2. Calcula las velocidades medias anteriores tomando valores sobre la ecuación del movimiento de dicha partícula: s = 2 1 (t - 12 Derivadas

R

esuelve

Página 301

Movimiento de una partícula

Un investigador, para estudiar el movimiento de una partícula, la ha iluminado con destellos de flash cada décima de segundo (0,1 s) durante cuatro segundos. Esta es la fotografía a tamaño real:

1. Aproxima la velocidad de la partícula en el instante t = 2 s hallando su velocidad media en los intervalos [2; 2,5] y [2; 2,1]. Para ello, toma medidas sobre la fotografía.

2. Calcula las velocidades medias anteriores tomando valores sobre la ecuación del movimiento de dicha partícula: s =

2

1 (t 4 _{– 8t} 3 _{+ 18t} 2₎

3. Halla ahora las velocidades medias en los intervalos [2; 2,001] y [2; 2,000001] tomando de nuevo valores sobre la ecuación del movimiento de la partícula. ¿Podemos considerar que esta última velocidad media es muy parecida a la velocidad instantánea en t = 2 s?

1. La distancia que separa los puntos en los instantes t = 2 y t = 2,5 es de 12,5 mm, luego la velocidad es: 12 5 = 25 mm/s = 2,5 cm/s_{0 5,},

La distancia que separa los puntos en los instantes t = 2 y t = 2,1 es de 3,5 mm, luego la velocidad es:

_{0 1}3 5 = 33 mm/s = 3,5 cm/s_,,

2. ( · · )

( , · , · , ) , cm ,

, _{, cm}

cm

/

8 s

s

s v

2

1 2 8 2 18 2 12

2

1 2 5 8 2 5 18 2 5 13 28 13 28 12 2 560 5

–

–

–

1 4 3 2

2 4 3 2

1

= + =

= + = = =

_

`

a bb bb

cm

( , · , · , ) , cm 8 , , , cm/s

s

s v

12

2

1 2 1 8 2 1 18 2 1 12 37– 12 37 12 3 770 1–

1

3 4 3 2 2

=

= + =

4

3. cm

( , · , · , ) , cm 8 , , , cm/s

s

s v

12

2

1 2 001 8 2 001 18 2 001 12 003997– 12 003997 12 3 9970 001–

1

4 4 3 2

=

= + =

4

cm

( , · , · , ) , cm 8 , , cm/s

s

s v

12

2

1 2 000001 8 2 000001 18 2 000001 12 000004– 12 000004 12 40 000001–

1

5 4 3 2

=

= + =

4

1

_{Medida del crecimiento de una función}

Página 302

Hazlo tú. Halla la T.V.M. de y = x 1– en [1, 2], [1, 5] y [1, 10].

T.V.M. [1, 2] = f( )2_{2 1}–_–f( )1 = 1–₁ 0=1

T.V.M. [1, 5] = f( )5_{5 1}–_– f( )1 = 4–₄ 0= 1₂

T.V.M. [1, 10] = f( )10_{10 1}–_– f( )1 = 9–₉ 0 = 1₃

1 ¿Verdadero o falso?

a) La T.V.M. mide el crecimiento medio de una función en un intervalo.

b) Si f es creciente en [a, b], su T.V.M. en ese intervalo es positiva, y si es decreciente, su T.V.M. es negativa.

c) Si la T.V.M. de f en [a, b] es 0, significa que f es constante en [a, b]. a) Verdadero.

b) Verdadero. El signo de la T.V.M. depende solo del signo del numerador. Si f es creciente f (b ) > f (a), luego el numerador es positivo. Si f es decreciente, f (b ) < f (a), luego el numerador es negativo.

c) Falso. Solo podemos afirmar que f (a) = f (b ). Esto no quiere decir que sea constante.

2 Halla la T.V.M. de la función y = x 2 _{– 8x + 12 en los siguientes intervalos:}

[1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5], [1, 6], [1, 7], [1, 8]

T.V.M. [1, 2] = f( )2_{2 1}–_–f( )1 = 0 5₁– = –5

T.V.M. [1, 3] = f( )3_{3 1}–_–f( )1 = – –3 5₂ = – 4

T.V.M. [1, 4] = f( )4_{4 1}–_–f( )1 = – –4 5₃ = –3

T.V.M. [1, 5] = f( )5_{5 1}–_– f( )1 = – –3 5₄ = –2

T.V.M. [1, 6] = f( )6_{6 1}–_–f( )1 = 0 5₅– = –1

T.V.M. [1, 7] = f( )7_{7 1}–_–f( )1 = 5 5₆– = 0

3 Halla la T.V.M. de y = x 2 _{– 8x + 12 en el intervalo variable [1, 1 + h].}

Comprueba que, dando a h los valores adecuados, se obtienen los resultados del ejercicio anterior.

T.V.M. [1, 1 + h] = f(1+h –_h) f( ) (1 = +1 h –)2 8 1(_h+ +h) 12 5– = h – h2_h6 =h h –( _h 6) = h – 6

Dando a h los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 se obtienen los resultados del ejercicio anterior.

Página 303

4 En la gráfica, en verde, de la función y = f (x) adjunta, se han señalado cinco puntos: A, B, C,

D y E.

En cada uno de ellos está trazada la recta tangente, cuya pendiente se puede calcular.

A

B

C

y = f (x)

D E

Expresa los resultados utilizando expresiones del tipo: f ' (a) = …

Por ejemplo, para el punto B : f ' (–3) = …

punto pendiente

A _{f ' (– 8) = 5}9

B _{f ' (– 3) = 7}1

C f ' (1) = –1

D _{f ' (5) = – 2}1

2

_{Obtención de la derivada a partir de la expresión analítica}

Página 305

Hazlo tú. Halla la derivada de y =

x3–2 en los puntos de abscisas 1, –1 y 5.

