Propagación de ondas en suelos blandos usando un modelo visco-hipoplástico

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(1)Propagación de ondas en suelos blandos usando un modelo visco-hipoplástico. por: Carlos Eduardo Grandas Tavera. Asesor: Prof. Dr.-Ing. Arcesio Lizcano. Universidad de los Andes Facultad de Ingenierı́a Departamento de Ingenierı́a Civil y Ambiental Magı́ster en Ingenierı́a Civil Grupo de Investigación en Geotécnia 2006.

(2) Tabla de Contenido 1. Estado del Conocimiento. 1. 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Comportamiento del suelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.2.1. Naturaleza del suelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.2.2. Condiciones de drenaje en problemas de terremotos . . . . . . . . .. 5. 1.2.3. Variables independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.3. Relaciones esfuerzo-deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.3.1. Módulo cortante para pequeñas amplitudes de deformación . . . . .. 6. 1.3.1.1. Para suelos granulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.3.1.2. Para suelos blandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.4. Reglas de Masing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 1.5. Amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 1.5.1. Mecanismo de disipación de energı́a por fricción . . . . . . . . . . . .. 14. 1.5.2. Mecanismo de disipación de energı́a por viscosidad . . . . . . . . . .. 16. 1.5.3. Modelos de disipación de energı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 1.6. Modelo hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 1.6.1. Deformación de referencia γr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 1.6.2. Relación entre el módulo de cortante y la tasa de amortiguamiento .. 19. 1.6.3. Modificación de la relación hiperbólica . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 1.7. Modelo de Ramberg-Osgood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 1.8. Modelo lineal equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 1.9. Crı́tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 2. Modelo constitutivo. 28. 2.1. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 2.2. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 2.3. Ecuación básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 2.4. Superficie de fluencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 2.5. Hipoplasticidad en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. I.

(3) 2.6. El estado crı́tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 2.7. Modelo de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 2.7.1. Factor de barotropı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 2.7.2. Factor de picnotropı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 2.8. Modelo visco-hipoplástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 2.9. Modelo unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45. 2.9.1. Aspectos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. 2.10. Visco-hipoplasticidad en 3 dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. 2.10.1. Factor de barotropı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. 2.10.2. La velocidad de deformación viscosa o velocidad de Creep . . . . . .. 53. 2.10.3. El ı́ndice de viscosidad Iv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. 2.10.4. Variables de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56. 2.11. Deformación intergranular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. 3. Simulación de ensayos elementales. 61. 3.1. Determinación de los parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. 3.1.1. Pendiente de la lı́nea de normal consolidación λ . . . . . . . . . . . .. 61. 3.1.2. Pendiente de la lı́nea de descarga-recarga κ . . . . . . . . . . . . . .. 63. 3.1.3. Ángulo de fricción en el estado crı́tico φc . . . . . . . . . . . . . . . .. 64. 3.1.4. Índice de viscosidad Iv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65. 3.1.5. Parámetro de forma βR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. 3.1.6. Velocidad de deformación de referencia Dr. . . . . . . . . . . . . . .. 66. 3.1.7. Relación de vacı́os de referencia e100 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. 3.1.8. Rigidez caracterı́stica mT y mR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67. 3.1.9. Rango elástico R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 3.1.10. Factores de interpolación βr y χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 3.2. Simulación de ensayos de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. 4. Ondas en medios visco-hipoplásticos. 77. 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77. 4.2. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78. 4.3. Ecuación de onda visco-hipoplástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82. 4.4. El problema de valor de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 84. 4.5. Solución por diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85. 4.5.1. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87. 4.5.2. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88. 4.5.3. La solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88. 4.5.4. La estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89. II.

(4) MIC 2006-I-26. 4.6. Solución por elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Modelo básico. 94. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 94. 4.6.1.1. Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 94. 4.6.1.2. Condiciones Iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95. 4.6.1.3. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95. 4.6.1.4. Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96. 4.6.1.5. Perturbación débil a =0.2 4.6.1.6. Perturbación fuerte 10. m/s2. m/s2. . . . . . . . . . . . . . . .. 96. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100. 4.6.1.7. Comportamiento elemental en condiciones de corte simple . 104 4.6.1.8. Todas las perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.6.2. Modelo con distintos ángulos de fricción crı́tico φc . . . . . . . . . . 111 4.6.3. Modelo de dos materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5. Conclusiones. 115. 6. Anexos. 121. 6.1. Superficie de fluencia de Matsuoka and Nakai . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.2. Funcionamiento del modelo hipoplástico en una dimensión . . . . . . . . . . 122 6.3. Ecuación de ondas visho-hipoplástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.3.1. Script de control de las varibales de estado control.m . . . . . . . . 123 6.3.2. Script de solución de la ecuación visco-hipoplástica H.m . . . . . . . 127. III.

(5) Capı́tulo 1. Estado del Conocimiento 1.1.. Introducción. La influencia de las condiciones de sitio en los movimientos sı́smicos del suelo es el evento final de un complejo proceso de propagación en el cual el mecanismo de falla y las caracterı́sticas de la trayectoria de propagación constituyen las etapas previas. Durante su propagación desde la roca hasta la superficie del depósito, la señal sı́smica sufre modificaciones incluyendo incrementos en la amplitud de sus aceleraciones y en su duración. La figura 1.1 muestra un ejemplo de las diferencias entre las señales sı́smicas registradas simultáneamente a distintas profundidades en Union Bay, USA. La influencia de las condiciones de sitio en la intensidad de los terremotos ha sido estudiada desde comienzos del siglo XX. Sin embargo, solo desde los años 60’s, la instrumentación ha permitido mostrar claramente las variaciones en la amplitud máxima de la aceleración alcanzada en diferentes lugares de una misma área pero con diferentes condiciones de sitio. [41] muestra un caso registrado durante el sismo de San Francisco de 1957. En dos sitios ubicados a 15 km de la zona de mayor liberación de energı́a, variaciones de la aceleración hasta del 100 % fueron obtenidas en superficie. El problema del análisis de sitio puede ser dividido en dos grandes partes: un modelo esfuerzo-deformación que describa el comportamiento del suelo, y un modelo de propagación de ondas. Durante la década de los 60’s y 70’s numerosos modelos esfuerzo-deformación no lineales fueron desarrollados para analizar la respuesta de sitio bajo cargas cı́clicas o sı́smicas. Sin embargo, en décadas posteriores el uso y desarrollo de estos modelos disminuyó. Existen varias razones que explican esta disminución. Entre ellas, una injustificada preferencia por usar metodologı́as semi-empı́ricas en la ingenierı́a geotécnica y la falta de un consenso sobre cual modelo no lineal usar [36]. Distintas metodologı́as para predecir la respuesta en sitio han sido propuestas desde los años 60’s. [41] señalan tres metodologı́as principales como herramientas para predecir la. 1.

(6) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. 0 Depth, m. 10. MIC 2006-I-26. 2.5 0 Recording instrument Peat. 2.5 Aceleration, gal 10. 5. 0 20. Recording instrument 5 Clay 10 2.5. 30 Recording instrument. 0 2.5. Glacial till 0. 5. 10. 15 Time, sec. Figura 1.1: Registros de aceleraciones a distintas profundidades. Union Bay, Seattle USA. Tsai (1969) citada por [11] respuesta del suelo. La primera consiste en acumular una cantidad suficiente de registros de la respuesta del suelo en un gran número de sitios con un amplio rango de condiciones de suelo para distintas magnitudes de terremoto y diferentes distancias epicentrales. La predicción del movimiento probable en superficie en un nuevo sitio se logra por comparación directa con información registrada previamente con las condiciones de sitio apropiadas. Este método resulta extremadamente caro y requiere de muchos años para adquirir la cantidad de información requerida. La segunda metodologı́a consiste en el uso de terremotos de baja intensidad o microtemblores como base para evaluar los efectos de sitio. Esta metodologı́a requiere de instalaciones móviles para registrar temblores débiles para un amplio rango de condiciones de sitio. La principal limitación de este método es que la respuesta de un depósito de suelo varı́a de acuerdo con la intensidad del movimiento en la roca base. Este hecho es atribuido principalmente al comportamiento no lineal del suelo. Evidencia experimental ha sido encontrada por [5] en las estaciones SMART1 Y STMART2 en Taiwan. Otro ejemplo es mostrado en la figura 1.2, donde se muestra la variación de la aceleración espectral y de la frecuencia de mayor amplificación de acuerdo con la intensidad del movimiento. Cuando la intensidad del movimiento es mayor, las frecuencias que se amplifican son las menores. El factor de amplificación (la relación entre la aceleración en la superficie y la aceleración en la base de un depósito de suelo) generalmente disminuye conforme la intensidad del. 2.

