GUIA DE REPASO PARA PRUEBA BIMESTRAL N°2 Producto y factorizacion

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GUIA DE REPASO PRUEBA BIMESTRAL N°2

CONTENIDO:

- MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. - PRODUCTOS NOTABLES

- ECUACIONES CON PRODUCTOS NOTABLES. - CALCULO DE ÁREAS.

- FACTORIZACIÓN.

1. CONTENIDO2: MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES

ALGEBRAICAS.

NOCION: MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO.

El producto de un monomio por un polinomio se resuelve aplicando la distributividad de la multiplicación respecto de la adición.

Ej: 5a • ( 3b + 2c - 5d) =

se distribuye 5a•3b + 5a•2c - 5a•5d = se multiplica 15ab + 10 ac - 25ad.

Ej. 2. : 6a2_b6 _{• ( 2ab}4 _{- 3a}2_{b - 5 a}4_b2 ₎

se distribuye mentalmente y se multiplica : 12a3_b10 _{- 18a}4_b7 _{- 30a}6_b8

EJERCICIOS. :

155. 7(a+b) =

156. 4(x - 2y + 3z) =

157. 3x( 5x - 3x2_{y - 2 x}3_{y) =}

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159. 5(2x + 3y) + 2(x - 4y) =

160. 2(3a-b+3c)-5(a+2b-3c)+4(2a-4b+3c) =

161. 2a(4a + 2a2_{b + 3a}2_b3_{) + a(-2a - 3a}2_{b + 2a}2_b3_{) =}

NOCION: MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR OTRO:

Para multiplicar un polinomio por otro, debemos aplicar la doble distributividad

Ej.1 : ( x - 6)(2x - 3) = x(2x - 3) - 6( 2x - 3) = 2x2 _{- 3x - 12x + 18}

= 2x2 _{- 15x + 18}

EJERCICIOS :

162. (a + b) (2a + 3b) = 163. (x - 2y) ( 3x + 5y ) =

164. (2x + 3)( 2x - 1 ) = 165. ( a + b )(a - b) =

166. (p - 4)( p + 7) = 167. ( m + 1)( n - 1) =

168. ( a + b)(2a + 3b - 5c) = 169. ( a - 1 )( a3 _{+ a}2 _{+ a+ 1 ) =}

170. (x + 1)( x3 _{- x}2 _{- x - 1 ) = 171. (x + 2 )( x - 1 ) ( x + 3 ) =}

172. 2x ( 3x - 2y) - 3y( x - 5y) + (2x) = 173. ( 2 - x

3 _{) (4 -}

3 x

3 _{) =}

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175. = x a x 1 2 3

3 2 2

    

   a x

2.

CONTENIDO 2: PRODUCTOS NOTABLES.

MULTIPLICACIÓN DE BINOMIOS DE LA FORMA (x+a)(x+b)

Calcula el área de cada parte :

x 5 x  x = x2

x

x 5 = 5x

8

8  x = 8x

8  5 = 40

Por lo tanto ( x + 5)(x + 8) = x2 _{+ 5x + 8x + 40 = x}2 _{+ 13x + 40}

O sea , para multiplicar dos binomios de la forma (x+a)(x+b) podemos comprobar que existen términos semejantes que sumamos mentalmente :

(x + 8 )  ( x + 2 ) = x(x + 2 ) + 8(x + 2 ) x2 + 2x + 8x + 16 x2 + (2 + 8)x + 18

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(x - 6 )  ( x - 3 ) = x2 + ( -6 -3 )x + 18 = x2 - 9x + 18

EJERCICIOS :

177. ( x - 8 )  ( x - 3 ) = 178. ( x + 2 ) ( x - 3 ) =

179. ( x - 4 ) ( x + 5 ) = 180. ( x + 14 ) ( x - 4 ) =

181. ( x - 15 ) ( x + 11 ) = 182. ( a + 6 ) ( a - 1 ) =

2.1 MULTIPLICACIÓN DE UN BINOMIO POR SÍ MISMO. ( CUADRADO DE UN BINOMIO )

a b

Si calculamos el área del cuadrado a

a  a = a2

b

b  a = ab

a  b = ab

b  b = b2

Es decir : ( a + b )2 _{= a}2 _{+ 2 ab + b}2

2m 2m O sea, al multiplicar un binomio por sí mismo, se procede de igual forma que las

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(a + b ) ( a + b ) = a( a + b ) + b( a + b )

= a2 _{+ ab + ba + b}2 _{( pero, ab = ba )}

= a2 _{+ 2ab + b}2

es decir

( a + b )2 _{= a}2 _{+ 2ab + b}2

el cuadrado de un binomio es equivalente al cuadrado del primer término mas el doble producto del primer por el segundo término y más el cuadrado

del segundo término.

