Comportamiento asintótico de la solución de un sistema acoplado de ecuaciones de Korteweg-de Vries generalizadas

TESIS PUCP

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CAT ´OLICA DEL PER ´U ESCUELA DE GRADUADOS

COMPORTAMIENTO ASINT ´

OTICO DE LA SOLUCI ´

ON DE

UN SISTEMA ACOPLADO DE ECUACIONES DE

KORTEWEG-DE VRIES GENERALIZADAS

Tesis para optar el grado de

Magister en Matem´

aticas

Presentada por:

Gladys Cruz Yupanqui

Indice

1 Preliminares 8

1.1 Teorema de Kato para problemas de evoluci´on cuasi lineales. . . 8

1.2 Desigualdades ´utiles. . . 10

2 El problema lineal 12 3 Buena formulaci´on local 16 3.1 Hip´otesis X.. . . 17

3.2 Hip´otesis A1. . . 18

3.3 Hip´otesis A2. . . 24

3.4 Hip´otesis A3. . . 32

4 Existencia de soluci´on global y su comportamiento asint´otico 34 A Espacios de Sobolev 53 A.1 Modelados enL2(R). . . 53

A.2 Modelados enLp_{(R), 1≤p≤ ∞.. . . . 56}

B Semigrupos de operadores 59 B.1 Definiciones.. . . 59

RESUMEN

El objetivo principal en este trabajo es estudiar el comportamiento asint´otico en el tiempo de las soluciones del problema de valor inicial

                

∂tu+∂x3u+α∂x3v+up∂xu+vp∂xv= 0

∂tv+∂x3v+α∂x3u+vp∂xv+∂x(uvp) = 0

u(x,0) =u0

v(x,0) =v0,

donde α es una constante real menor que 1. El sistema se considera para x _∈ R y t _≥ 0. El exponente p es un entero mayor o igual a 1. El sistema tiene la estructura de un par de ecuaciones de Korteweg-de Vries generalizadas acopladas a trav´es de ambos efectos dispersivos y no lineales, y es un caso particular del sistema derivado por Gear y Grimshaw como un modelo para describir la interacci´on fuerte de ondas largas d´ebilmente no lineales.

Para esto se demuestra, mediante la teor´ıa de T. Kato para ecuaciones de evoluci´on cuasi lineales del tipo hiperb´olico, que el problema est´a bien formulado localmente en los espacios cl´asicos de Sobolev Hs_(R)×Hs_{(R) para s ≥ 3. Usando el m´etodo de la fase estacionaria}

analizamos la parte lineal del sistema y entonces usando la versi´on integral de nuestro problema se genera el siguiente resultado: existe una constante C >0 tal que

k(u, v) (t)_kH3

∞ ≤C(1 +t)

−1/3

cuando t_{→ ∞}, suponiendo que el dato inicial en t= 0 satisface las condiciones para p _≥4 y

|α_|<1.

Introducci´

on

En la Universidad del Sur de California, efectuaron una serie de experimentos que involucran la interacci´on entre solitones. En estos experimentos ocurre un tipo de interacci´on bastante curioso.

El experimento consiste en estudiar dos ondas solitarias que se propagan en una direcci´on a lo largo de interfases separadas verticalmente en un fluido estratificado y cuyas velocidades de fase difieren por una cantidad relativamente peque˜na. Cuando las interfases por las que se propagan las ondas est´an separadas, pero no son muy distantes, aparece el siguiente, y muy peculiar fen´omeno: La energ´ıa puede ser transferida de la onda m´as r´apida, que moment´aneamente se encuentra adelante, a la onda m´as lenta, temporalmente atrasada. Si un sistema de referencia se mueve con el centro de masa de las dos ondas, observamos que en este intercambio de posiciones, la onda delantera cede energ´ıa, y por tanto velocidad, a la onda de atr´as. Bajo tales condiciones de resonancia, la energ´ıa ser´a intercambiada alternativamente entre las ondas en la direcci´on opuesta a su propagaci´on, y resultar´an saltos sucesivos. Esto es, como si los solitones jugaran lingo.

Tomando por hip´otesis algunas de las caracter´ısticas de los experimentos y usando las ecua-ciones de Lagrange para fluidos estratificados, se construy´o el modelo

    

∂tu+∂x3u+α∂x3v+u∂xu+βv∂xv+γ∂x(uv) = 0

∂tv+α∂x3u+∂x3v+γu∂xu+v∂xv+β∂x(uv) = 0

(0.1)

dondeα,β yγ son constantes reales, u=u(x, t) y v=v(x, t) son funciones con valores reales parax_∈R,t_≥0. El sistema (0.1) tiene la estructura de un par de ecuaciones de Korteweg-de Vries generalizadas acopladas a trav´es de los efectos no lineales y dispersivos, y describe la interacci´on fuerte entre ondas largas, d´ebilmente no lineales.

decir, que los solitones no se separen) se repite el an´alisis pero para un sistema acoplado de ecuaciones de Schr¨odinger no lineales, el cual describir´a un par de solitones sincronizados, tal como los que aparecen en fluidos.

El problema de Cauchy asociado al sistema (0.1) ha sido estudiado por Bona, Ponce, Saut y Tom [BPST]. Ellos probaron que (0.1) es globalmente bien formulado en _Hs_{(R) para s≥1}

siempre que _|α_| < 1. Este resultado fue mejorado posteriormente por Ash, Cohen y Wang [ACW] cuando mostraron que (0.1) es globalmente bien formulado en_L2_(R).

W. Strauss [St] utiliz´o el m´etodo de la fase estacionaria para estudiar el comportamiento asint´otico en el tiempo de la ´unica soluci´on del problema de valor inicial asociado con la ecuaci´on de Korteweg-de Vries _

   

∂tu+∂x3u+u∂xu= 0 x∈R,t >0

u(x,0) =u0;

consiguiendo demostrar que siues tal soluci´on, existe una constanteC >0 tal que_ku(x, t)_{k ≤} C(1 +t)−13 cuandot→+∞, siempre que el dato inicial u

0 sea suficientemente peque˜no.

En este trabajo consideraremos un sistema acoplado de ecuaciones generalizadas de Korteweg-de Vries, m´as general que (0.1)

                

∂tu+∂x3u+α∂x3v+up∂xu+vp∂xv= 0

∂tv+∂x3v+α∂x3u+vp∂xv+∂x(uvp) = 0

u(x,0) =u0,

v(x,0) =v0.

(0.2)

donde el exponente p es un n´umero entero mayor o igual que 1, naturalmente se formula la siguiente pregunta: ¿es posible obtener un resultado de existencia y unicidad global para (0.2) usando un procedimiento similar al seguido para (0.1)?

El objetivo principal de la tesis consiste en estudiar el comportamiento asint´otico en el tiempo de la soluci´on del sistema para p_≥4. Espec´ıficamente, se demostrar´a que el problema (0.2) est´a bien formulado globalmente en los espacios cl´asicos de Sobolev_Hs_{(R) paras≥3. Se}

dice que el problema (0.2) est´a bien formulado en_Hs(R) si ´este genera un flujo local continuo en

Hs_{(R) (es decir, si la existencia, unicidad, persistencia y dependencia continua sobre los datos}

iniciales se cumplen). Utilizaremos la teor´ıa de T. Kato para demostrar la buena formulaci´on local del problema (0.2). El problema est´a globalmente bien formulado si el flujo local puede ser continuado indefinidamente en la variable temporal, definiendo as´ı una soluci´on de (0.2) v´alida para todo t _≥0. Usando la versi´on integral del problema de Cauchy para (0.2), se estudia el

comportamiento asint´otico de la soluci´on para grandes valores dep.

El trabajo est´a organizado como sigue, en el primer cap´ıtulo se enuncian sin demostraci´on la teor´ıa de Kato y algunas desigualdades ´utiles para el trabajo posterior. En el cap´ıtulo 2 se demuestra que el problema de valor inicial lineal asociado a (0.2) tiene soluci´on ´unica.

En el tercer cap´ıtulo se estudia la buena formulaci´on local utilizando la teor´ıa de T. Kato para ecuaciones de evoluci´on cuasi lineales, es decir se verifica que el problema satisface las hip´otesis de Kato. En el ´ultimo cap´ıtulo, mediante los estimados a priori se demuestra la exis-tencia global de las soluciones, las cuales se usan para el an´alisis del comportamiento asint´otico de las soluciones para p _≥ 4. Al final de este trabajo, se incluyen dos ap´endices sobre los espacios de Sobolev generalizados y los semigrupos de operadores lineales.

Notaciones

X,Y espacios de Banach

B(X, Y) espacio de operadores lineales acotados deX en Y

B(X) =_B(X, X)

C([0, T], X) espacio de funciones continuas de [0, T] enX

C1([0, T], X) espacio de funciones continuamente diferenciables de [0, T] en X

D(A) dominio de los operadores lineales A.

