Búsqueda de Rango Ortogonal

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Búsqueda de Rango Ortogonal

Pedro Reta Auraham Camacho

CINVESTAV-Tamaulipas

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1 Introducción

2 Búsqueda de Rango Ortogonal

3 Range Trees

4 Higher-Dimensional Range Trees

5 General Set of Points

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Introducción Consultas de Rango Ortogonal

Consultas de Rango Ortogonal

El material de la clase de hoy está basado en el capítulo 5 del siguiente libro:

Mark de Berg, Otfried Cheong, Marc van Kreveld and Mark Overmars. Computational Geometry: Algorithms and Applications. Springer, 3rd edition (April 16, 2008), ISBN-10: 3540779736.

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Consultas de Rango Ortogonal

A primera vista parece ser que las bases de datos tienen poca relación con geometría.

Sin embargo, muchos tipos de preguntas o queries pueden ser representados geométricamente.

Para este fin, se puede realizar la siguiente transformación: registros → puntos

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Consultas de Rango Ortogonal

Considere una base de datos para el manejo de personal. Se desea consultar a todos los empleados que:

Nacieron entre 1950 y 1955 Ganen entre $3 000 y $4 000

Para representar esto como un problema geométrico, representamos cada empleado como un punto en el plano. De esta forma, la consulta geométrica consiste en reportar todos los puntos en el plano que cumplan los criterios anteriores.

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Consultas de Rango Ortogonal

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Consultas de Rango Ortogonal

Ahora, considere agregar otro criterio de búsqueda, el número de hijos por empleado.

Se desea consultar a todos los empleados que:

Nacieron entre 1950 y 1955 Ganen entre $3 000 y $4 000 Tengan entre 1 y 2 hijos.

Para representar esto como un problema geométrico,

representamos cada empleado como un punto en el espacio. De esta forma, la consulta geométrica consiste en reportar todos los puntos en el espacio que cumplan los criterios anteriores.

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Consultas de Rango Ortogonal

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Consultas de Rango Ortogonal

En general, si estamos interesados en responder consultas sobre d campos de un registro se debe efectuar la siguiente

transformación:

registros → puntos en un espacio d-dimensional De igual forma, una consulta sobre registros se tranforma a una consulta sobre puntos que se encuentran dentro de una caja paralela a los ejes de un espacio d-dimensional.

A este tipo de consultas se les conoce como consultas de rango rectangular o consultas de rango ortogonal en geometría

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Búsqueda de Rango Ortogonal Búsqueda de Rango 1-Dimensional

Búsqueda de Rango 1-Dimensional Ejemplo

Nodo de bifurcación vsplit

Algoritmo 1DRangeQuery Kd-Trees

Algoritmo BuildKdTree Complejidad

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Búsqueda de Rango 1-Dimensional

Antes de analizar búsquedas en 2 dimensiones o más, veamos el caso 1-dimensional.

Los datos serán representados como un conjunto P de puntos en un espacio 1-dimensional, es decir, números reales sobre la recta.

P = {p1,p2, ...,pn}

Una consulta reporta los puntos dentro de un rectángulo 1-dimensional, es decir, un intervalo [x : x0].

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Búsqueda de Rango 1-Dimensional

Es posible resolver el problema de búsqueda 1-dimensional usando un árbol de búsqueda balanceado T donde:

Los nodos hoja representan los puntos de P

Los nodos internos representan valores de división para guiar la búsqueda.

Denotamos el valor de división almacenado en el nodo v como xv.

Asumimos que el subárbol a la izquierda de v contiene valores menores o iguales a v y que el subárbol a la derecha de v contiene valores mayores a v.

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Búsqueda de Rango 1-Dimensional

Para reportar todos los puntos en una búsqueda de rango [x : x0]se

procede como sigue.

Sean µ y µ0los nodos hoja en donde termina la búsqueda

Entonces, los puntos en el intervalo [x : x0]son aquellas hojas entre

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Búsqueda de Rango Ortogonal Ejemplo

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Ejemplo

Se desean conocer los puntos en el rango [18 : 77] dentro de un árbol.

Estos puntos serán nodos hoja que pertencen a ciertos subárboles (gris oscuro) en el camino de búsqueda (gris claro).

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Ejemplo

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Ejemplo

Por lo tanto, se deben realizar dos tareas:

Encontrar un nodo de bifurcación vsplitque divida el camino de búsqueda (color verde).

