Polinomios.pps

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE MICHOACÁN COORDINACIÓN SECTORIAL No. 1

MATEMÁTICAS 1

LOS NÚMEROS REALES

No se tiene conocimiento donde se generó el sistema numérico Aunque todo se cree que fue en Egipto donde tuvo sus principios.

Aristóteles dice que las matemáticas se originaron en Egipto porque la clase sacerdotal tenía el tiempo necesario para

dedicarse a su estudio; más de dos mil años después, se obtuvo una corroboración exacta de esta observación mediante el

descubrimiento de un papiro conservado actualmente en la

Colección Rhind del Museo Británico.

Todos los números tanto positivos como

negativos, pueden ser representados en una

recta numérica.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 - 5

2 7

4  

Hacia la derecha valores positivos

(cualquier número que pueda ser representado como a/b, donde a y

b son enteros y b 0)

De acuerdo a su representación, los números

se identifican como:

Símbolo

ejemplo

N Números Naturales 1, 2 , 3... + 

Z Números enteros _{(todos los números + y - )}- (todos los positivos)

Q _{Números Racionales - 4, - 3/7, 15/3, 2, 7/2}

2 ,  , ₇

I Números Irracionales (son aquelllos que tienen una representación infinita)

R Números reales (Es el conjunto de todos los

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

7

x

+

8xy

-

15

Exponente

Coeficiente

Término independiente

Base o literal

Término algebraico

Coeficiente (numérico): _{Es la parte numérica de un término}

Exponente: Indica las veces que se va a multiplicar por sí mismo esa cantidad

Término algebraico: Es aquél que esta separado por el signo (+) o por el signo (-).

Literal: _{Son las letras de la expresión}

De acuerdo al número de términos la expresión se clasifica como:

Monomio (si consta de un solo término) 5a, - 8xy, 6x2y

Binomio (si consta de dos términos) 3ab + 2xy, - 3/4x2y – 2xy

Trinomio (si consta de tres términos) 2/7ab + 5xy – 3axz

TÉRMINO SEMEJANTE:

ES AQUÉL QUE TIENE LA MISMA

BASE Y MISMO EXPONENTE

EJEMPLO:

3a

b

Es semejante a

-5a

b

Mismo exponente

7x

y

No es semejante a

6x y

Símbolos de agrupación más comunes

( ) El paréntesis ordinario

[ ] Paréntesis angular o corchetes

{ } Llaves

Misma base

Operaciones polinomiales

Al efectuar una operación con polinomios,

primero se eliminan los símbolos de

agrupamiento de adentro hacia afuera

*

Ejemplo:

Simplificar la siguiente expresión.

2a - 3{b - 4[c + 2(a - b + 2c) - a] + 2b} + 3c =

= 2a - 3{b - 4[c + 2a - 2b + 4c - a] + 2b} + 3c

= 2a - 3{b - 4c - 8a + 8b - 16c + 4a + 2b} + 3c

= 2a - 3b + 12c + 24a - 24b + 48c - 12a - 6b + 3c

= 14a - 33b + 63c

Para quitar paréntesis, se multiplica

el 2 por todo lo que esta dentro quedando:

Multiplicando por

– 4 se elimina el corchete

Para eliminar las llaves, todo lo interior

se multiplica por - 3

Suma de polinomios

Al efectuar la suma de polinomios, se colocan

Ejemplo 1

: sumar 3x + 2y + 5

a

4x – y +7

Ordenando y sumando se tiene:

3x + 2y + 5

4x – y +7

7x + y + 12

4x – y +7 + 3x + 2y + 5 =

En forma horizontal quedaría:

7x + y + 12

Ordenando y sumando se tiene:

Ejemplo 2: sumar

c + b - 4d

a

- 3c - 5b + 4d

- 3c – 5b + 4d

c + b – 4d

- 2c - 4b

En forma horizontal quedaría:

Ejemplo 3: sumar

5x

+ 3y - 2x

a

-3x

-5y -7z

Ordenando y reduciendo términos, se tiene:

-3x

- 5y -7z

5x

+ 3y - 2x

2x

- 2y –7z –2x

En forma horizontal quedaría:

5x

+ 3y - 2x -3x

-5y -7z =

_2x

_{- 2y - 2x - 7z}

Ejemplo 4: hallar la suma de:

a) x

+ 4x ;

- 5x + x

Ordenando los sumandos

(x

+ 4x) +

(- 5x + x

)

Quitando paréntesis

=

x

+ 4x

-

5x + x

simplificando

= 2x

- x

Lo anterior nos dice que

Lo anterior nos dice que todo paréntesis precedido por el todo paréntesis precedido por el

signo (+) deja el polinomio tal como esta y únicamente se

signo (+) deja el polinomio tal como esta y únicamente se

suman o restan sus coeficientes de los términos semejantes

suman o restan sus coeficientes de los términos semejantes

si los hay.

si los hay.

Sumar:

(-3ab) + (-2ab) + (-5ax2 + 5b) + (8ab – 7b + 4ax2) =

Quitando paréntesis _{-3ab –2ab –5ax}2 +5b +8ab – 7b + 4ax2 =

RESTA DE POLINOMIOS

En toda operación, tanto aritmética como algebraica, se

encuentran tres cantidades donde a la primera se le

denomina “minuendo”; la segunda “sustraendo” y a la

tercera como “resta o diferencia”

Si se realiza una operación aritmética se especificaría así:

Ejemplo 1:

De 9675

restar

7438

Ordenando las operaciones se tiene:

9675

minuendo

- 7438

sustraendo

2237

Resta o diferencia

Ejemplo 2:

De 7b restar 4a

Observese que no son términos semejantes y se ordena así:

(7b)

–

(4a)

=

Quitando paréntesis se tiene:

= 7b – 4a

Ejemplo 3

De 11a – 7b restar 5a – 4b

Si se resuelve en forma horizontal, la ecuación quedaría

(11a – 7b) – (5a – 4b) =

Quitando paréntesis

11a – 7b

–

5a

+

4b =

Reduciendo términos

= 6a – 3b

Si se presenta en forma vertical se tendría:

11a – 7b

- 5a + 4b

6a – 3b

minuendo

sustraendo

Resta o diferencia

Nota:

al efectuar la resta y presentarla de esta manera, se

cambian los signos del sustraendo

De ésto, se establece la REGLA GENERAL DE LA RESTA

“Se escribe el minuendo con sus propios signos y a

Ejemplo 4:

A – 2x + 5y

– 4 restar - 3x – 2y

+ 4

a) Forma uno

( - 2x + 5y

– 4)

-

(- 3x – 2y

+ 4) =

Quitando paréntesis = - 2x + 5y

– 4

+

3x

+

2y

-

4

Simplificando

=

x + 7y

- 8

b) Forma dos

– 2x + 5y

– 4

3x + 2y

– 4

Ejemplo 5:

De 3a – 3b + 7 restar 4a – 2b + 5c

a) Forma uno

(3a – 3b + 7) – ( 4a – 2b + 5c) =

Quitando paréntesis

3a – 3b +7

–

4a

+

2b

–

5c =

simplificando

= - a – b – 5c +7

b) Forma dos: _{3a – 3b + 7}

-4a + 2b – 5c

Antes de entrar a la multiplicación de polinomios, veremos lo que es la multiplicación de potencias.

an = (a)(a)(a)...(a) (n factores de a)

Ejemplo ₅6 = (5)(5)(5)(5)(5)(5)

Elevar una base a una potencia: se multiplica la base tantas veces indica la potencia

2.-. Para n = 0

1.- Definición de an

a0 = 1 a



a4

3.- Para un entero n negativo (inverso)

an = 1

a-n a



3 = 1 4-3

a - n = 1

an 7–3 =

1

7-(-3) =

1 73

y2

x-5 = y2 x5

Esto se puede entender de la siguiente manera: al tener an/1 e

invertirlo, queda 1/a-n _{donde el exponente de “a” pasa con su signo}

Propiedades para los exponentes para

Propiedades para los exponentes para “m” “m” y y “n”“n” enterosenteros; ; “a” “a” y y “b” “b” números reales

números reales

Regla 1

Regla 1: Para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la : Para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la

misma base y se le pone como exponente la suma de los

misma base y se le pone como exponente la suma de los

exponentes

exponentes

Ejemplos:

1) am an = am + n a3 a4 = a3 + 4 = a7

2) (an)m = am n

(a3)4 = a12

(a2)-7 = a- 14

3) (a b)m = am bm (a b)6 = a6 b6

(a b)-3 = a-3 b-3

4) (am bn)p = am p bn p (a2 b- 3)4 = a(2)(4) b(-3)(4) = a8 b- 12

Expresando este resultado en potencias positivas se tiene = ₁₂

8

b

a

Utilizando los conceptos anteriores, se puede desarrollar el producto de polinomios

Multiplicación de Monomios por Monomios

Ejemplo 1: Multiplicar (5x3) (-3x2)

Procedimiento:

a) Multiplicar primeramente los signos de los coeficientes, utilizando la ley de los signos (+)(+) = (+) (+)(-) = (-)

(-)(-) = (+) (-)(+) = (-)

b) Multiplicar los coeficientes

Solución: Solución:

a) (+)(-) = (-)

b) (5)(3) = 15

c) (x3)(x2) = x3 + 2 = x5

El resultado quedaría:

(5x3)(-3x2) = - 15x5

Ejemplo 2



























2

3

5

4

ab

b

a

Al multiplicar los números racionales, se multiplican numerador con numerador y denominador con denominador (en forma horizontal)

Ejemplo 3





















_x

_y

₅

_xy

4

3

Ejemplo 4 _{(a b}-2) (a3b4) = a1 + 3 b-2 +4 = a4 b2



)

2

)(

5

(

)

3

)(

4

(

b

a



10

12

b

a

5

6

b

a





)

1

)(

4

(

)