[A, B] =AB₋BAconmutador de los operadoresA yB

b

u(ξ) = √1

2π

Z

R

e−iξxu(x)dx transformada de Fourier ∨

u(x) = _√1 2π

Z

R

eiξxu(ξ)dξ transformada inversa de Fourier

Ck(R) espacio de las funciones continuas diferenciables de ordenken R

C∞_{(R) =} \

k≥0

Ck_{(R) espacio de las funciones infinitamente diferenciables enR}

C₀k(R) espacio de funciones de clase C∞con soporte compacto S(R) espacio de Schartz enR

S′(R) espacio de las distribuciones temperadas en R

Lp(R) espacio de Lebesgue en Rde ordenp, 1_≤p_{≤ ∞}

k·kLP norma en Lp(R)

L∞(R) espacio de las funciones medibles escencialmente acotadas enR

k·kL∞ norma en L∞(R)

Js=¡1₋∂_x2¢s/2 potencial de Bessel de orden₋s

H_ps(R) =J−sLp(R) espacio de Sobolev de ordenscon base en Lp(R) Hs_{(R) =H}s

2(R) espacio de Sobolev de ordens con base enL2(R).

h·,_·iL2 producto interno enL2(R)

k·ks=kJs·kL2 Norma enHs(R)

k·kHs p =kJ

s_·kL

P norma en H_ps(R)

Hs

p(R) =Hps(R)×Hps(R) espacio producto deHps(R) porHps(R) Lp(R) =Lp(R)_×Lp(R) espacio producto deLp(R) porLp(R)

h·,_·is×s=h·,·is+h·,·is producto interno enHs(R) k·k2s×s=k·k2s+k·k2s norma en Hs(R)

k·k2_Hs p =k·k

2

Hs p+k·k

2

Hs

p norma enH

Cap´ıtulo 1

Preliminares

El cap´ıtulo est´a organizado de la siguiente manera. En la primera secci´on enunciamos sin demostraci´on los resultados de la teor´ıa de Kato. Estos son formulados de una manera liger-amente diferente a [K1], pero acorde a nuestras necesidades actuales. En la siguiente secci´on, enunciamos sin demostraci´on algunas desigualdades ´utiles que usaremos en el trabajo.

1.1. Teorema de Kato para problemas de evoluci´

on cuasi lineales.

El contexto anal´ıtico-funcional de la teor´ıa de Kato consiste de un par de espacios de Banach reflexivos X e Y, donde Y est´a contenido en X con la inyecci´on continua y densa. El papel central en la teor´ıa lo desempe˜na un isomorfismo suryectivoS:Y _→X, con las normas de los espacios elegidas de tal forma queS sea una isometr´ıa. La teor´ıa se aplica al problema de valor

inicial _

   

∂tu+A(u)u= 0, 0≤t≤T0

u(0) =u0.

(1.1)

asociado con una ecuaci´on de evoluci´on cuasi lineal del tipo hiperb´olico en un espacio de Banach X, en dondeu0 ∈Y es un valor inicial dado.

Formulamos las siguientes hip´otesis:

(X) Sean X e Y dos espacios de Banach reflexivos tales queY est´a contenido densamente y continuamente en X . Adem´as existe un isomorfismo S : Y _→ X y la norma de Y es escogida de forma que S sea una isometr´ıa.

es el generador de un semigrupo fuertemente continuo enX tal que

° °

°e−sA(y)°°_°

B(X)≤e

ωs_{, s}

≥0,y_∈W.

(A2) Para cada y_∈W, tenemos

SA(y)S−1=A(y) +B(y) ,

donde B(y) _{∈ B}(X) y _kB(y)_{kB(X) ≤} λB con λB > 0 una constante. Adem´as, existe

µB>0 tal que

kB(y1)−B(y2)k_B(X)≤µBky1−y2kY ,

para todoy1, y2 ∈W.

(A3) Para cada y _∈ W tenemos que A(y) _{∈ B}(Y, X), en el sentido que Y _{⊆ D}(A(y)) y A(y)_{|Y ∈ B}(Y, X). La aplicaci´on y _∈ W _7→ A(y) es Lipschitz continua en _B(Y, X); es decir, existeµA>0 tal que

kA(y1)−A(y2)k_B(X)≤µAky1−y2kY ,

para todoy1, y2 ∈W.

Teorema 1.1. Supongamos que en el problema de valor inicial (1.1) las hip´otesis (X),(A1),

(A2)y(A3)son satisfechas. Siu0∈W, existen T =T(ku0kY)∈]0, T0]y

u_∈C([0, T], Y)_∩C1([0, T], X)

´

unica soluci´on de (1.1). Adem´as, existe T1 ∈ ]0, T0] y la funci´on Ψ : Y → C([0, T1], Y)∩

C1([0, T1], X) tal queΨ (u0) =u es continua.

En caso que el operadorA(y) estuviera definido para todoy_∈Y,W puede ser elegida como una bola arbitraria de centro 0, entonces las constantesω,λB,µA yµB depender´an solamente

del radio de la bola.

1.2. Desigualdades ´

utiles.

Proposici´on 1.2. Siξ, η _∈R, entonces existeC =C(t)>0 tal que

¯ ¯ ¯ ¯ ³

1 +_|ξ_|2´t/2₋³1 +_|η_|2´t/2

¯ ¯ ¯ ¯≤C

¯ ¯ ¯ ¯ ³

1 +_|ξ_|2´(t−1)/2+³1 +_|η_|2´(t−1)/2

¯ ¯ ¯

¯|ξ−η|.

En la prueba de esta proposici´on se usa el Teorema del Valor Medio. Ver [F].

Proposici´on 1.3 (Desigualdad de Young). Si a, b y ε son n´umeros reales positivos, en-tonces

ab_≤εap+C(ε)bq

dondeC(ε) = (εp)

−q/p

q y 1≤p,q≤ ∞.

El resultado es una consecuencia de la convexidad de la funci´on logaritmo. Ver [F].

Proposici´on 1.4 (Gagliardo-Nirenberg). Sean 1 _≤ p, q, r _{≤ ∞} y sean j, m dos enteros,

0_≤j < m. Si

1

p −j=θ

µ₁

q −m

¶

+ 1−θ r

para alg´un θ _∈

·_j

m,1

¸

, entonces existe c = c(m, j, θ, p, q, r) tal que para toda u _{∈ D}(Rn_{) se}

cumple que

k∂αu_kLp ≤c

X

|β|=m

° ° °∂βu°°_°θ

Lqkuk

1−θ Lr ,

con_|α_|=j.

Ver el teorema 9.3. de [Fr].

Proposici´on 1.5. Sif _∈S(Rn_{) entonces}

kDsf_kLp ≤ckDs0fkθ_Lp0 kD

s1_f

k1L−p1θ,

dondep0,p1 ∈]1,∞[,s0,s1 ∈R,s=θs0+ (1−θ)s1 y 1_p = _pθ₀ + (1_p−₁θ),0≤θ≤1. Adem´as, si

s0,s1 ∈[0,∞[entonces

kJsf_kLp ≤ckJs0fkθ_Lp0kJ

s1_fk1−θ

Lp1 .

Ver [BL], cap´ıtulo 6, teorema 6.4.5 parte 7.

Proposici´on 1.6. Sif,g_∈S(Rn_{),s >0 y1< p <∞ y,entonces}

kJs(f g)_kLp≤c(kfkLp1 kJ

s_g

kLp2 +kJ

s_f

kLp3kgkLp4)

y

k[Js;f]g_kLp ≤c

³

k∂f_kLp1

° ° °Js−1g°°_°

Lp2 +kJ

s_fkL

p3kgkLp4

´

dondep2,p3∈]1,∞[yp1,p4 son tales que _p1₁ +_p1₂ = 1_p = _p1₃ +_p1₄.

Ver ap´endice de [KP].

Proposici´on 1.7. Sea m(t) una funci´on continua de valor real no negativa tal que existen constantes positivasα0,α1 yβ1,β2, y

m(t)_≤α0+α1mβ1(t) exp

³

β2mβ1+1(t)

´

para cualquierten un intervalo conteniendo at= 0, dondeβ1 >1. Sim(0)≤α0 y el producto

α0,α1 es suficientemente peque˜no, entonces en el mismo intervalo m(t) es acotado.

Ver [St], lema 3.7.

Proposici´on 1.8. Seanα0,α1,β1≥0que satisfacen

α0+α1−β1 ≥1,α0 ≥β1 o α1 ≥β1

y

α0 ≥β1 si α1 = 1,α1> β1 si α0 = 1.

Entonces, tenemos

sup

0≤t≤+∞

Z t

0 (1 +t)

β1

(1 +t₋s)−α0

(1 +s)−α1

ds <+_∞.

La prueba de esta proposici´on se encuentra en [R], p´ag. 90.

Proposici´on 1.9. Supongamos que ψ _∈ C₀1(R) tal que _¯¯¯φ′′(ξ)¯¯_{¯ ≥} 1 sobre el soporte de ψ. Entonces

¯ ¯ ¯ ¯ Z

eiλφ(ξ)ψ(ξ)dξ

¯ ¯ ¯

¯≤cλ−1/2 n

kψ_kL∞+ ° ° °ψ′°°_°

L1

o

donde la constante ces independiente de λ,φy ψ.

Cap´ıtulo 2

El problema lineal

En este cap´ıtulo se estudia la parte lineal del sistema (0.2),

    

∂tu+∂x3u+α∂x3v= 0

∂tv+∂x3v+α∂x3u= 0

(2.1)

con_|α_|<1 y con las condiciones iniciales

    

u(0) =u0

v(0) =v0.

(2.2)

Con este fin, escribimos el problema (2.1) - (2.2) en la forma vectorial

    

∂tU +A0U = 0

U(0) =U0

(2.3)

dondeU = (u, v), U0 = (u0, v0) y definimos el operador matricialA0 por

    

D(A0) =H3(R)

A0U =¡−∂x3u−α∂3xv,−∂x3v−α∂x3u

¢ . (2.4)

Tenemos entonces la siguiente proposici´on.

