Grado en Ingeniería Informática. Departamento de Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad. Probabilidad.

Departamento de Estadística e Investigación Operativa Aplicadas

y Calidad

UD 3

Probabilidad

Introducción

Asumamos que el conjunto de los 131 alumnos que respondieron a la encuesta realizada en clase constituyen una muestra representativa de los estudiantes de la UPV .

El 30% de las chicas y el 20.9% de los chicos encuestados manifestaron considerarse de izquierdas.

¿Puede afirmarse a partir de estos datos, con una razonable

seguridad de acertar, que en la UPV la tendencia de izquierda

es mayor en las chicas que en los chicos?

Introducción

1) No. Teniendo en cuenta sólo los datos de la muestra no es posible. Si tomáramos otra muestra ¿saldrían de nuevo los mismo porcentajes?

2) Seguro que no. En otra muestra los porcentajes serían diferentes. ¿Serían mayores, menores, muy distintos o similares?

3) Salvo alguna anomalía, es decir, si las diferencias son sólo fruto del azar, los porcentajes serían muy parecidos, pero

nunca iguales.

Las técnicas de Estadística Descriptiva vistas (UD2) no son suficientes para contestar a este tipo de preguntas 

Esquema

Población

Estadística descriptiva gráficos

 parámetros

 tablas

muestreo

Inferencia estadística

Muestra

Conclusiones válidas con

razonable seguridad _Probabilidad

UD2

UD5

UD4

Contenido

Introducción

1.- Sucesos. Operaciones con sucesos

2.- Probabilidad: concepto, cálculo y propiedades

3.- Probabilidad de los sucesos

4.- Independencia de sucesos

5.- Probabilidad Condicional

6.- Teorema de la Probabilidad Total

7.- Teorema de Bayes

Ejercicios

 E (Espacio muestral): conjunto de valores que puede tomar una

determinada variable aleatoria

 A (Suceso): cualquier subconjunto A de E

1 - Sucesos y operaciones con sucesos

• Población: conjunto de individuos acerca de los cuales se quiere obtener información o inferir conclusiones.

• Variable aleatoria: valores que toma la característica a estudiar de los individuos de la población.

¡Recordar! UD2

Sitios web para aprender… jugando

Proyecto Descartes

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Azar_y_probabilidad/index.htm#intro

Ejemplo: Lanzamientos de un dado

• Población = {todos los lanzamientos que se puedan efectuar con el dado}

• Variable aleatoria: nº de puntos al lanzar el dado

• E (Espacio muestral) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Suceso A: sacar un número par

• Suceso B : sacar un número >3

E 1 3 4 5 ₆ 2 B A

• Suceso seguro : es el asociado a E, que es un subconjunto de sí mismo. Para todos los individuos de la población se verifica dicho suceso.

Tipos de sucesos

• Suceso imposible : es el asociado al subconjunto vacío Φ de E. No contiene ninguno de los posibles valores de E, por lo que no existe individuo alguno en la población para el que se verifique dicho

suceso imposible.

•

Sucesos excluyentes: son aquellos cuya intersección es el suceso

imposible Φ.

•

Suceso contrario o complementario a uno dado A, es aquél que se verifica si, y sólo si, no se verifica A. Se le representa por No-A

Tipos de sucesos

• Suma o unión de sucesos A y B : es un nuevo suceso C que se verifica si, y sólo si, se verifica al menos uno de los dos sucesos. La suma de dos sucesos A y B se expresa utilizando el signo ∪ (o +)  C = A ∪ B

•

Producto o intersección de sucesos A y B : es un nuevo suceso C

que se presenta si, y sólo si, se presentan tanto uno como el otro suceso. El producto de dos sucesos A y B lo representaremos como

A∩B (o .) .

Los sucesos complementarios son siempre excluyentes, pero no todos los excluyentes son complementarios

• Suceso seguro E

• _{Suceso imposible Φ} • Sucesos excluyentes

• Suceso contrario o complementario A o No-A

• Suma o unión de sucesos A y B A ∪ B

• Producto o intersección de sucesos A y B A∩B

• Sucesos elementales y compuestos

Ejemplo 1: Lanzamiento de un dado

Suceso imposible: sacar un 7

E 1 3 4 5 6 2 Suceso Seguro

• A todo suceso A se le puede asociar un número comprendido entre 0 y 1 al que se denomina probabilidad de dicho suceso, y se le representa por P(A)

• Interpretación intuitiva: la probabilidad de un suceso es la

proporción de individuos de la población considerada en los que se verifica dicho suceso.

2 - Probabilidad:

concepto, cálculo y propiedades

Población Muestra

Frecuencia relativa (%)

% de veces que sale un 5 al lanzar el dado

Probabilidad

(tanto por uno)

P(A) =

1.

0 ≤ P(A) ≤ 1

2.

P(E) = 1  Probabilidad de sacar un 1, 2, 3, 4, 5 o 6

3.

P(No-A) = 1 - P(A)  Prob. de NO sacar un 6 = 1 – Prob de sacar un 6

4.

P(_Φ ) = 0  Probabilidad de sacar un 9

• En un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un suceso se aproxima cada vez más a su probabilidad teórica a medida que aumenta el número de experiencias que se realizan.

Probabilidad:

Ley de los Grandes Números

Ley del Azar o

Probabilidad

Ejem. 1: Lanzamientos de un dado

• Población = {todos los lanzamientos de un dado}

• Variable aleatoria: nº de puntos al lanzar el dado

• E (Espacio muestral) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Suceso A: sacar un número par

E 1 3 4 5 6 2 A L₁ L_{2 L} 3 L_{4 L5} L₆ L₇ L₈ ... ... L_i ...

Lanzamientos en los que ha salido par 

proporción de lanzamientos en los que ha salido par

P(

A

)

Población

Probabilidad

Ejem. 2: Tiempo de búsqueda en HD

• Población = {búsquedas de ficheros en un HD}

• Variable aleatoria: tiempo de búsqueda de ficheros en disco duro  t

• E (Espacio muestral) = {0,1 0,11, 0,23, …, 0,5}  [0,1 , 0,5] seg.

