Documento presentación UD3, "Ondas", parte I, "Vibraciones y ondas", Fís2º

(1)

VIBRACIONES Y ONDAS

(2)

MOVIMIENTO OSCILATORIO

O

(3)

Concepto de oscilación

(4)

Movimiento periódico

– Período (T): Se mide en unidades de tiempo.

– Frecuencia (f ó ): Unidad en el S.I.: hertzio (hertz), Hz (ciclos, oscilaciones, vibraciones por segundo).

T =

1

(5)

Características del movimiento oscilatorio

Dinámicas.

• El sistema o cuerpo tiende a recuperar la posición de equilibrio  fuerza restauradora o recuperadora.

(6)

Características del movimiento oscilatorio

Energéticas

–

Oscilaciones libres

–

Oscilaciones amortiguadas

(7)

(8)

Concepto de movimiento armónico simple

(9)

Concepto de movimiento armónico simple

Otras definiciones.

(10)

Magnitudes características

• Elongación (x)

• Amplitud (A)

• Frecuencia angular () 

Animación MAS y MCU Animación 2 MAS y MCU Vídeo MAS y MCU

➢ ω = 2 · π · f

➢ ω = 2 π

T

• Fase del movimiento (·t + φ = ϕ)

(11)

Características cinemáticas

Ecuación del m.a.s. (posición - tiempo)

x = A cos ω · t + φ x = A sen ω · t + φ

(12)

(13)

Velocidad

• Si x = A cos ω · t + φ 

• Se puede escribir a partir de la elongación:

• Dos valores para cada elongación: ida y vuelta.

• v = 0 en extremos (x = A) y v máxima en punto equilibrio (x = 0).

v = v t = dx

dt = −ω · A sen(ωt + φ)

(14)

Aceleración

• a = 0 en punto equilibrio (x = 0) y a

máxima en extremos (x =



A).

a = dv

dt = −ω

2 _{· A cos( ωt + φ) = a(t)}

(15)

(16)

(17)

Características dinámicas

• la fuerza restauradora es F = – k·x = m·a



• El cuerpo describirá un MAS, donde

ω2 = k

m 

a = − k m x

(18)

Características dinámicas

A partir de

se puede deducir la ecuación del MAS:

Soluciones posibles:

x = A cos ω · t + φ x = A sen ω · t + φ

a = d

2_x

dt2 = − k m x a = − k

(19)

Características energéticas Energía potencial

• Las fuerzas restauradoras que obedecen la ley de Hooke (elásticas) son conservativas:

• Si hacemos E_p(0) = 0 

Wc_AB = −ΔE_pAB

E_p(x) = 1

2 kx

(20)

Características energéticas

Energía potencial

• También se puede escribir

• Varía de forma periódica con el tiempo.

E_p t = 1

2 k · A

(21)

Características energéticas Energía cinética

• Varía de forma periódica con el tiempo.

• En función de la posición:

E_c = 1

2 mv

2 ₌ 1

2 mω

2_A2_sen2_{(ωt + φ) =} 1

2 kA

2_sen2_{(ωt + φ)}

E_c(x) = 1

2 k(A

2 _{− x}2_{) =} 1

2 mω

(22)

Características energéticas

Energía mecánica

• Si sólo actúan las fuerzas recuperadoras la energía mecánica de un oscilador permanece constante  E_m = E_c + E_p

E_m = E_c + E_p = 1

2 k · A

2_sen2 _{ωt + φ +} 1

2 k · A

2 _cos2 _{ωt + 𝜑}

E_m = 1

2 k · A 2

E_m = E_c + E_p = 1

2 k A

2 _{− x}2 ₊ 1

2 k · x

2₌ 1

2 k · A

(23)

Características energéticas Gráficas energía – posición:

(24)

Características energéticas Gráficas energía – tiempo:

(25)

Masa colgada de un resorte Masa (m) y resorte vertical (k).

