DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO, APLICANDO LA DEFINICIÓN

TEMA 9 – DERIVADAS

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO, APLICANDO LA DEFINICIÓN

EJERCICIO 1 : Halla la derivada de la siguiente función en x = 1, aplicando la definición de derivada:

 

2 1

  x x f

Solución:

 

   

lim(x 1) 2

1 x

) 1 x ).( 1 x ( lim 1 x

1 x lim 1

x 2 ) 1 x ( lim 1

x 1 f x f lim 1 ' f

1 x 1

x 2 1 x 2

1 x 1

x

  

   

  

   

  

 

 



EJERCICIO 2 :

 

.

3 1 función

la para (1) derivada, de

definición la

utilizando

Calcula, f´ f x  x

Solución:

 

   

3 1 3 1 lim 1 x

0 3

1 x

lim 1

x 1 f x f lim 1 ' f

1 x 1

x 1

x

 

   

   

 



EJERCICIO 3 : Halla la derivada de la función f(x)=(x – 1)2 en x=2, aplicando la definición de derivada

Solución:

 

   









lim x 2

2 x

2 x x lim 2

x x 2 x lim 2

x

1 1 x 2 x lim 2

x 1 1 x lim 2

x 2 f x f lim 2 ' f

2 x 2

x 2

2 x 2

2 x 2 2 x 2

x

 

  

  

    

   

  

 

 

 

EJERCICIO 4 :

 

 

.

x x f ,

f' 1 siendo 2

calcula derivada,

de definición la

Aplicando 

Solución:

 

   





x 2

2 lim x ) 1 x (

) x 1 ( 2 lim x 1 x

x 2 2 lim 1 x

x x 2 2

lim 1 x

2 x 2

lim 1

x 1 f x f lim 1 ' f

1 x 1

x 1

x 1

x 1

x 1

x 

  

 

  

  

  

  

 

 

 

FUNCIÓN DERIVADA, APLICANDO LA DEFINICIÓN

EJERCICIO 5 : Halla f´(x), aplicandola definicióndederivada:

a) f(x)x21 b)

 

3

1   x

x

f c) f

 

x 2x2 d)

 

x x

f  1 e)

 

3 2x

x

f 

Solución:

a)

 







  

 







 







       



 h

1 x 1 xh 2 h x lim h

1 x 1 h x lim h

x f h x f lim x ' f

2 2

2 0 h 2 2

0 h 0

h







h 2x



2x lim

h x 2 h h lim h

xh 2 h lim

0 h 0

h 2

0 h

  

 

 

 



b)

 



  





3 1 h 3

h lim h 3 h

lim h

3 1 x 1 h x

lim h

3 1 x 3

1 h x

lim h

x f h x f lim x ' f

0 h 0 h 0

h 0

h 0

h   

    

    

  

 

 



c)

 







  

 







 



 



     

 



 h

x 2 xh 4 h 2 x 2 lim h

x 2 xh 2 h x 2 lim h

x 2 h x 2 lim h

x f h x f lim x ' f

2 2

2 0 h 2 2

2 0 h 2 2 0

h 0

h





_

_

x 4 x 4 h 2 lim h

x 4 h 2 h lim h

xh 4 h 2 lim

0 h 0

h 2

0 h

  

 

 

 



d)

 



  

























 

  

   

   

  

  

 

 



 hxx h

h lim h

h x x

h

lim h

h x x

h x x

lim h

h x x

h x x

lim h

x 1 h x

1 lim h

x f h x f lim x ' f

0 h 0

h 0

h 0

h 0

h 0

h





2

0

h _x

1 h x x

1

lim  

  



e)

 



  





3 2 h 3

h 2 lim h 3 h 2

lim h

3 x 2 h 2 x 2

lim h

3 x 2 3

h x 2

lim h

x f h x f lim x ' f

0 h 0 h 0

h 0

h 0

h

 

   

  

  

 

 

CÁLCULO DE DERIVADAS INMEDIATAS

EJERCICIO 6 : Halla la función derivada de:

 

3 2 5

a) f x  x4  x b) f

 

x ex c)f

 

x 2x3x21 d)f

 

x lnx

 

3 2

e) f x  x5x f)f

 

x senx

 

5 1 3

g)f x x3 x2 h)f

 

x cosx

 

4 3 2

i)f x  x3  x2  j)f

 

x tgx

 

1 2

2 k)

2

  

x x x

f l)f

 

x xex

 

2 1 3 m)

2   

x x x

f n) f

 

x x2senx

 