• Suceso A: tiempo de búsqueda menor que 0,23 s  t < 0,23

E 0,45 0,4 0,16 0,5 0,01 0,2 A B₁ B_{2 B} 3 B_{4 B5} B₆ B₇ B_{8 B} i ... proporción de búsquedas en las que t < 0,23 s

P(

A

)

0,21 0,34 ... ... ... ...

Probabilidad:

Ejemplo 2 (cont.)

• Población = {búsquedas de ficheros en un HD}

• Variable aleatoria: tiempo de búsqueda de ficheros en disco duro  t

• E (Espacio muestral) = {0,1 0,11, 0,23, …, 0,5}  [0,1 , 0,5] seg.

• Suceso A: tiempo de búsqueda menor que 0,23 s  t < 0,23

E 0,45 0,4 0,16 0,5 0,01 0,2 A B₁ B_{2 B} 3 B_{4 B5} B₆ B₇ B₈ ... ... B_i ...

P(

A

) = 0,325

_0,21 0,34 ... ... ... ...

32,5 %

¿Cómo se calcula P(

A

) ?

Cálculo de probabilidades

P( ) = expresión mateA mática

•

Existen modelos (expresiones matemáticas) que se adecuan a las diferentes pautas de variabilidad de las variables aleatorias (UD4)

•

Binomial

•

Poisson

•

Exponencial

• E es finito

• Por razones de simetría puede asumirse que la probabilidad es la misma para cada uno de sus valores

Cálculo de probabilidades:

Regla de Laplace

Casos favorables P( ) =

Casos pos

A

ibles

La probabilidad de un suceso coincide con el cociente entre el número de valores favorables a dicho suceso y

Si un dado es simétrico

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al lanzarlo?

¿Por qué?

Ejemplo

Regla de Laplace

• Población = {todos los lanzamientos que se puedan efectuar con el dado}

• Variable aleatoria: nº de puntos al lanzar el dado

• E (Espacio muestral) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Suceso A: sacar un número par

E 1 3 4 5 6 2 A Casos favorables al suceso A Casos posibles P(A )=3/6

Todos los valores tienen la misma probabilidad

de salir en cada lanzamiento

3 - Probabilidad de los sucesos

• Unión

• Intersección

• Producto

Probabilidad de la unión de sucesos

E 1 3 4 5 ₆ 2 B A

Suceso A: sacar número par

Suceso B : sacar número >3

Suceso C = A _∪ B = {2, 4, 5, 6}

Casos favorables al suceso A

Casos posibles

El caso general unión de 2 sucesos es:

Propiedades

P(A

∪

B)

El caso general probabilidad de la unión de 3 sucesos es:

P(A_∪B) = P(A)+P(B)-P(A_∩B)

P(A_∪B_∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A_∩B) - P(A_∩C)

-P(B_∩C) + P(A_∩B_∩C)

Esta expresión se puede generalizar para la suma de k sucesos

Propiedades

P(A

∪

B)

Si los sucesos son excluyentes :

P(A_∪B) = P(A) + P(B) - P(A_∩B) P(A∩B)= O

Calcula la P(A) + P(B).

¿Es la misma que P(A _∪ B)?

Ejemplo

Suceso A: sacar número par

Probabilidad de la intersección de sucesos

E 1 3 4 5 ₆ 2 B A

Suceso A: sacar número par

Suceso B : sacar número >3

Suceso C = A _∩ B = {4, 6}

Casos favorables al suceso A

Casos posibles

Ejemplo

• Población = {todos los lanzamientos de un dado}

• Variable aleatoria: nº de puntos al lanzar el dado

• E (Espacio muestral) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Suceso A: sacar un número par

• Suceso B : sacar un número >3

A y B ¿Son excluyentes?

¿Si sale un número par implica que no puede ser mayor que 3?

P(A _∪ B) = P(A)+P(B)-P(A_∩B) = 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6 = 2/3

Ejemplo

• Población = {todos los lanzamientos de un dado}

• Variable aleatoria: nº de puntos al lanzar el dado

• E (Espacio muestral) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Suceso A: sacar un número par

• Suceso B : sacar el número 3

A y B ¿Son excluyentes?

¿Si sale un número par implica que no puede ser 3?

P(A _∪ B) = P(A)+P(B)-P(A_∩B) = 3/6 + 1/6 – 0 = 4/6 = 2/3

Ejemplo

Suceso A: sacar número par

Suceso D : sacar un 3 E 1 3 ₄ 5 ₆ 2 D A Suceso C = A _∩ D = {_Φ}

A y D son excluyentes, pero NO complementarios

Suceso A: sacar número par

Suceso No-A : sacar impar

Suceso C = A_∩No-A = {Φ} E 1 3 4 5 6 2 No-A A

A y No-A son complementarios

Leyes de Morgan

Ejemplo 1 (cont.)

A B



=

A B



Suceso A: sacar número par

Suceso B : sacar número >3

E 1 3 4 5 ₆ 2 B A

A B



=

A B



Supóngase el experimento consistente en lanzar simultáneamente dos dados que sean perfectamente simétricos.

1) ¿Cuál sería la probabilidad del suceso A "en el primer dado se obtiene un 6" ?

2) ¿y la del suceso B "en el segundo dado se obtiene un 6"?

3) ¿Cuál sería el suceso A∪B?

4) ¿Sería su probabilidad mayor, menor o igual que 2/6? ¿Por qué?

Ejemplo

3) P(A_∪B) = P(A)+P(B)-P(A_∩B) 1) P(A) = 1/6 2) P(B) = 1/6 P(A_∩B) = 1/36 ≠ 0 4) P(A _∪ B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 2/6 – 1/36 < 2/6

Ejercicio repaso

• P(A), (B)

• Ejemplo de sucesos exluyentes

• Ejemplo de sucesos complementarios • P(A ∪ B) por la Regla de Laplace

• P(A ∩ B) por la Regla de Laplace

• P(A ∪ B) a partir de la propiedad de la union

Suceso A: sacar número par

Suceso B : sacar número >3

Suceso C : sacar número 2

• Población = {todos los lanzamientos que se puedan efectuar con el dado}

• Variable aleatoria: nº de puntos al lanzar el dado

4 - Independencia de sucesos

Intuitivamente:

• A el hecho de que se verifique B no afecta, en absoluto, a que se verifique A.

