Teorema de Bernoulli

Introducci´on. En este escrito exponemos de forma detallada elTeorema de Bernoulli. Inroducimos primero el modelo de distribuci´on Bernoulli par´ametro p, ofreciendo una discusi´on sobre el sentido del teorema que nos ocupa. En la secci´on inmediata, formalizamos el concepto de independencia para vari-ables aleatorias (y ensayos) Bernoulli e introducimos el modelo de distribuci´on binomial como una suma finita de variables aleatorias Bernoulli independi-entes y con mismo par´ametrop. Complementariamente se probar´an algunos propiedades ´utiles para la prueba delTeorema de Bernoulli, el cual se enuncia y se demuestra en la ´ultima parte de este texto.

Lo aqu´ı expuesto est´a basado enteramente en las referecias bibliog´aficas que aparecen al final. Estas p´aginas est´an dedicadas a los autores.

Contenido

1. Ensayos Bernoulli 2

2. Modelo de probabilidad y distribuci´on Bernoulli 3 3. Modelo de probabilidad y distribuci´on binomial 4

4. Teorema de Bernoulli 10

Referencias 12

1. _{Ensayos Bernoulli}

Definici´on 1(Ensayo Bernoulli). Unensayo Bernoullies un fen´omeno aleatorio que solo admite dos posibles eventualidades, uno denominado´exitoy otrofracaso.

Los ejemplos cl´asicos de ensayos Bernoulli son los juegos de azar que consisten en “ganar” o “perder”, como los volados, la loter´ıa y ciertos juegos de apuesta con cartas.

Probabilidad de ´exito en un ensayo Bernoulli. Un ensayo Bernoulli est´a asociado a un par´ametropdeterminado por la probabilidad de obtener ´exito en la realizaci´on del ensayo. Definimos los par´ametros

p:= Probabilidad de ´Exito y q= 1−p:= Probabilidad de Fracaso.

Ensayos Bernoulli independientes. Dos (o m´as) ensayos Bernoulli son independientessi la realizaci´on de alguno de ellos (o algunos de ellos) no altera en forma alguna, en t´erminos estoc´asticos, el resultado de ning´un otro (o ningunos otros). En tal caso, diremos que se trata de una sucesi´on (finita o infinita) de ensayos Bernoulli independientes. Lanzar sucesivamente una moneda (o monedas distintas cada vez) constituye el ejemplo t´ıpico de sucesi´on de ensayos Bernoulli independientes.

Sucesi´on de ensayos Bernoulli independientes con misma probabili-dad de ´exito. Debemos remarcar que las propiedades caracter´ısticas de un ensayo Bernoulli son puramente estoc´asticas. Es decir, dos (o m´as) ensayos Bernoulli se distinguen entre s´ı, seg´un si las probabilidades de ´exito (y por ende, las de fracaso) de cada uno de ellos son tambi´en distintas. Una sucesi´on de repeticiones indepen-dientes (es decir, bajo las mismas e igualitarias condiciones) de un mismo ensayo Bernoulli (como lanzar la misma modena), se interpreta como una sucesi´on de en-sayos Bernoulli independientes con la misma probabilidad de ´exito. Por ejemplo, lanzar una misma moneda 10 veces es equivalente a lanzar 10 modenas id´enticas (aunque en la pr´actica ello puede parecer imposible).

Principio de regularidad de las frecuencias relativas. La forma en que se determina el par´ametropno es una cuesti´on trivial. Por ejemplo, pensemos en el t´ıpico experimento de lanzar una modena al aire (volado). Decimos que una moneda eshonestasi observamos, tras varios lanzamientosindependientes que la regularidad con la que resulta ´aguila es cercana al 50% de las veces, y en este caso, ateniendonos a un esquema de razonamiento frecuentista, aceptamos que la probabilidad de ´exito (o fracaso) es 0.5. Esto es, ambos resultados son equiprobables.