3 1 ñ)

2

  

x x x

f o)f

 

x xlnx

 

x x x

f 2

p)  

 

x

e x x

f 3 1

q)  

 

3 2

3 r)

2

 

x x x

f s) f

 

x 3xsenx

Solución:

a) f'

 

x 12x32 b) f'

 

x ex c) f'

 

x 6x22x

 

x 1 x ' f )

d 

 

3 1 x 10 x '

f  4

e) f) f'

 

x cosx g) f'

 

x 3x26x h)f'

 

x senx

 

x 12x 6x '

f

i)  2

 

x cos

1 x 1 x ' f j)

2 2 _

  tg

 





















2

2 2

2 2

2 2

1 x 2

4 x 2 x 2

1 x 2

4 x 2 x 2 x 4

1 x 2

2 2 x 1 x 2 x 2 x ' f k)

    

    

   

 l) f'

 

x exxex 



1x



ex

 



















₂



2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 x

6 x 2 x 3

2 x

x 2 x 6 6 x 3

2 x

x 2 1 x 3 2 x 3 x ' f m)

     

    

  

 n)f'

 

x 2x senxx2cosx

 





















2

2 2

2 2

2 2

3 x

1 x 6 x

3 x

x 1 x 6 x 2

3 x

x 1 3 x x 2 x ' f ñ)

     

     

   



 

lnx 1

x 1 x x ln x ' f

o)     

 

2

x 2

x 2

1 x ' f

p)  

 





 





 

_x 2 x x

2 x

x x

e x 3 2

e 1 x 3 3 e

e e 1 x 3 e 3 x ' f

q)        





















2

2 2

2 2

2 2

3 2

18 6

3 2

6 18 12

3 2

2 3 3 2 6

   

   

   

x x x

x

x x x

x x x

x x ' f )

r

s)

 

senx x cosx

x x cos x x sen x x

f      3 

3 2 3

1 3

2

3 1 3

1 '

CÁLCULO DE DERIVADAS

EJERCICIO 7 : Halla la función derivada de:

a)

 



2



4

3x x x

f   b)

 

4 3 1



 x

x

f c)

 

x x

e x

f 4 32

 d) f

 

x ln



3x4 2x



 

e)

 



  

 

  

3 2

1

x x sen x

f

 

3 9 3 f)

2

4 x

x x

f  

 

1 2 3 g)

2 2

  

x x x

f h) f

 

x xex

 

3 1 2 8

i) f x  x5 x3 j)f

 

x 



x4 3x



ex

 

_   

  

 

1 k)

2

x x sen x

f

 

5 6 2 3 l)

3 4

x x x

f  

 

1 2

3 m)

3 2

  

x x x

f n) f

 

x ln



x4 2x



 

5 3 2 ñ)

2 4

x x x

f   

 

x x

x x f

3 4 3 o)

2 

 

 

2 3

p)f x  x3

 

4 7

5 3 2 1

q)f x  x  x r) f

 

x exsenx

 

_   

  

 

2 3 s)

2

x x cos x f

 

3 2 4

t) f x  x5 x u) f

 

x 



x23x



ex

 

_

  

  

  

1 1 v)

2

 

1 4 3

w) f x x7 x

 

1 3 4 x)

2 3

  

x x x

f y) f

 

x e7x43

 

3 1 3 9

z) f x  x2 x4

 

2 3

4 3 1)

x x x f



 2) f

 

x ln



2x53x



 

7 2 3 3)

5

x x x

f   4) f

 

x x4cosx

 

1

1 2

5) 

  x

x

e x f

 

2 5

3 4 6)

6  

 x x

x

f

 

1 2 7)

2  

x x x

f 8) f

 

x  2x3x4

Solución:

a) f'

 

x 4



3x2x



3



6x 1



b)

 

1 4

6

1 4 2

12 12

1 4 2

1 '

3 2

3 2 2

3

 

 

  

x x x

x x

x x

f

c) f'

 

x e4x32x 



12x2 2



d)

 





x x

x x

x x x f

2 3

2 12 2 12 2 3

1

' ₄

3 3

4

  

 

 

e)

 



 

















   

  

        

  

     

         

  

3 x 2

1 x

3 x 2

5 3

x 2

1 x

3 x 2

2 x 2 3 x 2

3 x 2

2 1 x 3 x 2 3 x 2

1 x x

' f

2 2

2 cos cos

cos

 

3 x 18 x 12 x ' f

f)  3

 

  







 