• Que se cumpla B no modifica la probabilidad de A

Cuando 2 sucesos son independientes: P(A_∩B) = P(A).P(B)

Ejemplo sucesos NO independientes

A y B ¿Son independientes? Si se trata de adivinar,

¿el saber que en una tirada ha salido un número mayor que 3, aporta información sobre la probabilidad de que el número sea par?

P(A) x P(B) = 1/2 x 1/2 =1/4 P(A_∩B) = 1/3

NO son Independientes

SÍ

Lanzamos un dado simétrico y sean los sucesos:

A = obtener un número par

Ejemplo sucesos independientes

A y B ¿Son independientes? Si se trata de adivinar,

¿el saber que ha salido un as,

aporta información sobre la probabilidad de que la carta sea de oro?

P(A) x P(B) = 4/40 x 10/40 =1/40 P(A_∩B) = 1/40

NO

Sacamos una carta al azar de una baraja española (40 cartas, 10 de cada palo) y sean los sucesos:

4 - Independencia de sucesos

Independientes Dependientes

Dados dos sucesos A y B, decimos que la Probabilidad de A condicionado a B

5 – Probabilidad Condicional

P(

A

/

B

)



P(

A

)

P( /

A

B

) =

B

P(

B

)

es la probabilidad de que se haya presentado el suceso A sabiendo que se ha presentado el suceso B

Representa la proporción de individuos que verifican el suceso A en la subpoblación constituida por los individuos que verifican el suceso B

4 – Probabilidad Condicional.

Población Muestra Frecuencia relativa condicional (%) % de veces que se cumple A, sabiendo que

se ha cumplido B

Probabilidad

(tanto por uno)

P(A/B)

http://setosa.io/conditional/

Ejemplo probabilidad condicional

• Población = {todos los lanzamientos de un dado}

• E (Espacio muestral) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Suceso A: sacar un número par

• Suceso B : sacar un número >3

E 1 3 4 5 6 2 B A/B Si es >3  3 valores posibles. De esos 3 valores, hay 2 que son par

P(A/B) = 2/3

Prob Condicional e Intersección de sucesos



P(

A

)

P( /

A

B

) =

B

P(

B

)

¿ P(A_∩B) ?



P(

A

)

P( /

B

A

) =

B

P(

A

)

¿ P(A_∩B) ?

Caso general para obtener la probabilidad del producto de 2 sucesos:

Caso particular, cuando los sucesos son independientes:

P(A_∩B) = P(A).P(B/A)

P(A_∩B) = P(A).P(B)

Árbol de probabilidad

P(A_∩B) = P(B/A) P(A) = 1/2 x 2/3 = 2/6 A Par > 3 B ≤ 3 Impar > 3 B ≤ 3 ࡮ ࡮ ࡭ {1,2,3,4,5,6} {2,4,6} {1,3,5} {4,6} {2} {5} {1,3} probabilidad P(A_∩࡮) = P(࡮/A) P(A) = 1/2 x 1/3 = 1/6 P(࡭_∩ B) = P(B/࡭)P(࡭) = 1/2 x 1/3 = 1/6 P(࡭_∩࡮) = P(࡭/࡮)P(࡭) = 1/2 x 2/3 = 2/6

Otras equivalencias sucesos independientes

Dos sucesos A y B son independientes si se verifica:

P(A/ B) = P(A) P(B/ A) = P(B) P(A_∩B) = P(A) x P(B)

P(

A

/

B

) = P(

A

/

B

)

P(

B

/

A

) = P(

B

/

A

)

∩

P(

A

B

) = P( )x

A

P(

B

)

∩

P(

A B

) = P( )x

A

P(

B

)

∩

P(

A B

) = P( )x

A

P(

B

)

Puedes Usar el árbol de probabilidades

Ejemplos

Ejercicio: Comprobar que cualquiera de las 8 condiciones anteriores implica a las otras 7

Respuesta en el Anejo al final del tema

Ejercicio

En una baraja española (40 cartas, 10 de cada palo) sea el experimento aleatorio sacar una carta al azar y considérense:

Suceso A: sacar un as

Suceso B: sacar un oro

1) Calcular: P(A), P(B), P(A∩B), P(A∪B), P(A/B), P(B/A)

2) ¿Son los dos sucesos independientes?

3) Si se trata de adivinar si ha salido un as ¿sirve para algo saber que ha salido un oro? ¿Por qué?

4) Calcular:

Libro

A B A

Otro ejemplo: Categoría laboral y Sexo

• Población = {todos los empleados de una empresa}

• E_SEXO = {mujer, hombre}

• E_{CAT LABORAL} = {administrativo, seguridad, directivo}

• E_{CAT LABORALXSEXO} = {(administrativo,mujer), (administrativo,hombre) …}

• Suceso A: empleado es directivo

• Suceso B : empleado es mujer

directivo mujer empleados B A

¿ P(

A

/

B

) ?

Probabilidad condicional

: Categoría laboral y Sexo

Administrativo Seguridad Directivo

Frecuencias Marginales De SEXO Hombre 157 27 74 258 54,4% Mujer 206 0 10 216 45,6% Frecuencias Marginales De CATEGORÍA 363 76,6% 27 5,7% 84 17,7% 474 Nº de mujeres encuestadas Nº de empleados encuestados Suponemos Población Nº de mujeres que ocupan cargo de directivo

Probabilidad condicional

: Categoría laboral y Sexo

Frec. Relativas condicionales de CATEGORÍA en función de SEXO

Administrativo Seguridad Directivo

Frecuencias Marginales De SEXO Hombre 157 60,9% 27 10,5% 74 28,7% 258 54,4% Mujer 206 95,4% 0 0% 10 4,6% 216 45,6% Frecuencias Marginales 363 27 84 474

% de las mujeres que son directivas

Probabilidad condicional

: Categoría laboral y Sexo

Administrativo Seguridad Directivo

Frecuencias Marginales De SEXO Hombre 157 27 74 258 54,4% Mujer 206 0 _{10 216} 45,6% Frecuencias Marginales De CATEGORÍA 363 76,6% 27 5,7% 84 17,7% 474

Frecuencia Marginal de sexo Cumplen B

Población Frecuencia

Conjunta Cumplen A y B

¿ proporción de individuos que verifican el suceso A en la subpoblación constituida por los individuos que verifican el

suceso B ?