En general, a´un cuando la moneda podr´ıa estar cargada hacia un resultado, ya sea ´aguila o sol, en la pr´actica, es posible observar que la regularidad frecuentista con la que ocurre tanto sol como ´aguila tiende a ser estable, de modo que en principio, podemos aceptar que hay un valor “te´orico” para las probabilidades de que la moneda caiga sol o bien ´aguila, y que las distintas frecuencias relativas, tras numerosas sucesiones de repeticiones independientes del volado, son estimaciones de dicho valor te´orico. Este hecho emp´ırico es conocido comoPrincipio de regularidad de las frecuencias relativas.

No obstante, podr´ıamos cuestionar si es v´alido “aproximar” el supuesto valor te´orico de las probabilidades de ´exito y fracaso (los par´ametros p y q) mediante sucesiones de repeticiones independientes del volado, en tanto que, en apariencia, no hay manera de saber qu´e n´umero de volados hay que realizar para aproximar, dentro de un margen de error establecido a priori, los valores de los par´ametros p y q. Y por otro lado, aunque en la pr´actica, desde siempre, se ha aceptado que el valor de p, sea cual fuere, puede aproximarse por este razonamiento de regularidad frecuentista, hasta el trabajo de Bernoulli no hab´ıa manera de justificar de alg´un modo esta v´ıa en la determinaci´on depyq, al menos dentro de una teor´ıa matem´atica consistente.

ElTeorema de Bernoulli. Bernoulli trabaj´o, seg´un sus propias palabras, cerca de 20 a˜nos en este problema. Bernoulli dio la primera forma matem´atica rigurosa de comprender una teor´ıa de la probabilidad basada en los principios frecuentistas comunmente aceptados. Dentro de este marco te´orico, demostr´o finalmente que en t´erminos estoc´asticos (lo cual es relevante se˜nalar), el esquema frecuentista de razonamiento en la aproximaci´on del par´ametro p, es efectivo. Intuitivamente, el

Teorema de Bernuolli afirma que, dado un margen de error previamente estable-cido, tras un n´umero grande de realizaciones independientes de un mismo ensayo Bernoulli, la diferencia entre la frecuencia relativa con que ocurre ´exito y el valor te´orico del par´ametrop, es muy probablemente menor a dicho margen.

actuales, se puede probar que, de hecho, es “casi seguro” que el valor te´orico (supuesto) de p es pr´oximo a la la frecuencia relativa con que ocurre ´exito, tras un n´umero grande de repeticiones sucesivas e independientes de un mismo ensayo Bernoulli. Esto se conoce ahora como Ley fuerte de los grandes n´umeros (para el caso de ensayos Bernoulli).

Aunque el Teorema de Bernoulli se˜nala que es pausible determinar mediante regularidad frecuentista el valor depen una sucesi´on de ensayos Bernoulli indepen-dientes, es importante observar que estos enunciados est´an expresadas en t´erminos estoc´asticos, como algo que sucede muy probablemente, y de ninguna manera son conlusiones deterministas.

2. Modelo de probabilidad y distribuci´on Bernoulli

Al margen de toda discusi´on relativa al Principio de regularidad de las frecuen-cias relativas, cualquier ensayo Bernoulli tiene un modelo matem´atico preciso. Si denotamos comoE el evento “se obtiene ´exito” yF el evento “se obtiene fracaso”, entonces la clase de eventos es la familia de conjuntos complementariosF={E, F}. Sipdenota la probabilidad de ´exito, entonces la medida de probabilidad queda de-terminada con las f´ormulas

P(E) =p y P(F) = 1−p=q.

Debemos notar que el espacio muestral puede tener diversas formas, como en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1. Supongamos que lanzamos una moneda honesta. Podemos describir el espacio muestral comoΩ ={s, a}, dondes=“sol” ya=“´aguila”. Si definimos ´exito como “cae sol” y fracaso como “cae ´aguila”, entoncesE={s} y F ={a}. Luego, dado que la moneda es honesta, P(E) = 12 =P(F). En general, si la probabilidad

de que la moneda caiga en sol es p∈[0,1], entonces _P(E) =py_P(F) = 1−p=q.

