Soluciones de Determinantes en PAU CyL

(1)

Soluciones de Determinantes en PAU CyL

1.- Si B es una matriz cuadrada de dimensión 3 3 cuyo determinante vale 4, calcula el determinante de 5B y

el de B2. (1 punto) (PAU junio 2011)

Solución 5B 500 . Nota: 5B 53 B 53 4 125 4 500

2 16

B  . Nota: B2  B B  B  B   4 4 16

2.- Sabemos que el determinante de una matriz cuadrada A vale –1 y que el determinante de la matriz 2·A vale –16 ¿Cuál es el orden de la matriz A? (1 punto) (PAU septiembre 2011)

Solución

Es de orden 4 . Nota: Si n es el orden entonces 2A 2n A 2n    ( 1) 16  2n 16  n4 3.- Sea B una matriz cuadrada de tamaño 3 3 que verifica que B2 16I, siendo I la matriz unidad. Calcular el

determinante de B. (1,5 puntos) (PAU junio 2010) Solución

64

B   . Nota: B2 16 I B2  16I  B 2 163 I  B 2 212 1 B   212  64

4.- a) Si se sabe que el determinante

1 2 3

a a a b b b c c c

vale 5, calcular razonadamente

1 2 3

2 3

a a a

b b b

c c c

y

1 1 1

2 3 2 3 2 3

2 2 2

a b c

a a b b c c

a b c

   . (1,5 puntos) (PAU septiembre 2010)

b) Si A es una matriz cuadrada de tamaño 2x2 para la cual se cumple que A1  At(At traspuesta de la matriz A), ¿puede ser el determinante de A igual a 3? (1 punto)

Solución

a)

1 2 3

2 3

2 3 30

2 3

a a a

b b b

c c c

 . Nota:

1 2 3 1 2 3

2 3

2 3 2 3 2 3 5 30

2 3

a a a a a a

b b b b b b

c c c c c c

      

1 1 1

2 3 2 3 2 3

2 2 2

5

a b c

a a b b c c

a b c

     . Nota:

1 2 3 2

1 1 1

2 3 2 3 2 3 1 2 3 2

2 2 2 1 2 3 2

1 3 2 1 2 3

1 2 2

1 2 2 1 3 2 1 2 3

0 0 5 5

t

a a a a

a b c

M a a b b c c M b b b b

a b c c c c c

a a a a a a

a a a

b b b b b b b b b

c c c c c c c c c



       



       

(2)

5.- Sea A una matriz cuadrada tal que det

 

A  1 y det ( 2)



 A



32. Calcular el tamaño de la matriz A.

(1 punto) (PAU junio 2009)

Solución

Orden 5. Nota: Si n es el orden entonces 2 ( 2)n ( 2)n ( 1) 32 ( 2)n 32 5

A A n

               

6.- Resolver la ecuación 1

1 0

1

x x x



 



. (1 punto) (PAU junio 2009)

Solución 1

3

x  . Nota: Se hace la transformación C₁C₁C₂C₃, seguida de F₂ F₁ y F₃ F₁.

7.- Resolver la ecuación

1 2

2 1 0

1 2 0

x x

x x x

x

 

    

. (1 punto) (PAU septiembre 2009)

Solución 1

x . Nota: Desarrollando por Sarrus se obtiene 6x3 4x2   x 1 0, cuya única raíz es x1 (Ruffini). 8.- Estudiar, en función del parámetro real , el rango de la matriz: (1 punto)

2 1 1

1 1

1 1 2

A

 





 

 

_   _

 _ _ 

 

. (PAU septiembre 2009)

Solución





Caso 1º: 1 , 2 , 3 rango( ) 3 Caso 2º: 1 o 2 o 3 rango( ) 2

A A 

  

     

     

Nota: 1 3 3 1

2

2 1 1 3 1 1 3 1 1

1 1 0 1 0 1

1 1 2 3 1 2 0 2 1

0 1 o 2 o 3

1

(3 ) (3 ) ( 2)

2 1 0 1 y 2 y 3

C C F F

A

A A

  

   

  



   

 

  

         

      

      

  _

      _{ }

  _      

9.- Sea A una matriz 3×3 de columnas C₁ ,C₂ y C₃ (en ese orden). Sea B la matriz de columnas 1 2 , 2 1 3 3 y 2

C C C  C C (en ese orden). Calcular el determinante de B en función del de A. (1 punto) (PAU septiembre 2008) Solución

3

B    A . Nota: ₁ ₂ ₁ ₃ ₂ ₁ ₁ ₃ ₂ ₂ ₁ ₃ ₂

1 1 2 1 3 2 1 3 2 1 2 3

, 2 3 , , 2 3 , , 2 3 ,

, 2 , , 3 , 0 0 3 , , 3 , , 3

B C C C C C C C C C C C C C

C C C C C C C C C C C C A

       

(3)

10.- Hallar para qué valores de a es invertible la matriz 4 3 1

a a

A

a



 

  

  y calcular la inversa para a0.