Probabilidad condicional

: Categoría laboral y Sexo



P(

A

B

)

¿ % de directivos, de entre las mujeres ? (en tanto por uno)

%(A/B) = 10/216 = 4,6 % P(A/B) = 0,021 / 0,45 = 0,046 Frecuencia conjunta relativa Frecuencia relativa marginal de SEXO Frecuencia relativa condicional CATEGORÍA / SEXO

Sucesos excluyentes o independientes

• En el Ejemplo:

A = obtener un número par

B = obtener el número 3

A y B ¿Son excluyentes?, ¿Son independientes? • En el Ejemplo:

A = obtener un as

B = obtener un oro

A y B ¿Son excluyentes?, ¿Son independientes?

Si dos sucesos son excluyentes



NO son independientes

SI NO

Ejemplo de sucesos NO independientes

Problema de

Monty Hall

Fragmento película 21 Black Jack (Monty Hall) http://youtu.be/AtFBwUyJJR0

Web explicación y más sobre problema de Monty Hall

En un servidor de correo electrónico, el 20% de los correos resultan ser SPAM, mientras que el otro 80% no lo es.

Para discernir entre ambas situaciones se instala un filtro que puede dar positivo en SPAM o negativo. Se sabe que la probabilidad de que el filtro resulte positivo es 0,95 cuando los correos son SPAM y 0,10

cuando los correos no lo son.

a) Elegido, al azar, un correo recibido, ¿cuál es la probabilidad de que al pasar el filtro de positivo?

b) Sabiendo que en un correo el filtro lo ha catalogado como SPAM, ¿cuál es la probabilidad de que sea realmente un correo SPAM?

6 – Teorema de la Probabilidad Total

A = correo es SPAM = correo No SPAM

B = filtro da positivo

¿ P(B) ?

¿ Probabilidad de que al pasar el filtro resulte positivo ?

P(A) = 0,2

P(࡭) = 0,8

P(B/A) = 0,95 P(B/ )= 0,1

P(B) = P((A_∩B) _∪ P( _∩ B)) = P(A_∩B) + P( _∩ B) = excluyentes

Árbol de probabilidad

P(A_∩B) = P(B/A) P(A) = 0,95 x 0,2 = 0,19 A SPAM + B -No SPAM + B -࡮ ࡮ ࡭ Probabilidades enunciado P(A_∩࡮) = P(࡮/A) P(A) = 0,05 x 0,2 = 0,01 P(࡭_∩ B) = P(B/࡭)P(࡭) = 0,1 x 0,8 = 0,08 P(࡭_∩࡮) = P(࡭/࡮)P(࡭) = 0,9 x 0,8 = 0,72

Árbol de probabilidad

P(A_∩B) = P(B/A) P(A) = 0,95 x 0,2 = 0,19 A SPAM + B -No SPAM + B -࡮ ࡮ ࡭ probabilidad P(A_∩࡮) = P(࡮/A) P(A) = 0,05 x 0,2 = 0,01 P(࡭_∩ B) = P(B/࡭)P(࡭) = 0,1 x 0,8 = 0,08 P(࡭_∩࡮) = P(࡭/࡮)P(࡭) = 0,9 x 0,8 = 0,72 P(A∪࡭) = P(A) + P(࡭) = 0,8+0,2 = 1

P(todas las ramas) = 0,95+0,05 = 1

P(todas las ramas)

P((A∩B)∪ P(A∩࡮))= 0,19+0,01 = 0,2

Árbol de probabilidad

A = correo es SPAM = correo No SPAM

B = filtro da positivo

¿ P(B) ?

Árbol de probabilidad

P(A_∩B) = P(B/A) P(A) = 0,95 x 0,2 = 0,19 A SPAM + B -No SPAM + B -࡮ ࡮ ࡭ probabilidad

P(A_{∩࡮) = P(࡮/A) P(A) =} 0,05 x 0,2 = 0,01

P(࡭_∩ B) = P(B/࡭)P(࡭) = 0,1 x 0,8 = 0,08

P(_{࡭∩࡮) = P(࡭/࡮)P(࡭) =} 0,9 x 0,8 = 0,72

Árbol de probabilidad

P(A_∩B) = P(B/A) P(A) = 0,95 x 0,2 = 0,19 A SPAM + B No SPAM + B ࡭ probabilidad P(࡭_∩ B) = P(B/࡭)P(࡭) = 0,1 x 0,8 = 0,08 P(B) = P((A_∩B) _∪ P(࡭_∩ B)) = P(A_∩B) + P(࡭_∩ B) = P(B/A)P(A) + P(B/࡭)P(࡭) = 0,95 x 0,2 + 0,1 x 0,8 = 0,27

6 – Teorema de la Probabilidad Total

A_i mutuamente excluyentes P(A_i)

¿P(

B

)?

P(B/A_i) P (B) = P (A₁) P (B / A₁) + ... + P (A_n) P (B / A_n) P(A₁) P(A2) P(A3) P(A₄) P(A5) P(B/A₁) P(B/A₂) P(B/A₅) P(B/A₃) P(B/A₄)

En un servidor de correo electrónico, el 20% de los correos resultan ser SPAM, mientras que el otro 80% no lo es.

Para discernir entre ambas situaciones se instala un filtro que puede dar positivo en SPAM o negativo. Se sabe que la probabilidad de que el filtro resulte positivo es 0,95 cuando los correos son SPAM y 0,10 cuando los correos no lo son.

a) Elegido, al azar, un correo recibido, ¿cuál es la probabilidad de que al pasar el filtro de positivo?

b) Sabiendo que en un correo el filtro ha dado positivo, ¿cuál es la probabilidad de que sea realmente un correo SPAM?

Árbol de probabilidad

P(A_∩B) = P(A/B) P(B) = 0,19 B + SPAM A No SPAM -SPAM A No SPAM ࡮ P(A_∩࡮) = P(A/࡮) P(࡮) =0,01 P(࡭_∩ B) = P(࡭/B)P(B) = 0,08 P(࡭_∩࡮) = P(࡭/࡮)P(࡮) = 0,72 A = correo es SPAM = correo No SPAM B = filtro da positivo ࡭ ࡭ ? ? ? ? Apartado anterior Por diferencia Árbol anterior

Árbol de probabilidad

P(A_∩B) = P(A/B) P(B) B + SPAM A probabilidad A = correo es SPAM ࡭ = correo No SPAM B = filtro da positivo

?