Ejemplo 2. Un juego consiste en extraer una bola de una urna que contiene

50 bolas numeradas. Se gana el juego si la bola extra´ıda est´a marcada con un n´umero primo. En este juego, el espacio muestral es la colecci´on Ω ={1, ...,50}. Suponiendo que el juego es justo, la probabilidad de extraer cualquiera de las bolas es ₅₀1. Por otro lado, el evento ´exito es el conjunto E = {2,3,5, ....,50}, o bien,

E={1≤n≤50 :n es primo}. As´ı,

P(E) = 15 50 =

3

10 y P(F) = 1−P(E) = 7 10.

Es posible modelar cualquier ensayo Bernoulli mediante una variable aleatoria param´etrica.

Definici´on 2 (Variable aleatoria Bernoulli). Una variable aleatoria discretaX es

Bernoulli de par´ametro p∈[0,1] si solo toma los valores1 y 0, con probabili-dadespy 1−prespectivamente.

Esto es, en un espacio de probabilidad (Ω,F,P), una v.a. X: Ω→Res Bernoulli de par´ametrop, conp∈[0,1], si el rango deX es el conjunto{0,1}y la funci´on de probabilidades deX est´a dada por

Ejemplo 3. Si sabemos que una modena es honesta, entonces la v.a. X que es igual a 1 si se obtiene sol al lanzar la moneda (´exito), y vale 0 cuando cae ´aguila, es una Bernoulli de par´ametro 1₂.

Ejemplo 4. Un juego consiste en extraer una bola de una urna que est´a compuesta de 8 bolas negras y 12 rojas. El juego se gana (´exito) si se obtiene bola negra. Definimos X como la v.a. que vale 1 en caso de ´exito y 0 en caso de fracaso. EntoncesX es Bernoulli de par´ametro ₂₀8.

3. Modelo de probabilidad y distribuci´on binomial

Modelo de probabilidad binomial. Muchos fen´omenos aleatorios pueden descomponerse en una sucesi´on finita de ensayos Bernoulliindependientes uno de otro. Un ejemplo t´ıpico consiste en lanzar cierto n´umero de veces una misma moneda (balanceda o no) en condiciones de igualdad. Aqu´ı de se trata de una serie de ensayos Bernoulli con igual probabilidad de ´exito. O bien, realizar tantos lanza-mientos como monedas distintas se tenga. Aqu´ı se trata de ensayos Bernoulli con distintas probabilidades de ´exito. El modelo estoc´astico aplicado a los fen´omenos consistentes en una serie finita de ensayos Bernoulli independientes con igual pro-babilidad de ´exito es conocido comomodelo binomial de probabilidad. En lo que sigue describimos c´omo construir este modelo.

Espec´ıficamente, supongamos que un experimento aleatorio consiste en una sucesi´on de n ensayos Bernoulli independientes con igual probabilidad de ´exito p ∈ [0,1]. El problema es encontrar un modelo de probabilidad adecuado a este fen´omeno.

El punto central ser´a la condici´on de independencia de los ensayos Bernoulli. Dicha condici´on, impuestaa priori, no es siempre absoluta desde un punto de vista pr´actico. Por ejemplo, podemos cuestionar si es realmente posible lanzar dos veces la misma monedaexactamentebajo las misma condiciones.