• f '(1) = l mí

0 h"

( ) ( )

f 1 f 1 h h – +

(f 1+ =h) _{1+h –}3 ₂= _{h –}3₁

( )f 1 = _{1 2–}3 =–2

(f 1+h –) f( )1 = _{h –}3₁ – –( )3 = _{h –}3h₁

( ) ( )

f 1 f 1 3 ₁

1 3 h

h –

h h –h

h –

+ _{= =}

f '(1) = l mí

0 h" 1

3 h – = –3

• f '(–1) = l mí

0 h"

( ) ( )

f 1 f 1 h – h – –+

(f 1– h+ =) _{– h –1+}3 ₂ =_{h –}3₃

( )f 1– =_{– –1 2}3 =–1

(f – h – –1+ ) f( )1 = _{h –}3₃ – –( )1 = _{h –}h₃

( ) ( )

f 1 f 1 ₃

3 1 h

– h – –

h h –h

h –

+ _{= =}

f '(–1) = l mí

0

h" h –13=– 31

• f '(5) = l mí

0 h"

( ) ( )

f 5 f 5 h h – +

(f 5+ =h) _{5+h –}3 ₂ =_h3₊₃

f (5) = _{5 2–}3 =1

f (5 + h) – f (5) = _h3₊₃ –1= _h–h₊₃

( ) ( )

f f ₃

3 1

5 5

h h –

h h–h _–

h

+ _{= + =}

+

f '(5) = l mí

0

Hazlo tú. Halla la derivada de y = x 2

2

+ 7x en los puntos de abscisas 0, 1, 2, 3, 4 y 5.

f (x + h) = (x+₂h)2+7(x+ =h) x₂2+xh h+ ₂2 +7x+7h

f (x + h) – f (x) = x₂2+xh h+ ₂2 +7x+7h –ex₂2 +7x xo= h h+ ₂2+7h

( ) ( )

f x f x x _{2 7 x}

2 7

h h –

h

h h2 h _h

+ ₌ + + _{= + +}

f ' (x) = l mí

0 h"

( ) ( )

f x f x

h h –

+ _{= l mí}

0

h" cx+ + = +2h 7m x 7

f '(0) = 0 + 7 = 7 f '(1) = 1 + 7 = 8 f '(2) = 9 f '(3) = 10 f '(4) = 11 f '(5) = 12

1 ¿Verdadero o falso?

a) La derivada de una función, y = f (x), en x = a es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.

b) f ' (3) = 0 significa que la tangente a la gráfica de y = f (x) en x = 3 es paralela al eje X. c) Si f ' (2) > 0, entonces f es creciente en el punto de abscisa 2.

a) Verdadero.

b) Verdadero. La pendiente de la recta tangente en x = 3 es cero, luego la recta es horizontal. c) Verdadero, debido a la inclinación de la recta tangente a f en ese punto.

2 Halla la derivada de y =

x

1 en el punto de abscisa –2.

f ' (–2) = l mí

0 h"

( ) ( )

f 2 f 2 h – +h – –

( ) ( ) _{( )}

f –2+h – –f 2 = _–21_+h + =1₂ –_{2 2}2_–+ + =h_+h2 _{2h –}h ₄

f ' (–2) = l mí

0 h"

( ) ( )

f 2 f 2 h

– +h – – _{= l mí}

0 h" 2hh 4

h

– = l mí

0

h" 2h1–4 =– 41

3 Halla la derivada de y = –2x + 4 en los puntos de abscisas –3, 0, 4 y 7. Explica por qué obtienes

en todos los casos el mismo resultado.

• f ' (–3) = l mí

0 h"

( ) ( )

f 3 f 3 h – +h – –

f (–3 + h) – f (–3) = –2(–3 + h) + 4 – 10 = 6 – 2h – 6 = –2h

f ' (–3) = l mí

0 h"

2 h – h = –2

• f ' (0) = l mí

0 h"

( ) ( )

f f 0

h h –

f (h) – f (0) = –2h + 4 – 4 = –2h

f ' (0) = l mí

0

• f ' (4) = l mí

0 h"

( ) ( )

f 4 f 4 h h – +

f (4 + h) – f (4) = –2(4 + h) + 4 – (– 4) = – 8 – 2h + 8 = –2h

f ' (4) = l mí

0

h" – h –2h = 2

• f ' (7) = l mí

0 h"

( ) ( )

f 7 f 7 h h – +

f (7 + h) – f (7) = –2(7 + h) + 4 – (–10) = –14 – 2h + 14 = –2h

f ' (7) = l mí

0

h" – h = –22h

Como la función es una línea recta, crece o decrece siempre de la misma forma y al ser la derivada una forma de medir el crecimiento de una función, esta debe valer lo mismo en todos los puntos.

4 Halla la derivada de y = 3x 2 – 5x + 1 en los puntos de abscisas –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

Calculamos la derivada de forma general y la evaluamos en cada uno de los puntos pedidos.

f ' (x) = l mí

0 h"

( ) ( )

f x f x

h h – +

f (x + h) – f (x) = 3(x + h)2 _{– 5(x + h) + 1 – (3x} 2 _{– 5x + 1) =}

= 3x 2 _{+ 6xh + 3h} 2 _{– 5x – 5h + 1 – 3x} 2 _{+ 5x – 1 = 3h} 2 _{+ 6hx – 5h}

f ' (x) = l mí

0 h"

x

3 6 5

h h2₊ h – h

= l mí

0

h" (3h + 6x – 5) = 6x – 5

f ' (–2) = –17

f ' (–1) = –11 f ' (0) = –5 f ' (1) = 1

f ' (2) = 7 f ' (3) = 13

3

_{Función derivada de otra}

Página 306

1 ¿Verdadero o falso?

Las rectas tangentes en un punto cualquiera, x₀, a las gráficas de y = f (x) e y = f (x) + 5

son paralelas.

Eso significa que las dos funciones tienen la misma función derivada.

y = f (x) y = f (x) + 5

x₀

Verdadero, porque al ser paralelas las rectas tangentes en cualquier punto, deben tener la misma pen-diente en todos los puntos.

2 Halla la derivada de f (x) =

x3–2 y, a partir de ella, calcula f ' (4), f ' (–1), f ' (1) y f ' (5). –

( ) ( ) ( )( )

( )( )

f x f x _{x x} xx x x

x x

2 3

2 3

3 2 2

2 2

23 2

h h –

h

h – – _·

h

h – –

– – – h

h –– –

+ _{= + =} + + ₌

+

f '(x) = l mí

0 h"

( ) ( )

f x f x

h h –

+ _{= l mí}

0

h" (x 2)(x 2) (_{x )}

3

2 3

h –– – –– 2

+ =

f ' (4) = –₄3

f ' (–1) = –₃1

f ' (1) = –3

f ' (5) = –₃1

3 Halla la función derivada de f (x) = x 3– y calcula las pendientes de las rectas tangentes a la

curva en los puntos de abscisas x = 4 y x = 7.