Proposici´on 2.1. ₋A0 es el generador de un semigrupo de contracciones enL2(R). Prueba. Probemos que A0 es antiadjunto, es decir, hA0U, Vi_L2 =− hU, A₀Vi

L2 para todo

U = (u1, u2) , V = (v1, v2)∈ Hs(R), pues

hA0U, Vi_L2 =

D³

−∂_x3u1−α∂x3u2,−∂x3u2−α∂x3u1

´

,(v1, v2)

E

= D₋∂_x3u1−α∂x3u2, v1

E

L2+

D

−∂_x3u2−α∂x3u1, v2

E

L2

= D₋∂_x3u1, v1

E

L2+

D

−α∂_x3u2, v1

E

L2 +

D

−∂_x3u2, v2

E

L2+

D

−α∂3_xu1, v2

E

L2

= ₋Du1,−∂3xv1

E

L2 −

D

u2,−α∂x3v1

E

L2 −

D

u2,−∂x3v2

E

L2 −

D

u1,−α∂x3v2

E

L2

= ₋Du1,−∂x3v1−α∂x3v2

E

L2−

D

u2,−α∂x3v1−∂x3v2

E

L2

= ₋D(u1, u2),

³

−∂_x3v1−α∂x3v2,−α∂x3v1−∂x3v2

´E

L2

= _{− h}U, A0Vi_L2

donde se ha usado la propiedadD∂_xku, vE

L2 = (−1)

kD

u, ∂_xkvE

L2.

En consecuencia ₋A0 es el generador de un semigrupo de contracciones en L2(R).

Ahora resolvemos el sistema (2.3) mediante la transformada de Fourier en la variable espacial

ξ y obtenemos _

   

∂tUb(ξ) =−Ac0(ξ)Ub(ξ)

b

U(0) =Uc0(ξ)

(2.5)

donde

−Ac0(ξ) =

   iξ

3 _αiξ3

αiξ3 iξ3

  

y

c

U0(ξ) =

   cu0(ξ)

c

v0(ξ)

  .

Entonces la soluci´on de (2.5) es

b

U(ξ) =e−cA0(ξ)t_Uc

0(ξ) (2.6)

y los autovalores de₋Ac0(ξ) son las ra´ıces de la ecuaci´on

λ2₋2iξ3λ+³α2₋1´ξ6= 0 (2.7)

es decir,

λ+_{(ξ) =iξ}3_{(1 +α) y λ}−_{(ξ) =iξ}3_{(1−α) . (2.8)}

Los autovectores asociados a (2.8) se obtienen de la ecuaci´on

³

−Ac0(ξ)−λI

´

y son

vλ+ =

   1 1  

 y vλ− =    1 −1  

. (2.9)

Luego, sea C=

   1 1

1 ₋1

 

 la matriz que diagonaliza ae−cA0(ξ)t_{tal que}

e−cA0(ξ)t_=CeJt_C−1 _(2.10)

dondeJ =

   λ

+_{(ξ) 0}

0 λ−(ξ)

 

es la forma can´onica de Jordan de la matriz₋Ac0(ξ), luego,

b

U(ξ) = e−cA0(ξ)t_Uc

0(ξ)

= C

   e

iξ3_(1+α)t

0 0 eiξ3

(1−α)t

 

C−1Uc0(ξ)

= 1 2

   1 1

1 ₋1

      e

λ+_(ξ)t

0 0 eλ−(ξ)t

  

   1 1

1 ₋1

   cU0(ξ)

= 1 2    e λ+

(ξ)t_+eλ−

(ξ)t _eλ+

(ξ)t_−eλ−

(ξ)t

eλ+(ξ)t₋eλ−(ξ)t eλ+(ξ)t+eλ−(ξ)t

  

   uc0(ξ)

c

v0(ξ)

   = 1 2    ³

eλ+(ξ)t+eλ−(ξ)t´uc0(ξ) +

³

eλ+(ξ)t₋eλ−(ξ)t´cu0(ξ)

³

eλ+_(ξ)t

−eλ−

(ξ)t´_vc

0(ξ) +

³

eλ+_(ξ)t

+eλ−

(ξ)t´_cv

0(ξ)

 

 (2.11)

Considerando a los multiplicadores de FourierE±(t) definidos por

d

E±_{(t)u0(ξ) =} 1 2e

λ±

(ξ)t_cu

0(ξ) (2.12)

dondeλ±(ξ) =iξ3(1_±α). Luego, escribimos (2.11) como

b

U(ξ) =

  

³ d

E+_(t)u

0+E−d(t)u0

´

(ξ) +³E+d_(t)v

0−E−d(t)v0

´

(ξ)

³ d

E+_(t)u

0−E−d(t)u0

´

(ξ) +³E+d_(t)v

0+E−d(t)v0

´

(ξ)

 

 (2.13)

y tomando la transformada inversa de Fourier a (2.13) se tiene que

U(t) =

   (E

+_{(t) +E}−_{(t))u0+ (E}+_(t)−E−_(t))v0 (E+(t)₋E−(t))u0+ (E+(t) +E−(t))v0

 

. (2.14)

Teorema 2.2. El semigrupo de contracciones _{W(t)_}t≥0 en _Hs_{(R), s ≥ 0 generado por el}

operador ₋A0 satisface

W(t)U0=

   (E

+_{(t) +E}−_{(t))u0+ (E}+_(t)−E−_(t))v0 (E+(t)₋E−(t))u0+ (E+(t) +E−(t))v0

  

para todo U0 = (u0, v0)∈ Hs(R), en dondeE±(t)son los multiplicadores de Fourier definidos

en (2.12). Adem´as, la funci´onW (t)U0 :R0+→ Hs(R)es la ´unica soluci´on del problema(2.1).

La prueba de este teorema es consecuencia de los resultado obtenidos anteriormente. Antes de concluir con el cap´ıtulo, notemos que en este caso no es posible resolver el problema (0.2) de manera tradicional, es decir, reducirlo a una ecuaci´on integral y aplicar el teorema del punto fijo de Banach. En efecto, es f´acil verificar que (0.2) es, al menos formalmente, equivalente a

U(t) =W (t)U0−

Z t

0 W (t−τ)F(U(τ))dτ

en donde _{W(t)_}t≥0 es el semigrupo de contracciones en _Hs(R), s _∈ R, generado por el operador matricial ₋A0 y

F(U) = (up∂xu+vp∂xv, vp∂xv+∂x(uvp)) .

Ahora, si U _∈ C([0, T],_Hs(R)) entonces F(U) _∈ C¡[0, T],_Hs−1(R)¢ y W(t₋τ) aplica

Hs−1(R) en s´ı mismo y no en _Hs(R). En consecuencia, la aplicaci´on

(ΨU) (t) =W(t)U0−

Z t

0

W (t₋τ)F(U(τ))dτ

no transformaC([0, T],_Hs_{(R)) en s´ı mismo de modo que el teorema del punto fijo de Banach}

Cap´ıtulo 3

Buena formulaci´

on local

En este cap´ıtulo demostraremos la buena formulaci´on local del problema de valor inicial (0.2). Con este fin lo escribimos en la forma

    

∂tU +A(U)U = 0

U(0) =U0.

. (3.1)

donde el operador

A(Z)U =A0U +A1(Z)U

siendoA0 el operador definido en (2.4) y

A1(Z)U =

³

−yp∂xu−zp∂xv,−zp∂xu−zp∂xv−pyzp−1∂xv

´

paraZ = (y, z),U = (u, v) y U0= (u0, v0).

Usaremos el Teorema de Kato 1.1 para probar el teorema siguiente.

Teorema 3.1. Si U0∈ Hs(R)cons≥3, entonces existenT0=

³

kU0ks_×s

´

>0 y

U _∈C([0, T],_Hs(R))_∩C1³[0, T],_L2(R)´

´

unica soluci´on del problema de valor inicial(3.1). Adem´as, U depende continuamente del dato inicialU0 en el sentido que la aplicaci´on

Ψ :U0 ∈ Hs(R)7→U ∈C([0, T],Hs(R))∩C1

³

[0, T],_L2(R)´

En las siguientes secciones verificaremos el cumplimiento de las hip´otesis del teorema 1.1.

3.1. Hip´

otesis

X

.

Sean

X =_L2(R) y

Y =_Hs(R)

dondes_≥3 es un n´umero real fijo. Sabemos que_Hs_{(R) est´a contenido enL}2_{(R) densamente}

y continuamente. Definimos en_Hs(R) el operador S por

SU = (Jsu, Jsv) para U = (u, v)_{∈ H}s(R) .

Teorema 3.2. S _{∈ B}(_Hs(R),_L2(R))es un isomorfismo isom´etrico.

Prueba. Obviamente S es lineal y _R(S)_{⊂ L}2_{(R) pues para cadaU ∈ H}s_{(R) tenemos}

kSU_k2_L2 =kJsuk2_L2 +kJsvk2_L2 =kuk2_s+kvk2_s <∞. (3.2)

Adem´as, de (3.2) resulta queS es una isometr´ıa (en consecuencia inyectivo) con imagen_R(S) cerrada.