(7) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2006-I-26. Figura 1.2: Espectro de amplitud de aceleración de Fourier obtenidos de El Centro, California para tres terremotos distintos teniendo aproximadamente la misma distancia epicentral de 27 km. Trifunac(1973). Citado por [11] terremoto aumenta. La tercera metodologı́a se basa en análisis de resultados de ensayos de suelo apropiados. Esta metodologı́a busca incorporar al análisis de respuesta en sitio el comportamiento histerético no lineal del suelo. En este sentido dos alternativas pueden ser tomadas: 1) implementar un juego de ensayos de laboratorio y de campo para analizar el comportamiento de la rigidez, la resistencia y el amortiguamiento del suelo a distintos niveles de deformación; 2) utilizar un modelo esfuerzo-deformación y alimentarlo con parámetros de suelo obtenidos a partir de algunos pocos ensayos. Al final, cualquiera de las dos alternativas genera como resultado curvas de modulo de cortante G y tasa de amortiguamiento D contra deformación cortante γ. Estas curvas son introducidas a un modelo de propagación de ondas y resuelto generalmente usando la aproximación lineal equivalente. Esta tercera metodologı́a da origen a distintas relaciones esfuerzo-deformación para describir el comportamiento del suelo en condiciones de cortante simple. El objetivo de estos modelos es describir fenómenos observados en laboratorio y en campo tales como la degradación de la rigidez con el número de ciclos [21], la variación del amortiguamiento y la rigidez con el nivel de deformación y la influencia de la presión de confinamiento en la rigidez, entre otros. Modelos bilineales, hiperbólicos, de Ramberg-Osgood o modificaciones de éstos han sido utilizados desde los años 60’s. Modelar el comportamiento del suelo bajo condiciones complejas de cargas cı́clicas no es una labor fácil. La calibración de un modelo esfuerzo deformación resulta una tarea aún. 3.

(8) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2006-I-26. menos fácil. La falta de resultados de ensayos de laboratorio en una, dos y tres dimensiones y la falta de mediciones esfuerzo-deformación en corte simple para diferentes condiciones de carga se convierten en un gran obstáculo para la calibración [36]. Otra dificultad se presenta a la hora de calibrar un modelo completo para el análisis de respuesta de sitio con un evento y sitio reales. La calibración requiere de tres elementos. El primero consiste en una caracterización completa del perfil de suelo y de sus distintos estratos mediante ensayos de laboratorio y de campo. El segundo es un sistema para registrar terremotos tanto en superficie como en roca, como mı́nimo. El tercer componente es el evento sı́smico; es necesario que un terremoto ocurra y sea registrado. Difı́cilmente las tres componentes se dan en un mismo sitio. La práctica actual para evaluar la respuesta dinámica de un depósito de suelo ha confiado tradicionalmente en la comúnmente usada aproximación lineal equivalente para modelar el comportamiento no lineal del suelo y su dependencia del nivel de deformación. Este procedimiento simplificado supone que la no linealidad del suelo puede ser representada a través de un medio con propiedades visco-elásticas, donde el módulo de cortante G y el factor de amortiguamiento D son constantes para cada nivel de deformación y para cada frecuencia. Obviamente, este tipo de análisis es muy simplificado y no debe ser considerado como exacto. Generalmente la solución más utilizada para resolver un sistema de capas visco-elásticas es la obtenida en el dominio de la frecuencia para un estado de vibración estable. Esta solución es implementada en el programa SHAKE [40]. Una solución completa requiere además de la solución transiente [39]. Por otra parte, la solución en el dominio del tiempo presenta importantes ventajas sobre la solución tradicional en el dominio de la frecuencia: preserva la causalidad, permite la incorporación de un comportamiento no lineal y dependiente del tiempo, y no requiere hacer uso del principio de superposición [7]. Modelos unidimensionales de propagación de ondas para el análisis de respuesta son comúnmente utilizados para estimar el movimiento en la superficie del suelo y usarlo como información de entrada en el diseño de estructuras [24]. La aproximación lineal equivalente sigue siendo usada como herramienta en el estudio de microzonificaciones sı́smicas de distintas ciudades en el mundo [44], [10], [8], [1]. Los modelos usados en la actualidad se basan en formas hiperbólicas o relaciones de Ramberg-Osgood. Estos modelos están sujetos a lo que se conoce como reglas de Masing. Una hipérbola básica puede ser definida por dos parámetros, el módulo de cortante a bajas deformaciones Gmax y la resistencia al cortante τmax . Debido a que las relaciones esfuerzo deformación del suelo no siguen necesariamente la trayectoria de una hipérbola, uno o más parámetros deben ser introducidos para modificar la forma de la hipérbola. Las relaciones de Ramberg-Osgood son modelos de tres parámetros que logran una mejor aproximación que el de la hipérbola [36]. En la actualidad existen distintos programas con modelos no lineales para el análisis de 4.

(9) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2006-I-26. respuesta de sitio. Uno de ellos utiliza la versión de [45] de la ley constitutiva hipoplástica para describir el comportamiento del suelo, y un esquema de diferencias finitas para solucionar la propagación de ondas. Este modelo funciona para materiales granulares y se basa en el principio de esfuerzos efectivos. Este modelo ha sido implementado en el programa FLAC 3D (www.itasca-udm.com). En las secciones siguientes se tratan aspectos relevantes de la dinámica de suelos que dan origen a los modelos desarrollados durante los años 60’s y 70’s principalmente y que son comúnmente usados en la práctica de la ingenierı́a geotécnica actual. Estos temas son abordados con base en [11]. Seguidamente se muestran los aspectos más relevantes de los modelos más usados en la práctica actual: hiperbólico, Ramberg-Osgood y lineal equivalente.. 1.2.. Comportamiento del suelo. 1.2.1.. Naturaleza del suelo. El suelo es un agregado de partı́culas discretas cuyos vacı́os están llenos de agua y/o aire. Debido a esto, el suelo es un material de dos o tres fases y su estado es completamente descrito solo si los esfuerzos correspondientes a cada fase y la relación volumétrica entre las fases son descritos. Si por razones prácticas y simplicidad solo se consideran suelos completamente saturados o completamente secos, todavı́a es necesario describir el estado de esfuerzos del esqueleto sólido (esfuerzos efectivos), los esfuerzos en el agua (presión de poros) y la relación de vacı́os e.. 1.2.2.. Condiciones de drenaje en problemas de terremotos. En general, la disipación de presión de poros durante un proceso de carga depende de la velocidad de carga, el coeficiente de permeabilidad y las condiciones de borde del problema. En problemas de dinámica de suelos la velocidad de deformación es lo suficientemente alta para hacer que el proceso de migración del agua sea prácticamente despreciable. Por esta razón, la mayorı́a de los suelos completamente saturados o parcialmente saturados se deforman bajo condiciones de humedad constante. Para suelos completamente saturados el proceso de deformación ocurre bajo volumen constante. Para suelos extremadamente gruesos, dada su alta permeabilidad, las condiciones de drenaje libre pueden prevalecer. Condiciones de drenaje intermedio entre estas dos condiciones extremas también pueden existir. En estos casos debe acoplarse el problema dinámico de deformaciones transientes con un modelo que describa el flujo del agua.. 5.

(10) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. 1.2.3.. MIC 2006-I-26. Variables independientes. El comportamiento mecánico de un elemento de suelo depende de su estado inicial (relación de vacı́os, estructura, y estado de esfuerzos) ası́ como de la manera como el incremento de esfuerzos es aplicado (trayectoria de esfuerzos, velocidad de deformación, y condiciones de drenaje). Se ha encontrado en laboratorio que los efectos de estas siete variables pueden ser tenidos en cuenta con buena aproximación por medio de cuatro factores independientes: la tasa de deformación, la trayectoria de esfuerzos, el estado de los esfuerzos efectivos y la relación de vacı́os.. 1.3.. Relaciones esfuerzo-deformación. La estructura del suelo es una de las variables principales que influyen en el comportamiento mecánico del suelo. Las uniones relativamente débiles entre las distintas fases y entre las partı́culas sólidas permiten considerables cambios en la estructura del suelo incluso bajo pequeños incrementos de carga. En este sentido, el suelo cambia como material durante la carga, y por lo tanto sus propiedades son función del proceso de carga. Esto imposibilita el uso en la práctica de ecuaciones constitutivas simples para describir la respuesta del suelo ante cargas dinámicas. En lugar de esto, las propiedades del suelo son determinadas en el laboratorio o en el campo, teniendo en cuenta que las condiciones iniciales de la muestra correspondan lo más cercanamente posible a las condiciones esperadas en el sitio de estudio. Desde luego, el suelo ha sido idealizado como un material elástico. La relación esfuerzodeformación elástica, ofrece algunas ventajas, entre ellas, que requiere pocos parámetros. Cuatro propiedades caracterizan el comportamiento del suelo bajo cargas dinámicas: el modulo cortante G (o el modulo de elasticidad E) para bajas amplitudes de deformación cı́clica, el amortiguamiento interno D, la relación esfuerzo deformación para grandes amplitudes de deformación cı́clica, y la resistencia bajo cargas cı́clicas. La relación de Poisson es otra propiedad requerida para describir la respuesta dinámica del suelo. La determinación de ésta propiedad resulta dificil en condiciones distintas a la no drenada.. 1.3.1.. Módulo cortante para pequeñas amplitudes de deformación. Cuando una muestra de suelo es sometida a un esfuerzo cortante sufre deformaciones que son parcialmente irreversibles, independientemente de la magnitud de la deformación. Esto significa que las curvas esfuerzo-deformación para carga y descarga no coinciden, ver figura1.3. Si la magnitud de la deformación es pequeña, la diferencia entre curvas sucesivas de recarga tiende a desaparecer. Si la deformación es mayor, después de unos pocos ciclos de 6.