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Búsqueda de Rango Ortogonal Nodo de bifurcación vsplit

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Nodo de bifurcación v

split

Sean lc(v) y lr(v) los hijos a la izquierda y derecha, respectivamente, de un nodo v.

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Nodo de bifurcación v

split

Require: Un árbol T y dos valores x y x0_{donde x ≤ x}0_.

Ensure: El nodo v donde las ramas hacia x y x0_{se dividen o la hoja donde ambas ramas} terminan.

functionFINDSPLITNONE(T , x, x0₎ v ← root(T )

while vno es hoja and (x0_{≤ x or x > x} v)do if x0≤ x then v ← lc(v) else v ← lr(v) return v

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Búsqueda de Rango Ortogonal Algoritmo 1DRangeQuery

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Algoritmo 1DRangeQuery

Enseguida, hace falta reportar aquellos puntos que se encuentran dentro del rango establecido.

Para esto, hacemos uso de vsplitpara guiar la búsqueda.

El siguiente algoritmo realiza el recorrido por la izquierda del árbol, siendo similar para la búsqueda por la derecha.

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Algoritmo 1DRangeQuery

Require: Un árbol T y dos valores x y x0donde x ≤ x0.

Ensure: El nodo v donde las ramas hacia x y x0_{se dividen o la hoja donde ambas ramas} terminan.

function1DRANGEQUERY(T , [x : x0_]) vsplit← FINDSPLITNODE(T , x, x0)) if vsplites hoja then

Verificar si vsplitse debe reportar else

v ← lc(vsplit)

while vno sea hoja do if x ≤ xvthen

ReportSubtree(rc(v)) v ← lc(v)

else v ← rc(v)

Verificar si vsplitse debe reportar Similarmente, recorrer el camnio hacia x0 Reportar los puntos en los subárboles izquierdos

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Algoritmo 1DRangeQuery

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Algoritmo 1DRangeQuery

v x ≤ xv

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Algoritmo 1DRangeQuery

v x ≤ xv

23 18 ≤ 23

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Algoritmo 1DRangeQuery

v x ≤ xv 23 18 ≤ 23 10 18 10 19 18 ≤ 19

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Algoritmo 1DRangeQuery

v x ≤ xv 23 18 ≤ 23 10 18 10 19 18 ≤ 19 23 18 ≤ 23

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Búsqueda de Rango Ortogonal Kd-Trees

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Kd-Trees

Ahora revisemos el caso 2D.

Sea P un conjunto de n puntos en el plano. Se asume que los puntos están en posición general.

Una consulta de rango rectangular 2-dimensional sobre P reporta aquellos puntos dentro del rectángulo formado por

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Kd-Trees

Un punto p = (px,py)se encuentra dentro de [x : x0] × [y : y0]si y

sólo si:

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Kd-Trees

En el caso 1-dimensional el árbol binario de búsqueda se crea a partir de un solo valor, la coordenada x.

En el caso 2-dimensional este árbol se debe crear considerando dos coordenadas.

Una forma de crear el árbol consiste en dividir el plano en subconjuntos (mitades) sucesivamente. El procedimiento es el siguiente.

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Kd-Trees

Se divide el conjunto P en dos subconjuntos de aproximadamente el mismo tamaño con una línea l, la cual se almacena en la raíz de T .

Se obtienen dos subconjuntos:

Pleftcontiene aquellos puntos a la izquierda o sobre l Prightcontiene aquellos puntos a la derecha de l

Enseguida, se divide de nuevo los conjuntos anteriores, pero ahora con una línea horizontal.

A medida que se dividen los subconjuntos, aumenta el nivel de profundidad el cual llamaremos depth. Veamos un ejemplo.

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Kd-Trees

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Kd-Trees

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Kd-Trees

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Kd-Trees

En general, la división del plano se realiza de esta manera:

Se divide con una línea vertical si la profundidad es par Se divide con una línea horizontal si la profundidad es impar

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Kd-Trees

A un árbol como este se le conoce como árbol-kd o kd-tree.

Es posible crear un árbol-kd a partir de un conjunto de puntos P y un nivel de profundidad o recursión.

El nivel de profundidad será de utilidad para determinar si se debe dividir a P con una línea horizontal o vertical.

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Búsqueda de Rango Ortogonal Algoritmo BuildKdTree

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Algoritmo BuildKdTree

A continuación se muestra el algoritmo para la creación de un árbol-kd.