2 2



2



2 3

3 2

2 2 2

1 x

x 2

1 x

x 4 x 6 x 6 x 6

1 x

x 2 2 x 3 1 x x 6 x ' f g)

   

    

    

 

x e xe e



1 x



' f

h)  x x  x  i) f'

 

x 40x46x2

 

_x



_4x3 ₃

 

_ex _x4 _3x

 

_ex _4x3 _{3 x}4 _3x

 

_ex _x4 _4x3 _{3x 3}



_ex

' f

j)            

 







            

 

2 2 2 2

1 x

x 2 x 1 x

1 x

x cos x ' f k)









     

 

    

          

 x 1

x cos

1 x

1 x

1 x

x 2 1 x

1 x

x cos

2 2

2 2 2

2 2 2

2

 

5 x 18 x 6 5

x 18 2

x 12 x ' f l)

2 3 2 3

   

 



 















    

    

2 3

2 4 4

2 3

2 2

3

1 x 2

x 18 x 6 x 2 x 4

1 x 2

x 6 3 x 1 x 2 x 2 x ' f m)



3



2 2 4

1 x 2

x 2 x 18 x 2

   

 





x 2 x

2 x 4 2 x 4 x 2 x

1 x ' f n)

4 3 3

4 _

    



 

5 x 6 x 8 x ' f ñ)

3_

 

 























      

 

  

2 2

2 2

2 2 2

x 3 x

12 x 8 x 9 x 6 x 9 x 3

x 3 x

3 x 2 4 x 3 x 3 x 3 x ' f o)



2



2 2

3 12 8 3

x x

x x

    

 

3 x 2

x 3

3 x 2 2

x 6 x

6 3 x 2 2

1 x

' f p)

3 2 3

2 2

3

 

 

  

 

3 6

x 5 21 x 2 x ' f

q)  

 

_{x e}x _{senx e}x _cosx



_{senx cosx}



_ex

' f

 













     

  

 

  

 

  

 

     

        

  

 



2 x

x 3 sen

2 x

x 6 6 x 3

2 x

x 2 x 3 2 x 3

2 x

x 3 sen x ' f s)

2 2

2

2 2

2 2 2 2











 

  

 

       

  

 

    

2 x

x 3 sen

2 x

6 x 3

2 x

x 3 sen

2 x

6 x 3

2 2

2 2 2

2 2

2

 

3 2 x 20 x '

f  4

t)

  

x 2x 3



e



x 3x



e e



2x 3 x 3x

 

e x x 3



'

f   x 2 x  x   2  x 2 

u)

 





















           

  

            

  

            

  

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

1 x

1 x 2 x

1 x

1 x

1 x

x 2 x 2 1 x

1 x

1 x

1 x

x 2 1 x 1 x

1 x

1 x x

'

f cos cos cos

v)







   

  

    

1 1

1 1 2

2 2

2 2

x x cos x

x x

 

4 3 x 7 x '

f  6 w)

 



 













₂



2

2 4 2

2 4 2 4 2

2 3 2

2

1 x

x 6 x 12 x 4

1 x

x 6 x 8 x 12 x 12

1 x

x 2 3 x 4 1 x x 12 x ' f

    

    

   

x)

 

7x4 3

 

3 3 7x4 3

e x 28 x 28 e

x '

f      

y)

 

_{x 18x 12x}3

'

f  

z)

 



















₂



2

4 2 2

2 4 4 2 2

2 3 2 2

x 4

x 3 x 36

x 4

x 6 x 9 x 36

x 4

x 2 x 3 x 4 x 9 x ' f

   

   

   

1)

 





x 3 x 2

3 x 10 3 x 10 x 3 x 2

1 x

' f

5 4 4

5

    

  2)

 

7 2 x 15 x ' f

4_

  3)

 

x 4x x x



senx



4x x x senx '

f  3cos  4   3cos  4

4)

 





















2

2 1 x

1 x 2

2 2

1 x

1 x 2

2 1

x 1 x

1 x

1 x 2 x e 1

x

1 x x 2 x 2 e 1

x

1 x 1 x x 2 e x ' f

2 2

2

     

     

   

 

 

 

 5)

 

2 8x 2

3 x 24 x '

f 5

5

   

6)

 















₂



2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 x

2 x 2

1 x

x 4 2 x 2

1 x

x 2 x 2 1 x 2 x ' f

    

   

    7)

 









4 3 4

3 4

3 3

4 _{2x 3x}

x 6 1 x 3 x 2 2

x 6 1 2 x 3 x 2 2

x 12 2 x 12 2 x 3 x 2 2

1 x

' f

             8)

