Efecto del número de partículas y la anisotropía sobre la superficie de fluencia de materiales granulares cementados a partir de simulaciones con elementos discretos
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(3) Agradecimientos. A Dios por poner su gracia sobre mí y por abrirme las puertas. A Nicolás Estrada por toda su ayuda, dirección y entusiasmo en este proyecto. A mi papá y a mi mamá por su apoyo incondicional y su paciencia durante toda la carrera..
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(5) Índice general. 1.. Introducción. 1. 2.. Método numérico. 2. 3.. Construcción de las muestras 3.1. Generación 3.2. Enfriado 3.3. Densificación 3.4. Eliminación de partículas. 3 4 4 5 5. 4.. Ensayo biaxial. 9. 5.. Resultados 5.1. Tamaño de la muestra 5.2. Efecto de la anisotropía. 10 10 14. 6.. Conclusiones. 18.
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(7) 1. Introducción En arenas, los suelos cementados se generan por precipitación o sedimentación de silicio en los contactos de las partículas, mientras que en suelos arcillosos se genera por la unión en frío entre partículas a presión alta, la sedimentación de carbonatos, hidróxidos y material orgánico, la re-cristalización de minerales durante el desgaste, la modificación de la capa de agua adsorbida y las fuerzas de atracción entre partículas. La resistencia y la rigidez que aporta la cementación solo se considera como una característica general de la mecánica de rocas, sin embargo muchos de los suelos formados naturalmente son cementados y no sería correcto asumir que son rocas, ya que su comportamiento es más complejo. [4] Los suelos cementados pueden ser estables en configuraciones muy sueltas, resistir esfuerzos de tracción, presentar un comportamiento casi-rígido hasta llegar al punto de fluencia, y sufrir una degradación gradual de la estructura cementada una vez que el suelo fluya. La cementación aumenta tanto la resistencia del material como el dominio de esfuerzos donde el material es firme. [4] Los modelos elastoplásticos desarrollados en los años 60 en Cambridge [5, 6, 7], han sido adaptados para tomar en cuenta los efectos de la cementación [8, 9, 10, 11, 12], y describen el concepto de fluencia de los suelos cementados. Dichos modelos conforman una herramienta poderosa al ser aplicados en situaciones prácticas de la ingeniería, y contienen al menos tres elementos conceptuales: 1. Una superficie de fluencia que define la frontera entre el dominio elástico y el plástico. 2. Una regla de flujo que determina la dirección de las deformaciones plásticas. 3. Una regla del comportamiento pos-fluencia (endurecimiento o ablandamiento) que determina la evolución de la superficie de fluencia en función de las deformaciones plásticas. Evidentemente, el potencial de resultados al usar este tipo de modelos se encuentra directamente ligado a los tres elementos mencionados, y determinarlos experimentalmente no es nada fácil. Para esto se necesita ensayar varias muestras “idénticas” bajo una variedad estados, y esto es difícil y requiere mucho tiempo. Además, la dependencia de estos elementos con parámetros usuales como la relación de vacíos y la anisotropía no se ha entendido, por lo que es complicado predecir estos elementos. Para entender mejor estos elementos conceptuales es conveniente estudiarlos en sistemas simplificados. La simulación con elementos discretos se adapta bien a este estudio por dos razones: permite la construcción de materiales modelo con un número limitado de parámetros que tengan un significado físico claro, y por consiguiente, los elementos conceptuales no se imponen como un parámetro de entrada como en los modelos que utilizan la mecánica del continuo, sino que se generan como resultado del modelo. Por otra parte, la utilización de este método numérico permite ensayos de la misma muestra en un sinnúmero de estados, solucionando el problema descrito anteriormente. El propósito de este trabajo de grado es estudiar la superficie de fluencia de un material granular cementado mediante simulaciones con el método de elementos discretos. Específicamente se buscará responder la siguiente pregunta: ¿Cuál es el efecto del número 1.