( ) ( )

( )

( )( )

f x f x x x

x x

x x x x

3 3

3 3

3 3 3 3

h h –

h

h – – –

h h – –

h – – – h – –

+ ₌ + ₌ + + + + + ₌ ( ) ( ) x x x x x x 3 3 3 3

3 1 3

h h – –

h – – –

– h –

=

+ +

+ ₌

+ +

f ' (x) = l mí

0 h"

( ) ( )

f x f x

h h –

+ _{= l mí}

0

h" _x–3+1_h+x–3= _{2 x}1_–3 f ' (4) = ₂1

f ' (7) = ₄1

4 Halla la función derivada de f (x) = x 3 _{+ x} 2_.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x f x x x x x x 3 x 3 x 2 x x x x

h h –

h

h h –

h

h h h h h – –

3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2

+ ₌ + + + + ₌ + + + + + + ₌

x x x

3 3 2

h

h 2 h2 h h3 2 h

= + + + + = 3x 2 _{+ 3hx + h} 2 _{+ h + 2x}

f ' (x) = l mí

0 h"

( ) ( )

f x f x

h h –

+ _{= l mí}

0 h" (3x

Página 307

5 En la fórmula que sirve para hallar la ecuación de la tangente a la curva y = f (x) en un punto

y = f (a) + f ' (a)(x – a)

di el papel que desempeña cada una de las letras que intervienen. La x es la variable indepen-diente, ¿de qué función?

a es la abscisa del punto en el que se halla la recta tangente. f (a) es la ordenada de dicho punto.

f ' (a) es la pendiente de la recta tangente o, también, la derivada de la función en el punto de abscisa a. x es la variable independiente de la recta tangente.

4

_{Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones}

Página 308

1 Calcula: a) D (x 5_{) b) D}

x12

c m c) D x`3 j <sub>d) D x`</sub>3 2_{j e) D}

x x · x

2 3 3 4

f p

a) D (x 5_{) = 5x} 4

b)D ( )

x12 =D x–2 =–2x–3=–x23

c m

c) D x D x( ) x x

x 3 1 3 1 3 1 / ( / ) / 3 1 3 1 3 1 2 3

2 3

– –

= = = =

` j

d) D x D x( ) x x

x 3 2 3 2 32 / ( / ) / 2

3 2 3 2 3 1 1 3 3

– –

= = = =

` j

e) D · ·

x

x x _D x

x x _{D x x}

x 6 5 65 / / _{/ ( / )} 2

3 3 4

2

3 2 4 3 _{5 6 5 6 1} 6 –

= = = =

f p e o ` j

Página 310

Hazlo tú. Halla la función derivada de las siguientes funciones: a) f (x) = 5x 4 _{– 2x} 2 _{+ 3x – 7 b) g (x) = x5 –}3_3x4 _{c) h(x) =}

x x x 3

23

a) f ' (x) = 5 · 4x 3 _{– 2 · 2x + 3 = 20x} 3 _{– 4x + 3}

b) g (x) = 5 x–333x4₌ 5x1 2/ –33x4 3/

g ' (x) = · x · x

x x

5 ₂1 3 ₃4

25 4 33

– –

/ /

1 2 3 1 3 3 3

– ₌

c) h (x) =

x x2 1 33x/ =3x–4 3/

h' (x) = x

x x x

3· –c m4₃ –7 3/ ₌– 4_{7 3/ =}– _{2 3}4

Hazlo tú. Halla la función derivada de las siguientes funciones: a) f (x) = ₁₂₅54x b) g (x) =

x x x x 3 3 1 – – 2 2

+ + c) h(x) = x –5xx 2x–1

3 2₊

a) f (x) = ₁₂₅1 5( )4 x₌₁₂₅1 625x

f ' (x) = ₁₂₅1 625 625xln ₌ ln₁₂₅625 625x

b) g ' (x) =

( ) ( )·( ) ( )·( ) ( ) ( ) ( ) x x

x x x x x x

x x

x x x x x x

xx x x

3

2 3 3 3 1 2 1

3

2 9 9 2 5 1

3

4 8 8

– – – – – – – – – – – – – 2 2 2 2 2 2

3 2 3 2

2 2 2 + + + _{+ =} + + _{+ =} + +

c) h (x) = x 2 _{– 5x + 2 –}

x

1

h' (x) = 2x – 5 +

Halla la función derivada de las siguientes funciones:

2 f (x) = 5x 2 _{+ 7x – 2 x} f ' (x) = 5 · 2x + 7 – 2 ·

x x x

21 =10 +7– 1

3 f (x) = x3 3 _{· e} x

f (x) = 3 x e3 x₌ 3x e3 2/ x

f ' (x) = 3_c23x e1 2/ x₊x e3 2/ x_m= 3_c3₂ x ex₊x x ex_{m = x e3 x}

2 3

x_{c + m}

4 f (x) = e cosx 2·x x

4 +

f (x) = · cose x 21 2x

x

4

f ' (x) =

( )

(e cosx e sen x) e cosx ln e cosx e sen x e cos lnx

21 2

2 2 2

21 2 2

· x – x _xx– x x · x – x _x – x

4 2 = 4 =

· (e cosx sen x ln cosx)

21 2

2 – – x x 4 =

5 f (x) = x · 3x _{· tg x}

f ' (x) = · · ln · ·

cos tg x x tg x

x x

3x 3x 3 3x

2

+ +

6 f (x) = log x

x

2

f ' (x) = ·ln ·x lon x– ·1 ln –log x

ln ln log x x x x x 1 2 1 2 1 2 1– 2

2 2 2 2 2 2 = =

7 f (x) = x

x x

2 –5 3

2

3 ₊

f (x) = x · ·

x x x x x

2 – 5₊ 3 2 5 1 3_{2 =} – ₊ –2

f ' (x) = ·( )

x x x x

2 5 3₂ –2 3 2 5 – 6

2 3 –

+ + = +

8 f (x) = xx2–11

2₊

f ' (x) =

( )

( ) ( )

( ) ( )

x

x x x x

x

x x x x

x x

1

2 1 1 2

1

2 2 2 2

1 4 – – – – – – – – – 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 + _{= =}

9 f (x) = (arc sen x)(x + 3)

f ' (x) = ( ) ( )·

x x arc sen x x

x _{arc sen x}

11 3 1 1

3

– 2 + + = –+ 2 +

10 f (x) = cos x arc sen x

f ' (x) =

( )( ) ( )

cosx– arc sen x sen x– cosx arc sen x sen x+

( ) cos cos cos cos cos x x x x x x x x x

arc sen x sen x

11 1

11 f (x) = x x ·5x

3 2

f (x) = _x1 5x

f ' (x) = –

x1 52 x + 1 5 5 5_x xln = x xln_x5 12–

Página 311

Halla la función derivada de las siguientes funciones:

12 f (x) = sen (x 2 _{– 5x + 7)}

f ' (x) = (2x – 5) cos (x 2 _{– 5x + 7)}

13 f (x) = (3 5x₊3)2 _{= (5x + 3)}2/3

f ' (x) = ( x ) ·

x

3

2 5 3 5

3 510 3

/ 1 3

3 –

+ =

+

14 f (x) = sen2 _x3

2 π +

b l

' ( )' ( )' cos

D sen x sen x

3 ₂

2

3 ₂ 3

π

π

2

2

+ =

= =

+ =

4 4

4 4

e b

b lo

l

Z

[

\ ] ] ]]

f ' (x) = 2sen xb3 + ₂πlcosb3x+π₂l·3=6sen xb3 + π₂lcosb3x+ π₂l

También, usando la fórmula del seno del ángulo doble, podríamos dar el resultado de esta otra ma-nera:

f ' (x) = 2sen xb3 + π₂lcosb3x+₂π ·l 3 3= sen x(6 + =π) –3sen x6

15 f (x) = log_xx2

f (x) = 2log_x x 8 f ' (x) = ( )

ln ln log x

x

10 2 1– 10

2

16 f (x) = cos (3x – π)

f ' (x) = –3 sen (3x – π)