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Algoritmo BuildKdTree

Require: Un conjunto de puntos P y una profundidad depth Ensure: La raíz de un árbol-kd almacenando P

functionBUILDKDTREE(P, depth) if Pcontiene sólo un punto then

returnuna hoja con este punto else

if depthes par then

Dividir P en dos subconjuntos con una línea vertical l Sea P1el conjunto de puntos a la izquierda o en l Sea P2el conjunto de puntos a la derecha de l else

Dividir P en dos subconjuntos con una línea horizontal l Sea P1el conjunto de puntos abajo o en l

Sea P2el conjunto de puntos arriba de l vleft← BUILDKDTREE(P1,depth + 1) vright← BUILDKDTREE(P2,depth + 1) Crear un nodo v que almacene l Colocar vlefta la izquierda de v Colocar vrighta la derecha de v return v

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Búsqueda de Rango Ortogonal Complejidad

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Complejidad

Existen básicamente dos tareas relevantes en el algoritmo:

División del conjuntoconsiste en dividir P en P1y P2a partir de

la mediana. Si P se encuentra ordenado el proceso de encontrar el punto de división será más simple. Esto tomará un tiempo

O(n log(n)).

Unión de resultadosconsiste en agregar los subárboles vlefty

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Complejidad

Por lo tanto, la complejidad del algoritmo se resume a la siguiente relación de recurrencia:

T(n) = (

O(1) if n = 1

O(n) + 2T(dn₂e) if n > 1.

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Búsqueda de Rango Ortogonal Región de un nodo

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Región de un nodo

La región correspondiente a un nodo v es un rectángulo, el cual puede ser abierto en uno o más lados.

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Región de un nodo

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Range Trees Búsquedas de rango rectangular

3 Range Trees

Búsquedas de rango rectangular Subconjuntos canónicos

Construcción Consultas

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Búsquedas de rango rectangular

En la sección anterior describimos los árboles Kd, los cuales tienen

un tiempo de consulta O(√n + k). Cuando el número de puntos

reportados es pequeño, el tiempo de consulta es relativamente alto.

En esta sección describiremos otra estructura de datos para búsquedas en rangos rectangulares, llamada range tree. Tiene un

mejor tiempo de consulta, acotado por O(log n2+k), pero el

precio a pagar es un incremento en el almacenamiento de O(n) (para los árboles Kd) a O(n log n).

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Búsquedas de rango rectangular

Sea P un conjunto de n puntos en el plano el cual queremos ejecutar búsquedas de rango rectangular. Definamos el rango de búsqueda como

[x : x0] × [y : y0]

Nos concentraremos en encontrar primero los puntos cuya

coordenada x estén en [x : x0], y no nos preocuparemos por la

coordenada y después.

Si sólo nos preocupamos por la coordenada x, entonces la búsqueda se reduce a una búsqueda de rango 1-dimensional. Como ya sabemos, para proceder con esta búsqueda basta una búsqueda binaria.

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Búsquedas de rango rectangular

Nuestro algoritmo de búsqueda procedía de la manera siguiente:

Buscamos con x y x0en el árbol hasta encontrar un nodo vsplitdonde la ruta de búsqueda se bifurque.

Desde el hijo izquierdo de vsplitcontinuamos la búsqueda con x, y en cada nodo v donde la ruta de búsqueda de x siga hacia la izquierda, reportamos todos los puntos en el subárbol izquierdo de v.

De manera similar, continuamos la búsqueda con x0_{en el hijo} derecho de vsplit, y en cada nodo v donde la ruta de búsqueda de x0 siga a la derecha, reportamos todos los puntos en el subárbol izquierdo de v.

Finalmente, evaluamos las hojas µ y µ0donde las dos rutas terminan para ver si contienen un punto en el rango. En efecto seleccionamos una colección de O(log n) subárboles que juntos contienen exactamente los puntos cuya coordenada x cae dentro del rango de la búsqueda.

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Búsquedas de rango rectangular

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Range Trees Subconjuntos canónicos

3 Range Trees

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Range Trees Subconjuntos canónicos

Subconjuntos canónicos

Llamaremos subconjunto canónico de v al subconjunto de puntos guardados en las hojas del del subárbol con raíz v. Podemos decir entonces que el subconjunto canónico de la raíz del árbol es el conjunto P y que el subconjunto canónico de una hoja es el punto guardado en esa hoja.

Denotamos el subconjunto canónico de v como P(v).

Usando este nuevo concepto podemos decir que el subconjunto de puntos cuya coordenada x cae en un rango de búsqueda puede ser expresado como la unión disjunta de O(log n) subconjuntos canónicos.