Tambi´en S es un operador suryectivo, pues si V = (v1, v2) ∈ C0∞(R)×C0∞(R) entonces

U = (J−s_v

1, J−sv2) satisfaceSU =V yU ∈ Hs(R) pues

kU_k2_s×s = °°J−sv1°°2_s+°°J−sv2°°2_s=°°JsJ−sv1°°2_L2 +

°

°JsJ−sv2°°2_L2

= °°Js−sv1°°2_L2 +

°

°Js−sv2°°2_L2 =kv1k

2

L2 +kv₂k2_L2

= _kV_k2_L2 <∞.

Por lo tantoC∞

0 (R)×C0∞(R)⊆ R(S). Luego tomando la clausura en L2(R)

L2(R) =C₀∞(R)_×C₀∞(R)L

2_(R)

⊆ R(S)L

2_(R)

⊆ L2_(R)

3.2. Hip´

otesis

A

1

.

SeanR >_kU0ks_×s un n´umero real fijo y

W =BR(0) =

n

Z _{∈ H}s(R) :_kZ_ks×s< Ro.

Para cadaZ = (y, z)_∈W definimos el operador A1(Z) por

    

D(A1(Z)) =H1(R)

A1(Z)U =¡−yp∂xu−zp∂xv,−zp∂xu−zp∂xv−pyzp−1∂xv¢.

Probemos ahora los siguientes lemas.

Lema 3.3. Si y_∈Hs_{(R)cons≥3ykyk}

s ≤R, entonces∂xy es continua y acotada; adem´as,

k∂xypkL∞ ≤λkyks≤λR

dondeλ= sup

x∈R

¯

¯pyp−1(x)¯¯.

Prueba. Tenemos ∂xy ∈ Hs−1(R), pues y ∈ Hs(R) y como s ≥ 3 se sigue que ∂xy ∈

L∞(R) con

k∂xykL∞ ≤Kk∂_xyks

−1≤Kkyks.

Entonces

k∂xypkL∞ = sup

x∈R|

∂xyp(x)|= sup x∈R

¯ ¯

¯pyp−1(x)∂xy(x)

¯ ¯

¯≤ k∂xykL∞sup

x∈R

¯ ¯

¯pyp−1(x)¯¯_¯≤λ_ky_ks

dondeλ= sup

x∈R

¯

¯pyp−1_(x)¯_{¯<∞pues kyk}

s< R.

Lema 3.4. Si y _∈Hs(R) con s _≥3 y _ky_{ks ≤} R, entonces ∂x¡yzp−1¢ es continua, acotada y

existenµ >0tal que

° ° °∂x

³

yzp−1´°°_°

L∞ ≤2µR.

Prueba. Se tiene que

∂x

³

yzp−1´=zp−1(x)∂xy+ (p−1)yzp−2∂xz

Se sabe que∂xw∈Hs−1(R) siw∈Hs(R) con s≥3. Entonces

° ° °∂x

³

yzp−1´°°_°

L∞ = sup

x∈R

¯ ¯

¯zp−1(x)∂xy+ (p−1)yzp−2∂xz

¯ ¯ ¯

≤ sup

x∈R

¯ ¯

¯zp−1(x)∂xy(x)

¯ ¯ ¯+ sup

x∈R

¯ ¯

¯(p₋1)y(x)zp−2(x)∂xz(x)

¯ ¯ ¯

≤ k∂xykL∞sup

x∈R

¯ ¯

¯zp−1(x)_¯¯¯+_k∂xzkL∞sup

x∈R

¯ ¯

¯(p₋1)y(x)zp−2(x)¯¯_¯

≤

Ã

sup

x∈R

¯ ¯

¯zp−1(x)¯¯_¯+ sup

x∈R

¯ ¯

¯(p₋1)y(x)zp−2(x)¯¯_¯

!

R

= 2µR

donde 2µ= sup

x∈R

¯

¯zp−1(x)¯¯+ sup

x∈R

¯

¯(p₋1)y(x)zp−2(x)¯¯.

Proposici´on 3.5. Para cadaZ _∈W el operadorA1(Z)−ωI es disipativo enL2(R)para todo

ω_≥(λ+pµ)R, siendoλyµlas constantes dadas en los lemas 3.3 y 3.4.

Prueba. Para todo U = (u, v)_{∈ D}(A1(Z)) tenemos

h(A1(Z)−ωI)U, Ui_L2 =hA₁(Z)U, Ui_L2 −ωkUk2_L2. (3.3)

Pero

hA1(Z)U, Ui_L2 = − hyp∂_xu+zp∂_xv, ui_L2

−Dzp∂xu+zp∂xv+pyzp−1∂xv, v

E

L2

= _{− h}yp∂xu, uiL2 − hzp∂_xv, uiL2

− hzp∂xu, viL2 − hzp∂_xv, viL2 −

D

pyzp−1∂xv, v

E

L2. (3.4)

Por la definici´on de_h·,_·iL2, integraci´on por partes y el lema 3.3

− hyp∂xu, uiL2 = −

Z

R

yp(x)u(x)∂xu(x) dx=−

1 2

Z

R

yp(x)∂xu2(x)dx

= 1 2

Z

R

u2(x)∂xyp(x)dx≤

1 2k∂xy

p_k L∞

Z

R|

u(x)_|2dx

≤ λ₂ky_ks

Z

R|

u(x)_|2dx_≤ λR 2 kuk

2

L2. (3.5)

y por la simetr´ıa de las expresiones se tiene que

− hzp∂xv, vi_L2 ≤

λ

2kzkskvk

2

L2 ≤

λR 2 kvk

2

en forma an´aloga a (3.5) se calcula

− hzp∂xv, uiL2 = −

Z

R

zp(x)∂xv(x) u(x) dx=

Z

R

∂x(zp(x)u(x))v(x) dx

=

Z

R

zp(x)∂xv(x)u(x) dx+

Z

R

v(x)u(x) ∂xzp(x)dx.

Ahora sumando las expresiones_{− h}zp∂xv, uiL2− hzp∂_xu, viL2 y usando el lema (3.3) se obtiene

− hzp∂xv, uiL2 − hzp∂_xu, viL2 =

Z

R

v(x) u(x)∂xzp(x)dx ≤ 1₂k∂xzpkL∞

Z

R

2v(x) u(x)dx

≤ 1₂k∂xzpkL∞ µZ

R

u2(x)dx+

Z

R

v2(x)dx

¶

= 1 2k∂xz

p_k

L∞(kuk

L2+kvk_L2) , (3.7)

nuevamente, por la definici´on de_h·,_·iL2 e integraci´on por partes,

−Dpyp−1z∂xu, u

E

L2 = −p

Z

R

yp−1(x)z(x)u(x)∂xu(x) dx

= ₋p 2

Z

R

yp−1(x)z(x)∂xu2(x)dx

= p 2

Z

R

∂x

h

yp−1(x)z(x)iu2(x)dx

≤ p

2

° ° °∂x

³

yp−1z´°°_°

L∞ Z

R

u2(x) dx

puesy,z_∈Hs(R),s_≥3 implica queyp−1z_∈Hs(R) y ∂xyp−1z∈Hs−1(R)⊂C(R) y por el

lema 3.4 se obtiene

−Dpyp−1z∂xu, u

E

L2 ≤

p2µR 2

Z

R

u2(x)dx_≤pµR_ku_kL2 ≤pµR(kukL2+kvkL2) . (3.8)

Usando los estimados de (3.5) al (3.8) en (3.4) obtenemos

hA1(Z)U, Ui_L2 ≤

λR 2 kuk

2

L2 +

λR 2 kvk

2

L2 +

λR

2 (kukL2 +kvkL2) +pµR(kukL2 +kvkL2) y teniendo en cuenta que_kU_k2_L2 =kuk2_L2 +kvk2_L2,

hA1(Z)U, Ui_L2 ≤λRkUk2

L2+pµRkUk2

L2 = (λ+pµ)RkUk2

L2.

As´ı, en (3.3) se obtiene

h(A1(Z)−ωI)U, Ui_L2 ≤(λ+pµ)kUk2

L2−ωkUk2

L2 = ((λ+pµ)R−ω)kUk2

L2

pero por hip´otesis (λ+pµ)R₋ω_≤0, por tanto _h(A1(Z)−ωI)U, Ui_L2 ≤0.

Proposici´on 3.6. Siω_≥(λ+pµ)R, entonces existen constantesc1 ∈[0,1[yc2>0tales que

k(A1(Z)−ωI)Uk_L2 ≤c₁kA₀Uk_L2+c₂kUk_L2

para todoU _{∈ D}(A0). Es decir,A1(Z)−ωI esA0 acotado.

