UPR Departamento de Ciencias Matemáticas RUM MATE 3171
Práctica # 4 11/21/09
Profesor Nombre
Instrucciones. Resuelva cada uno de los ejercicios por usted mismo y si tienen dudas preguntele a su instructor o busque ayuda en los mismos.
1. En los siguientes ejericicos seleccione la mejor alternativa:
(a) La función inversa de f(x) = 2x 1es:
considerandoy= 2x 1y despejando para x se obtiene: x=y+ 1
2 y la función inversa esf 1(x) = 1 +x 2 i. f 1(x) =1 x 2 ii. f 1(x) =1 +x 2 iii. f 1(x) = 1 +x 2 iv. f 1(x) = 1 x
2 v. Ninguna de las anteriores
(b) Sif(x) = 2x 1;entonces f f 1 (1) =:
f f 1 (1) =f f( 11) =f(1) = 1
i. 2 ii. 3 iii. 1
iv. 0 v. Ninguna de las anteriores
(c) SiP(0) = 1 yP(2) = 1, entonces:
Se tienen dos casos, i y iv que permiten localizar un cero del polinomio i. existe un cero del polinomioP(x)en el intervalo (0;2)
ii.existe un cero del polinomioP(x)en el intervalo ( 1;1)
iii.existe un cero del polinomioP(x)en el intervalo ( 1;0)
iv. existe un cero del polinomio P(x)en el intervalo ( 1;2)
v. Ninguna de las anteriores
(d) Los posibles ceros racionales del polinomio P(x) = 2x3 x2+ 8x 9 son:
divisores de 2: 1; 2 y los divisores de -9: 1; 3; 9, los posibles ceros racionales del polinomio son:
1; 12; 3; 32; 9; 92
i. 1; 12; 3; 9; 92 ii. 1; 12; 32; 9; 92 iii. 1; 32; 3; 9; 92 iv. 1; 12; 3; 32; 9; 92 v. Ninguna de las anteriores
(e) El polinomio de menor grado que le corresponde a la siguiente grá…ca es: es 3, ya que la grá…ca del polinomio tiene tres intersectos con el eje X
i.3 ii.5 iii. 4
iv.6 v.Ninguna de las anteriores
(f) El residuo al dividirP(x) = 4x5 3x3+ 4x2+ 2x 1 porx+ 1 es:
aplicando al división sintética se obtiene:
4 0 3 4 2 1
1 4 4 1 3 1
4 4 1 3 1 0
el residuo es 0
i. 2 ii. 1 iii. 0
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y
(g) Si -2 y 2ison ceros de un polinomio con coe…cientes realesP(x), entonces el menor grado deP(x)es: es 3, puesto que 2ies un cero del polinomio
i. 3 ii. 2 iii. 5
iv. 4 v. Ninguna de las anteriores
(h) Sif(x) = 2x5 8x4+ 3x2 2, entonces:
como el grado del polinomio es impar, la respuesta es ii, porque el coe…ciente principal es negativo y por lo tanto los extremos se invierten, es cecir, six! 1entoncesf ! 1y six! 1entoncesf ! 1
i. six! 1entoncesf ! 1y six! 1entoncesf ! 1 ii.si x! 1entoncesf ! 1y six! 1entoncesf ! 1 iii.six! 1entonces f ! 1y six! 1entoncesf ! 1 iv. six! 1entonces f ! 1y six! 1entonces f ! 1 v. Ninguna de las anteriores
(i) i201=i200i=i i2 100=i( 1)100=i:
i. i ii. 1 iii. i
iv. 1 v. Ninguna de las anteriores
(j) i 2 1+i =
multiplicando por el conjugado del denominador:
i 2 1+i = i 2 1+i 1 i 1 i = 1+3i 2 i. 1 3i 2 ii. 1+3i 2 iii. 1 3i 2 iv. 1+3i
2 v. Ninguna de las anteriores
(k) Sif(x) = 4x7 3x4+ 2x3 2x+ 6, entonces:
por la regla de Descartes: RR+: 4ó 2 ó 0
f( x) = 4x7 3x4 2x3+ 2x+ 6
RR : 1;por lo tanto la respuesta correcta es iv
i. f tiene a lo más 4 ceros reales positivos y 3 ceros reales negativos ii.f tiene a lo más 2 ceros reales positivos y 3 ceros reales negativos iii.f tiene a lo más 4 ceros reales positivos y 2 ceros reales negativos iv. f tiene a lo más 4 ceros reales positivos y 1 cero real negativo v. Ninguna de las anteriores
(l) Un polinomio con coe…cientes realesP(x)de grado 4 con ceros 2;3ise puede representar por: como 3itambién es un cero, la respuesta es iii