17 f (x) = 1 2+ x

f ' (x) = x

1 2+1

18 f (x) = x e 2x + 1

f ' (x) = e2 1x+ ₊x e2 1x+ ·2₌e2 1x+ (1 2₊ x)

19 f (x) = ( )

x sen x

1 1

– 2

2₊

f ' (x) = cos( ) [ ( )]/ x

x x x x sen x x

1

2 1 1 1 1

–

– –

2

2 2 2 2

=

+ + +

( )

( )cos( ) ( )

x

x x x x sen x

1

2 1 1 1

– –

2 3

5

_{Utilidad de la función derivada}

Página 312

Hazlo tú. Halla las rectas tangentes a y = x 3 _{– 2x} 2 _{paralelas a y = –x.}

Buscamos las rectas de pendiente –1:

f (x) = x 3 _{– 2x} 2 _{8 f ' (x) = 3x} 2 _{– 4x}

La ecuación f ' (x) = –1 nos proporciona las abscisas de los puntos en los que las rectas tangentes son pa-ralelas a la recta dada.

f ' (x) = –1 8 3x 2 _{– 4x = –1 8 3x} 2 _{– 4x + 1 = 0 8 x}

1 = ₃1 , x2 = 1

x = 1 ₃ 8 f c₃1m=c₃1m3–2·c₃1m2=– ₂₇5 8 Recta tangente y = –1 · cx– 1₃m– ₂₇5 8 y=–x+ ₂₇4

x = 1 8 f (1) = 13 _{– 2 · 1}2 _{= –1 8 Recta tangente y = –1 · (x – 1) – 1 8 y = –x}

Página 313

Hazlo tú. Halla los puntos singulares de y = 2x 3 _{– 3x} 2 _{– 12x + 3 y determina los intervalos donde}

crece o decrece.

Resolvemos la ecuación f ' (x) = 0:

f ' (x) = 6x 2 _{– 6x – 12}

f ' (x) = 0 8 6x 2 _{– 6x – 12 = 0 8 x} 2 _{– x – 2 = 0 8 x}

1 = –1, x2 = 2

f (1) = 2(–1)3 _{– 3(–1)}2 _{– 12(–1) + 3 = 10 8 (–1, 10) es un punto singular.}

f (2) = 2 · 23 _{– 3 · 2}2 _{– 12 · 2 + 3 = –17 8 (2, –17) es otro punto singular.}

Teniendo en cuenta las ramas infinitas:

∞

l mí

x"₊ f (x) = _xl m"í_+∞(2x 3 – 3x 2 – 12x + 3) = +∞

∞

l mí

x –" f (x) = _{x –}l m"í _∞(2x 3 – 3x 2 – 12x + 3) = – ∞

Tenemos que los intervalos (– ∞, –1) y (2, +∞) son intervalos de crecimiento. En el intervalo (–1, 2) la función decrece.

Página 314

1 Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función y = x 4 _{– 2x – 3 en los puntos}

de abscisa –1, 0 y 2.

f (x) = x 4 _{– 2x – 3 f ' (x) = 4x} 3 _{– 2}

• f (–1) = 6 f ' (–1) = – 6

La recta tangente en x = –1 es y = – 6(x + 1) + 6, es decir, y = – 6x.

• f (0) = –3 f ' (0) = –2

La recta tangente en x = 0 es y = –2(x – 0) – 3, es decir, y = –2x – 3.

• f (2) = 9 f ' (2) = 30

2 Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función y = x 4

4

– 2x 2 _{+ 3x cuya}

pen-diente sea 3.

Para que la pendiente de la recta tangente sea 3, debe ser f ' (x) = 3.

f ' (x) = x 3 _{– 4x + 3}

f ' (x) = 3 8 x 3 _{– 4x + 3 = 3 8 x (x} 2 _{– 4) = 0 8 x}

1 = 0, x2 = 2, x3 = –2 son las abscisas de los puntos

en los que la pendiente es 3.

x₁ = 0 8 f (0) = 0 8 La recta tangente es y = 3x.

x₂ = 2 8 f (2) = 2 8 La recta tangente es y = 3(x – 2) + 2, es decir, y = 3x – 4.

x3 = –2 8 f (–2) = –10 8 La recta tangente es y = 3(x + 2) – 10, es decir, y = 3x – 4.

3 Halla el valor máximo de la función y = – x 3 _{+ 12x + 3 en el intervalo [0, 3] y en el intervalo}

[–5, 3]. Halla el mínimo en cada uno de esos intervalos. Calculamos primero los puntos singulares de la función:

f ' (x) = –3x 2 _{+ 12}

f ' (x) = 0 8 –3x 2 _{+ 12 = 0 8 x}

1 = –2, x2 = 2

• En el intervalo [0, 3] evaluamos: f (0) = 3 f (2) = 19 f (3) = 12

El máximo se encuentra en x = 2 y vale 19. El mínimo se encuentra en x = 0 y vale 3. • En el intervalo [–5, 3] evaluamos:

f (–5) = 68 f (–2) = –13 f (2) = 19 f (3) = 12 El máximo se encuentra en x = –5 y vale 68. El mínimo se encuentra en x = –2 y vale –13.

4 Halla los siguientes límites aplicando la regla de L'Hôpital:

a) l m

x x

x x

3 10

5 6

– – í

x 2 2 2

+ + "

b) l m tg x5x3 í

x"0

c) l m log

x x í

x"₊∞

a) l m

xx –35xx–106

í x 2 2

2

+ +

" = c m00 = l m_{x 2}í" 22xx–+35 = –71

b) l m tg xx 0í" 5x3 = c m00 = l m_{x 0}í" _{(1 tg x3 3)·}

5

3 5

2

+ =

c) _xl m_"í_+∞ log_xx = ₊+ = ∞_{∞ x}l m_"í_+∞ x ·₁ln

1 10 1

6

_{Representación de funciones}

Página 316

1 Representa estas funciones:

a) y = 2x 3 _{– 3x} 2 _{– 12x + 8 b) y = –3x} 4 _{+ 4x} 3 _{+ 36x} 2 _{– 90 c) y = x} 4 _{+ 4x} 3

a) f ' (x) = 6x 2 _{– 6x – 12 = 0 8 x}

1 = –1, x2 = 2

Máximo en (–1, 15).