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Range Trees Construcción

3 Range Trees

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Construcción

No estamos interesados en todos los puntos de tal subconjunto canónico P(v), sólo queremos reportar aquellos cuya coordenada y cae dentro del intervalo [y : y0].

Lo anterior nos lleva a definir la siguiente estructura de datos para búsquedas en rangos rectangulares en un conjunto P de n puntos en el plano:

El árbol principal es un árbol binario balanceado T construido sobre la coordenada x de los puntos en P.

Para cualquier nodo interno u hoja v en T , el subconjunto canónico P(v) es guardado en un árbol binario balanceado Tassoc(v) en la coordenada y de los puntos. El nodo v guarda un puntero a la raíz de Tassoc(v), el cual es llamado la estructura asociada de v.

Esta estructura de datos es llamada range tree. La siguiente figura ilustra un range tree.

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Construcción

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Construcción

Aquellas estructuras donde los nodos tienen punteros a

estructuras asociadas, son llamadas a menudo estructuras de datos multi-nivel. El árbol principal es entonces llamado el árbol de primer nivel, y las estructuras asociadas son árboles de segundo nivel. Para la construcción de un range tree puede usarse el siguiente algoritmo recursivo, que recibe como entrada un conjunto

P := {p1, ...,pn} de puntos ordenados en su coordenada x y

regresa la raíz de un range tree 2-dimensional T de P. Asumiremos posición general.

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Construcción

Lemma

Un range tree en un conjunto de n puntos en el plano requiere O(n log n) de almacenamiento.

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Construcción

Comprobación

Un punto p en P es almacenado sólo en la estructura asociada de nodos en la ruta en T hacia la hoja que contiene p. Por lo tanto, para todos los nodos a una profundidad dada de T , el punto p es guardado en exactamente una estructura asociada.

Dado que los range trees 1-dimensionales usan almacenamiento lineal podemos decir que las estructuras asociadas a todos los nodos de cualquier profundidad de T juntos usan O(n) de almacenamiento. La profundidad de T es O(log n). De ahí es que la cantidad total de almacenamiento requerida esta acotada por O(n log n)

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Construcción

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Range Trees Consultas

3 Range Trees

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Consultas

El algoritmo de consulta primero selecciona O(log n)

subconjuntos canónicos que juntos contienen los puntos cuya

coordenada x cae dentro del rango [x : x0].

De esos puntos reportamos entonces los puntos cuya coordenada y cae en el rango [y : y0].

Dado a que para las dos búsquedas podemos usar el algoritmo de búsqueda en una dimensión, este algoritmo es virtualmente el mismo; la única diferencia es el reemplazo de las llamadas a REPORTSUBTREE por las llamadas a 1DRANGEQUERY.

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Consultas

Lemma

Una consulta con un rectángulo de ejes paralelos en un range tree

almacenando n puntos toma tiempo O(log2n + k), donde k es el

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Consultas

Comprobación

En cada nodo v del árbol principal T usamos tiempo constante para decidir dónde continúa la ruta de búsqueda, y posiblemente llamemos a 1DRANGEQUERY. El tiempo que toma esta llamada recursiva es

O(log n + kv), donde kves el número de puntos reportados en esta

llamada. Por lo tanto, el tiempo total puede ser expresado por, X

v

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Consultas

Teorema

Sea P un conjunto de n puntos en el plano. Un range tree para P usa un almacenamiento O(n log n) y puede ser construido en tiempo

O(n log n). Al hacer una consulta en este range tree se pueden reportar los puntos en P que caen en un rango de búsqueda rectangular en

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Higher-Dimensional Range Trees Construcción

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Construcción

Sea P un conjunto de puntos en un espacio d-dimensional. Construimos un árbol binario balanceado en la primera coordenada de los puntos. El subconjunto canónico P(v) de un nodo v en el primer nivel, consiste de los puntos almacenados en las hojas del subárbol con raíz v. Para cada nodo v construimos

una estructura asociada Tassoc(v); el árbol de segundo nivel Tassoces

un range tree (d − 1)-dimensional para los puntos en P(v), restringidos a su últimas d − 1 coordenadas.

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Construcción

El range tree (d − 1)-dimensional es construido recursivamente de la misma forma: es un árbol binario balanceado en la segunda coordenada de los puntos, en el que cada nodo tiene un puntero a un range tree (d − 2)-dimensional de puntos en su subárbol, restringido hasta las últimas (d − 2) coordenadas.

