Diseño y montaje de un banco de ejes para encontrar velocidades críticas

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(1)DISEÑO Y MONTAJE DE UN BANCO DE EJES PARA ENCONTRAR VELOCIDADES CRÍTICAS. CARLOS ANDRÉS MARTÍNEZ SAMPAYO 200611671. Tesis de pregrado. Asesor: Luis Mario Mateus M.Sc.. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA BOGOTÁ D.C. 2011.

(2) AGRADECIMIENTOS. Quiero agradecer al Ingeniero Luis Mario Mateus, quien fue mi asesor en este proyecto y quien fue el que me orientó en esta última etapa de mi carrera como estudiante de pregrado. También agradezco la colaboración brindada por cada uno de los técnicos del laboratorio de manufactura de la Universidad de los Andes, que me apoyaron en todo el proceso de diseño y montaje de este proyecto. Y finalmente, quiero agradecer a mi familia por todo el apoyo que me dieron durante toda la carrera.. ii.

(3) DEDICATORIA. Quiero dedicar este trabajo a mis padres quienes me apoyaron en este proceso académico y que siempre han estado conmigo, a mi hermano que me ha motivado en los momentos que lo he necesitado y a mis abuelos que me brindaron su apoyo desde que llegué a Bogotá. Por último, quiero dedicar este trabajo a mi abuelo Luis Francisco Martínez, Ingeniero Mecánico, un profesional ejemplar y una persona maravillosa que me enseñó que las cosas se consiguen con voluntad, esfuerzo y dedicación.. iii.

(4) RESUMEN. El proyecto Diseño y Montaje de un Banco de Ejes para Encontrar Velocidades Críticas comprende toda la teoría de flexión y análisis de falla sobre un eje. Este proyecto tiene la particularidad que no solo se queda en el diseño y teoría, también se debe buscar la mejor metodología para implementar de manera aproximada los cálculos realizados en el montaje del banco.. Para ningún ingeniero es un secreto que en la etapa de montaje de un proyecto las cosas no suelen ser como aparecen en una hoja de cálculos. El montaje se vuelve un proceso iterativo hasta encontrar la mejor condición y a partir de ésta, relacionar los resultados teóricos y experimentales. Este proyecto no fue la excepción. Inicialmente, hubo una etapa de diseño donde se aprobaron modelos teóricos, pero finalmente, en la etapa de montaje se hicieron ajustes en el diseño que permitieran tener la mejor condición y resultados experimentales.. Uno de los objetivos de este proyecto es confirmar que la aplicación de un modelo estático sencillo de deflexión de un eje es un buen estimativo para encontrar la velocidad crítica. Se hace énfasis en que el modelo es un buen estimativo, pero en ningún momento se puede asegurar que a cierta velocidad, el eje entrará en resonancia.. Finalmente, los modelos teóricos planteados y los resultados experimentales obtenidos son satisfactorios. El valor teórico calculado de velocidad crítica para cada configuración planteada está dentro de un rango de velocidades en los cuales el eje entra en resonancia experimentalmente. Esta velocidad crítica es característica de cada eje, de su geometría, de las propiedades mecánicas del material, de cómo opera, de las cargas externas aplicadas y otros factores importantes. En conclusión, un modelo teórico generaliza que para un eje de cierto diámetro, con apoyos simples en sus extremos y con una carga externa aplicada en la mitad, éste entrará en resonancia a una velocidad específica, pero a la hora de probarlo, factores como la alineación entre apoyos, la excentricidad del eje y la variación en sus propiedades mecánicas hacen que este valor varié en cierto rango.. iv.

(5) CONTENIDO. AGRADECIMIENTOS................................................................................................................... ii DEDICATORIA ............................................................................................................................iii RESUMEN .................................................................................................................................iv INTRODUCCIÓN......................................................................................................................... 1 SECCIÓN 1: OBJETIVOS Y MARCO TEÓRICO ................................................................................. 2 1.. OBJETIVOS ..................................................................................................................... 2 1.1.. OBJETIVOS GENERALES............................................................................................ 2. 1.2.. OBJETIVOS ESPECIFICOS .......................................................................................... 2. 2.. MARCO TEÓRICO............................................................................................................ 3 2.1.. ANALISIS DE FALLA .................................................................................................. 3. 2.2.. VELOCIDAD CRÍTICA ................................................................................................ 5. SECCIÓN 2: DISEÑO DEL BANCO DE EJES ................................................................................... 12 3.. REDISEÑO DEL BANCO .................................................................................................. 12. 4.. DISEÑO DE LAS MASAS ................................................................................................. 14. 5.. DISEÑO DE EJES............................................................................................................ 15. SECCIÓN 3: MONTAJE Y ACOPLAMIENTO .................................................................................. 22 6.. MONTAJE DEL BANCO DE EJES ...................................................................................... 22. SECCIÓN 4: RESULTADOS Y CONCLUSIONES .............................................................................. 26 7.. RESULTADOS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS...................................................................... 26. 8.. CONCLUSIONES............................................................................................................ 38. BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................... 40 ANEXO. INSTRUMENTACIÓN ................................................................................................... A. ANEXO. PLANOS ................................................................................................................. C. v.

(6) INTRODUCCIÓN. La Universidad de los Andes cuenta actualmente con un banco de ejes para llevar a cabo pruebas de fatiga que permiten ver el comportamiento de determinado eje cuando este se encuentra sometido a fuerzas cortantes. La prueba a fatiga resulta ser una prueba muy utilizada en la industria ya que buena parte de los mecanismos que transmiten potencia fallan por este fenómeno.. Existe un elemento importante del que poco se habla y el cual se debe tener en cuenta a la hora de diseñar un eje cuando este va a estar sometido a velocidades angulares, y es la velocidad crítica en el eje. La velocidad crítica en el eje se encuentra cuando éste entra en resonancia. Este parámetro es importante en la medida que a velocidades angulares cercanas a la crítica los elementos de ajuste sobre el eje tienden a soltarse o en el peor de los casos conducen a la falla del eje o de cada uno de los elementos de sujeción.. El proyecto Construcción de un Banco de Ejes para Encontrar Velocidades Críticas se divide en tres etapas:. -. Análisis de falla y de frecuencias naturales utilizando modelos teóricos que permitan estimar los diferentes parámetros críticos en el sistema.. -. Montaje del banco de pruebas donde se debe garantizar el correcto acoplamiento de todos los elementos involucrados en el sistema de tal forma que los errores que se obtengan en las pruebas experimentales sean mínimos.. -. Resultados y comparación de modelos teóricos y pruebas experimentales buscando que la discrepancia entre resultados sea mínima.. 1.

(7) SECCIÓN 1: OBJETIVOS Y MARCO TEÓRICO. 1. OBJETIVOS. 1.1. OBJETIVOS GENERALES. Este proyecto tiene como objetivo principal el Diseño y Construcción de un Banco de Ejes para Encontrar Velocidades Críticas a partir de las teorías de falla de materiales, permitiendo la aplicación y el desarrollo de los conocimientos adquiridos durante e l pregrado.. Con el fin de verificar que el diseño en ingeniería es una parte fundamental de cualquier proyecto, es necesario comparar los resultados experimentales con los modelos teóricos estudiados a lo largo del proyecto.. 1.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS. Diseño de un banco para probar ejes que permita realizar diferentes pruebas aislando factores de error como deflexiones que lleven a cabo desalineaciones a lo largo del eje y la vibración producida por el motor eléctrico acoplado al montaje.. Diseño de discos que funcionen como masas puntuales en diferentes posiciones a lo largo del eje garantizando una excentricidad cercana a cero a la hora de mecanizar dichas masas.. Diseño de ejes que satisfagan las condiciones de operación a las que van a ser sometidos, evitando una posible falla que conduzca a posibles accidentes.. Implementación de una metodología correcta para el montaje del banco de ejes garantizando una correcta alineación en el eje para evitar posibles errores en los resultados experimentales.. 2.

