b) es paralela al vector v = (2, 4) y que pasa por (1, 3). Como ya tenemos el vector director y un punto, pues sólo resta escribir la

(1)

Geometr´ıa anal´ıtica I Soluciones de la tarea 3.

Ejercicio 1. Encuentre la ecuaci´on param´etrica de la recta que satisface que: a) pasa porS(1,2) y porT(1,1)

Para calcular la recta paramétrica necesitamos un vector director, éste puede servecv=−→ST =~t−~s= (1,1)−(1,2) = (0,−1). Ahora tomemos cualquier otro punto, digamosT, y ya está! La ecuación es:

{(x, y) =t(0,−1) + (1,1)|t∈R} b) es paralela al vector~v= (2,4) y que pasa por (1,3).

Como ya tenemos el vector director y un punto, pues s´olo resta escribir la ecuaci´on:

{(x, y) =t(2,4) + (1,3)|t∈R}

c) es perpendicular al vector~v= (3,−1) y que pasa por (3,−7).

Para obtener un vector director bastar´a con tomar~vp = (1,3) y como ya sabemos por donde pasa, inmediatamente sabemos que la ecuaci´on es:

{(x, y) =t(1,3) + (3,−7)|t∈R}

d) es paralela a la recta~u= (2,1) +t(3,2) y que pasa por (−4,6).

Como la recta dada es paralela a la buscada, pues un vector director para esta ´ultima es (3,2). Y como debe pasar por (−4,6) se tiene que la ecuaci´on buscada es:

{(x, y) =t(3,2) + (−4,6)|t∈R}

e) es perpendicular a~u= (4,7) +t(−1,3) y la intersecta en el punto (4,7). Los vectores directores de la recta buscada y la dada deben de ser perpen-diculares, y por ello (−1,3)p= (−3,−1) es un vector director de la recta buscada. Como se intersectan en el punto (4,7) entonces, este punto debe pertenecer a la recta buscada, por lo tanto la ecuaci´on es:

{(x, y) =t(−3,−1) + (4,7)|t∈R}

Ejercicio 2. Encuentre la ecuaci´on cartesiana general de la recta que: a) pasa por (4,2) y es perpendicular al vector~n= (3,5)

Usaremos los m´etodos descritos en clase. Como ya tenemos el normal la ecuaci´on es de la forma:

3x+ 5y+c= 0

y como pasa por (4,2), entonces se tiene que 3(4) + 5(2) +C= 0, es decir C=−22. Entonces, la ecuaci´on es:

(2)

b) pasa por (2,−1) y tiene a~v= 5~i−2~jcomo vector director.

Como ahora se nos ha dado un vector director se tiene que calcular el normal a partir de éste. Un normal se calcula como ~vp = (2,5). Ahora sabemos que la ecuación es de la forma 2x+ 5y+C= 0, y para calcular C usaremos, ahora, la fórmula del producto punto: C = −~vp·(2,−1) = −(4−5) = 1. La ecuación es:

2x+ 5y+ 1 = 0 c) tiene pendientem=−2/3 y pasa por S(−3,−5).

Usaremos la ecuaci´on punto-pendiente,y−y0=m(x−x0), que nos arroja

y+ 5 = 2

3(x+ 3) y despejando se obtiene la ecuaci´on general:

2x−3y−9 = 0 d) pasa porS(3,−7) yT(1,−4).

Ahora usaremos la f´ormula punto-punto,y−y0= _x1y1−y0

−x0(x−0), de donde tenemos que la ecuaci´on esy+ 7 = 3

−2(x−3), y despejando se obtiene la

ecuaci´on buscada:

3x+ 2y+ 5 = 0

e) su abscisa y su ordenada al origen sona= 2 yb= 3 respectivamente. ¡Adivinaron! ahora usaremos la f´ormula abscisa-ordenada al origen, de donde se obtiene, inmediatamente, la ecuaci´on general.

x 2 +

y

3 −1 = 0 o si lo prefieren, la ecuaci´on es:

3x+ 2y−6 = 0

Ejercicio 3. Encuentre ecuaci´on cartesiana de la recta que satisface que la su-ma de sus ordenadas es 7 y que su pendiente es−11

3.