Prueba. SeaU = (u, v)_{∈ D}(A0), por la desigualdad triangular

kA1(Z)U −ωUk_L2 ≤ kA₁(Z)Uk_L

2 +ωkUkL2. (3.9)

Usando la desigualdad_kU_kL2 ≤ kukL2 +kvkL2 obtenemos

kA1(Z)Uk_L2 ≤ kyp∂_xu+zp∂_xvkL2 +

° °

°yp∂xu+zp∂xv+pyzp−1∂xv

° ° °

L2. (3.10)

Estimando (3.10) y teniendo en cuenta que y _∈ Hs_{(R) con kyk}

s ≤ R entonces kypkL∞ ≤

kyp_ks≤Rp, en forma similar para z_∈Hs(R) se tiene_kzp_kL∞ ≤ kzpks≤Rp, luego

kyp∂xu+zp∂xvkL2 ≤ kyp∂_xukL2 +kzp∂_xvkL2

≤ kyp_kL∞k∂_xukL2 +kzpkL∞k∂_xvkL2

≤ Rp_k∂xukL2+Rpk∂_xvkL2

= Rp(_k∂xukL2 +k∂_xvkL2) . (3.11)

Por la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg obtenemos

k∂xukL2 ≤M

° ° °∂_x3u°°_°

1 3

L2kuk 2 3

L2 y k∂xvkL2 ≤M

° ° °∂_x3v°°_°

1 3

L2kvk 2 3

L2; (3.12)

luego, de la desigualdad de Young para ε= 1

8(Rp_{+ 1)} se tiene

k∂xukL2 ≤ε

° ° °∂3_xu°°_°

L2+C(ε)kukL2 y k∂xvkL2 ≤ε

° ° °∂_x3v°°_°

As´ı tenemos las desigualdades

k∂xukL2 ≤

1 8(1 +Rp₎

° ° °∂_x3u°°_°

L2 +C(ε)kukL2

y

k∂xvkL2 ≤

1 8(1 +Rp₎

° ° °∂3_xv°°_°

L2 +C(ε)kvkL2.

Por lo tanto, en (3.11) resulta

kyp∂xu+zp∂xvk_L2 ≤ Rp

· ₁

8(1 +Rp₎

° ° °∂_x3u°°_°

L2 +C(ε)kukL2

¸

+Rp

· ₁

8(1 +Rp₎

° ° °∂_x3v°°_°

L2 +C(ε)kvkL2

¸

≤ 1₈h°°°∂_x3u°°_°

L2 +

° ° °∂_x3v°°_°

L2

i

+RpC(ε) [_ku_kL2+kvkL2] . (3.13)

An´alogamente,

° °

°zp∂xu+zp∂xv+pyzp−1∂xv

° °

°_L2 ≤ kz

p_∂

xukL2 +kzp∂_xvkL2+

° °

°pyzp−1∂xv

° ° °_L2

≤ kzp_kL∞k∂_xukL2 +kzpkL∞k∂_xvkL2

+p°°_°yzp−1°°_°

L∞k∂xvkL2

≤ kz_kp_sk∂xukL2 +

³

kz_kp_s+p_ky_kskz_kp_s−1´_k∂xvkL2

≤ Rp_k∂xukL2 + (1 +p)Rpk∂_xvkL2

≤ (1 +p)Rp(_k∂xukL2 +k∂_xvkL2) , (3.14)

nuevamente por la desigualdad de Young para ε1 =

1

8(N+ 1) con N = (1 +p)R

p _y

reem-plazando en (3.12)

k∂xukL2 ≤ε₁

° ° °∂_x3u°°_°

L2 +C(ε1)kukL2 y k∂xvkL2 ≤ε1

° ° °∂_x3v°°_°

L2 +C(ε1)kvkL2

luego en (3.14) se tiene

° °

°zp∂xu+zp∂xv+pyzp−1∂xv

° °

°_L2 ≤ N

³

ε1

° ° °∂_x3u°°_°

L2 +C(ε1)kukL2

´

+N³ε1

° ° °∂_x3v°°_°

L2 +C(ε1)kvkL2

´

≤ N

µ ₁

8(N+ 1)

° ° °∂_x3u°°_°

L2 +C(ε1)kukL2

¶

+N

µ ₁

8(N+ 1)

° ° °∂_x3v°°_°

L2 +C(ε1)kvkL2

¶

≤ 1₈³°°°∂_x3u°°_°

L2 +

° ° °∂_x3v°°_°

L2

´

+N C(ε1) (kukL2 +kvkL2)

(3.15)

ahora, sustituyendo (3.13) y (3.15) en (3.10) y usando la desigualdad

ku_kL2 +kvkL2 ≤2kUk_L2

obtenemos

kA1(Z)Uk_L2 ≤

1 8

³°°_°∂3

xu

° ° °

L2+

° ° °∂_x3v°°_°

L2

´

+RpC(ε) (_ku_kL2 +kvkL2)

+1 8

³°°_°∂3

xu

° ° °_L2 +

° ° °∂_x3v°°_°

L2

´

+N C(ε1) (kukL2 +kvkL2)

≤ 1₄³°°°∂_x3u°°_°

L2+

° ° °∂_x3v°°_°

L2

´

+ (RpC(ε) +N C(ε1)) (kukL2 +kvkL2)

≤ 1₄³°°°∂_x3u°°_°

L2+

° ° °∂_x3v°°_°

L2

´

+β(_ku_kL2+kvkL2)

≤ 1

2

° °

°³∂_x3u, ∂_x3v´°°_°

L2 + 2βk(u, v)kL2

= 1

2kA0UkL2 + 2βkUkL2 (3.16) donde β =Rp_{C(ε) +N C(ε}

1) es una constante positiva. Finalmente, reemplazando (3.16) en

(3.9) se obtiene

kA1(Z)U−ωUk_L2 ≤ kA₁(Z)Uk_L2 +ωkUk_L2

≤ 1₂kA0Uk_L2 + 2βkUk_L2 +ωkUk_L2

= 1

2kA0UkL2 + (2β+ω)kUkL2 = c1kA0Uk_L2 +c₂kUk

L2

dondec1 = 1₂ yc2= 2β+ω. Por lo tanto,A1(Z)−ωI esA0 acotado.

Teorema 3.7. Para cada Z _∈W,₋A(Z) es el generador de un semigrupo en_L2(R) de tipo

(1, ω), dondeω_≤(λ+pµ)R.

Prueba. Tenemos queA0 es el generador de un semigrupo de contracciones enX,A1(Z)−

ωI es disipativo en X para todo ω _≥ (λ+pµ)R, _D(A0) ⊂ D(A1(Z)) y A1(Z)−ωI es A0

3.3. Hip´

otesis

A

2

.

Para Z yU definimos

MA(Z)U =

³

ypu+zpv, zpu+zpv+pyzp−1v´, (3.17)

entonces

A1(Z)U =

³

−yp∂xu−zp∂xv,−zp∂xu−zp∂xv−pyzp−1∂xv

´

= MA(Z) (−∂xu,−∂xv)

= MA(Z) (−∂xU) . (3.18)

Escribiremos para abreviar,MAen lugar deMA(Z). Luego siU ∈ S(R)× S(R) y usando que

∂_xkSU =S∂_xkU para U _{∈ S}(R)_{× S}(R) yk_∈N,

obtenemos

[SA(Z)₋A(Z)S]U = [S(A0+A1(Z))−(A0+A1(Z))S]U

= S(A0U+A1(Z)U)−(A0+A1(Z))SU

= SA0U+SA1(Z)U −A0SU−A1(Z)SU.

Pero

SA0U−A0SU =

³

−Js∂_x3u₋Jsα∂_x3v,₋Jsα∂_x3u₋Js∂_x3v´₋

−³−∂_x3Jsu₋α∂_x3Jsv,₋α∂_x3Jsu₋∂_x3Jsv´

= ³₋Js∂_x3u+∂_x3Jsu₋Jsα∂_x3v+α∂_x3Jsv,

−Jsα∂_x3u+α∂_x3Jsu₋Js∂_x3v+∂_x3Jsv´ = (0,0) ,

entonces

[SA(Z)₋A(Z)S]U = SA1(Z)U −A1(Z)SU

= SMA(−∂xU)−MA(−∂xU)S

= SMA(−∂xU)−MA(−S∂xU)

= [SMA−MAS] (−∂xU) . (3.19)

SeaMa el operador de multiplicaci´on tal que

Mau(x) =a(x)u(x)

dondeaes una funci´on continua y acotada yMa∈ B(Hs(R)).

Lema 3.8. Para todo u_{∈ S}(R) se cumple que

k(JsMa−MaJs)uk_L2 ≤sc_skak_skuk_s

−1.

Prueba. Seau_{∈ S}(R), entonces

[(JsMa−MaJs)u]∧(ξ) =JsdMau(ξ)−MdaJsu(ξ) .

Pero

d

Mau(ξ) =auc(ξ) = (ba∗u) (ξ)b

para todau_{∈ S}(R), luego

[(JsMa−MaJs)u]∧(ξ) = JsdMau(ξ)−MdaJsu(ξ)

= ³1 +ξ2´s/2Mdau(ξ)−MdaJsu(ξ)

= ³1 +ξ2´s/2(ba_∗u) (ξ)b ₋³ba_∗Jds_u´_(ξ)

= ³1 +ξ2´s/2

Z

Rb

a(ξ₋η)ub(η)dη₋

Z

Rb

a(ξ₋η)Jds_u(η)dη

=

Z

R

³

1 +ξ2´s/2ba(ξ₋η)ub(η)dη₋

Z

R

³

1 +η2´s/2ba(ξ₋η)ub(η)dη =

Z

R

·³

1 +ξ2´s/2₋³1 +η2´s/2

¸ b

a(ξ₋η)ub(η)dη. (3.20)

Por la proposici´on 1.2 tenemos

¯ ¯ ¯ ¯ ³

1 +ξ2´s/2₋³1 +η2´s/2

¯ ¯ ¯ ¯≤s

·³

1 +ξ2´(s−1)/2+³1 +η2´(s−1)/2

¸

|ξ₋η_|. (3.21)

Luego, si hacemos_bg(ξ) =_|ξ_{| |b}a(ξ)_|y sustituimos (3.21) en (3.20) obtenemos

¯ ¯

¯[(JsMa−MaJs)u]∧(ξ)

¯ ¯ ¯ ≤ s

Z

R

·³

1 +ξ2´(s−1)/2+³1 +η2´(s−1)/2

¸ b

=

Z

R

³

1 +ξ2´(s−1)/2gb(ξ₋η)_|ub(η)_|dη +

Z

R

³

1 +η2´(s−1)/2bg(ξ₋η)_|ub(η)_|dη

= sI1(ξ) +sI2(ξ) , (3.22)

ahora calculando las integrales

I1(ξ) =

Z

R

³

1 +ξ2´(s−1)/2g(ξb ₋η)_|ub(η)_|dη,

I2(ξ) =

Z

R

³

1 +η2´(s−1)/2g(ξb ₋η)_|ub(η)_|dη y haciendocf1(η) =|ub(η)|, se tiene que

I1(ξ) =

³

1 +ξ2´(s−1)/2

Z

Rb

g(ξ₋η)cf1(η)dη

= ³1 +ξ2´(s−1)/2³_bg_∗fc1

´

(ξ) = ³1 +ξ2´(s−1)/2gfd1(ξ) .