(8) Analizar y comparar los resultados teóricos con los resultados experimentales y evidenciar que los modelos teóricos se cumplen. En caso de tener discrepancias entre los dos enfoques, buscar las diferentes causas que lo estén originando.. 2. MARCO TEÓRICO. 2.1. ANALISIS DE FALLA. Generalmente, los ejes redondos son utilizados en la industria para transmitir potencia, ya sea por medio de poleas, engranajes, etc., generando cargas por flexión y/o por torsión. Además de las cargas por flexión y/o torsión que se originen, también se tendrán cargas por concentración de esfuerzos. Por lo tanto, para el análisis de falla es necesario tener en cuenta los efectos que puedan causar las diferentes cargas y concentradores de esfuerzo en el sistema.. Hay que tener en cuenta ciertas limitaciones que tiene el presente proyecto las cuales simplifican el análisis de falla.. -. Las cargas a lo largo del eje son masas puntuales. Se utilizan discos de acero que se modelarán como una masa puntual provocando una deflexión en el eje. A la hora de poner en funcionamiento el sistema y cuando este esté rotando, idealmente los discos no generarán momento par; actuarán más como un volante. Esto simplifica el sistema ya que el análisis se centrará en los esfuerzos por flexión que se encuentren en el eje.. -. En particular, los ejes utilizados en el montaje no tienen concentradores de esfuerzo. Los concentradores de esfuerzo están sobre las masas debido a la instalación de prisioneros que sujetan la masa con el eje.. Para encontrar los puntos críticos en el eje es necesario construir el diagrama de momentos y de cortante. El diagrama de momentos y cortante se construye haciendo sumatoria de momentos y de fuerzas cortantes, respectivamente, utilizando el método de las secciones (Hibbeler, 2006). La Figura 1 muestra un diagrama ejemplo para hallar la sumatoria de momentos y de fuerzas 3.

(9) cortantes para determinada sección. Las ecuaciones (1) y (2) muestran las ecuaciones que se obtienen a partir de la Figura 1.. Figura 1 Viga ejemplo para hallar sumatoria de fuerzas (Hibbeler, 2006).. (1). (2). Una vez se construye el diagrama de momento para cada sección del eje, se observa cu ál es el momento interno resultante crítico y se utiliza la ecuación de la flexión para encontrar el diámetro del eje que garantiza que el eje no fallará por exceder los límites elásticos del material.. (3). La ecuación (3) muestra la formula de la flexión donde M es el momento interno resultante, c es la distancia desde el eje neutro hasta el punto más alejado del eje e I es el momento de inercia transversal.. Dada la simplificación que se hizo al principio, donde solo se tendrán cargas por flexión, se puede utilizar la teoría del esfuerzo cortante máximo y de esta forma diseñar el eje.. (4). La ecuación (4) es la teoría del esfuerzo cortante máximo que dice que los materiales dúctiles fallan por el deslizamiento a lo largo de los planos de contacto de cristales ordenados al azar 4.

(10) (Hibbeler, 2006). Por lo tanto, el material falla por cortante y para evitar la falla del material debe ser menor o igual a .. Para el análisis de falla de los elementos de sujeción, como prisioneros y cuñeros, se hace un diagrama de cuerpo libre sobre el elemento y se aplica la teoría del esfuerzo cortante máximo para dimensionar el tamaño de dichos elementos.. 2.2. VELOCIDAD CRÍTICA. Cuando se diseñan ejes para someterlos a velocidades angulares altas, se debe tener en cuenta la velocidad crítica de rotación para evitar operar el eje en este punto. La velocidad crítica en un eje se alcanza cuando este entra en resonancia (Wowk, 1991). En otras palabras, lo que se quiere es obtener suficiente rigidez a lo largo del eje para poner la mínima velocidad crítica muy por encima del punto de operación del eje (Juvinall & Marshek, 2006). Este fenómeno ocurre inicialmente porque la manufactura y operación de los ejes no garantiza que el centro de masa del sistema coincida exactamente con el centro de rotación. Por este motivo, cuando la velocidad angular en el eje aumenta, la fuerza centrifuga que actúa en el centro masa tiende a pandear el eje (Juvinall & Marshek, 2006). A velocidades angulares inferiores de la velocidad crítica, las fuerzas centrifugas y elásticas del eje se equilibran en deformaciones finitas. Pero cuando se alcanza la velocidad angular crítica, teóricamente se necesitan desplazamientos infinitos del centro de masa del eje (Juvinall & Marshek, 2006). Sin embargo, hay que tener en cuenta que los desplazamientos que se alcanzan bajo la velocidad crítica también resultan ser, en muchas ocasiones, indeseables llevando a la falla del eje. Por esta razón, es necesario estudiar el comportamiento del eje a diferentes velocidades angulares para encontrar en que velocidades el eje comienza a ser vulnerable.. Todos los ejes, aun sin la presencia de cargas externas se deforman durante la rotación. La deformación en el eje depende de la rigidez del eje, de la alineación de los soportes, la masa total, la excentricidad de las masas incorporadas y del amortiguamiento. Es importante aclarar que un sistema de 1 masa tiene 1 grado de libertad; por lo tanto, un sistema con n masas tiene n grados de libertad.. 5.

(11) Hasta el momento se ha hablado de la velocidad en el punto crítico y por debajo de éste, pero también es importante estudiar velocidades por encima de la velocidad crítica ya que cuando la velocidad está lo suficientemente por encima de la velocidad crítica se obtiene una posición de equilibrio satisfactoria por el movimiento del centro de masa alrededor del centro de rotación (Juvinall & Marshek, 2006).. Para un sistema determinado, la amplitud depende de la frecuencia :. Donde. es la fuerza de excitación del sistema,. equivalente y. es la rigidez equivalente,. es la masa. es la constante de amortiguación equivalente. Cuando la amplitud depende de. la velocidad angular. , se obtiene un máximo el cual se produce en la frecuencia crítica. .. (5). Donde crítica. Si. es la frecuencia natural crítica amortiguada y , entonces. es la constante de amortiguamiento. . Cuando un eje trabaja cerca de la velocidad crítica se. producen amplitudes máximas y esto es lo que se conoce como resonancia. Una práctica normal es que la frecuencia de operación sea. (Badiola, 2004).. Ahora, sí se piensa en un eje que soporta una masa, como lo muestra la figura de la Tabla 1 y se hace una sumatoria de fuerzas, se tiene que las fuerzas inerciales elásticas. son iguales a las fuerzas. , donde:. Entonces:. 6.