• En equilibrio con alargamiento o elongación “l” hacia abajo (origen de coordenadas x = 0 y sentido positivo hacia abajo, l > 0):

𝐹 = 𝑚 · 𝑎 → 𝐹_𝑒𝑙_á_{𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎} + 𝑃 = 0 → −𝑘 · 𝑙 + 𝑚 · 𝑔

= 0 → 𝑚 · 𝑔 = 𝑘 · 𝑙 → 𝑘 = 𝑚 · 𝑔

(26)

(27)

Masa colgada de un resorte

• Desplazado verticalmente “x” respecto del equilibrio (origen de coordenadas x = 0 y sentido positivo hacia abajo):

𝐹 = 𝑚 · 𝑎 → 𝐹_𝑒𝑙_á_{𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎} + 𝑃 = 𝑚 · 𝑎 ⇒

−𝑘(𝑙 + 𝑥) + 𝑚 · 𝑔 = 𝑚 · 𝑎 ⇒

(28)

Masa colgada de un resorte

−𝑘 · 𝑥 = 𝑚 · 𝑎 ⇒ 𝑎 = − 𝑘

𝑚 · 𝑥 = −𝜔

2 _· _{𝑥 ⇒}

𝜔 = 𝑘

𝑚 ⇒

𝑓 = 1 2 · 𝜋

𝑘

𝑚 ⇒ 𝑻 = 𝟐 · 𝝅 𝒎

𝒌

(29)

Péndulo simple

(30)

Péndulo simple

𝐹 = 𝑚 · 𝑎 → 𝑇 + 𝑃 = 𝑚 · 𝑎 → _𝐸𝑗𝑒𝐸𝑗𝑒 _𝑌𝑋_:: _𝑃𝑃𝑥 = 𝑚 · 𝑎

𝑦 + 𝑇 = 0

(31)

Péndulo simple

Para ángulos  muy pequeños (muy pequeñas amplitudes u oscilaciones) sen    y así:

𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≈ 𝜃 = 𝑥

𝑙 → −𝑔 · 𝜃 = 𝑎 ⇒

𝑎 = − 𝑔

𝑙 · 𝑥 = −𝜔

2 _· _{𝑥 ⇒ 𝜔} ₌ 𝑔

𝑙 ⇒

𝑓 = 1 2 · 𝜋

𝑔

𝑙 ⇒ 𝑻 = 𝟐 · 𝝅 𝒍 𝒈

(32)

Animación muelle oscilante 1 Walter Fendt Animación péndulo 1 Walter Fendt

Animaciones MAS Ehu-curso

Animaciones muelle y péndulo 2 ExploreScience

(33)

(34)

Concepto de movimiento ondulatorio

• Fenómenos ondulatorios: fichas de dominó, cuerda, muelle, sonido, superficie del agua,...

• Concepto de movimiento ondulatorio: propagación de una perturbación local de cualquier naturaleza a través de un medio material o incluso el vacío, sin que exista transporte neto de materia.

– Pulso

– Onda

(35)

Periodicidad de las ondas

−Periodicidad espacial. La perturbación se repite cada cierta distancia para cada instante de tiempo.

(36)

(37)

(38)

Rasgos diferenciadores entre ondas y partículas

• Deslocalización espacial.

• Transporte de cantidad de movimiento y energía sin transporte de materia.

(39)

Clasificación de los movimientos ondulatorios

−

Según el medio de propagación:

Ondas mecánicas

Ejemplos:

sonido,

cuerda,

muelle,...

Ondas electromagnéticas

(40)

(41)

− Según la dirección de propagación frente a la de la perturbación

Ondas longitudinales

Ejemplos: sonido, muelle.

(42)

(43)

− Según la dirección de propagación frente a la de la perturbación

Ondas transversales

Ejemplos: cuerda, superficie del agua, electromagnéticas.

(44)

(45)

(46)

(47)

Polarización

Fenómeno ondulatorio característico y exclusivo de las ondas transversales que consiste en una “selección” de la dirección de la perturbación.

(48)

(49)

(50)

(51)

Polarización

– Polarización de las ondas electromagnéticas. Las OEM, la luz en particular, son ondas transversales y, por tanto, se pueden polarizar.