Luego

kI1k2L2 =

Z

R

³

1 +ξ2´s−1¯¯_¯dgf1(ξ)

¯ ¯

¯2dξ=_kgf1k2s−1 ≤c2s−1kgk2s−1kf1k2s−1

puesHs−1_{(R) es un ´algebra dado que s−1≥2. Pero,}

kf1k2_s−1=

Z

R

³

1 +ξ2´s−1¯¯_¯cf1(ξ)

¯ ¯ ¯2dξ=

Z

R

³

1 +ξ2´s−1_|u_b(ξ)_|2dξ=_ku_k2_s−1

y

kg_k2_s−1 =

Z

R

³

1 +ξ2´s−1_|gb(ξ)_|2dξ_≤

Z

R

³

1 +ξ2´s_|ba(ξ)_|2dξ=_ka_k2_s. Por tanto,

kI1kL2 ≤c_s−1kakskuks

−1. (3.23)

En forma an´aloga, calculamosI2(ξ) con la sustituci´oncf2(η) =¡1 +η2¢(s−1)/2|ub(η)|, luego

I2(ξ) =

Z

Rb

g(ξ₋η)cf2(η)dη=

³ b

g_∗cf2

´

(ξ)

y por la desigualdad de Young, tenemos

kI2kL2 =

° ° °bg_∗cf2

° °

°_L2 ≤ kgbkL1

° ° °cf2

° ° °_L2

en donde

° ° °cf2

° ° °2_L2 =

Z

R

³

1 +ξ2´s−1_|ub(ξ)_|2dξ=_ku_k2_s−1 y

kgb_kL1 =

Z

R|b

g(ξ)_|dξ=

Z

R|

ξ_{| |}ab(ξ)_|dξ

=

Z

R|

ξ_|

¡

1 +ξ2¢1/2

(1 +ξ2₎1/2 |ba(ξ)|dξ

≤

µZ

R

ξ2³1 +ξ2´_|ba(ξ)_|2dξ

¶1/2ÃZ

R

dξ (1 +ξ2₎1/2

!1/2

≤ π_ka_k2,

luego

kI2k_L2 ≤πkak₂kuk_s

−1 ≤πkakskuks−1. (3.24)

Por lo tanto, de (3.22), (3.23) y (3.24) obtenemos que

k(JsMa−MaJs)ukL2 =

° °

°[(JsMa−MaJs)u]∧

° °

°_L2 ≤scskakskuks−1.

Proposici´on 3.9. Para todo U _{∈ S}(R)_×S(R) se cumple que

k[SA(Z)₋A(Z)S]U_kL2 ≤2sC_skM_AkskUks

×s.

Prueba. De (3.17) y (3.18) se tiene

(SMA−MAS)U = SMAU −MASU

= ³Jsypu+Jszpv, Jszpu+Jszpv+Jspyzp−1v´₋

³

ypJsu+zpJsv, zpJsu+zpJsv+pyzp−1Jsv´ = ((Jsyp₋ypJs)u+ (Jszp₋zpJs)v ,

(Jszp₋zpJs)u+hJs³zp+pyzp−1´₋³zp+pyzp−1´Jsiv´.

Luego, por la desigualdad triangular de la norma enL2,

k(SMA−MAS)Uk_L2 = k(Jsyp−ypJs)u+ (Jszp−zpJs)vkL2

+°°_°(Jszp₋zpJs)u+hJs³zp+pyzp−1´₋³zp+pyzp−1´Jsiv°°_°

L2

≤ k(Jsyp₋ypJs)u_kL2 +k(Jszp−zpJs)vkL2+k(Jszp−zpJs)ukL2

Por el lema 3.8 y teniendo en cuenta que _kyp_k

s ≤ Rp tenemos los siguientes estimados para

cada uno de los t´erminos en (3.25)

k(Jsyp₋ypJs)u_kL2 ≤sC_skypkskuks₋₁ ≤sC_sRpkuks₋₁, (3.26)

k(Jszp₋zpJs)v_kL2 ≤sC_skzpkskvks

−1 ≤sCsRpkvks−1, (3.27)

k(Jszp₋zpJs)u_kL2 ≤sC_skzpkskuks

−1 ≤sCsRpkuks₋1

y

° °

°hJs³zp+pyzp−1´₋³zp+pyzp−1´Jsiv°°_°

L2 ≤ sCs

° °

°zp+pyzp−1°°_°

skvks−1 ≤ sCs

³

kzp_ks+p°°_°yzp−1°°_°

s

´

kv_ks−1

≤ sCs(1 +p)Rpkvks₋1, (3.28)

reemplazando (3.26) al (3.28)en (3.25), simplificando y usando la equivalencia

ku_ks−1+_kv_{ks−1 ≤}2³_ku_k2_s−1+_kv_k2_s−1´1/2= 2_kU_{k(s−1)×(s−1)}

tenemos

k(SMA−MAS)Uk_L2 ≤ sC_skypk_skuk_s

−1+sCskzpkskvks−1

+sCskzpk_skuk_s−1+sCs

° °

°zp+pyzp−1°°_°

skvks−1

= sCs(kypk_s+kzpk_s)kuk_s−1

+sCs

³

kzp_ks+°°_°zp+pyzp−1°°_°

s

´

kv_ks−1

≤ sCs

³

kyp_ks+ 2_kzp_ks+_°°°zp+pyzp−1°°_°

s

´

ku_ks−1

+sCs

³

kyp_ks+ 2_kzp_ks+_°°°zp+pyzp−1°°_°

s

´

kv_ks−1

≤ sCskMAks

³

ku_ks−1+_kv_ks−1´

≤ scskMAks_×skUk(s−1)×(s−1).

Por tanto, de (3.19) obtenemos

k[SA(Z)₋A(Z)S]U_kL2 ≤ k[(SM_A−M_AS)U] (−∂_xU)k

L2 ≤2sC_skM_AkskUks

×s

para todoU _{∈ S}(R)_×S(R).

Ahora para cadaZ _∈W, definimos el operador linealBe(Z) por

    

D³Be(Z)´=_S(R)_×S(R)

e

B(Z)U = [SA(Z)₋A(Z)S]S−1U.

Entonces, para todoU _{∈ S}(R)_×S(R) tenemos por la proposici´on 3.9 que

° °

° eB(Z)U°°_°

L2 ≤2sCskMAks

° ° °S−1U°°_°

s×s≤2sCskMAkskUkL2.

As´ı,Be(Z) es un operador lineal acotado. Como_S(R)_×S(R) es denso en_L2(R), extendemos

e

B(Z) a_L2(R) por continuidad y obtenemos el operador linealB(Z)_{∈ B}¡_L2(R)¢tal que

kB(Z)_kB(L2₍R₎₎≤2sCskMAks=λ1

para todoZ _∈W.

Proposici´on 3.10. Para cadaZ _∈W tenemos que_D¡SA(Z)S−1¢=_D(A(Z)) y

SA(Z)S−1 =A(Z) +B(Z).

Prueba. SeaZ _∈W ,U _{∈ D}(A(Z)) =_H3(R) y_{U_n}n∈N una sucesi´on en S(R)×S(R)

tal queUn→U en H3(R). Entonces

A(Z)S−1Un=S−1

h

A(Z)Un+Be(Z)Un

i

(3.29)

y por la densidad de _S(R)_×S(R) en _H3(R) se tiene que B(Z)U = lim

n→∞Be(Z)Un. Adem´as, S−1_{U = lim}

n→∞S −1_U

nesta enL2(R) y comoA(Z) es un operador cerrado tenemos queS−1U ∈ D(A(Z)) y

A(Z)S−1UnL

2_(R)

−→ A(Z)S−1U cuando n_{→ ∞}. (3.30) Entonces tenemos la siguiente afirmaci´on

A(Z)S−1UnL

2_(R)

−→ S−1[A(Z)U+B(Z)U] cuandon_{→ ∞}, (3.31)

pues,

°

y por (3.29) se cumple la afirmaci´on. Luego, por la unicidad del l´ımite en (3.30) y (3.31) tenemos la siguiente igualdad

A(Z)S−1U =S−1[A(Z)U +B(Z)U]_∈Hs(R)_×Hs(R).