(11) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. Carga. τ. MIC 2006-I-26. Descarga. γ Figura 1.3: Curvas esfuerzo deformación. Las trayectorias de carga y descarga no coinciden, y despues de algunos ciclos de carga puede observarse un ciclo cerrado. similar amplitud la curva esfuerzo-deformación se convierte en un ciclo cerrado que puede ser descrito por dos parámetros: la pendiente promedio y el area encerrada. El primer parámetro define el módulo cortante G, y el segundo el amortiguamiento interno D. Los factores más importantes que afectan el módulo de cortante de los suelos son en general la amplitud de deformación cortante, el esfuerzo efectivo inicial, la relación de vacı́os y el nivel de esfuerzo cortante. La historia de esfuerzos, el grado de saturación, la frecuencia de la carga, la velocidad de carga, la temperatura y la tixotropı́a (propiedad de ciertos materiales que se comportan como un lı́quido ante fuerzas vibratorias y luego se solidifican cuando estas fuerzas son retiradas) tienen distintos niveles de influencia en los suelos blandos, [37]. 1.3.1.1.. Para suelos granulares. Para amplitudes de deformación cortante menores a γ = 10−4 los suelos granulares exhiben un módulo de cortante Gmax casi constante. Los factores que más influyen en Gmax son el esfuerzo medio efectivo σ m y la relación de vacı́os e. [19] y [17] proponen expresiones semi-empı́ricas para Gmax para suelos con granos redondeados, (ecuación 1.1) y para suelos con granos angulares (ecuación 1.2), con Gmax y σ m en psi.. 1.3.1.2.. Gmax = 2630. (2,17 − e)2 0,5 σm 1+e. (1.1). Gmax = 1230. (2,97 − e)2 0,5 σm 1+e. (1.2). Para suelos blandos. Para amplitudes de deformación cortante menores a aproximadamente γ = 10−5 a γ = 10−6 , los efectos de la relación de vacı́os, el esfuerzo medio efectivo y la historia de. 7.

(12) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2006-I-26. carga (representado por la relación de sobreconsolidación OCR) pueden ser expresados por la ecuación 1.3 [18], donde Gmax y σ m están en psi y K es una función del ı́ndice de plasticidad IP y pueden ser obtenidos de la tabla 1.1. Gmax = 1230. (2,97 − e)2 (OCR)K σ m 0,5 1+e. IP 0 20 40 60 80 ≥ 100. (1.3). K 0 0.18 0.30 0.41 0.48 0.50. Tabla 1.1: Valores de K. Tomada de [18] [42] han propuesto una relación empı́rica para describir la variación del modulo con respecto a la amplitud de la deformación. G es normalizado con respecto a la resistencia no drenada Su para eliminar las variaciones intrı́nsecas de las propiedades del suelo (ver figura 1.4 ) Efecto del tiempo El tiempo transcurrido después de la consolidación primaria también afecta G. Una vez termina la consolidación primaria, el esfuerzo efectivo permanece constante pero la relación de vacı́os decrece (Creep). Cuanto mayor sea el ı́ndice de viscosidad del suelo mayor es la velocidad con la que la relación de vacı́os disminuye. Para el mismo esfuerzo efectivo, el módulo cortante G crece cuanto menor sea la relación de vacı́os. Marcuson and Wahls (1972) (citados por [11]) proponen expresiones empı́ricas, ecuaciones 1.4 y 1.5, para tener en cuenta este efecto sobre las caolinitas y las bentonitas respectivamente. Gr = 1,0 + 0,046Tr ,. (1.4). Gr = 1,0 + 0,242Tr ,. (1.5). Gr es la relación entre el módulo de cortante G en el tiempo t respecto al módulo de cortante obtenido cuando se produce el 100 % de la consolidación primaria. Tr es la razón entre el tiempo de consolidación de interés y el tiempo del 100 % de la consolidación. Esta anotación implica que el módulo de cortante hallado en el laboratorio, con muestras. 8.

(13) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2006-I-26. Figura 1.4: Modulo de cortante normalizado G/Su vs. deformación cortante γ en suelos cohesivos. (Seed and Idriss, 1970) citado por [11] remoldeadas recién consolidadas, debe ser corregido con las ecuaciones 1.4 y 1.5 para que se parezca a las condiciones del campo. Efecto de la cementación y la capilaridad Los efectos de la cementación y la capilaridad sobre el comportamiento del suelo han sido estudiados por [37]. Algunos de estos efectos se describen a continuación. Todos los suelos naturales experimentan algún grado de cementación diagenética, es decir, fuerzas entre las partı́culas de naturaleza diferente a la fricción, aparecen con el tiempo. Los suelos cementados comparados con los suelos remoldeados presentan diferencias como: un modulo de cortante mayor para pequeñas deformaciones, una débil dependencia del estado de esfuerzos, una mayor tendencia a la dilatancia , una perdida de rigidez después de la ruptura del cementante, una predisposición a la localización de las deformaciones y mayor sensibilidad a los procesos de muestreo, sobretodo para bajas deformaciones, entre otras. Generalmente la cementación está asociada a una disminución de la saturación. Existe un umbral de deformación que divide en dos regı́menes el comportamiento de los suelos. Micromecánicamente, esta deformación se considera como la separación entre dos partı́culas vecinas cuando una fuerza actuante sobre ellas es retirada. El valor del umbral de deformación es distinto para suelos no cementados, cementados y para suelos parcialmente 9.

(14) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2006-I-26. T N. ε. 0. εG a). T. b). c). Figura 1.5: Esquema del umbral de deformación para a) Suelos no cementados, b) Suelos cementados y c) Suelos parcialmente saturados. Tomada de [37] saturados. La deformación es normalizada por la distancia entre partı́culas 2R, donde R es el radio de las partı́culas. En suelos no cementados, una partı́cula sujeta a un esfuerzo de confinamiento efectivo σ0. tiene una deformación δhertz que es completamente recuperada cuando el esfuerzo se. retira (ver figura 1.5a). El umbral de deformación εN seria:. εN. δhertz = ≈ 2R. . σ0 Gg. 2 3. (1.6). Gg es la rigidez del mineral que compone la partı́cula. En suelos cementados, el desplazamiento necesario para romper los enlaces atómicos se supone equivalente a 1Å (ver figura 1.5b). El umbral de deformación normalizado εC serı́a: εC ≈. 1Å 2R. (1.7). Este análisis sugiere que que el umbral de deformación para suelos cementados es más pequeño en partı́culas grandes. En suelos parcialmente saturados, cuando dos partı́culas son desplazadas entre sı́, el menisco entre ellas eventualmente se rompe. Esto sucede cuando el la succión dentro del menisco desaparece (ver figura 1.5c). El umbral de deformación normalizado εU serı́a: 1. εU ≈ 0,7w 3. (1.8). La deformación que causa la falla del menisco depende del contenido de agua gravimétrica w, y es independiente del diámetro de la partı́cula. La deformación requerida para romper el menisco en suelos parcialmente saturados es órdenes de magnitud mayor que la deformación requerida para romper la cementación o para perder el contacto entre partı́culas por la recuperación elástica de los contactos en la descarga. La deformación para romper el menisco es mayor que la deformación de falla. 10.