(8) de partículas y de la anisotropía en el tamaño y la forma de la superficie de fluencia? El material estudiado es una versión simplificada de un suelo cementado, y tiene las siguientes características: 1. Los granos son rígidos y de forma circular (i.e., modelo en dos dimensiones). 2. El material es polidisperso (i.e, granos con distintos tamaños) e isotrópico. 3. El modelo de contactos imita el comportamiento mecánico de enlaces cementados. El comportamiento mecánico del material se estudio mediante un ensayo biaxial utilizando cuatro muros rígidos, lo que permite aplicar cualquier patrón de deformaciones o esfuerzos en las dos direcciones. Para contestar la pregunta se determinaron las superficies de fluencia para varias muestras con distintos números de partículas (i.e., 2500, 5041, 10000, 19881 y 40000) y con distintos valores de anisotropía estructural (i.e; 0.032, 0.057, 0.083, 0.106 y 0.124).. 2. Método Numérico Los ensayos biaxiales se realizaron utilizando el método de la dinámica de contactos, desarrollado por J.J. Moreau [13] y M. Jean [14, 15] en los años 90. Dicho método funciona para modelar arreglos de partículas rígidas y se puede comprender como la superposición de tres aspectos: 1. Un conjunto de ecuaciones que determina el movimiento de cada partícula. 2. Una serie de leyes de contacto que rigen el comportamiento de los contactos. 3. Un algoritmo de solución. En [16, 17] o en el apéndice de [18] pueden encontrar una explicación detallada del método de la dinámica de contactos. El modelo de contactos utilizado para imitar el comportamiento mecánico de los enlaces cementados se implementó en el marco del método de la dinámica de contactos, y se describe en la Figura 1, presentada a continuación.. Figura 1: Representación del modelo de contactos empleado para imitar la cementación. (a) Antes de la falla los enlaces soportan tracción, fricción y momentos. (b) Después de la falla los contactos solo resisten fricción.. 2.
(9) La resistencia de un enlace cementado sometido a tracción está en función de de la resistencia a tracción del material cementante y el espesor del contacto ℓ, donde es un factor adimensional (i.e., 0.1 para las simulaciones presentadas en este trabajo) y ℓ es el diámetro medio de las dos partículas en contacto. La resistencia última a la tracción está dada por 1. ℓ. La resistencia al corte de un enlace cementado se calcula utilizando la ley de Coulomb, la cual plantea que la fuerza tangencial no puede exceder un valor máximo , que es , donde es la fuerza de compresión en el contacto, y el coeficiente de función de rozamiento estático del material cementante . La resistencia última al corte está dada por 2 Para calcular la resistencia al momento de los enlaces cementados se utilizó el mismo concepto que en la resistencia al corte, aunque suponiendo condiciones dinámicas. Ésta es función de , el coeficiente de rozamiento dinámico del material cementante , y el diámetro medio de las dos partículas en contacto ℓ. La resistencia última al momento está dada por 3. ℓ. Si se alcanza alguna de las tres condiciones planteadas en las ecuaciones 1-3 en un enlace cementado, se presentará una falla. Consultar [19] para una explicación detallada del modelo de cementación.. 3. Construcción de las Muestras El propósito del proceso de construcción fue construir muestras de igual compacidad (i.e., 0.6). Ésta es representado por la variable Φ y se define como Φ. V V. 4. donde V es el volumen ocupado por las partículas y V es el volumen total de la muestra. Cabe anotar que se utilizaron distintos parámetros para la descripción de los contactos para el proceso de construcción de muestras y para el ensayo biaxial de las mismas. Esto se debe a que los contactos entre partículas al momento de realizar el ensayo, debían representar el comportamiento mecánico de los enlaces cementados.. 3.
(10) Parámetro. Valor 0,1 30 KPa 0.3 0. Tabla 1: Parámetros de contacto durante la construcción de las muestras. Para este proyecto se crearon dos tipos de muestras, isotrópicas y anisotrópicas. Las primeras fueron creadas con el fin de determinar el número de partículas requeridas en una muestra para obtener una superficie de fluencia coherente y precisa del material representado. Por otra parte, las anísotrópicas se crearon para ver el efecto que tienen distintos valores de anisotropía estructural sobre la superficie de fluencia del material representado en las muestras. La construcción de las muestras isotrópicas se compone de tres fases: generación, enfriado, y densificación, mientras que la construcción de las anisotrópicas parte de la fase de densificación hacia otra fase denominada eliminación de partículas. A continuación se describen los cuatro procesos mencionados (en todas las simulaciones presentadas en este proyecto la gravedad fue asumida como cero). 3.1. Generación Se realizaron cinco tamaños distintos de muestras (ver fin de la introducción) con diámetros uniformemente distribuidos entre 0.6 y 2.4 , donde es el diámetro medio (i.e., 0.01). Las partículas fueron asignadas aleatoriamente en los nodos de una grilla cuadrada de 100x100 elementos, donde cada uno tiene una longitud de 2.4 para evitar el traslapo entre partículas. Adicionalmente a cada partícula se le asignó una velocidad aleatoria entre 0 y 0.1 m/s. 3.2. Enfriado En esta fase, las partículas se podían mover libremente dentro de las paredes. A medida que las partículas chocaban entre sí, tendían a pegarse como respuesta a las propiedades de los contactos. De este modo las partículas se acumularon gradualmente en grupos hasta que finalmente se detuvieron por causa de las colisiones inelásticas. Cabe anotar que para las simulaciones presentadas en este trabajo, se asumió que la energía disipada en las colisiones entre partículas fue nula.. 4.