La recurrencia se detiene cuando quedan sólo puntos restringidos a su última coordenada y son guardados en un range tree

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Construcción

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Higher-Dimensional Range Trees Consultas

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Consultas

El algoritmo de consulta es muy similar al caso 2-dimensional. Usamos el árbol de primer nivel para localizar O(log n) nodos cuyos subconjuntos canónicos contienen juntos todos los puntos cuyas primeras coordenadas caen dentro del rango correcto. Esos subconjuntos son consultados posteriormente, haciendo una búsqueda de rango en las estructuras de segundo nivel correspondientes.

En cada estructura de segundo nivel, seleccionamos O(log n)

subconjuntos canónicos. Esto significa que hay O(log2n)

subconjuntos canónicos en las estructuras de segundo nivel en total. Juntos, contienen todos los puntos cuya primera y segunda coordenada caen dentro de los rangos correctos.

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Consultas

Las estructuras de tercer nivel son consultadas con el rango para la tercera coordenada y así sucesivamente, hasta llegar a los árboles 1-dimensionales. En ellos encontramos los puntos cuya última coordenada cae dentro del rango correcto y los reportamos.

Teorema

Sea P un conjunto de n puntos en un espacio d-dimensional, donde

d ≥ 2. Un range tree para P usa almacenamiento O(n logd−1n) y puede

ser construido en tiempo O(n logd−1n). Se pueden reportar los puntos

en P que caen en una búsqueda de rango rectangular en tiempo

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General Set of Points

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Hasta ahora se ha asumido que ningún par de puntos tienen coordenadas x o y iguales, lo cual no es nada realista. Pero esto es relativamente fácil de remediar.

Si reemplazamos las coordenadas, las cuales son números reales, por elementos del espacio de números compuestos. Los elementos de dicho espacio son pares de reales. El número compuesto de dos reales a y b se denota por (a|b). Definimos entonces un orden total en el espacio de números compuestos usando un orden

lexicográfico, de tal forma que para dos números compuestos (a|b) y (a0|b0_{), tenemos}

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Asumimos un conjunto P de n puntos en el plano. Los puntos son distintos pero muchos tienen la misma coordenada x o y.

Reemplazamos cada punto p := (px,py)por un nuevo punto

ˆ

p := ((px|py), (py|px)).

De esta forma obtenemos el conjunto ˆP de n puntos. La primera

coordenada de cualesquiera dos puntos en ˆP son distintas, lo

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Si suponemos que queremos reportar los puntos de P que caen dentro del rango R := [x : x0] × [y : y0]. Para este fin, debemos

consultar el árbol que se construya para ˆP. Esto significa que

también tenemos que transformar el rango. El rango

transformado ˆR es definido como sigue:

ˆ

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Lemma

Sea p un punto y R un rango rectangular. Entonces: p ∈ R ⇔ ˆp ∈ ˆR

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Demostración

Sea R := [x : x0] × [y : y0]y sea p := (px,py). Por definición p cae en R si

y sólo si x ≤ px≤ x0y y ≤ py ≤ y0. Esto es evidente si y sólo si

(x| − ∞) ≤ (px|py) ≤ (x0| + ∞) y (y| − ∞) ≤ (py|px) ≤ (y0| + ∞), esto es,

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Fractional Cascading

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Si retomamos el concepto de range tree, recordamos que el tiempo

de búsqueda en una de las estructuras Tassoc(v) es una búsqueda

de rango 1-dimensional la cual toma tiempo O(log n + kv)donde

kves el número de puntos reportados. Por lo tanto el tiempo total

de la búsqueda en el árbol 2-dimensional es O(log2n + k).

Si pudiésemos buscar en las estructuras asociadas en un tiempo

O(1 + kv), podríamos reducir el tiempo total a O(log n + k).

En general no es posible responder a una búsqueda 1-dimensional en tiempo O(1 + k), con k el número de respuestas.

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La ventaja que se tiene es que en una búsqueda d-dimensional se incluyen muchas búsquedas 1-dimensionales con el mismo rango y podemos usar el resultado de una para acelerar las otras.

Ilustrando, sean S1y S2dos conjuntos de objetos, donde cada

objeto tiene una llave que es un número real. Esos objetos están

guardados en arreglos A1y A2.

Supongamos que queremos reportar todos los objetos de S1y S2

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Hacemos una búsqueda binaria con y en A1para encontrar la

llave mas pequeña más grande o igual que y. Desde ese punto caminamos en el arreglo hacia la derecha reportando todos los

objetos, hasta encontrar una llave mayor que y0.