SoluciónLlamemosayba la ordenada y abscisa al origen respectivamente. Entonces por hipótesisa+b= 7, y además como los puntos (a,0) y (0, b) están en la recta, entonces la pendiente es−b

a que a su vez debe ser−

11

3. Por lo que

tenemos el sistema de ecuaciones:

a+b = 7 b

a =

11 3

El sistema se puede transformar al siguiente sistema de ecuaciones lineales, a+b = 7

(3)

y resolviendo este ´ultimo encontramos que a= 3/2 y que b= 11/2. Por lo que la ecuaci´on buscada es:

22x+ 6y−33 = 0. Ejercicio 4. ¿Para cu´al valor deblas rectas

x 2 + y b = 1 y x 2 − y 4 = 1 son perpendiculares?

Soluci´on:Los vectores normales de ambas rectas son (1 2, 1 b) y ( 1 2,− 1 4)

res-pectivamente, por lo que, las rectas son perpendiculares si y s´olo si 0 = (1 2, 1 b)·( 1 2,− 1 4) = 1 4 − 1 4b, de lo anterior se obtiene que 1

4b =

1

4, es decir, b= 1.

Ejercicio 5. SeaL_{la recta que pasa por los puntos}_P(₋_3,_{5) y}_Q(2,_1),

encuen-tre:

a) La ecuaci´on general deL

Para encontrar la ecuación general primero calcularemos un vector normal, sea ~n = (~q−~p)p = (5,−4)p = (4,5).Entonces la ecuación general es 4x+ 5y+C = 0, dondeC=−(4(2) + 5(1)) =−13, entonces la ecuación general es:

4x+ 5y−13 = 0 b) La pendiente deL

Como ya tenemos un vector normal, entonces un vector director es d~= ~np= (−5,4), de aqu´ı que la pendiente esm=−4/5.

c) La ecuaci´on punto-pendiente deL

Usaremos el punto P(−3,5) y le pendientem=−4/5. La ecuaci´on es y−5 =−4₅(x+ 3)

.

d) La ecuaci´on abscisa y ordenada al origen

Del inciso a) se puede obtener la ecuación que buscamos, tan sólo tendr´ıamos que dividir entre 13 y nos queda la ecuación:

x 13/4 +

y 13/5 = 1

(4)

e) La ecuaci´on param´etrica cartesiana

Pues ya hab´ıamos calculado un vector director (d~ = (−5,4)), us´andolo junto con el puntoP(−3,5) obtenemos la ecuaci´on vectorial cartesiana:

L_:=

x = −3−5t

y = 5 + 4t t∈R f ) La ecuaci´on param´etrica vectorial

Es id´entica a la vectorial cartesiana, pero esta se escribe as´ı:

L_{:= (x, y) = (}₋_3,_{5) +}_t(₋_5,_{4), t}_∈_R

g) La ecuaci´on sim´etrica deL

Para la ecuación simétrica sólo tenemos que dividir a la ecuación general, entre la norma de~n= (4,5) y ya está.

4 √ 41x+ 5 √ 41y− 13 √ 41 = 0

Ejercicio 6. Encuentre la suma de las distancias del puntoP(1,1) a los lados del tri´angulo con v´ertices A(0,0),B(2,0) yC(0,3).

Ejercicio 7. Encuentre k ∈R tal que el punto S(2, k) equidista de las l´ıneas con ecuacionesx+y−2 = 0 yx−7y+ 2 = 0.