(15) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2006-I-26. del suelo, excepto para contenidos de agua muy bajos. Por lo tanto la capilaridad afecta la resistencia de los suelos. Observaciones experimentales sugieren que el umbral de deformación para suelos finos resulta ser mucho menor que el que determina la micromecánica. La ruptura ocurre a nivel de los agregados de las partı́culas y no a nivel de las partı́culas. El umbral de deformación elástico para muestras inalteradas y remoldeadas en la arcilla de Bisaccia muestra un incremento después del remoldeo de γ ≈ 7 × 10−5 a γ ≈ 2×−4 . Esto indica que el remoldeo hace que el comportamiento sea menos frágil. [37]. La rigidez a pequeñas deformaciones Etan puede ser calculada desde el punto de vista micromecánico usando la teorı́a de Hertz (1881) para un sistema de dos esferas elásticas [38]. Considérese dos esferas en contacto, ambas hechas de material lineal elástico, ver figura 1.6. El área inicial de contaco es nula. Por lo tanto, cuando una pequeña fuerza normal N es aplicada por primera vez en una dirección normal al plano de contacto entre las esferas, una gran deformación del contacto es necesaria para obtener un esfuerzo de contacto σc necesario para el equilibrio. Cargas adicionales sucesivas de fuerza ∆N encuentran, incrementalmente, mayores áreas de contacto, y producen menores deformaciones incrementales ∆δ. Por lo tanto, las grandes deformaciones ocurren a muy bajas cargas en el contacto, mientras que deformaciones incrementales cada vez menores ocurren cuando mayores incrementos de carga de contacto son aplicados. Por lo tanto, la respuesta carga-deformación es no lineal. La distribución del esfuerzo de contacto es parabólico y tiene la forma. σc r. 0. 3N = 2πrc2. s. 1−. r0 rc. 2 (1.9). donde r0 es la distancia medida desde el centro del contacto y rc es el radio del contacto rc = R. s 3. 3 (1 − υg ) N , 8Gg R2. (1.10). donde R es el radio de la partı́cula, Gg y υg son la rigidez a cortante y la relación de Poisson del material que compone las esferas, respectivamente. Expresado en términos del módulo de Young Eg Gg =. E . 2 (1 + υg ). (1.11). La fuerza normal N puede ser expresada en términos de un esfuerzo normal promedio. 11.

(16) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2006-I-26. N. δ. rc. R. Figura 1.6: Contacto Hertziano. Dos particulas de radio R hecas de materila elástico lineal cargadas con una fuerza N normal al contacto de radio rc . Tomada de [38]. σ. La expresión 1.10 es entonces rc = R. s 3. 3 (1 − υg ) σ . 2 Gg. (1.12). El módulo tangencial para un esqueleto compuesto por esferas Etan y sometido a carga uniaxial es Gg dσ = = dε (1 − υg ). Etan. s 3. 3 (1 − υg ) σ . 2 Gg. (1.13). Combinando las ecuaciones 1.13 y 1.12 se obtiene Etan r 1 c. = Eg 2 1 − vg2 R. (1.14). Nótese que el radio rc se incrementa proporcionalmente con el incremento del esfuerzo normal aplicado σ 0 (ver figura 1.7a). rc también se incrementa con la cementación debido a que el radio de contacto aumenta proporcionalmente con el espesor de la capa de cementante t (ver figura 1.7b). Existen numerosas expresiones teóricas y empı́ricas para calcular el modulo Gmax en suelos cementados como lo compila [37]. La velocidad de propagación de onda cortante Vs relacionada directamente con la rigidez del suelo puede calcularse usando la como s Vs =. Gmax =α ρ. . 0 σm 1kPa. β ,. (1.15). donde ρ es la densidad del suelo, α es la velocidad para una presión de confinamiento de 0 es el esfuerzo efectivo y β es el exponente. Esta ecuación 1 kPa en unidades de [m/s], σm. también puede ser usada para suelos con cementante. En éstos suelos dos regı́menes son 12.

(17) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2006-I-26. Controlado por Conrtolado cementación Por esfuerzo. rc. a). Vs Incremento de cementación. R t. rc. b) σy. σ. c). Figura 1.7: Efecto de la cementación en la velocidad de onda cortante. Tomado de [37] observados (ver figura 1.7c): El régimen donde la velocidad de onda cortante es controlada por la cementación. En esta región la rigidez aumenta con muy bajo esfuerzo de confinamiento. Si la ecuación 1.15 es usada para suelos cementados, el valor del exponenete β → 0 y la rigidez es independiente del esfuerzo. El régimen donde la velocidad de onda cortante es controlada por el esfuerzo. Esta región comienza después de un valor de fluencia σy .. 1.4.. Reglas de Masing. La descripción de un ciclo de histéresis en el plano esfuezo cortante-deformación cortante requiere de un modelo con muchos parámetros. La importancia de éste ciclo de histéresis es que a partir de él es posible obtener módulos de rigidez G y factores de amortiguamiento D. El uso de las reglas de Masing [25] permiten describir el ciclo histerético completo a partir de una curva esfuerzo deformación aplicando unas sencillas reglas geométricas (ver figura 1.8): 1. Cuando la dirección de carga cambia completamente (va en reversa), la pendiente de la relación esfuerzo-deformación, inmediatamente después del cambio, es aproximadamente igual a Gmax , independientemente de la amplitud de deformación del ciclo de carga. 2. Después del primer cuarto de ciclo de carga, la escala de la relación esfuerzo-deformación cambia en un factor de dos. Pyke [36] ha demostrado que las hipótesis de Masing son inválidas. Sin la intensión de Masing, la adopción de sus hipótesis se han convertido en un obstáculo para lograr un mejor modelamiento del comportamiento no lineal del suelo. Debido a que Masing 13.

(18) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2006-I-26. Gmax Gmax. τ. τ. Primer cuarto. Escalados por 2. γ. γ. Figura 1.8: Reglas de Masing. escribió sus hipótesis en alemán, parece que pocos investigadores modernos han leı́do su artı́culo completo. En su artı́culo, Masing describe su hipótesis, un simple experimento para probarla, y concluye que la hipótesis no es soportada por el experimento [36].. 1.5.. Amortiguamiento. Cuando una onda sı́smica se propaga por el suelo, una parte de su energı́a es absorbida por el suelo, lo que produce en una disminución de la amplitud de las ondas. Comúnmente, las expresiones propuestas para cuantificar el amortiguamiento hacen referencia a la porción de energı́a disipada en el suelo con respecto a la energı́a de la onda sı́smica que llega al sitio. La fracción restante de energı́a, llamada energı́a acumulada, es la que permite que la onda sı́smica continúe su proceso de propagación por el suelo. En la figura 1.9 se muestran esquemáticamente las porciones de energı́a. Las proporciones de energı́a disipada por fricción y por arrastre viscoso están exageradas. Existen dos mecanismos principales de disipación de energı́a en el suelo: disipación por fricción entre grano y grano, y el arrastre viscoso que ejerce el agua de los poros sobre el esqueleto de suelo. En un rango de deformaciones altas, el mecanismo predominante de disipación es friccionante. Para deformaciones bajas, el mecanismo de disipación por viscosidad del fluido se incrementa. Ambos mecanismos de disipación han sido estudiados por [13] y la siguiente discusión está basada en este trabajo. Otras contribuciones como la quiebra de los granos no se tiene en cuenta debido a que son procesos que no ocurren continuamente durante un proceso cı́clico [37].. 1.5.1.. Mecanismo de disipación de energı́a por fricción. Si dos partı́culas del suelo en forma de esfera están en contacto bajo una fuerza normal N y una fuerza tangencial T , un deslizamiento total o parcial puede ocurrir en el área de. 14.

(19) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2006-I-26. Figura 1.9: Conceptualización de la energı́a acumulativa transmitida al suelo por el terremoto y sus porciones de energı́a disipada por mecanismos de fricción y de viscosidad. Tomado de [13] contacto. Las fuerzas de contacto y los desplazamientos son mostrados en la figura 1.10. El área de contacto aumenta proporcionalmente con la fuerza normal N como se mencionó en 1.3.1.2. Si una fuerza tangencial T es aplicada, la deformación relativa entre los centros de las partı́culas δ aumenta. Sin embargo, un deslizamiento total a lo largo del área de contacto no sucede mientras T = f ·N donde N es la fuerza normal y f es el coeficiente de fricción en la superficie del contacto. En la figura 1.10 se muestra la distribución de esfuerzos cortantes τc y normales σc para el sistema de dos esferas sujetas a fuerzas normales y cortantes en su contacto. Nótese que los esfuerzos cortantes más altos se alcanzan en el radio exterior del contacto y disminuyen hacia el centro. El esfuerzo que se opone al deslizamiento es f veces σc . Por lo tanto el deslizamiento comienza en el radio exterior y continua hacia el centro del contacto, pero se detiene en una zona donde T < f · N . Esta distribución genera un patrón de deslizamiento en forma de anillo. Esto muestra que la energı́a es disipada por fricción, incluso antes de que un deslizamiento total en la zona de contacto ocurra. De acuerdo con esto, hipotéticamente, una cantidad infinita de energı́a puede disiparse si T < f · N o, consistentemente si γ < γt h, donde γ es la deformación cortante y γt h es el umbral de deformación (ver sección 1.3.1.2). Por otra parte, durante una carga sı́smica la energı́a es disipada por fricción antes de que ocurra una deformación γ lo suficientemente grande para que supere el umbral de. 15.