(12) (6). Donde. es la deflexión en el eje,. excentricidad de la masa y Pero si. es la masa del eje,. es la frecuencia del eje,. es la rigidez del eje. De la ecuación (6), si. , entonces. . Por esta razón, es que cuando. es la. , entonces. .. el sistema entra en. resonancia, ya que teóricamente se necesitan desplazamientos infinitos. Ahora, si se tiene que:. y. (7). La ecuación (7) es la representación numérica para un sistema de 1 grado de libertad y se muestra en la primera figura de la Tabla 1.. Tabla 1 Velocidades criticas en el eje (Juvinall & Marshek, 2006).. Como se puede ver en la Tabla 1, la velocidad crítica angular es numéricamente igual a la frecuencia natural de vibración del sistema.. 7.

(13) El modelo mostrado en la Tabla 1 hace referencia a cuando se tiene un grado de libertad en el sistema. Cuando se tienen más masas en el sistema se pueden utilizar métodos como el de Rayleight, el Método de las Frecuencia o el método de Dunkerley que se exponen a continuación.. MÉTODO DE RAYLEIGHT. Para un sistema con varias masas, la energía cinética del sistema es:. Esta energía cinética es igual al trabajo para deformar el eje debido a cada masa. Por lo tanto:. Al igualar la energía y el trabajo se tiene:. Si. y. , entonces:. (8). La ecuación (8) muestra la frecuencia a partir del método de Rayleight para 2 o más masas en el sistema. Prácticamente, lo que hace este método es mirar la influencia de todas las masas en el sistema.. 8.

(14) MÉTODO DE LAS FRECUENCIAS. Este método se utiliza para encontrar la velocidad crítica de forma más exacta que el método anterior debido a la influencia de cada masa. Para este método se utilizan los coeficientes de influencia.. Si se tienen dos masas, sus respectivas fuerzas inerciales serán:. Entonces la deformación debido a cada masa estará dado por:. Reagrupando para y, se tiene:. Se tiene un sistema de ecuaciones homogéneo. Para encontrar una solución diferente a la trivial nula, el determinante del sistema anterior debe ser nulo (Badiola, 2004):. (9). El resultado se encuentra despejando , encontrando 4 soluciones, dos positivas y dos negativas.. 9.

(15) Las soluciones negativas no tienen sentido físico, por lo tanto se escogen las soluciones pos itivas que corresponden a los 2 grados de libertad del sistema. El problema de este método es que para más de dos masas el determinante se vuelve complejo de resolver.. son los llamados coeficientes de influencia. Estos coeficientes determinan la influencia de cada masa en cada posición. Por ejemplo, el coeficiente obtenida en el punto. debido a una carga unitaria aplicada en el punto. mira la deformación (Badiola, 2004). Estos. coeficientes tienen unidades [Longitud/Fuerza].. Figura 2 Diagrama para el cálculo de los coeficientes de influencia (Budynas, 2008).. (10). (11). Las ecuaciones (10) y (11) y la Figura 2 muestran cómo sería el cálculo de los coeficientes de influencia, a partir de la geometría y las propiedades mecánicas del material del eje.. MÉTODO DE DUNKERLEY. El Método de Dunkerley básicamente lo que propone es calcular la frecuencia natural de cada masa aisladamente.. 10.

(16) A partir de los coeficientes de influencia se tiene que:. (12). La ecuación (12) lo que quiere decir es que la velocidad crítica de la masa , se debe al su peso aplicado en su mismo punto. Con esta ecuación se busca la velocidad crítica de cada masa tratándose como un sistema aislado. Una vez se tiene la contribución de cada masa por separado, se suman sus recíprocos y se obtiene la velocidad crítica del sistema, como se muestra en la ecuación (13).. (13). 11.

(17) SECCIÓN 2: DISEÑO DEL BANCO DE EJES. Para el diseño del banco de ejes se tiene en cuenta algunos requerimientos que resultan ser limitantes. Entre los requerimientos que se deben cubrir para el respectivo diseño se tiene que:. -. El banco debe ser lo suficientemente rígido para disipar los movimientos y vibraciones ocasionados por el motor que se desee acoplar.. -. Se debe garantizar que el montaje no sea estático, es decir, que las masas y soportes que se acoplen al eje tengan alguna movilidad para realizar diferentes configuraciones1.. Los planos de cada uno de los diseños presentados se adjuntan como documentos anexos al final del presente documento.. 3. REDISEÑO DEL BANCO. El por qué del nombre “rediseño del banco” se debe a que la estructura del banco ya existía en los laboratorios de la Universidad de los Andes de un proyecto de grado anterior. La Figura 3 es una fotografía del banco de ejes inicial situado en el depósito del laboratorio de fluidos de la Universidad de los Andes. El montaje inicial constaba de un motor ubicado en la parte inferior derecha de la Figura 3 que transmitía movimiento al eje por medio de un sistema de poleas reduciendo la velocidad en el eje. El movimiento en el eje accionaba un sistema de bielas del cual se desconoce el objetivo final. También cuenta con un contador en la parte superior derecha accionado por medio de una cadena y discos dentados.. 1. Cuando se habla de movilidad se refiere al desplazamiento de las chumaceras y masas a lo largo del eje.. 12.

(18) Figura 3 Banco de ejes inicial.. Figura 4 Nuevo diseño propuesto del banco de ejes.. El banco tiene medidas2 de 123 cm x 33 cm x 60 cm. El nuevo diseño propuesto basado en la estructura se presenta en la Figura 4. Es un diseño simple, con dos platinas de 123 cm x 3/8 pulg x 1 ½ pulg que dan la rigidez necesaria para no presentar vibraciones a la hora de operar el sistema. La selección de estas platinas fue bajo prueba y error ya que las platinas inicialmente calculadas, a la hora de operar el motor transmitían las vibraciones en las chumaceras. Las platinas llevan huecos a los largo de su longitud, espaciados cada 8 cm con el fin de implementar un montaje móvil y poder probar diferentes configuraciones. Estas platinas van soldadas a la estructura para evitar mecanismos de sujeción como tornillos y tuercas que por las vibraciones, con el tiempo tienden a desajustarse. La distancia entre los agujeros de las platinas ubicadas paralelamente está determinada por la distancia entre tornillos de las chumaceras la cual es de 130 mm.. 2. Entiéndase las medidas dadas como largo, alto y ancho, respectivamente.. 13.

(19) 4. DISEÑO DE LAS MASAS. Las masas se diseñaron a partir de la necesidad de obtener ciertos pesos. Se buscaron obtener tres masas diferentes de. ,. y. de 1 pulg, mientras que las masas de. aproximadamente. La masa de y. es para uso de un eje. se utilizan para un eje de ¾ pulg. Para obtener. dichas masas, se escogió un material común como el acero 1020 AISI/SAE. Cabe aclarar que las masas no van a soportar esfuerzos considerables, la única función de ellas es proporcionar una masa puntual sobre el eje.. Para determinar las dimensiones de las masas y la geometría es necesaria la implementación de un programa de dibujo CAD. Este programa permite, a partir de las propiedades del acero 1020 AISI/SAE y por medio de un proceso iterativo, obtener las dimensiones de las masas. La Figura 5 muestra el diseño final realizado en CAD. Las dimensiones de cada disco dependen de la masa requerida. Por ejemplo, para el disco de. , el diámetro del disco es de 6 pulg con un espesor de. 1 ½ pulg.. La geometría particular que tiene el disco se debe al mecanizado que se le debe hacer. Los discos se hicieron en el Torno CNC del Laboratorio de Manufactura de la Universidad de los Andes. P ara maquinar los discos se debe dejar una extensión con el fin de que la maquina pueda sujetar el disco. Esta extensión se denomina “manzana” y es necesaria para poner los prisioneros que sujetan el disco al eje. El orificio interno se hace manualmente ya que se necesita una tolerancia mínima. La manzana en todos los discos es de 50 mm de diámetro y una longitud de 25 mm. El orificio interno de la manzana es de acuerdo al diámetro del eje. Para la masa de 5 kg el orificio interno es de 1 pulgada. Para las masas de 4 kg y 2.5 kg el orificio interno es de ¾ de pulgada.. Por último, los agujeros para los prisioneros se pueden hacer con un taladro o en una fresadora y posteriormente se hace un roscado para un prisionero de 5/16 pulg.. 14.