Omitiendo esta cuesti´on, en cuanto al modelo te´orico, la condici´on de inde-pendencia tiene una clara formulaci´on matem´atica. En efecto, si Ei denota el

evento “se obtiene ´exito en eli-´esimo ensayo”, yFi el evento “se obtiene fracaso”,

para 1 ≤i ≤n, y si suponemos que _P es una medida de probabilidad adecuada, entonces, en primer lugar,

P(Ei) =p y P(Fi) =q= 1−p, 1≤i≤n,

y por otra parte, para cualquier colecci´on finita de ´ındices 1≤i1< i2<· · ·im≤n,

los eventos Ai1,...,Aim, donde cada literalA puede sustituirse por las literalesE ´o

F, son independientes respecto aP. Por ejemplo,

(2) P(E1∩E3∩F6∩E7) =P(E1)P(E3)P(F6)P(E7) =p3q

Es f´acil entender estas cualidades de P si asuminos que ning´un ensayo Bernoulli altera o modifica a ning´un otro, en t´erminos estoc´asticos.

Ahora bien, hay que notar que todo el experimento queda descrito mediante los conjuntos de la forma

Ai1∩Ai2∩ · · · ∩Aim,

donde 1≤i1< i2 <· · ·< im≤n, y la literalApuede sustituirse con las literales

muestral Ω (sea cual sea). Por lo que la medida de probabilidad buscadaPqueda completamente determinada por las probabilidades

P(Ai1∩Ai2∩ · · · ∩Aim) =P(Ai1)P(Ai2)· · ·P(Aim) =p

a_qb_,

dondeaes el n´umero de ´exitos en la colecci´onAi1,...,Aim, ybel n´umero de fracasos.

Ejemplo 5. Un juego de azar consiste en extraer una bola de una urna que contiene

50 bolas numeradas del 1 al 50. El juego se gana si se obtiene una bola marcada con un n´umero primo. ¿Cu´al es la probabilidad de ganar al menos5 veces en una serie de10repeticiones independientes del juego?

Notamos primero que el espacio muestral Ωest´a constituido por todas las suce-siones ordenadas de10 n´umeros

(n1, ..., n10), donde 1≤ni≤50, para 1≤i≤10.

Por otro lado, si Ei denota el evento “se gana en el i-´esimo juego” (´exito), para cada1≤i≤10, entonces

Ei={(n1, ..., n10)∈Ω : ni es primo}.

De modo que

P(Ei) =

509_·15 5010_·15 =

3 10

Por tanto, la probabilidad de perder (fracaso) en eli-´esimo juego es

P(Fi) = 1−P(Ei) =

7 10.

Ahora, para ganar exactamente kveces en la serie de 10 repeticiones del juego, deben suceder exactamente k extracciones con n´umero primo, lo cual ocurre una cantidad de 10_k

de formas posibles. Luego, seg´un el principio de aditividad finita, la probabilidad de ganar exactamentek veces en la corrida de10juegos es

₁₀

k 3 10

k ₇

10

10−k

.

Finalmente, por el mismo principio de aditividad finita, la probabilidad de ganar al menos5 juegos en la serie de10 juegos est´a dada por

10

X

k=5

₁₀

k 3 10

k ₇

10

10−k

.

Variables aleatorias Bernoulli independientes. Podemos introducir un n´umero finito de variables aleatorias Bernoulli (tantas como ensayos Bernoulli) para modelar cada uno de las repeticiones del mismo ensayo Bernoulli. Concretamente, seaXi la v.a. Bernoulli par´ametropcorrespondiente a lai-´esima repetici´on de un

ensayo Bernoulli (par´ametrop), 1≤i≤n. Es decir, Xi es una variable aleatoria

que admite el valor 1 si se obtiene ´exito en eli-´esimo ensayo Bernoulli, y 0 si sucede fracaso.

La extensi´on del concepto de idependencia para estas variables aleatorias es entonces natural. Por ejemplo, podemos reescribir la igualdad (??), como

Definici´on 3. Decimos que las variables aleatorias X1, X2,...,Xn Bernoulli con probabilidad de ´exito p ∈ [0,1], definidas sobre un mismo espacio de probabili-dad (Ω,F,P), son independientes si para cualesquiera n´umeros xj ∈ {0,1}, j =

1, ..., m≤n,

(3) P[Xi1 =x1, ..., Xim =xm] =P[Xi1 =x1]× · · · ×P[Xim =xm].