i. P(x) =a4(x 2) (x+ 2) (x 3i) (x 3i)
ii.P(x) =a4(x 2) (x+ 2) (x 3i) (x+ 3i)
iii.P(x) =a4(x 2) (x 2) (x 3i) (x+ 3i)
iv. P(x) =a4(x+ 2) (x+ 2) (x+ 3i) (x 3i)
v. Ninguna de las anteriores
2. En los siguientes ejercicios indique la respuesta en el espacio en blanco: (a) La inversa de la funciónf(x) =x2 1; x 0 es: ____________
considerandoy=x2 1y despejando para x, se obtiene
x2=y+ 1)x= py+ 1comoxtoma valores negativos se tiene quex= py+ 1 y la inversa es
f 1(x) = px+ 1
(b) SiP(x) =x4 81,los factores lineales de P(x)son: ___________ factorizandox4 81 = x2 9 x2+ 9 = (x 3) (x+ 3) (x 3i) (x+ 3i)
(c) Los ceros del polinomioP(x) =x4 3x2 4son: _ 2; i__
factorizandox4 3x2 4 = x2 4 x2+ 1 = (x 2) (x+ 2) (x+i) (x i)
(d) Un polinomio con coe…cientes reales de grado 6 tiene como raíces simples a 2;1 i; 1 i;3, los ceros que faltan son: __1 +i; 1 +i___
(e) El residuo al dividir el polinomioP(x) =x500+ 6x201 x2 2x 4porx+ 1 es: ____-8___
se suman los coe…cientes del polinomioP( x) =x500 6x201 x2+ 2x 4 y se obtiene -8 (f) El valor dep 121 + 2i11es ________________
p
121 + 2i11 =p121p 1 + 2i10i= 11i+ 2i i2 5= 11i+ 2i( 1) = 9i
3. Resuelva los siguientes ejercicios:
(a) Halle el cociente y residuo de 5x
4 2x3+ 3x2 5x 9 x2 3x+ 2 5x2+ 13x+ 32 x2 3x+ 2 5x4 2x3+ 3x2 5x 9 5x4+ 15x3 10x2 13x3 7x2 5x 9 13x3+ 39x2 26x 32x2 31x 9 32x2+ 96x 64 65x 73 cociente: 5x2+ 13x+ 32y residuo: 65x 73
(b) Halle la función inversa def(x) = x+ 1
x 2 considerandoy=x+ 1 x 2 y despejando parax: y(x 2) =x+ 1)x(y 1) = 1 + 2y)x= 1 + 2y y 1 y la inversa es: f 1(x) = 1 + 2x x 1
(c) Dada la función polinómicaf(x) =x5+ 4x4 10x2 x+ 6;responda las siguientes preguntas: 1. los ceros de la función son _______________
los posibles ceros son 1; 2; 3; 6, como los coe…cientes suman cero, 1 es un cero y las suma de los coe…cientes def( x) = x5+ 4x4 10x2+x+ 6es cero, -1 también es un cero. Aplicando división
sintética se tiene: 1 4 0 10 1 6 1 1 5 5 5 6 1 5 5 5 6 0 1 1 4 1 6 1 4 1 6 0 1 1 5 6 1 5 6 0
y se obtiene la ecuación cuadráticax2+ 5x+ 6 = (x+ 2) (x+ 3) = 0y los ceros son: f 3; 2; 1;1(multiplicidad 2)g
2. el intercepto en el eje Y _____(0;6)____
3. los interceptos en el eje X __( 3;0);( 2;0);( 1;0);(1;0)__
4. six! 1; y! 1_______________ 5. six!+1; y!+1_______________ 6. trace la grá…ca def −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x y (d) Resuelva la ecuaciónx3+ 4x2+ 3x= 0
x3+ 4x2+ 3x=x x2+ 4x+ 3 =x(x+ 3) (x+ 1)y las raíces de la ecuación sonf 3; 1;0g
(e) Halle todos los ceros del polinomioP(x) =x4+x2 12
factorizandox4+x2 12 = x2+ 4 x2 3 = (x+ 2i) (x 2i) x p3 x+p3
(f) Si2 ies un cero del polinomioP(x) = 2x4 23x2+ 44x 5;halle los otros ceros del polinomio
como el polinomio tiene coe…cientes reales, 2 +i es otro cero, por lo tanto, podemos aplicar división sintética para hallar los otros ceros
2 0 23 44 5
2 i 4 2i 6 8i 42 +i 5
2 4 2i 17 8i 2 +i 0
2 +i 4 + 2i 16 + 8i 2 i
2 8 1 0
y se obtiene la ecuación cuadrática2x2+ 8x 1 = 0)x= 8
p
82+ 8
4 =
8 6p2
4 y los ceros son:
( 2 i; 4 3 p 2 2 )
(g) Halle un polinomio de grado 5 con coe…cientes reales y con intercepto en y = 3, cuyos ceros son 1
(multiplicidad 2),3y i. (Se puede dejar expresado como el producto de sus factores lineales). el polinomio esP(x) =a5(x+ 1)2(x 3) (x+i) (x i)dondeP(0) = 3, multiplicando se obtiene: