 1].

f(x)

x+1 1−x

0 1 x

1

−1

Observe

(3)

2. Espacios vectoriales de funciones.

Sea V el conjunto de todas las funciones f : R −→ C (advertencia: en este curso las funciones pueden tomar valores complejos en general). Paraf, g ∈V,λ∈Cdefinimosf+g, λf :R−→C (es decir f +g, λf ∈V) por

(f +g)(x) :=f(x) +g(x), x∈R

(λf)(x) :=λf(x), x∈R (1)

(esto es nada nuevo: bachillerato). Con las operaciones (1) V es un espacio vectorial (complejo) cuyos elementos (vectores) son funciones R → C. Que V es un espacio vectorial significa que podemos aplicar todas las reglas algebraicas usuales, como

f+g =g+f, f + (g+h) = (f+g) +h:=f +g+h(no hace falta poner par´entesis),

λ(f+g) =λf +λg, λ(µf) = (λµ)f, f + 0 =f (donde 0 es la funci´on R−→ {0}),

f −f = 0,· · · etc.

En general trabajaremos con subconjuntos W ⊆ V de funciones con propiedades especiales: continuas, diferenciables, integrables,· · · etc. Del algebra lineal tenemos un criterio f´acil para verificar que W ⊆ V es tambi´en un espacio vectorial bajo las mismas operaciones (1):

Para que W ⊆V sea un espacio vectorial es necesario y suficiente que

f, g ∈W, λ∈C =⇒ f +g, λf ∈W. (2)

Decimos entonces queW es un subespacio lineal de V.

Ejemplo 2.

(a) C(R) : todas las funciones continuas en R, Ck₍_R_{) (1}_≤_{k <}_∞)_{: las funciones} _k _veces

diferenciables con continuidad, C∞₍_R_{) :} _{las funciones infinitas veces diferenciables}

(no hace falta agregar “con continuidad” ya que diferenciable=⇒ continua). Tenemos entonces los espacios Ck₍_R_{) (0}_≤_k _{≤ ∞)}_{, donde} _C0₍_R_{) =} _C₍_R₎_{. Es f´acil verificar (2)}

con W =Ck₍_R₎_{, de modo que} _Ck₍_R₎ ₍₀_≤_k _{≤ ∞}_{) es un espacio vectorial.}

(b) Ck

0(R) (0 ≤k ≤ ∞): las funciones f ∈Ck(R) con sop(f) compacto. Es f´acil verificar

(2)con W =Ck

0(R), de modo que

Ck

(4)

Notaci´on (de L. Schwartz): D(R) = C∞

0 (R), un espacio fundamental para este curso,

llamado el espacio de las funciones de prueba.

Ejemplo 3. (a) L1₍_R₎_{: las funciones} _f _: _R _−→ _C _{tales que existe} R∞

−∞

|f(x)|dx. Para verificar que L1₍_R₎ _{es un espacio vectorial observamos primero la desigualdad}

triangular

|f(x) +g(x)| ≤ |f(x)|+|g(x)|,

luego

f, g∈L1(R) =⇒

∞

Z

−∞

|(f+g)(x)|dx (1)=

∞

Z

−∞

|f(x) +g(x)|dx

≤

∞

Z

−∞

|f(x)|dx+

∞

Z

−∞

|g(x)|dx

existe ya que existen

∞

R

−∞

|f(x)|dxy

∞

R

−∞

|g(x)|dx=⇒f+g ∈L1₍_R₎_{. Adem´as, con}_λ_∈_C_,

∞

Z

−∞

|(λf)(x)|dx (1)=

∞

Z

−∞

|λf(x)|dx=|λ|

∞

Z

−∞

|f(x)|dx

existe=⇒ λf ∈L1₍_R₎_{. Con esto verificamos (2) con} _W ₌_L1₍_R₎_{. El espacio} _L1₍_R₎ _se

llama el espacio de las funciones absolutamente integrables. (b) L1

loc(R): Las funciones f : R −→ C tales que existe

R

K

|f(x)|dx para todo compacto

K ⊂R. A este espacio lo llamaremos el espacio de las funciones localmente integrables (“localmente”, es decir, sobre todo compacto). Es claro queL1

loc(R)es un espacio vectorial.

Observemos:

Ck

0(R)⊂L1(R)⊂L1loc(R) (0 ≤k ≤ ∞)

Ck₍_R₎_⊂_L1

loc(R) (0≤k ≤ ∞).

(c) Veamos algunos ejemplos concretos:

f(x) = 1

(5)

0 x f(x)

Tenemos

∞

Z

−∞

|f(x)|dx=

∞

Z

−∞

dx

1 +x2 = [arctanx]

∞ −∞=π,

existe =⇒ f ∈L1₍_R₎_.

g(x) =

  

0; x <1 1

x, x >1 .

0 1 x

g(x)

Tenemos _∞

Z

−∞

|g(x)|dx=

∞

Z

1

dx

x = [lnx]

∞

1 = ln∞=∞,

no existe =⇒ g /∈L1₍_R₎_{, pero evidentemente} _g _∈_L1

loc(R).

(6)

0 h(x)

x

ex e−x

Verifique que h∈L1₍_R₎_.

3. Funcionales lineales.

Sea V un espacio vectorial complejo. Un funcional lineal sobre V es por definici´on una aplicaci´on linealT :V −→C, es decir

T(f+g) =T(f) +T(g)

T(λf) =λT(f) (3)

para todof, g ∈V,λ ∈C. Introducimos la notaci´on de corchete h, i:

hT, fi=T(f).

Con esta notaci´on (3) dice que

hT, f +gi=hT, fi+hT, gi

hT, λfi=λhT, fi (4)

Siguen 2 ejemplos fundamentales:

Ejemplo 4. Sea a∈R arbitrario fijo. Entonces definimos

δa :C(R)−→C por

hδa, fi:=f(a), f ∈C(R).

(7)

a

f(x)

g(x)

x g

a,

δ

f

a,

δ

Podemos llamar δa un operador de evaluaci´on (δa eval´ua cualquier f :R−→C continua

en x=a). Veamos que δa es un funcional lineal. Para f, g∈C(R), λ∈C tenemos

hδa, f +gi

(5)

= (f +g)(a)(1)= f(a) +g(a)(5)=hδa, fi+hδa, gi,

hδa, λfi

(5)

= (λf)(a)(1)= λf(a)(5)= λhδa, fi,

y as´ı verificamos (4) con T = δa. El funcional lineal δa se llama la delta de Dirac centrada

en x=a. Los f´ısicos hablan de la “funci´on delta”, lo que es incorrecto: δa no es una funci´on

sino un funcional. Escribimos simplemente δ en lugar de δ0.

Ejemplo 5. Sea f ∈L1

loc(R) fijo. Definimos

Tf :D(R)−→C por

hTf, ϕi:= ∞

Z

−∞

f(x)ϕ(x)dx, ϕ∈ D(R). (6)

Comosop(ϕ) =K es compacto,sop(f ϕ)⊆K también es compacto (un subconjunto cerrado de un compacto es compacto), es decirf(x)ϕ(x) = 0fuera de algún compacto y por lo tanto la integral en (6) realmente no es una integral impropia sino es una integral sobre un intervalo compacto, por lo tanto existe, de modo que hTf, ϕi está bien definido para todo ϕ ∈ D(R).

Veamos que Tf es un funcional lineal. Para ϕ, ψ ∈ D(R), λ∈C tenemos

hTf, ϕ+ψi

(1)

=

(6)

∞

Z

−∞

f(x)[ϕ(x) +ψ(x)]dx=

∞

Z

−∞

f(x)ϕ(x)dx+

∞

Z

−∞

f(x)ψ(x)dx

(6)

(8)

hTf, λϕi

(1)

=

(6)

∞

Z

−∞

λf(x)ϕ(x)dx=λ

∞

Z

−∞

f(x)ϕ(x)dx(6)= λhTf, ϕi,

y as´ı verificamos (4) con T =Tf.

4. El concepto “casi siempre”.

Sean f, g :R−→C. Decimos que f y g son casi siempre iguales (f(x) =g(x) c.s.en R) si, y sólo si, f(x) =g(x) en R excepto posiblemente en un conjunto de medida cero, donde para los fines prácticos podemos entender como conjunto de medida cero un conjunto finito o infinito de puntos discretos (no queremos entrar en sutilezas matemáticas). En este caso seguramente, sif, g ∈L1

loc(R), ∞

Z

−∞

f(x)ϕ(x)dx=

∞

Z

−∞

g(x)ϕ(x)dxpara todo ϕ∈ D(R).

Resulta que el inverso tambi´en es cierto:

Lema 1. (Du Bois-Reymond) Si f, g ∈L1

loc(R), entonces

f(x) =g(x)c.s. en R ⇐⇒ hTf, ϕi=hTg, ϕipara todo ϕ∈ D(R).

(=⇒ es trivial, ⇐= es la afirmaci´on importante). Conclusi´on: f, g ∈ ÃL1loc(R) definen el

mismo funcional lineal Tf = Tg : D(R) −→ R ⇐⇒ f(x) = g(x) c.s. en R. Esta es una de

las razones por la cual desde ahora y adelante consideraremos 2 funciones en L1

loc(R) como

la misma funci´on cuando son iguales c.s.en R (son entonces id´enticas como funcionales lineales).

Podemos entonces cambiar los valores de una función en un conjunto de medida cero y el resultado será “la misma función”. Más aún podemos entonces dejar de definir una función en un conjunto de medida cero.

Ejemplo 6.

ha(x) =

(

0; x≤a

1; x > a

(9)

a 1

x

y

e

ha(x) =

(

0; x < a

1; x≥a

con gr´afica

a x

1

definen la misma funci´on en L1

loc(R) ya que

ha(x) =eha(x)c.s. en R ({a} es un conjunto de medida cero).

¿Cuál de las 2 definiciones es la más apropiada?. La pregunta es inútil: podemos dejar de definir la función en x=a y escribir

ha(x) :=

(

0; x < a

1; x > a ,

as´ı evitando discusiones interminables. La funci´on ha se llama la funci´on de Heaviside