El conectivo XOR y la diferencia simétrica

El

conectivo XOR

y la

diferencia sim´

etrica

de

conjuntos

Memo Garro

Enero 2018

Resumen

Definimos la diferencia sim´etrica usual de conjuntos 4 mediante el conec-tivo XOR Y. Tambi´en conocido comunmente como disyunci´on exclusiva. Probamos que 4es una operaci´on asociativa a partir de la misma propiedad de Y. Estimamos que vale la pena hacer la prueba de la propiedad asocia-tiva de 4mediante este camino basado puramente en la l´ogica propocional, puesto que, aun cuando en la literatura hay diversas pruebas, todas ellas pare-cen algo menos simples de lo que hacemos aqu´ı. Sirva este texto adem´as como un ejemplo de escritura con LA_TEX.

´_Indice

L´ogica proposicional y ´algebra de conjuntos . . . 1

Propiedades de los conectivos_ y^ . . . 4

Propiedades de los conectivosñ yô . . . 5

El conectivoXOR:Y . . . 6

La diferencia sim´etrica de conjuntos . . . 8

L´

ogica proposicional y ´

algebra de conjuntos

Recordemos que las operaciones elementales del ´algebra de conjuntos: uni´on

Y

X

definidos por

A

_Y

A

X

N

La interpretaci´on mediante diagramas de Venn es t´ıpicamente como se muestra en la figura.

A B

X

A

Y

A B

X

A

X

Uni´on e intersecci´on de los subconjuntos AyB.

El complemento y la diferencia de conjuntos se definen de forma similar.

Definici´on 2. Sean A y B subconjuntos de un conjunto X. El complemento de A es el conjunto

Ac:“ txPX :xRAu. Ladiferencia de A y B es el conjunto

AzB :“ txPX :xPA^xRBu.

Es usual escribir

AzB “ txPA:xRBu.

N

La figura siguiente muestra los diagramas de Venn para estas operaciones.

X

A

Ac

A B

X

AzB

El complemento deA,Ac_{; y la diferencia de AmenosB,A}

Observaci´on 1. Note que

Ac “XzA. Y por otra parte,

AzB “A

X

El estudiante deber´ıa ser capaz de probar estas afirmaciones. _N

Observaci´on 2. Conviene precisar qu´e sentido damos al s´ımboloR. Rigurosomante,

cuando escribimos

xRA

queremos decir

pxPAq

donde es el s´ımbolo para la negaci´on l´ogica. _N

En consecuencia, como bien sabemos, las propiedades del ´algebra de conjuntos dependen de las propiedades l´ogicas de _ y ^. As´ı que lo primero que haremos en

estas notas ser´a revisar algunas de las propiedades l´ogicas de tales conectivos. Pero para poder hacer un s´ıntesis completa de la l´ogica proposicional es necesario ocupar otros dos de los conectivos usales: la implicaci´on (o condicional)ñ, y la doble

implicaci´on (bicondicional o equivalencia): ô. Por lo que tambi´en revisaremos

brevemente estos conectivos.

Primero recordemos las tablas de valores de verdad que definen a estos cuatro conectivos:

p q p_q p^q pñq pôq

1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 0 0

0 1 1 0 1 0

0 0 0 0 1 1

Observamos que la disyunci´on_ es verdadera (con valor de verdad 1) si y s´olo si, al menos uno de los valores de verdad de sus proposiciones componentes es verdadera. En cambio, la conjunci´on^es verdadera si y s´olo si, ambas componentes son verdaderas.

La tabla de ñ nos dice que, en cuanto a la l´ogica propocional se refiere, una relaci´on condicional es falsa (valor de verdad 0) si y s´olo si, el antecedente es ver-dadera (valor 1) y el concecuente falso (valor 0). Mientras que el bicondicional es verdadero (valor 1) si y s´olo si, las proposiciones componentes tienen el mismo valor de verdad.

Por ´ultimo, la negaci´on: , est´a definida mediante la tabla p p

1 0 0 1

Propiedades de los conectivos

_

y

^

El conectivo_ esasociativo. Esto es, las proposiciones

p_ pq_rq y pq_pq _r

son l´ogicamente equivalentes. Y lo que queremos decir con esta ´ultima frase es que la proposici´on

rp_ pq_rqs ô rpp_qq _rs (1) es siempre verdadera (valor 1), independientemente de los valores de verdad de las componentesp, q y r.

Para comprobarlo es suficiente hacer la tabla de valores de verdad:

p q r [ p _ ( q _ r )] ô[( p _ q ) _ r ]

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1 1

1 0 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 0 1

0 0 0 0 0 1 0 0

As´ı es como comprobamos, fehacientemente, que la proposici´on (1) es siempre ver-dadera sin importar los valores de sus componentes.