(11) Figura 2: (a) Foto y zoom de una muestra generada con el procedimiento de generación. (b) Foto y zoom de una muestra generada al final de la fase de enfriado.. 3.3. Densificación Después del enfriamiento las muestras fueron densificadas tras movilizar las paredes lentamente hacia el interior. De esta manera logramos obtener muestras de igual densidad para todos los tamaños (i.e., Φ 0.6). A continuación se muestra una foto de una muestra de 10,000 partículas obtenida con este procedimiento con su respectiva distribución de contactos. Nótese que el diagrama de contactos se asemeja a un círculo, lo que refleja la isotropía de la muestra.. Figura 3: Foto y zoom de una muestra obtenida al final de la densificación; también se muestra la distribución de las orientaciones de los contactos. 3.4. Eliminación de partículas El objetivo de esta fase fue construir muestras con distintos grados de anisotropía a partir de las muestras más densas posibles e isotrópicas alcanzadas con el procedimiento de la fase anterior. Para lograr esto se definió un criterio de eliminación de partículas que permite obtener muestras con distintos grados de anisotropía e igual compacidad Φ. El procedimiento consiste en recorrer todos los contactos entre partículas en la muestra y 5.
(12) definir para cada partícula una propiedad asociada a su contribución a la proporción global de contactos horizontales. Dicha propiedad se describe con la variable y se define como 1. 1. cos 2. 5. donde es el número de contactos de cada partícula y es el ángulo de cada uno de los contactos medido siempre desde la horizontal en el sentido inverso a las manecillas del reloj (ver Figura 4). De esta manera se calculó un para cada partícula y se procedió a eliminar aquellas con mayor , y otras aleatoriamente hasta que la muestra alcanzó la compacidad deseada (i.e., Φ 0.27). Para obtener distintos grados de anisotropía se definió una probabilidad ajustable por el usuario que determina la cantidad de partículas que se eliminan teniendo en cuenta el valor de . De modo que entre mayor sea esta probabilidad la eliminación de partículas con mayor contribución de contactos horizontales será mayor, y la eliminación aleatoria de partículas será menor. Esto da como resultado que entre mayor sea la probabilidad, mayor será la anisotropía de la muestra. En las Figuras 5-9 se muestran fotos de las muestras para cada una de las probabilidades utilizadas (i.e., 0.05, 0.10, 0.15, 0.20 y 0.25) al final del proceso de eliminación de partículas. Adicionalmente en la Figura 10 se muestra la distribución de contactos de todas las probabilidades utilizadas y se comparan con una distribución perfectamente isotrópica; podemos observar cómo la proporción de contactos horizontales disminuye al aumentar la probabilidad. Cabe anotar que dichas probabilidades generaron las anisotropías descritas en la introducción de este documento.. Figura 4: Ángulo. de la ecuación 5. 6.
(13) Figura 5: Foto y zoom de una muestra de probabilidad 0.05. Figura 6: Foto y zoom de una muestra de probabilidad 0.10. Figura 7: Foto y zoom de una muestra de probabilidad 0.15. 7.
(14) Figura 8: Foto y zoom de una muestra de probabilidad 0.20. Figura 9: Foto y zoom de una muestra de probabilidad 0.25. 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25. Figura 10: Distribución de contactos para cada probabilidad utilizada. 8.
