N B C A M

Texto completo

(1)

SEMANA 5

CIRCUNFERENCIA I

1. En la figura, calcule m

AB

; si m CDE∢ =145º.

A) 70º B) 145º C) 72,5 D) 140º E) 90º

RESOLUCIÓN

Como ∢CDE =145º

⇒ m

CME

=

290º

....(∢ inscrito) ⇒ m

CDE

=

70

º

mCOE =70º...( central) ∴ mAB =140º ...( ∢ inscrito)

RPTA.: D

2. Del gráfico, Calcule x.

A) 25º B) 20º C) 30º D) 40º E) 15º

RESOLUCIÓN

Como: m∢BCA = x ⇒ m

AB

=

2

x

Por ángulo interior CD=180º 2x−

Por teorema de los recuadros:

(

180º 2x

)

2x

40º 2

− −

= ∴ x=25º

RPTA.: A

3. Según el gráfico,

mBM

=

mBN

. Calcule α + β:

A) 120º

B) 150º

C) 90º

D) 130º

E) 180º

RESOLUCIÓN

Sea mMB =mBN= a

mMA

=

b, mAC

=

c, mCN

=

d

40º

x

N B

C A

M

α

β D

B

A

E o 145º 70º

C

M

40º

x C

B

D 2x

180-2x

A

N

B

C

A

M

α

β

a

a

c

(2)

Del gráfico

2

α = +

a

d...(I)

...(∢ interior) Por ∢ interior

b + +c a β =

2

2

β = + +

b

c

a...(II)

Sumando (I) y (II):

a

d b

c

a

α + β = + + + +

2

2

º α + β = 2 2 360 ∴ α + β =180º

RPTA.: E

4. Según el gráfico, calcule la diferencia entre las medidas del mayor y menor

AB.

A) 90º B) 45º C) 180º D) 270º E) 135º

RESOLUCIÓN

Por prop. del

ex inscrito: m ACB∢ =45º

m

AB

menor =90º

m

AB

mayor =360º-90º=270º ∴ m

AB

mayor - m

AB

menor =180º

RPTA.: C

5. Según el gráfico, calcular x, si ABCD es un paralelogramo.

A) 120º B) 60º C) 70º D) 90º E) 80º

RESOLUCIÓN

En el gráfico:

BCE

=

2

x

BAE

=

x

como ABCD es un paralelogramo⇒m c = x

Luego: ∆BDC es equilátero. ∴ x = 60º

RPTA.: B

6. En un trapecio ABCD

(

BC // AD

)

inscrito en una circunferencia , su altura mide H. Calcule la longitud de la base media del trapecio, si: mBC+mAD =180º.

A) H

3 B) H 3

2 C) H D) 2H

3 E)

H 2

x

x

x

x

x

D

A

B

E

C

2x

x

B

A C

(3)

RESOLUCIÓN

Como BC // AD

⇒ Trapecio ABCD (Isósceles)

* Por dato BC+AD =180º ⇒ AB+CD=180º

⇒ AB+CD =90º

⇒ m CAD =m BDA =45º * Del gráfico, la base media es:

(

a H

) (

H a

)

H

+ + −

= 2

RPTA.: D

7. Según el gráfico, A, B y T son puntos de tangencia. Calcule “x”.

A) 60º B) 30º C) 45º D) 37º E) 53º

RESOLUCIÓN

En el

MNP :

α + β =

60

º...(I)

En el ∆ATB, por propiedad m∢T =90º

x

+ α + β =

90º...(II)

Reemplazando (I) en (II) ∴ x = 30

RPTA.: B

8. En el gráfico, calcule x, si AE=2(BC) y

m CD

=

20º

A) 130º

B) 120º

C) 110º

D) 150º

E) 160º

120º

T

x

A B

x D C

E o

A B

P

T

x

A

B

C

α

β

º

β

2

º

α

2

º

α

º

β

N

M

120º

C

D

H-a

B

90º

90º

A

45º

H

H

a

H

a 45

(4)

RESOLUCIÓN

Dato:

Sea

BC

=

a

; AE = 2a ⇒

AO

=

OE

=

a

En la semi circunferencia: el ∆ABE es rectángulo ⇒

BO

=

a

mCDE =180º

Como: mCD=20º→DE =160º Luego:

BC

=

BO

=

OE

=

a

entonces los arcos son iguales.