Entonces U _{∈ D}¡SA(Z)S−1¢ _y

SA(Z)S−1 =A(Z) +B(Z) ,

esto prueba que SA(Z)S−1 es una extensi´on de A(Z) +B(Z). Adem´as, si λ > ω entonces λ_∈ρ(A(Z)) y

S[A(Z)₋λI]S−1U =A(Z)U +B(Z)U ₋λU paraU _{∈ H}3(R) .

Por lo tanto,

S[A(Z)₋λI]S−1=A(Z) +B(Z)₋λI de donde

SA(Z)S−1 _{=A(Z) +B(Z).}

Proposici´on 3.11. Existe µ3 >0 tal que

kB(Z1)−B(Z2)k_B(L2_(R))≤µ₃||Z₁−Z₂||s_×s

para cada Z1, Z2 ∈W.

Prueba. En (3.19) se ha verificado que

B(Z) = [SA(Z)₋A(Z)S]S−1 = [MAS−SMA]∂xS−1

donde MA=MA(Z). Entonces

B(Z1)−B(Z2) = [(MA1S−SMA1)−(MA2S−SMA2)]∂xS−

1

= [S(MA2 −MA1)−(MA2−MA1)S]∂xS−

1

y escribimosMA2−MA1 =MA2−A1, luego

B(Z1)−B(Z2) = [SMA2−A1 −MA2−A1S]∂xS−

1_.

Ahora seaU _{∈ D}(B(Z)) =_H1(R) entonces

k(B(Z1)−B(Z2))Uk_L2 =

° °

°[SMA2−A1−MA2−A1S]∂xS−

1_U°°

°

L2

y por la proposici´on 3.9 se sabe que

k(B(Z1)−B(Z2))Uk_L2 ≤sC_skM_A2−A1ks_×s (3.32)

pero

kMA2−A1k_s×s = kMA2 −MA1k_s×s

= _kyp₂₋y₁p_ks+ 2_kz₂p₋z₁p_ks+°°_°(z₂p₋zp₁) +p³y2z2p−1−y1z1p−1´°°°_s

≤ kyp₂₋y₁p_ks+ 3_kzp₂₋z₁p_ks+p°°_°y2z2p−1−y1zp1−1

° °

°_s. (3.33)

Estimando cada una de las normas en (3.33) y teniendo en cuenta que todo elemento y _∈W, est´a acotado por el radio de la bola, es decir, _ky_ks< Robtenemos

ky₂p₋yp_1ks = °°_°(y2−y1)

³

yp₂−1+yp₂−2y1+· · ·+y1p−1´°°°_s

≤ ky2−y1ks³°°°y2p−1

° ° °

s+

° ° °y₂p−2y1

° ° °

s+· · ·+

° ° °yp₁−1°°_°

s

´

≤ pRp−1_ky2−y1ks, (3.34)

en forma similar se tiene que

kz₂p₋zp_1ks≤pRp−1_kz2−z1k_s. (3.35)

Ahora estimando

° °

°y2z2p−1−y1z1p−1

° °

°_s = °°_°y2z2p−1−y1z2p−1+y1z2p−1−y1z1p−1

° ° °_s

= °°_°(y2−y1)zp2−1+y1

³

z₂p−1₋zp₁−1´°°_°

s

≤ ky2−y1ks

° ° °z₂p−1°°_°

s+ kz2−z1ksky1ks

° °

°zp₂−2+z₂p−3z1+· · ·+z1p−2

° °

donde

° ° °z₂p−1°°_°

s < R p−1

y

ky1ks

° °

°z₂p−2+z₂p−3z1+· · ·+zp1−2

° ° °

s ≤ ky1ks

³°°_°zp−2 2

° ° °

s+

° ° °z₂p−3z1

° ° °

s+· · ·+

° ° °zp₁−2°°_°

s

´

≤ R³(p₋1)Rp−2´= (p₋1)Rp−1,

luego en (3.36) se tiene que

° °

°y2z2p−1−y1z1p−1

° °

°_s≤(_ky2−y1k_s+kz2−z1k_s)

³

Rp−1+ (p₋1)Rp−1´. (3.37)

Ahora reemplazando (3.34), (3.35) y (3.37)en (3.33) se obtiene

kMA2−A1ks ≤ pR

p−1

ky2−y1ks+ 3pRp−1kz2−z1ks+

p(_ky2−y1ks+kz2−z1ks)

h

Rp−1+ (p₋1)Rp−1i

≤ hpRp−1+ 3pRp−1+pRp−1+p(p₋1)Rp−1i(_ky2−y1ks+kz2−z1ks)

= hp(5 + (p₋1))Rp−1i_kZ2−Z1ks_×s

≤ 5p(p₋1)Rp−1_kZ2−Z1ks_×s. (3.38)

Finalmente, reemplazando (3.38) en (3.32) se tiene la prueba de la proposici´on

kB(Z1)−B(Z2)k_B(L2₍R₎₎ ≤ sCs5p(p−1)R

p−1

kZ2−Z1ks_×s

≤ µ3kZ2−Z1ks_×s

dondeµ3 =sCs5p(p−1)Rp−1.

3.4. Hip´

otesis

A3

.

Vamos a probar la siguiente proposici´on.

Proposici´on 3.12. Para cada Z _∈ W, _D(A(Z))_{⊇ H}s(R), A(Z) es un operador lineal aco-tado de_Hs(R) en _L2(R), y existe µ1 >0 tal que

kA(Z1)−A(Z2)k_B(Hs₍R_),L2_(R))≤µ₁kZ₁−Z₂k

L2

para todoZ1, Z2∈W.

Prueba. Como s _≥ 3 tenemos que _D(A(Z)) = _H3_{(R) ⊇ H}s_{(R) para cada Z ∈ W.}

Adem´as, paraU _{∈ H}s(R) tenemos que

kA(Z)U_kL2 ≤ kA₀Uk_L2+kA₁(Z)Uk_L2

≤ kU_ks×s+_kM_AkL∞k∂_xUk_(s

−1)×(s−1)

≤ (1 +_kM_AkL∞)kUks

×s,

pues°°∂3

xU

° °

L2 yk∂xUk_L2 no son mayores que kUks_×s. Luego

supn_kA(Z)U_kL2 :kUks_×s= 1

o

≤1 +_kM_AkL∞,

y por tanto A(Z) es un operador lineal acotado de _Hs_{(R) en L}2_{(R). Ahora si Z}

1, Z2 ∈ W

entonces paraU _{∈ H}s(R)

A(Z1)U −A(Z2)U =A1(Z1)U−A1(Z2)U = [MA(Z1)−MA(Z2)]∂xU,

as´ı

||A(Z1)U−A(Z2)U||_L2 ≤ kM_A(Z₁)−M_A(Z₂)k

L2k∂_xUk_{(s−1)×(s−1)}

≤ kMA(Z1)−MA(Z2)k_L2kUks. (3.39)

Estimando

kMA(Z1)−MA(Z2)ks = ky2p−yp1ks+ 2kz2p−z1pks

+°°_°(zp₂₋z₁p) +p³y2z2p−1−y1z1p−1´°°°_s

adem´as, se han hecho ya los estimados para cada una de las normas en (3.34) al (3.38) y sustituyendo en (3.39) se tiene

||A(Z1)U−A(Z2)U||_L2 ≤5p(p−1)Rp−1kZ₂−Z₁k

L2kUks.

Por lo tanto,

Cap´ıtulo 4

Existencia de soluci´

on global y su

comportamiento asint´

otico

En este cap´ıtulo demostraremos que la soluci´on local del problema (0.2) con el dato inicial dado est´a acotada en _Hs_{(R) con s≥ 3 tambi´en se demuestra que Ψ (r) queda acotada para}

todo r_≥0. Los estimados a priori junto con el teorema 4.1 muestran que la soluci´onU existe globalmente y satisface el decaimiento deseado, es decir,

sup

t∈[0,∞[

(1 +t)1/3_kU(t)_kH3

1 <+∞. (4.1)

y que ´esta puede ser extendida a un intervalo [0,_∞[ y el comportamiento asint´otico de la soluci´on global en el tiempo est´a dada por (4.1).

Teorema 4.1. Sea U la soluci´on local del sistema (3.1) con la condici´on inicial U0 ∈ Hs(R)

cons_≥3, obtenida del teorema 3.1. Supongamos que s_≥3 yp_≥2, entonces para cualquier

kcon3_≤k_≤s,

sup

t∈[0,T]k

U(t)_{kk×k ≤}C_kU0kk_×kexp

Ã

C

Z T

0 Ψ (r)dr

!

(4.2)

donde

Ψ (r) = _ku_kp_L−∞1k∂_xukL∞+kvkp_L−∞1k∂_xvkL∞+kvk_Lp−∞1k∂_xukL∞+kvk_Lp−∞2k∂_xvkL∞kukL∞.

(4.3)

Probemos (4.2) usando los resultados sobre conmutadores mencionados en la proposici´on 1.6. Aplicando el operadorJk a las dos ecuaciones del sistema (0.2) tenemos que

Jk³∂tu+∂x3u+α∂x3v+up∂xu+vp∂xv

´

= 0

y

Jk³∂tv+∂x3v+α∂x3u+vp∂xv+∂x(uvp)

´

= 0,

luego aplicamos la propiedad [Js;f]g=Js(f g)₋f Jsg en ambas ecuaciones del sistema (0.2) para obtener

∂tJku+∂x3Jku+α∂x3Jkv+

h

Jk;upi∂xu+upJk∂xu+

h

Jk;vpi∂xv+vpJk∂xv= 0 (4.4)

y

∂tJkv+∂x3Jkv+α∂x3Jku+

h

Jk;vpi∂xv+vp∂xJkv+

h

Jk;vpi∂xu

+vp_∂

xJku+p

h

Jk_;vp−1_ui_∂

xv+pvp−1u∂xJkv= 0.