(20) Figura 5 Diseño de masa a partir de software Inventor, Autodesk.. 5. DISEÑO DE EJES. Para el diseño del eje hay que tener en cuenta lo siguiente:. -. Análisis de falla a partir de la teoría de esfuerzo cortante máximo.. -. Análisis de frecuencias naturales.. Para los diferentes análisis es necesario definir el material con el que se quiere trabajar. En este caso, el material escogido es acero AISI/SAE 1045 ya que es un acero con propiedades particulares para la fabricación de ejes. La composición de este acero es: 0.4% C, 0.2% Si, 0.75% Mn, 0.8% Cr, 0.15% Mo. El estado de suministro de este acero es bonificado y sus propiedades mecánicas son las siguientes (REYCLO S.A.S. Aceros Especiales, 2011):. -. Resistencia a la tracción =. 15.

(21) -. Límite elástico =. -. Alargamiento = 16 %. -. Reducción de área = 50%. -. Dureza de trabajo = 28 a 32 HRC. -. Modulo de elasticidad = 205 GPa 3. -. Modulo cortante = 80 GPa 4. CÁLCULO DE LA DEFLEXIÓN, PENDIENTE EN LOS APOYOS Y VELOCIDAD CRÍTICA CON UNA CARGA DE 50 N Y CON UN DIÁMETRO DE EJE DE 1 PULGADA.. Figura 6 Modelo estático para el cálculo de la deflexión, pendiente y velocidad crítica en un eje.. De acuerdo con la Figura 6, la deflexión se puede calcular como: 3. Tomado de http://www.matweb.com/search/DataSheet.aspx?MatGUID=423b972204794 13cbecf2143727e8b3b 4 Tomado de http://www.matweb.com/search/DataSheet.aspx?MatGUID=423b97220479413cbecf2143727e8b3b. 16.

(22) Donde P es la fuerza, L es la distancia entre soportes, E es el modulo elástico e I es la inercia del eje.. Para el cálculo de la pendiente se puede utilizar la siguiente ecuación:. Para el cálculo de la velocidad crítica se utiliza la siguiente ecuación dada la geometría del sistema:. A continuación se muestra una figura con los modelos que relacionan la deformación en el eje y la pendiente en los apoyos.. 17.

(23) Figura 7 Modelos teóricos de pendiente y curva elástica (Hibbeler, 2006).. La idea de los modelos teóricos no es plantear un modelo para una condición y mirar con se comporta bajo esa condición. En la fase de diseño lo que se quiere es plantear varias configuraciones que permitan observar como es el comportamiento de las diferentes variables, ver que variables son críticas y escoger las configuraciones adecuadas para llevarlas a pruebas experimentales que permitan corroborar los modelos planteados. A continuación se presentan una serie de figuras y tablas que permiten observar diferentes configuraciones y como éste cambio de parámetros se ve reflejado en las velocidades críticas que se pueden obtener. Por ejemplo, en la Tabla 2, al comparar el caso 1 y el caso 9 se puede deducir que el diámetro es uno de los parámetros claves en variación de la velocidad crítica. De igual forma, si se compara el caso 1 y el caso 5, la longitud del eje también es otro parámetro clave en la variación de la velocidad crítica. Desde luego, la masa también es un parámetro importante, pero no tiene tanta relevancia como la longitud y el diámetro del eje.. 18.

(24) Figura 8 Configuración I, apoy os simples en los extremos.. Caso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16. F1 [N] 50 100 100 50 50 100 100 50 50 100 100 50 50 100 100 50. F2 [N] -. a [mm] 250 250 100 300 500 500 200 600 250 250 100 300 500 500 200 600. CONFIGURACIÓN I b [mm] L [mm] ωR [rpm] ωF [rpm] ωD [rpm] ωT [rpm] 250 500 5364 3998 250 500 3793 3206 400 500 5927 4216 200 500 5588 4088 500 1000 1897 1414 500 1000 1341 1133 800 1000 2095 1490 400 1000 1976 1445 250 500 3017 2550 250 500 2134 1948 400 500 3334 2733 200 500 2223 2015 500 1000 1067 902 500 1000 754 689 800 1000 1179 966 400 1000 786 712. D [in] 1 1 1 1 1 1 1 1 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75. Tabla 2 Comparación de res ultados a partir de la configuración mostrada en la Figura 8.. y son las fuerzas aplicadas en diferentes punto del eje, y son las distancias entre los apoyos y las fuerzas aplicadas, es la longitud del eje, es la velocidad angular calculada a partir del método de Rayleight, es la velocidad angular calculada a partir del método de Dunkerley, es la velocidad angular calculada a partir del método de las frecuencias, es la velocidad angular teniendo en cuenta la masa del eje y es el diámetro del eje.. 19.

(25) Figura 9 Configuración II, apoyos simples con carga en voladizo.. Caso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. F1 [N] 50 25 50 25 25 50 50 25 50 25 25 50. F2 [N] -. a [mm] 500 500 700 700 800 800 500 500 700 700 800 800. CONFIGURACIÓN II b [mm] L [mm] ωR [rpm] ωF [rpm] ωD [rpm] ωT [rpm] 500 377 500 533 300 209 202 300 295 278 200 211 194 200 149 143 500 671 500 948 300 371 349 300 525 467 200 375 322 200 265 244. D [in] 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 1 1 1 1 1 1. Tabla 3 Comparación de res ultados a partir de la configuración mostrada en la Figura 9.. 20.

(26) Figura 10 Configuración III, apoyos simples en los extremos con dos masas.. Caso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14. F1 [N] 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25. F2 [N] 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50. a [mm] 450 100 250 350 200 150 500 450 100 250 350 200 150 500. CONFIGURACIÓN III b [mm] L [mm] ωR [rpm] ωF [rpm] ωD [rpm] ωT [rpm] 450 1000 883 892 880 782 250 1000 1389 1396 1347 1072 100 1000 1810 1803 1664 1234 200 1000 1239 1249 1175 999 350 1000 1084 1093 1050 912 500 1000 1019 1028 1004 872 150 1000 1271 1277 1224 1015 450 1000 1570 1585 1564 1262 250 1000 2468 2483 2395 1608 100 1000 3217 3205 2959 1770 200 1000 2203 2221 2090 1528 350 1000 1927 1943 1866 1426 500 1000 1812 1827 1784 1378 150 1000 2259 2271 2175 1546. D [in] 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 1 1 1 1 1 1 1. Tabla 4 Comparación de res ultados a partir de la configuración mostrada en la Figura 10.. Como se puede ver en las Tablas 2, 3 y 4 todas las variables hacen cambios sobre el valor de la velocidad crítica. Sin embargo, es notorio que la distancia entre soportes influencia tiene en la velocidad crítica al igual que el diámetro. es la que mayor. del eje. La idea a partir de estas. tablas es que se pueda escoger configuraciones aceptables y sencillas que permitan encontrar velocidades críticas inferiores a las 2000 rpm.. 21.