5

)(

3

(

y

x

4

15

y

x

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Ejemplo 5 _(a3)(3a – 4b) =

Para multiplicar el monomio, se multiplica éste por todo el polinomio

3a4 - 4a3 b

Ejemplo 6

Multiplicación de “polinomios por polinomios”

Multiplicación de “polinomios por polinomios”

Para multiplicar polinomios por polinomios, se multiplica

Para multiplicar polinomios por polinomios, se multiplica

cada uno de los términos del primer factor por todos los demás

cada uno de los términos del primer factor por todos los demás

del segundo factor y se reducen los términos semejantes si los

del segundo factor y se reducen los términos semejantes si los

hay

hay

Ejemplo 1

Ejemplo 2

(2a - 4b)(- 3a – 2b) = - 6a2 _{- 4ab + 12ab + 8b2}

Simplificando = - 6a2 + 8ab + 8b2

Nota:

Nota: la multiplicación de polinomios puede realizarse la multiplicación de polinomios puede realizarse

independientemente del número de términos, únicamente

independientemente del número de términos, únicamente

seguir el procedimiento

Ejemplo 3

Otra forma de realizar los productos es la siguiente

(2x – 4) (3x2 – 4x + 6) =

= 2x(3x2 – 4x + 6) - 4(3x2 – 4x + 6)

= 6x3 – 8x2 + 12x - 12x2 + 16x - 24

Reduciendo Términos

Para poder realizar lo correspondiente a la división de polinomios, es necesario primeramente ver lo relacionado a división de

potencias que dice:

Para dividir potencias de la misma base, se deja la

Para dividir potencias de la misma base, se deja la

misma base y se le pone como exponente la diferencia

misma base y se le pone como exponente la diferencia

entre el exponente del dividendo y el exponente del

entre el exponente del dividendo y el exponente del

divisor divisor Regla II: Regla II: Ejemplo 1 am

an = a

m – n a5

a3 = a

5 - 3 = a2

x3

x - 7 = x

3 – (-7) = x3 + 7 _{= x10}

Dividir un polinomio entre un polinomio, es obtener un nuevo polinomio tal que al multiplicarse por el segundo se obtenga un producto igual al primer polinomio

División de un polinomio entre otro polinomio División de un polinomio entre otro polinomio

El polinomio que se va a dividir, se llama dividendo.Aquél por el cual se va a dividir se llama divisor, y el resultado se llama cociente

Dividendo

Divisor = Cociente Dividendo = Cociente X Divisor

Podemos encontrar la división de un polinomio entre un monomio como se muestra a continuación:

Ejemplo 2

Dividir: 6a2 x3 – 3ax2 + 4x

2ax

Procedimiento:

a) Realizar primeramente la división de los signos

aplicando su ley:(+)







(-)



b) Dividir los coeficientes y continuar con las literales

Solución:

Solución:

6/2

= 3

a2/a

a

x3/x

x2

- /+

-3/2 queda igual

3 2

a/a = 1 x2/x =

Esta división la podemos representar de la siguiente manera ordenando los exponentes de mayor a menor:

6a2 x3 – 3ax2 + 4x

2ax

+/+ = +

+

6/2 =

3

a2_{/ a =} a

x3_{/x =} x2

Multiplicar el resultado por 2ax, cambiando su signo al producto

- 6a2 x3

Se baja el segundo término y se continúa dividiendo - 3ax2 _{+ 4x}

Se efectúa la resta -/+ =

-3/2 =

3/2

ax2/ax =

x

El resultado multiplicarlo por 2ax Cambiar su signo al producto

3ax2

Efectuar la resta, bajando el otro término 4x +/+ = + 4/2 = 2 x/ax = /a

Efectuando el producto y su resta queda

División de polinomios

División de polinomios

Procedimiento:

1.- Se ordenan las expresiones en orden creciente o decreciente de sus potencias

La anterior división se puede realizar con polinomios, realizando el siguiente

2.- Se divide el 1er término del dividendo entre el 1º del divisor,

y se obtiene el 1er _{término del cociente.}

3.- Se multiplica el 1er término del cociente por los términos

del divisor y los resultados obtenidos se restan a cada uno de los términos del dividendo, colocándolos debajo de sus

Ejemplo: Hallar el cociente y el residuo, dividiendo la primera expresión entre la segunda

a) 6x3 – 5x2 + 7x – 1 ; 3x - 1

4.- Se obtiene un nuevo residuo (si lo hay), el cual una vez ordenado se divide entre el 1er _{término del divisor, para}

obtener el 2º término del cociente

6x3 – 5x2 + 7x – 1

3x - 1

6/3

2

x3/x =

x2

2x2(3x-1) =

- 6x3 + 2x2

- 3x2 + 7x - 1

- 3/3 =

- 1

x2/x =

x

- x(3x – 1) =

+ 3x2 - x

6x - 1

6x/3x =

+ 2

2(3x –1) =

- 6x + 2

REALIZÓ:

ING. J. JESÚS GONZÁLEZ OCHOA

ING. J. JESÚS GONZÁLEZ OCHOA

PLANTEL:

VENUSTIANO CARRANZA

VENUSTIANO CARRANZA

PARA:

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

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