EJERCICIOS :

183. (x + y )2 _{= 184. (x - 7 )}2 _{= 185. (2x - 5 )}2 ₌

186. (2y + 4)2 _{= 187. (8x - 5y )}2 _{= 188. (3x - 7y )}2₌

189.  

  



 _ 2 b 3 2 a 2

1 _{190. }

   



 2 _{ y} 2 2 1 x 5

2 _{191. }

   



 _{ a}3 2 2 1 ab 5

2

192. 4 ( 2x - y )2 _{+ 2 (x - 3y )}2 _{- 3( 2x - 5y )}2 ₌

193. ( 1 2

xy + 2 )2 _{+ 3 (}2 3

- xy )2 _{+ 4 ( xy - 1 )}2 ₌

2.2 MULTIPLICACIÓN DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA.

Para multiplicar la suma de dos términos por su diferencia debemos operar de la siguiente manera :

EJ. 1 : ( x + y )( x - y ) = x ( x - y ) + y ( x - y ) = x2 _{- xy + xy - y}2

= x2 _{- y}2

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Ej. 2 ( 2x + 3y ) ( 2x - 3y ) = (2x)2 _{- ( 3y)}2

= 4 x2 _{- 9 y}2

194. ( x - 3 )(x + 3 ) = 195. (2a - 1 )( 2a + 1) =

196. ( 4 x2 _{+ 1 )( 4x}2 _{- 1 ) = 197. ( 10m - 9)( 10m + 9 ) =}

198. ( x2 _{+ y}3_)(x2 _{- y}3_{) = 199. ( a}3 _{+ b}4_)(a3 _{- b}4_{) =}

200. ( 2x + y)( 2x - y) + 4(3x - 2y)(3x + 2y) =

2.3 CUBO DE UN BINOMIO.

Determina que piezas se forman en el cubo si se trazan segmentos paralelos a las aristas con las dimensiones indicadas :

b a

a

a b

b

( a + b )3 _{= a}3 _{+ 3 a}2_{b + 3 ab}2 _{+ b}3

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201. ( 3a + 2b )3= 202. ( p + 2 )3 = 203. ( 2a - 4 )3 =

204. ( 6m - 3n )3 _{= 205. ( 4x}2 _{- 3y )}3 ₌

206. _    



 _ 3

3 1 2 1

b a

207. ( 3x - 1)3 _{= 208. (a}2 _{+ b}3₎3 _{= 209. (mn}2 _{– m}2₎3 ₌

EJERCICIOS RECAPITULACION.

208. ( 2x + 3y )2 _{- ( 1x - 3y )}2 ₌

209. ( x + 2 )2 _{+ ( 2x + 4 )( 2x - 4 ) + ( x + 3 )}3 ₌

210. 10 ( 2a2 _{- b )( 2a}2 _{+ b ) + 4 ( 2a - b )}3 ₌

211. 10(x + 3) + 2(x - 17 ) - 6 =

212. ( 5a - 3b )2 _{+ 2 ( a + b)( a - b ) - ( 2a - b )( 2a + b ) =}

213. ( 3x - 1 )( 4x + 1 ) - 2(2x + 3 )(5x - 4 ) =

214. (a + ₂1 ₎2 _{- ( a +} 4 3 _{)(a -}

4

3 _{) + (} 2

1_{a + 1 )}2 ₌

215. ( a + 3b )2 _{+ ( 2a + 3b)}2 _{- 3 ( a + 4b )}2 ₌

216. ( p + q )( p - q ) - 3 ( 2p - q )(2p + q ) + ( p + q ) 2 ₌

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3.

CONTENIDO 3: ECUACIONES CON PRODUCTOS

NOTABLES.

ECUACIONES EN .

