Soluciones__1ºCB__19/3/2019
Departamento de Física y Química
1.-
Observa la gráfica de la derecha correspondiente al movimiento de un carrito utilizado en un experimento realizado en el laboratorio de Física por el alumnado de cuarto de la ESO. (CE 6.4)a) ¿La gráfica de la derecha corresponde a un movimiento rectilíneo y uniforme? ¿Por qué? (0,5 puntos)
No. La gráfica velocidad-tiempo de la derecha corresponde a un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado puesto que es una línea recta con cierta pendiente, positiva en este caso, que indica que la velocidad cambia uniformemente (proporcionalmente) con el tiempo; la velocidad, aumenta en este caso.
b) Escribe las ecuaciones de la velocidad y del movimiento (posición) del carrito considerando que se mueve en línea recta
en el sentido positivo del eje OX y que en el instante t = 0, su posición es x = 5 m. (0,75 punto)
La ecuación de la velocidad de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es v = vo+ a · (t − to), donde v es la velocidad correspondiente al instante t, vo es la velocidad en el instante to, y a es la aceleración constante del movimiento.
En consecuencia, para escribir la ecuación de la velocidad necesitaremos los parámetros vo, a y to.
Consideraremos to = 0 y, por tanto, vo = 0,4 m·s-1.
La aceleración la hallaremos a partir de la expresión a =v−vo
t−to, tomando de la gráfica un instante cualquiera, por ejemplo t = 1 s,
y la velocidad correspondiente, v = 1 m·s-1:
a =v − vo t − to
=1 m · s
−1− 0,4 m · s−1
1 s − 0 = 0,6 m · s
−2
De este modo, la ecuación de la velocidad es
𝐯 = 𝟎, 𝟒 + 𝟎, 𝟔 · 𝐭 (𝐒𝐈)
La ecuación de la velocidad de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es x = xo+ vo· (t − to) +12 a · (t − to)2.
Luego, teniendo en cuenta que xo = 5 m y que conocemos el resto de parámetros, la ecuación de este movimiento es: 𝐱 = 𝟓 + 𝟎, 𝟒 · 𝐭 + 𝟎, 𝟑 · 𝐭𝟐 (𝐒𝐈)
c) Determina la posición del carrito en t = 1,2 s y el espacio recorrido por el mismo hasta ese instante. (0,75 puntos) La posición del carrito en el instante t = 1,2 s se hallará sustituyendo ese instante en la ecuación:
x = 5 + 0,4 · t + 0,3 · t2 (SI) → x(1,2) = 5 + 0,4 · 1,2 + 0,3 · 1,22 (SI) = 5,9 m
𝐱(𝟏, 𝟐) = 𝟓, 𝟗 𝐦
El espacio recorrido por el mismo carrito hasta ese instante lo podemos determinar observando la distancia recorrida desde las posiciones que ocupa entre los instantes t = 0 (5 m) y t = 1,2 s (5,9 m):
𝐬(𝟏, 𝟐) = ∆𝐱(𝟏, 𝟐) = 𝐱(𝟏, 𝟐) − 𝐱(𝟎) = 𝟓, 𝟗 𝐦 − 𝟓 𝐦 = 𝟎, 𝟗 𝐦
También podemos hacer uso de la ecuación del movimiento:
s = ∆x = x − xo= vo· (t − to) +1
2 a · (t − to)
2
s(1,2) = ∆x(1,2) = x(1,2) − xo= 0,4 · 1,2 + 0,3 · 1,22= 0,9 m
2.-
En la prueba de ciclismo de fondo en carretera de los Juegos Olímpicos de Pekín de 2008 se proclamó campeón y medalla de oro el ciclista asturiano Samuel Sánchez. ¡¡¡Bien, bravo, fantástico!!! Durante esa prueba, que tenía un total de 245,5 km, uno de los corredores, el bielorruso Aleksandr Kuschynski, estuvo escapado del pelotón, 5,0 km por delante, circulando a una velocidad de 36,0 km·h-1. En ese momento, otro ciclista, el belga Johan Van Summeren, se escapó del grupo a una velocidad de45,0 km·h-1. Si circulando en la parte recta del circuito de la ciudad china mantuvieron la velocidad constante:
a) ¿Cuándo y dónde el segundo ciclista alcanzó al primero? (1 punto)
Estrategia de resolución. En primer lugar haremos un dibujo y elegiremos un sistema de referencia: el origen de coordenadas lo situaremos en la posición del pelotón cuando se encuentra 5,0 km por detrás del primer escapado, mientras que tomaremos el eje X en sentido positivo la dirección y el sentido en que se mueven los dos ciclistas; el origen de tiempos lo elegiremos en el instante en que el que ambos ciclistas están distanciados los 5,0 km.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