EJERCICIO 8 : Halla la derivada de estas funciones:

 



x 5



3

x e x f

a)  

 

2 ) 2 x (

x 2 x f b)



 c) f

 

x 



x2 x



·lnx

 

     

  

2 x

1 x ln x f ) d

x sen · e y

e)  2x1 

    

  

1 x 2

3 x ln y ) f

2 ) 1 x (

1 x 3 y g)

 

 h) ycos2



x42



 

_x



_x2 ₂



_·ex f

i)  

 

2 x 4

1 x 3 x f ) j

Solución:

a) f ‘(x)  3 (exx5)2 · (ex 5x4)

 

3 3

4 4

2

) 2 x (

4 x 2

) 2 x (

x 4 4 x 2

) 2 x (

] x 4 ) 2 x ( 2 [ ) 2 x (

) 2 x (

) 2 x ( 2 · x 2 ) 2 x ( 2 x ' f b)

    

   

  

 

 

 

 





x x x x ln x 2

1 x 2 x 1 · x x x ln · x 2

1 x 2 x ' f

c) 2 _  

  

  

  

     

  

 

 

2 x x

3 )

2 x ( ) 1 x (

3

) 2 x (

) 1 x 2 x ( · ) 1 x (

) 2 x (

) 2 x (

) 1 x ( 2 x ·

2 x

1 x

1 x ' f d)

2 2

2 _  _{ }  _{ }

   

  

  

  

e) y’ e2x1 · 2 · sen xe2x1 · cos x 2 e2x1 · sen xe2x1 · cos xe2x1 (2sen xcos x)

  

  

   

  

  

  

) 1 x 2 ( ) 3 x (

5

) 1 x 2 (

) 6 x 2 1 x 2 ( · ) 3 x (

) 1 x 2 (

) 1 x 2 (

2 · ) 3 x ( 1 x 2 ·

1 x 2

3 x

1 ' y f)

2

2 _{2 7 3}

5 2

 

 

x x

 

    

   

 

 

  

3 4

4 2

) 1 x (

2 x 6 3 x 3

) 1 x (

] ) 1 x 3 ( 2 ) 1 x ( 3 [ ) 1 x (

) 1 x (

) 1 x ( 2 · ) 1 x 3 ( ) 1 x ( 3 ' y

g) ₃

) 1 (

5 3

   

x x

h) y ‘  2cos (x4  2) · [sen (x4  2)] · 4x3 8x3 cos (x4  2) · sen (x4  2)

i) f ‘(x)  2x · ex (x2  2) · ex (2xx2  2) ex (x2  2x 2) ex

 

2 / 1

2 x 4

1 x 3 x f

j) 

    

  

 



    

  

 

  

    

  

 

  



2 2

/ 1

2 2

/ 1

) 2 4 (

4 12 6 12 · 1 3

2 4 2 1 )

2 4 (

4 · ) 1 3 ( ) 2 4 ( 3 · 2 4

1 3 2 1 '

x x x

x x x

x x

x x x

f

3 2

/ 3 2

/ 1 2

2 / 1

2 / 1

) 2 4 ( ) 1 3 (

5 )

2 4 ( · ) 1 3 (

5 )

2 4 (

10 · ) 1 3 (

) 2 4 ( 2 1

 

  

  

 

x x

x x

x x

x

EJERCICIO 9 : Halla la derivada de estas funciones:

a) f (x)  tg2 (2x4  1) b) f (x)  (sen x)x1 c) 5x2  5y2  4xy

 



















2

x

1

x

ln

x

f

d)

e)

f

 

x



x

x2

f)

3

x

4



2

y

3



xy



1

g) y  e2x1 · sen (x  1) h) y  (3x2  1)2x i) x2  y2  xy  5 j) y  cos2 (x4  2) k) y  (cos x)2x l) 2x2y2  3x2  y2  2

 

3 2

2

x

3

x

4

x

f

m)





n)

f

  

x



2

x



1



x

ñ)

x

2



3

xy



y

2



0

Solución:

a) f ' (x)  2tg (2x4  1) · (1 tg2 (2x4  1)) · 8x3  16x3 tg (2x4  1)  16x3 tg3 (2x4  1)

b) y (sen x)x1  ln yln (sen x)x1  ln y (x 1) · ln (sen x)