Para un mejor trabajo, realiza el desarrollo en tu

cuaderno :

234. 6x( 7 - x ) = 36 - 2x( 3x - 15 )

235. ( 2x + 1 )2 _{= 4x( x - 2 ) + 13}

236. ( x + 2 )( 2x + 1 ) = ( x + 6 )( 2x + 3 )

237. ( x + 3 )2 _{- ( x - 1 )}2 _{= 2x}

238. 2 ( x - 4 )2 _{- ( x - 2 )}2 _{= ( x - 8 )}2

239. 2 ( x + 5 )2 _{- 3 ( 2x + 1 )}2 _{+ 10 x}2 _{= 0}

239. ( x + 1 )3 _{= x ( x + 1 )( x - 1 ) + 3x ( x + 1 )}

240. ax + b = c

241. ( x - a )2 _{+ ( x + a )}2 _{= x ( a + 2x )}

242

5 1 = 4 1 -3

3 x

243.

3 x -x = 1 -2

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4.

CONTENIDO:

CÁLCULO DE ÁREAS

CÁLCULO DE ÁREAS.

Dados los siguientes paralelógramos ( cuadrados o rectángulos), calcula las áreas de cada figura :

a

m y

b

k

y

A  = a  b = ab A  = k  m = mk A  =

141.

m

g s p

g t

A  = A  = A  =

142.

[Escriba texto]

5k 5p 7m

3p

A  = A  = A  =

143.

4,5m

8p 7,2m

3 1

3 k

3 1

3 k

5m

A  = A  = A  =

Dados los siguientes segmentos :

a b c

Construye en tu cuaderno los rectángulos siguientes :

144. 2ab = 105. (c+b)a =

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148, 149

a b

2q 2q a

p p

b

3m 3m

2m 2m

A total = A total =

Ahora, encuentra el volumen de los siguientes cuerpos, siguiendo la pauta :

a c b a a a

V = a  a  a = a3 _{V= a  b  c = abc}

150.

4c 2a 3b

151

5c

2b 2b

152

2p 2p 2p

V =

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5. CONTENIDO: FACTORIZACIÓN

Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos de sus divisores.

Ejemplo : Factoriza 20 en dos de sus divisores : 4 · 5, es decir 20 = 4  5

¿ Y en álgebra, qué será factorizar una expresión algebraica ?

Cuando realizamos las multiplicaciones :

i) 2x(x2 _{– 3x + 2) = 2x}3 _{– 6x}2 _{+ 4x}

ii) (x + 7)(x + 5) = x2 _{+ 12x + 35}

entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir , la factorización es el proceso inverso de la multiplicación. La factorización es de extrema importancia en la Matemática, asi es que debes tratar de entender lo más que puedas sobre lo que vamos a trabajar.

Existen varios casos de factorización :

1. FACTOR COMUN MONOMIO :

Factor común monomio : es el factor que está presente en cada término del polinomio :

Ejemplo N 1: ¿ cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z ?

Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y - 6· 4z = 6(2x + 3y - 4z )

Ejemplo N 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en : 5a2 _{- 15ab - 10 ac}

El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a : por lo tanto

5a2 _{- 15ab - 10 ac = 5a·a - 5a·3b - 5a· 2c = 5a(a - 3b - 2c )}

Ejemplo N 3 : ¿ Cuál es el factor común en 6x2_{y - 30xy}2 _{+ 12x}2_y2

El factor común es “ 6xy “ porque 6x2_{y - 30xy}2 _{+ 12x}2_y2 _{= 6xy(x - 5y + 2xy )}

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EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientes ejercicios :

1. 6x - 12 = 2. 4x - 8y =

3. 24a - 12ab = 4. 10x - 15x2 ₌

5. 14m2_{n + 7mn = 6. 4m}2 _{-20 am =}

7. 8a3 _{- 6a}2 _{= 8. ax + bx + cx =}

9. b4_-b3 _{= 10. 4a}3_{bx - 4bx =}

11. 14a - 21b + 35 = 12. 3ab + 6ac - 9ad =

13. 20x - 12xy + 4xz = 14. 6x4 _{- 30x}3 _{+ 2x}2 ₌

15. 10x2_{y - 15xy}2 _{+ 25xy = 16. 12m}2_{n + 24m}3_n2 _{- 36m}4_n3 ₌

17. 2x2 _{+ 6x + 8x}3 _{- 12x}4 _{= 18. 10p}2_q3 _{+ 14p}3_q2 _{- 18p}4_q3 _{- 16p}5_q4 ₌

19. m3_n2_p4 _{+ m}4_n3_p5 _{- m}6_n4_p4 _{+ m}2_n4_p3 ₌

20. 2  _xy2 

9 8 y x 4 3

21. 2 3  3 4  2 5  _a4_b2 

16 1 b a 8 1 b a 4 1 b a 2 1

22.    a b 

25 16 b a 15 8 ab 5 12 b a 35

4 2 2 3 3

Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión :

EJEMPLO N 1.