v (m·s-1)
t (s)
Gráfica v-t
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Como todas las unidades son compatibles las dejaremos escritas como nos las han dado (km·h-1 y km), aunque también podríamos
convertirlas al Sistema Internacional:
36 km · h−1·1000 m
1 km · 1 h
3600 s= 10 m · s
−1
45 km · h−1·1000 m
1 km · 1 h
3600 s= 12,5 m · s
−1
5,0 km ·1000 m
1 km = 5,0 · 10
3 m
Para obtener cuándo y dónde el segundo ciclista alcanzó al primero escribiremos las ecuaciones del movimiento de ambos corredores para finalmente igualarlas:
Primer corredor (Johan Van Summeren): MRU
x1= xo1+ v1· (t − to1) = 5,0 + 36 t (km y h) x1= 5,0 · 103+ 10 t (SI)
Segundo ciclista (Aleksandr Kuschynski): MRU
x2= xo2+ v2· (t − to2) = 45 t (km y h)
x2= 12,5 t (SI)
Se encontrarán, el segundo ciclista alcanzará al primero, cuando x1= x2. Así:
x1= x2
5,0 + 36 t = 45 t → t = 5,0 km
45 km · h−1− 36 km · h−1= 0,56 h
5,0 · 103+ 10 t = 12,5 t → t = 5,0 · 10 3 m
12,5 m · s−1− 10 m · s−1= 2000 s
Esto quiere decir que el segundo corredor alcanza al primero en 0,56 h o 2000 s después del momento en que estaban separados 5,0 km.
Para hallar dónde se encontrarán podemos sustituir el tiempo hallado en cualquiera de las dos ecuaciones del movimiento o de la posición de los ciclistas:
x2= 12,5 t = 12,5 · 2000 = 25 · 103 m = 25 km
x1= 5,0 · 103+ 10 t = 5,0 · 103+ 10 · 2000 = 25 · 103 m = 25 km
Esto quiere decir que el segundo ciclista alcanza al primero en un lugar de la carretera que se encuentra a 25 km del punto del que partía (a 25 km – 5,0 km = 20 km del punto en el que se encontraba el primero).
b) ¿Cuándo y dónde los dos ciclistas se habrían cruzado si se hubiesen movido en sentidos contrarios? (1 punto) (CE 6.3) Estrategia de resolución. En primer lugar haremos un dibujo y elegiremos un sistema de referencia: el origen de coordenadas lo situaremos en la posición en la que se encuentra el segundo ciclista, mientras que tomaremos el eje X en sentido positivo la dirección y el sentido en que se mueven este corredor; el origen de tiempos lo elegiremos en el instante en que el que ambos ciclistas están distanciados los 5,0 km.
Para obtener cuándo y dónde el segundo ciclista alcanzará al primero si se mueven en sentidos contrarios, escribiremos las ecuaciones de la posición de ambos móviles en el sistema de referencia elegido y las igualaremos:
Primer corredor (Johan Van Summeren): MRU
x1= xo1+ v1· (t − to1) = 5,0 − 36 t (km y h)
x1= 5,0 · 103− 10 t (SI)
Segundo ciclista (Aleksandr Kuschynski): MRU
x2= xo2+ v2· (t − to2) = 45 t (km y h)
x2= 12,5 t (SI)
Se encontrarán, el segundo ciclista alcanzará al primero, cuando x1= x2.
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Así:
x1= x2
5,0 − 36 t = 45 t → t = 5,0 km
45 km · h−1+ 36 km · h−1= 0,062 h
5,0 · 103− 10 t = 12,5 t → t = 5,0 · 103 m
12,5 m · s−1+ 10 m · s−1= 222 s
Esto quiere decir que el segundo corredor alcanza al primero en 0,062 h o 222 s después del momento en que estaban separados 5,0 km.
Para hallar dónde se encontrarán podemos sustituir el tiempo hallado en cualquiera de las dos ecuaciones del movimiento o de la posición de los vehículos:
x2= 12,5 t = 12,5 · 222 = 2,8 · 103 m = 2,8 km
x1= 5,0 · 103− 10 t = 5,0 · 103− 10 · 222 = 2,8 · 103 m = 2,8 km
Esto quiere decir que el segundo ciclista alcanza al primero en un lugar de la carretera que se encuentra a 2,8 km del punto del que partía.
3
.-
El alumnado de primero de bachillerato sigue sin tener claro aquello que les ha explicado sobre los lanzamientos verticales su triste y duro profesor de Física y Química. En consecuencia, diseña un experimento en el que una alumna se sitúa en la parte más alta del puente del Quinto Centenario de Sevilla (120 m de altura), y lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 12,0 m·s-1. El resto de alumnas y alumnos hallan:a) La altura máxima que alcanza el objeto y la velocidad con la que la bola llega al suelo. (1,25 puntos) Estrategia de resolución. En primer lugar haremos un dibujo y
elegiremos un sistema de referencia: el origen de coordenadas lo situaremos en el suelo (o nivel del río), mientras que tomaremos el eje Y en la vertical del puente donde se encuentra la alumna con el sentido positivo hacia arriba; el origen de tiempos lo elegiremos en el instante en que se lanza la bola.
Pasaremos las unidades al S. I.: 12,0 m·s-1.
Escribiremos la ecuación del movimiento y la ecuación de la velocidad del objeto (MRUA) en el sistema de referencia elegido:
yo = 120 m, vo = 12,0 m·s-1, a = – 10 m·s-2
y = yo+ vo· (t − to) +
1
2 a · (t − to)
2→ y = 120 + 12 t − 5 t2 (SI)
v = vo+ a · (t − to) → v = 12 − 10 t (SI)
La altura máxima que ha alcanzado la canica la determinaremos teniendo
en cuenta que en ese momento la velocidad de la misma es cero, hallando el tiempo en el que se cumple ese requisito para sustituirlo en la ecuación del movimiento o posición; esta posición coincide con la altura solicitada teniendo en cuenta el sistema de referencia elegido:
0 = 12 − 10 t → t =12 10= 1,2 s
y = 120 + 12 t − 5 t2 (SI) → y(1,2 s) = 120 + 12 · 1,2 − 5 1,22= 127 m
Por tanto, la altura máxima que alcanza la bola es de 127 m medidos desde el suelo (o nivel del río).
Para hallar la velocidad con la que la bola llega al suelo, obtendremos primero el tiempo que tarda en llegar ahí considerando que eso significa que la posición es nula, y = 0, para después sustituirla en la ecuación de la velocidad:
y = 0 = 120 + 12 t − 5 t2
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
t =−12 ± √12
2− 4 · (−5) · 120
2 · (−5) =
−12 ± 50,4
−10 = {
t = −3,84 s t = 6,24 s
No es físicamente aceptable el tiempo de – 3,84 s, luego t = 6,24 s. Así:
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v = vo+ a · (t − to) → v = 12 − 10 t (SI) → v(6,24 s) = 12 − 10 · 6,24 = −50,4 m · s−1
De este modo la velocidad con la que la bola llega al suelo es −𝟓𝟎, 𝟒 𝐦 · 𝐬−𝟏, es decir, 𝟓𝟎, 𝟒 𝐦 · 𝐬−𝟏 en sentido contrario
al positivo del sistema de referencia o lo que es lo mismo hacia abajo.
b) La altura a la que se cruzará con otra bola lanzada hacia arriba (81,0 km·h-1), tres segundos después de la primera, por otra
compañera que se encuentra en el suelo. (0,75 puntos)
Para determinar la altura a la que se cruzará con otra bola lanzada hacia arriba (81 km·h-1 = 22,55 m·s-1), un segundo después de
la primera, por una compañera que se encuentra en el suelo, escribiremos las ecuaciones del movimiento o de la posición para ambos objetos y las igualaremos. Obtendremos el tiempo que transcurre hasta que esto sucede y lo sustituiremos en cualquiera de las dos ecuaciones para hallar la posición en la que se encuentran que, según nuestro sistema de referencia, corresponde a la altura:
Canica 1: MRUA y1= 120 + 12 t − 5 t2 (SI)
Canica 2: MRUA y2= yo2+ vo2· (t − to2) + 1
2 a · (t − to2) 2
→ y2= 0 + 22,5 · (t − 3) − 5 (t − 3)2 (SI)
y1= y2
120 + 12 t − 5 t2= 22,5 · (t − 3) − 5 · (t − 3)2→ 120 + 12 t − 5 t2= 22,5 t − 67,5 − 5 · (t2+ 9 − 6 t)
120 + 12 t − 5 t2= −112,5 + 52,5 t − 5 t2→ 232,5 = 40,5 t → t = 5,7 s
y1(5,7 s) = 120 + 12 · 5,7 − 5 · 5,72= 24 m
y2(5,7 s) = −112,5 + 52,5 · 5,7 − 5 · 5,72= 24 m
Esto significa que las bolas se encuentran a unos 24 m de altura. DATO: aceleración de la gravedad = 10 m · s-2. (2 puntos) (CE 6.3)
4.-
Una furgoneta de una empresa de mensajería rápida tiene prisa por llevar un envío (¿de ahí lo de mensajería rápida?) y circula a una velocidad de 72,0 km·h-1 por una carretera recta. Cuando el mensajero pasa por un semáforo por el que deberíacircular a una velocidad máxima de 50 km·h-1 (eso no se debe hacer y es peligroso), un motociclista de la guardia civil de tráfico,
que se encuentra detenido 100 m más atrás, arranca en la misma dirección y sentido con una aceleración de 2,0 m·s-2.
a) ¿A qué distancia del semáforo alcanzará la moto a la furgoneta? (1 punto)
Estrategia de resolución. En primer lugar haremos un dibujo y elegiremos un sistema de referencia: el origen de coordenadas lo situaremos en la posición en la que se encuentra el semáforo, mientras que tomaremos el eje X en sentido positivo la dirección y el sentido en que se mueven el camión y el motociclista; el origen de tiempos lo elegiremos en el instante en que el mensajero se encuentra en el semáforo.
Pasaremos las unidades al S. I.: 72 km·h-1 = 20 m·s-1.
a) Para determinar la distancia al semáforo a la que la moto alcanzará a la furgoneta, debemos escribir las ecuaciones de la posición de ambos móviles en el sistema de referencia elegido e igualarlas:
Furgoneta: MRU xc= xoc+ vc· (t − toc) → xc= 20 t (SI).
Motorista: MRUA vm= vom+ am· (t − tom) → vm= 2,4 t (SI)
xm= xom+ vom· (t − tom) +1
2 am· (t − tom)
2
→ xm= −100 + 1,0 · t2 (SI)
Se encontrarán, el motorista y la furgoneta, cuando xc = xm. xc= xm 20 t = −100 + 1,0 · t2
1,0 · t2− 20 t − 100 = 0
t =20 ± √20
2− 4 · 1,0 · (−100)
2 · 1,0 =
20 ± 28,3
2,0 = {
t = 24 s t = −4,1 s
Sólo podemos aceptar la solución 24 s, porque no es posible pensar que el motorista alcance a la furgoneta antes de comenzar a moverse.
Ahora hallamos dónde se produce el encuentro respecto del origen de coordenadas que es el semáforo:
xc = 20 · 24 = 480 m xm= −100 + 1,0 · 242= 480 m
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Por tanto, el motorista alcanza a la furgoneta a 480 m del semáforo.
b) ¿Con qué aceleración deben frenar ambos vehículos para que se detengan tras recorrer 250 m después del encuentro en el que el motorista le pide amablemente al mensajero que detenga la furgoneta? (1 punto) (CE 6.3)
c) Para hallar la aceleración con la que deben frenar ambos vehículos para que se detengan tras recorrer 250 m después del encuentro, hay que tener en cuenta que ambos vehículos llevarán movimientos rectilíneos uniformemente acelerados de los que conocemos las velocidades iniciales y finales, así como el desplazamiento en el mismo. De este modo, haremos uso de la relación que hay entre esas magnitudes y la aceleración de los móviles en un MRUA, v2− v
o
2 = 2 · a · ∆x:
Camión: MRUA vc= 0; voc = 20 m · s−1; ∆x = 250 m.
v2− v o
2= 2 · a · ∆x → 02− 202= 2 · a
c· 250 → ac=
02− 202
2 · 250 = −0,80 m · s−2
En lo que al motorista se refiere debemos primero averiguar la velocidad que lleva en el momento de alcanzar a la furgoneta,
vm= 2,0 t (SI), así:
vm= 2,0 · 24 = 48 m · s−1
Motorista: MRUA vm= 0; vom= 48 m · s−1; ∆x = 250 m.
v2− v
o2= 2 · a · ∆x → 02− 502= 2 · am· 250 → am=
02− 482
2 · 250 = −4,6 m · s−2
Luego la furgoneta tendrá que frenar con una aceleración de 𝟎, 𝟖𝟎 𝐦 · 𝐬−𝟐 (−𝟎, 𝟖𝟎 𝐦 · 𝐬−𝟐), mientras que el motorista
con 𝟒, 𝟔 𝐦 · 𝐬−𝟐 (−𝟒, 𝟔 𝐦 · 𝐬−𝟐).