Soluci´on: Denotemos por L1 _y L2 _{a las dos rectas, respectivamente. Las}

distancias deS a las dos rectas son:

d(L1, S) = | 2 +_√k−2| 2 = |k| √ 2 d(L2_{, S) =} |2−_√7k+ 2| 50 = |4_√−7k| 50 ComoS debe equidistar de ambas rectas, se tiene que,

|k| √

2 =

|4−7k| 5√2 Reacomodando los t´erminos,

5 =|_k4 −7|

por lo tanto, 4/k= 2 ´o 4/k= 12, es decir,k= 2 ´ok= 1/3. En el casok= 2 se obtiene qued(L1_{, S) =}_d(L2_{, S) = 2/}√_{2 y en el caso}_k_{= 1/3 se obtiene que}

(5)

Ejercicio 8. Calcule la ecuaci´on general de la recta que contiene al punto de intersecci´on de las rectas

x−2y+ 3 = 0 3x+y−5 = 0 y al puntoS(1,1).

Solución:Un punto que satisface ambas ecuaciones debe satisfacer cualquier combinación lineal de ambas ecuaciones, por lo tanto, la familia de rectas que pa-sa por la intersección arriba mencionada es de la forma (x−2y+3)+t(3x+y−5) = 0. Ahora sólo falta encontrart, para ello sustituimos el otro punto, por donde de-be pasar la recta, ((1)−2(1)+3)+t(3(1)+(1)−5) = 0, de donde se concluye que t= 2. Por lo tanto, la recta buscada tiene ecuación (x−2y+3)+2(3x+y−5) = 0, es decir,x= 1.

Ejercicio 9. Encuentre un punto que est´e a distancia 2 del puntoS(1,3) y de la recta 5x−4y−1 = 0.

Soluci´on:Sea P(a, b) el punto buscado, entonces debe satisfacer,

p

(a−1)2_{+ (b}

−3)2 _{= 2}

|5a−_√4b−1|

41 = 2

De la segunda ecuaci´on podemos despejar a, pero no es tan directo, hay que considerar dos casos (cuando el valor absoluto es positivo o negativo). Entonces

a=2 √ 41 + 1 + 4b 5 o a= −2√41 + 1 + 4b 5

Sustituyendo este valor deaen la primera ecuaci´on nos quedan dos posibilidades

(2 √ 41 + 4b−4 5 ) 2 + (b−3)2 = 4 ´ o (4b−4−2 √ 41 5 ) 2 + (b−3)2 = 4 La primera ecuaci´on esb2

−(1,9402442)b+ (4,9402442) = 0 que tiene ´ uni-camente soluciones imaginarias, pero por otro lado la otro ecuaci´on es, b2

− (6,937804) + (9,937804) y sus soluciones son b = 0,3787835, 6,55902, entonces a=−2,058222, 2,88596.

Ejercicio 10. Calcule la forma normal de la recta 12x+ 5y+ 26 = 0 conp >0. Calcule adem´aspyα.

(6)

Soluci´on:Bastar´a dividir entre la norma de (12,5), es decir, entre√25 + 144 = √

169 = 13. Puesto que queremos quep, entonces dividiremos entre -13, por lo que la ecuaci´on se transforma en

(−12₁₃)x+ (−₁₃5 )y−(2) = 0 . Entonces es inmediato de aqu´ı quep= 2,cos(α) =−12

13 ysen(α) =− 5 13.

En-toncesarcCos(−12/13) = 157,38◦ _´_{o 202,61}◦_{, luego} _arcSen(₋_{5/13) = 202,61}◦

´

o 337,38◦_{. La ´}_{unica posibilidad es}_α_{= 202,61}◦_.

Ejercicio 11. Muestre que si las l´ıneas con ecuaciones sim´etricas x−x1 h1 =y−y1 k1 y x−x2 h2 = y−y2 k2

son paralelas, entoncesh1k2=h2k1.

Soluci´on:Observemos que las ecuaciones tienen pendientesk1/h1 yk2/h2

respectivamente. Entonces, como son paralelas se tendr´a que sus pendientes son iguales, es decir,k1/h1=k2/h2o bien, k2h1=h2k1.