⇒ BC+BO+OE+CDE=360º 180

⇒ BC =BO =OE =60º

⇒ BCD =BC+CD = 60º 20º+ =80º ⇒ mBED =40º

∴ x = 130º

RPTA.: A

9. En el gráfico:

AT

7

mTB

mCD, m

BC

1

=

=

y T es

punto de tangencia “m”. Calcule m TEO∢ .

A) 60º B) 30º C) 50º D) 80º E) 40º

RESOLUCIÓN

Como: mAT 7

mAT 7k; mBC k 1

mBC =

⇒ = =

OHE: m∢EOH = 60º....(1)

En el gráfico: k+CD =60º k + TB = º 7 120 ..(2) (2)−(1) 6k+ TB −CD =60º

6k + 0 = 60º ⇒ k =10º

⇒ TB =CD =50º ⇒ m TOE =50º

∴ x = 40º...( OTE)

RPTA.: E

10. Según el gráfico; calcule

mBT

, si ABCD es un paralelogramo (D es punto de tangencia).

A) 60º

B) 70º

C) 140º

D) 120º

E) 35º

o A

T

E

D C B

30º

40º A o

T

E

D C B

30º

60º 120º

7k

x

k

50º 50º

(5)

RESOLUCIÓN

m AB =mTD ... Propiedad

→ m∢ADT = 70º

En el paralelogramo ABCD: m∢BAD + m∢ADC = 180º

→ mTDC = 40º

Luego: m TD = 80º Pero:

mBDT = 140º ...(ángulo inscrito)

→ mBT = 140º − 80º = 60º

RPTA.: A

11. Del gráfico, Calcule la m BAP,∢

Siendo T y P son puntos de tangencia, TB = 4 y r = 5

A) 37º B) 53º C) 30º D) 60º E) 45º

RESOLUCIÓN

Como P y T son puntos de tangencia, entonces:OP PA y OT TA, además:

OT

=

OP

= =

r

5

(dato) En el PHO (notable);

m OPH∢ =53º ⇒ m BPA = 37º

∴ x = 53º ...( PBA)

RPTA.: B

12. Calcule x, si AB=BC =DE=FE y mABC =120º.

A) 60º B) 70º C) 40º D) 30º E) 50º

r

T B

A

P

A C

B

F D

E

o x

D B

A 70º

T C

70º

40º

70º

T

B

A

P

5

o

5

x

4

(6)

RESOLUCIÓN

Como:

ABC =120º⇒BOC=BOA=60º ⇒ Los triángulos BOC y AOB son

equiláteros luego, ODEF es un rombo, donde

m DEF

=

m DOF

=

x

DF

=

x

120º x

x

2 −

= ...(∢ exterior) 3x = 120º

∴ x= 40º

RPTA.: C

13. Del gráfico, P y T son puntos de tangencia, además R=3r. Calcule m

PT

.

A) 60º B) 105º C) 100º D) 120º E) 90º

RESOLUCIÓN

Del gráfico, como TA = R = 3r ⇒ AO = 2r

Luego, m∢TOP =120º

∴ mTP =120º

RPTA.: D

14. Según el gráfico, calcule

mTC

+

mBC,

si AB =BC

A) 120º B) 150º C) 180º D) 100º E) 90º

RESOLUCIÓN

En la semi circunferencia el m∢TBC es recto

El ATC es isósceles. ⇒ AT = TC=2x

luego, en el gráfico

(

)

TC =BC = α + β =2 2 2 α + β =180º 90º

=180º

RPTA.: C

15. En la figura,

mST

=

2

mQT.

Calcule PS, si T,Q y S son puntos de tangencia.