(27) SECCIÓN 3: MONTAJE Y ACOPLAMIENTO. El montaje y acoplamiento de cada uno de los elementos que componen el banco de ejes es una tarea de bastante cuidado, principalmente porque se debe garantizar una perfecta alineación y a la vez seguridad en el montaje.. 6. MONTAJE DEL BANCO DE EJES. Después de toda la etapa de diseño se procede a construir el banco de ejes. Generalmente, los diseños quedan bien en papel y lápiz, pero a la hora de hacer el montaje aparecen inconvenientes. Estos inconvenientes pueden ser debido a problemas con algunas dimensiones ya que las cosas no suelen quedar perfectas como quedan en el CAD. Los cortes y la soldadura son cosas que van muy de la mano del operador y tener una gran precisión es un factor poco regulable; sin embargo, es algo sobre lo cual se puede hacer control para obtener un buen producto terminado.. Entre los principales problemas se encuentra las dimensiones de la estructura en acero adecuada para este proyecto. Las medidas no son uniformes en toda la estructura. Hay perfiles que están milímetros por encima o por debajo de nivel de los demás, o la longitud entre esquinas no es la misma.. El objetivo es llegar al montaje propuesto en la Figura 4. Primero se instalaron las platinas que soportan las chumaceras. Se garantizó que la distancia entre orificios fuera siempre igual a la distancia entre los tornillos de la chumacera. Igualmente, los orificios realizados en las platinas se hicieron más grandes para dejar un juego que permitiera hacer pequeños ajustes a la hora de alinear en eje entre soportes.. Con las platinas ya soldadas, se montan las chumaceras y el eje de tal forma que se pueda mirar si la instalación quedó bien. El segundo paso fue hacer el montaje del soporte del motor. El banco inicialmente tenía el motor en la parte inferior como se muestra en la Figura 11. Dado que para este proyecto se tiene un variador de frecuencias, se puede acoplar el motor directamente al eje sin necesidad de plantear mecanismos para la variación de su velocidad. 22.

(28) Figura 11 Ubicación del motor en la estructura inicialmente.. Por lo tanto, a partir de la posición del eje, se hace el montaje de otras platinas instaladas en triángulos, pegadas a la estructura que soportan el motor, como se muestra en la Figura 12. Como se puede ver, este motor esta acoplado directamente al eje y es operado por medio de un variador de frecuencia, el cual se muestra en la Figura 13.. Figura 12 Montaje del motor en el nuevo banco de pruebas.. 23.

(29) Figura 13 Conexión motor – variador de frecuencia.. Una vez se tiene todo acoplado, se conecta el motor con las chumaceras sin ajustar. Las chumaceras se deben ajustar cuando el eje esta en movimiento ya que esto permite garantizar un mejor alineamiento. Sin embargo, las chumaceras no se deben ajustar mucho ya que es complicado garantizar el mismo nivel de estas y finalmente lo que se provocaría es momento par.. El motor está montado sobre trozos de caucho que tienen dos funciones:. 1) alinear el eje del motor al mismo nivel del eje, y. 2) aislar en lo posible la vibración del motor en la estructura. Finalmente, la Figura 14 y Figura 15 muestran el montaje final del banco de ejes.. 24.

(30) Figura 14 Montaje final.. Figura 15 Montaje final.. 25.

(31) SECCIÓN 4: RESULTADOS Y CONCLUSIONES. En esta sección se mostrarán los resultados obtenidos tanto de modelos teóricos como de las pruebas experimentales, con su respectiva comparación y análisis. Dado que los modelos teóricos son aproximaciones, solo se escogieron dos para en análisis de resultados. Los modelos teóricos escogidos son el método de Rayleigh y el método de las frecuencias5 . Por último se harán conclusiones sobre el proyecto y algunas recomendaciones.. 7. RESULTADOS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS. Los resultados que se muestran a continuación pretenden demostrar que el comportamiento dinámico de un eje puede ser modelado a partir de la aplicación de un modelo estático básico de deflexión en un eje.. Las siguientes tablas muestran los resultados teóricos y experimentales de acuerdo a las configuraciones del capítulo 5. Las tablas son generales para todas las configuraciones. Las columnas vacías se deben a que en esa configuración no existe tal parámetro o algunos modelos teóricos no se pueden aplicar.. Las velocidades de la columna “real” en las tablas fueron medidas por medio de un estroboscopio. La particularidad de estas mediciones es que la velocidad que aparece ahí es un promedio de dos velocidades. Las dos velocidades hacen referencia al momento en el cual el sistema entra en resonancia, tanto para un límite inferior, como para un límite superior. En otras palabras, lo que se hizo fue incrementar la velocidad del eje por medio del variador de frecuencias hasta que comenzara la resonancia y se tomaba la velocidad. Después, se subía rápidamente la velocidad en el eje hasta que llegara a un punto de equilibrio, velocidades muy por encima de la velocidad crítica y se disminuía la velocidad del eje hasta que el sistema entrara en resonancia y se tomaba la velocidad. Con estas dos velocidades se saca el promedio que es el que aparece en las tablas.. 5. De la Tabla 5 a la Tabla 14, la velocidad teórica por el método de Rayleigh es la columna “teoR” y la velocidad teórica por el método de las frecuencias es “teoF”.. 26.

(32) La Tabla 5 se basa en la configuración II (Véase la Figura 9). Se tiene un disco de 25.9 N, a una distancia a de 456 mm y una longitud L de 581 mm. La velocidad teórica a partir del método de Rayleigh es de 609 rpm. La velocidad real promedio medida es de 659 rpm para un error promedio de 8.3%.. F1 [N] F2 [N] 25,8 25,8 25,8 25,8 25,8 25,8 25,8 25,8 25,8 25,8. a [mm] b [mm] 456 456 456 456 456 456 456 456 456 456. L [mm] teoR [rpm] teoF [rpm] real [rpm] Error [%] 581 609 653 7,3 581 609 649 6,6 581 609 663 8,9 581 609 654 7,4 581 609 668 9,7 581 609 651 6,9 581 609 666 9,4 Promedio Vel [rpm] 581 609 657 7,9 Desviación [rpm] 581 609 667 9,6 Promedio Error [%] 581 609 665 9,2 Desviación [%]. 659 7,3 8,3 1,2. Tabla 5 Configuración II. La Tabla 6 se basa en la configuración II (Véase la Figura 9). La velocidad teórica a partir del método de Rayleigh es de 485 rpm. La velocidad real promedio medida es de 548 rpm para un error promedio de 12.9%.. F1 [N] F2 [N] 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9. a [mm] b [mm] 455 455 455 455 455 455 455 455 455 455. L [mm] teoR [rpm] teoF [rpm] real [rpm] Error [%] 582 485 549 13,2 582 485 550 13,4 582 485 550 13,4 582 485 533 9,9 582 485 551 13,6 582 485 517 6,6 582 485 564 16,3 Promedio Vel [rpm] 582 485 559 15,3 Desviación [rpm] 582 485 550 13,4 Promedio Error [%] 582 485 552 13,8 Desviación [%]. 548 13,3 12,9 2,7. Tabla 6 Configuración II. Si se observa la Tabla 5 y la Tabla 6, ambas tienen la misma configuración, exceptuando que para cada una se puso un disco de diferente masa. A pesar que la diferencia entre las masas de los discos es de casi el doble, esto no significa que la diferencia entre las velocidades sea del doble. Lo importante de notar en esta comparación es el porcentaje de error promedio; cambió de 8.3% a 12.9%. Este cambio se debe a que para una configuración en voladizo, es difícil controlar la. 27.