(20) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2006-I-26. Figura 1.10: Esquema de fuerzas cortantes, normales y desplazamientos entre partı́culas. deformación γt h, es decir γ > γt h. Debido a que las ondas cortantes de mayor amplitud generalmente se presentan al comienzo del evento sı́smico, el umbral de deformación puede ser superado tempranamente y por lo tanto poca energı́a es disipada antes de esta excedencia. Cuando el umbral de deformación es superado, la energı́a es disipada a través del reacomodo de las partı́culas.. 1.5.2.. Mecanismo de disipación de energı́a por viscosidad. La viscosidad es la medida de la resistencia de un lı́quido a fluir. El arrastre viscoso es la fuerza que resiste el movimiento relativo entre el fluido y el sólido y es análogo a la fuerza de fricción entre dos cuerpos sólidos. Este mecanismo de disipación depende de la velocidad de deformación. Aunque en los problemas no drenados no hay flujo de agua entrante y saliente al sistema, existen migraciones locales de agua que en total hacen que el cambio de volumen sea cero. Conceptualmente, este mecanismo puede asociarse con los amortiguadores viscosos usados en puertas. Internamente el fluido hidráulico viaja de un compartimento a otro a través de un estrecho conducto. Dicho conducto tiene una capacidad máxima para conducir caudal. Cuanto más súbita sea la compresión del amortiguador más dificultad presenta el fluido para ir de una cámara a la otra y la energı́a disipada es mı́nima. Por el contrario cuando una fuerza de compresión se aplica lentamente, el trabajo externo realizado por esta fuerza a lo largo de un desplazamiento es compensado internamente por las pérdidas generadas en el flujo del lı́quido hidráulico mientras va de una cámara a la otra del amortiguador. Para suelos granulares saturados, la porción de energı́a disipada por el mecanismo viscoso se incrementa cuando la amplitud de deformación disminuye. Para grandes amplitudes de deformación el mecanismo dominante de disipación de energı́a es el friccional en lugar del viscoso. 16.

(21) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2006-I-26. t Energía Total disipada (DW). Gg Energía almacenada. Figura 1.11: Ciclo histerético resultante de la aplicación y remoción de un esfuerzo cortante. Definición gráfica de la energı́a almacenada y la energı́a disipada por unidad de volumen.. 1.5.3.. Modelos de disipación de energı́a. Si una fuerza tangencial es aplicada a dos esferas elásticas (ver figura 1.10), removida, y luego aplicada nuevamente, la gráfica de la relación fuerza-desplazamiento resultante describe un ciclo histerético. La representación del ciclo histerético es a menudo realizada a través de modelos bilineales, hiperbólicos, o de Ramberg-Osgood. La gráfica también puede ser representada en términos de esfuerzo cortante τ y deformación cortante γ como es mostrado en la figura 1.11. El área encerrada dentro del ciclo representa la energı́a disipada por unidad de volumen del material ∆W . En el caso de las arenas, la velocidad de aplicación de las cargas produce alteraciones despreciables en la forma del ciclo histerético. En arcillas, el comportamiento viscoso altera la forma del ciclo histerético cuando la velocidad de carga se altera. Esto implica que para una amplitud dada, la cantidad de energı́a disipada es independiente de la frecuencia de aplicación de las cargas. Por el contrario, la energı́a disipada por mecanismos viscosos es proporcional a la frecuencia de aplicación de las cargas. En arenas saturadas, el área encerrada por el ciclo de histéresis está compuesto por los aportes de los mecanismos de fricción y por arrastre viscoso, y sus contribuciones no pueden ser distinguidas. Desde el punto de vista macromecánico, el amortiguamiento interno se relaciona con el decaimiento de la amplitud de oscilación. Este fenómeno es medido bajo condiciones de vibración libre o resonancia. Algunos de los parámetros usados para medir el amortiguamiento interno ψ son: el decremento logarı́tmico δ; el ángulo de fase entre la fuerza externa aplicada y la deformación ϕ; y la tasa de amortiguamiento D. Los mas comunes son la tasa de amortiguamiento (tasa de amortiguamiento viscoso respecto al crı́tico) y el decremento logarı́tmico (decremento logarı́tmico de la amplitud de vibración en un ciclo de vibración 17.

(22) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2006-I-26. Gmax. t. 1. G. tmax. 1. DW. Gg Ggmax W. Figura 1.12: Esquema de la relación esfuerzo deformación, el módulo de cortante y la razon de amortiguamiento. libre ln (ui /ui+1 ), donde ui es el desplazamiento pico en el ciclo i). Estos parámetros son relacionados a través de la expresión ψ = 2δ = 2πϕ = 4π. D 1. (1.16). (1 − D2 ) 2. 1.6.. Modelo hiperbólico. En esta sección se tratará el modelo hiperbólico propuesto por [18]. Este modelo establece una relación esfuerzo-deformación para condiciones de corte simple cı́clico que oscilan entre valores de esfuerzo positivos y negativos de igual magnitud (conocido como descarga completa de esfuerzos). Para la descarga completa de los esfuerzos, la relación esfuerzo deformación es un ciclo. Este ciclo es definido por dos parámetros: la pendiente de la lı́nea que une sus puntos extremos, modulo secante de corte G; y la tasa de amortiguamiento D = ∆W/ (4πW ), donde ∆W es el área encerrada del ciclo y W es el área del triángulo mostrado en la figura 1.12. De acuerdo a este modelo, el comportamiento dinámico del suelo puede ser descrito por el módulo cortante G y la tasa de amortiguamiento D. La construcción de este ciclo obedece a las reglas de Masing (ver sección 1.4). Adicionalmente, son incorporados tres conceptos en el modelo: la deformación de referencia γr , la existencia de una relación simple entre el módulo de cortante y la tasa de amortiguamiento en el ciclo de carga, y la descripción de la variación del módulo cortante y la tasa de amortiguamiento en términos de una relación esfuerzo deformación definida por los puntos extremos del ciclo. Para esto es usada una relación esfuerzo deformación hipérbolica modificada.. 18.

(23) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. 1.6.1.. MIC 2006-I-26. Deformación de referencia γr. La deformación de referencia es usada para normalizar el efecto del esfuerzo de confinamiento y se define como γr =. τmax , Gmax. (1.17). donde Gmax es módulo de cortante máximio definido como la pendiente inicial de la curva esfuerzo cortante-deformación cortante (cerca al origen), y τmax es una ası́ntota horizontal que corresponde al esfuerzo cortante de falla (figura 1.12). Gmax puede ser calculado usando las ecuaciones 1.1 y 1.2, y τmax a partir de la envolvente de falla del circulo de Mohr mediante la expresión " τmax =. 2 2 # 21 (1 + K0 ) (1 + K0 ) σ v sin φ + c cos φ − σv , 2 2. (1.18). donde K0 es el coeficiente de reposo, σ v es el esfuerzo vertical efectivo, y c y φ son los parámetros de resistencia estática en términos del esfuerzo efectivo.. 1.6.2.. Relación entre el módulo de cortante y la tasa de amortiguamiento. Para establecer la relación entre el módulo cortante G y la tasa de amortiguamiento D es necesario hacer dos suposiciones. La primera suposición se basa en la primera hipótesis de Masing (ver sección 1.4). La segunda suposición es que el área rayada ∆W/2 (ver figura 1.13) es un porcentaje constante del área del triángulo AABC . Por lo tanto ∆W/2 = K1 AABC , donde K1 es una constante. De acuerdo con esta suposición y a la figura 1.13, la tasa de amortiguamiento seria D = (2K1 /π) [1 − G/Gmax ]. En esta ecuación cuando G = 0, D = Dmax , el máximo valor de tasa de amortiguamiento. Sustituyendo la condición Dmax = (2K1 /π), la relación entre el módulo de cortante y el amortiguamiento es dado por la ecuación D = Dmax 1 −. G Gmax. .. (1.19). Dmax depende de la frecuencia, del esfuerzo de confinamiento y del número de ciclos. [18] presenta una tabla con valores de Dmax para distintos tipos de suelo.. 1.6.3.. Modificación de la relación hiperbólica. La relación hiperbólica básica tiene la forma de la ecuación 1.20 τ=. γ 1 Gmax 19. +. γ τmax. (1.20).

(24) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2006-I-26. Gmax. t. 1. A. G 1. Gg Gmax 1 C. D. B. Figura 1.13: Relación geométrica entre el modulo cortante y la tasa de amortiguamiento. Tomada de [18] que reescrita de una manera distinta toma la forma de la ecuación 1.21 G 1 = γ Gmax 1+ γr. (1.21). donde γr es la deformación de referencia. Reemplazando la ecuación 1.21 en la ecuación 1.19 se obtiene la ecuación 1.22 que es la relación entre la tasa de amortiguamiento y la deformación.. γ D γr = γ Dmax 1+ γr. (1.22). Las ecuaciones 1.22 y 1.21 no se ajustan a los resultados experimentales obtenidos de los suelos [18]. Por lo tanto se introduce una modificación para aumentar los grados de libertad de las ecuaciones y permitir un mejor ajuste. Ésto se logra definiendo la deformación hiperbólica γh como. γ γ γh = 1 + a · exp −b , γr γr. (1.23). donde a y b son constantes y e es la base del logaritmo natural. [18] presentan una tabla con valores de a y b para distintas condiciones de humedad y clases de materiales. Introduciendo esta modificación las ecuaciones para el módulo de rigidez y la tasa de amortiguamiento toman la forma. G 1 = , Gmax 1 + γh. 20. (1.24).