(4.5)

Multiplicando a (4.4) porJkue integrando sobreR se tiene que 1

2∂t

° ° °Jku°°_°2

L2 = −

Z

R

Jku∂3_xJkudx₋α

Z

R

Jku∂_x3Jkvdx

−

Z

R

h

Jk;upi∂xuJkudx−

Z

R

h

Jk;vpi∂xvJkudx −

Z

R

up∂xJkuJkudx−

Z

R

vp∂xJkvJkudx (4.6)

y en forma similar, multiplicando a (4.5) por Jkv e integrando sobreRse tiene que 1

2∂t

° ° °Jkv°°_°2

L2 = −

Z

R

Jkv∂_x3Jkvdx₋α

Z

R

Jkvα∂_x3Jkudx

−

Z

R

h

Jk;vpi∂xvJkvdx−

Z

R

h

Jk;vpi∂xuJkvdx −p

Z

R

h

Jk;vp−1ui∂xvJkvdx−

Z

R

vp∂xJkvJkvdx

−

Z

R

vp∂xJkuJkvdx−p

Z

R

vp−1u∂xJkvJkvdx (4.7)

luego, usando la propiedad

Z

R

Jku∂_x3³Jku´dx=DJku, ∂_x3³Jku´E

L2 =−

D

∂3_xJku, JkuE

L2 =−

Z

R

se tiene que los t´erminos

Z

R

Jku∂_x3Jkudx= 0,

Z

R

Jkv∂_x3Jkvdx= 0 y

α

Z

R

Jku∂3_xJkvdx+α

Z

R

Jkv∂_x3Jkudx= 0.

Ahora sumando los t´erminos de (4.6) y (4.7) y teniendo en cuenta las igualdades anteriores m´as el siguiente c´alculo

Z

R

vp∂xJkvJkudx =

Z

R

vpJku∂xJkvdx

= DvpJku, ∂xJkv

E

L2

= ₋D∂x

³

vpJku´, JkvE

L2

= ₋Dpvp−1∂xvJku+vpJk∂xu, Jkv

E

L2

= ₋Dpvp−1∂xvJku, Jkv

E

L2 −

D

vpJk∂xu, Jkv

E

L2

= ₋p

Z

R

vp−1∂xvJkuJkvdx−

Z

R

vpJk∂xuJkvdx,

obtenemos el siguiente resultado 1

2∂t

·° ° °Jku°°_°2

L2 +

° ° °Jkv°°_°2

L2 ¸ = ₋ Z R h

Jk;upi∂xuJkudx−

Z

R

h

Jk;vpi∂xvJkudx −

Z

R

h

Jk;vpi∂xvJkvdx−

Z

R

h

Jk;vpi∂xuJkvdx −p

Z

R

h

Jk;vp−1ui∂xvJkvdx−

Z

R

up∂xJkuJkudx

−

Z

R

vp∂xJkvJkvdx−p

Z

R

vp−1u∂xJkvJkvdx

+p

Z

R

vp−1∂xvJkuJkvdx. (4.8)

Ahora, estimamos cada uno de los t´erminos del lado derecho de (4.8) y las distintas constantes positivas ser´an denotadas porC, ellas pueden variar de l´ınea a l´ınea. Usando la desigualdad de H¨older y la proposici´on 1.6 se tiene que

¯ ¯ ¯ ¯ Z R h

Jk;upi∂xuJkudx

¯ ¯ ¯ ¯ ≤ ° °

°hJk;upi∂xu

° ° °_L2

° ° °Jku°°_°

L2

≤ C³_k∂xupkL∞ ° °

°Jk−1∂xu

° ° °_L2+

° ° °Jkup°°_°

L2k∂xukL∞

´ °°_°Jk_u°°

°_L2

≤ C³p_ku_kLp−∞1k∂_xukL∞k∂_xukk

−1+

° ° °Jkup°°_°

L2k∂xukL∞

´

ku_kk

≤ C_ku_kp_L−∞1k∂_xuk_L∞kuk2_k

+C°°_°Jk³up−1u´°°_°

L2k∂xukL∞kukk, (4.9)

aplicando otra vez la proposici´on 1.6 a °°_°Jk¡up−1u¢°°_°

L2 tenemos que el t´ermino

° °

°Jk³up−1u´°°_°

L2k∂xukL∞kukk ≤ C

³

ku_kp_L−∞1 ° ° °Jku°°_°

L2 +

° °

°Jkup−1°°_°

L2kukL∞

´

k∂xukL∞kukk

≤ C³_ku_kp_L−∞1kukk+ ° °

°Jkup−1°°_°

L2kukL∞

´

k∂xukL∞kukk

≤ C_ku_kp_L−∞1k∂_xukL∞kuk2_k

+C°°_°Jk³up−2u´°°_°

L2kukL∞k∂xukL∞kukk

(4.10)

nuevamente aplicando la proposici´on 1.6 a

° °

°Jk³up−2u´°°_°

L2 ≤ C

³

ku_kp_L−∞2 ° ° °Jku°°_°

L2 +

° °

°Jkup−2°°_°

L2kukL∞

´

≤ C³_ku_kp_L−∞2kukk+ ° °

°Jkup−2°°_°

L2kukL∞

´

,

obtenemos que

° °

°Jk³up−2u´°°_°

L2kukL∞k∂xukL∞kukk ≤ Ckuk

p−2

L∞ kukL∞k∂_xukL∞kuk2_k

+C°°_°Jkup−2°°_°

L2kuk

2

L∞k∂_xukL∞kukk

≤ C_ku_kp_L−∞1k∂_xukL∞kuk2_k

+C°°_°Jk³up−3u´°°_°

L2kuk

2

L∞k∂_xukL∞kukk(4.11)

y as´ı sucesivamente, repitiendo el procedimiento p₋1-veces para los t´erminos de la forma

° °

°Jkup−r°°_°

L2 donde r= 1, . . . , p−1, se tiene que (4.10) resulta

° °

°Jk³up−1u´°°_°

L2k∂xukL∞kukk≤Ckuk

p−1

L∞ k∂_xukL∞kuk2_k, (4.12)

luego sustituyendo (4.12) en (4.9) tenemos

¯ ¯ ¯ ¯ Z

R

h

Jk;upi∂xuJkudx

¯ ¯ ¯

En forma similar, se obtiene que el t´ermino ¯ ¯ ¯ ¯ Z R h

Jk;vpi∂xvJkvdx

¯ ¯ ¯

¯≤CkvkpL−∞1k∂_xvkL∞kvk2_k. (4.14)

Usando el procedimiento empleado para obtener (4.13) estimamos

¯ ¯ ¯ ¯ Z R h

Jk;vpi∂xvJkudx

¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Z R ¯ ¯

¯hJk;vpi∂xvJku

¯ ¯ ¯dx

≤ °°°hJk;vpi∂xv

° ° °_L2

° ° °Jku°°_°

L2

≤ C³_k∂xvpkL∞ ° °

°Jk−1∂xv

° ° °_L2 +

° ° °Jkvp°°_°

L2k∂xvkL∞

´

ku_kk

≤ Cp°°_°vp−1°°_°

L∞k∂xvkL∞k∂xvkk−1kukk

+C°°_°Jkvp°°_°

L2k∂xvkL∞kukk

≤ C_kv_kp_L−∞1k∂_xvkL∞kvkkkukk+C ° ° °Jkvp°°_°

L2k∂xvkL∞kukk

(4.15)

donde el t´ermino °°_°Jkvp°°_°

L2k∂xvkL∞kukk =

° °

°Jk¡vp−1v¢°°_°

L2k∂xvkL∞kukk se estima en forma

similar a (4.10), (4.11) y (4.12) es decir,

° °

°Jk³vp−1v´°°_°

L2k∂xvkL∞kukk ≤ C

³

kv_kp_L−∞1 ° ° °Jkv°°_°

L2 +

° °

°Jkvp−1°°_°

L2kvkL∞

´

k∂xvk_L∞kuk

k

≤ C_kv_kp_L−∞1k∂_xvkL∞kvkkkukk

+C°°_°Jk³vp−2v´°°_°

L2kvkL∞k∂xvkL∞kukk

≤ 2C_kv_kp_L−∞1k∂_xvkL∞kvkkkukk

+C°°_°Jkvp−2°°_°

L2kvk

2

L∞k∂_xvkL∞kukk

≤ C_kv_kp_L−∞1k∂_xvkL∞kvkkkukk (4.16)

luego, reemplazando (4.16) en (4.15) obtenemos

¯ ¯ ¯ ¯ Z R h

Jk;vpi∂xvJkudx

¯ ¯ ¯

¯≤CkvkpL−∞1k∂_xvk_L∞kvk_kkuk_k. (4.17)

An´alogamente al procedimiento anterior, estimamos

¯ ¯ ¯ ¯ Z R h

Jk;vpi∂xuJkvdx

¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Z R ¯ ¯

¯hJk;vpi∂xuJkv

¯ ¯ ¯dx