Factoriza x(a + b ) + y( a + b ) = Existe un factor común que es (a + b ) = x(a + b ) + y( a + b ) =

= ( a + b )( x + y )

EJEMPLO N 2.

Factoriza 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = = 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = (m - 2n )( 2a - b )

EJERCICIOS.

23. a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 24. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) = 25. x2_{( p + q ) + y}2_{( p + q ) = 26. ( a}2 _{+ 1 ) - b (a}2 _{+ 1 ) =}

27. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 28. a(2 + x ) - ( 2 + x ) = 29. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = 30. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =

31. (a( a + b ) - b ( a + b ) = 32. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =

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3. FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO.

Se trata de extraer un doble factor común.

EJEMPLO N1.

Factoriza ap + bp + aq + bq

Se extrae factor común “p” de los dos primeros términos y “q” de los dos últimos

p(a + b ) + q( a + b ) Se saca factor común polinomio

( a + b ) ( p + q )

EJERCICIOS :

33. a2 _{+ ab + ax + bx = 34. ab + 3a + 2b + 6 =}

35. ab - 2a - 5b + 10 = 36. 2ab + 2a - b - 1 = 37. am - bm + an - bn = 38. 3x3 _{- 9ax}2 _{- x + 3a =}

39. 3x2 _{- 3bx + xy - by = 40. 6ab + 4a - 15b - 10 =}

41. 3a - b2 _{+ 2b}2_{x - 6ax = 42. a}3 _{+ a}2 _{+ a + 1 =}

43. ac - a - bc + b + c2 _{- c =}

44. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 _{- 10cd =}

45. ax - ay - bx + by - cx + cy = 46. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =

47. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =

48. _{   yz5x7z}

3 143 xy 3 10 xz 4 21 x 4 15 2

49.    bn

5 16 bm 5 4 am 3 8 am 3 2

4. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 _{+ bx + c}

El trinomio de la forma x2 _{+ bx + c se puede descomponer en dos factores binomiales}

mediante el siguiente proceso :

EJEMPLO N 1. Descomponer x2 _{+ 6x + 5}

1 Hallar dos factores que den el primer término x · x

2 Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6” 1 · 5 ó -1 ·-5

pero la suma debe ser +6 luego serán (x + 1 )( x + 5 )

[Escriba texto]

Factorizar x2 _{+ 4xy - 12y}2

1º Hallar dos factores del primer término, o sea x2 _{: x · x}

2º Hallar los divisores de 12y2 _{, éstos pueden ser : 6y · -2y ó -6y · 2y}

ó 4y · -3y ó -4y · 3y ó 12y · -y ó -12y · y

pero la suma debe ser +4 , luego servirán 6y y -2y, es decir

x2 _{+ 4xy - 12y}2 _{= ( x + 6y )( x - 2y )}

EJERCICIOS :

Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios :

50. x2 _{+ 4x + 3 = 51. a}2 _{+ 7a + 10 =}

52. b2 _{+ 8b + 15 = 53. x}2 _{- x - 2 =}

54. r2 _{- 12r + 27 = 55. s}2 _{- 14s + 33 =}

56. h2 _{- 27h + 50 = 57. y}2 _{- 3y - 4 =}

58. x2 _{+ 14xy + 24y}2 _{= 59. m}2 _{+ 19m + 48 =}

60. x2 _{+ 5x + 4 = 61. x}2 _{- 12x + 35 =}

EJEMPLO

Factoriza 2x2 _{- 11x + 5}

1º El primer término se descompone en dos factores 2x · x

2º Se buscan los divisores del tercer término 5 · 1 ó -5 · -1

3º Parcialmente la factorización sería ( 2x + 5 )( x + 1 ) pero no sirve pues da : 2x2 _{+ 7x + 5}

se reemplaza por ( 2x - 1 )( x - 5 )

y en este caso nos da : 2x2 _{- 11x + 5}

EJERCICIOS :

62. 5x2 _{+ 11x + 2 = 63. 3a}2 _{+ 10ab + 7b}2 ₌

64. 4x2 _{+ 7x + 3 = 65. 4h}2 _{+ 5h + 1 =}

66. 5 + 7b + 2b2 _{= 67. 7x}2 _{- 15x + 2 =}

68. 5c2 _{+ 11cd + 2d}2 _{= 69. 2x}2 _{+ 5x - 12 =}

[Escriba texto]