(25) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2006-I-26. γh D = , Dmax 1 + γh. 1.7.. (1.25). Modelo de Ramberg-Osgood. Este modelo establece una relación esfuerzo-deformación caracterizada por τy y γy que corresponden al lı́mite de proporcionalidad (γy , τy ), el módulo de cortante máximo Gmax y dos parámetros α y r, (ver figura 1.14). La relación para carga tiene la forma γ=. . τ. +α. Gmax. τ Gmax. r ,. Tt/ty. (1.26). Gmax 1. Carga. Tt0 Recarga. Gg0 Gg/gy Descarga. Figura 1.14: Modelo constitutivo de Ramberg-Osgood. El modelo lineal elástico (cuando α = 0) y el modelo elástico perfectamente plástico (cuando r → ∞) son descritos por este modelo como sus casos lı́mites. La construcción del ciclo histerético obedece también a las reglas de Masing (ver sección 1.4). α y r determinan el grado de concavidad y la posición de la curva inicial de carga, respectivamente. Estos parámetros deben ser ajustados hasta lograr una suficiente aproximación con los datos experimentales. De acuerdo con la figura 1.14 las ecuaciónes del modelo constitutivo son: γ τ = +α γy τy γ − γ0 τ − τ0 = +α 2γy 2τy. . . τ τy. r para carga,. τ − τ0 2τy. 21. (1.27). r para descarga, y. (1.28).

(26) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. γγ. MIC 2006-I-26. τ Gγ. G. η. ηγ. Figure 1. Schematic representation of stress-strain model used in. Figura 1.15: Representación esquemática de la relación esfuerzo deformación usada en el modelo lineal equivalente. τ + τ0 γ + γ0 = +α 2γy 2τy. . τ + τ0 2τy. r para recarga.. (1.29). El modelo hiperbólico y el de Ramberg-Osgood generalmente son resueltos por integración numérica a lo largo de pequeños incrementos de tiempo. Estos dos modelos permiten calcular deformaciones permanentes.. 1.8.. Modelo lineal equivalente. Comúnmente, el comportamiento histerético del suelo es aproximada usando modelos hiperbólicos o de Ramberg-Osgood. Sin embargo, incluso con estas aproximaciones, una ecuación diferencial parcial no lineal de segundo orden es necesaria para describir el fenómeno de la propagación de ondas. Esta dificultad es superada haciendo una simplificación llamada linealización equivalente. Esta técnica se basa en la idea de reemplazar un sistema no lineal por un sistema lineal relacionado de tal manera que la diferencia entre los dos sistemas es minimizado de manera estadı́stica [13]. La técnica del modelo lineal equivalente es usado en el programa shake [40]. En el sistema no lineal, el suelo responde con una rigidez que depende de la amplitud de deformación, la velocidad de deformación, la historia de esfuerzos (carga o descarga), del esfuerzo de confinamiento y de la relación de vacı́os, principalmente G = G(γ, γ̇, σc , e, . . .) como se mencionó en la sección 1.2.3. El modelo unidimensional lineal equivalente supone un arreglo horizontal de capas visco-elásticas. La relación esfuerzo deformación para el suelo se basa en un modelo acoplado resorte-amortiguador como el mostrado en la figura 1.15. La tasa de amortiguamiento se supone independiente de la frecuencia. La solución de la propagación de las ondas de cortante se hace en el dominio de las frecuencias. El modelo necesita como parámetros de entrada las relaciones G vs. γ, D vs. γ y la densidad de cada estrato. La ecuación de movimiento unidimensional para la propagación vertical de ondas de. 22.

(27) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2006-I-26. cortante está dada por ρ. ∂2u ∂τ = , 2 ∂t ∂z. (1.30). donde ρ es la densidad del suelo, u es el desplazamiento horizontal, τ el esfuerzo cortante y z es la profundidad. Si se supone que el suelo responde como el sistema resorte-amortiguador mostrado en la figura 1.15 la ecuación 1.30 se transforma en ρ. ∂2u ∂2u ∂3u = G + η , ∂t2 ∂z 2 ∂z 2 ∂t. (1.31). donde G es la rigidez del resorte y η es el coeficiente de amortiguamiento viscoso. La solución para ondas armónicas de la ecuación 1.31 es u (z, t) = U (z) · exp (iwt) , donde i es. √. (1.32). −1 y w es la frecuencia. Combinando las ecuaciones 1.31 y 1.30 se obtiene (G + iwη). d2 U = ρw2 U, dz 2. (1.33). cuya solución general es U (z) = E · exp (ik ∗ z) + F · exp (−ik ∗ z) ,. (1.34). ρw2 es el número complejo de onda, y G∗ = G + iwη es el módulo complejo. G∗ La solución de la ecuación quedarı́a entonces como. donde k ∗ =. u (z, t) = [E · exp (ik ∗ z) + F · exp (−ik ∗ z)] · exp (iwt) ,. (1.35). y el esfuerzo correspondiente τ (z, t) = ik ∗ G∗ [E · exp (ik ∗ z) + F · exp (−ik ∗ z)] · exp (iwt). (1.36). El sistema puede ser resuelto para n capas de suelo aplicando condiciones de compatibilidad de esfuerzos y desplazamientos en las interfaces de cada capa y con la condición de borde en la superficie del sistema τ1 (0, t) = ik1∗ G∗1 (E1 − F1 ) eiwt = 0.. 1.9.. Crı́tica En algunos casos [9] se ha mostrado que modelos simplificados desacoplados no son capaces predecir adecuadamente el comportamiento de un depósito de suelo sometido a los movimientos inducidos por un terremoto, pero sin embargo proveen una 23.

(28) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2006-I-26. aproximación muy útil [39]. Los análisis pseudo-estáticos de estabilidad y de deformaciones no predicen adecuadamente el comportamiento de estructuras cimentadas sobre depósitos de suelo porque no permiten tener en cuenta los efectos de la respuesta transiente. Los efectos de la solución transiente pueden cobrar importancia en suelos blandos sometidos a trenes de aceleración de perı́odos cortos [39]. Los análisis de respuesta dinámicos que usan el método lineal equivalente predicen enormes deformaciones, generación de presión de poros y aceleraciones cuando el sistema se aproxima a la resonancia durante el movimiento. Los análisis en el tiempo de la migración de presión de poros deben ser realizados mediante modelos tridimensionales. En ese mismo estudio se encontró que modelos completamente no lineales parcialmente acoplados como el implementado en el programa FLAC predicen con mayor aproximación el comportamiento del suelo bajo cargas sı́smicas. La predicción de la aceleración del suelo y de la generación de la presión de poros resulta menos aproximada en comparación con la predicción de deformaciones permanentes. El principio de superposición es válido en sistemas lineales. Debido a que el suelo se comporta como un sistema eminentemente no lineal durante un evento sı́smico, el principio de la superposición pierde validez. Por lo tanto, la solución de sistemas lineales usando un análisis en el dominio de la frecuencia resultan inapropiados por superponer soluciones independientes para obtener la solución total del sistema. Los resultados obtenidos usando cualquier metodologı́a no pueden dar una aproximación mayor a la que los parámetros de entrada tienen. [36] en su artı́culo hace una crı́tica a los modelos usados actualmente en el análisis de respuesta de sitio. Pyke hace cuatro crı́ticas: 1. Los modelos hiperbólicos o de Ramberg-Osgood tienden a observar las reglas de Masing. Esa caracterı́stica no solo hace más difı́cil la aproximación de los modelos al comportamiento real del suelo, sino que previenen el desarrollo de deformaciones permanentes en los casos donde hay un esfuerzo cortante inicial en la dirección de la carga cı́clica subsecuente. Esta limitación no es crı́tica en los análisis unidimensionales de respuesta de sitio, pero es crı́tica en análisis no lineales donde el objetivo es determinar las deformaciones permanentes. 2. Tienden a no seguir la degradación (decaimiento del módulo secante) y la degeneración (cambio de forma) que ocurre en las relaciones esfuerzo-deformación de la mayorı́a de suelos bajo cargas cı́clicas. 3. No producen el amortiguamiento a bajas deformación observado en ensayos elementales y mediciones de campo. Esto no resulta significante en análisis de 24.