 



x

sen

x

cos

·

1

x

x

sen

ln

y

'

y









y

'





sen

x



x1



ln



sen

x

 



x



1



cotg

x



c) 10x 10y · y '  4y 4x · y '  10y · y '  4x · y '  4y 10x  y ' (10y 4x)  4y 10x

x y

x y y x y

x y y

2 5

5 2 ' 4

10 10 4 '

      

d) f (x) ln (x 1) ln (x 2) 

 

2

x

x

3

)

2

x

(

)

1

x

(

1

x

2

x

2

x

1

1

x

1

x

'

f

2



























e) yx x2  ln yln x x2  ln y (x 2) ln x 





x

1

·

2

x

x

ln

y

'

y







 _

  



 



 

x 2 x x ln · x '

f) 12x3  6y2 · y ' yx · y '  0 y ' (x 6y2) 12x3 y 

2 3

y

6

x

y

x

12

'

y









g) y'e2x1 · 2 · sen (x 1) e2x1 · cos (x 1) e2x1 [2 sen (x 1) cos (x 1)] h) y  (3x2  1)2x ln yln (3x2  1)2x ln y 2x ln (3x2  1) 





1 x 3

x 6 · x 2 1 x 3 x ln 2 y

' y

2 2

 



 









   

   

   



1 x 3

x 12 1 x 3 ln 2 · 1 x 3 ' y

2 2 2

x 2 2

i) 2x 2y · y ' yx · y '  0 2y · y ' x · y ' 2xy  y ' (x 2y) 2xy

y x

y x y

2 2 '

   

j) y '  2cos (x4  2) · (sen (x4  2)) · 4x3 8x3 cos (x4  2) · sen (x4  2)

k) y  (cos x)2x  ln y  ln (cos x)2x  ln y  2x ln (cos x) 





_

  

    

x cos

x sen · x 2 x cos ln 2 y

' y

y '  (cos x)2x · [2 ln (cos x)  2x tg x]

l) 4xy2  2x2 · 2y · y '  6x 2y · y '  0  4x2yy' 2yy'6x4xy2  y' (4x2y 2y) 6x 4xy2

y 2 y x 4

xy 4 x 6 ' y

2 2

   

 

3

1 2

2 x 3

x 4 x f m)

 

   

 



 

 







   

        

   



 

 

 

 



2 2 2

3

2 2 2

2 3

2 2

) 2 x 3 (

x 12 x 16 x 24 · x 4

2 x 3 3 1 )

2 x 3 (

3 · x 4 2 x 3 x 8 · 2 x 3

x 4 3 1 x ' f

2 2 3

2

2 _{(3x 2)}

x 16 x 12 · x 4

2 x 3 3 1

  

        

n) y (2x 1)x  ln y ln (2x  1)x ln yx ln (2x 1) 





1 x 2

2 · x 1 x 2 ln y

' y

 

 









_

  

 

   



1 x 2

x 2 1 x 2 ln · 1 x 2 '

y x

ñ) 2x 3y 3x · y' 2y · y' 0  3x · y' 2y · y'2x 3y  y' (3x 2y) 2x 3y

y 2 x 3

y 3 x 2 ' y

   

ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD

EJERCICIO 10 : Estudia la derivabilidad de esta función, según los valores de a y b:

 

    

 

  

 



1 x si

1 0 si

0 si 1 3

2 3

2

x ln bx

x ax

x

x x

x f

Solución:

 Continuidad:

- En x 0 y x 1: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

- En x 0:

 





 





 

 

x noescontinuaen x 0. f

0 0 f

0 ax x lím x

f lím

1 1 x 3 lím x f lím

2 3 0 x 0

x

2 0 x 0

x



   

    

 



  

  

 

 

 

- En x 1:

 





 





 

        



  

   

 

 

 

 

b 1 f

b x ln bx lím x f lím

a 1 ax x lím x f lím

1 x 1

x

3 1 x 1

x

Para que f (x) sea continua en x 1, ha de ser b 1 a.

 Derivabilidad:

- Si x 0 y x 1: f (x) es derivable, y su derivada es:

 

        

 

  





1 x si x

1 b

1 x 0 si ax 2 x 3

0 x si x

6

x '

f 2

- En x 0: f (x) no es derivable, pues no es continua en x 0.

- En x 1: Para que f (x) sea derivable en x 1, han de ser iguales las derivadas laterales:

 

 

1 1 3 2 1

'

2 3 1 '

       

 

 

 

b a b

f

a f

- Por tanto, f (x) será derivable en R {0} cuando y solo cuando:

0 b

1 a 1 b a 2 3

a 1 b

  

  

  

 

- En x 0 no es derivable, cualesquiera que sean a y b.