70. 6x2 _{+ 7x - 5 = 71. 6a}2 _{+ 23ab - 4b}2 ₌

72. 3m2 _{- 7m - 20 = 73. 8x}2 _{- 14x + 3 =}

74. 5x2 _{+ 3xy - 2y}2 _{= 75. 7p}2 _{+ 13p - 2 =}

76. 6a2 _{- 5a - 21 = 77. 2x}2 _{- 17xy + 15y}2 ₌

78. 2a2 _{- 13a + 15 =}

6. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS :

EJEMPLO:

Factorizar 9x2 _{- 16y}2 ₌

Para el primer término 9x2 _{se factoriza en 3x · 3x}

y el segundo término - 16y2 _{se factoriza en +4y · -4y}

luego la factorización de 9x2 _{- 16y}2 _{= ( 3x + 4y )( 3x - 4y )}

EJERCICIOS :

79. 9a2 _{- 25b}2 _{= 80. 16x}2 _{- 100 =}

81. 4x2 _{- 1 = 82. 9p}2 _{- 40q}2 ₌

83. 36m2_n2 _{- 25 = 84. 49x}2 _{- 64t}2 ₌

85. 169m2 _{- 196 n}2 _{= 86. 121 x}2 _{- 144 k}2 ₌

87. 2 _b2  36 49 a 25

9 _88.



 4

4 _y

16 9 x 25

1

89. 3x2 _{- 12 = 90. 5 - 180f}2 ₌

91. 8y2 _{- 18 = 92. 3x}2 _{- 75y}2 ₌

93. 45m3_{n - 20mn = 94. 2a}5 _{- 162 a}3 ₌

7. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO :

Ejemplo:

Factorizar 9x2 _{- 30x + 25 =}

1 Halla la raiz principal del primer término 9x2 _{: 3x · 3x}

2 Halla la raiz principal del tercer término 25

con el signo del segundo término -5 · -5

luego la factorización de 9x2 _{- 30x + 25 = (3x - 5 )( 3x - 5 ) = ( 3x - 5 )}2

[Escriba texto]

95. b2 _{- 12b + 36 = 96. 25x}2 _{+ 70xy + 49y}2 ₌

97. m2 _{- 2m + 1 = 98. x}2 _{+ 10x + 25 =}

99.16m2 _{- 40mn + 25n}2 _{= 100. 49x}2 _{- 14x + 1 =}

101.36x2 _{- 84xy + 49y}2 _{= 102. 4a}2 _{+ 4a + 1 =}

103. 1 + 6ª + 9a2 _{= 104. 25m}2 _{- 70 mn + 49n}2 ₌

105. 25a2_c2 _{+ 20acd + 4d}2 _{= 106. 289a}2 _{+ 68abc + 4b}2_c2 ₌

107. 16x6_y8 _{- 8 x}3_y4_z7 _{+ z}14 ₌

EJERCICIOS DIVERSOS:

108. 2ab + 4a2_{b - 6ab}2 _{= 109. 2xy}2 _{- 5xy + 10x}2_{y - 5x}2_y2 ₌

110.b2 _{- 3b - 28 = 111.a}2 _{+ 6a + 8 =}

112.5a + 25ab = 113.bx - ab + x2 _{- ax =}

114.6x2 _{- 4ax - 9bx + 6ab = 115.ax + ay + x + y =}

116.8x2 _{- 128 = 117.4 - 12y + 9y}2 ₌

118.x4 _{- y}2 _{= 119.x}2 _{+ 2x + 1 - y}2 ₌

120. (a + b )2 _{- ( c + d)}2 _{= 121.a}2 _{+ 12ab + 36b}2 ₌

122. 36m2 _{- 12mn + n}2 _{= 123. x}16 _{- y}16 ₌

1. DIFERENCIA DE CUBOS : a3 _{– b}3 _{= (a – b)(a}2 _{+ ab + b}2₎

Ejemplo : 8 – x3 _{= (2 – x)(4 + 2x + x}2₎

2. SUMA DE CUBOS : a3 _{+ b}3 _{= (a + b)(a}2 _{– ab + b}2₎

Ejemplo: 27a3 _{+ 1 = (3a + 1)(9a}2 _{– 3a + 1)}

125. 64 – x3 _{= 126. 8a}3_b3 _{+ 27 =}

127. 27m3 _{+ 6n}6 _{= 128. x}6 _{– y}6 ₌

129.

27 8 8

1_x3_{ = 130.}

64 1

3 _

x =