➢ La luz ordinaria no está polarizada.

(52)

Polarización de la luz

Aplicaciones

Sustancias ópticamente activas Fotoelasticidad.

La luz se puede polarizar mediante mecanismos de interacción con la materia:

Reflexión sobre superficies transparentes Refracción a través de cristales

(53)

(54)

Velocidad de propagación

Velocidad de propagación o velocidad de fase: velocidad con la que se desplaza la perturbación.

−Diferente de la velocidad con que se produce la oscilación o vibración.

−En el caso de las ondas mecánicas

v = propiedadelástica propiedadinercial =

(55)

Velocidad de propagación

−Para las ondas longitudinales en sólidos:

−Para las ondas transversales

v = E ρ =

J ρ

v = T λ =

F η

(56)

MOVIMIENTO ONDULATORIO Magnitudes características

(57)

Magnitudes características de las ondas periódicas

− Amplitud (A)

−Unidades

− Período (T)

−Unidades S.I.: s

− Longitud de onda ()

−Unidad S.I.: m

−Relación:

(58)

−Frecuencia (f ó )

−Unidad S.I.: Hz (ciclos/s)

−Relaciones

−Pulsación o frecuencia angular ()

− Unidad S.I.: rad/s

−Relaciones:  = 2·· = 2··f

f = υ = 1 T

v = λ · υ = λ · f

(59)

−

Número de onda (k)

−

Unidad S.I.: m

-1

−

Relaciones

−

Vector de onda ( )

k = 2 · π λ

(60)

Onda armónicas o sinusoidales

• Función de onda

− eje X hacia el sentido positivo (“derecha”):

− sentido negativo (“izquierda”) 

(x, t) = (x + v·t).

− un MO cualquiera que se desplaza a lo largo del eje X es: (x, t) = (x  v·t).

ൠ Ψ(x, t) = Ψ(x′)

(61)

(62)

(63)

(64)

Concepto de onda armónica

• Movimiento ondulatorio producido por un oscilador armónico en el que los puntos por los que pasa la perturbación oscilan con MAS.

Ψ x, t = Ψ[k · x − v · t ]

Ψ x, t = A · cos k · x − v · t = A · cos k · x − k · v · t

(65)

− Para el sentido negativo del eje X:

Ψ x, t = A · cos k · x + ω · t

− También se puede utilizar la función “seno”: son equivalentes y su utilización depende de la selección del instante inicial

(66)

− Expresiones más generales (incluyendo la fase inicial ):

(x,t) = A cos (kx  t + )

(x,t) = A sen (kx  t + )

(67)

(68)

Características de la función de onda

• Depende de las variables posición y tiempo.

• Proporciona toda la información sobre el estado de perturbación de cualquier punto en cualquier instante.

• Indica la dirección y sentido de propagación de la onda.

• Presenta la doble periodicidad: las funciones seno y coseno son periódicas.

• Incluye las magnitudes características del movimiento ondulatorio.

• Indica que el valor de la perturbación está acotado: -A    +A.

Ondas armónicas 1 EhuCurso Ondas armónicas 2 Fislab

(69)

PROPIEDADES DE LAS ONDAS Reflexión y refracción

(70)

Propagación de las ondas

Conceptos

• Frente de onda

• Ejemplo: ondas en la superficie del

agua.

• Rayo

(71)

(72)

Propagación de las ondas

(73)

(74)

(75)

Reflexión y refracción

(76)

Reflexión

− Aparece cuando frente de onda llega a interfase (límite de medios).

− Consiste en una inversión parcial de la dirección de propagación de una onda y regreso al medio inicial: onda reflejada.

(77)

Reflexión

− Explicación mediante el principio de Huygens: leyes de la reflexión. Animación Huygens 1 WalterFendt

El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal a la interfase en el punto de incidencia se encuentran en el mismo plano.

El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión



r

(78)

Reflexión

Magnitudes de la onda reflejada:

La frecuencia no cambia respecto a la onda incidente.

La longitud de onda tampoco cambia debido a que la velocidad de propagación es la misma.