Dado que P(Xk = xi) = pxi(1−p)1−xi, entonces la igualdad (??) tiene la

expresi´on espec´ıfica

P[Xi1 =x1, ..., Xim =xm] =p

Pm

j=1xj_(1−p)m−Pmj=1xj_.

Note que esta probabilidad depende ´unicamente de los n´umerosx1,...,xm y de la

muestrax1,...,xm.

Suma de variables aleatorias Bernoulli independientes. Distribuci´on Binomial. En n ensayos Bernoulli con probabilidad de ´exito p, si Xi es la v.a.

Bernoulli par´ametro pcorrespondiente al i-´esimo ensayo, i = 1, ..., n, entonces la variable aleatoriaX definida como la suma de tales variables aletorias, es decir,

X:=X1+X2+· · ·+Xn,

cuenta el n´umero de ´exitos obtenidos en la sucesi´on denensayos Bernoulli. Para un valork∈ {0, ..., n}, la v.a. X es igual a kunicamente cuando´ kde las nvariablesX1,...,Xn toma el valor 1, y las restantesn−ktoman el valor 0. Esta

hecho sugiere c´omo debe ser la disribuci´on deX.

Teorema. Supongamos que X1,...,Xn son variables aleatorias independientes con misma distruci´on Bernoulli par´ametrop∈[0,1], definidas sobre un mismo espacio de probabilidad (Ω,F,_P). Entonces la funci´on de probabilidades de X :=Pn

i=1Xi

est´a dada por

pX(k) :=P(X=k) =

_n

k

pk(1−p)n−k,

parak= 0, ..., n.

Demostraci´on. Claramente, el rango deX es el conjuntoR={0,1,2, ..., n}. Para cadak∈R, definimos la clase de subconjuntos

Γk ={A⊂R:|A|=k}.

Por ejemplo, Γ0={∅}, Γ1={{0},{1}, ...,{n}}y Γn={{0,1,2, ..., n}}. Entonces

|Γk|=

_n

k

.

La clase Γk respresenta todas las formas posibles en que podemos elegirkensayos

denensayos realizados.

Ahora, para cadaA∈Γk definimos el evento

SA=



 \

j∈A

(Xj= 1)



 \



 \

j /∈A

(Xj= 0)



.

Es decir, despu´es de realizar una particular elecci´on dekensayos denrealizados (el eventoA),SA es el caso en donde se obtienen exactamentek´exitos (o

independientes del ensayo Bernoulli. Por independencia, tenemos

P[SA] =



 Y

j∈A

P[Xj = 1]



×



 Y

j /∈A

P[Xj = 0]





=pk(1−p)n−k.

Por otro lado, siA, B∈Γk, entoncesA6=B si y s´olo si SA∩SB =∅. Adem´as,

(X=k) = (X1+X2+· · ·+Xn=k) =

[

A∈Γk

SA.

De este modo,

P[X =k] =

X

A∈Γk

P[SA]

=|Γk|pk(1−p)n−k

=

_n

k

pk(1−p)n−k.

Esta distribuci´on, que depende de dos par´ametrosn y p, es tambi´en conocida con un nombre especial dada su relevancia.

Definici´on 4. Decimos que una variable aleatoriaXtienedistribuci´on binomial

par´ametrosn∈N yp∈(0,1), si la funci´on de probabilidades de X est´a dada por

pX(x) =

_n

k

px(1−p)n−x,

parax∈ {0, ..., n}.

Ejemplo 6. Pensemos en experimento descrito en el ejemplo ??. Definimos Xi como la v.a. que toma al valor 1 si se obtiene n´umero primo en la i-´esima ex-tracci´on y 0 si no, 1≤i≤n. Claramente, las variables aleatorias X1,...,X10 son Bernoulli independientes de par´ametro ₁₀3. De modo queX=P10

i=1Xies binomial de par´ametrosn= 10y p= 3

10. De modo que la probabilidad de obtener al menos 5 n´umero primos en10 extracciones es

P(X ≥5) = 10

X

k=5

P(X=k) = 10

X

k=5

₁₀

k 3 10

k ₇

10

10−k

.