Ejercicio 12. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones, usando el m´etodo especificado.

a) 3x−2y= 19 y 2x+ 5y= 0, usando substituci´on. b) 3x−2y= 9 y 6x−4y= 3, usando eliminaci´on

c) 4x−3y=−2 y 3x+ 2y= 7 usando vectores.

d) 3x+ 2y= 1 yx+y=−1 usando la regla de Cramer. Ejercicio 13. Muestre que

x y 1 x1 y1 1 1 m 0

es una ecuaci´on para la l´ınea con pendientemy que contiene el punteS(x1, y1).

Soluci´on:El determinante es igual a−mx+y+mx1−y1, y es aqu´ı donde

debo aclarar que me faltó decir que el determinante deb´ıa ser igual a cero, en-tonces tenemos la ecuación,y=m(x−x1) +y1. que es precisamente la fórmula

punto pendiente.

Ejercicio 14. Demostrar que la distancia entre dos rectas paralelas cuyas ecua-ciones sonL1_:=_Ax₊_By₊_C_{= 0 y}L2_:=_Ax₊_By₊_D_{= 0, es:}

(7)

Soluci´on: Como las rectas son paralelas bastar´a con calcular la distancia entre un punto, de una de las rectas, a la otra recta. Sea pues,S(x0, y0)∈L1,

es decir,Ax0+By0+C= 0. Luego se tiene que:

d(L1,L2) =d(S,L2) =|

Ax0+By0+D|

√ A2

+B2

PeroAx0+By0=−C y sustituyendo esto en la ecuaci´on nos queda que:

d(L1,L2) = | − C+D| √ A2 +B2 = |D−C| √ A2 +B2

Ejercicio 15Las restricciones pesqueras impuestas por la SEMARNAT obli-gan a cierta empresa a pescar como máximo 2000 toneladas de atún y 2000 de sardina, además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas. Si el precio del atún es de 40 pesos/kg y el precio de la sardina es de 30 pesos/kg, ¿qué cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio?

Solución:Definamos x=“Las toneladas de atún que se pueden pescar”, y y=“Las toneladas de sardinas”. Las condiciones del problema se traducen a las siguientes condiciones en términos dexey.

x, y ≤ 2000 x+y ≤ 3000

x, y ≥ 0

Ahora bien, la gráfica de la región delimitada por las condiciones, antes descritas, está dibujada en la figura 1. Ahora bien, sólo tenemos que calcular los vértices de dicha figura. Es decir necesitamos calcularO,P,Q,RyS. Pero estos se calculan muy fácil, he aqu´ı los valores sonO(0,0),P(2000,0),Q(2000,1000), R(1000,2000) yS(0,2000).

Por otro lado, la función de ganancia está dada por G(x, y) = 40000x+ 30000y, esto pues como el atún cuesta 40 pesos/kilo, al convertir a toneladas tenemos que el atún cuesta 40 000 pesos/tonelada, es decir la ganancia de la venta de toda el atún es de 40000xy análogamente la ganancia de sardina es de 30000y. Como el máximo de una función lineal dentro de una región poligonal se alcanza en los vértices, entonces el máximo puede ser algún valor de la siguiente tabla. (x, y) 40000x+ 30000y= G(x, y) O(0,0) 40000(0) + 30000(0) = 0 P(2000,0) 40000(2000) + 30000(0) = 80,000,000 Q(2000,1000) 40000(2000) + 30000(1000) = 110,000,000 R(1000,2000) 40000(1000) + 30000(2000) = 100,000,000 S(0,2000) 40000(0) + 30000(20000) = 60,000,000

(8)

O X Y Q R P S

Figura 1: La regi´on sombreada es la regi´on de posibilidades

Entonces no cabe duda de que el m´aximo de la ganancia es 110,000,000 y se alcanza en el punto Q,es decir, pescando 2000 toneladas de at´un y 1000 toneladas de sardina.