P(A/B) = P(A_∩B)/P(B) = 0,19 / 0,27 = 0,703 No lo conozco Lo he calculado antes P(A/B) = P(A_∩B)/P(B) = P(B/A) P(A)/P(B) = 0,95 x 0,2 / 0,27 = 0,703 = 0,19

7 - Teorema de Bayes

A_i mutuamente excluyentes P(A_i) _P(B/Ai) P(A₁) P(A2) P(A3) P(A₄) P(A5) P(B/A₁) P(B/A₂) P(B/A₅) P(B/A₃) P(B/A₄)

B asociado a todos ellos

¿P(

A

_i

/

B

)?

∩



i i N i i

P(

)

P( )P(

)

P(

) =

=

P( )

_P(

/

/

/

A

B

A

B A

A B

B

_A

_)P(

_{B A}

₎

Continuación ejemplo

Supongamos que en el servidor se reciben unos 2000 correos diarios, y que se borran todos aquellos que dan positivo en la prueba mencionada.

¿Cuántos mensajes no SPAM se borrarán diariamente en promedio?

¿Cuántos correos se catalogarán en promedio erróneamente cada día?

Si la prueba da negativa en un correo, ¿cuál es pese a ello la probabilidad de que realmente sea un correo SPAM?

Tengo en cuenta que…..

MONTAJES EN SERIE

Si las K componentes de un dispositivo electrónico se

montan en serie, el dispositivo falla cuando falla cualquiera de las componentes

MONTAJES EN PARALELO

Si las K componentes de un sistema se montan en paralelo, el dispositivo funciona mientras funcione al menos una de

K 1 2

1 2 3 K

SUCESOS

A₁ = Duración componente 1 > t

A₂ = Duración componente 2 > t

...

A_n = Duración componente n > t

D = Duración de las n componente > t

MONTAJES EN SERIE

P(D)=P(A₁∩A₂ ∩ ... ∩A_n) =si son independientes = P(A₁) . P(A₂) . ... . P(A_n)

MONTAJES EN PARALELO

P(D)=P(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_n)

Cualquier otro montaje será una combinación de la ∪ e ∩ de los sucesos

Ejercicio 1

Si la probabilidad de que un estudiante X suspenda un cierto examen es 0’5, la probabilidad de que un estudiante Y suspenda es 0’2 y la

probabilidad de que ambos suspendan es 0’1

a) ¿Cuál será el espacio muestral asociado a la prueba? Representa gráficamente E, y los sucesos A={el estudiante X suspende} y B={el estudiante Y suspende}

b) ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen?

c) ¿cuál es la probabilidad de que ninguno suspenda el examen?

En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. Supongamos que el 60% de las familias de la ciudad están suscritas al periódico A, el 40% están suscritas al periódico B y el 30% al periódico C. Supongamos

también que el 20% de las familias están suscritas a los periódicos A y B, el 10% a A y C, el 20% a B y C y el 5% a los tres periódicos A, B y C.

a)¿Que porcentaje de familias de la ciudad están suscritas al menos a uno de estos tres periódicos?

b)¿Que porcentaje de familias de la ciudad están suscritas únicamente a uno de los tres periódicos?.

Sol: a) 0,85, b) 0,45

Un determinado dispositivo se fabrica a partir de dos componentes C_A y C_B. Sean los siguientes sucesos:

A : la componente C_A funciona más de 1000 h sin fallar B : la componente C_B funciona más de 1000 h sin fallar

D : el dispositivo conjunto funciona más de 1000 h sin fallar

1) Si C_A y C_B se montan en serie (el dispositivo falla en cuanto falle alguna de ellas) ¿qué relación existirá entre D, A y B?

2) Si C_A y C_B se montan en paralelo (el dispositivo funciona mientras funcione al menos una cualquiera de las componentes) ¿qué relación existirá entre D, A y B?

Sol:

1) Si C_A y C_B se montan en serie (el dispositivo falla en cuanto falle alguna de ellas) ¿qué relación existirá entre D, A y B?

D = A∩B

2) Si C_A y C_B se montan en paralelo (el dispositivo funciona mientras

funcione al menos una cualquiera de las componentes) ¿qué relación existirá entre D, A y B?

D = A ∪ B

Una industria fabrica componentes electrónicos (C) que se utilizan en el montaje de dispositivos como el de la figura:

Ejercicio 4

2) Preg. 2 - Primer parcial. 31-03-2014

Calcula la fiabilidad a los 5 años del dispositivo D que se muestra en la figura, sabiendo que C1, C2 y C3 son componentes electrónicos de funcionamiento independiente y de idéntica fiabilidad (fiabilidad a los 5 años de 0,287). Define y describe las variables

Sucesos:

• C1= la componente C1 dura más de 5 años • C2= la componente C2 dura más de 5 años • C3= la componente C3 dura más de 5 años • D = el dispositivo dura más de 5 años

Probabilidades:

P(C1) = P(C2) = P(C3) = Fiabilidad a los 5 años = 0,287

La fiabilidad a los 5 años del dispositivo (D) se define como:

P(D) = P((C1 ∪ C2) ∩ C3) = P(C1 ∪ C2) x P(C3) =

= [P(C1) + P(C2) – P(C1 ∩ C2)] x P(C3) = [P(C1) + P(C2) – P(C1 )xP(C2)]xP(C3) = = [2x0,287-(0,287x0,287)]*0,287 = 0,141

Ejercicio 5

Fiabilidad de componentes

Un dispositivo está formado por tres componentes diferentes CA, CB y CC montadas tal como se refleja en el siguiente esquema:

CA CB

CC

Se asume que un dispositivo formado por componentes en serie funciona sólo si lo hacen todas las componentes, mientras que uno formado en paralelo lo hace si funciona al menos una de las componentes.

Ejercicio 5 (cont.)