Podemos programar en Octave este ejemplo. Describimos el c´odigo a contin-uaci´on. Creamos primero la funci´on binomial con el c´odigo

function y=fp_binomial(x,n,p) >for i=1:length(x)

>y(i)=(nchoosek(n,x(i)))*(p^x(i))*((1-p)^(n-x(i))); >end

>endfunction

>x=0:10;

>y=fp_binomial(x,10,0.33); >stem(x,y,’-.k’)

Obtenemos

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0 2 4 6 8 10

Figure 1. Distribuci´on binomial par´ametrosn= 10 yp= 0.33.

El valor m´aximo se alcanza en x = 3. Antes de este valor, la distribuci´on es creciente, en seguida la distribuci´on decrece. A continuaci´on verificamos que este comportamiento de “campana”, es caracter´ıstico de la distribuci´on binomial, el cual liga esta distribuci´on con una de las distribuciones m´as importantes, la distribuci´on normal o gaussina.

Sixes un n´umero real, recordemos quebxcdenota la parte entera dex, esto es el m´aximo entero menor o igual quex.

Teorema. SiX es una variable aleatoria con distribuci´on binomial con par´ametros

n y p (0 ≤ p < 1), entonces la funci´on de probabilidades pX es creciente en

{0,1, ...,bp(n + 1)c}, y es decreciente en {bp(n + 1)c, ..., n − 1, n}. As´ı,

pX alcanza su valor m´aximo en k = bp(n+ 1)c. Si p = 1, pX es creciente y el valor m´aximo se alcanza enk=n.

Demostraci´on. Si p= 0 ´o p= 1, la afirmaci´on es obvia. Supongamos 0 < p <1, entoncesp(n+ 1)< n+ 1, luegop(n+ 1)≤n. Por tanto 0≤ bp(n+ 1)c ≤n.

Ahora, seaj ∈ {1, ..., n−1}. Entonces

pX(j−1)

pX(j)

=

n j−1

pj−1_(1−p)n−j+1

n j

pj_(1−p)n−j

De este modo,

pX(j−1)< pX(j) ⇔

pX(j−1)

pX(j)

<1

⇔ j(1−p) (n−j+ 1)p<1 ⇔ j−jp < np−jp+p ⇔ j < p(n+ 1)

⇔ j≤ bp(n+ 1)c.

EntoncespX es creciente en{0,1, ...,bp(n+ 1)c}.

Por otra parte, sij∈ {0,2, ..., n−1}, entonces

pX(j)

pX(j+ 1)

=

n j

pj(1−p)n−j

n j+1

pj+1_(1−p)n−j−1

=(j+ 1)(1−p) (n−j)p .

De este modo,

pX(j)> pX(j+ 1) ⇔

pX(j)

pX(j+ 1)

>1

⇔ (j+ 1)(1−p) (n−j)p >1 ⇔ j−jp+ 1−p > np−jp

⇔ j > p(n+ 1)−1 ⇔ j≥ bp(n+ 1)c.

EntoncespX es decreciente en{bp(n+ 1)c, ..., n−1, n}.

De lo anterior se sigue quepX alcanza su valor m´aximo enk=bp(n+ 1)c.

Naturalmente, siX tiene distribuci´on binomial y cuenta el n´umero de ´exitos en nensayos Bernoulli, entoncesn−X, que cuenta el n´umero de fracasos en el mismo n´umero de ensayos Bernoulli, tiene tambi´en distribuci´on binomial.

Proposici´on. SiX es una variable aleatoria binomial par´ametrosnyp, entonces

Y = n−X es una variable aleatoria con distribuci´on binomial par´ametros n y

q= 1−p.