(33) resonancia del eje, ya que las chumaceras no están diseñadas para te ner tramos de ejes en voladizo y menos con una carga al final del tramo.. La Tabla 7 y la Tabla 8 hacen referencia a la configuración I para un solo disco de igual masa, para ambas configuraciones. La diferencia de estas dos tablas es la posición del disco; en la Tabla 7 el disco está un poco más hacia la izquierda y en la Tabla 8 el disco está un poco más hacia la derecha. El objetivo de esta variación es mostrar que a pesar de que los discos son movidos levemente del centro, el error sigue siendo muy parecido, y en este caso el error se puede catalogar como un error sistemático. Parámetros que pueden alimentar esta fuente de error son:. -. La alineación entre chumaceras.. -. Ajuste de los elementos de sujeción como tornillos, tuercas y prisioneros.. -. La vibración del motor, dado que este está montado sobre el mismo banco de pruebas.. -. La excentricidad del eje y de las masas.. F1 [N] F2 [N] 25,8 25,8 25,8 25,8 25,8 25,8 25,8 25,8 25,8 25,8. a [mm] b [mm] L [mm] teoR [rpm] teoF [rpm] real [rpm] Error [%] 429 645 1074 1390 1276 8,2 429 645 1074 1390 1314 5,5 429 645 1074 1390 1297 6,7 429 645 1074 1390 1294 6,9 429 645 1074 1390 1313 5,5 429 645 1074 1390 1288 7,3 429 645 1074 1390 1307 6,0 Promedio Vel [rpm] 429 645 1074 1390 1308 5,9 Desviación [rpm] 429 645 1074 1390 1314 5,5 Promedio Error [%] 429 645 1074 1390 1314 5,5 Desviación [%]. 1302 13,1 6,3 0,9. Tabla 7 Configuración I. 28.

(34) F1 [N] F2 [N] 25,8 25,8 25,8 25,8 25,8 25,8 25,8 25,8 25,8 25,8. a [mm] b [mm] L [mm] teoR [rpm] teoF [rpm] real [rpm] Error [%] 584 485 1069 1356 1273 6,1 584 485 1069 1356 1280 5,6 584 485 1069 1356 1277 5,8 584 485 1069 1356 1293 4,6 584 485 1069 1356 1286 5,1 584 485 1069 1356 1255 7,5 584 485 1069 1356 1258 7,2 Promedio Vel [rpm] 584 485 1069 1356 1256 7,4 Desviación [rpm] 584 485 1069 1356 1279 5,7 Promedio Error [%] 584 485 1069 1356 1285 5,2 Desviación [%]. 1274 13,7 6,0 1,0. Tabla 8 Configuración I. La Tabla 9 y la Tabla 10 tienen las mismas características de la Tabla 7 y la Tabla 8. La diferencia radica en el disco; para este caso se utilizó un disco de 40.9 N. Es de esperarse que las velocidades críticas cambien, sin embargo lo que no debería cambiar es el error; en este caso el error es menor en las dos tablas. Esta particularidad de la disminución del error no es una casualidad y es que a velocidades superiores a las 1200 rpm, los elementos de sujeción tienden a desajustarse debido a que la vibración a esa velocidad es más fuerte que a velocidades inferiores. Es por esta razón que el cálculo para velocidades inferiores a las 1000 rpm resulta más preciso y es algo que se puede evidenciar claramente al observar la Tabla 11. La Tabla 11 se basa en la configuración III (véase la Figura 10), que consta de dos discos, uno de 25.8 N y otro de 40.9 ubicados casi en el centro del eje. La velocidad crítica teórica es de 864 rpm y la velocidad crítica promedio medida es de 866 rpm, para un error promedio del 1%.. F1 [N] F2 [N] 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9. a [mm] b [mm] L [mm] teoR [rpm] teoF [rpm] real [rpm] Error [%] 434 639 1073 1101 1119 1,6 434 639 1073 1101 1129 2,5 434 639 1073 1101 1071 2,8 434 639 1073 1101 1061 3,6 434 639 1073 1101 1041 5,5 434 639 1073 1101 1080 1,9 434 639 1073 1101 1068 3,1 Promedio Vel [rpm] 434 639 1073 1101 1076 2,3 Desviación [rpm] 434 639 1073 1101 1040 5,6 Promedio Error [%] 434 639 1073 1101 1078 2,1 Desviación [%]. 1076 28,9 3,1 1,4. Tabla 9 Configuración I. 29.

(35) F1 [N] F2 [N] 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9. a [mm] b [mm] L [mm] teoR [rpm] teoF [rpm] real [rpm] Error [%] 575 498 1073 1067 1017 4,7 575 498 1073 1067 1007 5,6 575 498 1073 1067 1009 5,4 575 498 1073 1067 1003 6,0 575 498 1073 1067 1022 4,2 575 498 1073 1067 1025 4,0 575 498 1073 1067 1032 3,3 Promedio Vel [rpm] 575 498 1073 1067 1027 3,7 Desviación [rpm] 575 498 1073 1067 1047 1,8 Promedio Error [%] 575 498 1073 1067 1027 3,7 Desviación [%]. 1021 13,3 4,2 1,2. Tabla 10 Configuración I. F1 [N] F2 [N] a [mm] b [mm] L [mm] teoR [rpm] teoF [rpm] real [rpm] Error [%] 40,9 25,8 435 496 1074 856 864 876 1,3 40,9 25,8 435 496 1074 856 864 874 1,1 40,9 25,8 435 496 1074 856 864 881 1,9 40,9 25,8 435 496 1074 856 864 857 0,9 40,9 25,8 435 496 1074 856 864 863 0,2 40,9 25,8 435 496 1074 856 864 855 1,1 40,9 25,8 435 496 1074 856 864 864 0,0 Promedio Vel [rpm] 40,9 25,8 435 496 1074 856 864 847 2,0 Desviación [rpm] 40,9 25,8 435 496 1074 856 864 873 1,0 Promedio Error [%] 40,9 25,8 435 496 1074 856 864 872 0,9 Desviación [%]. 866 10,8 1,0 0,6. Tabla 11 Configuración III. F1 [N] F2 [N] 52,6 52,6 52,6 52,6 52,6 52,6 52,6 52,6 52,6 52,6. a [mm] b [mm] L [mm] teoR [rpm] teoF [rpm] real [rpm] Error [%] 494 478 972 1930 1761 8,8 494 478 972 1930 1747 9,5 494 478 972 1930 1639 15,1 494 478 972 1930 1668 13,6 494 478 972 1930 1676 13,2 494 478 972 1930 1668 13,6 494 478 972 1930 1733 10,3 Promedio Vel [rpm] 494 478 972 1930 1733 10,2 Desviación [rpm] 494 478 972 1930 1694 12,2 Promedio Error [%] 494 478 972 1930 1745 9,6 Desviación [%]. 1706 42,3 11,6 2,2. Tabla 12 Configuración I. F1 [N] F2 [N] a [mm] b [mm] L [mm] teoR [rpm] teoF [rpm] real [rpm] Error [%] 40,9 25,8 214 238 1073 1352 1365 1303 4,6 40,9 25,8 214 238 1073 1352 1365 1284 6,0 40,9 25,8 214 238 1073 1352 1365 1283 6,0 40,9 25,8 214 238 1073 1352 1365 1301 4,7 40,9 25,8 214 238 1073 1352 1365 1292 5,4 40,9 25,8 214 238 1073 1352 1365 1291 5,4 40,9 25,8 214 238 1073 1352 1365 1304 4,5 Promedio Vel [rpm] 40,9 25,8 214 238 1073 1352 1365 1290 5,5 Desviación [rpm] 40,9 25,8 214 238 1073 1352 1365 1288 5,6 Promedio Error [%] 40,9 25,8 214 238 1073 1352 1365 1308 4,2 Desviación [%]. 1294 8,9 5,2 0,7. Tabla 13 Configuración III. 30.