La amplitud varía dependiendo de las características de cada caso.

(79)

Refracción

• Aparece cuando frente de onda llega a interfase (límite de medios), generalmente en medios transparentes.

• La onda traspasa la superficie límite transmitiéndose de un medio al otro cambiando la dirección de propagación: onda refractada.

(80)

Refracción

• Explicación mediante el principio de Huygens: leyes de la refracción.

Animación Huygens 1 WalterFendt

–El rayo incidente, el rayo refractado y la normal a la interfase en el punto de incidencia se encuentran en el mismo plano.

– ley de Snell:

'

ˆ

v

r

sen

i

sen

=

(81)

Refracción

Magnitudes de la onda refractada

La frecuencia no cambia respecto a la onda incidente.

La longitud de onda sí cambia puesto que la velocidad de propagación es diferente en ambos medios 

La amplitud varía dependiendo de las características de cada caso.

La energía se conserva en el proceso global de la reflexión y la refracción (transmisión).

' ' ' ' ' v v v v f

f =  =  =

  

(82)

Reflexión total

− Aparece cuando la v < v’ y, por tanto, según la ley de Snell

− Para cierto ángulo incidente el ángulo refractado es igual a 90º: el rayo refractado sale paralelo a la superficie de separación  ángulo límite

− Para ángulos de incidencia mayores que el ángulo límite sólo se produce reflexión, no refracción  reflexión total.

− Aplicaciones: fibras ópticas.

r iˆ ˆ

' ˆ

v v i

sen _límite =

límite

iˆ

(83)

(84)

(85)

Difracción

Concepto: fenómeno ondulatorio

−

Explica el hecho de que las ondas

puedan “doblar” esquinas y salvar

obstáculos.

−

Ejemplos: la luz y el sonido.

(86)

Difracción

− Se puede explicar mediante el principio de Huygens y los fenómenos de interferencia  figuras de difracción.

− Animación difracción 1 EhuCurso

(87)

Difracción

− El fenómeno de la difracción depende la longitud de onda del MO.

Diferentes longitudes de onda de OEM (luz) y sonido

 diferentes fenómenos de difracción por distintos tamaños de obstáculos y rendija que son significativos.

Recepción de ondas de radio (AM, 300 m, y FM, 3 m) en zonas montañosas.

Aplicaciones: estructura atómica mediante difracción de rayos X y mediciones de longitudes de onda.

(88)

(89)

Superposición de ondas: interferencia

• Principio de superposición de ondas.

(90)

Superposición de ondas: interferencia

−Sólo aplicable rigurosamente a las ondas electromagnéticas y las ondas mecánicas de amplitud muy pequeña.

−La contribución de cada onda no se ve afectada por las demás.

(91)

Interferencia

Fenómeno ondulatorio que consiste en la superposición de varios MO que se propagan en el mismo medio produciendo efectos físicos medibles.

(92)

Interferencia

Análisis de máximos y mínimos:

Máximos de amplitud o interferencia constructiva  cos[k(x₁ – x₂)] = +1  k(x₁ – x₂) = n·2 (n  Z) 

x₁ – x₂ =  = n· 2π/k = n· (n  Z).

La amplitud será en este caso: A = A₁ + A₂.

Mínimos de amplitud o interferencia destructiva  cos[k(x₁ – x₂)] = - 1  k(x₁ – x₂) = (2n +1)· (n  Z) x₁ – x₂ =  = (2n + 1)·π/k = (2n + 1)·λ/2 (n  Z).

(93)

Interferencia

• Animación interferencia 1 EhuCurso

• Animación interferencia 2 WalterFendt

• Animación interferencia 3 FisLab

• Animación interferencia 4 Phet

• Animación ondas cuerda phet

(94)

(95)

Concepto de onda estacionaria

(96)

Función de una onda estacionaria

(97)

− Forma de MAS con amplitud 2A sen (kx)

(o 2A cos (kx)), es decir, dependiente de la posición.

− No onda progresiva o viajera: no depende de x, sólo de t  onda estacionaria.