Sean los sucesos:

A: componente CA funciona correctamente al cabo de 1000 horas B: componente CB funciona correctamente al cabo de 1000 horas C: componente CC funciona correctamente al cabo de 1000 horas

a) Expresar el suceso {Dispositivo sigue funcionando al cabo de 1000 horas} a partir de A, B y C.

b) Sabiendo que P(A)=P(B)=P(C)=0,95, calcular la probabilidad de que el dispositivo funcione correctamente al menos 1000 horas, indicando las hipótesis realizadas para dicho cálculo.

Un dispositivo está formado por cuatro componentes diferentes CA, CB,

CC y CD montadas tal como refleja el siguiente esquema:

Ejercicio 6

Se conoce que la fiabilidad de las componentes CA, CB y CC es del 80% a las 5000 horas, mientras que la fiabilidad de la componente CD es del 95% a las 5000 horas.

Sea el experimento aleatoria consistente en lanzar 6 veces un dado simétrico.

Calcular la probabilidad de sacar al menos un 6 en las 6 tiradas.

Sol: 0,67

La probabilidad de que un alumno apruebe Estadística es 0,6, la de que apruebe Inglés es 0,5 y la de que apruebe las 2 es 0,2.

a) ¿Cuál sería la probabilidad de que apruebe al menos una de las dos asignaturas?

b) ¿y la de que no apruebe ninguna?

c) ¿Cuál sería la probabilidad de que apruebe Estadística y suspenda Inglés?

Sol: a) 0,9, b) 0,1, c) 0,4

Probabilidad Condicional e

Independencia de Sucesos

Ejercicio 9

• Sean dos sucesos A y B. Se conoce que: P(A)= 0,7 ; P(B)=0,6 ;

¿Son independientes los sucesos A y B? Justifica tu respuesta.

+

= 0, 58

P(A B)

Si A y B son dos sucesos cualesquiera y P(A) y P(B) son distintas de 0 y B ≠ E, ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son falsas?

a) P(A/B)=P(A B)/P(B)

b) Si A y B son independientes P(A/B)=0

c) Si A y B son mutuamente excluyentes P(A/B)=0 d) Si A B P(A/B)=1

e) Si A B P(A/B)=P(A)

Sol: a) Cierto, b) Falso, c) Cierto, d) Falso, e) Falso

Ejercicio 11

Los votantes de derechas de un distrito electoral (suceso D) representan el 2% del total, los de izquierdas (suceso I) el 35% y los de centro (suceso C) el 23%. Por otro lado un 10% de los votantes están afiliados a n

determinado sindicato (suceso S). Se sabe asimismo que de los afiliados al sindicato un 80% son de izquierdas y un 20% de centro.

Se pide:

a) Indicar si son excluyentes los sucesos D y S. b) Indicar si son excluyentes los sucesos I y S.

c) Calcular la probabilidad de que un votante sea de centro o esté afiliado al sindicato.

d) Indicar si son independientes D y S por un lado de I y de S por el otro. e) Calcular la probabilidad de que un votante sea de izquierdas y esté afiliado al sindicato.

Ejercicio 12

Sea la población constituida por las 50 naranjas de una caja, de las que el 10% están heladas. Se extrae una primera naranja al azar y sea A el suceso "la naranja está helada". Se extrae a continuación (sin volver a reponer la primera naranja extraída) una segunda naranja y sea B el suceso "la segunda naranja está helada".

Calcular: P(A), P(B), P(B/A), P(B/No-A) ¿Son los dos sucesos independientes?

Respuesta en el Anejo al final del tema Libro

Ejercicio 13

A, B y C son tres sucesos:

• La probabilidad de que ocurra el suceso B habiendo ocurrido el suceso C es 0’30.

• La probabilidad de que ocurra el suceso A habiendo ocurrido el suceso C es 0’25.

• Los sucesos A y C son independientes.

• Los sucesos A y B son igualmente probables.

• La probabilidad de que ocurra el suceso C es tres veces la probabilidad de que ocurra el suceso A.

• Los sucesos A y B son mutuamente excluyentes.

Teorema de la Probabilidad Total y

Teorema de Bayes

Una empresa que ofrece un determinado servicio por internet trabaja con 3 servidores distintos (A, B y C). El 25% de las solicitudes (accesos) de este servicio se ejecutan en el servidor A, el 35% en el servidor B y el resto en el C. Se tiene constatado que en el caso del servidor A se produce algún error en el 1% de los accesos, mientras que este porcentaje es del 2% en el caso del servidor B. Además, se sabe que si se elige al azar un acceso, la probabilidad de que tenga algún error y se haya ejecutado en el servidor C es del 1%.

Ejercicio 14

1) Preg. 2 - Primer parcial. 30-03-2015

a) Dada una solicitud al azar, ¿cuál es la probabilidad de que durante el acceso al

servidor se produzca algún error? (5 puntos)

b) Sabiendo que un acceso ha sido correcto, calcula la probabilidad de que éste

a) Dada una solicitud al azar, ¿cuál es la probabilidad de que durante el acceso al servidor se produzca algún error?

Sucesos:

A: el acceso se realiza sobre el servidor A B: el acceso se realiza sobre el servidor B C: el acceso se realiza sobre el servidor C

E: el acceso es erróneo (se produce algún error)

Ejercicio 15 (Ejercicio 3 UD)

En un fábrica de conservas se utilizan dos llenadoras de botes. La

primera, que tiene una capacidad de 500 botes por hora, produce un 1% de botes defectuosos y la segunda, cuya capacidad es 1000 botes/hora, produce un 2% de botes defectuosos.

¿A qué probabilidades condicionales corresponden los valores 1% y 2%?

¿Si las dos máquinas funcionan a pleno rendimiento, cuál será el porcentaje de botes defectuosos producidos en total?

Ejercicio 15 (Ejercicio 3 UD)

Se selecciona un bote de la producción final y se constata que es defectuoso.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la primera de las dos

máquinas?

b) Cuál es la probabilidad de que proceda de la segunda máquina?

Sol: a) 0,2, b) 0,8

Ejercicio 15 (Ejercicio 3 UD)

Se selecciona un bote de la producción final y se constata que es defectuoso.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la primera de las dos

máquinas?

b) Cuál es la probabilidad de que proceda de la segunda máquina?