Aunque laborioso, hacer una tabla es un m´etodo que nos proporciona con toda certeza cu´ales son los valores de verdad de cualquier proposici´on compuesta (i.e. aquella que est´a formada a partir de otras proposiciones mediante conectivos).

Una proposici´on compuesta cuyos valores de verdad no dependen de sus com-ponentes se llamaley l´ogicao tautolog´ıa. Una equivalencia es un caso particular de ley l´ogica. El estudiante recordar´a de sus cursos b´asicos que, cuando una ley l´ogica involucra el condicionalñ, entonces hablamos de una reglao ley de inferencia. Los

modelos cl´asicos de razonamientos modus ponens y modus tollens, son ejemplos de reglas de inferencia de uso cotidiano en las matem´aticas.

Usualmente ocupamos el s´ımbolo ” para denotar que dos proposiciones son

equivalentes. Por ejemplo, para decir que (1) es siempre verdadera, simplemente escribimos

p_ pq_rq ” pp_qq _r.

Enunciamos en seguida algunas de las propiedades de _ y ^, las cuales puede comprobar el estudiante usando tablas.

Leyes conmutativas

(i) p_q”q_p. (ii) p^q”q^p.

Leyes asociativas

(i) p_ pq_rq ” pp_qq _r. (ii) p^ pq^rq ” pp^qq ^r.

Leyes distributivas

(i) p_ pq^rq ” pp^qq _ pp^rq.

(ii) p^ pq_rq ” pp^qq _ pp^r. Leyes de De Morgan

(i) pp_qq ” p^ q.

(ii) pp^qq ” p_ q.

Idempotencia

p” p.

Propiedades de los conectivos

ñ

y

ô

El condicional tiene una equivalencia fundamental:

pñq” pp^ qq (2)

La cual, como antes, podemos comprobar con una tabla:

p q q ( p ñ q )ô ( p ^ q )

1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0

De aqu´ı podemos derivar otra equivalencia del condicional:

Para comprobarla, en lugar de hacer una tabla, usamos otras equivalencia ya enun-ciadas y la equivalencia (2), del modo siguiente:

pñq ” pp^ qq (es la equivalencia (2) ya probada)

” p_ q (es una ley de De Morgan)

” p_q (idempotencia de la negaci´on)

De donde concluimos la equivalencia (3). Desde luego tambi´en podr´ıamos hacer una tabla para llegar a la misma conclusi´on. Aunque eso ser´ıa m´as aburrido.

Conviene hacer un peque˜no comentario antes de seguir. Observe que el ´ultimo paso ha consistido en remplazar q por su equivalente, que es q misma. Reem-plazar una proposici´on por una proposici´on equivalente dentro de cualquier poposici´on compuesta, est´a perfectamente permitido, puesto que cualesquiera dos propopociones equivalentes tienen, por definici´on, la misma tabla de valores de verdad. Por otro lado, observe que la ralaci´on de equivalencia ”estransitiva, esto es, si dos proposi-ciones son equivalentes a una tercera, entonces aquellas son equivalentes. De ah´ı que la conlusi´on de todo el procedimiento anterior es justamente la equivalencia (3).

Por otra parte, el bicondicional tiene una representaci´on equivalente en t´erminos del condicional y la disyuci´on:

pôq” ppñqq ^ pqñpq. (4) Si esta equivalencia no resulta obvia, al menos deber ser intuitivamente clara. Como sea, podemos comprobar su validez con una tabla:

p q ( p ô q )ô [(p ñ q ) ^ (q ñ p)]

1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

0 1 0 1 1 0 0

0 0 1 1 1 1 1

El conectivo

XOR

:

Y

Existe una operaci´on l´ogica (conectivo) que generalmente en los cursos de la facultad, no se expone dentro de las operaciones l´ogicas b´asicas. Se trata de la disyunci´on excluyente, denotada por Y. Tambi´en conocida en ingl´es como XOR, como una especie de abreviatura de exclusive or. La tabla de valores que define aY es c´omo sigue:

Observe entonces que la disyunci´on excluyente es verdadera (valor 1) si y s´olo si, una y solamente una de sus componentes es verdadera (valor 1).

Este conectivo tiene la cualidad de aproximarse un poco m´as a los usos comunes del conjuntivo disyuntivo “o”. Cuando decimos Hoy viene Juan o viene Pedro a la ecuela, generalmente (aunque no siempre) queremos decir que hoy vendr´a Juan a la escuela, o bien vendr´a Pedro, pero (quiz´a) no esperamos que vengan ambos. Esto es parecido a la idea de la definici´on de Y: la verdad de una de las proposiciones componentes excluye la verdad de la otra. Se explicar as´ı su nombreXOR.