(98)

− Análisis de máximos y mínimos de amplitud

Máximos, 2A, (vientres o antinodos): 2A sen (kx) es máximo cuando sen (kx) = 1  kx = (2n+1)·/2 (nZ)  (nZ) 

Mínimos, 0, (nodos o antivientres): 2A sen (kx) es mínimo cuando sen (kx) = 0  kx = n  (nZ)

 (nZ) 

... , 4 7 , 4 5 , 4 3 , 4



= vientres x ... , 2 3 , , 2 ,

0



=

nodos

(99)

− Análisis de máximos y mínimos de amplitud

Distancia entre dos nodos o dos vientres consecutivos: /2; en general, n /2, n = 1, 2, 3, 4,...

(100)

Ondas estacionarias en cuerdas

En medios unidimensionales limitados por dos extremos las ondas estacionarias se producen por reflexiones sucesivas. Tres casos (medio de longitud L):

– Límites fijos: condición x_nodos = L  L = n /2  _n = 2 L/n; n = 1, 2, 3, 4,...  _n = 2L, L, 2L/3, L/2,...

• El sistema selecciona sólo ondas compatibles: ondas estacionarias permitidas o modos normales de vibración.

• Para las frecuencias, f = v/, f_n = nv/2L; n = 1, 2, 3,...

(101)

(102)

– Límites libres:

• Condición x_vientres = L  L = n /2 

_n = 2 L/n; n = 1, 2, 3, 4,...  _n = 2L, L, 2L/3, L/2,…

(103)

─ Límite fijo – límite libre:

- Condición |x_nodo – x_vientre| = L  L = (2n+1) /4 

_n = 4L/2n+1; n = 1, 2, 3, 4,...  _n = 4L, 4L/3, 4L/5,....

- Para las frecuencias, f = v/, f_n = (2n+1)v/4L; n = 1, 2, 3,…

─ Estudio aplicable a ondas estacionarias en muelles, al sonido en tubos (instrumentos de viento), cuerdas (instrumentos de cuerda).

(104)

(105)

Diferencias entre ondas estacionarias y ondas viajeras

− No hay transporte de energía de un punto a otro.

− No hay avance de la perturbación: no hay sentido de la propagación.

− La amplitud varía de un punto a otro: en los nodos es cero.

− No depende de la posición, x, sólo del tiempo, t: osciladores contiguos.

− Animación ondas estacionarias 2 EhuCurso

(106)

(107)

Concepto de efecto Doppler en el sonido

Fenómeno que se produce como consecuencia del movimiento relativo de la fuente sonora y el observador por el que cambia la frecuencia que se percibe de un sonido.

−Explica el cambio, de más agudo a más grave, en el pitido de un tren o el sonido del claxon de un coche que se acerca, pasa a nuestro lado y luego se aleja.

(108)

Relaciones del efecto Doppler no relativista

− Relación entre el periodo T’ ó P’, de las ondas recibidas, con el periodo T ó P de las ondas emitidas:

− Teniendo en cuenta que la frecuencia es la inversa del periodo, obtenemos la relación entre frecuencias, o fórmula del efecto Doppler:

(109)

− Y la relación entre las longitudes de onda:

(110)

Casos particulares:

−Emisor en movimiento y observador en reposo, v_O = 0:

➢la frecuencia que percibe es mayor, sonido más agudo, que la que se emite (f’ > f, T’ < T, ’ < ) si se acerca el emisor (v_E > 0, v_S – v_E < v_S y v_S/v_S – v_E > 1).

(111)

Casos particulares:

−Emisor en reposo, v_E = 0, y observador en movimiento:

➢ la frecuencia que percibe es mayor, sonido más agudo, que la que se emite (f’ > f, y T’ < T, ’= ) si se acerca al emisor (v_O < 0, v_S – v_O > v_S y v_S – v_O/v_S > 1).

(112)

Animaciones del efecto Doppler no relativista

Animación Doppler 1 EhuCurso

Animación Doppler 2 OndasApplet Animación Doppler 3 ExplScience Animación Doppler 4 ExplScience Animación Doppler 5 WalterFendt