(36) Las Tablas 12, 13 y 14 son configuraciones planteadas para corroborar el análisis hecho hasta ahora. Lo que se busca con las configuraciones planteas en estas tablas es incrementar la velocidad crítica y evidenciar que a velocidades superiores de 1200 rpm el error se in crementa debido al desajuste de los elementos de sujeción. La Tabla 12 se basa en la configuración I, para un eje de 1 pulgada y con un disco de 52.6 N ubicado casi en la mitad, entre apoyos. La velocidad crítica promedio medida es de 1706 rpm para un error promedio de 11.6%. La Tabla 13 se basa en la configuración III, con dos discos ubicados cerca a los apoyos. La velocidad crítica promedio medida es de 1294 rpm para un error promedio del 5.2 %. Si se compara con el error promedio de la Tabla 7 y Tabla 8, resulta muy parecido ya que el error promedio es cercano al 6 %, y no es casualidad dado que la velocidad es cercana a las 1300 rpm.. Por último, la Tabla 14 se basa en la configuración I, con un disco de 40.9 N ubicado cerca a un apoyo. La velocidad crítica medida promedio es de 1499 rpm para un error del 12.7 %.. F1 [N] F2 [N] 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9 40,9. a [mm] b [mm] L [mm] teoR [rpm] teoF [rpm] real [rpm] Error [%] 205 866 1071 1717 1492 13,1 205 866 1071 1717 1483 13,6 205 866 1071 1717 1524 11,2 205 866 1071 1717 1511 12,0 205 866 1071 1717 1479 13,9 205 866 1071 1717 1511 12,0 205 866 1071 1717 1512 11,9 Promedio Vel [rpm] 205 866 1071 1717 1483 13,6 Desviación [rpm] 205 866 1071 1717 1466 14,6 Promedio Error [%] 205 866 1071 1717 1526 11,1 Desviación [%]. 1499 20,7 12,7 1,2. Tabla 14 Configuración I. Sin embargo, para corroborar la información adquirida manualmente, se instaló un acelerómetro en el banco con el fin de adquirir una señal de ruido que indica el momento en el cual el sistema entra en resonancia. De la Figura 16 a la Figura 20 se muestra la amplitud del sistema a través de un ciclo. En el eje izquierdo se encuentra la amplitud del eje en milímetros que está determinado por la franja azul en la gráfica y en el eje derecho se encuentra la velocidad del eje en revoluciones por minuto que está determinado por la línea roja en la gráfica. La línea roja es la curva de rendimiento del motor en el tiempo. Está curva se obtiene programando el variador para que tenga una rampa de 1 Hz por segundo. La franja azul es la señal que capta el acelerómetro instalado en el banco. La señal inicialmente está en unidades de voltaje. Esta señal se multiplica 31.

(37) por la constante de sensibilidad del acelerómetro y se obtienen unidades de aceleración. Si se integra dos veces la señal de aceleración con respecto al tiempo se obtiene la amplitud que siente el eje en el tiempo, tal y como muestra la Figura 16 a la Figura 206. Cada figura tiene tres gráficas bajo las mismas características de operación y configuración.. La amplitud causada por el cabeceo del eje está gobernada por la siguiente ecuación:. (14). Donde y es la amplitud del eje, m es la masa del disco, e es la excentricidad del disco,. es la. velocidad del eje, k es la constante de rigidez del eje y es la constante de amortiguamiento del sistema (Thomson, 1983). Para este proyecto, la ecuación se simplifica asumiendo que no tener se va a tener amortiguamiento en el sistema y para todos los casos se asume una excentricidad en los discos de 0.1 mm. Hay que aclarar que en ningún momento el valor teórico y experimental para el desplazamiento debe ser el mismo. La ecuación 14 es solo un modelo para conocer qué se puede esperar con respecto al desplazamiento del eje, y no es un parámetro de comparación dada las simplificaciones de amortiguación y excentricidad realizadas. Incluso, el valor de la amplitud del eje no es importante para el objetivo de esta tesis; simplemente sirve para mostrar cuando el eje comienza a resonar y en qué momento esta resonancia es máxima.. La gráfica de la Figura 16 se basa en la configuración planteada en la Tabla 7. Para esta prueba y aplicando la ecuación 14 se tiene un desplazamiento máximo teórico de 6.9 mm. En la gráfica se puede ver una región donde ocurre el fenómeno de resonancia, donde en la primera grafica se puede ver mejor. La región de resonancia está entre las 1170 rpm y 1350 rpm. Si se observa la velocidad crítica promedio medida en la Tabla 7, esta es de 1302 rpm y se encuentra dentro del rango determinado por la prueba.. 6. La amplitud que se muestra en la Figura 16 a la Figura 20 hace referencia a la amplitud real que siente el eje cuando está resonando. Se hace esta aclaración porque se podría confundir esta amplitud de resonancia con la amplitud calculada para el caso estático y estos parámetros no son comparables.. 32.

(38) Figura 16 Amplitud configuración Tabla 7. La gráfica de la Figura 17 se basa en la configuración de la Tabla 8. Para esta prueba se tiene un desplazamiento teórico de 2.9 mm. Para esta gráfica, al igual que en la Figura 16, la región donde ocurre el fenómeno de resonancia está entre las 1170 rpm y las 1350 rpm. Comparando este resultado con la Tabla 8, se tiene una velocidad crítica medida promedio de 1274 rpm. Nuevamente, la velocidad medida está dentro del rango de resonancia arrojado por la prueba.. 33.

(39) Figura 17 Amplitud configuración Tabla 8. La gráfica de la Figura 18 se basa en la configuración de la Tabla 9. Para esta prueba el desplazamiento teórico es de 2.5 mm. En esta prueba la región de resonancia se encuentra entre las 880 rpm y las 1170 rpm. Comparando este resultado con el valor de la velocidad crítica medida en la Tabla 9, se tiene una velocidad crítica medida promedio de 1076 rpm. Nuevamente, el valor de medido de la velocidad crítica se encuentra dentro del rango de resonancia.. 34.

(40) Figura 18 Amplitud configuración Tabla 9. La gráfica de la Figura 19 es basada en la configuración de la Tabla 10. Para esta prueba la amplitud teórica es de 4.2 mm. El rango de resonancia para esta prueba está entre las 880 rpm y las 1230 rpm. Comparando este resultado con la velocidad crítica medida promedio de la Tabla 10, se tiene una velocidad de 1021 rpm.. 35.