(

)

( )

( )

( )

( )

1 1 1 1 1 2 1 2 1 0 01 3 _{0 1996} 0 0167 B P A .P _{x ,} P A .B A A P , B _{P B B B ,} P A .P P A .P A A        _{ = = = =}     _ _{ +} _ _    

Ejercicio 16

El 30% de los enfermos de hepatitis que ingresan en un hospital tienen hepatitis obstructiva que exige una intervención quirúrgica, mientras que el otro 70% tienen hepatitis infecciosa que puede curarse con reposo y medicación. Para diferenciar entre las dos situaciones, se

realiza una prueba clínica que pude resultar positiva o negativa. Se sabe que la probabilidad que la prueba resulte positiva es 0,95 cuando los

enfermos tienen hepatitis obstructiva y 0,10 cuando la tienen infecciosa.

1) Sabiendo que en un enfermo la prueba ha dado positiva, cuál es la probabilidad de que tenga realmente una hepatitis obstructiva?

Ejercicio 16

A₁:”Tener hepatitis obstructiva”

A₂:”Tener hepatitis infecciosa”

B:”la prueba clínica resulta positiva”

P(A₁)=0,3 P(A₂)=0,7 P(B/A₁)=0,95 P(B/A₂)=0,1

Sabiendo que en un enfermo la prueba ha dado positiva, ¿cuál es realmente la

probabilidad de que tenga realmente una hepatitis obstructiva? (P(A₁/B))

Aplicando el Teorema de Bayes………

SUCESOS

PROBABILIDADES

( ) ( /

)

0,3 0,95

P A P B A

x

Ejercicio 16

2) Supongamos que en el hospital se producen unos 150 ingresos

anuales por hepatitis, y se opera a todos los enfermos que dan positivo en la prueba clínica.

A) ¿Cuántos diagnósticos erróneos se producirán en promedio

anualmente?

B) ¿Cuántas operaciones innecesarias se producirán anualmente?

Ejercicio 16

1) Supongamos que en el hospital se producen unos 150 ingresos

anuales por hepatitis, y se opera a todos los enfermos que dan positivo en la prueba clínica.

A) ¿Cuántos diagnósticos erróneos se producirán en promedio

anualmente?

B) ¿Cuántas operaciones innecesarias se producirán anualmente?

=

=

=

=

=

=

+

=

=

1 1 1 2 2 2

(

)

( ) ( /

) 0,3 0,05

0,015

(

)

( ) ( /

) 0,7 0,1 0,07

150(0,015 0,07) 12,75

150 0,07 10,5

P A B

P A P B A

x

P A B

P A P B A

x

x

Sol:

Ejercicio 16

3) Si la prueba da negativa en un enfermo, cuál es a pesar de eso la probabilidad de que realmente tenga una hepatitis obstructiva?

Ejercicio 16

3) Si la prueba da negativa en un enfermo, cuál es a pesar de eso la probabilidad de que realmente tenga una hepatitis obstructiva?

( )

( )

( )

( )

1 1 ₁ 1

0 3 0 05

0 023

1

0 645

B

P A .P

P A .B

_A

_{, x ,}

A

P

,

B

_{P B}

_{P B}

_,















_{ =}

₌

₌

₌









₋

Sol:

El 50% de la población trabajadora de cierta comarca se dedica al sector de servicios, el 12% a la construcción, el 3% al sector primario y el resto al sector industrial. La tasa de desocupación en el sector primario es del

10%, en el sector industrial del 28%, en la construcción del 30% y en el de servicios del 18,6%.

a) Calcular el porcentaje de parados en la población

b) Calcular el porcentaje de parados que pertenecen al sector industrial

Ejercicio 17

}

{

}

{

0 5 0 186 0 12 0 Sucesos Pr obabilidades PA SS Ind . S.Servicis P( SS ) , P( ) , SS PA SC Ind . S.Construc P( SC ) , P( ) , SC = ∈ = = = ∈ = = }

{

}

{

}

{

3 0 03 0 1 0 35 0 28 PA SP Ind . S.Pr imari P( SP ) , P( ) , SP PA SI Ind . S.Industrial P( SI ) , P( ) , SI

PA Ind .no trabaja P( PA )? PA PA PA P( PA ) P( SS ).P( ) P( SC ).P( ) PP( SP ).P( ) P( S SS SC SP = ∈ = = = ∈ = = = = + + + 0 5 0 816 0 12 0 3 0 03 0 1 0 35 0 28 0 23 23 PA I ).P( ) SI , x , , x , , x , , x , , % = = + + + = → Sol:

Una empresa que se dedica a la fabricación de CD’s, produce un 15% de defectuosos y dispone de tres líneas de producción. La línea A produce 1000 CD’s; la línea B, 1200 CD’s por hora y la línea C, 1250 CD’s por hora. Las proporciones de CD’s defectuosos en cada línea se desconocen. En un estudio sobre los CD’S defectuosos, se ha constatado que el 30%

proceden de la línea A y el 35% de la B. Señalar cuál/es de las siguientes afirmaciones es/son falsa/as. Justifica todas tus respuestas.

a) La proporción de CD’s defectuosos de la línea A es del 15.5%

b) La proporción de CD’s defectuosos de la línea B es del 15.1%

c) La proporción de CD’s defectuosos de la línea C es del 14.5%

d) La proporción de CD’s correctos y fabricados por la línea A es del 85%

Ejercicio 18

a) La proporción de CD’s defectuosos de la línea A es del 15,5%

}

{

}

{

0 15 1000 0 29 3450 A Sucesos Pr obabilidades D CD Defectuoso P( D ) , A CD fabricado L P( A ) , = = = = = }

{

}

{

0 3 1200 0 348 0 35 3450 1250 0 362 0 35 3450 0 15 0 3 0 B C A P( ) , D B B CD fabricado L P( B ) , P( ) , D C C CD fabricado L P( C ) , P( ) , D A P( D ).P( ) P( AD ) _D , x , D P( ) A _{P( A ) P( A ) ,} = = = = = = = = = = = = 0 1 29 = , 55 → 1 , %5 5 Sol:

Ejercicio 18

b) La proporción de CD’s defectuosos de la línea B es del 15,1%

}

{

}

{

0 15 1000 0 29 3450 A Sucesos Pr obabilidades D CD Defectuoso P( D ) , A CD fabricado L P( A ) , = = = = =