A) 5

B) 3

C) 2,5

D) 4

E) 6

T

P

R r

S

T 3

Q 2

P

T

P A

2r r

r

30º o

β

α

α

2

β

2

α

A C

B

F D

E

120º

x x x

60º

(7)

RESOLUCIÓN

Sea m

QT

=

a

por dato mST =2a

luego, O1TO2(notable)

1 2

m TO O∢ =53º ⇒ a = 53º

∴ PS = 4

RPTA.: D

16. Según el gráfico; AB = 1, BC = CD = 2, además B, C y T son puntos de tangencia.

Calcule “x”.

A) 30º B) 37º C) 53º

D) 60º E) 53º 2

RESOLUCIÓN

Sea m

ATC

= α

mTC

= α

2

Como T y C son puntos de tangencia ⇒ AT = AC =3 ⇒ m ACT = α

también B y T son puntos de tangencia ⇒BD =TD=4

Entonces ATD(notable)

⇒ m ADT =37º; α + x = 90º ...(I) ⇒ 2 2x 37º

2

α − =

...(∢ exterior) ⇒

α − =

x

37

º...(II)

De (I) − (II): 2x=53º

∴ x 53º

2

=

RPTA.: E

17. Si “O” es el centro del cuadrado ABCD y PA =AD=8. Calcule AM.

A) 6 B) 4

3 C) 3 D) 8

3 E) 2 3

x

D B

C

P A

M O

x

α

α

2

x

S

a

3

Q

P

2a

2

O

2

3

3

53º

53º

(8)

RESOLUCIÓN

Como ABCD es cuadrado ⇒ el lado del cuadrado =8 AH=HD=4

Como “O” es centro ⇒ OH=4

Luego: m∢OPH = 37º 2

→ PA =3x

8 = 3x

∴ x = 8

3

RPTA.: D

18. En la figura, calcule θ; si T, Q y P son puntos de tangencia y CB=2(BT)=4(AQ).

A) 53º B)53º

2 C) 37º D) 37º

2 E) 45º

RESOLUCIÓN

Sea AQ=a ⇒BT=2a y BC=4a Luego

ABC (notable)

mBAQ =127º ⇒ m

QP

=

53

º

∴ 53º

2

θ = ...(∢ inscrito)

RPTA.: B

19. Se tiene el triángulo ABC inscrito en una circunferencia, en el arco BC se ubica el punto P, tal que AP

BC

, luego se traza PH perpendicular a

AC

en H. Calcule la m EHP∢ si la m ABC∢ =70º y

AP

BC

=

{ }

E

.

A) 53º B) 35º C) 10º D) 20º E) 30º

RESOLUCIÓN

* En AHB: m HAB∢ =20º * Se traza AQ que pasa por D. * Por proa. AEDH es inscriptible

⇒ m DHE = m EAD = x

* Por proa.m EPD∢ =m HCD∢ = α

⇒ mAB = α2 ⇒m BPA = α Luego BPD(isósceles)

BE ED

⇒ = ⇒ ∆ABD(isósceles) ∴ x=20º

RPTA.: D

T

B

C

A P

Q

θ

D B

C

P A

M

o

4 x

8 4 H 4

C H

Q

x P

A

70º

x

α

D º

α

º

α

E B

20º

T

B

C

A P

Q

37º

a 2a

2a

a

4a

(9)

20. En la figura

mED

=

a

y

mBCD

=

b

. Calcule “x”.

A) a b+

2 B)

b−a 2 C) b −a D) 2a b−

2 E) 2b−a

2

RESOLUCIÓN

* Sea: FE= c a c m FAD

2

+

⇒ ∢ = ...(∢inscrito)

* En la ⊙menor: mFG= +a c luego por pro.

ex -inscrito: α = a+c

2 * En la ⊙mayor: T. cuerdas

c

mBC

2

+

α =

...(∢interior)

a

c

c

BC

BC

a

2

2

+

=

+

=

mCD= −b a

∴ x = b−a 2

RPTA.: B A

B F

E

D

C x

A

B

F

E

D

C

G

α

a+c 2

b

x

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects : A, B y C B/c N B C A M C E b C E b