EJERCICIO 11 : Calcula a y b para que la siguiente función sea derivable en todo R:

 

    

  



  



1 si

2

1 si

2 2

x x

bx

x x

a x x f

Solución:

 Continuidad:

- En x1: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas en los intervalos en los que están definidas.

- En x1:

 

 





 

  

   

 

   

     

     

 

 

 

 

  



  



2 b 1 f

2 b x 2 bx lím x

f lím

a 1 x a x lím x

f lím

2 1 x 1

x

2 1 x 1

x

Para que f (x) sea continua en x1, ha de ser 1 ab 2.

 Derivabilidad:

- Si x1: f (x) es derivable, y su derivada es:

 

      

  



  



1 x si 2 bx 2

1 x si x

a x 2 x '

f 2

- En x1: Como f '(1) 2 a y f '(1)  2b2, para que f (x) sea derivable en

x1, ha de ser 2 a 2b 2.

 Uniendo las dos condiciones anteriores, f (x) será derivable en todo R cuando:

3 7 b

3 2 a

4 b 2 a

3 b a

2 b 2 a 2

2 b a 1

        

        

EJERCICIO 12 : Estudia la derivabilidad de la función:

 

      

 



 

 

 

2 x si 4 x 4 x

2 x 1 si x

2

1 x si x 3 x x f

2 2

2 4

Solución:

 Continuidad:

- En x 1 y x 2: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

- En x 1:

 





 

 

 

 

x escontinuaen x 1. f

2 1 f

2 x 2 lím x f lím

2 x 3 x lím x f lím

2 1 x 1

x

2 4 1 x 1

x



   

    

 



 

   

 

 

 

 

- En x 2:

 

 

 





 

 

x escontinuaen x 2. f

8 2 f

8 4 x 4 x lím x f lím

8 x 2 lím x

f lím

2 2 x 2

x

2 2 x 2

x



   

    

 



   

 

 

 

 

 

 Derivabilidad:

- Si x1 y x 0: f (x) es derivable, y su derivada es:

 

      

 

 

 

 

2 x si 4

x 2

2 x 1 si x

4

1 x si x 6 x 4 x ' f

3

- En x 1: Como f '(1)  2 f '(1)  4, f (x) no es derivable en x 1.

EJERCICIO 13 : Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable:

 

    

 



 

 

1 x si 2 bx ax

1 x si b ax x 3 x f

3 2

Solución:

 Continuidad:

- Si x 1: f (x) es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.

- En x 1:

 





 





 

   

    

 

  

     

     

 

 

 

 

2 b a 1 f

2 b a 2 bx ax lím x f lím

b a 3 b ax x 3 lím x f lím

3 1 x 1

x

2 1 x 1

x

Para que f (x) sea continua en x 1, ha de ser 3 abab 2; es decir, 2a 2b 1.

 Derivabilidad:

- Si x 1: f (x) es derivable, y su derivada es:

 

    

 

 



1 x si b ax 3

1 x si a x 6 x ' f

2

- En x 1: Para que sea derivable en x 1, las derivadas laterales han de ser iguales:

 

 

1 3a b 6 a 3a b '

f

a 6 1 ' f

       

 

   

 Uniendo las dos condiciones anteriores, f (x) será derivable si:

3 4 b ; 6 11 a b a 3 a 6

1 b 2 a 2

 

  

  

 

EJERCICIO 14 : Estudia la derivabilidad de la siguiente función:

 

      

 



   

  



0 x si 3 x 2

0 x 1 si 4 x

1 x si x 2 x 3 x f

x 2 2

Solución:

 Continuidad:

- Si x1 y x 0  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

- En x1

 





 





 

 

x escontinuaen x 1 f

5 1 f

5 4 x lím x

f lím

5 x 2 x 3 lím x

f lím

2 1 x 1

x

2 1 x 1

x

 

   

    

 

   

    

 

 

  

  

 

 

  



  



- En x 0:

 





 





 

 

x escontinuaen x 0 f

4 0 f

4 3 x 2 lím x f lím

4 4 x lím x f lím

x 0 x 0

x

2 0 x 0

x



   

    

 

   

    

 



   

  

 

 

 

 

 Derivabilidad:

- Si x1 y x 0  f (x) es derivable, y su derivada es:

 

    

 

  

  



0 x si 1 2 ln 2

0 x 1 si x

2

1 x si 2 x 6 x ' f

x