Demostraci´on. Claramente el rango deY es el conjunto{0,1, ..., n}. Ahora, sikes un n´umero en este rango, entonces

P[Y =k] =P[n−X =k] =P[X =n−k] =

_n

n−k

pn−k(1−p)n−(n−k)

=

_n

k

qk(1−q)n−k.

4. Teorema de Bernoulli

Ahora estamos en condiciones de probar el resultado principal de estas notas.

Teorema de Bernoulli. Supongamos que para cada n ≥1, X1,...., Xn es una colecci´on de variables aleatorias independientes, cada una de ellas con distribuci´on Bernoulli par´ametrop, donde0≤p≤1. Entonces, para toda >0

lim

n→∞P

Pn

i=1Xi

n −p

> = 0.

Demostraci´on. Paran∈_Nconsideremos la variable aleatoriaZn =P n

i=1Xi.

En-toncesZn tiene distribuci´on Binomial par´ametrosny p. Para cadaj ∈ {1, ..., n},

para reducir notaci´on, definimos

tj=P[Zn=j] =

_n

j

pj(1−p)n−j.

Tambi´en nombramos

sj =

tj

tj−1

=

n j

pj_(1−p)n−j n

j−1

pj−1_(1−p)n−j+1

=(n−j+ 1)p j(1−p) .

Dado que n−j+ 1< n−j+ 2 y j−1< j, entonces (n−j+ 1)(j−1)<(n−j+ 2)j, de aqu´ı,

sj =

(n−j+ 1)p j(1−p) <

(n−j+ 2)p

(j−1)(1−p) =sj−1. Es decir, la colecci´on de n´umeros{sj}nj=1 es decreciente.

Ahora, consideremosj≥k >(n+ 1)p, entonces

tj=

tj

tj−1

tj−1=sjtj−1≤sktj−1,

de donde

tj≤sktj−1≤s2ktj−2≤ · · · ≤s

j−k

k tj−(j−k)=s

j−k k tk.

Por lo tanto,

P[Zn ≥k] = n

X

j=k

tj ≤tk n

X

j=k

sj_k−k,

y dado que

n

X

j=k

sj_k−k= 1−s

n−k+1

k

1−sk

< 1 1−sk

= k(1−p) k−(n+ 1)p,

se sigue

(4) P[Zn≥k]<

k(1−p) k−(n+ 1)ptk.

Ahora bien, seam= [(n+ 1)p] (notamos que, por definici´on,m≤(n+ 1)p). Dado que

entonces

1>P[k > Zn≥m] =tm+tm+1+· · ·+tk−1>(k−m)tk≥(k−(n+ 1)p)tk,

de donde

tk <

1 k−(n+ 1)p. Comparando con (??),

P[Zn ≥k]<

k(1−p) (k−(n+ 1)p)2.

Sea > 0 y sea n ∈ N tal que n > 1 (propiedad arquimideana). Sea k0 = [n(p+)] + 1. Observamos quek0es el ´unico entero tal que

n(p+ 1)< n(p+)< k0≤n(p+) + 1.

De este modo,

P

Pn

i=1Xi

n −p >

=_P

_Z

n

n −p >

=P[Zn > n(p+)]

=P[Zn ≥k0]

< k0(1−p) (k0−(n+ 1)p)2

≤ (np+n+ 1)(1−p) (np+n+ 1−(n+ 1)p)2

=(np+n+ 1)(1−p) (n+p)2 .

Por lo tanto

lim

n→∞P Pn

i=1Xi

n −p >

= 0. Ahora bien, p− Pn

i=1Xi

n >

=

p−Zn n >

=

_n−Z

n

n −(1−p)>

=

_Y

n

n −q >

,

donde q = 1−p y Yn = n−Zn tiene distribuci´on binomial par´ametros n y q.

Entonces, repitiendo todo el proceso anterior, obtenemos que

lim

n→∞P

p−

Pn

i=1Xi

n >

= 0.

Por lo tanto,

lim

n→∞P

Pn

i=1Xi

n −p