Mínimo en (2, –12). 10

20

–20

2 4 –4 –2

–10

b) f ' (x) = –12x 3 _{+ 12x} 2 _{+ 72x = –12x (x} 2 _{– x – 6) = 0}

x = 0

x = ±1 1 24₂+ = 1 5±₂ x_x=_=–3₂

Máximo en (–2, –26) y en (3, 99). Mínimo en (0, –90).

100 200

–200

2 4 –4 –2

–100

c) f ' (x) = 4x 3 _{+ 12x} 2 _{= 4x} 2 _{(x + 3) = 0} x

x==0–3 Mínimo en (–3, –27).

Punto de inflexión en (0, 0). f (x) = 0 8 x 3 _{(x + 4) = 0} x

x==0–4 Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (– 4, 0).

20 40

–40

2 4 –4 –2

–20

Página 318

2 Representa las siguientes funciones racionales, siguiendo los pasos de la página anterior:

a) y = x

x x

1

3 11

2

+

+ + _{b) y =}

x

x x

1 3

2

+

+ _{c) y =}

x2x 1

2

+ d) y =

x21₊1 e) y = _xx2_–22_x 2₊

f ) y =

x x –1

2 2

a) f ' (x) =

( )

( )( ) ( )

( )

x

x x x x

x

x x x x x

1

2 3 1 3 11

1

2 2 3 3 3 3 11

– – – –

2 2

2

2 2

+

+ + + + ₌

+

+ + + + ₌

(x ) 8 ,

x x _{x x}

1

2 –_{8 0 2 –4}

2 2

1 2

= +

+ _{= = =}

Máximo en (– 4, –5). Mínimo en (2, 7). Asíntota vertical: x = –1

Asíntota oblicua: y = x + 2

10 20

–20 4 8 –8 –4

b) f ' (x) =

( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ≠

x

x x x x

x

x x x x x x x x

1

2 3 1 3

1

2 2 3 3 3

1

2 _{3 0}

– – – 2 2 2 2 2 2 2 + + + + ₌ + + + + ₌ + + +

Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (–3, 0) Asíntota vertical: x = –1

Asíntota oblicua: y = x + 2

10 20 –20 4 8 –8 –4 –10

c) f ' (x) =

( )

( ) ·

( ) ( ) 8

x

x x x x

x

x x x

x x x

1

2 1 2

1

2 2 2

1 2 ₀ – _– 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 + + ₌ + + ₌ + =

Mínimo en (0, 0). Asíntota horizontal: y = 1 1 2 –2 2 4 –4 –2 –1

d) f ' (x) =

(x2–2₊x1)2 8 x=0

Máximo en (0, 1). Asíntota horizontal: y = 0

1 2 –2 2 4 –4 –2 –1

e) f ' (x) =

( )

( ) ( )( )

( )

x x x x x x x

x x

x x x x x

2

2 2 2 2 2

2

2 4 2 2 4 4

– – – – – – – – 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2

+ ₌ + _{+ =}

(xx 2xx) 8 x ±

2 4 _{4 0}

2 2 12 – – – – 2 2 2

= + = = = x_x1 0 73_–,_{2 73,}

2

= =

Máximo en (0,73; –2,73). Mínimo en (–2,73; 0,73). Asíntotas verticales: x = 0, x = 2 Asíntota horizontal: y = 1

2 4 –4 2 4 –4 –2 –2

f) • Dominio =

Á

∞ ∞ ílm x x l m x x 1 1 – _– – _– í 8 8 x x 0 2 2 0 2 2 – = = + _ ` a b b

bb x = 0 es asíntota vertical • Asíntota horizontal:

y =

x x –1

2 2

= 1 –

x12; y = 1 es asíntota horizontal

Cuando x 8 – ∞, y < 1; y cuando x 8 +∞, y < 1. Por tanto, la curva está por debajo de la asíntota. • Puntos singulares:

f ' (x) = · ( )·

x

x x x x

x x x x

xx x

2 – –1 2 _{2 –2 2 2 2}

4 2 2 4 3 3 4 3 = + = =

f ' (x) ≠ 0 8 f (x) no tiene puntos singulares

Observamos que f ' (x) < 0 si x < 0; y que f ' (x) > 0 si x > 0. Luego la función es decreciente en (– ∞, 0) y es creciente en (0, +∞). • Corta al eje X en (–1, 0) y (1, 0).

2

2 4

y = 1

–4 –2

–4 –2

E

jercicios y problemas resueltos

Página 319

1.

Función derivada a partir de la definición

Hazlo tú. Dada f (x) = _xx₊₁, halla f ' (x) aplicando la definición.

f (x + h) – f (x) = _{x+ +}x+_hh –_{1 x}x₊₁ = (x+h₍)(_xx_{+ +}+_h1)₁–₎₍x x_x(₊₁+ + =₎h 1) x2+ +x_(xh_{+ +}x_h+h –₁₎₍x_x2₊– h –₁₎x x = _{(x+ +h} h_1)(x+1)

f ' (x) = l mí

0 h"

( ) ( )

f x f x

h h –

+ _{= l mí}

0 h"

(x 1)(x 1) h h h

+ + + _{= l mí}

0

h" (x+ +h 11)(x+1) (= _x+1₁₎2

2.

Reglas de derivación

Hazlo tú. Halla f ' (x) siendo: f (x) = ln x x+1 2

c m

f (x) = 2ln x_x+ =1 2[ (ln x+1 –) lnx)]

f ' (x) = 2c_x1 1 1₊₁ · – _xm=– _{x x(}2₊₁₎

3.

Ecuación de la recta tangente en un punto

Hazlo tú. Halla la ecuación de la recta tangente a f (x) = tg x en x = 4 3π .

f πc m3₄ =tg 3₄π =–1

f ' (x) = 1 + tg 2 _{x 8 f ' π}

4 3

c m = 2 (pendiente de la recta tangente).

La ecuación de la recta tangente en x = π3 es y = ₄ 2cx– 3₄πm – 1, es decir, y = 2x – 2 3 π – 1

Página 320

4.

Recta tangente paralela a una recta

Hazlo tú. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = 3x 2 _{– 4x que sea paralela a la recta}

2x – y + 5 = 0.

Despejando y en la ecuación de la recta dada, podemos obtener su pendiente.

y = 2x + 5 8 La pendiente de la recta es 2.

Las abscisas de los puntos en los que la recta tangente es paralela a la recta anterior son las soluciones de la ecuación f ' (x) = 2.

5.