(29) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2006-I-26. respuesta de sitio para sismos fuertes, pero puede ser importante en el análisis de sismos débiles. 4. Producen más amortiguamiento a niveles de deformación moderado a alto que los observados en ensayos elementales.1 Durante años se han invertido numerosos esfuerzos en obtener las curvas de modulo de rigidez al cortante G y amortiguamiento contra γ a través de modelos o de numerosos ensayos de campo y laboratorio. El objetivo de todos estos esfuerzos no debe ser obtener estas curvas, sino obtener un modelo constitutivo que sea capaz de reproducir todo estos fenómenos. [20] han mostrado que los modelos lineales son útiles para predecir la respuesta del suelo frente a terremotos débiles (para deformaciones menores que γ ≤ 0,5 % según [46] o entre γ = 1−2 %). Aunque el modelo de [18] resulta ser adecuado para predecir la respuesta ante sismos fuertes, la comparación entre los registros en Lotung y los simulados muestra que el modelo subestima los valores de aceleración en superficie. [46] mediante la comparación de los tres modelos (Lineal equivalente, Hiperbólico y de Ramberg-Osgood) encuentran mejores aproximaciones usando análisis en esfuerzos efectivos que análisis no lineales y que los análisis no lineales son siempre mejores que los lineales equivalentes. El análisis unidimensional lineal equivalente es la metodologı́a más usada en el análisis de respuesa de sitio en Estados Unidos según encuesta realizada por [22] tanto a firmas privadas como instituciones públicas. En dicho estudio, se nota la preocupación de los consultores por la aplicabilidad de esta metodologı́a a casos con posibilidad de licuación, con suelos blandos o donde puedan presentarse terremotos muy fuertes. El uso de modelos no lineales está condicionada a la incertidumbre sobre la forma de obtener los parámetros de entrada y a la falta de validación de estos modelos con casos bien documentados. Estos condicionamientos deben ser la tarea principal de quienes pretenden difundir modelos constitutivos más capaces. El modelo lineal equivalente hacen uso del módulo secante de rigidez al corte. Por lo tanto, la rigidez sólo depende del nivel de deformación. Este aspecto no permite identificar procesos de carga y descarga debido a que para un mismo nivel de deformación dos rigideces tangenciales pueden existir: una para carga y otra para descarga (esta última es generalmente mayor que la primera). El uso de un módulo tangencial de rigidez al cortante permite incorporar la dependencia de la rigidez con la historia de deformaciones, ver figura 1.16. 1. Hardin se basa en que Gmax es constante. [5] tiene evidencia experimental de campo de que Gmax no. 25.

(30) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2006-I-26. Gdescarga. τ. Gcarga. γ1. γ. Figura 1.16: Para el mismo nivel de deformación γ1 existen dos módulos de corte tangenciales, uno para carga y otro para descarga. Según [7] el modelo histerético de amortiguamiento usado por SHAKE no es fisicamente posible. Para los casos estudiados, SHAKE sobreestima la amplificación del primer modo y de los modos más grandes. Cuanto más distantes son los puntos input y outpout mayor es la amplificación en la solución calculada por el SHAKE. También se encontró que cuanto menor sea la intensidad del terremoto mayor es la sobreestimación del SHAKE. Para estos casos, la solución en el dominio del tiempo es inmune a estas dos condiciones y provee una mejor solución en la mayorı́a de los casos. A diferencia de las soluciones en el dominio de la frecuencia, los métodos en el dominio del tiempo son capaces de incorporar directamente el comportamiento no lineal y la dependencia del tiempo (permite tener en cuenta efectos viscosos). La aproximación en el dominio del tiempo preserva la causalidad (por ejemplo la historia de deformación) y mantiene la lı́nea del tiempo [7]. Tradicionalmente, las evaluaciones de la solución de la ecuación de onda han sido hechas en el dominio de la frecuencia debido a que los cálculos resultan mucho más rápidos. La solución en el dominio del tiempo supone que el evento puede ser representado por un juego de funciones armónicas sinusoidales sin principio ni fin. Sin embargo, los terremotos son causales, transientes y están muy lejos de ser armónicos. Por estas razones la solución en el dominio del tiempo es intuitivamente más apropiado para estimar los movimientos del suelo[7]. Uno de los aspectos más importantes dentro del análisis de respuesta de sitio es la determinación de Gmax . El suelo en todo momento presenta algún grado de cementación [37]. El valor de Gmax obtenido mediante métodos geofı́sicos corresponde a un suelo cementado en la mayorı́a de los casos. Durante un terremoto, las deformaciones rápidamente superan el umbral de deformación y por lo tanto el efecto de la cemenpermanece constante con el número de ciclos.. 26.

(31) CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2006-I-26. tación se pierde. Por esta razón, el Gmax obtenido mediante estas técnicas resulta no ser representativo para sismos fuertes.. 27.

(32) Capı́tulo 2. Modelo constitutivo El modelo visco-hipoplástico utilizado para simular el comportamiento de los suelos de Bogotá es una modificación del modelo hipoplástico desarrollado en la Universidad de Karlsruhe. En ésta sección se describe de forma general el modelo hipoplástico y viscohipoplástico con base en el trabajo de [15], [30], [28] y [29]. Existe también otro modelo visco-hipoplástico desarrollado en la misma universidad y propuesto por Gudehus [35] que guarda muchas similitudes con el modelo hipoplástico. Este último modelo no será tratado en este trabajo.. 2.1.. Notación. En este documento el suelo es considerado como un material continuo. El comportamiento es descrito matemáticamente a través de cantidades tensoriales. La notación usada en [4] y [29] es adoptada. A continuación se muestran algunas consideraciones de la notación utilizada: Los tensores de primer orden (vectores) son escritos con letras minúsculas en negrilla (v). Tensores de segundo orden son escritos con letras mayúsculas en negrilla (T). La posición espacial de un punto dentro del continuo es representada por un vector de posición en coordenadas cartesianas, por ejemplo x = x (x1 , x2 , x3 ), ó x = xi ei , donde i = 1, 2, 3 y e1 , e2 , e3 son los vectores unitarios de posición. Se utiliza la suma de Einsten: s = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 = ai ei . El simbolo kroneker δ es definido como: δij = 1 si 1 = j, en caso contrario δij = 0. El sı́mbolo ()ij extrae la componente ij del tensor que se encuentra dentro le los paréntesis.. 28.

(33) CAPÍTULO 2. MODELO CONSTITUTIVO. MIC 2006-I-26. Los tensores de cuarto orden son escritos en letra Sans-Serif, por ejemplo L, E . El sı́mbolo · indica multiplicación con un ı́ndice mudo; por ejemplo el producto escalar de dos vectores a · b = ai bi . Si el sı́mbolo · se encuentra entre dos tensores, por ejemplo (A · B)ij = Aik Bkj . El sı́mbolo : indica multiplicación con dos ı́ndices mudos, por ejemplo A : B = Aij Bij . √ La norma euclidiana de un tensor se define como kTk = T : T. Los tensores normalizados son denotados por una flecha en su parte superior y se ~ = D definen como D kDk La expresión (i, j) indica la derivada de la cantidad i respecto a j, por ejemplo vi,j = ∂vi /∂xj . Esta operación también puede ser escrita usando la expresión ∂j vi . El tensor 1 es el tensor unitario de segundo orden, con 1 en la diagonal y 0 en el resto de las componentes: 1 = δij . El tensor I es el tensor unitario de cuarto orden. Iijkl =. 1 (δik δjl + δil δjk ). 2. El producto diádico es indicado sin el sı́mbolo ⊗. El producto diádico de dos tensores de segundo orden es un tensor de cuarto orden TT = (TT)ijkl = Tij Tkl El operador tr suma las componentes de la diagonal principal del tensor: e = trε = ε11 + ε22 + ε33 . El operador Div extrae el divergente del tensor. DivT = ∂i Tik ek = ∂Tik /∂xi e1 El operador grad extrae el gradiente de un vector grad u = ∂j ui = ∂ui /∂xj . El esfuerzo adimensional T̂ se define como T̂ =. T . trT. 1 ∗ ∗ El esfuerzo desviador adimensional T̂ se define como T̂ = T̂ − 1. 3 El esfuerzo medio p está relacionado con el tensor de esfuerzos T a través de p = 1 − trT. 3 El esfuerzo desviador q está relacionado con el tensor de esfuerzos T a través de r 3 q= kT∗ k. 2 El movimiento x = x (X, t) de un cuerpo es concebido como una secuencia de sus configuraciones en el tiempo. La configuración es la posición ocupada por el cuerpo (por ejemplo las coordenadas de sus puntos) en un instante particular de tiempo t. 29.