(41) Figura 19 Amplitud configuración Tabla 10.. Finalmente, la gráfica de la Figura 20 se basa en la configuración de la Tabla 12. La amplitud teórica para esta prueba es de 9.4 mm. El rango de resonancia para esta prueba está entre las 1590 rpm y las 1950 rpm. Comparando este resultado con la velocidad crítica de la Tabla 12, se tiene una velocidad de 1706 rpm. Al igual que en la pruebas anteriores, el valor de la velocidad medida se encuentra dentro de la región de resonancia.. 36.

(42) Figura 20 Amplitud configuración Tabla 12.. Cómo se puede ver, los resultados de las pruebas están sustentados bajo dos pruebas experimentales. La primera prueba buscaba encontrar un promedio de velocidad crítica en el eje a partir de un estroboscopio y la segunda prueba buscaba encontrar una región de resonancia. Lo importante de estos resultados es que no permiten especificar una velocidad a la cual el sistema entra en resonancia, pero si se puede asegurar un rango de velocidades a los cuales el eje no se debe operar.. Es muy común encontrar en los manuales de las turbinas industriales utilizadas para la extracción de vapor u otros fluidos, especificaciones de operación de la máquina entre las cuales se 37.

(43) encuentra en rango de velocidades críticas, si hubiere lugar a más de una. Lo que hace el ingeniero que diseña tal máquina, es asegurarse que la máquina va a operar a velocidades muy por encima de la velocidad crítica del eje de la turbina, de acuerdo a las cargas y configuraciones que tendrá la máquina. A velocidades muy por encima de la velocidad crítica se obtiene una posición de equilibrio satisfactoria por el movimiento del centro de masa alrededor del centro de rotación (Juvinall & Marshek, 2006).. 8. CONCLUSIONES. Visto desde los resultados, el proyecto Diseño y Montaje de un Banco de Ejes para Encontrar Velocidad Críticas resulta ser un éxito dado que es un trabajo integrador que permite hacer uso de los conocimientos básicos de diseño aprendidos a lo largo de la carrera como ingeniero mecánico y a su vez, es una aplicación de ingeniería real que corrobora que a partir de modelos teóricos básicos se puede estimar el comportamiento complejo de algún sistema, en este caso en particular, de un eje en movimiento rotacional.. Como era de esperarse para este proyecto, en la etapa de diseño del banco de ejes se plantearon modelos teóricos que permitieron hacer un montaje preliminar, pero que a lo largo que se avanzaba con el montaje de cada uno de los elementos que conforman el banco, tocaba hacer ajustes en estos diseños con el objetivo de encontrar la mejor condición para la realización de pruebas experimentales. En la actualidad hay muchos enfoques que pueden ser utilizados para comprobar modelos, desde enfoques teóricos, computacionales y experimentales. Para este proyecto se escogió un enfoque experimental, basado en un proceso de iterativo de prueba y error que permitió un buen montaje del banco.. Los resultados obtenidos en este proyecto son satisfactorios mirando el cumplimiento de los objetivos. A partir de los resultados teóricos y su comparación con los resultados experimentales se puede concluir que un modelo teórico permite estimar órdenes de magnitud, pero en ningún momento se puede especificar que va a pasar en la realidad. En este caso del banco de ejes, es claro que los modelos teóricos utilizados son una fuente fiel para tener una primera aproximación.. 38.

(44) La configuración en voladizo con carga en el extremo del eje difiere de todas las demás en el sentido que rotando a velocidades bajas el error es grande. A pesar que hay un modelo que sustenta esta configuración, en la vida real no es conveniente hacer este tipo de configuraciones debido a que las chumaceras no están diseñadas para tener ejes en voladizo y con una carga en el extremo. Es por esta razón que no es común encontrar este tipo de configuraciones en la industria o en cualquier aplicación. Lo normal es encontrar ejes con chumaceras a lo largo de su longitud pero sin dejar una condición de voladizo.. En general, es claro que todos los ejes tienen una velocidad a la cual entrarán en resonancia. Es trabajo del ingeniero hacer el diseño adecuado para evitar e sta condición de resonancia que sin lugar a dudas lleva al desajuste en los elementos de sujeción, disminución en la vida útil de los rodamientos, posibles fallas en el eje, ciclos de operación inadecuados para el motor o el mecanismo que este accionando el eje.. En conclusión, para operar un eje correctamente se debería tener en cuenta el rango en el cual el eje entra en resonancia para de estar forma operar por debajo o por encima de él. Sin embargo, para un desempeño optimo, el eje debería operarse muy por encima del rango de resonancia debido a movimiento uniforme del centro de masa alrededor del centro de rotación.. 39.

(45) BIBLIOGRAFÍA. Badiola, V. (2004). Diseño de máquinas I. Budynas, R. (2008). Shigley's Mechanical Engineering Design (8th Edition ed.). New York: McGrawHill. Hibbeler, R. (2006). Mecánica de materiales (Sexta Edición ed.). México: Pearson Education. Juvinall, R. C., & Marshek, K. M. (2006). Fundamentals of Machine Component Design. Hoboken, NJ: John Wiley and Sons, Inc. Matweb. (1996). AISI 1020 Steel, cold rolled. Recuperado el 11 de Septiembre de 2011, de http://www.matweb.com/search/DataSheet.aspx?MatGUID=10b74ebc27344380ab16b1b69f1cffb b Matweb. (1996). AISI 1045 Steel, cold drawn, 19-32 mm (0.75-1.25 in) round. Recuperado el 3 de Septiembre de 2011, de http://www.matweb.com/search/DataSheet.aspx?MatGUID=cbe4fd0a73cf4690853935f52d91078 4&ckck=1 Moring, V. (1957). Design of Machine Elements (3ra Edición ed.). New York: The Macmillan Company. REYCLO S.A.S. Aceros Especiales. (2011). Tabla de manejo de aceros especiales. Bogotá. Shigley, J. &. (2001). Mechanical Engineering Design (6ta Edición ed.). New York: McGraw-Hill. Thomson, W. (1983). Teoría de vibraciones : aplicaciones. Madrid: Prentice-Hall, Inc. Wowk, V. (1991). Machinery Vibration: Measurement and Analysis. Boston: McGraw-Hill.. 40.

(46) ANEXO. INSTRUMENTACIÓN. MOTOR SIEMENS. Tipo: 1LA7 070-2YA60 Potencia: 0.75 hp Voltaje: 220 V/ 440 Corriente: 2.4/1.2 Velocidad: 3430 rpm Peso: 4.3 kg. ACELEROMETRO KISTLER K-BEAM TYPE 8310B2. Rango:. g. Sensibilidad: 995 mV/g Corriente nominal: 1.3 mA Voltaje nominal: 3.8 – 32 V Temperatura de operación: -40 – 85 °C. VARIADOR DE VELOCIDAD SIEMENS MICROMASTER 420. Voltaje: 200 – 240 V Potencia: 0.12 – 5.5 kW Frecuencia de red: 47 – 63 Hz Frecuencia salida: 0 – 650 Hz. A.

(47) ESTROBOSCOPIO MONARCH. Rango de frecuencia: 100 – 8.000 rpm Resolución: 0.01 rpm a 1 rpm. Duración del flash 10 µs a 25 µs Batería: capacidad para 120 min a 1800 rpm o 60 min a 6000 rpm Tiempo de carga: de 4 a 5 horas. B.

(48) ANEXO. PLANOS. C.

(49) D.

(50) E.

(51) F.

(52)

(53)

(54)

(55)