(1 punto) (PAU junio 2007) Solución





1 1 0 1

1 , 4 . Si 0

1 / 4 0

A a a A  

       _{ } _

 

Nota:

1 2

1 0 Para 1 o 4 No existe 4 3

3 4 ;

1 ₀ _Para _{1 y} _{4 Sí existe}

A a a A

a a

A a a

a _A _a _a _A

 

 _{ } _{ } _

 _

    _

    







1

0 4 1 1 0 1 1 0 4 0 1

Si 0 adj( )

1 0 4 4 0 4 1 0 1 / 4 0

t t

a A A A

A

  

       

  _ _     _ _  _ _{ } _

 

       

11.- Discutir, en función del número real m, el rango de la matriz:

2 1

1 2 3

2 1 2

m

A m

 

 

_  _

 _ _ 

 

. (1 punto) (PAU septiembre 2007)

Solución





Caso 1º: 2 , 3 rango( ) 3 Caso 2º: 2 o 3 rango( ) 2

m A

m m A

     

    

Nota:

1 3

2 1 0 0 2

1 2

1 2 3 1 2 3 ( 2) ( 2) (3 )

2 1

2 1 2 2 1 2

F F

m m

m

A m m m m m

  _

        

 

   

0 Para 2 o 3 rango( ) 2 0 Para 2 y 3 rango( ) 3

A m m A

     

 

    



12.- Dada la matriz

1 2

2 1 0

3 4 5

a

P a

 

 

_  _

 

 

, determínense los valores del número real a para los cuales existe la

matriz inversa de P. (1 punto) (PAU septiembre 2006) Solución

1

Existe P  a .

(4)

13.- Sea A una matriz 22 de columnas C₁,C₂ y determinante 4. Sea B otra matriz 22de determinante 2. Si C es la matriz de columnas C₁ C₂ y 3C₂, calcúlese el determinante de la matriz  1

C

B . (1 punto) (PAU junio 2005)

Solución 1 1

6

B C   . Nota: Se conocen los datos A  C₁ ,C₂ 4 y B 2

1 2 , 3 2 1, 3 2 2 , 3 2 3 1, 2 0 3 12 C  C C C  C C  C C  C C   A 

1 1 1 2 1 1

12 6

B C B C B

C

 

       

14.- Sea la matriz _

     

c b a A

0 . Calcúlese el determinante de A sabiendo que

2 ₂ _Id

A  A O, donde Id es la matriz identidad y O es la matriz nula. (1 punto) (PAU septiembre 2005)

Solución

1

A  . Nota: 2 2 Id ( )2 ( )2 0 1 0

0 1

1

( 1)( 1) 0 1 , 1 1 0 1

0 1

a b

A A O A Id O A Id O A Id

c b

a c a c A



              



           

15.- Discútase, según el valor de a, el rango de la matriz

  

 

  

 

a 1 0

3 1 2

1 2 1

. (1 punto) (PAU septiembre 2005)

Solución 1

Caso 1º: rango( ) 3 3

1

Caso 2º: rango( ) 2 3

a A

m A

 

    _ _    

   

.

Nota:

1 2 1

0 para rango( ) 2 , porque el menor 3 0 2 1

3 3 1 ;

1

0 para rango( ) 3 3

A a A

A a

A a A



       

    _

 _ _{ } _ _

(5)

16.- Sea _

     

3 2

2 1

A . Determínense los valores de m para los cuales AmId no es invertible (donde Id denota la matriz identidad). (1 punto) (PAU septiembre 2005)

Solución 1 2 5 o 2 2 5

m    m   

Nota: 1 2 1 0 1 2 0 1 2

2 3 0 1 2 3 0 2 3

m m

A m Id m

m m



         

  _ _ _ _{ } _{ } _{ } _ 

         

2 1

1 2

4 1 0 Para 2 5 no existe ( )

2 3

m

A m Id m m m A m Id

m





            



17.- Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son respectivamente C₁ ,C₂ ,C₃ y cuyo determinante vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son C2 ,C3C2 ,3C1.

Calcúlese razonadamente el determinante de 1

A en caso de que exista esa matriz. (1 punto) (PAU junio 2004) Solución

1 1

6

A   

Nota: Se tiene como dato M  C₁,C C₂, ₃ 2

2 3 2 1 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 1 2 2

1 1

1 2 3

, , 3 3 , , 3 , , 3 , , 3 , ,

1 1 1

3 , , 3 0 3 3 2 6 6

6 6

A C C C C C C C C C C C C C C C C C C

C C C M A A A

A

 

            

                    



18.- Sea A una matriz cuadrada de orden 4 cuyo determinante vale 3, y sea la matriz 4 3

B A. Calcúlese el determinante de la matriz B. (1 punto) (PAU septiembre 2004)

Solución 9 .

B  Nota: Se tienen como datos AM_{4 4}_ , A 3 , B 43A

 

4

4₃ 4₃ ₃ _{3 3} ₉