Puntos de tangente horizontal

Hazlo tú. Halla los puntos singulares de la función f (x) = x 3 _{– 6x} 2 _{y di si son máximos o mínimos.}

Hallamos las abscisas de los puntos singulares resolviendo la ecuación f ' (x) = 3x 2 _{– 12x :}

f ' (x) = 0 8 3x 2 _{– 12x = 0 8 x}

1 = 0, x2 = 4

Calculamos las ordenadas de estos puntos:

f (0) = 0 f (4) = –32

Los puntos singulares son (0, 0) y (4, –32). Ramas infinitas:

∞

l mí

x"₊ (x 3 – 6x 2) = +∞ 8 (4, –32) es un mínimo.

∞

l mí

x –" (x 3 – 6x 2) = – ∞ 8 (0, 0) es un máximo.

6.

Coeficientes de una función que tiene puntos singulares

Hazlo tú. Halla b y c de modo que la función f (x) = x 3 _{+ bx} 2 _{+ c pase por (1, 0) y f ' (1) = 5.}

Si f pasa por (1, 0), entonces f (1) = 0. 13 _{+ b · 1}2 _{+ c = 0 8 c = 0}

f ' (x) = 3x 2 _{+ 2bx}

f ' (1) = 5 8 3 · 12 _{+ 2b · 1 = 5 8 b = 1}

Página 321

7.

Intervalos de crecimiento y de decrecimiento

Hazlo tú. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f (x) = x x 2 –

2

.

Dom =

Á

f ' (x) =

( )

( ) ( )

( )

x x x x

xx x

2

2 2 1

2 4 –

– – –

––

2 2

2 2

=

f ' (x) = 0 8

(4xx x––2)2 2

= 0 8 4x – x 2 _{= 0 8 x}

1 = 0, x2 = 4

Estudiamos los signos de f dentro del dominio de definición en los intervalos cuyos extremos son los puntos singulares.

0 2

f ' < 0 f ' >0 f ' > 0 f ' < 0 4

Por tanto, f crece en (0, 2) ∪ (2, 4) y decrece en (– ∞, 0) ∪ (4, +∞).

8.

Problema de optimización

Hazlo tú. De todos los rectángulos de 36 m de perímetro, halla las dimensiones del que tiene la mayor superficie.

Buscamos el rectángulo de área máxima:

A = bh = b (18 – b)

Hallamos los puntos singulares:

A' = 0 8 A' = 18 – 2b = 0 8 b = 9 Estudiamos si el valor obtenido es un máximo:

0 9

A' > 0 A' < 0

Por tanto, para b = 9 el área es máxima.

Calculamos h: h = 18 – 9 = 9 y obtenemos el área máxima A = 81 m2_.

Página 322

9.

Estudio y representación de una función polinómica

f (x) = 1 + (x – 3)3

• Por ser una función polinómica, su dominio es , es continua y no tiene asíntotas. • Ramas infinitas:

∞

l mí

x"₊ [1 + (x – 3)3] = +∞

∞

l mí

x –" [1 + (x – 3)3] = – ∞

• Puntos singulares:

f ' (x) = 3(x – 3)2

f ' (x) = 0 8 3(x – 3)2 _{= 0 8 x = 3}

Como f (3) = 1, el punto (3, 1) es el único punto singular. • Crecimiento y decrecimiento:

Como f ' (x) = 3(x – 3)2 _{> 0 para todo x ≠ 3, la función crece a ambos lados de x = 3 y no es ni máximo}

ni mínimo. • Cortes con los ejes: x = 0 8 y = –26

y = 0 8 1 + (x – 3)3 _{= 0 8 (x – 3)}3 _{= –1 8 x = 2}

• Gráfica:

2 –2 –4 –6

–8 4 6 8

2 4 6 8

–2 –4 –6 –8 Y

10.

Estudio y representación de una función racional

f (x) = x x

2 2₊8

• La función no está definida en x = 0 8 Dom = – {0} • Asíntota vertical: x = 0

Posición:

Si x 8 0–_{, f (x) 8 – ∞}

Si x 8 0+_{, f (x) 8 +∞}

• Asíntotas horizontales y oblicuas:

Como el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador, tiene una asíntota oblicua. Dividimos:

f (x) = 2x + _x8 8 La asíntota es y = 2x Posición:

Si x 8 – ∞, f (x) – y = _x8 < 0. Curva bajo la asíntota.

Si x 8 +∞, f (x) – y = _x8 > 0. Curva sobre la asíntota. • Puntos singulares:

f ' (x) =

x x

2 –8

2 2

f ' (x) = 0 8

x x

2 –8

2 2

= 0 8 2x 2 _{– 8 = 0 8 x = –2, x = 2}

f (–2) = – 8, f (2) = 8. Por tanto, (–2, – 8) y (2, 8) son los puntos singulares. • Crecimiento y decrecimiento:

–2 0

f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0 2

• Cortes con los ejes: No corta al eje OY. y = 0 8

x x

2 –8

2 2

= 0 8 2x 2 _{+ 8 = 0 No tiene solución (no corta al eje OX).}

• Gráfica: y =

x x

2 –8

2 2

4 –8

–16 12

4 8 12 16Y

Página 323

11.

Función derivada de funciones definidas “a trozos”

a) f (x) = x –1 si <x 4

x x

4

2 –5 si ≥4

2

*

b) g (x) = x

x x x 3 3 1 1

– si –

si ≥ – <

2₊

)

a) Llamamos f₁(x) = x₄2 –1 y f₂(x) = 2x – 5 Ambas funciones son continuas.

( )

f 4 = –1 3= ( ) ·

f

4 4

4 2 4 5 3–

1 2

2 = =

4

( ) ( ) ( ) ( ) f f x f x = = ' '

' 8 '

8

f

x

2 2

2 4 2

4

1 1

2 2

=

=

4

La función derivada es f ' (x) = x x

x 2 4 2 4 si si ≥ <

*

b) Llamamos g₁(x) = 3 – x y g₂(x) = x 2 _{+ 3}

Ambas funciones son continuas.

( ) ( )

( ) ( )

g g

1 3 1 4

1 1 3 4

– – –

– –

1

2 2

= =

= + =

4

( ) ( )

( ) ( )

' '

' 8 '

8 g g g g x x x 1 1 1 1 2 2 – – – – – 1 1 2 2 = =

= =

4

La función derivada es g ' (x) = *₂– si_x1 _si x_x<_>–_–1₁

Página 324

12.

Parámetros para que una función sea continua y derivable

Hazlo tú. Calcula a y b para que las siguientes funciones sean derivables en los puntos que se indican:

a) f (x) = ax x b x x 1 4 2 2 – si ≤ si > 2₊

* en x = 2.

b) g (x) = a x x bx

x x

3 3

– si –

si ≥ – <

2₊

) en x = –3.

a) Llamamos f₁(x) = ax 2 _{+ 1 y f}

2(x) = 4x – b.

Ambas funciones son continuas.