(15) 4. Ensayo Biaxial Después de haber construido las muestras, les fueron asignados unos nuevos parámetros, descritos a continuación: Parámetro. Valor inicial 0.1 30 KPa 0.3 0.0167. Valor residual 0 0 0.3 0. Tabla 2: Parámetros de contacto durante el ensayo biaxial.. Los parámetros iniciales le fueron asignados a todos los contactos al principio del ensayo, mientras que los residuales le fueron asignados a los contactos cementados que se rompieron durante el ensayo y a los nuevos contactos creados durante el mismo. Nótese que este conjunto de parámetros describe el comportamiento mecánico de los enlaces cementados, ya que todos los contactos al inicio del ensayo biaxial resisten fuerzas de tensión, fuerzas de cortante y momentos, mientras que después de la rotura solo existe un comportamiento friccionante.. Figura 11: (a) Representación del ensayo biaxial. (b) Conjunto de direcciones de deformaciones plásticas utilizadas en cada uno de los ensayos; la línea punteada representa las muestras deformadas.. 9.
(16) Al principio del ensayo las muestras fueron cuadradas con ancho y altura , y cada una de las paredes se movió lentamente una distancia /2 y /2 [Figura 11(a)]. Las deformaciones principales y se calcularon como 6 Las deformaciones volumétricas y desviadoras, como. y. respectivamente, se calcularon 7. Al controlar los desplazamientos de las paredes durante el ensayo, se impusieron distintas direcciones de deformaciones plásticas, para las cuales se ensayaron todas las muestras construidas [Figura 11(b)].. 5. Resultados El esfuerzo medio y el desviador se calcularon como 2. 2. 8. donde y son los esfuerzos horizontales y verticales respectivamente. Dichos esfuerzos se pueden calcular a partir de las fuerzas ejercidas sobre las paredes por las partículas, y la longitud de las paredes, y . Con el fin de realizar un análisis que no dependa de la escala de magnitud de los esfuerzos locales , se realizó un análisis basado en cantidades adimensionales. Para esto se hiso una normalización de los esfuerzos y , y surgieron ∗ y ∗ : ∗. /. ∗. /. 9. 5.1. Tamaño de la muestra De esta manera se identificaron los esfuerzos de fluencia para cada ensayo en un plano ∗ ∗ , y se trazaron superficies de fluencia para las muestras según su tamaño, dado por el número de partículas. Adicionalmente para cada tamaño de muestra se realizaron varias de igual compacidad para mejorar las estadísticas de las medidas. Las Figuras 12-16 describen la superficie de fluencia promedio de cuatro muestras para cada tamaño, excepto para la muestra de 40000 partículas donde se utilizaron dos muestras. Los puntos de las gráficas en dichas figuras son los puntos de fluencia para cada una de las muestras, y las líneas que salen de la superficie son los vectores de incremento de deformaciones plásticas. Adicionalmente en la Figura 17 se muestra cada uno de los promedios de las superficies calculadas en una sola gráfica, donde A es la de 2500 partículas y E la de 40000.. 10.
(17) 0,15. t*. 0,05. ‐0,05. ‐0,15 ‐0,15. ‐0,05. 0,05. 0,15. 0,25. 0,15. 0,25. s* Figura 12: 2500 partículas. 0,15. t*. 0,05. ‐0,05. ‐0,15 ‐0,15. ‐0,05. 0,05 s*. Figura 13: 5041 partículas. 11.
(18) 0,15. t*. 0,05. ‐0,05. ‐0,15 ‐0,15. ‐0,05. 0,05. 0,15. 0,25. 0,15. 0,25. s* Figura 14: 10000 partículas. 0,15. t*. 0,05. ‐0,05. ‐0,15 ‐0,15. ‐0,05. 0,05 s*. Figura 15: 19881 partículas. 12.
(19) 0,15. t*. 0,05. ‐0,05. ‐0,15 ‐0,15. ‐0,05. 0,05. 0,15. 0,25. s* Figura 16: 40000 partículas. 0,15. 0,05 A t*. B C D. ‐0,05. E. ‐0,15 ‐0,15. ‐0,05. 0,05. 0,15. s* Figura 17: Todas las superficies de fluencia. 13. 0,25.