(34) CAPÍTULO 2. MODELO CONSTITUTIVO. MIC 2006-I-26. Las coordenadas Xi (coordenadas de referencia o lagrangianas) hacen referencia a la posición ocupada por una partı́cula en el tiempo t = 0. Las coordenadas xi (coordenadas espaciales o eulerianas) hacen referencia a la posición ocupada por una partı́cula en el tiempo t > 0. La descripción material muestra los cambios que experimentan las cantidades asociadas a un punto dado en una configuración de referencia con respecto al tiempo (por ejemplo, v = v (X1 , X2 , X3 , t)). La descripción espacial muestra los cambios de las cantidades asociadas a una posición fija en el espacio (por ejemplo, v = v (x1 , x2 , x3 , t)). La derivada material de una cantidad es la variación que experimenta una cantidad asociada a una partı́cula material con respecto al tiempo. La derivada material puede ser expresada usando la configuración de referencia θ̇ =. ∂θ (X, t) ∂t. , X=const. o usando la configuración espacial θ̇ =. ∂θ (x (X, t) , t) ∂t. = X=const. ∂θ (x, t) ∂t. + x=const. ∂θ (x, t) ∂x. · t=const. ∂x (X, t) ∂t. X=const. La derivada espacial de una cantidad es la variación que sufre una cantidad asociada a una posición fija en el espacio con respecto al tiempo ∂θ (x, t) /∂t|x=const . El movimiento de un cuerpo está dado por la variación de su configuración espacial con respecto a la de referencia, F = ∂x/∂X = 1+(Grad u)T . Este movimiento puede descomponerse en una elongación y un giro rı́gido 1 1 Grad u + (Grad u)T − Grad u − (Grad u)T 2 2 1 1 Fij = δij + (ui,j + uj,i ) − (ui,j − uj,i ) 2 2 T F = 1++Ω F = 1+. (2.1) (2.2) (2.3). donde es el tensor infinitesimal de deformación y Ω es el tensor infinitesimal de giro. Si la configuración de referencia es igual a la actual entonces x = X y F = 1 pero Ḟ 6= 1. El gradiente espacial Lij = vi,j de la velocidad vi puede ser descompuesto en. 30.

(35) CAPÍTULO 2. MODELO CONSTITUTIVO. MIC 2006-I-26. su parte simétrica y antisimétrica Li,j Li,j Dij Wij. 2.2.. ∂vi (x, t) ∂xj = Dij + Wij 1 = (vi,j + vj,i ) 2 1 = (vi,j − vj,i ) 2 = Ḟij =. (2.4) (2.5) (2.6) (2.7). Introducción. Hipoplasticidad es una ley constitutiva incremental no lineal desarrollada para materiales granulares. Este modelo es capaz de reproducir el comportamiento disipativo, el flujo plástico y efectos no lineales con una sola ecuación tensorial. Hipoplasticidad es una ley fenomenológica: esto signigica que sus ecuaciones no han sido derivadas de leyes fı́sicas fundamentales, sino que han sido inventadas o acomodadas a partir de datos experimentales, y teniendo en cuenta principios relevantes de la fı́sica. El modelo hipoplástico describe el comportamiento del suelo en términos de variables macroscópicas como el esfuerzo o la relación de vacı́os, considerando el suelo como un continuo, sin brindar una descripción detallada del movimiento de cada partı́cula como lo hacen los procedimientos micromecánicos. El modelo constitutivo es formulado en términos de variables de estado y parámetros del material. Las variables de estado son las caracterı́sticas del material referidas a un instante particular de tiempo. Estas cantidades cambian durante el proceso mecánico. Si durante un proceso mecánico no se producen cambios en las variables de estado, un estado asintótico ha sido alcanzado. En general, las variables de estado son la densidad expresada como la relación de vacı́os y el esfuerzo. Los parámetros del material son cantidades que no cambia durante el proceso mecánico de interés. Practicamente, las propiedades del suelo no cambian durante procesos mecánicos con rangos de esfuerzos que varı́an desde algunos kPa hasta varios miles de kPa, para condiciones normales de temperatura, relación de vacı́os, etc. Algunas propiedades del suelo pueden cambiar debido al tiempo o a procesos biológicos, quı́micos o térmicos. Hipoplasticidad se interesa en describir exclusivamente procesos mecánicos durante periodos de tiempo relativamente cortos. Por lo tanto, los efectos del tiempo (excepto para los efectos viscosos), biológicos, quı́micos o térmicos son despreciados . El modelo hipoplástico considera que el material es homogéneo e isotrópico. Esto significa que los parámetros del material no dependen de la posición (homogéneo) ni del sistema de coordenadas utilizado (isotrópico). Materiales son idealizados como esqueletos sı́mples y no presentan estructura ni sus granos tienen algún tipo de arreglo u orientación especı́fica.. 31.

(36) CAPÍTULO 2. MODELO CONSTITUTIVO. MIC 2006-I-26. Sin embargo, el estado de esfuerzos en el material puede ser anisotrópico. En resumen, hipoplasticidad considera materiales isotrópicos pero permite estados anisotrópicos. Las leyes constitutivas deben obedecer los siguientes axiomas conocidos como los principios de la mecánica del contı́nuo racional: principio del determinismo – el esfuerzo resulta de la deformación precedente del cuerpo, principio de la acción local – la deformación fuera de un pequeño y arbitrario vecindario alrededor de un punto puede ser despreciada en la determinación del esfuerzo en ese punto, principio de la independencia del marco de referencia – dos observadores inerciales deben medir el mismo esfuerzo en el mismo punto, principio de la equipresencia – todas las variables de estado independientes deben estar incluidas formalmente en la ecuación constitutiva a menos que su ausencia pueda ser probada o si su presencia resulta en contra de algún principio fı́sico o matemático, principio de la pérdida de memoria – eventos ocurridos anteriormente en la historia de deformación tienen menos influencia en la respuesta mecánica actual del cuerpo que los recientes. En la mecánica de sólidos al usar la teorı́a de la elasticidad, la deformación es concebida como el cambio en la forma de un cuerpo con respecto a su configuración no deformada (libre de esfuerzos). En suelos, a diferencia de los sólidos elásticos, es dificil establecer una configuración no deformada, o libre de esfuerzos. Ésto se debe a que el suelo no tiene forma. Por esta razón, la escogencia de la configuración de referencia se vuelve arbitraria. Debido a que la configuración de referencia es arbitraria, las deformaciones calculadas con respecto a ésta también lo son. En hipoplasticidad se considera que la configuración de referencia es la misma configuración actual x = X (ver sección 2.1). El uso de la configuración actual como configuración de referencia conduce a obtener, luego de la integración de la velocidad de deformación, deformaciones logarı́tmicas 1 ij = ln 2. . ∂xi ∂xj ∂Xk ∂Xk. .. (2.8). Esta medida de las deformaciones resulta más precisa cuando las deformaciones son grandes, representa mejor los cambios de volumen tr y es independiente de las rotaciones de cuerpo rı́gido.. 32.

(37) CAPÍTULO 2. MODELO CONSTITUTIVO. MIC 2006-I-26. En hipoplasticidad, el comportamiento del suelo depende del esfuerzo efectivo o esfuerzo de Cauchy T asociado a un punto material X. Este esfuerzo corresponde solo al esfuerzo de la fase sólida del suelo. El esfuerzo total Ttot comprende el esfuerzo en el esqueleto de suelo T y el esfuerzo del lı́quido de los poros pl 1, Ttot =T + pl 1. El esfuerzo T es calculado como si el material estuviera seco. La derivada material en el tiempo del esfuerzo de Cauchy Ṫ cambia con las rotaciones de cuerpo rı́gido (respecto a un sistema de coordenadas fijo de referencia {e1 , e2 , e3 }). Por esta razón, ésta cantidad no cumple con el principio de independencia del marco de referencia (Objetividad). Una medida objetiva de la velocidad de esfuerzos consiste en asociar cada ∃ con un sistema de coordenadas ortogonales definido componente del tensor de esfuerzos Tab. por los vectores unitarios {r1 , r2 , r3 } embebidos en el material deformable, de tal manera que ellos sigan la rotación del cuerpo pero que no cambien con la velocidad de deformación. Si ri = R · ei y ∃ T = Tij ei ej = Tab ra rb ,. (2.9). ∃ en un punto material no durante la rotación de cuerpo rı́gido F=R las componentes Tab. cambian, mientras que las componentes Tij sı́. Si se escoge un sistema de coordenadas momentáneo embebido en el material {r1 , r2 , r3 } de tal manera que F=R=1, entonces ri = ei y ṙ=W · ei . La derivada material en el tiempo de 2.9 es (ver sección 2.1) ∃ ra rb + Tab ṙa rb + Tab ra ṙb Ṫ = Ṫab. (2.10). = T̊ + Tab W · ra rb + Tab ra W · rb = T̊ + W · ra rb Tab + Tab ra · rb · WT T̊ = Ṫ + T · W − W · T,. (2.11). donde el tensor T̊ es la medida objetiva de la velocidad de esfuerzos y es conocido como el tensor objetivo de Zaremba-Jaumann. En la ecuación 2.11 el tensor T̊ depende del material mientras que T · W − W · T dependen de la rotación de cuerpo rı́gido y son independientes del material.. 2.3.. Ecuación básica. El modelo hipoplástico usa ecuaciones del tipo incremental (o ecuaciones evolutivas) que en forma general relacionan la velocidad de esfuerzos con la velocidad de las deformaciones T̊ = H (T, D, ...) ,. 33. (2.12).