5.-
La ecuación de la posición de una mariposa monarca viene dada por: r⃗(t) = (t2+ 2) i⃗ + (2 t2+ 2t − 4) j⃗ (SI). Calcula:a) El vector velocidad media en el intervalo entre 0 y 2 s. (0,75 puntos)
La velocidad media se determina a partir del desplazamiento realizado en ese intervalo de tiempo, v⃗⃗m= ∆r⃗⃗
∆t, y del tiempo
empleado. Así:
r⃗(t) = (t2+ 2) i⃗ + (2 t2+ 2t − 4) j⃗
r⃗2= 6 i⃗ + 8 j⃗ m
r⃗0= 2 i⃗ − 4 j⃗ m
v
⃗⃗m02=∆r⃗0
2
∆t02=
r⃗2− r⃗0 t2− t0
=r⃗(2 s) − r⃗(0 s)
2 s − 0 s =
6 i⃗ + 8 j⃗ m − (2 i⃗ − 4 j⃗ m)
2 s =
4 i⃗ + 12 j⃗ m
2 s = 2 i⃗ + 6 j⃗ m · s
−1
De este modo, la velocidad media resulta:
𝐯⃗⃗𝐦𝟎𝟐= 𝟐 𝐢⃗ + 𝟔 𝐣⃗ 𝐦 · 𝐬−𝟏
b) Las componentes intrínsecas de la aceleración en el instante t = 2 s. (1,25 puntos) (CE 6.5)
Para calcular las componentes intrínsecas de la aceleración en el instante t = 2 s, obtendremos primero la velocidad y aceleración instantáneas en ese instante, a continuación obtendríamos la aceleración tangencial, a⃗⃗⃗⃗ =t a⃗⃗· v⃗⃗⃗
|v⃗⃗⃗|· v ⃗⃗⃗
|v⃗⃗⃗| y, a partir de ella, la aceleración
normal o centrípeta, a⃗⃗⃗⃗⃗ = a⃗⃗ − an ⃗⃗⃗⃗t.
Para calcular el vector velocidad instantánea en el instante t = 2 s, primero hallaremos la velocidad instantánea en cualquier instante derivando el vector de posición, para después sustituir el tiempo por 2 s:
v
⃗⃗(t) =dr⃗(t)
dt =
d dt((t
2+ 2) i⃗ + (2 t2+ 2t − 4) j⃗) = 2t i⃗ + (4t + 2) j⃗ (SI) → v⃗⃗(t = 2 s) = 4 i⃗ + 10 j⃗ m · s−1
Para calcular el vector aceleración instantánea en el instante t = 2 s, primero hallaremos la aceleración instantánea en cualquier instante derivando el vector velocidad, para después sustituir el tiempo por 2 s:
a⃗⃗(t) =dv⃗⃗(t)
dt =
d
dt(2t i⃗ + (4t + 2) j⃗) = 2 i⃗ + 4 t j⃗ (SI) → a⃗⃗(t = 2 s) = 2 i⃗ + 4 j⃗ m · s
−2
De este modo, la aceleración tangencial:
at
⃗⃗⃗⃗ =a⃗⃗ · v⃗⃗ |v⃗⃗| ·
v ⃗⃗ |v⃗⃗|
|v⃗⃗(t = 2 s)| = √116 m · s−1= 10,8 m · s−1
at
⃗⃗⃗⃗(2 s) =a⃗⃗(2 s) · v⃗⃗(2 s) |v⃗⃗(2 s)| ·
v ⃗⃗(2 s) |v⃗⃗(2 s)|=
(2 i⃗ + 4 j⃗ m · s−2) · (4 i⃗ + 10 j⃗ m · s−1)
√116 m · s−1 ·
4 i⃗ + 10 j⃗ m · s−1
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a⃗⃗ = a⃗⃗⃗⃗ + at ⃗⃗⃗⃗⃗ → an ⃗⃗⃗⃗⃗ = a⃗⃗ − an ⃗⃗⃗⃗t
an
⃗⃗⃗⃗⃗(2 s) = a⃗⃗(2 s) − a⃗⃗⃗⃗(2 s) = 2 i⃗ + 4 j⃗ m · st −2− (1,66 i⃗ + 4,14 j⃗ m · s−2) = 0,34 i⃗ − 0,14 j⃗ m · s−2
Esto quiere decir que las componentes intrínsecas de la aceleración son:
𝐚𝐭
⃗⃗⃗⃗(𝟐 𝐬) = 𝟏, 𝟔𝟔 𝐢⃗ + 𝟒, 𝟏𝟒 𝐣⃗ 𝐦 · 𝐬−𝟐
𝐚𝐧