}

{

}

{

0 3 1200 0 348 0 35 3450 1250 0 362 0 35 3450 0 15 0 35 B C A P( ) , D B B CD fabricado L P( B ) , P( ) , D C C CD fabricado L P( C ) , P( ) , D B P( D ).P( ) P( BD ) _D , x , D P( ) = = = = = = = = = = = = = 0 151, → 15 1, % Sol:

Ejercicio 18

c) La proporción de CD’s defectuosos de la línea C es del 14,5%

}

{

}

{

0 15 1000 0 29 3450 A Sucesos Pr obabilidades D CD Defectuoso P( D ) , A CD fabricado L P( A ) , = = = = = }

{

}

{

0 3 1200 0 348 0 35 3450 1250 0 362 0 35 3450 B C A P( ) , D B B CD fabricado L P( B ) , P( ) , D C C CD fabricado L P( C ) , P( ) , D C P( D ).P( ) P( DC ) _D D P( ) C _{P( C ) P( C )} = = = = = = = = = = = 0 15 0 35 0 145 14 5 0 362 , % , x , , , = = → Sol:

Ejercicio 18

d) La proporción de CD’s correctos y fabricados por la línea A es del 85%

}

{

}

{

0 15 1000 0 29 3450 A Sucesos Pr obabilidades D CD Defectuoso P( D ) , A CD fabricado L P( A ) , P( = = = = =

}

{

}

{

0 3 1200 0 348 0 35 3450 1250 0 362 0 35 3450 0 29 1 0 155 0 29 0 845 0 2 B C A _{) ,} D B B CD fabricado L P( B ) , P( ) , D C C CD fabricado L P( C ) , P( ) , D D P( D.A ) P( A ). P( ) , .( , ) , x , , = = = = = = = = = = = − = = 45 → 24 5, % Sol:

Ejercicio 18

e) La proporción de CD’s correctos es del 85%

}

{

}

{

0 15 1000 0 29 3450 A Sucesos Pr obabilidades D CD Defectuso P( D ) , A CD fabricado L P( A ) , = = = = =

}

{

}

{

0 3 1200 0 348 0 35 3450 1250 0 362 0 35 3450 0 15 1 1 0 15 0 85 85 B C A P( ) , D B B CD fabricado L P( B ) , P( ) , D C C CD fabricado L P( C ) , P( ) , D P( D ) , P( D ) P( D ) , , % = = = = = = = = = = → = − = − = → Sol:

En un fábrica de montaje de chips se dispone de 3 máquinas distintas (M1, M2 y M3). La M1 monta a un ritmo de 200 chips/h y genera un 1% de chips defectuosos, la M2, monta a un ritmo de 300 chips/hora y produce un 2,5% de chips defectuosos, la M3 monta 500 chips/hora y genera un 2% de chips defectuosos.

• ¿A qué probabilidades condicionales corresponden los valores 1%, 2,5% y 2%?

• ¿Si las tres máquinas funcionan a pleno rendimiento, cuál será el porcentaje de chips defectuosos producidos en total?

En un proceso de fabricación de componentes electrónicos utilizan dos líneas de producción diferentes L1 y L2. La línea L2 tiene el doble de capacidad que la línea L1. Desgraciadamente ambas líneas producen componentes defectuosos. La línea L1 produce 0,2% de componentes defectuosos y la L2 0,5%.

a) Si las dos líneas de fabricación funcionan a pleno rendimiento, ¿qué porcentaje de componentes defectuosos se generan?

b) En cierto instante el proceso detecta un componente defectuoso,

¿cuál es la probabilidad de que el componente proceda de la línea L2?

Sol: a) 0,0024, b)0,83

c) ¿Cuál es el porcentaje de componentes correctos fabricados en total por las líneas L1 y L2? Sol: 0,996

d) ¿Cuál es la proporción de componentes defectuosos y fabricados por la línea L1? Sol: 0,0007

e) ¿Cuál es la proporción de componentes defectuosos y fabricados por la línea L2? Sol: 0,003

f) Se ha tomado al azar un componente y ha resultado correcto, ¿cuál es la probabilidad que proceda de la línea L1? Y de la línea L2? Sol: 0,334 y 0,665

Ejercicio 21

En cierta área de investigación hay dos empresas (A y B) que se dedican a proporcionar software. La empresa A proporciona el 60% mientras que la B suministra el 40% de la producción total del software específico. Por estudios realizados, se conoce que el 85% del software suministrado por la empresa A se ajusta a la normativa de calidad establecida, mientras que sólo el 65% del suministrado por la empresa B se ajusta a las normas.

Calcular la probabilidad de que cierto software lo haya proporcionado la empresa A si se sabe que se ajusta a las normas.

Probabilidad

Sucesos • Tipos y operaciones Probabilidad • Concepto • Propiedades

• Cálculo: Regla de Laplace

Independencia de sucesos Probabilidad condicional

Teorema de la Probabilidad Total Teorema de Bayes

Recuerda

Los sucesos complementarios (o contrarios) son siempre excluyentes, pero no todos los excluyentes son complementarios

Los sucesos excluyentes (incluido contrarios o complementario), NO son independientes y viceversa.

Glosario UD 3

Árbol de probabilidad Casos favorables

Casos posibles

Condicional (probabilidad)

Contrarios o complementarios (sucesos) Espacio muestral

Excluyentes (sucesos) Imposible (suceso)

Independientes (sucesos) Probabilidad

Producto o intersección (sucesos) Regla de Laplace

Seguro (suceso) Suceso

Fin

Fuentes: Romero y Zúnica: “Métodos Estadísticos en Ingeniería” | Instituto Nacional de Estadística (INE) | Martínez, Serra y Debón. Problemas de Introducción a la Estadística |Material docente de R. Alcover (DEIOAC - UPV) |Material docente de V. Giner (DEIOAC - UPV)

Elaborado por E. Vázquez (DEIOAC - UPV)

Estas transparencias NO son unos apuntes, son solo un guión de las explicaciones hechas en clase y algunos ejemplos adicionales.

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Probabilidad condicional http://setosa.io/conditional/

http://www.estadisticaparatodos.es/taller/montyhall/montyhall.html

Problema de Monty Hall http://youtu.be/s4Y7WcTesLM

21 Black Jack – Monty Hall http://youtu.be/AtFBwUyJJR0