Los objetos de S2pueden ser reportados de manera similar. Por lo

tanto el tiempo de consulta sería O(k) mas el tiempo por las dos

consultas binarias, en A1y A2

Sin embargo, si las llaves de los objetos en S2son un subconjunto

de las llaves de los objetos de S1, podríamos evadir la segunda

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Si añadimos punteros desde las entradas en A1a las entradas en

A2: si A1[i] guarda un objeto con una llave yi, entonces guardamos

un puntero a la entrada en A2con la llave mas pequeña, mayor o

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Para buscar los puntos en el intervalo [y : y0]

Para reportar los objetos en S1se procede de la misma forma: una

búsqueda binaria en A1.

Para reportar los objetos de S2, buscamos y en A1para terminar en

A1[i]. Como la llave de esa entrada es la más pequeña en S1que es

mayor o igual que y y como las llaves de S2son un subconjunto de

las llaves en S1, significa que el puntero de A1[i] debe apuntar

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Por lo tanto, podemos seguir este puntero y desde ahí empezar a

caminar a la derecha en A2.

De esta forma la búsqueda binaria en A2es evitada, y reportar los

objetos de S2sólo toma tiempo O(1 + k), con k el número de

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Regresando a los range trees, la observación crucial que debemos hacer es que existen subconjuntos canónicos P(lc(v)) y P(rc(v)) ambos subconjuntos de P(v). Por lo que podemos usar la misma idea para acelerar la búsqueda. La implementación requiere unas pocas observaciones

Sea T un range tree con un conjunto P de n puntos en el plano Cada subconjunto canónico es almacenado en una estructura asociada, pero en vez de usar un arbol binario como estructura, usaremos un arreglo A(v)

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Cada entrada en un arreglo A(v) guarda dos punteros: uno a A(lc(v)) y otro hacia A(rc(v)).

De manera más precisa, añadimos los siguientes punteros. Supongamos que A(v)[i] guarda un punto p.

Guardamos un puntero de A(v)[i] a la entrada de A(lc(v)) tal que la coordenada y del punto p0guardado ahí, sea la más pequeña mayor o igual a py.

El puntero hacia A(rc(v)) es definido de la misma forma, apunta a la entrada tal que la coordenada y del punto guardado ahí sea la más chica mayor o igual que py.

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Esta versión modificada del range tree es llamada layered range tree.

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Figura:El árbol principal de un layered range tree: las hojas sólo muestran las coordenadas x

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Figura:Los arreglos asociados con los nodos del árbol principal, con la coordenada y de los subconjuntos canónicos en orden

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Ahora veamos cómo responder a una búsqueda en un rango [x : x0] × [y : y0]en un árbol de este tipo.

Como ya vimos, buscamos con x y x0en el árbol principal T para

determinar O(log n) nodos que juntos contienen los puntos cuyas

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Tales nodos se encuentran de la siguiente manera:

Sea vsplitel nodo donde las dos rutas se parten

Los nodos que nos interesan son los que están por debajo de vsplit En vsplitencontramos la entrada en A(vsplit)cuya coordenada y es la menor, mayor o igual que y, esto se puede encontrar en tiempo O(log n) con búsqueda binaria

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Mientras seguimos buscando en con x y x0 en el árbol principal,

vamos tomando registro de la entrada en los arreglos asociados cuya coordenada y es la menor, mayor o igual a y

Esto puede mantenerse en tiempo constante siguiendo los punteros guardados en los arreglos

Ahora, sea v uno de los O(log n) nodos que seleccionamos.

Debemos reportar los puntos guardados en A(v) cuya coordenada y caiga en el rango [y : y0]

Para esto basta encontrar el punto con la menor coordenada y, mayor o igual a y para después caminar a la derecha del arreglo reportando los puntos mientras su coordenada y sea menor o igual que y0

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Por lo tanto, podemos reportar los puntos de A(v) cuya

coordenada y esté en el rango [y : y0]en tiempo O(1 + kv), donde

kves el número de puntos reportados en el nodo v

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Teorema

Sea P un conjunto de n puntos en un espacio d-dimensional, donde

d ≥ 2. Un layered range tree para P usa almacenamiento O(n logd−1n)

y puede ser construido en tiempo O(n logd−1n). Con este árbol

podemos reportar los puntos de P que caen en un rango rectangular en