(20) 5.2 Efecto de la anisotropía Para las muestras anisotrópicas se calculó la superficie de fluencia para cada una de las cinco anisotropías propuestas utilizando muestras de 19881 partículas. Para cada una de las anisotropías, descritas por su probabilidad correspondiente, se utilizaron cuatro muestras para obtener mejores resultados. Las Figuras 18-22 muestran las superficies de fluencia calculadas y en la Figura 23 aparecen todas las superficies anisotrópicas en una sola gráfica ∗ atravesadas por la línea ∗ . Adicionalmente la Figura 24 incluye la superficie de fluencia promedio de la probabilidad más pequeña utilizada (i.e., 0.05) con la superficie promedio de 19881 partículas; la superficie de probabilidad 0.05 se encuentra expandida 10 veces para poder hacer una comparación razonable.. 0,015. t*. 0,005. ‐0,005. ‐0,015 ‐0,015. ‐0,005. 0,005 s*. Figura 18: Probabilidad 0.05. 14. 0,015.
(21) 0,015. t*. 0,005. ‐0,005. ‐0,015 ‐0,015. ‐0,005. 0,005. 0,015. s* Figura 19: Probabilidad 0.10. 0,015. t*. 0,005. ‐0,005. ‐0,015 ‐0,015. ‐0,005. 0,005 s*. Figura 20: Probabilidad 0.15. 15. 0,015.
(22) 0,015. t*. 0,005. ‐0,005. ‐0,015 ‐0,015. ‐0,005. 0,005. 0,015. s* Figura 21: Probabilidad 0.20. 0,015. t*. 0,005. ‐0,005. ‐0,015 ‐0,015. ‐0,005. 0,005 s*. Figura 22: Probabilidad 0.25. 16. 0,015.
(23) 0,015. 0,005 0.05 t*. 0.1 0.15 0.2. ‐0,005. 0.25. ‐0,015 ‐0,015. ‐0,005. 0,005. 0,015. s* Figura 23: Todas las probabilidades. 0,15. t*. 0,05. ‐0,05. ‐0,15 ‐0,15. ‐0,05. 0,05. 0,15. s* Figura 24: Probabilidad de 0.05 e isotrópica de 19881 partículas. 17. 0,25.
(24) 6. Conclusiones A partir de las simulaciones realizadas se obtuvieron una serie de resultados importantes para la modelación en dos dimensiones de materiales granulares cementados mediante el método de elementos discretos. En primer lugar, al simular muestras isotrópicas con distintos tamaños y diámetros de partículas uniformemente distribuidos entre el 60% y el 240% del diámetro medio se observó que no hay una variación considerable ente las superficies de fluencia calculadas para cada uno de los tamaños. Sin embargo, para que esto sea cierto, se deben utilizar al menos cuatro modelos para calcular la superficie de fluencia, salvo para 40000 partículas o más, donde utilizar un solo modelo arroja resultados contundentes. Otra observación importante en las superficies de fluencia calculadas es la acumulación de puntos en los extremos izquierdo y derecho para todos los tamaños simulados; hay una acumulación de puntos de fluencia en las situaciones de compresión isotrópica y tensión isotrópica. Adicionalmente se puede observar que a pesar de que la variación entre una superficie y otra es muy pequeña, dichas variaciones son más evidentes en las zonas de compresión confinada y compresión isotrópica (i.e., costado derecho) mientras que en el resto de situaciones las superficies presentan estructuras casi idénticas. Por otra parte, en las simulaciones de los modelos anisotrópicos la escala de las superficies de fluencia disminuyó en el orden de 10 veces en comparación con las superficies isotrópicas. Esto se debe a que el proceso de eliminación de partículas, donde se genera la anisotropía de las muestras es un proceso completamente geométrico e independiente de la mecánica del suelo. Para las anisotropías más bajas se evidencian superficies en forma de rombo o cuadrado girado a 45 grados y a medida que la anisotropía aumenta la superficie adquiere una forma de rectángulo girado a 45 grados guardando una de las dimensiones del rombo inicial (Figura 23). Adicionalmente se marca un eje de simetría de todas las ∗ superficies en una línea ubicada a 45 grados con respecto a la horizontal (i.e., ∗ ). Al comparar la superficie de fluencia del modelo con menor anisotropía y la superficie promedio del modelo isotópico de 19881 partículas (Figura 24), aunque la primera superficie fue escalada por un factor de 10, vemos cómo el costado izquierdo tiende a ser mucho más estable que el derecho, como ya se había mencionado.. 18.
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