Ahora bien, si comparamos las respectivas tablas, oservamos que Y se obtiene de negar ô. Esto es,

pYq ” ppôqq. (5) Esta equivalencia nos permite derivar, sin hacer tablas, otra equivalencia funda-mental:

pYq ” pp^ qq _ pq^ pq. (6)

Para ello procedemos as´ı:

pYq” ppôqq (equivalencia (5) ya justificada)

” rppñqq ^ pqñqqs (equivalencia (4) del bicondicional)

” r pp^ qq ^ pq^ pqs (equivalencia (2) del condicional)

” pp^ qq _ pq^ pq (ley de De Morgan)

” pp^ qq _ pq^ pq (idempotencia de ).

Por supuesto, si a´un somos incr´edulos, podemos hacer una tabla para comprobar la validez de (6).

Por otra parte, podemos decir que XOR es un conectivo bien portado. Ello es porqueY es conmutativo y asociativo. Esto es,

pYq”qYp y pYpqYrq ” ppYqqYr.

F´acilmente (aunque laborioso) podemos comprobar estas equivalencias con tablas:

p q ( p Y q )ô (q Y p )

1 1 0 1 0

1 0 1 1 1

0 1 1 1 1

0 0 0 1 0

p q r [ p Y ( q Y r )]ô [ ( p Yq ) Y r]

1 1 1 1 0 1 0 1

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 1 1 0

1 0 0 1 0 1 1 1

0 1 1 0 0 1 1 0

0 1 0 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 0 1

0 0 0 0 0 1 0 0

La diferencia sim´

etrica de conjuntos

Usualmente, en los cursos b´asicos de la facultad, se define la diferencia de conjuntos del modo siguiente:

Definici´on 3. SeanAyBsubconjuntos de un conjuntoX. Ladiferencia sim´etrica

deA y B es el subconjunto de X dado por

A4B :“ pAzBq

Y

N

El diagrama de Venn es como se muestra en la figura.

A B

X

A4B

Diferencia sim´etrica de los subconjuntos AyB

Generalmente se prueba una forma alternativa de la diferencia sim´etrica que enunciamos continuaci´on.

Teorema 1. Sean A y B subconjuntos de un conjunto X. Entonces

A4B “ pA

Y

X

Se puede encontrar una prueba en las notas de Teor´ıa de Conjuntos que se encuentran en la p´agina del curso.

Vamos a probar queA4B se puede poner en t´erminos de Y

Teorema 2. Sean A y B subconjuntos de un conjunto X. Entonces

A4B “ txPX :xPAYxPBu.

Observaci´on 3. Desde luego esta igualdad es intuitivamente cierta. Basta comparar la definici´on de 4 (y su diagrama de Venn) y la descripcion de Y dada por la

equivalencia (6). _N

generalmente tiene la forma de equivalencias o condicionales sucesivos, los cuales se deducen jer´arquicamente en orden descendente, y cuya validez se justifica a partir de la l´ogica propocional (o de otros resutltados ya probados).

Sea pues xPX (fijo y arbitrario∗). Se cumple,

xPA4B ôxPAzB_xP BzA (definici´on deA4B)

ô pxP A^xR Bq _ pxPB ^xRAq (definici´on deAzB yBzA)

ô rxPA^ pxPBqs _ rxPB ^ pxPAqs (definici´on dexRAyxRB)

ôxPAYB (equivalencia (6) deY).

Lo que prueba en efecto la igualdad del teorema.

Finalmente enunciamos el resultado que dio motivo a estas notas.

Teorema 3. La diferencia de conjuntos4es asociativa. Esto es, dados dos

subcon-juntosA, B y C de un conjunto X,

A4pB4Cq “ pA4Bq4C.

Demostraci´on. El m´etodo de la prueba, no es diferente de lo que habitualmente se hace para probar la sociatividad de las otras operaciones con conjuntos: Depende ´

unicamente de que la misma propiedad se verifica para el conectivo Y. Sea xPX. Se cumple,

xP A4pB 4Cq ô xPAYxPB4C (Teorema 2)

ôxPAYpxPBYxPCq (Teorema 2)

ô pxPAYxPBqYxPC (Yes asociativa)

ô pxPA4BqYC (Teorema 2)

ôxP pA4Bq4C (Teorema 2).

Lo que prueba en efecto la igualdad del teorema.