Para que f (x) sea continua en x = 2, se debe cumplir que f₁(2) = f₂(2). ( )

( )

f a f b

2 4 1 2 8 –

1 2

= +

Para que f (x) sea derivable en x = 2, se debe cumplir que f ' ₁(2) = f ' ₂(2).

( ) ( )

( ) ( )

' '

' 8 '

8

f f a

f f

x ax x

4 2 4

2 2

4

1 1

2 2

= =

= =

4

Resolvemos el sistema resultante:

a b a

4 1 8

4 4

– + =

= 4 8 a = 1, b = 3

b) Llamamos g₁(x) = a – x y g₂(x) = x 2 _{+ bx}

Ambas funciones son continuas.

Para que g(x) sea continua en x = –3, se debe cumplir que g₁(–3) = g₂(–3). ( )

( )

a g

g b

3 3

3 9 3 –

– –

1 2

= +

=

4

Para que g(x) sea derivable en x = –3, se debe cumplir que g' ₁(–3) = g' ₂(–3).

( ) ( )

( ) ( )

' '

' '

8 8

x x

g g

g x b g b

1 3 1

2 3 6

– – –

– –

1 1

2 2

= =

= + = +

4

Resolvemos el sistema resultante:

a b

b

3 9 3

1 6

– – – + =

E

jercicios y problemas guiados

Página 325

1.

Derivadas sobre la gráfica

Observando la gráfica de esta función y = f (x):

2 4 6

–2 2 4 Y

X 8

a) Hallar el valor de f '(–2), f '(3), f '(6). b) ¿Para qué valores de x es f '(x) < 0?

a) f ' (–2) = 0 porque es constante en las proximidades de x = –2. f ' (3) = 0 porque en x = 3 hay un mínimo.

f ' (6) = – ₃5 porque la gráfica es la recta y = x– +5 ₃ 40 con pendiente – ₃5 . b) f ' (x) < 0 en (1, 3) ∪ (5, +∞) porque la función es decreciente en estos intervalos.

2.

Función polinómica

Representar una función polinómica sabiendo que l m_x"í_±∞ f (x) = – ∞, que sus puntos de tangente ho-rizontal son (0, –3) y (3, 2), y que corta al eje X solo en x = 2 y en x = 5.

Y

X

3.

Triángulo rectángulo de área máxima

De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 12 m, hallar las dimensiones del que tiene el área máxima.

Supongamos que a y b son los catetos del triángulo rectángulo: a + b = 12 8 b = 12 – a. El área del triángulo es el semiproducto de la base por la altura, luego:

A = ab a₂ = (12 –₂ a)

Para hallar el área máxima, calculamos los puntos singulares: A' = 0 8 A' = 6 – a = 0. Veamos si a = 6 es un máximo:

0 6

A' > 0 A' < 0

4.

Gráfica de la función derivada

Esta es la gráfica de f ', función derivada de f. a) Obtener f '(0), f '(2) y f '(4).

b) ¿Tiene f algún punto singular?

c) Estudiar el crecimiento y el decrecimiento de f.

2 4

2 4

–2 Y

X f '

a) f ' (0) = –3 f ' (2) = 0 f ' (4) = 3

b) En x = 2 se anula la derivada primera. Además, esta es negativa a la izquierda de 2 y positiva a la dere-cha. Por tanto, la función pasa de decreciente a creciente en x = 2 y este punto es un mínimo.

c) La función decrece en (– ∞, 2) y crece en (2, +∞).

5.

Regla de la cadena

Si f (1) = 2, f '(1) = –1, g(2) = 3, g'(2) = 1, ¿cuál es la ecuación de la tangente a y = g[f(x)] en x = 1? g [ f (1)] = g (2) = 3

D [g [ f (1)]] = g' [ f (1)] · f ' (1) = g' (2) · f ' (1) = 1 · (–1) = –1

E

jercicios y problemas propuestos

Página 326

P

ara practicar

Tasa de variación media

1 Halla la tasa de variación media de estas funciones en el intervalo [1, 3] e indica si dichas

fun-ciones crecen o decrecen en ese intervalo:

a) f (x) = 1/x b) f (x) = (2 – x)3 _{c) f (x) = x} 2 _{– x + 1 d) f (x) = 2}x

T.V.M. [1, 3] = f( )3_{3 1}–_– f( )1 = f( )3 –₂ f( )1

a) T.V.M. [1, 3] = /1 3 1₂– =– ₃1 8 Decrece

b) T.V.M. [1, 3] = – – = –1 1 1₂ 8 Decrece

c) T.V.M. [1, 3] = 7 1₂– = 3 8 Crece

d) T.V.M. [1, 3] = 8 2– = 3 ₂ 8 Crece

2 a) Halla la T.V.M. de las funciones f (x) = –x 2 _{+ 5x – 3 y g (x) =}

x1+1 en el intervalo [1, 1 + h]. b) Calcula la T.V.M. de esas funciones en el intervalo [1; 1,5] utilizando las expresiones

obteni-das en el apartado anterior. a) Para la función f (x):

T.V.M. [1, 1 + h] = f(1+h –_h) f( )1 =–(1+h)2+5 1_h( +h – –) 3 1= – – h – h1 2 _h2+ +5 5h –4 3= – h Para la función g (x):

T.V.M. [1, 1 + h] = g(1 ) g( )1 1 1 – ( ) 1

2 1

2 2

2 2

2 14 h

h –

h h

h h – h –

h–

+ _{= + + =} + ₌

+ b) Para la función f (x):

T.V.M. [1; 1,5] = 3 – 0,5 = 2,5 Para la función g (x):

T.V.M. [1; 1,5] = _{2 0 5 4· ,}–1₊ = –₅1

3 Compara la T.V.M. de las funciones f (x) = x 3 _{y g (x) = 3}x _{en los intervalos [2, 3] y [3, 4], y di}

cuál de las dos crece más en cada intervalo. Para f (x): T.V.M. [2, 3] = 19

4 Esta gráfica muestra la longitud de un feto durante el embarazo. Es-tudia el crecimiento medio en los intervalos [5, 15] y [20, 30] y di en qué periodo es mayor el crecimiento:

T.V.M. [5, 15] = f( )15₁₀– f( )5 =17 2₁₀– = 1,5 cm/semana

T.V.M. [20, 30] = f( )30₁₀– f( )20 = 42 25₁₀– = 1,7 cm/semana

El crecimiento medio es mayor entre las semanas 20 y 30. 5 10

10 20 30 40 50

15 20 25 30 35 40

TIEMPO

(semanas)

LONGITUD (cm)

Definición de derivada

5 Halla la derivada de las siguientes funciones en x = 1, utilizando la definición de derivada:

a) f (x) = 3x 2 _{– 1}

b) f (x) = (2x + 1)2

c) f (x) = 3/x d) f (x) = 1/(x + 2)2

a) f ' (1) = l mí

0 h"

( ) ( )

f 1 f 1 h h –

+ _{= l mí}

0

h" h

3(1 h) –1– 2₊ 2

= l mí

0

h" h

3(1 h 2h) – 3₊ 2₊

=

= lmí

0 h"

3 3 6 3

h h2 h –

+ + _{= l mí}

0 h"

(3 6) h

h h + = 6

b) f ' (1) = l mí

0 h"

( ) ( )

f 1 f 1 h h –

+ _{= l mí}

0 h"

( (2 1 ) 1) 9 h

h 2–

+ + _{= l mí}

0 h"

(2 3) 9 h h₊ 2–

=

= lmí

0 h"

9 12 9

4 h h2_{+ +} h –

= l mí

0 h"

(4 12) h

h h + _{= 12}

c) f ' (1) = l mí

0 h"

( ) ( )

f 1 f 1 h h –

+ _{= l mí}

0 h"

/( )

3 1 3

hh –

+ _{= l mí}

0

h" (1 )

3 3 3 h– – h+h = –3

d) f ' (1) = l mí

0 h"

( ) ( )

f 1 f 1 h h –

+ _{= l mí}

0 h"

– (1 1 2) 91

h

h 2

+ + _{= l mí}

0 h"

( )

9 3

9 6 9

h h – h – h –

2 2

+ ₌

= lmí

0

h" _{9 ( 3)}

6 h h –h – h

2 2

+ = l mhí"0 _{9( 3)}

6 272 h

–h – –

2

+ =

6 Aplica la definición de derivada para hallar la pendiente de la tangente en x = 2 de las curvas

f (x) = 4x – x 2 _{y g (x) =} 

x 3 1–7.

• f(2+h –_h) f( )2 = 4 2( +h –) (_h2+h –)2 4 8 4= + h – – h – h –4 4_h 2 4 =–h

f ' (2) = l mí

0 h"

( ) ( )

f 2 f 2 h h –

+ _{= l mí}

0

h" (–h) = 0

• g(2 ) g( )2 3 2( ) 7 – –( )1 +1 1

3 1 1

3 3 1 h h – h h – h h – h – + ₌ + _{= =}

g' (2) = l mí

0 h"

( ) ( )

g 2 g 2 h h –

+ _{= l mí}

0 h" 3 1

3

7 Observa la gráfica de f en la que se han trazado las tangentes en x = –3,

x = 0 y x = 4 y responde.

a) ¿Cuál es el valor de f ' (–3), f ' (0) y f ' (4)? b) ¿En qué puntos es f ' (x) = 0?

c) En x = 1, ¿la derivada es positiva o negativa? ¿Y en x = 3?

–2 2

2 4 6

4 f

a) f ' (–3) = –3 f ' (0) = ₂3 f ' (4) = –2 b) En x = –2 y x = 2.

c) En x = 1 la derivada es positiva porque la pendiente de la tangente lo es. Análogamente, la derivada en x = 3 es negativa.

8 Halla la función derivada de las siguientes funciones, aplicando la definición:

a) f (x) = ( x )

2

5 –3

b) f (x) = x 2 _{+ 7x – 1}

c) f (x) = x 3 _{– 5x}

d) f (x) = x x–1

a) ( ) ( ) –

( )

f x f x 5 x ₂ 3 5x₂ 3 _{x x}

2

5 5 3 5 3

2 5 h

h –

h

h – –

h h – –

+ ₌ + _{= + + =}

f ' (x) = l mí

0 h"

( ) ( )

f x f x

h h –

+ _{= l mí}

0 h" 2

5 2 5 =

b) f x( +h –_h) f x( ) (= x+h)2+7(x+h – –_h) 1 (x2+7x–1) =

= x2+2hx+h2+7x+_h7h – –1 x2–7 1x+ = 2x + h + 7

f ' (x) = l mí

0 h"

( ) ( )

f x f x

h h –

+ _{= l mí}

0

h" (2x + h + 7) = 2x + 7

c) f x( +h –_h) f x( ) (= x+h –)3 5(x_h+h –) (x3–5x) =

= x3+3hx2+3h2x+h –_h3 5x– h –5 x3+5x = 3x 2 _{+ 3hx + h}2 _{– 5}

f ' (x) = l mí

0 h"

( ) ( )

f x f x

h h –

+ _{= l mí}

0 h" (3x

2 _{+ 3hx + h}2 _{– 5) = 3x} 2 _{– 5}

d) f x( ) f x( ) x – ( ) (_{( )} )( )

x

x x

x x

x x x x

1 1

1 1

h h –

h h

h – –

h h

h – – h –

+ ₌ +_{+ =}

+

+ + ₌

= x2+h – –x x_{hx x(}(x2₊–_h)x+h – hx ) = _x(h1_+x)

f ' (x) = l mí

0 h"

( ) ( )

f x f x

h h –

+ _{= l mí}

0

Reglas de derivación

9 Halla la función derivada de las siguientes funciones:

a) f (x) = x₃3 + 7x 2 _{– 4x b) f (x) = 3 cos (2x + π)}

c) f (x) = ₃1 + _x x d) f (x) = _xx₊2₁

e) f (x) = _7x1₊₁+ ₃2x f ) f (x) = x sen x₂

g) f (x) =

x1–4 h) f (x) = ln 3x + e – x

i) f (x) = tg x

2 j) f (x) = 3 arc sen 2x

a) f ' (x) = ₃1 · 3x 2 _{+ 7 · 2x – 4 = x} 2 _{+ 14x – 4}

b) f (x) = –3cos 2x

f ' (x) = –3(–sen 2x) · 2 = 6sen 2x

c) f ' (x) = ·

x x x x

3

1 1

21 31 21

– _–

2 + = 2+

d) f ' (x) =

( )

·( ) ·

( )

x x x x

x x x

1

2 1 1

12 –

2 2

2 2

+

+ ₌

++

e) Teniendo en cuenta que x₃2 = ₃2 x:

f ' (x) =

( )

·( ) · _·

( )

x x

x x x

7 1 0 7 1 1 7

32 21 7 17 6 2

– –

2 2

+

+ _{+ =}

+ +

f) f ' (x) = 1 · sen x x₂+ ·cos x_{2 2}· 1=sen x x_{2 2}+ cos ₂x

g) f (x) = (x – 4)–1/2

f ' (x) = ( )

( )

x

x x

2

1 ₄

2 41 4

– – –

– –

/2 3 – ₌

h) f (x) = ln 3 + ln x + e–x

f ' (x) = _x1₊e–x( )–1 1_{= x} –e–x

i) f ' (x) = 1+tg x₂2 o también f ' (x) =

cos x

2 12

j) f ' (x) =

( )x · x

3 1 2

1 ₂

1 4 2 3